Modelagem de Sistemas Top 1

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MODELAGEM DEMODELAGEM DE
SISTEMASSISTEMAS
MODELAGEM E SIMULAÇÃOMODELAGEM E SIMULAÇÃO
Au to r : M e . G u i l h e r m e A f o n s o B e n to M e l l o
R ev i s o r : Fa b i o J o s e R i c a rd o
Tempo estimado de leitura: 1 hora e 40 minutos.
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Introdução
Olá, estudante! É com prazer que apresentamos a você este material. Neste
material, vamos estudar os sinais e sistemas, disciplina com ênfase em modelos
matemáticos e analíticos. É necessário um estudo introdutório, assim como a
compreensão das ferramentas de modelagem e análise dos sistemas lineares
contínuos e discretos. Vamos abordar, de forma introdutória, o conceito de sinais,
tipos de classi�cação de sinais, suas transformações no domínio do tempo. No
último tópico, abordaremos a classi�cação dos sistemas lineares mais utilizados,
para a análise e processamento de sinais. O objetivo deste estudo é o de dar
embasamento a você, estudante, que lidará, ao longo de sua vida acadêmica, com a
disciplina de sistemas e sinais, e na vida pro�ssional, com diversas áreas do
conhecimento, como processamento de sinais, robótica, circuitos elétricos,
sistemas de comunicação, sistemas de controle etc. Bons estudos!
Vamos iniciar esta unidade curricular entendendo, primeiramente, o que signi�ca
modelar. Para o Dicionário Brasileiro da Língua Portuguesa Michaelis (on-line)
modelar signi�ca: fazer modelo ou o molde; assinalar ou fazer sobressair os
contornos; contornar, moldar; dar determinada forma a; determinar os traços gerais.
E é exatamente nesse contexto que vamos trabalhar, em que modelar é uma
representação de um sistema real. São inúmeras características e atributos em que
o(a) engenheiro(a) deve avaliar e realizar a modelagem.
Nesta unidade, serão apresentados diversos meios de representação de sistemas,
introdução à modelagem e à simulação, contextualização e histórico; e modelagem
e simulação de sistemas contínuos (estado estacionário).
Bons estudos!
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Podemos representar diversos objetos ao nosso próprio modo. Observe, nas
imagens a seguir, duas formas de representação do mesmo objeto.
Introdução à
Modelagem e à
Simulação,
Contextualização e
Histórico
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Na �gura à esquerda, são apresentados dois dados retirados de uma fotogra�a real,
enquanto, na �gura à direita, eles são um desenho, ou seja, uma representação do
que são os dados; e é nisso que consiste uma modelagem: na capacidade de poder
representar um sistema, um dispositivo, um equipamento, uma estrutura real etc. de
forma que ele(a) possa ser transformado(a) em números ou informações que
sejam úteis para o controle desse sistema.
O que podemos observar nos dados em forma de desenho: são dois dados com
cores e numerações semelhantes. Nas duas imagens, são apresentadas três das
faces de cada dado, e o formato é igual (�gura geométrica de seis lados iguais –
cubos). Entretanto, não é possível representar um sistema de qualquer maneira,
pois a modelagem de um sistema consiste na representação �dedigna do
comportamento de um sistema. Se o dispositivo contém parâmetros, como
temperatura, vazão, pressão, dentre outras variáveis, também é necessário realizar
a modelagem de tal forma que esses parâmetros estejam relacionados. Lembre-se
Figura 1.1 – a) Dados de seis lados reais; b) Dados de seis lados em desenho 
Fonte: mik38 / 123RF; vector1st / Freepik.
#PraCegoVer: foram apresentadas duas imagens, sendo a primeira uma foto em que
constam dois dados reais, que correspondem a dois cubos, ou seja, um objeto
tridimensional de seis lados iguais; os dados encontram-se em uma superfície branca; a
segunda imagem refere-se a esses mesmos dados, contudo, desenhados em software,
tornando-os um modelo com as mesmas dimensões e valores apresentados em cada
lado dos dados.
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de que a maior parte dos dispositivos eletrônicos industriais são controlados por
uma gama muito grande de variáveis, sendo as mais comuns as citadas
anteriormente: temperatura, vazão, pressão e nível (volume de um reservatório).
Para Bittencourt (2007, p. 8), “a identi�cação de sistemas é uma ferramenta para se
obter modelos de sistemas a partir de dados de entrada e saída”. Facilitando a
identi�cação de processos, por mais difíceis e complexos que eles sejam.
O sinal é de�nido por um conjunto de dados, que pode variar em função do tempo
ou espaço. Com relação à amplitude de um sinal, esta varia ao longo do tempo. O
sinal existe em um intervalo de tempo (-∞,+∞), com variação de sua amplitude, e
pode ser interpretado por um número que indica seu tamanho e força. Esse número
considera não só a sua amplitude de sinal, mas, também, sua duração em um
determinado intervalo. Por exemplo, se quisermos usar uma função y(t) como
medida do sinal contínuo, também devemos considerar a sua variação ao longo do
tempo, que assume valores reais ou nulos ao longo do tempo(t). Considere a
equação 1, segundo Lathi (2006), como exemplo:                                                
As gruas e os guindastes utilizados na construção civil são equipamentos que,
muitas vezes, requerem modelagem, representação e controle. Esses
equipamentos são amplamente utilizados para içar blocos e estruturas pesadas,
geralmente até o alto de prédios e edifícios. Entretanto, não se içam todos os
equipamentos da mesma forma, há um limite superior máximo de esforço que o
Fonte: Yiu Tung Lee / 123RF.
Um exemplo em que se pode ver isso é a
representação de caixas d’água, que possuem uma
bomba para abastecimento e uma válvula solenoide,
para liberar a passagem de água para o consumidor.
