calculo 22 Funções de Várias Variáveis e suas Derivadas tema 2

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de funções de várias variáveis e suas derivadas.
PROPÓSITO
Identificar a função de várias variáveis a valores reais, as derivadas parciais e o gradiente da
função, além do conceito da regra da cadeia, derivadas direcionais e derivadas parciais de
ordem superior.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora
científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
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OBJETIVOS
MÓDULO 1
Empregar as funções de várias variáveis
MÓDULO 2
Aplicar a derivação parcial e o gradiente de uma função escalar
MÓDULO 3
Aplicar a regra da cadeia para funções escalares
MÓDULO 4
Aplicar a derivada direcional e a derivada parcial de ordem superior
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INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 EMPREGAR AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
INTRODUÇÃO
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Existem vários tipos de funções que são definidas dependendo do conjunto escolhido para seu
domínio e sua imagem.
Diversos fenômenos naturais, bem como diversas aplicações do nosso cotidiano fornecem,
como resultado (saída), um valor real, mas que depende de várias variáveis em suas entradas
ao invés de apenas uma.
 EXEMPLO
A temperatura em cada ponto de uma sala depende da posição desse ponto dentro dessa sala.
Assim, a função que representa o valor dessa temperatura dependerá de três variáveis que
representam a posição do ponto no espaço, isto é (x,y,z).
Dito isso, necessitamos definir uma função matemática que possua uma entrada vetorial
(várias variáveis) e forneça como resultado um valor real.
O DOMÍNIO É UM SUBCONJUNTO DE RN E A IMAGEM ESTÁ NO
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. ESTAS FUNÇÕES SÃO
DENOMINADAS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS A
VALORES REAIS, OU SIMPLESMENTE FUNÇÕES ESCALARES.
Este módulo definirá as funções escalares e suas representações gráficas.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES ESCALARES
Vamos relembra a definição do conjunto Rn, com n inteiro e n > 1:
RN = X1, X2, …,  XN  COM X1,  X2¸…,  XN REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{( ) }
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O elemento do conjunto é uma n-upla que representa um vetor com n componentes, sendo que
cada componente xj, 1 ≤ j ≤ n é um número real.
Seja uma função f cujo domínio está em subconjunto de conjunto Rn e sua imagem está em um
subconjunto do Rm, com n e m inteiros maiores ou iguais a 1. Dependendo dos valores de m e
n, teremos definidas funções de tipos diferentes.
Vejamos as possibilidades:
ETAPA 01
ETAPA 02
ETAPA 03
ETAPA 04
Quando n = 1 e m = 1, se tem uma função de uma variável real a valores reais, ou simplesmente
funções reais (f: R → R). Em outras palavras, a entrada e saída da função é um número real.
Este tipo de função é estudado no cálculo integral e diferencial com uma variável.
Por exemplo:
f(x) = 3x + 5, x ∈ R, que é uma função f:R → R
g(y) = 4 cos y + 8, y ∈ R, que é uma função g:R → R
Quando n = 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável real a valores vetoriais, ou
simplesmente funções vetoriais (f: R → Rm). Isto é, a entrada é um número real e a imagem é
um vetor.
Por exemplo:
f(t) =〈t2 + 1, cos t ,5t〉 , t ∈ R, que é uma função f: R → R3
h(u) =〈3u, 4- eu〉, u ∈ R, que é uma função h: R → R2
Quando n > 1 e m > 1, se tem uma função de uma variável vetorial a valores vetoriais, ou
simplesmente campos vetoriais (f: Rn → Rm). Ou seja, a entrada e a saída são vetores.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 〈x + y, tg x + 2〉, que é uma função f: R3 → R2
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g(u,v) = 〈3u2+ 5v, sen v + 3u, u - 2v〉, que é uma função f: R2 → R3
Por fim, quando n > 1 e m = 1, se tem a função de uma variável vetorial, ou de várias variáveis a
valores reais ou simplesmente função escalar (f: Rn → R). Isto é, a entrada é um vetor, e a saída,
um número real.
Por exemplo:
f(x, y, z) = 9xy , que é uma função f: R3 → R
h(u,v) = u2 + 3uv, que é uma função f: R2 → R
As funções escalares, que serão o objeto deste tema, contêm diversas aplicações práticas,
pois, de forma geral, os fenômenos dependem de várias variáveis. Por exemplo, o volume de
um recipiente depende do raio e da altura, ou a temperatura de uma região na terra depende da
latitude, longitude e altura.
Vamos começar por definir formalmente a função escalar.
DEFINIÇÃO
UMA FUNÇÃO ESCALAR SERÁ UMA FUNÇÃO F: S ⊂ RN → R, NA
QUAL S É UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO RN COM N INTEIRO E
N > 1.
Assim, a cada elemento x1, x2, …,  xn ∈ S será associado um único número real denotado por 
f x1, x2, …,  xn .
Portanto, a imagem da função será dada por:
IM F = F X1, X2, …,  XN ∈ R/   X1, X2, …,  XN ∈ S ⊂ R
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
{ ( ) ( ) }
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As variáveis x1, x2, …,  xn são denominadas de variáveis independentes, enquanto que a variável
y  =  (x1, x2, …,  xn é denominada de variável dependente.
 ATENÇÃO
Quando o domínio não é especificado, se considera este como o subconjunto do Rn que
permite, através da equação que define a função, se obter um número real.
EXEMPLO 1:
Determine o domínio da função escalar f(x, y) =
√x + y - 2
x - y .
SOLUÇÃO
Ao se analisar o numerador da função, verifica-se a existência de uma raiz quadrada.
Sabemos que só existe raiz quadrada de um número maior ou igual a zero:
x + y - 2 ≥ 0 → x + y ≥ 2
Outro ponto importante é que o numerador não pode ser zero:
x - y ≠ 0 → x ≠ y
Portanto, o domínio de f(x,y) será:
Dom f = (x, y)  ∈ R2 /  x + y ≥ 2 e x ≠ y
.
EXEMPLO 2:
Determine, caso seja possível, os valores de f(x, y) =
√x + y - 2
x - y para (x, y) = (4,2) e (x, y) = (3,3).
SOLUÇÃO
)
{ }
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Como calculado no exemplo anterior, o domínio da função será o conjunto S tal que
S = {(x, y)/  x + y ≥ 2 e x ≠ y}
O par ordenado (4,2) ∈ S, assim
f(x, y) =
√x + y - 2
x - y → f(4,2) =
√4 + 2 - 2
4 - 2 =
2
2 = 1
O par ordenado (3,3) não pertence a S, pois, apesar de x + y ≥ 2, o valor de x é igual a y, não
pertencendo, portanto, ao domínio da função, não sendo possível obter f(3,3).
EXEMPLO 3:
Determine o domínio da função escalar
g(x, y, z) =
3
√3x + 5 
ln ( 2x +  y + z )
y2 + 1
e calcule, caso seja possível, os valores de g(1, 0, 2) e g(1, 0, –3).
SOLUÇÃO
Uma raiz cúbica não tem restrição de domínio. Da mesma forma, o denominador y2 + 1 nunca
fornecerá um valor de zero.
Assim, a única restrição de domínio da função será a referente à função log neperiano, que só
pode ser aplicado a um número maior do que zero. Portanto, devemos ter 2x + y + z > 0
Então: Dom f = (x, y, z) ∈ R3 /  2x + y + z > 0
Quanto aos valores pedidos para a função:
A trinca ordenada (1, 0, 2) ∈ dom g, assim
g(1, 0,2) =
3√3.1 + 5 
ln ( 2.1 +  0 + 2 )
02 + 1
=
3√8 ln(4) = 2ln(4)
A trinca ordenada (1, 0, -3) não pertence ao dom g, pois, 2x + y + z = –1 < 0, não sendo possível
obter g(1, 0, –3).
{ }
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GRÁFICO, CURVAS DE NÍVEL E SUPERFÍCIE DE
NÍVEL
Vimos a representação da função através de sua equação matemática que relaciona as suas
variáveis independentes e o valor real a ser obtido no resultado da função. Neste tópico,
analisaremos a representação gráfica da função escalar.
Só será possível uma representação gráfica que permite uma visualização geométrica para
funções escalares cujo domínio está no R2 ou no R3.
Quando o domínio é um subconjunto do R2, isto é, S ⊂ R2, o elemento de entrada da função
será um vetor ou par ordenado (x, y). A função, então, será visualizada através de sua
representação gráfica no espaço através dos eixos cartesianos, considerando que z = f(x, y).
 Assim, o gráfico da função z = f(x, y) será o conjunto de todos os pontos do espaço (x, y, z) ∈
R3, tal que z = f(x, y) e (x, y) pertence ao domínio de f(x, y).
Portanto, o gráfico de f(x, y) será definido por
GF = (X, Y, Z) ∈ R
3  /   Z = F(X, Y) COM  (X, Y) ∈ S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O gráfico representará uma superfície quefica acima do conjunto que representa o domínio S
da função f(x, y).
{ }
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Fonte: Autor
 Gráfico de uma função escalar no R2.
EXEMPLO 4:
Esboce o gráfico associado à função f(x, y) = 8 - 4x - 2y.
SOLUÇÃO
O gráfico de f(x,y) será definido como
Gf = (x, y, z) ∈ R3  /   z = 8 - 4x - 2y
Repare que a equação z = 8 - 4x - 2y é uma função linear, assim representará, no espaço, um
plano.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos.
Para x = y = 0 → z = 8 – 0 – 0 = 8
Para z = 0 → 8 – 4x – 2y = 0 → 4x + 2y = 8 → 2x + y = 4, assim quando x = 0 → y = 4 e
para y = 0 → x =2.
Assim a representação será
{ }
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Fonte: Autor
A figura apresenta apenas uma parte do plano, pois ele vai tanto para cima quanto para baixo,
até o infinito.
Outra forma de visualizar as funções com domínio em um subconjunto do R2 são as curvas de
nível ou curvas de contorno, que é uma forma de representação planar para a função.
As curvas de nível são os contornos traçados no plano xy que representam todos os pontos em
que o valor de z = f(x, y) é constante, isto é,  z = f(x, y) = k, na qual k é uma constante real.
Assim, definimos uma curva de nível para cada nível k.
 EXEMPLO
Um exemplo prático das curvas de níveis são os mapas topográficos ou mapas que fornecem
temperaturas de determinada região.
EXEMPLO 5:
Esboce o gráfico das curvas de nível da função f(x, y) = 8 - 2x - 4y.
Ã
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SOLUÇÃO
Se fosse para traçar o gráfico de f(x, y), seria representado uma figura espacial, que neste caso
seria um plano cuja equação se daria por z = 8 - 2x - 4y.
Como se deseja esboçar as curvas de nível, é preciso desenhar no plano xy os pontos que
atendem a equação 8 - 2x - 4y = k, com k real.
Portanto, 2x + 4y + (k - 8) = 0, que é a equação de uma reta no plano xy.
Por exemplo:
Para k = 0 → 2x + 4y - 8 = 0 → x + 2y - 4 = 0
Para k = –2 → 2x + 4y - 10 = 0 → x + 2y - 5 = 0
Para k = 4 → 2x + 4y - 4 = 0 → x + 2y - 2 = 0
Assim, as curvas de nível do gráfico que seria um plano, serão retas paralelas.
 
