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CálculoII
Agnaldo Souza Pereira
Cláudio Barros Vitor
Jefferson Pereira de Oliveira
Manaus 2007
º4.
Período
FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento 
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração 
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitora de Ensino de Graduação
Edinea Mascarenhas Dias
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Pereira, Agnaldo Souza.
P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,
Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -
(Licenciatura em Matemática. 4. Período)
92 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título.
CDU (1997): 517.2/.3
SUMÁRIO
UNIDADE I – Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07
TEMA 01 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
TEMA 02 – Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
TEMA 03 – Gráficos de funções de duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
TEMA 04 – Limites e continuidade para funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TEMA 05 – Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
TEMA 06 – Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE II – Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
TEMA 01 – Vetor gradiente e derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TEMA 02 – Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 
UNIDADE III – Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
TEMA 01 – Caminhos e curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
TEMA 02 – Comprimento de curvas e caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
TEMA 03 – Definição de integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
UNIDADE IV – Integrais múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 01 – Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
TEMA 02 – Integrais repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
TEMA 03 – Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
TEMA 04 – Mudança de variáveis nas integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
TEMA 05 – Aplicações da integral dupla e tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
UNIDADE V – Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Agnaldo Souza Pereira 
Bacharel em Física - UFRJ
Mestre em Física - UFRJ
Licenciado em Física - FTESM
Doutor em Física - UFRJ
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Jefferson Pereira de Oliveira
Licenciado em Matemática – UCSal
Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
PERFIL DOS AUTORES
UNIDADE I
Funções de várias variáveis
UM BREVE HISTÓRICO
Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de
novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo
da marquesa Claudine Guerin de Tencin,
escritora, e do cavaleiro Louis-Camus
Destouches, oficial do exército francês. 
Logo após o nascimento, foi abandonado por
sua mãe nas escadarias da Capela de Saint
Jean Le Rond, de onde foi levado para um
orfanato, à espera de adoção. 
O bebê recebeu o nome do santo protetor da
capela, e foi adotado por um humilde artesão e
sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não
reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a
educação por meio de uma pensão. 
Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no
Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes
e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos
21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes-
sar-se por Medicina e Matemática, sendo que
seu primeiro trabalho matemático é publicado
em 1739, no qual ele apresenta correções de
erros que encontrou em um dos livros usado
em sua formação. Aos 24 anos de idade,
D’Alembert já era célebre por seu trabalho em
Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu
Tratado de Dinâmica, com importantes con-
tribuições à ciência da mecânica.
Deixou também contribuições para a teoria das
equações diferenciais, em que se destaca o
método de solução de D’Alembert para resolver
equações diferenciais não-homogêneas por
meio de uma equação auxiliar.
Além das contribuições em ciências exatas,
D’Alembert também participou, com Denis
Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma
das maiores obras do Iluminismo. 
Ao contrário do que faria supor sua infância
humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes-
tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie
de Lespinasse, por quem se apaixonou. 
Quando D’Alembert se tornou famoso por suas
realizações intelectuais, sua mãe biológica
apresentou-se, mas ele, que viveu na casa
paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do
artesão e de sua mulher. Você é, no máximo,
minha madrasta.”
Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos
de idade, em 1783, como um célebre cientista
e renomado homem de cultura.
William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,
em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram
deixando o pequeno órfão aos cuidados de um
tio, que o educou dentro de uma severa linha
de comportamento, dando-lhe uma educação
abrangente, com forte ênfase em línguas
estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos
de idade, lia e recitava Homero em grego; aos
8 anos, já falava fluentemente o italiano e o
francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-
gua árabe. Seu interessepela matemática
surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer
um jovem norte-americano chamado Zertah
Colburn, que possuía fantástica habilidade para
realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity
College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-
do entre 100 candidatos no concurso de admis-
são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire-
9
Cálculo II – Funções de várias variáveis
10
UEA – Licenciatura em Matemática
tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à
leitura das obras de Newton e de Laplace, e
criou sua própria formulação da mecânica, con-
hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que
é tremendamente importante em todos os cam-
pos da física moderna, notadamente na física
quântica. Sua vida particular não foi das mais
tranqüilas; ele teve sérios problemas com o
alcoolismo. Após terrível luta contra o vício,
convence-se de que a única solução seria
nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida
alcoólica. 
Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio,
mas durante uma discussão com o astrônomo
George Airy, que debochou de seu hábito de
beber apenas água durante festas e
solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu,
afundando-se ainda mais no vício. Apesar da
desordem em que estava mergulhada sua vida
privada, Hamilton ainda se mantinha firme na
competição matemática. Contribuiu para o
desenvolvimento do cálculo, sendo de sua
autoria o termo gradiente para designar o vetor
que aponta na direção de maior variação de
uma função escalar. Hamilton também realizou
pesquisas em ótica e soluções numéricas de
equações diferenciais. O homem que amava os
animais e que foi chamado “o novo Newton”
morreu em 1865, deixando uma obra inacaba-
da, que foi publicada por seu filho no ano
seguinte.
TEMA 01
INTRODUÇÃO
O conceito de função de várias variáveis está
intimamente ligado aos fenômenos mais com-
plexos no campo da matemática aplicada à fí-
sica e à engenharia. Se um meteorologista, por
exemplo, tiver de determinar o comportamento
futuro da temperatura de uma região, ele preci-
sará de um conjunto de dados atmosféricos,
como pressão do ar, velocidade dos ventos e
umidade do ar. 
Podemos ver, claramente, que a temperatura
do ar depende de várias outras grandezas, de
forma que, quando esse conjunto de variáveis
se altera, ela também se altera, ou seja, ela é
uma função que depende de várias outras var-
iáveis. 
Ainda como exemplo, podemos enxergar o
preço de um produto com sendo dependente
do preço da matéria-prima, do preço de mão-
de-obra e do custo do transporte, pois se esses
elementos variam, o preço final do produto va-
riará também.
Matematicamente, uma função de N variáveis é
representada como sendo uma função
f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções
é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1
até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos
de funções de várias variáveis, começando com
o caso mais simples, a função de duas variá-
veis.
Exemplo 1
Volume de um cilindro
Figura 1 – O volume de um 
cilindro é função de duas variáveis, r e h.
O volume de um cilindro, de altura h e raio de
base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o
valor do volume muda se mudarmos um dos
valores de r e h, fica clara a dependência do
volume com as variáveis r e h. Podemos, então,
classificar VCIL como uma função de duas va-
riáveis. 
Em razão disso, podemos simbolizar o volume
de um cilindro como:
VCIL = VCIL(r,h)
Exemplo 2
Área de um retângulo
Figura 2 – A área de um retângulo 
é função de duas variáveis, a e b.
Outro exemplo de função de duas variáveis
que podemos buscar nos domínios da geo-
metria é a área de um retângulo de lados a e b.
sabendo que a área da superfície retangular é
dada por:
S = ab,
em que a e b são as varáveis, pois podem
assumir valores arbitrários, determinando um
único valor de S para cada par de valores (a,b).
Podemos escrever s como uma função de duas
variáveis:
S = S(a,b).
Continuando nossa seqüência de exemplos,
vamos analisar alguns casos de função de três
variáveis. Elas são essenciais em problemas
que descrevem fenômenos tridimensionais,
como o volume de um paralelepípedo, o es-
coamento de um gás ou a distribuição de tem-
peraturas em uma sala.
Exemplo 3
Volume de um paralelepípedo
Figura 3 – O volume de um 
paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z.
O volume do paralelepípedo de largura x, pro-
fundidade y e altura z é dado por 
V = xyz
Assim como nos exemplos anteriores, pode-
mos ver que a mudança do conjunto de valo-
res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança
do valor do volume do paralelepípedo, uma
vez que ele é função das dimensões deste sóli-
do. Ou seja:
V=V(x,y,z)
Exemplo 4: 
Potencial elétrico de uma carga elétrica pun-
tiforme
Considere uma carga elétrica puntiforme Q,
posicionada na origem de um sistema de três
eixos coordenados. A intensidade do potencial
elétrico em qualquer ponto do espaço depen-
derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou
seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar
essa situação.
Figura 4 – Potencial elétrico gerado em 
todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.
Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de
um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que
localizam o ponto P no espaço.
Para resumir as idéias expostas, vamos con-
ceituar as funções de duas e três variáveis.
Função de duas variáveis
Uma função de duas variáveis é uma regra que
associa a cada par ordenado (x,y) de um con-
junto D um único valor real designado por 
z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da
função, e o conjunto imagem é o conjunto dos
valores possíveis de f.