Nesse exemplo, o que comumente controla-se ou se
mapeia é o nível, mas também é possível controlar a
vazão de entrada e saída do �uido, o tempo de
abastecimento e desabastecimento, a temperatura
do �uido, a pressão no reservatório, dentre outros
possíveis parâmetros que podem ser levados em
consideração, como dilatação do reservatório
(Δx,y,z), viscosidade, en�m, diversos parâmetros
podem ser considerados em uma caixa d’água. 
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equipamento suporta, um posicionamento do contrapeso, e, em alguns tipos de
grua, inclusive, há movimentação do contrapeso, para poder balancear e controlar
adequadamente a carga que está sendo içada. Portanto, essa estrutura precisa ser
devidamente representada, inclusive os pontos atuantes de esforço, os pontos de
apoio, a carga “�xa” e a altura na qual será elevada (pode ser em relação a uma cota
– último pavimento construído – ou em relação ao solo).
No próximo tópico, vamos conhecer um pouco mais sobre o histórico da
modelagem, desde seu surgimento e suas diversas aplicações. Vamos lá?
Origem da Modelagem e da Simulação
Você pode não notar, mas em quase tudo que nos cerca emprega-se a modelagem.
A modelagem remete a um tema muito antigo, no que tange ao vestuário. Segundo
Soares (2019), os primeiros dados coletados direcionam para o período paleolítico,
que relaciona o descobrimento da técnica do curtimento de peles e a utilização de
agulhas de ossos. As primeiras técnicas de modelagem tridimensional apontam
para gregos, egípcios e romanos, com vestimentas utilizando broches, cordões,
faixas e cintos.
Já a modelagem e a simulação industrialremetem às décadas de 1960 e 1970, em
que a simulação era considerada muito cara, assim, apenas grandes empresas
poderiam realizar tal procedimento, já que essa etapa está associada diretamente à
qualidade e à capacidade de software e hardware para processar informações. No
início da década de 1980, surgem computadores mais rápidos, com maior
capacidade de processamento, e, com isso, o barateamento da simulação; nessa
mesma época, a indústria automobilística também começa a utilizar software de
simulação, a �m de resolver problemas relacionados à segurança e à otimização de
linhas de produção (TURRIONI; MELLO, 2012).
Leal (2021) descreve que a utilização de modelos é importante para estudar os
problemas, abrindo um leque de opções, o que pode reduzir os custos e aumentar a
e�ciência operacional.
Para Chung (2004), a modelagem e a simulação permitem desenvolver, testar e
aprimorar sistemas reais, por meio de uma ferramenta de modelagem matemática
computadorizada, como CAD e CAM (manufatura assistida por computador, do
inglês, Computer Aided Manufacturing – CAM), além disso, a modelagem pode ser
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percebida de diversas formas. No próximo tópico, vamos nos aprofundar em seus
meios técnicos.
Introdução e Contextualização da
Modelagem e da Simulação
Agora que você pôde ter uma ideia do que se trata a modelagem e sua origem,
vamos realizar a contextualização da modelagem de sistemas. A modelagem tem
papel fundamental no controle de diversos dispositivos industriais, sejam eles
controladores lógicos programáveis (PLC, do inglês, Programmable Logical
Controller), inversores de frequência, controladores PID (Proporcional, Integrador e
Derivativo), controladores de carga ou quaisquer outros dispositivos que
necessitem de controle. Tendo essa compreensão sobre a modelagem, você pode
perguntar-se: tudo pode ser modelado? Vamos nos aprofundar mais nisso.
Todo e Qualquer Sistema Pode ser
Modelado!
No primeiro tópico, você viu como podem existir várias representações de um
mesmo objeto: a Figura 1.1 b), por exemplo, representa um objeto, a Figura 1.1 a),
que foi modelado. Essa representação não pode ser grosseira, ela deve ser
semelhante ou o mais próxima possível da realidade. Entretanto, esta unidade será
direcionada para a modelagem de sistemas voltados à eletrônica, à elétrica e à
mecânica.
Muitas vezes, um sistema ou uma planta industrial pode estar aparentemente
funcionando de forma estável, as respostas de saída (indicadores dos sensores)
podem estar próximas do valor desejado (preset) ou dentro da variação de
tolerância. Por essa razão, para se comprovar a estabilidade de um sistema, faz-se
a modelagem.
A modelagem deve ser feita a partir de vários atributos, como substâncias, matéria-
prima, propriedades químicas, dispositivos, equipamentos, controladores, bem
como de todos os elementos que estejam associados a um dispositivo que se
queira modelar. Essa modelagem pode ser elaborada de várias formas, as mais
comuns são representação por blocos e representação matemática. Comumente,
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apresenta-se, inicialmente, o modelo em blocos e, após a análise dos elementos
que estão associados aos blocos, realiza-se a representação matemática.
Entretanto, pode-se interpretar a representação matemática e realizar o processo
inverso.
Segundo Ogata (2010, p. 2), “a teoria de controle moderno baseia-se na análise do
domínio do tempo em sistemas de equações diferenciais. Ela simpli�cou o projeto
de sistemas de controle porque se baseia no modelo de um sistema de controle
real”. Conheça, no elemento a seguir, algumas formas diferentes de representação.
 
A modelagem de um sistema:
Com os exemplos apresentados, você pode visualizar melhor como podem
acontecer as diferentes representações de modelagem.
CAD – a representação por
meio de CAD geralmente é
associada à modelagem
mecânica de uma peça
(montagem), que, depois de
desenhada, será
confeccionada em um torno,
equipamento CNC, como
parafusos, porcas, pistões,
chassis, dentre outros, como
é o caso da �gura a seguir,
que representa partes de um
motor, cabeçote e pistões.
Outro caso, este na
engenharia civil, são as
projeções de casas,
Fonte: Andrey Kokidko / 123RF.
 
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Com essa leitura, você pode ver como a modelagem evolui ao longo do tempo, e
isso vai ampliar sua visão sobre nosso assunto.