Fonte: Autor
EXEMPLO 6:
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Seja a função g(x, y) = 4 - x2 - y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza G
para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a superfície
formada pelo gráfico da função g(x, y).
SOLUÇÃO
O gráfico de g(x, y) será definido como
Gf = (x, y, z) ∈ R
3  /   z = 4 - x2 - y2
Repare que g(x, y) = 4 - x2 - y2 = 4 - (x2 + y2 , como x2 + y2 ≥ 0  →  z  ≤  4.
Para esboçar no plano cartesiano, obtemos alguns pontos:
Para x = y = 0 → z = 4 – 0 – 0 = 4
Para z = 0 → 0 = 4 -x2 - y2 → x2 + y2 = 4, que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e
raio √4 = 2
Repare que se mantivermos um valor de z = k , k < 4 
k = 4 - x2 - y2 → x2 + y2 = 4 - k , que é uma circunferência de centro (x, y) = (0, 0) e raio 
√4 - k.
Esboçando a figura no plano cartesiano.
 
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
{ }
)
( )
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EXEMPLO 7:
Seja a função g(x,y) = 16 - x2 - 9y2. Sabe-se que o valor de g(x, y) determina o valor da grandeza
G para os pontos em uma placa definidos pelas coordenadas (x, y). Determine a figura formada
por todos os pontos do plano que apresentam o valor de G = 7.
SOLUÇÃO
Neste caso, o que está sendo pedido é o esboço de uma curva de nível para um nível igual a 7.
g(x, y) = 16 - x2 - 9y2 = 7
x2 + 9y2 = 16 - 7
x2 + 9y2 = 9 →
x2
9 +
y2
1 = 1
Que representa uma elipse em (x,y) = (0,0):
 