11
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Função de três variáveis
Uma função de três variáveis é uma regra que
associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um
conjunto D um único valor real designado por
z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun-
ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va-
lores possíveis de f.
Essas definições são facilmente extensíveis ao
caso de várias variáveis:
Função de várias variáveis
Uma função de várias variáveis é uma regra
que associa a cada N–upla ordenada
(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor
real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con-
junto D é o domínio da função, e o conjunto
imagem é o conjunto dos valores possíveis de
f.
Exemplo 5
O potencial elétrico U no ponto 
P(x,y,z) é dado por , ache o valor
do potencial elétrico no ponto P(1,5,4).
Solução: 
Para achar o valor da função U(x,y,z) em
P(1,5,4), basta substituir os valores das coor-
denadas do ponto P, na equação da função, e
achar U(1,5,4).
Exemplo 6
Uma chapa de metal plana está em um
plano–xy, de modo que a temperatura T em
(x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T =
0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x
e y em centímetros. Ache o valor da temperatu-
ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D(
, ).
Solução:
Como no problema anterior, basta substituir os
valores das coordenadas de cada ponto na
equação da função T(x,y), e achar os valores
correspondentes.
a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 =
0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC.
b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 =
0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09
oC.
c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 =
0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC.
d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+ 
( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )=
0,25oC.
1. A superfície de um lago é representada por
uma região D em um plano –xy, de modo que
a profundidade sob o ponto correspondente a
(x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que
x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma
bóia está na água no ponto (4,9), determine a
distância entre ela e o fundo do lago. 
2. Um objeto está em um sistema coordenado re-
tangular tal que a temperatura T no ponto
P(x,y,z) seja dada por 
T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é
expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi-
ne a diferença de temperatura entre os pontos
A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC .
12
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 02
DOMÍNIO E IMAGEM
Mais sobre domínio e imagem das funçõesde várias variáveis
Sabemos que o domínio de uma função é o
conjunto numérico no qual a função toma va-
lores para a variável independente, e que a
imagem de uma função é o conjunto numérico
dos valores assumidos pela função. No caso da
função de uma variável, temos a variável inde-
pendente x, cujos valores permitidos perten-
cem a um dado conjunto numérico (domínio),
e a variável dependente y(x), que expressa os
valores numéricos assumidos pela função, va-
lores esses, que pertencem a um segundo con-
junto numérico (imagem). 
O diagrama abaixo representa o conceito de fun-
ção por um diagrama como uma correspondên-
cia entre dois conjuntos numéricos.
Figura 5 – Diagrama representando 
o conceito de função: é
uma correspondência entre conjuntos numéricos.
Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-
lação representada entre o conjunto A e o con-
junto B associa a cada elemento de A um ele-
mento de B. A correspondência entre os ele-
mentos associados é representada pelas setas
que partem do conjunto A (que é o domínio da
função) e chegam ao conjunto B (imagem da
função). Vamos, agora, ampliar esses concei-
tos para as funções de duas variáveis.
O domínio de uma função de duas variáveis é
um conjunto formado por todos os pares de
valores (x,y) em que a função toma valores. Ve-
jamos o diagrama seguinte, semelhante ao
que foi feito para a função de uma única va-
riável:
Figura 6 – Domínio e imagem 
de uma função de duas variáveis.
Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a
correspondência entre elementos do domínio
e elementos pertencentes ao conjunto ima-
gem. É importante notar que os elementos do
domínio são pares ordenados de valores; isso
faz que funções de duas variáveis sejam apli-
cadas a problemas envolvendo grandezas que
variam sobre superfícies. Ainda podemos ob-
servar que o conjunto de todos os pontos do
domínio, que é um conjunto de vários pares
ordenados, é uma figura plana, contida no
plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano
xy). O conjunto imagem, por sua vez, também
é uma superfície formada de todos os pontos
de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun-
ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo.
Figura 7 – Domínio e gráfico de 
uma função de duas variáveis.
Exemplo 7
1. Determine o domínio da função
. 