Para compreender melhor um sistema de blocos, observe a Figura 1.2, que facilita a
interpretação e a observação do funcionamento do sistema e é composta pela
planta que será modelada e os elementos de entrada e saída.
S A I B A M A I S
Na área do vestuário, o termo “modelagem” é muito comum. Esse é um elemento que
interage com a evolução dos seres humanos, pois os trajes eram modelados a partir dos
corpos que os vestiriam (como ainda hoje é feito). Os corpos eram envoltos com tecidos,
marcados com broches, e assim eram criados e replicados modelos. Entretanto, a área
do vestuário também acompanha a tecnologia, atualmente, os desenhos estão cada vez
mais robustos, utilizando os software CAD para auxiliar na produção e na precisão do
produto.
Clique no link a seguir para ler mais sobre como a tecnologia tem sido empregada no
ramo do vestuário em que a modelagem é muito presente:
http://repositorio.unesc.net/handle/1/2409
http://repositorio.unesc.net/handle/1/2409
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Com a observação da �gura, �cou mais fácil compreender o conteúdo, não é
mesmo? Então, vamos adiante. Em grande parte, as entradas e saídas de um
sistema representam o controle de uma grandeza química ou física, seja ela vazão,
temperatura, nível, pressão ou qualquer outra, cuja relevância seja do sistema.
Um sistema que possua uma in�nidade de recursos independentes (sensores e
controladores) a serem controlados pode ser considerado um sistema complexo,
logo, uma análise qualitativa do sistema complexo torna a modelagem do sistema
complexa também (MATSUSAKI, 2004).
Figura 1.2 - Representação em blocos da modelagem de um sistema 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama
sequencial realimentado: no início, é apresentado um elemento denominado Entrada, a
seguir, o bloco somador, com dois ícones, apresentando adição e subtração;
posteriormente, o bloco denominado planta, que se refere ao ambiente que será
modelado; e, por �m, o indicativo de saída. Entre o bloco de planta e a saída, há uma
conexão que liga o bloco somador ao sinal de subtração.
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Segundo Turrioni e Mello (2012), a realização de modelagem e simulação permite
compreender o funcionamento e a operação do sistema, além da possibilidade de
criar métodos para melhorias do sistema, testar conceitos e obter informações do
seu estado atual.
Teixeira (2018) aponta que a simulação permite a construção de teorias a partir de
modelos criados, além disso, realizar testes com a planta industrial (e não com o
modelo) pode tornar o processo oneroso, tanto em tempo quanto em dinheiro, haja
vista que o processo poderia precisar parar para a realização de testes e, dessa
maneira, o custo relacionado poderia ser investido em equipamentos que
realizassem um conjunto de simulações.
Para Leal (2021), descrever os sistemas em modelos matemáticos permite
descrever o sistema para modelagem, simulação e análise. Já os modelos
computacionais, com softwarede simulação, tornam possível a interpretação dos
resultados. Agora que vimos os fundamentos históricos da modelagem, vamos nos
aprofundar mais e conhecer algumas de suas formas.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Todo sistema pode ser modelado, desde sistemas mecânicos e desenhos da área
do vestuário até circuitos eletromecânicos complexos. Comumente, os
engenheiros deparam-se com a construção de variados tipos de �ltro, como os
passa-baixa, que permitem a passagem de baixas frequências, até �ltros que
podem eliminar vibrações para os leitores de CLP e SDCD. Considere um circuito
eletrônico de um �ltro de ruído cuja tensão no capacitor cerâmico seja:
 (t) = 5 .  vC e
−t
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E que essa tensão no capacitor sofre impactos de um dispositivo de entrada do
sistema do tipo degrau de 2 volts. Agora, assinale a alternativa que apresenta a
tensão no capacitor durante o período de 0,5 segundo.
a) 3,033 V.
b) 1,516 V.
c) 0,338 V.
d) 6,065 V.
e) 1,839 V.
praticar
Vamos Praticar
A modelagem é um elemento disponível na engenharia para representar um
dispositivo da vida real, seja ele uma máquina, um sensor ou até mesmo o ciclo de
funcionamento de uma empresa. Para tanto, observe o circuito da �gura a seguir.
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Realize a modelagem do sistema e identi�que a equação característica da corrente
que passa pelo indutor. Considere que .
Figura - Atividade: circuito eletrônico RL 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um circuito eletrônico RL, cujos elementos
estão associados em série, como a fonte de tensão de 12 volts, L, indicando a
presença de um indutor de valor de 10 Henries, e R, indicando a presença de
um resistor no valor de 2 ohms.
 (0) = 6 A e    (∞) = 0 AiL iL
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Caro(a) estudante, agora que você já viu o que é e como a modelagem ou a
simulação está presente, vamos conhecer os tipos de simulação de sistemas.
Os processos podem ser de estado discreto ou estado contínuo. Os processos de
estado discreto estão associados à capacidade de realizar contagem inteira, e as
variáveis e atributos são �nitos e numeráveis. Um exemplo disso é a quantidade de
paletes que foram colocados em um caminhão e a quantidade de garrafas que
foram embaladas em uma caixa; outro exemplo é o número de membros em uma
família.
Comumente, os processos discretos têm números inteiros e �nitos: ainda que o
atributo tenha grande número, é �nito, ou seja, a contagem, em um determinado
momento, �naliza. Outro exemplo disso são as variáveis booleanas ou variáveis
lógicas.
Os processos contínuos estão associados aos atributos cujo valor pode ser um
número real, como o volume de um reservatório (3,2 litros, 4,23 m³), a vazão de uma
tubulação e a altura de uma estrutura, por exemplo. Veja que não é possível utilizar
o processo contínuo para contar o número de �lhos de uma família, pois não é
possível que se tenha 1,4 �lhos, tampouco para caixas ou garrafas.
Pode-se associar os processos contínuos a processos in�nitos ou que, porventura,
sofram alteração conforme a variação do tempo. Nesse caso, a modelagem
matemática comumente é utilizada nas Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
(LEAL, 2021).