Fonte: Autor
 Paraboloide elíptico com concavidade virada para baixo.
Quando o domínio for um subconjunto do R3, isto é, S ⊂ R3, o elemento de entrada da função
será um vetor ou terna ordenado (x, y, z). O gráfico da função f(x, y, z) será o conjunto de todos
os pontos do espaço (x, y, z, w) ∈ R4, tal que w = f(x, y, z) e (x, y, z) pertence ao domínio de f(x, y,
z).
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Esse gráfico será um subconjunto do R4, portanto, não será possível a representação dele
através de uma forma geométrica. Para se ter uma visão geométrica de tal função, vamos nos
valer das superfícies de nível, que serão o conjunto de pontos do R3, ou as superfícies do
espaço xyz, tais que f(x, y, z) = k, na qual k é uma constante real. Por isso, definimos uma
superfície de nível para cada nível w = f(x, y, z) = k, k real.
EXEMPLO 8:
Determine as superfícies de nível que representam graficamente a função escalar f(x, y, z) = x2
+ y2 + z2.
SOLUÇÃO
As superfícies de nível serão definidas por f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 = k, k real.
Como x2 + y2 + z2 ≥ 0, para todo (x, y, z), então só é possível se definir níveis k ≥ 0.
Para facilitar a visualização, vamos definir k = R2 que será um número sempre maior ou igual a
zero.
Desse modo, as superfícies de níveis definidas pela equação x2 + y2 + z2 = R2, serão esferas de
centro (0, 0, 0) com raio dado por R, em que R ≥ 0.
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RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Deseja-se montar um mapa topográfico que representa a altura de um monte de 900 m. O topo
do monte é considerado o ponto central do mapa. Cada ponto será marcado pela distância (x,
y) determinada pela distância a dois eixos cartesianos que passam no ponto central.
O monte será aproximado por uma forma parabólica com concavidade para baixo com altura,
medida em metro, dada por uma equação h (x, y) = H – 2x2 - 3y2, com x e y também medidos
em metros. Esboce o mapa topográfico através das curvas de níveis.
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
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MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA UMA FUNÇÃO ESCALAR COM
DOMÍNIO NO R3.
A) h(u, v) = 〈3uv, lnu,   v2〉
B) f(t) = 4 + tg t
C) m(r, s, t) = 8rt2
D) p(r) = 〈3r, cos(r), r + 2〉
E) g(u, v) = u cos(2v)
2. DETERMINE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O DOMÍNIO DA FUNÇÃO 
G(X, Y, Z) =
3√Z - 3 LN ( 4 - Y )
1 - X2
A) Dom g = x, y, z ∈ R3 /  x ≠ 1,  x ≠ - 1,  y < 4  e z ≥ 3
B) Dom g = (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 1,  y < 4  e z > 3
C) Dom g = x, y, z ∈ R3 /  x ≠ - 1 e y < 4
D) Dom g = x, y, z ∈ R3 /  x = 1 ,  y ≤ 4  e z ≥ 3
E) Dom g = (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 1,  x ≠ - 1,  y ≤ 4  e z > 3
3. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A FUNÇÃO REAL A
VALORES VETORIAIS 
H(U, W) =
4E2U
W - 3 +
COS ( W )
√2 - U
{( ) }
{ }
{( ) }
{( ) }
{ }
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A) h(2, π) =
4e4
π - 3
B) h(-2,0) =
4e4
3 -
1
2
C) h(6,0) = -
4e12
3 -
1
2
D) h(-2, π) =
4e - 4
π - 3 -
1
2
E) h(2,3) =
cos ( 3 )
2
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A EQUAÇÃO DAS CURVAS DE
NÍVEL K PARA A FUNÇÃO ESCALAR F(X, Y) =
Y
X - 2 . CONSIDERE K REAL COMO
SENDO O NÍVEL DESEJADO EM CADA CONTORNO, COM K > 0.
A) Conjunto de retas com equações x = 2k
B) Conjunto de circunferências com equações x2 + y2 = k, exceto o ponto (0,k)
C) Conjunto de retas com equações kx - y - 2k = 0, exceto o ponto (2,0)
D) Conjunto de parábolas de equações y = kx2 - 4k + 1, exceto ponto (2,1)
E) Conjunto de retas com equações x + ky + 3 = 0
5. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y, Z) = X + 4Y + 8Z, DESCREVA AS SUPERFÍCIES DE
NÍVEL QUE REPRESENTAM A QUESTÃO.
A) Um conjunto de esferas centrada na origem
B) Um conjunto de planos
C) Um conjunto de elipsoides
D) Um conjunto vazio
E) Um conjunto de hiperboloides
6. MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM RELAÇÃO A FUNÇÃOProcessing math: 91%
F(X, Y) = √16 - X2 - Y2
A) A função é uma função escalar.
B) O esboço do domínio da função no plano xy é um círculo centrado na origem com raio 4.
C) A imagem da função é f(x, y) > 0.
D) O esboço das curvas de nível são circunferências no plano xy com centro na origem e raio 
√16 - k2, 0 ≤ k ≤ 4, sendo k o nível desejado.
E) O gráfico da função será uma semiesfera de raio 4.
GABARITO
1. Marque a alternativa que representa uma função escalar com domínio no R3.
A alternativa "C " está correta.
A função h(u,v) da alternativa A  é um campo vetorial, com entrada e saída vetoriais.
A função f(t) da alternativa B é uma função real, com entrada e saída reais.A função p(r) da alternativa D é uma função vetorial, com entrada real e saída vetorial.
As funções m(r,s,t) e g(u,v) são funções escalares, porém a função g(u,v) tem domínio no R2 e a
função m(r,s,t), que é a reposta correta, tem domínio no R3.
2. Determine a alternativa que apresenta o domínio da função 
g(x, y, z) =
3√z - 3 ln ( 4 - y )
1 - x2
A alternativa "A " está correta.
Analisando o denominador da equação, ele deve ser diferente de zero:
1 - x2 ≠ 0 → x2 ≠ 1 → x ≠ 1 ou x ≠ - 1
Quanto à parcela √z - 3, o número dentro de uma raiz quadrática deve ser maior ou igual a zero:
z - 3 ≥ 0 → z ≥ 3
Por fim, a parcela relacionada ao log neperiano só é possível se o argumento for maior do que
zero:
4 - y > 0 → y < 4
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Então, o domínio de g(x,y,z) será
Dom g = x, y, z ∈ R3 /  x ≠ 1,  x ≠ - 1,  y < 4  e z ≥ 3
3. Marque a alternativa verdadeira relacionada a função real a valores vetoriais 
h(u, w) =
4e2u
w - 3 +
cos ( w )
√2 - u
A alternativa "D " está correta.
Vamos, inicialmente, determinar o domínio. Analisando o denominador da primeira parcela
sendo diferente de zero, assim
w - 3 ≠ 0 → w ≠ 3
Quanto ao numerador da primeira parcela (4 e2u) e o da segunda parcela (cos(w)), não existe
nenhuma restrição para o domínio, pois eles podem ser calculados para qualquer valor real.
O denominador da segunda parcela é uma raiz quadrática, além disso, não pode ser zero por
estar no denominador:
2 - u > 0 → u < 2
Logo, o domínio de h(u, w) será
Dom h = u, w ∈ R2 /  w ≠ 3  e u < 2
Na alternativa A, é impossível calcular h(2, π), pois o par ordenado (2, π) não atende a condição
do domínio de u < 2.
Na alternativa B, apenas é possível calcular h(-2, 0), pois (-2, 0) faz parte do domínio da função,
o valor correto é h(-2,0) = -
4e - 4
3 +
1
2
Na alternativa C, é impossível calcular h(6, 0), pois o par ordenado (6, 0) não atende a condição
do domínio de u < 2.
Na alternativa E, é impossível calcular h(2, 3), pois o par ordenado (2, 3) não atende a condição
do domínio de w ≠ 3.
Portanto, a alternativa correta é a letra D, pois (-2, π) faz parte do domínio e vale
h(-2, π) =
4e - 4
π - 3 -
1
2
4. Marque a alternativa que apresenta a equação das curvas de nível k para a função escalar 
f(x, y) =
y
x - 2 . Considere k real como sendo o nível desejado em cada contorno, com k > 0.
A alternativa "C " está correta.
{( ) }
{( ) }
Processing math: 91%
f(x, y) =
y
x - 2 = k ,  x ≠ 2 → k x - 2 = y
kx - 2k = y → kx - y - 2k = 0,  com x  ≠ 2
Para x = 2 → y = 0, assim a equação será 
kx - y - 2k = 0
(x, y) ≠ (2,0)
Esta equação representa uma reta no plano, com exceção do ponto (2,0). Sendo a alternativa
correta a letra C.
5. Seja a função g(x, y, z) = x + 4y + 8z, descreva as superfícies de nível que representam a
questão.
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
6. Marque a alternativa falsa em relação a função
f(x, y) = √16 - x2 - y2
A alternativa "C " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
( )
{
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GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA, RESPECTIVAMENTE, O
DOMÍNIO DA FUNÇÃO H(X, Y, Z) =
√2 - Z LN Y - 1
2X - 6 E O VALOR DE H(4, 3, 0).
A) Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2 e h(4,3, 0) =
ln2
4
B) Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 2,   y < 1 e z > 2 e h(4,3, 0) =
√2 ln2
2
C) Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2 e h(4,3, 0) =
√2 ln2
2
D) Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 6,   y ≥ 1 e z < 2 e h(4,3, 0) =
√2 ln6
2
E) Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ - 3,   y > 0 e z ≤ 2 e h(4,3, 0) =
√2 ln2
4
2. SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) =
5X
Y + 5 . MARQUE A ALTERNATIVA FALSA EM
RELAÇÃO A FUNÇÃO F(X,Y).
A) O domínio da função é
Dom f : x, y ∈ R2 /  y ≠ - 5
A)
B) As curvas de nível da função f(x, y) representam um conjunto de retas com equações 5x - ky
- 5k = 0, na qual k é o nível desejado, com exceção do ponto (0, -5).
C) O valor de f(1,5) =
1
2
( )
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{( }
Processing math: 91%
D) O gráfico da função f(x, y) é composto por pontos (x, y, z) que formam um plano de equação
5x - y - z - 5 = 0.
E) A função f(x, y) é uma função escalar.
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta, respectivamente, o domínio da função 
h(x, y, z) =
√2 - z ln y - 1
2x - 6 e o valor de h(4, 3, 0).
A alternativa "C " está correta.
 