Para achar o domínio, devemos achar o con-
junto de pares (x,y) para os quais é possível
realizar a operação indicada. No presente ca-
so, a operação é . Essa operação é
13
Cálculo II – Funções de várias variáveis
14
UEA – Licenciatura em Matemática
uma radiciação, e só tem sentido no conjunto
dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim,
todos os pares de valores (x,y), que obedecem
à desigualdade acima, pertencem ao domínio
daquela função:
16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16, 
portanto, x2 + y2 ≤ 16 . 
Essa é uma equação que representa os pontos
de um círculo de raio 4, centrado na origem.
Figura 8 – Domínio da função 
Exemplo 8
2. Determine o domínio da função 
z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). 
Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida
no item anterior, o domínio da função é o con-
junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu-
lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos
reais. 
Como sabemos que só existem logaritmos para
números maiores que zero, podemos dizer
que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for-
mado por todos os pares (x,y) que obedecem
a 
1–x2–y2 > 0 .
Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1.
O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o
conjunto de todos os pares de valores (x,y)
contidos no interior de um círculo de raio 1
centrado na origem, excluindo-se os pontos da
circunferência (pois na circunferência temos 
x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está
na figura 9, a seguir.
Figura 9 – Domínio da função
z(x,y) = ln(1 – x2 – y2)
Exemplo 9
3. Determine o domínio da função 
Nesse caso, encontramos duas condições a
serem atendidas: 
1.a O denominador deve ser sempre diferente
de zero.
2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre
maior que zero.
Para atender à 1.a condição, impomos a
restrição x – 1 = 0 x = 1.
Em seguida, para atender à 2.a condição,
impomos a restrição x + y + 1> 0.
y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos
concluir que os pontos para a função 
está definida são aque-
les que possuem abscissa diferente de zero
e estão acima da reta y = –x – 1.
Os pontos pertencentes a essa região es-
tão representados no gráfico da figura 10.
As linhas tracejadas são aquelas que não
possuem pontos do domínio: a reta vertical
x =1 e a reta inclinada y = –x –1.
Figura 10 – Domínio da função
1. Determine e faça o esboço do domínio das
funções abaixo:
a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2) 
b)
c) z(x,y) = 4x2 + y
d)
e)
f)
g) z(x,y) = xln(y2 – x)
h) 
i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z)
j) 
l)
m)
TEMA 03
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS
VARIÁVEIS
Assim como no caso das funções de uma va-
riável, em que um gráfico no plano –xy apre-
senta, visualmente, a relação entre os valores
do par ordenado, também no caso das fun-
ções de duas variáveis podemos expressar
graficamente a relação entre o par ordenado
(x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função
de duas variáveis será uma superfície em R3.
Noutras palavras, podemos dizer que assim
como o gráfico de uma função de uma única
variável é uma curva de equação f(x), o gráfico
de uma função de duas variáveis será uma
superfície S com equação z(x,y). Podemos ver
a superfície S acima ou abaixo do domínio D
da função. É importante notar que a superfície
que representa o domínio da função, pode ser
vista como uma projeção do gráfico de z(x,y)
sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos
um meio rápido e eficiente para estudar o com-
portamento de uma função e avaliar suas ca-
racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem-
plos de gráficos de funções de duas variáveis, 
(i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
15
Cálculo II – Funções de várias variáveis
16
(ii) z(x,y) = x – 3x2
(iii) z(x,y) = y4 – 8y2 – 4x2
(iv) z(x,y) = ln (x2 + y2)
(v) z(x,y) = e–x2 + ey2
(vi)
(vii)
(viii) z(x,y) = (x2 + y2)2
(ix)
(x)
O aspecto visual desses gráficos não esconde
o fato de que é bem difícil traçá-los manual-
mente. Esses exemplos foram traçados com o
auxílio de um programa de computador. Com
os programas computacionais, podemos en-
xergar o comportamento do gráfico em qual-
quer região do domínio da função, mas nesses
exemplos é preferível ver o comportamento em
pontos próximos à origem, pois em várias apli-
cações torna-se importante saber o compor-
tamento da função para valores pequenos das
variáveis.