Modelagem e
Simulação de
Sistemas Contínuos
(Estado Estacionário)
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Entretanto, um sistema no estado estacionário, também denominado de regime
permanente (na engenharia), possui propriedades (p) que não se alteram com o
tempo, inclusive a derivada de qualquer uma das propriedades em relação ao
tempo é zero (KNIGHT, 2009).
Na modelagem de sistemas dinâmicos, há atributos que você deve conhecer,
vamos a eles (PEREIRA, 2017):
tempo é variável independente;
demais variáveis são dependentes do tempo;
os parâmetros independem das variáveis.
Depois desses atributos, você vai ver, no infográ�co a seguir, exemplos de variáveis
dependentes do tempo:
VARIÁVEIS DEPENDENTES
DO TEMPO
#PraCegoVer: o infográ�co apresenta um título principal, que é “Variáveis dependentes
do tempo”, e quatro tópicos centralizados. Ao clicar no primeiro tópico, “Corrente e
Corrente e tensão elétricas
Aceleração de um corpo
Pressão, temperatura, nível
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tensão elétricas”, é apresentado o texto: “quando o sistema possui uma fonte de
corrente alternada”. Ao clicar no segundo tópico, “Aceleração de um corpo”, é
apresentado o texto: “pode sofrer alterações devido à altura, à massa e à velocidade, já
que a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo”. Ao
clicar no terceiro tópico, “Pressão, temperatura, nível”, é apresentado o texto: “a vazão de
um sistema pode ser variante no tempo, inclusive variantes relacionadas entre si. Essas
variantes dependem de outras propriedades também”. Ao clicar no quarto tópico,
“Posição e velocidade angulares”, é apresentado o texto: “um exemplo disso é o desa�o
do pêndulo invertido”.
Outro detalhe importante, senão fundamental, que você deve guardar é: sistemas
dinâmicos dependem do valor do atributo de entrada e também da realimentação
do sistema, ou seja, a variante de entrada é somada aos dados de saída. Comum
em sistemas em malha fechada, como você observou na Figura 1.2. Diferentemente
dos sistemas estáticos, nos quais a saída depende, única e exclusivamente, da
entrada do sistema.
Veja como a Figura 1.2 pode ser reescrita matematicamente:
Equação 1: Saída = Entrada - Saída . Planta
Na elétrica e na eletrônica, há diversos software que permitem a simulação de
sistemas. Dentre os software existentes, há software livres (freeware) e software
pagos (shareware). Os software livres, em sua maioria, executam a maior parte das
medições necessárias, como é o caso do Electronics Workbench (EWB), da
companhia Interactive Image Technologies. Entenda melhor como isso funciona na
Figura 1.3:
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Existe um grande volume de software livres que permitem modelar e simular
elétrica e eletrônica. É bastante comum encontrar o CAD Simu, desenvolvido por
Juan Luis Villanueva Montoto, muito utilizado para modelagem e simulação de
sistemas elétricos de potência e também para simular e testar circuitos de PLC. E,
mais recentemente, o TinkerCad: software que permite a modelagem e a simulação
de circuitos eletrônicos, nesse caso, não há necessidade de baixar o software, uma
vez que a plataforma é on-line.
Figura 1.3 - Circuito RLC montado no software EWB 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentada a tela de um software livre, gratuito e de livre acesso para
realização de modelagem e simulação de um circuito eletrônico composto por dois
resistores, um deles de 4 ohms e outro de 1 ohm, um indutor de valor de 4 Henrys e um
capacitor em paralelo com o resistor de 1 ohm, este um capacitor de 0,25 Farads.
Também é apresentado na tela do software um elemento medidor – multímetro – em
um fundo branco. Na parte superior, há itens de manipulação dos circuitos, medidores
em geral, e se permite a modi�cação do circuito anexando ou adicionando elementos
novos.
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Todavia, na Engenharia, há software que são especí�cos para algumas atividadese
simulações de sistemas. Na engenharia de controle e de modelagem, geralmente
utiliza-se o MatLab (Matrix Laboratory), que é um software potente e com diversos
recursos disponíveis, no entanto, há um custo elevado para se obter uma cópia
original. Isso acontece também nos software de modelagem de peças e estruturas,
como AutoCAD, SolidWorks, 3D Studio Max etc. Consequentemente, o usuário de
uma dessas ferramentas também precisa ter um hardware adequado para executar
tarefas nesses software.
A simulação também depende do tempo do operador para utilizar, modelar e
simular. Outro fator que pode levar a erros é o excesso de con�ança nos software,
por isso também são demandados planejamento, testes e cálculos, antes de
submeter e modelar em qualquer dispositivo (OLIVEIRA et al., 2015).
De fato, considerar sempre o período transiente, que corresponde a um
período/momento em que o sistema, em decorrência de simulações, pode oscilar,
em valores simulados, até que atinja o valor esperado, com tendência de
crescimento. Aos poucos, o período transiente é vencido pelo sistema e pelo
estado estacionário ou regime permanente, no qual as oscilações tornam-se
menores, com resultados próximos do esperado. Há modelos em que o interesse é
avaliar o estado do período transiente (LEAL, 2021).
Leal (2021) indica que a simulação referente ao estado transiente busca identi�car,
em curto prazo, qual a reação do sistema nesse período de simulação e, com isso,
identi�car possíveis erros ou parâmetros que devem ser modi�cados para reduzir
os impactos e futuros erros no estado estacionário.
Assinale a alternativa que representa o tipo de sinal que captura apenas os valores
modulares, neste caso, o instante positivo.
REFLITA
O desa�o do pêndulo invertido é um exemplo clássico
de controle que possui diversos parâmetros que
devem promover, juntos, o controle de uma haste
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Agora que você re�etiu sobre o desa�o, pode perceber que o desa�o do pêndulo
invertido é do tipo que possui vários graus de liberdade. Mas o que são esses graus
de liberdade?