Analisando o denominador da função, verifica-se que 2x - 6 ≠ 0 → x ≠ 3
A parcela do numerador referente a log neperiano ln(y - 1) : y - 1 > 0 → y > 1
A parcela do numerador referente a raiz quadrada √2 - z   :  2 - z ≥ 0  →  z  ≤  2
Dessa forma, o domínio será Dom h : (x, y, z) ∈ R3 /  x ≠ 3,   y > 1 e z ≤ 2
Calculando h(4,3, 0) =
√2 - 0 ln ( 3 - 1 )
2.4 - 6 =
√2 ln2
2
2. Seja a função f(x, y) =
5x
y + 5 . Marque a alternativa falsa em relação a função f(x,y).
A alternativa "D " está correta.
 
Analisando as alternativas:
a) Para definir o domínio da função, verifica-se que a única restrição é que o denominador não
pode ser zero, assim y + 5 ≠ 0 → y ≠ -5, 
Dom f : x, y ∈ R2 /  y ≠ - 5 , estando a alternativa A correta.
e) A entrada da função é um vetor e a saída um número real, assim a alternativa E está correta.
c) O valor de f(1,5) =
5.1
5 + 5 =
1
2 , estando correta a alternativa C.
b) As equações das curvas de nível serão obtidas por 
5x
y + 5 = k  →  5x  =  ky  +  5k 
Logo, as equações serão 5x - ky - 5k = 0 , que representa um conjunto de retas. Mas y ≠ -5,
assim 5x ≠ k(-5) + 5k → x ≠ 0. Portanto, o ponto (0, –5) não pertence a estas retas. Alternativa B
está correta.
( )
{ }
{( }
Processing math: 91%
d) Por fim, o esboço do gráfico que são os pontos (x, y, z) do R3, tais que
5x
y + 5 = z → 5x - yz - 5z = 0, que não representa um plano.
Assim, a alternativa que contém uma afirmativa falsa é a D.
MÓDULO 2
 APLICAR A DERIVAÇÃO PARCIAL E O GRADIENTE DE UMA
FUNÇÃO ESCALAR
INTRODUÇÃO
A operação matemática da derivação pode também ser definida para as funções escalares,
porém de uma forma um pouco diferente do que no caso das funções reais.
Como a função escalar depende de várias variáveis, devemos obter uma operação que
determina a variação da função em relação a uma variável, mantendo as demais constantes.
Esta operação será denominada de derivação parcial
PODEMOS OBTER UMA DERIVADA PARCIAL PARA CADA
VARIÁVEL INDEPENDENTE, ASSIM CONSEGUIMOS DEFINIR UM
VETOR QUE APRESENTA COMO COMPONENTES ESTAS
DERIVADAS PARCIAIS. TAL VETOR É DENOMINADO DE
GRADIENTE DA FUNÇÃO ESCALAR E APRESENTA APLICAÇÕES
PRÁTICAS IMPORTANTES NA OBTENÇÃO DAS TAXAS DE
VARIAÇÃO DA FUNÇÃO PARA QUALQUER DIREÇÃO.
Neste módulo estudaremos as derivadas parciais e o vetor gradiente.
DERIVADAS PARCIAIS
Processing math: 91%
Quando estudamos a função real, definimos a operação da derivação que representava a taxa
de variação da função em relação a sua variável independente. Isto é, como a função variava
em relação a sua variável de entrada em determinado ponto do seu domínio.
No caso de a função escalar, a entrada é composta por várias variáveis. Ao se tentar descobrir
como uma função varia em relação a uma das variáveis, devemos isolar o efeito das demais
variáveis. Este isolamento é obtido mantendo as demais variáveis constantes.
 EXEMPLO
Imaginemos o volume de um cone que depende de seu raio e de sua altura. Para se obter a
taxa de variação desse volume ao se alterar o raio do cone, devemos manter o valor da altura
constante e observar como o volume se altera ao se alterar o raio. Esta operação será
denominada de derivada parcial. O nome parcial vem do fato que se está analisando a taxa de
variação de apenas uma das variáveis.
Vamos iniciar a definição pelo caso mais simples, ou seja, para uma função com domínio no
R2, ou z = f (x, y).
Seja (x0, y0) um ponto de o domínio da função escalar f. Se fixarmos o valor y0, podemos definir
uma função que depende de apenas uma variável, dada por
h x   =  f  x,  y0
A função h(x) será uma função real, pois dependeapenas de uma variável, e a derivada de h(x)
no ponto x0 será dada por
h ' x0 = lim
x→ x0
h ( x ) - h x0
x - x0
Esta derivada representa como a função h(x) varia em relação a variável x, no ponto x0.
Substituindo a função h(x) pela função escalar f(x,y0)
h ' x0 = lim
x→ x0
f x , y0 - f x0 , y0
x - x0
que representará como a função f(x, y) irá variar em relação a variação de x, com y constante e
igual a y0, no ponto (x0, y0). Esta função será denominada de derivada parcial de f em relação a
variável x, representada por
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
Processing math: 91%
∂ f
∂ x x0, y0 = h
' x0 = lim
x→ x0
f x , y0 - f x0 , y0
x - x0
Se considerarmos que Δx = x - x0 podemos obter uma outra definição equivalente:
∂ f
∂ x x0, y0 = lim
Δx→0
f x0 + Δx , y0 - f x0 , y0
Δx
Seja D o subconjunto de S, formado por todos os pontos (x, y), tais que 
∂ f
∂ x existe. Assim,
definirmos uma função indicada por 
∂ f
∂ x x, y , definida em D ⊂ S ⊂ R
2, tal que:
∂ f
∂ x (x, y) = limΔx→0
f ( x + Δx , y ) - f ( x , y )
Δx
ESTA FUNÇÃO SERÁ DENOMINADA DE DERIVADA PARCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM DE F, EM RELAÇÃO A X, OU SIMPLESMENTE
DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X.
De forma análoga, podemos definir
∂ f
∂ y (x, y) = limΔy→0
f ( x , y + Δy ) - f ( x , y )
Δy
que é a derivada parcial de f em relação a y.
Outras notações utilizadas:
∂ f
∂ x (x, y) = fx(x, y) = D1f(x, y)
∂ f
∂ y (x, y) = fy x, y = D2f x, y
Resumindo:
A função fx(x, y) obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no
ponto (x0, y0), em relação apenas a variável x, mantendo y constante e igual a y0
A função fy(x, y) obtida em um ponto (x0, y0), representa a taxa de variação de f(x,y), no
ponto (x0, y0), em relação apenas a variável y, mantendo x constante e igual a x0
Podemos agora extrapolar para o caso de a função escalar definida no R3
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
Processing math: 91%
∂ f
∂ x (x, y, z) = fx(x, y, z) = D1f(x, y, z) = limΔx→0
f ( x + Δx , y , z ) - f ( x , y , z )
Δx
∂ f
∂ y (x, y, z) = fy(x, y, z) = D2f(x, y, z) = lim
Δy→0
f ( x , y + Δy , z ) - f ( x , y , z )
Δy
∂ f
∂ z (x, y, z) = fz(x, y, z) = D3f(x, y, z) = limΔz→0
f ( x , y , z + Δz ) - f ( x , y , z )
Δz
IMAGINEMOS O CASO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR QUE
REPRESENTA O VALOR DO VOLUME DE UMA CAIXA RETANGULAR.
DESSA FORMA, O VALOR DA FUNÇÃO DEPENDERÁ DE TRÊS
VARIÁVEIS (L, C, A), COM L, C E A NÚMEROS REAIS QUE
REPRESENTAM A LARGURA, O COMPRIMENTO E A ALTURA DA
CAIXA. ASSIM, V(L, C, A). DESEJAMOS OBTER COMO O VOLUME
DA CAIXA IRÁ VARIAR COM A VARIAÇÃO DE UMA DE SUAS
DIMENSÕES, OU SEJA, QUAL SERIA A TAXA DE VARIAÇÃO DE V
EM FUNÇÃO, POR EXEMPLO DE L.
Assim, necessitamos usar a derivada parcial da função em relação a variável L,
∂ V
∂ L (L, C, A) = limh→0
V ( L + h , C , A ) - f ( L , C , A )
h
que será semelhante a derivada de uma função real, pois dependerá da variação de apenas
uma variável, neste caso L, mantendo todas as demais constantes (C e A).
Para o caso geral da função com domínio em S ⊂ Rn. Seja f(x1,x2, ..., xn ), a derivada parcial de f
em relação a variável xj será definida por
∂ f
∂ xj
x1, x2, …,  xn = lim
h→0
f x1 , x2 , … , xj + h ,   … ,  xn - f x1 , x2 , … xj , … ,  xn
h
representando a variação de f em relação a xj, mantendo as n – 1 variáveis constantes.
Podemos também usar as notações
Djf x1, x2, …,  xn = fj x1, x2, …,  xn
 ATENÇÃO
( )
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 91%
A notação 
df
dx é usada para derivar a função real f em relação a x, quando a função depender
apenas da variável x.
A notação 
∂ f
∂ x é usada para derivar parcialmente a função escalar f em relação a x, quando a
função depender de outras variáveis, além da variável x.
Na prática, as derivadas parciais não serão obtidas pelo limite, e sim, por fórmulas e regras de
derivação. Como consideraremos a função dependendo de apenas uma variável, pois todas as
demais permaneceram como constantes, então pode ser utilizada as mesmas propriedades e
regras que utilizamos no caso da função real.
REGRA PARA OBTER A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A
VARIÁVEL XJ
1) CONSIDERE TODAS AS OUTRAS VARIÁVEIS, QUE NÃO SEJAM
XJ, COMO CONSTANTES.
2) USE AS REGRAS DE DERIVAÇÃO DA FUNÇÃO REAL PARA
ACHAR A DERIVADA DE F EM RELAÇÃO A XJ.
Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 1
Determine as derivadas parciais da função f(x, y) = 2xy + 3x2 y3 + 5y - 3x e obtenha seus
valores no ponto (2, 1).
SOLUÇÃO
Vamos obter fx(x, y), considerando y como uma constante e aplicando as regras de derivação
em relação a x.
O primeiro termo 2xy será observado como kx, assim (2yx)' = 2y(x)' = 2y.
O termo 3x2 y3 será observado como kx2, assim (3y3 x2 )' = 3y3 (x2 )' = 3y3 . 2x = 6xy3.
O termo 5y será observado apenas como uma constante, independente de x, assim (5y)' = 0.
Por fim, (-3x)' = -3.
Então, fx (x, y) = 2y + 6xy3 -3 e fx (2, 1) = 2 . 1 + 6 . 2 . 13 -3 = 11
Processing math: 91%
Vamos obter fy(x, y), considerando x como uma constante e aplicando as regras de derivação
em relação a y.
O primeiro termo 2xy será observado como ky, assim (2xy)' = 2x(y)' = 2x.
O termo 3x2 y3 será observado como ky3, assim (3x2 (y3)' = 3x2 (y3 )' = 3x2 3y2 = 9x2 y2.
O termo (-3x) será observado apenas como uma constante, independente de y, assim (-3x)' = 0
Por fim, (5y)' = 5.
Logo, fy (x, y) = 2x + 9x2 y2 + 5 e fy (2, 1) = 2 . 2 + 9 . 22 12 + 5 = 45
EXEMPLO 2
Deseja obter a taxa de variação da função  h(x, y, z, w) = 2yz lnx + 3xew
2
+  zw2y3, em relação a
variável w, no ponto (x, y, z, w)=(1, 1, 1, 1).
SOLUÇÃO
O que está se pedindo é a derivada parcial da função h em relação a variável w.
Assim se mantém na função h todas as demais variáveis (x, y, z) como constantes e aplica as
regras de derivação em relação a variável w.
O termo 2yz lnx será observado como uma constante, pois independe de w, então 
(2yz lnx) ' = 0.
 