Apesar do exposto acima sobre a dificuldade
de traçado desses gráficos sem o auxílio com-
putacional, já era possível traçá-los manu-
almente com o auxílio das curvas de nível, for-
madas pelas interseções do gráfico de uma
função de duas variáveis com um plano hori-
zontal. As curvas de nível são um recurso que
foi tomado emprestado da cartografia; por
meio delas, um morro ou uma montanha pode
ser descritos sobre o plano do papel por meio
de um conjunto de curvas, em que cada curva
corresponde a um corte do morro ou da mon-
tanha a uma dada altura, que fica registrada
sobre a curva de nível correspondente. Na car-
tografia, então, os pontos de uma curva de
nível é a curva formada por todos os pontos
que estão a uma mesma altura, ou seja: h =
constante.
Dessa forma, podemos encarar as curvas de
nível como tendo sido obtidas cortando-se o
morro ou a montanha em fatias paralelas a um
plano horizontal. Veja a figura abaixo:
De forma geral, é importante notar que, onde
as curvas de nível estiverem mais próximas
umas das outras, a superfície será mais incli-
nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,
a superfície será mais plana. 
Saindo um pouco da cartografia, podemos di-
zer que, de forma mais geral, uma curva de
nível é obtida pela junção dos pontos corres-
pondentes a um valor constante de uma dada
grandeza. As curvas de nível de uma função
f de duas variáveis são as curvas com
equação f(x,y) = k, onde k é uma constante.
As figuras seguintes comparamos gráficos e
as curvas de nível de algumas funções.
17
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função 
z(x,y) = x2 – 3y2
Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função 
Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função
Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função
z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
18
UEA – Licenciatura em Matemática
1. Estabeleça a correspondência correta entre as
equações e as curvas de nível de cada função
dada por z = f(x,y).
a) f(x,y) = x2 – y2
b)
c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2
d) f(x,y) = x2 + y2
1. 
2.
3. 
4.
2. Uma chapa plana de metal está situada em um
plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C)
no ponto (x,y) é inversamente proporcional à
distância da origem.
a) Descreva as isotérmicas.
b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C,
ache a equação da isotérmica para uma
temperatura de 200C.
3. Deve-se construir uma usina de incineração de
lixo para atender a duas cidades. 
Cada cidade gostaria de maximizar sua distân-
cia à usina, mas, por motivos econômicos, a
soma da distância de cada cidade à usina não
pode exceder M quilômetros. Mostre que as
curvas de nível para localização da usina são
elipses.
TEMA 04
LIMITES E CONTINUIDADE PARA
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Assim como nas funções de uma única variáv-
el, os conceitos de limite e continuidade de
uma função de várias variáveis estão inti-
mamente ligados. Na teoria das funções de
uma única variável, dizemos que a função é
contínua num dado valor xo se no limite em que
x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores
que xo, ou por valores de x menores que xo. Se
a função tender para valores diferentes con-
forme x se aproxime de xo pela direita ou pela
esquerda, a função é dita descontínua. Veja-
mos os gráficos abaixo:
Figura 17 – Continuidade de 
uma função de uma variável.
A definição de continuidade da função de uma
variável diz que, se o limite de f(x), quando x
tende a xo por valores maiores que xo, coincide
com o limite de f(x) quando x tende a xo por val-
ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua
em x = xo. Resumindo, uma função é con-
siderada contínua quando os limites laterais
são iguais, o que significa que a imagem f(x)
de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao
limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os
limites laterais são iguais também significa que
o limite da função está bem definido em x = xo,
ou seja, o limite existe em x = xo. 
Por outro lado, a definição de função descontí-
nua diz que a função possui uma descontinui-
dade em x = xo, se os limites laterais não são
coincidentes. 
Dizer que os limites laterais não são coinci-
dentes significa que se x tende a xo por valores
maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e
quando x tende a xo por valores menores que
19
Cálculo II – Funções de várias variáveis
xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites
laterais são diferentes, não se pode afirmar que
a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo,
tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ-
ação, dizemos que o limite não está definido
em x = xo, ou seja, não existe o limite da
função em
x = xo. Veja a figura 18 abaixo:
Figura 18 – Descontinuidade de 
uma função de uma variável.
A figura 18 acima ilustra os conceitos formu-
lados sobre a descontinuidade de uma função
de uma única variável. 
Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen-
ça de comportamento dos limites da função
quando x tende a xo pela direita (por valores
maiores que xo) e pela esquerda (por valores
menores que xo). 
A extensão dessas idéias para o campo das
funções de duas variáveis é imediata. Conside-
remos a figura 19 abaixo:
Figura 19 – Continuidade de 
uma função de duas variáveis.
Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per-
tencente ao domínio da função e contido em
uma vizinhança circular centrada em Po aprox-
imar-se de Po ao longo de qualquer caminho
contido no círculo, também sua imagem, per-
correrá pontos da superfície-imagem até
alcançar o ponto B, imagem de Po. 
Noutras palavras, se um ponto P, nas vizinhan-
ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua
imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami-
nho totalmente contido sobre a superfície do
gráfico da função, qualquer que seja o cami-
nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po)
é o limite da função quando P tende a Po. 
Isso equivale a dizer que existe o limite da fun-
ção em P = Po, pois para qualquer caminho
que se use para chegar até Po, alcançaremos o
mesmo valor final para f(P).
(f(P) = f(Po)). Simbolicamente:
Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y)
e Po=Po(xo,yo):
Assim como no caso da função de uma única
variável, a existência do limite garante a con-
tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por
outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P=
Po depender do caminho seguido para se atin-
gir o ponto Po, o limite da função não estará
definido em Po e, da mesma forma que para
uma única variável, diremos que a f(x,y) é des-
contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar-
mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao
longo dos quais f(P) atinge limites diferentes,
quando P se aproxima do mesmo ponto Po,
então o limite não está definido em P = Po.
Dizemos, então, que não existe o limite de f(P)
em P = Po, e que Po é um ponto de descon-
tinuidade da função. A noção de continuidade
é essencial para o cálculo de funções de várias
variáveis, pois, assim como no universo das
funções de uma única variável, permite definir
a existência das derivadas no contexto das
funções de várias variáveis. A figura 20, a se-
guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun-
ção de duas variáveis.
20
UEA – Licenciatura em Matemática
Figura 20 - Descontinuidade da 
função de duas variáveis.
1. Ache o limite
a)
b)
c)
d)
e)
2. Mostre que o limite não existe.
a)
b)
c)
d)
e)
TEMA 05
DERIVADAS PARCIAIS
As definições dadas até aqui não são exclusi-
vas das funções de duas variáveis, são co-
muns a todas as funções de várias variáveis. O
fato de usarmos as funções de duas variáveis
deve-se à facilidade de visualização que elas
apresentam, pois podemos ver seus gráficos
como superfícies em um espaço tridimen-
sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma
função de 20 variáveis, por exemplo! 
Um caso simples de função de mais de duas
variáveis é o custo de um produto que envolva
mais de dois ingredientes em sua fabricação,
cada um com seu preço, o que se refletirá no
preço de custo do produto.
Por exemplo: o custo final kf de um bolo de
chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó
de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar,
leite e fermento, dependerá dos preços desses
ingredientes e pode ser escrito na forma fun-
cional 
kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6
em que A,B,C,D,E e F são constantes que re-
presentam as quantidades utilizadas de cada
ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam
os preços de cada ingrediente. 
Assim, fica claro que o custo final é uma função
de seis variáveis, 
kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).
Não podemos desenhar um gráfico dessa fun-
ção, cujo domínio é hexadimensional, para po-
dermos enxergar, de uma única vez, o compor-
tamento dessa função. Analisemos o compor-
tamento da função custo total quando o preço
de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar,
varia, enquanto os demais preços permane-
cem constantes.
É razoável supor que o custo total variará com
a mesma rapidez com que varia o preço do açú-
car. Se, agora, o único preço variável for o do
fermento, enquanto todos os demais preços
estiverem estacionados, novamente podemos
21
Cálculo II – Funções de várias variáveis
dizem que o custo total variará com a mesma
taxa de variação do fermento, pois ele estará
sendo o único responsável pela variação do
custo final do bolo.
Se em outra situação, os preços do açúcar e
do fermento estiverem variando, e os preços
dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa
de variação do custo total será a soma da taxa
de variação do preço do açúcar com a taxa de
variação do preço do fermento, ingredientes
responsáveispela variação do custo final do
produto. A taxa de variação de uma função de
N variáveis, em relação a uma de suas varáveis
xj em particular, é chamada derivada parcial da
função em relação a xj, e é definida pela razão
incremental:
O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se
derron), que significa D-redondo, em francês.