Os graus de liberdade de um sistema de controle referem-se a quantas funções de
transferência ou quantas equações de um sistema são independentes (OGATA,
2010). Suponha um sistema que tenha quatro equações, sendo elas três equações
independentes e uma dependente, assim, pode-se dizer que esse sistema tem três
graus de liberdade.
A modelagem matemática dá-se no domínio do tempo ou no domínio da
frequência. No domínio do tempo, ocorre por uso das Equações Diferenciais
Ordinárias (EDO). Observe o exemplo da Figura 1.4, com um circuito RLC dotado de
resistor, indutor e capacitor, elementos que podem variar a tensão conforme a
variação do tempo.
sobre um corpo móvel. A haste, na qual há um bloco
de massa m, na cor branca, composto por rodas que
permitem o deslizamento lateral do bloco, deve
manter-se posicionada ortogonalmente ao corpo
móvel. Acima do bloco, há uma haste �na e preta
conectada a uma bola (estrutura circular). O objetivo
é entender e identi�car os parâmetros que levam ao
controle da bola no alto da haste.
Quais são os parâmetros que devem ser levados em
consideração para manter a haste ortogonal ao
elemento móvel? Quais desses parâmetros são
variantes no tempo? E quais outras forças podem
implicar o deslocamento da haste? Considere que o
corpo móvel e a bolinha que deve ser controlada no
alto da haste possuem massas diferentes, não há
atrito entre as rodas do corpo móvel e o solo e a
haste são estruturas rígidas, porém, de baixa massa.
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Para descrever a equação diferencial desse sistema contínuo, deve-se utilizar a
relação da Leis de Ohm, de Faraday e de Kirchhoff, além de se fazer a relação da
funcionalidade do componente eletrônico.
Os resistores são componentes eletrônicos que realizam oposição à passagem de
corrente elétrica; os indutores são elementos que podem ser comparados a um �o
enrolado ou bobina que, por sua vez, tem variação do �uxo magnético por uma
tensão induzida nas extremidades, devido à variação da corrente elétrica passante;
já os capacitores são componentes que armazenam energia na forma de campo
elétrico, devido à variação da tensão elétrica nas extremidades do componente
(LIMA, 2018; RODRIGUES, 2018).
Figura 1.4 - Circuito eletrônico RLC de exemplo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um circuito eletrônico, cujos elementos estão associados
em série, como a fonte de tensão Vi(t), L, indicando a presença de um indutor, R,
indicando a presença de um resistor, e C, indicando a presença de um capacitor. Todos
os elementos sem valores de�nidos.
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Veja, caro(a) estudante, como se pode descrever o circuito da Figura 1.4 conforme a
Equação 2:
Equação 2: 
Você pode estar pensando, à primeira vista, que essa Equação 3 é bastante
complexa: observe que os parâmetros apresentados para o resistor, o capacitor e o
indutor são variantes no tempo em relação à variação da corrente elétrica. Quanto
ao indutor e ao capacitor, não podemos levar em consideração apenas as
reatâncias, mas, sim, como as diferenças de potencial (ddp) funcionam em cada
elemento.
Nesse caso (Figura 1.4), você pôde veri�car também que as correntes são iguais,
pois o circuito está em série e, com isso, pode-se obter outras equações
dependentes uma das outras, como a Equação 3.
Equação 3: 
Vale ressaltar que, em um circuito RLC série, comumente busca-se identi�car a
corrente no indutor e a tensão no capacitor.
Nesse primeiro instante, localizar a corrente no indutor, logo, como os elementos
estão em série, basta substituir todas as correntes por correntes no indutor, como
apresentado na Equação 4:
Equação 4: 
Observe que, no caso dessa EDO, há tanto integral quanto derivada, portanto,
sugere-se remover a integral.
Para remover a integral, é necessário aplicar a derivada em toda a equação,
obtendo a Equação 5.
Equação 5: 
Reescrevendo a Equação 5, pode-se apresentá-la da seguinte forma:
Equação 6: 
E, em um segundo instante, identi�car a tensão no capacitor:
(t) = L. + R. i(t) + ∫ i(t)dtvi
di(i)
dt
1
C
= = = iiR iL iC
(t) = L. + R. (t) + ∫ (t)dtvi
d (i)iL
dt
iL
1
C
iL
L. + R. + = 0
(t)d2iL
dt
d (t)iL
dt
iL
C
" + . + . = 0iL
R
L
iL  ′
1
C.L
iL
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Equação 7: 
Preste bem atenção e observe que, em relação à Equação 2, nesse caso, busca-se a
relação da tensão do capacitor para o circuito, apresentado na Figura 1.4, para a
Equação 7.
Equação 8: 
Vale lembrar que a relação da corrente no capacitor é dada por:
Equação 9: 
Substituindo a Equação 9 na Equação 8 e organizando na Equação 11, temos:
Equação 10: 
Equação 11: 
Reorganizando a Equação 11, com a derivada de maior ordem com coe�ciente
unitário, tem-se a seguinte Equação diferencial 12:
Equação 12: 
Observe que as equações diferenciais 6 e 12 são equações que representam a
corrente no indutor e a tensão no capacitor, respectivamente, para um circuito RLC
série. Lembre-se, também, que a equação característica da corrente no indutor é
dada na Equação 13 e, da tensão no capacitor, na Equação 14:
Equação 13:
Equação 14:
Assim, ‘A’, tanto na Equação 13 quanto na Equação 14, depende de parâmetros
iniciais do circuito elétrico, sendo que:
(t) = L. + R. i(t) + (t)vi
di(t)
dt
vC
(t) = L. + R. (t) + (t)vi
d (t)iC
dt
iC vC
(t) = C.iC
d (t)vC
dt
(t) = L. (C. ) + R. (C. ) + (t)vi
d
dt
d (t)vC
dt
d (t)vC
dt
vC
(t) = L.C. + R.C. + (t)vi
(t)d2vC
dt
d (t)vC
dt
vC
=. +
(t)vi
L.C
vC  
′′ R
L
vC  
′ (t)vC
L.C
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Equação 15: 
Substituindo, na Figura 1.4, os valores dos componentes R por 5 Ω (ohms), L por 1 H
(henry), C por 0.25 F (farad) e tensão de alimentação do circuito em 24 V (volts), por
meio do uso do simulador, pode-se obter as respostas do circuito RLC série no
regime estacionário (t > 0 ou t →∞), obtendo-se, como você pode notar na Figura
1.5, em azul, a resposta do circuito em relação à tensão no capacitor; e, em
vermelho, a resposta do circuito em relação à corrente no indutor.