O termo 3xew
2
 será observado como kew
2
, assim 3xew
2 '
=  3x  ew
2 '
= 3x 2wew
2
= 6xwew
2
.
 
Por fim, o termo zw2y3, será observado como kw2, assim 
zy3w2
'
= zy3 w2 ' = zy32w = 2zy3w.
 
Então, fw(x, y, z, w) = 6xwe
w2 + 2zy3w e fw(1,1, 1,1) = 6.1. 1e
1 + 2.1. 1.1 = 2 + 6e
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 91%
GRADIENTE DE UMA FUNÇÃO ESCALAR
Seja uma função de várias variáveis a valores reais, com domínio em S⊂ R2, e que admite as
derivadas parciais, em um ponto (x0,y0), para todas as suas duas variáveis independentes (x e
y).
Define o vetor gradiente da função f como
∇F X0, Y0 =
∂ F
∂ X X0, Y0 ,
∂ F
∂ Y X0, Y0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A outra notação para o vetor gradiente será grad f.
Observe que só existe gradiente de uma função escalar e o resultado é um vetor cujas
componentes são as derivadas parciais de cada uma das variáveis independentes.
Portanto, 
∇ f x0, y0 =
∂ f
∂ x x0, y0 x̂ +
∂ f
∂ y x0, y0 ŷ
EXEMPLO 3
Obtenha o vetor gradiente para a função f(x, y) = 3x2y, no ponto (x, y) = (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais
∂ f
∂ x =
∂
∂ x 3yx
2 = 3y
∂
∂ x x
2 = 3y 2x = 6xy
∂ f
∂ y =
∂
∂ y 3x
2y = 3x2
∂
∂ y (y) = 3x
2
Logo,
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
Processing math: 91%
∇ f(x, y) = 6xy, 3x2 e ∇ f(1,2) = 6.1. 2,3. 12   = 12, 3 =  12
^
𝑥  +  3
^
𝑦
O vetor gradiente da função escalar pode ser definido, de forma análoga, para quando o
domínio for S ⊂ Rn. Assim:
∇ f x1, x2, …,  xn =
∂ f
∂ x1 x1, x2, …,  xn , …,  
∂ f
∂ xj x1, x2, …,  xn , …,   
∂ f
∂ xn x1, x2, …,  xn
O vetor gradiente tem uma interpretação geométrica. Ele apontará para direção e sentido no
qual a função f terá a sua maior variação, em relação a suas variáveis independentes, no
ponto analisado.
Por exemplo, obtivemos que no ponto (1, 2) a função f(x, y) = 3x2y tem um vetor gradiente 
∇ f  = 12,  3 =  12x̂   +  3ŷ . Vamos supor que esta função f(x, y) represente a temperatura,
em um ponto (x,y), de uma placa plana. Assim, se estivermos no ponto de coordenada (x,y) =
(1,2) e desejarmos saber para que direção/sentidoteremos a maior variação de temperatura
ao variar a posição, ela será dada pela direção/sentido definida pelo vetor ∇ f  =  12x̂   +  3ŷ .
EXEMPLO 4
Obtenha o versor que representa a direção e o sentido da maior variação da função f(x, y, z) =
x2 + y2 + z2 no ponto (1, 1, 1)
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de f(x, y, z):
∂ f
∂ x = 2x,  
∂ f
∂ y = 2y e 
∂ f
∂ z = 2z
Assim, o vetor gradiente será ∇ f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z)
No ponto (1, 1, 1), se tem ∇f(1, 1, 1)=(2, 2, 2)
Portanto, o vetor (2,2, 2) = 2x̂ + 2ŷ + 2ẑ representa a direção de maior variação da função no
ponto (1, 1, 1).
Como foi pedido o versor, isto é, o vetor unitário, devemos dividir pelo seu módulo
∇ f(1,1, 1) = 2,2, 2 → |∇ f| = √22 + 22 + 22 = √12 = 2√3
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ))
( )
( )
Processing math: 91%
Portanto, o versor será
∇ f
| ∇ f | =
1
2√3
(2,2, 2) =
1
√3
,
1
√3
,
1
√3
=
√3
3 ,
√3
3 ,
√3
3
Quanto a amplitude do vetor ∇f, ele representará a maior taxa de variação da função em
relação à variação de suas variáveis. No exemplo anterior, a função terá uma variação de 2√3
unidades quando ocorre uma variação Δ s = Δ xx̂ + Δ yŷ + Δ zẑ de módulo unitário, na
direção do vetor 
√3
3 ,
√3
3 ,
√3
3 .
Por fim, uma última característica do vetor gradiente de uma função, é o fato de ser sempre
normal às curvas de nível da função, ou seja, às curvas ou superfícies de nível da função.
EXEMPLO 5
Determine a reta tangente a curva de nível da função f(x, y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 2).
SOLUÇÃO
Obtendo o gradiente da função:
∂ f
∂ x = 4x e 
∂ f
∂ y = 2y, então ∇ f(x, y) = (4x, 2y)
No ponto (1, 2): ∇f(1, 2) = (4, 4), que é um vetor normal à curva de nível no ponto (1, 2), sendo,
portanto, um vetor normal à reta tangente neste ponto.
Por isso, para se obter a equação da reta tangente, seguindo conceitos de geometria analítica:
(x, y) - x0 - y0 .
→nr = 0 → (x, y) - x0, y0 . ∇ f x0, y0 = 0
 