No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva-
da parcial do custo final (kf) da iguaria em re-
lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento
(x6) são definidas, respectivamente, como:
Notemos que a definição de derivada parcial é
similar à definição da derivada da função de
uma única variável, envolvendo o limite da fun-
ção em um dado ponto. Para que a derivada da
função de N variáveis possa existir no ponto
considerado, é necessário que exista o limite da
função naquele ponto, ou seja, é preciso que a
função seja contínua no ponto. O incremento
diferencial (df) no valor da função de N variá-
veis, devido ao incremento no valor de apenas
uma de suas variáveis, é dado por
.
De forma mais geral, o incremento diferencial (df)
no valor da função de N variáveis, devido a incre-
mentos em todas as suas variáveis, é dado por
No exemplo anterior, a variação no custo de
nosso bolo de chocolate, devido à variação no
preço do açúcar, é dada por 
;
e a variação no custo do bolo, devido às vari-
ações combinadas dos preços do açúcar e do
fermento, é dada por 
.
Interpretação Geométrica das Derivadas
Parciais
Quando precisamos subir uma elevação, co-
mo um pequeno morro, sempre procuramos
subir pelo lado menos íngreme, para poupar
esforço. O formato geométrico da elevação é
tal que o dispêndio de energia depende da
encosta que escolhermos para subir. 
Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior,
fazendo que cada metro percorrido na hori-
zontal resulte numa grande elevação vertical,
tornando a subida é mais abrupta. A figura 21
mostra um gráfico da função 
,
representando um morro. Podemos observar
que, se subirmos o morro ao longo do eixo y,
faremos um esforço maior, pois ao longo desse
caminho, a elevação é mais pronunciada, mais
íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x,
o esforço será menor. 
Com esse exemplo, vemos que a taxa de va-
riação de uma função de duas variáveis pode
depender do caminho. Nesse caso, a taxa de
variação da altura em relação à distância ho-
rizontal depende do caminho escolhido.
22
UEA – Licenciatura em Matemática
Figura 21 – Crescimento diferenciado da função.
em cada direção. A distância
entre as curvas de nível mostra que o crescimento 
desta função é mais veloz ao longo do eixo y, 
do que ao longo do eixo x.
A análise das curvas de nível do morro também
mostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y
estão mais próximas umas das outras do que
as atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele-
vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do
que ao longo do eixo–x. 
Vemos, novamente, que a taxa de variação da
altura em relação a x depende da direção que
se segue até o alto do morro. De fato, se se-
guirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-
do pela seta pontilhada, a inclinação terá outro
comportamento, diferente daqueles sobre x e y.
Resumindo o que acabamos de discutir, se
chamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) a
inclinação da função z(x,y) em cada ponto de-
penderá da direção de deslocamento sobre o
plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,
a tangente do ângulo de inclinação será dada
por
e para um percurso ao longo do
eixo–y, será dada por
Como se Calculam as Derivadas Parciais de
uma Função?
Até aqui, estivemos preocupados com a cons-
trução conceitual das derivadas parciais; pas-
semos, agora, a ver como se determina a
derivada parcial de uma função em relação a
uma de suas variáveis. A regra é simples:
1. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se y fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a x.
2. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se x fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a y.
3. No caso de N variáveis, para determinar 
, devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
como se todas as variáveis diferentes de xj,
fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
em relação a xj.
Exemplo 10
1. Ache as derivadas parciais de 
f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).
Solução:
Em relação a x, encaramos y como uma 
constante: .
Em relação a y, encaramos x como uma 
constante .
Exemplo 11
Ache as derivadas parciais .
Solução:
Em relação a x, encaramos y como uma cons-
tante : 
Em relação a y, encaramos x como uma cons-
tante: 
3) Ache as derivadas parciais de 
Solução:
23
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Em relação a cada variável, encaramos todas
as demais como constantes, e efetuamos a
derivação em relação à variável considerada:
1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f.
a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1
b) f(x,y) = (x3 – y2)5
c)
d)
e) f(x,y) = xey + ysen(x)
f) f(x,y) = ey + ln(xy) 
g)
h) f(x,y,z) = 3x2 z + xy2
i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz
j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t)
l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y
m)
2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada
como PV = nKT, em que n é o número de mo-
léculas do gás, V é o volume, T é a tem-
peratura, P é a pressão e k é uma constante.