= cos(ω) + j. sen(ω)ejω
Figura 1.5 - Resposta do sistema à aplicação de tensão forçada de 24 volts no
circuito RLC 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: na imagem, foram apresentadas duas curvas no grá�co da �gura. Uma
delas, em azul, com linhas mais grossas, direcionando o estado da tensão do capacitor
referente ao circuito apresentado na �gura. A curva de carga inicia em 5 volts e, de modo
exponencial, sobe até aproximadamente 24 volts. A segunda curva é uma curva
tracejada de cor vermelha, que serve para indicar e representar a curva da carga do
indutor; a curva de carga inicia em 5 ampères e, de modo exponencial, desce até 0.
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Outra forma de realizar a modelagem de um sistema é por meio de espaço de
estados, pois um dos fatores negativos associados ao grande número de derivadas
são os ruídos, e eles podem causar imprecisão. Dessa forma, no modelo de
espaços de estados, é possível descrever um sistema de ordem n de EDO em um
sistema diferencial de primeira ordem possuindo as seguintes equações (16 e 17)
características (FLEURY; DONHA, 2017):
Equação 16: 
Equação 17: 
Esse método é normalmente associado à modelagem de sistemas mecânicos ou
eletromecânicos, como sistemas massa-mola. Outra vantagem associada é a
redução do número de equações, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da
frequência ou na construção das matrizes de função de transferência do sistema
(G(s)), por meio das equações características obtidas do sistema:
Equação 18: 
Além disso, a partir da Equação 19, é possível classi�car o sistema quanto à
estabilidade, por meio da identi�cação dos polos do sistema, identi�cados a partir
das raízes da equação característica. A equação característica nesse modelo de
espaço de estados pode ser obtida por:
Equação 19: 
Deve-se sempre analisar qual é a resposta esperada do sistema, assim como
interpretar as mudanças que podem acontecer mediante a ocorrência de
perturbações na entrada do sistema.
Observe, a seguir, uma lista das entradas mais comuns para simulação e testes em
plantas industriais (RAMIREZ, 2009).
= A(t). x + B(t). ux−−
y = C(t). x + D(t). u
G(s) = [C(s. I − A .B + D])−1
det(s. I − A) = 0
• Impulso.• Impulso. 
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Neste momento, caro(a) estudante, você pode se perguntar. E o que se deve fazer?
Comparar com o estado do sistema anterior a variação da entrada. Além disso,
conhecendo o sistema, pode-se simular entradas diferentes, a �m de se obter um
controle mais estável e obter a resposta mais próxima do desejado (preset).
A entrada impulso representa uma entrada que, eventualmente, pode se comparar
com ruídos elétricos ou vibrações mecânicas. A entrada do tipo impulso é
representada no sistema com um valor unitário instantâneo. Podemos
compreender isso melhor observando a representação na Figura 1.6 e na Equação
20.
• Degrau.• Degrau. 
• Pulso.• Pulso. 
• Rampa.• Rampa. 
• Senoidal.• Senoidal.
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Observa, a seguir, como a Figura 1.6 pode ser representada, também, em forma de
equação:
Equação 20: 
A entrada degrau (step) representa uma mudança brusca na entrada do processo.
Assim como o impulso, contudo, mantém-se a uma amplitude constante (h).
Observe a Figura 1.7 e a Equação 21 para compreender melhor.
Figura 1.6 - Exemplo de entrada do tipo impulso 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um grá�co com linhas cinzas tracejadas ao fundo, para
realizar a divisão de casas, sendo que na horizontal, consta uma seta indicando o tempo
positivo com anotação de t(s), e, na vertical, consta uma seta indicando a variação da
tensão conforme a entrada. Nesse caso, está indicado, em vermelho, a entrada do tipo
impulso, com altura de δ (t).
u(t) = δ(t)
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A Figura 1.7 pode ser representada também em equação da seguinte forma:
Equação 21: 
A entrada pulso, ao contrário da entrada degrau, também denominada pulso
retangular, pois se comporta como uma entrada que permanece constante por
determinado período de tempo (RAMIREZ, 2009), pode ser visualizada na Figura 1.8
e na representação matemática da Equação 22. Um exemplo disso é um misturador
Figura 1.7 - Exemplo de entrada do tipo degrau 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um grá�co com linhas cinzas tracejadas ao fundo, para
realizar a divisão de casas, sendo que, na horizontal, consta uma seta, indicando o
tempo positivo, com anotação de t(s), e, na vertical, consta uma seta indicando a
variação da tensão conforme a entrada. Nesse caso, está indicado, em vermelho, a
entrada do tipo degrau, com altura de h, sendo esse traço vermelho permanente após o
tempo igual ou superior ao in�nito.
u(t) = hcte
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de óleo que energiza o motor misturador durante um determinado instante de
tempo.