Portanto
[(x, y) - (1,2)]. ∇ f(1,2) = 0 → (x - 1, y - 2). (4,4) = 0
4(x - 1) + 4(y - 2) = 0 → 4x + 4y - 12 = 0 → x + y - 3 = 0
Então, a reta x + y - 3 = 0 e tangente à curva de nível da função f(x,y) = 2x2 + y2 no ponto (1, 2).
( ) ( )
( )
[ ( )] [ ( )] ( )
Processing math: 91%
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
As derivadas parciais de uma função escalar podem ser utilizadas para se determinar a
equação de um plano tangente ao gráfico de uma função z = f(x, y) em um ponto (x0, y0) e com
ele realizar uma aproximação linear para a função. A equação do plano tangente ao gráfico no
ponto (x0, y0, f(x0,y0) será dada por:
Processing math: 91%
z - f x0, y0 = fx x0, y0 x - x0 + fy x0, y0 y - y0 .
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = x2 + 2y2 + 1 no ponto (1,
1) e verifique através de uma aproximação linear, a partir deste ponto, o valor de 
f 1 +
1
100 , 1 +
1
100
RESOLUÇÃO
VEJA A SOLUÇÃO DA QUESTÃO NO VÍDEO A SEGUIR:
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) = 2KCOS(X)LN (Y + E), COM K REAL. DETERMINE O
VALOR DE K SABENDO QUE A DERIVADA PARCIAL DE F EM RELAÇÃO A X
VALE – 8 NO PONTO (X, Y) =
Π
2 , 0
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
Processing math: 91%
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VETOR GRADIENTE DA
FUNÇÃO ESCALAR G(X, Y) = XY2 E
2XY
 PARA O PONTO (X, Y) = (1, 1)
A) e2(3, 0)
B) e2(3, 4)
C) e2(1, 1)
D) e2(2, 2)
E) e2(2, 1)
3. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DE 
G(X, Y) = √2 - XY + 2Y2 + 3X
EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X E EM RELAÇÃO A VARIÁVEL Y,
RESPECTIVAMENTE, NO PONTO (X, Y) = (1, 1).
A) 
√6
6 e 
√6
4
B) 
√5
4 e 
√5
4
C) 
√6
3 e 
√6
3
D) 
√5
6 e 
√5
5
E) 
√6
3 e 
√6
4
4. DETERMINE O MÓDULO DO VETOR GRADIENTE A FUNÇÃO 
F(X, Y, Z) = 3XYZ - X2 + 2Y3 + 3Z2
 
NO PONTO (1, 0, 2).
A) √23Processing math: 91%
B) √46
C) 3√23
D) 2√46
E) √73
5. SEJA A FUNÇÃO H(X, Y, Z) = 2Z ARCTG
Y
X . MARQUE A ALTERNATIVA QUE
APRESENTA UM VETOR QUE POSSUA A DIREÇÃO DA MAIOR TAXA DE
VARIAÇÃO DA FUNÇÃO H(X, Y, Z) NO PONTO (1, 1, 2).
A) (2, 2,  2π)
B) (4,  - 4, - π)
C) (-1, 1,  π)
D) (0,  2,   - π)
E) (4, 0,  π)
6. SEJA A FUNÇÃO G(X, Y) = √X - TY, COM T REAL DIFERENTE DE ZERO. A
RETA X - 2Y + 4 = 0 É TANGENTE A CURVA DE NÍVEL DE G(X, Y) NO PONTO (0,
–2). DETERMINE O VALOR DE T
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
GABARITO
( )
Processing math: 91%
1. Seja a função f(x, y) = 2kcos(x)ln (y + e), com k real. Determine o valor de k sabendo que a
derivada parcial de f em relação a x vale – 8 no ponto (x, y) =
π
2 , 0
A alternativa "C " está correta.
f(x, y) = 2kcos(x)ln (y + e)
Ao se derivar parcialmente em relação a variável x, a variável y permanecerá constante, assim
é como se derivasse a função t cos(2x), com t sendo uma constante igual a (k ln(y+e)).
Vamos relembrar que a derivada da função
h(u) = cos(u) → h '(u) = - sen u u'
Portanto,
fx(x, y) = t(cos(x))
' = t – 1  sen  x   =   -  t sen  x   =   - 2k ln y + e  sen x
 
Mas,
fx
π
2 , 0 = - 8 = - 2kln 0 + e sen
π
2 = - 2k. 1.1 = - 2k → k = 4
2. Marque a alternativa que apresenta o vetor gradiente da função escalar g(x, y) = xy2 e2xy
para o ponto (x, y) = (1, 1)
A alternativa "B " está correta.
g(x, y) = xy2 e
2xy
O vetor gradiente será ∇g =
∂ g
∂ x ,
∂ g
∂ y
Vamos relembrar que:
Se h = keu → h ' = ku'eu
Se g = uv → g ' = u 'v + uv'
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
∂ g
∂ x x, y = y
2x
'
 e2xy +  xy2  e2yx
'
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Processing math: 91%
∂ g
∂ x (x, y) = y
2 e2xy +  xy22y e2yx = y2 e2xy +  2xy3 e2yx = y2 + 2xy3  e2xy
∂ g
∂ x (x, y) = y
2 1 + 2xy  e2xy
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
∂ g
∂ y x, y = xy
2 ' e2xy +  xy2  e2xy '
∂ g
∂ y (x, y) = 2xy e
2xy +  xy22x e2yx = 2xy e2xy +  2x2y2 e2yx = 2xy + 2x2y2  e2xy
∂ g
∂ y (x, y) = 2xy 1 + xy  e
2xy
O vetor gradiente será
∇g x, y = y2 1 + 2xy  e2xy, 2xy 1 + xy  e2xy
∇g(1,1) = 1. (1 + 2.1. 1) e2.1 . 1, 2.1. 1. (1 + 1.1) e2.1 . 1 = 3e2, 4e2 = e2(3,4)
3. Determine a derivada parcial de 
g(x, y) = √2 - xy + 2y2 + 3x
em relação a variável x e em relação a variável y, respectivamente, no ponto (x, y) = (1, 1).
A alternativa "A " está correta.
g(x, y) = √2 - xy + 2y2 + 3x
Vamos relembrar que a derivada da função
h(u) = √u → h '(u) =
1
2√u
u'
Para se achar a derivada parcial em relação a variável x, mantém-se a variável y constante.
Neste caso, se
u = 2 - xy + 2y2 + 3x → u ' =
du
dx = 0 - y + 3 = 3 - y
Assim,
gx(x, y) =
3 - y
2√2 - xy + 2y2 + 3x
→ gx(1,1) =
3 - 1
2√2 - 1.1 + 21 + 3.1
=
2
2√6
=
√6
6
Para se achar a derivada parcial em relação a variável y, mantém-se a variável x constante
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( )
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Neste caso, se
u = 2 - xy + 2y2 + 3x → u ' = u ' =
du
dy = 0 - x + 4y + 0 = 4y - x
Assim,
gy(x, y) =
4y - x
2√2 - xy + 2y2 + 3x
→ gy(1,1) =
4.1 - 1
2√2 - 1.1 + 21 + 3.1
=
3
2√6
=
3√6
12 =
√6
4
4. Determine o módulo do vetor gradiente a função 
f(x, y, z) = 3xyz - x2 + 2y3 + 3z2
 
no ponto (1, 0, 2).
A alternativa "D " está correta.
f(x, y, z) = 3xyz - x2 + 2y3 + 3z2
O vetor gradiente será
∇ f =
∂ f
∂ x ,
∂ f
∂ y ,
∂ f
∂ z
Determinando a derivada parcial de f em relação a x, mantendo y e z constantes
∂ f
∂ x = 3yz - 2x
Determinando a derivada parcial de f em relação a y, mantendo x e z constantes
∂ f
∂ y = 3xz + 6y
2
Determinando a derivada parcial de f em relação a z, mantendo x e y constantes
∂ f
∂ z = 3xy + 6z
Portanto,
∇ f x, y, z = 3yz - 2x, 3xz + 6y2, 3xy + 6z 
No ponto,
(x, y, z) = (1, 0, 2) →  ∇ f(1, 0, 2) = (3. 0. 2 - 2. 1, 3. 1. 2 + 6. 0, 3. 1. 0 + 6. 2 ) = ( - 2, 6, 12)
Então,
|∇ f| = √(-2)2 + (6)2 + (12)2 = √4 + 36 + 144 = √184 = 2√46
( )
( ) ( )
Processing math: 91%
5. Seja a função h(x, y, z) = 2z arctg
y
x . Marque a alternativa que apresenta um vetor que
possua a direção da maior taxa de variação da função h(x, y, z) no ponto (1, 1, 2).
A alternativa "B " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo aseguir:
6. Seja a função g(x, y) = √x - ty, com t real diferente de zero. A reta x - 2y + 4 = 0 é tangente a
curva de nível de g(x, y) no ponto (0, –2). Determine o valor de t
A alternativa "A " está correta.
Veja a solução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
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1. DETERMINE A DERIVADA PARCIAL DA FUNÇÃO F(X, Y, Z) = XY2Z + 2Z TG
X
Y ,
EM RELAÇÃO A VARIÁVEL X, NO PONTO (0, 1, 1)
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O GRADIENTE DA FUNÇÃO 
G(X, Y) = 3X COS(Y + 2)
A) ∇g(x, y) = (3sen(y + 2), 3x cos(y + 2))
B) ∇g(x, y) = (3 + cos(y + 2), 3x + sen(y + 2))
C) ∇g(x, y) = (3cos(y + 2), - 3xsen(y + 2))
D) ∇g(x, y) = (cos(y + 2), sen(y + 2))
E) ∇g(x, y) = (3x cos(y + 2), 3x cos(y + 2))
GABARITO
1. Determine a derivada parcial da função f(x, y, z) = xy2z + 2z tg
x
y , em relação a variável x, no
ponto (0, 1, 1)
A alternativa "D " está correta.
 
f(x, y, z) = xy2z + 2z tg
x
y
Para se obter a derivada parcial de f em relação a x, se deriva em relação a variável x,
mantendo as variáveis y e z constantes.
Lembre-se de que se
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h u = tg u → h ' u = sec2u u'
Se
f(x, y, z) = xy2z + 2z tg
x
y = (y
2z x + 2z tg
1
y x
Então
∂ f
∂ x (x, y, z) = y
2z + 2z sec2
x
y .
1
y = y
2z + 2
z
y  sec
2 x
y
No ponto
(x, y, z) = (0,1, 1) →  
∂ f
∂ x (0,1, 1) = 1
21 + 2
1
1  sec
2 0
1 = 1 + 2sec
2(0) = 1 + 2 = 3
Assim, a alternativa correta é a da letra D.
2. Marque a alternativa que apresenta o gradiente da função g(x, y) = 3x cos(y + 2)
A alternativa "C " está correta.
 