Equação 22: 
Figura 1.8 - Exemplo de entrada do tipo pulso retangular 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um grá�co com linhas cinzas tracejadas ao fundo, para
realizar a divisão de casas, sendo que, na horizontal, consta uma seta indicando o
tempo positivo com anotação de t(s), e, na vertical, consta uma seta indicando a
variação da tensão conforme a entrada. Nesse caso, está indicado, em vermelho, a
entrada do tipo pulso retangular, com altura de h, com duas inscrições em azul, no eixo
da horizontal, para indicar tempos de corte e tempos de atuação da entrada do tipo
pulso.
u(t) = 0, parat < 0; u(t) = h, para0 ≤ t ≤ T ; u(t) = 0, parat > T
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Em relação à entrada pulso, o instante de tempo inferior (t) e o superior (T) podem
ser predeterminados pelo funcionamento do sistema ou pelo operador.
A entrada rampa é o tipo de perturbação mais recorrente em sistemas industriais,
comum como as alterações de valores em Interfaces Homem Máquina (IHM) ou
nos sistemas supervisórios.
Equação 23: 
Você pode notar que, na Equação 23, u(t), na ausência da perturbação, a
interferência na entrada é zero, entretanto, na ocorrência de mudanças em
dispositivos, a entrada comporta-se como uma reta inclinada, como pode ser visto
na Figura 1.9, como o próprio nome sugere.
u(t) = 0, parat < 0; u(t) = h. t
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A entrada senoidal representa um conjunto de distúrbios que podem ocorrer de
forma cíclica e/ou eventualmente relacionados a mudanças de algum dos atributos,
como pressão, nível, temperatura e vazão.
Equação 24: 
A entrada senoidal é representada comouma corrente alternada, ou seja, que tem
variação angular conforme variação temporal, assim como é possível observar na
Figura 1.10.
Figura 1.9 - Exemplo de entrada do tipo rampa 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um grá�co com linhas cinzas tracejadas ao fundo, para
realizar a divisão de casas, sendo que, na horizontal, consta uma seta indicando o
tempo positivo com anotação de t(s), e, na vertical, consta uma seta indicando a
variação da tensão conforme a entrada. Nesse caso, está indicado, em vermelho, a
entrada do tipo rampa, com altura de ‘h vezes t’. Essa reta vermelha está inclinada em
ângulo superior a 0º e inferior a 90º, aparentemente uma reta que está subindo.
u(t) = 0, parat < 0; u(t) = h. sen(ω. t), parat ≥ 0
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Nesse tópico, você conheceu exemplos de tipos de perturbações que podem
ocorrer em um sistema. Vale ressaltar que há diversos outros impactos que podem
levar a mudanças indesejadas no sistema.
Figura 1.10 - Exemplo de entrada senoidal 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um grá�co com linhas cinzas tracejadas ao fundo, para
realizar a divisão de casas, sendo que, na horizontal, consta uma seta indicando o
tempo positivo com anotação de t(s), e, na vertical, consta uma seta indicando a
variação da tensão conforme a entrada. Nesse caso, está indicado, em vermelho, a
entrada do tipo senoidal, com altura variável mediante alteração da frequência angular
ômega tê (Ω.t).
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Na teoria dos sistemas dinâmicos, há o conceito de sistema multivariável, que,
como o próprio nome sugere, é um conjunto de entradas e também de saídas,
sejam elas dependentes ou não. Esse tipo de conjunto pode ser conhecido por
MIMO, como você pode observar na Figura 1.11 (SCHWEDERSKY; FLESCH; DANGUI,
2020).
S A I B A M A I S
As Interfaces Homem Máquina (IHM) são dispositivos eletroeletrônicos para controle e
análise de um determinado equipamento. Com a IHM, é possível veri�car os estados das
variáveis de um processo, bem como o funcionamento de todo o dispositivo. Vale
ressaltar que as IHMs são comuns na indústria e podem ser aliadas do operador quanto
à modi�cação de valores instantâneos.
Acesse o link a seguir para saber mais a respeito desse assunto:
https://www.copadata.com/pt/produtos/zenon-software-platform/visualizacao-
controle/o-que-e-hmi-a-interface-homem-maquina-copa-data/
Fonte: Adaptado de O que é… (2021).
https://www.copadata.com/pt/produtos/zenon-software-platform/visualizacao-controle/o-que-e-hmi-a-interface-homem-maquina-copa-data/
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Há diversos sistemas na indústria, principalmente os que têm diversas entradas e
saídas. É comum, também, que muitas das entradas sejam controladas por CLP e
sistemas digitais de controle distribuído (SDCD), este, por exemplo, remete ao
controle distribuído, tanto de entradas quanto de saídas, e pode, também, fazer um
aglomerado desse controle em um elemento central.
Figura 1.11 - Planta industrial que possui um conjunto de entradas e um conjunto de
saídas 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foi apresentado um desenho contendo um retângulo com uma inscrição
interna intitulada planta. Há um conjunto de entradas, do lado esquerdo do retângulo,
nomeadas como u 1(t), u 2(t) e u n(t), e reticências, entre u 2(t) e u n(t), para representar
que há mais do que duas entradas e que o limite máximo é n entradas. Há um conjunto
de saídas, do lado direito do retângulo, nomeadas como y 1(t), y 2(t), y 3(t) e y n(t), e
reticências, entre y 3(t) e y n(t), para representar que há mais do que três saídas e que o
limite máximo é n saídas.
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Agora que teve acesso a todo esse conteúdo sobre modelagem, vamos colocá-lo
em prática respondendo a uma atividade.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Todo e qualquer sistema pode ser modelado. O sistema massa-mola é um
exemplo de projeto que pode ser modelado, conforme apresentado na �gura a
seguir.
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Desconsidere o atrito entre o solo e o corpo móvel, determine a equação
diferencial que representa a força total desse sistema e, em seguida, assinale a
alternativa correta.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Figura – Exemplo de sistema massa-mola 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: na �gura da questão, foi apresentado um bloco de massa m, na
cor branca, composto por rodas que permitem o deslizamento lateral do bloco.