g(x, y) = 3x cos(y + 2)
O vetor gradiente será
∇g =
∂ g
∂ x ,
∂ g
∂ y
Determinando a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante
∂ g
∂ x = 3cos(y + 2)(x)
' = 3cos y + 2
Determinando a derivada parcial de g em relação a y, mantendo x constante
∂ g
∂ y = 3x(cos(y + 2))
' = 3x (-1)sen(y + 2) = - 3xsen y + 2
Portanto,
∇g(x, y) = (3cos(y + 2), - 3xsen(y + 2))
Assim, a alternativa correta é a letra C.
( ) ( ) ( )
) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
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MÓDULO 3
 APLICAR A REGRA DA CADEIA PARA FUNÇÕES ESCALARES
INTRODUÇÃO
Seja uma função escalar. Suponha que se conheça a dependência desta função em relação a
um conjunto de variáveis, denominadas de intermediárias, que por sinal, depende de outro
conjunto que são denominados de variáveis independentes.
A REGRA DA CADEIA PODE SER USADA PARA SE OBTER AS
DERIVADAS DA FUNÇÃO ESCALAR EM RELAÇÃO AS VARIÁVEIS
INDEPENDENTES, MESMO NÃO SE OBTENDO A FUNÇÃO QUE
EXPLICITA DIRETAMENTE ESTA RELAÇÃO.
Estudaremos, neste módulo, três teoremas que definem esta regra da cadeia para serem
aplicadas em funções escalares.
REGRA DA CADEIA
Para o caso de uma função real, ou melhor, que dependa de apenas uma variável, a regra da
cadeia permitia a diferenciação de uma função composta. Se y = f(x) e x = g(t), com as
funções f e g diferenciáveis, se obtinha a derivada de y em relação a t de uma forma indireta:
DY
DT =
DY
DX
DX
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 91%
Assim, mesmo não se tendo a relação direta de y em relação a t, podia se obter como a função
y variava em relação a variável t.
Vamos agora definir esta regra que permitirá também calcular a derivada de funções
compostas para as funções escalares. Iremos propor o seguinte teorema:
TEOREMA 1
SEJA A FUNÇÃO F(X, Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(T) E
Y = G(T). SE AS FUNÇÕES H(T) E G(T) FOREM DIFERENCIÁVEIS EM
T, ENTÃO
DF
DT X(T), Y(T) =
∂ F
∂ X
DX ( T )
DT +
∂ F
∂ Y
DY ( T )
DT
Repare que a regra acima permite calcular a derivada de f em relação a t por uma forma
indireta. Não se conhece a relação explicita da função em relação a variável t, mas se conhece
a relação da função com x e y, e destas variáveis em relação a variável t.
Outra forma de se representar essa regra seria através do gradiente da função f.
Seja γ(t) = (x(t), y(t))
df
dt y t = ∇ f(γ(t)). γ
' t
Vejamos um exemplo de sua aplicação.
EXEMPLO 1:
Seja a função f(x, y) = 2xy2 e que x = t3 e y = 2t + 5. Obtenha a derivada de f em relação à
variável t.
SOLUÇÃO
Usando a regra da cadeia 
df
dt =
∂ f
∂ x
dx
dt +
∂ f
∂ f
dy
dt
Como 
∂ f
∂ x = 2y
2, 
∂ f
∂ y = 4xy, 
dx
dt = 3t
2 e 
dy
dt = 2, se tem
( )
( ( ) ) ( )
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df
dt =
∂ f
∂ x
dx
dt +
∂ f
∂ f
dy
dt = 2y
23t2 + 4xy. 2 = 6y2t2 + 8xy
Substituindo x e y em relação a variável t
df
dt = 6y
2t2 + 8xy = 6(2t + 5)2t2 + 8t3(2t + 5)
É obvio que neste caso, poderíamos obter o valor de f em relação apenas a t e depois obter a
derivada.
f x ,  y   =  2xy2  →  f t3,  2t + 5   =  g t   =   2 t3 (2t + 5)2
Assim, a derivada 
df
dt será obtida se derivando em relação a t através da regra do produto
df
dt = (2t + 5)
2 6 t2  +  2t3 2  2t + 5  .  2  =  6(2t + 5)2t2 + 8t3(2t + 5) obtendo o mesmo valor.
Todavia, às vezes, essa forma de obter a dependência e depois derivar é mais complexa do
que usar a regra da cadeia diretamente.
EXEMPLO 2:
Sabendo que o volume de um cilindro é dado pela fórmula V(r, h) = πr2h, na qual r é o raio da
base e h é a altura do cilindro, ambas medidos em metros. Determine a taxa de variação do
volume do cilindro, para r = 1 m e h = 1 m, sabendo que o raio está variando a uma taxa de 0,5
m/s e a altura a uma taxa de –0,25 m/s.
SOLUÇÃO
Se V(r, h) = πr2h, usando a regra da cadeia, se tem 
dV
dt =
∂ V
∂ r
dr
dt +
∂ V
∂ h
dh
dt
Como 
∂ V
∂ r = 2πhr, 
∂ V
∂ h = πr
2, 
dr
dt = 0,5 e 
dh
dt = - 0,25 m/s, se tem
dV
dt (r, h) = 2πhr.  0,5 +  πr
2 - 0,25
dV
dt (r, h) = πhr -  
π
4 r
2
Para r = 1m e h = 1m
dV
dt (1, 1) = π -  
π
4 =
3π
4  m
3/s
( ) ( ) ( )
( )
( )
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 ATENÇÃO
A demonstração do teorema 1 não será vista neste módulo, e pode ser analisada nos livros
que constam na referência bibliográfica deste material.
Agora vamos analisar outra situação. Seja z = f(x, y), mas x = h(u, v) e y = g(u, v). Então a
função f depende indiretamente de u e de v. Podemos usar o seguinte teorema para obter as
derivadas parciais de f em relação a variável u e em relação a variável v.
TEOREMA 2
SEJA A FUNÇÃO F(X,Y) DIFERENCIÁVEL EM X E Y, COM X = H(U,V)
E Y = G(U,V). SE AS FUNÇÕES H(U,V) E G(U,V) SÃO
DIFERENCIÁVEIS EM U E EM V, ENTÃO
∂ F
∂ U =
∂ F
∂ X
∂ X
∂ U +
∂ F
∂ Y
∂ Y
∂ U E 
∂ F
∂ V =
∂ F
∂ X
∂ X
∂ V +
∂ F
∂ Y
∂ Y
∂ V
As variáveis u e v são denominadas de variáveis independentes, enquanto as variáveis x e y
serão denominadas de variáveis intermediárias, pois serão usadas para obter a variável
dependente z em relação às variáveis independentes.
Observe a aplicação da regra acima no exemplo a seguir.
EXEMPLO 3:
Seja g(x,y) = 2eycos x , na qual x = u2v e y = uv2. Determine as derivadas parciais de g(x,y)
em relação a u e a v para os pontos em que u = 1 e v = 2.
SOLUÇÃO
Obtendo as derivadas parciais de g em relação a x e a y.
∂ g
∂ x = - 2e
ysen(x) e 
∂ g
∂ y = 2e
ycos(x)
Além disso,
∂ x
∂ u = 2uv, 
∂ x
∂ v = u
2, 
∂ y
∂ u = v
2, 
∂ y
∂ v = 2uv
( )
Processing math: 91%
Assim,
∂ g
∂ u =
∂ g
∂ x
∂ x
∂ u +
∂ g
∂ y
∂ y
∂ u = -2e
ysen(x) 2uv + 2eycos(x)v2
∂ g
∂ u = 2v
2 e
y
cos(x) - 4uv eysen(x)
∂ g
∂ v =
∂ g
∂ x
∂ x
∂ v +
∂ g
∂ y
∂ y
∂ v = -2e
ysen(x) u2 + 2eycos(x)2uv
∂ g
∂ u = 4uv e
ycos(x) - 2u2eysen(x)
Quando u = 1 e v = 2 → x = u2 v = 2 e y = uv2 = 4.
Deste modo:
∂ g
∂ u (1,2) = 2. 4 e
4cos(2) - 4. 1.2 e4sen(2) = 8e4cos(2) - 8e4sen(2)
∂ g
∂ u (1,2) = 4.1. 2 e
4cos(2) - 2. 12e4sen(2) = 8 e4cos(2) - 2e4sen(2)
Podemos agora definir a situação geral.
Seja a função escalar f: S ⊂ Rn, ou seja, a função dependente z é função de n variáveis
intermediárias (x1,x2,…,xn ). Cada uma das variáveis intermediárias xj, a seu tempo, depende
de m variáveis independentes (u1,u2,…,um ). Se deseja agora obter o valor da derivada parcial
de z em relação a uma das variáveis independentes ui.
TEOREMA 3
SEJA A FUNÇÃO F: S⊂ RN DIFERENCIÁVEL EM RELAÇÃO AS NVARIÁVEIS (X1, X2, ..., XN), EM QUE CADA XJ É DIFERENCIÁVEL EM
RELAÇÃO A M VARIÁVEIS (U1, U2, ..., UM). ENTÃO:
∂ F
∂ UJ
=
∂ F
∂ X1
∂ X1
∂ UJ
+
∂ F
∂ X2
∂ X2
∂ UJ
+ … +
∂ F
∂ XN
∂ XN
∂ UJ
para cada j = 1,2,..., m.
Vamos aplicar esse teorema em um exemplo.
( )
( )
Processing math: 91%
EXEMPLO 4:
Seja a função h(r, s, t) = sr2 + 2rst, na qual r = xz + 2yz , s = 3x2z e t = 2xy. Determine as
derivadas parciais da função h, em relação as variáveis x, y e z, para os valores de (x, y, z) = (1,
0, 2).
SOLUÇÃO
Neste exemplo, as variáveis intermediárias serão r,s e t, enquanto as variáveis independentes
serão x, y e z.
Calculando as derivadas parciais da função h
∂ h
∂ r = 2sr + 2st, 
∂ h
∂ s = r
2 + 2rt e 
∂ h
∂ t = 2rs
Mas
∂ r
∂ x = z, 
∂ r
∂ y = 2z e 
∂ r
∂ y = x + 2y
∂ s
∂ x = 6xz, 
∂ s
∂ y = 0 e 
∂ s
∂ z = 3x
2
∂ t
∂ x = 2y, 
∂ t
∂ y = 2x e 
∂ t
∂ z = 0
Desta forma,
a) 
∂ h
∂ x =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ x +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ x +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ x
∂ h
∂ x = (2rs + 2st)z + r
2 + 2rt  6xz + (2rs) 2y
b) 
∂ h
∂ y =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ y +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ y +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ y
∂ h
∂ y = (2rs + 2st) 2z + r
2 + 2rt  0 + (2rs) 2x
c) 
∂ h
∂ z =
∂ h
∂ r
∂ r
∂ z +
∂ h
∂ s
∂ s
∂ z +
∂ h
∂ t
∂ t
∂ z
∂ h
∂ z = (2rs + 2st)  x + 2y + r
2 + 2rt  3x2 + (2rs) 0
Para (x, y, z) = (1, 0, 2) → r = xz + 2yz = 1 . 2 + 2 . 0 . 2 = 2, s = 3x2z = 3 . 1 . 2 = 6 e t = 2xy = 2 .
1 . 0 = 0, assim:
a) 
∂ h
∂ x (x, y, z) = (2.2. 6 + 2.6. 0). 2 + 2
2 + 2.2. 0  6.1. 2 + (2.2. 6)2.0
∂ h
∂ x (x, y, z) = 48 + 48 + 0 = 96
( )
( )
( ) ( )
( )
Processing math: 91%