Do lado esquerdo, há uma mola �xa na parede e, no bloco móvel, que restringe
o movimento com coe�ciente elástico de ‘k’, há três outras inscrições, sendo
duas delas conectadas ao bloco móvel: f1(t) e f2(t). E, acima do bloco, há uma
indicação de que o movimento do bloco ocorre em y.
+ . y + = 0y ′′ k
m
( + )f1 f2
m
m. − k. y − ( + ) = 0y ′′ f1 f2
+ . y − = 0y ′′ k
m
( + )f1 f2
m
m. − ( + ) = 0y ′′′ f1 f2
= 0
+ k.y−( + )y′′ f1 f2
m
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praticar
Vamos Praticar
Os sistemas dinâmicos dependem do valor do atributo de entrada e também da
realimentação do sistema, ou seja, a variante de entrada é somada aos dados de
saída. Comum em sistemas de malha fechada e diferente dos sistemas estáticos,
nos quais a saída depende, única e exclusivamente, da entrada do sistema, como
apresentado na �gura a seguir. Outro fator importante em sistemas de
realimentação são as denominadas funções de transferência, que relacionam a
saída pela entrada e, assim, desenvolvem a equação característica desse sistema.
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Analise a �gura e determine a função de transferência desse sistema.
Figura – Sistemas dinâmicos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer: foram apresentados três blocos no sistema, sendo um diagrama
sequencial realimentado: no início, é apresentado um elemento denominado
Entrada, a seguir, o bloco somador, com dois ícones apresentando adição e
subtração; posteriormente, o bloco denominado planta, que se refere ao
ambiente que será modelado; e, por �m, o indicativo de saída. Entre o bloco de
planta e a saída, há uma conexão que liga até o bloco Sensores, que está
abaixo da planta e, por �m, uma seta que indica a conexão com o elemento
somador no sinal de subtração.
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Material
Complementar
F I L M E
Matrix
Ano: 1999
 Comentário: O �lme “Matrix” é denominado um �lme de
simulação neurointerativa, isso porque, quando os personagens
entram na Matrix, podem simular o ambiente que habitam ou
que habitaríamos; além disso, o personagem pode “aprender”
estando nesse universo paralelo de forma simples, como se
inserisse um pen-drive com informações no cérebro, por meio
de uma conexão do corpo com o sistema.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer disponível.
TRA I LER
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L I V R O
Engenharia de controle moderno
Katsuhiro Ogata
Editora: Pearson
ISBN: 978-85-4301-375-6.
Comentário: O livro“Engenharia de controle moderno”, de
Katsuhiro Ogata, é um dos mais utilizados e referenciados nos
cursos de engenharia. É um livro bastante robusto e apresenta
toda a teoria de controle de sistemas, desde a fundamentação
até a modelagem completa do sistema. Nesse livro também
será encontrado como realizar a análise da resposta transitória
e de regime permanente.
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Conclusão
Como foi possível ver nesta unidade, muitos são os parâmetros relacionados à
modelagem e à simulação de um sistema, e todo e qualquer sistema pode ser modelado,
desde dispositivos e ambientes simples, até máquinas robustas e complexas. Os
sistemas podem ser estacionários e dinâmicos. Os sistemas estacionários, também
denominados de regime permanente, não alteram seus valores, parâmetros ou
propriedades após o sistema entrar em regime permanente. Já os sistemas dinâmicos,
comuns nos sistemas em malha fechada, sofrem alterações no decorrer do seu
funcionamento.
A simulação serve para o engenheiro como mecanismo para evitar retrabalhos e erros no
sistema, controle de falhas, para evitar surpresas quanto à possíveis alterações no rumo
do equipamento, dentre outros.
Referências
BITTENCOURT, M. C. Identi�cação de
sistemas dinâmicos lineares: métodos
paramétricos e não paramétricos. Monogra�a
(Graduação em Engenharia Elétrica) –
Universidade de Brasília, Brasília, 2007.
Disponível em:
https://bdm.unb.br/handle/10483/988.
Acesso em: 20 abr. 2021.
https://bdm.unb.br/handle/10483/988
13/09/21, 21:49 E-book
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CAMPANHOLI, J. M. A modelagem através dos tempos. Monogra�a (Pós-Graduação em
Modelagem do Vestuário) – Universidade do Extremo Sul Catarinense, Criciúma, 2014.
Disponível em: http://repositorio.unesc.net/handle/1/2409. Acesso em: 19 abr. 2021.
CHUNG, C. A. Simulation modeling handbook: a practical approach. Flórida: CRC Press,
2004.
FLEURY, A. de T.; DONHA, D. C. Espaço de estados. Controle e aplicações. Universidade
de São Paulo, São Paulo, 2017. Disponível em:
http://sites.poli.usp.br/d/PME2472/aulatres.pdf. Acesso em: 21 abr. 2021.
KNIGHT, R. D. Física: uma abordagem estratégica. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009.
LEAL, B. G. Modelagem e simulação discreta. 4. ed. Juazeiro: Brauliro Gonçalves Leal,
2021. Disponível em: http://www.univasf.edu.br/~brauliro.leal/page/livro.htm. Acesso
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LIMA, M. Indutância. Eletromagnetismo. Instituto de Física – Universidade de São Paulo,
2018. Disponível em:
http://www.fma.if.usp.br/~mlima/teaching/4323203_2015/Cap9.pdf. Acesso em: 20 abr.
2021.
MATRIX Trailer HD (1999). [S. l.: s. n.], 2010. 1 vídeo (2m30s). Publicado pelo canal Face
Off. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=m8e-FF8MsqU. Acesso em: 12
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MATSUSAKI, C. T. M. Modelagem de sistemas de controle distribuídos e colaborativos
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MODELAR. In: DICIONÁRIO Brasileiro da Língua Portuguesa Michaelis. Disponível em:
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OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
OLIVEIRA, A. et al. Simulação estacionária: tópicos em avaliação de desempenho de
sistemas. Centro de Informática. Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2015.
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