Mostre que:
3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda 
a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx)
Regra da Cadeia
Freqüentemente, nos problemas aplicados às
ciências naturais, surge a dependência das va-
riáveis, e da própria função, em relação ao
tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape-
nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos
também acompanhar sua variação em relação
ao tempo, ainda que esta dependência não
esteja explícita na fórmula da função. 
Se o tempo não aparecer explicitamente na ex-
pressão matemática da função, mas souber-
mos como uma (ou mais) das variáveis se com-
porta em relação a ele, podemos determinar a
variação temporal da função como um todo
por meio da regra da cadeia:
Exemplo:
Um circuito elétrico simples consiste em um
resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo
instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5
V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à
razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm, 
, e a regra da cadeia para achar a taxa à
qual a corrente I (em ampères) varia.
SOLUÇÃO:
Substituindo valores: 
V=80, , R= 40, e , obtemos:
24
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 06
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Analogamente ao que ocorre no caso de uma
única variável, também para várias variáveis é
possível determinar derivadas de ordem supe-
rior à primeira. 
O cálculo é realizado da mesma forma como é
realizado na derivada ordinária: encarando to-
das as variáveis como constantes, menos a va-
riável em relação à qual se está derivando. O
símbolo para a derivada parcial de ordem m é 
Assim: 
é a derivada parcial de segunda ordem
de f em relação a x;
é a derivada parcial de terceira ordem
de f em relação a y;
é a derivada parcial de quarta ordem de
f em relação a w; 
e da mesma forma para outras ordens. 
É necessário salientar que, nas aplicações da
matemática às ciências naturais, as derivadas
mais importantes são as de segunda ordem,
que dão origem à maior parte das equações
diferenciais da física, da química, e da enge-
nharia.
Existe também o caso em que a função é deri-
vada sucessivamente em relação a variáveis di-
ferentes, a chamada derivada cruzada:
Como as variáveis são inde-
pendentes entre si, podemos ver que:
.
1. Verifique que
a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y
b)
c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)
d)
e)
2. Uma função de x e y é dita harmônica se 
em todo o domínio de f. Prove
que a função dada é harmônica.
a)
b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)
3. Se w(x,y) = e–c2t sen(cx), mostre que 
para todo número real c.
4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda 
a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)
b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)
5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é
emitido por uma chaminé de h metros de 
altura, a concentração C(x,y) em do po-
luente em um ponto a x quilômetrosda cha-
miné e à altura de y metros pode ser represen-
tada por
em que a e b são constantes positivas que
dependem das condições atmosféricas e da
taxa de emissão de poluente. Suponha que
25
Cálculo II – Funções de várias variáveis
Calcule e interprete e no ponto (2,5).
5. Mostre que qualquer função dada por 
satisfaz a
equação de Laplace em três dimensões
.
6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior
volume de ar que pode ser exalado após uma
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas-
culino de x anos de idade e y centímetros de
altura, V pode ser aproximado pela fórmula
V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete 
a)
b)
7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a 
fórmula , onde I é a corrente, V é
a voltagem, R a resistência, L a indutância e
uma constante positiva. Calcule e interprete 
e
.
26
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE II
Derivada direcional
29
Cálculo II – Derivada direcional
TEMA 01
VETOR GRADIENTE E DERIVADAS
DIRECIONAIS
Retomemos o exemplo da inclinação do morro 
dado pela equação
na figura 22 abaixo. 
Figura 22 – Crescimento diferenciado 
da função em cada direção.
Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácil
subir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.
Podemos dizer que quando subimos ao longo
do eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada
dx percorrido é
e se subirmos ao longo do eixo y, teremos
acréscimos na subida dados por:
Para uma direção oblíqua, em que não estare-
mos ao longo de nenhum dos eixos, teremos
contribuições das duas variáveis:
Note que para o movimento exclusivo sobre o
eixo x, podemos escrever um vetor desloca-
mento
d
→
x = dx̂x
Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y,
podemos escrever um vetor deslocamento
d
→
y = dŷy 
Para o caso em que o movimento é oblíquo e
recebe contribuições tanto do deslocamento
ao longo de x quanto de y, podemos escrever
um vetor deslocamento 
d
→
r = dx̂x + dŷy
Podemos resumir os três casos em uma só
notação se enxergarmos dz como resultado de
um produto escalar entre os deslocamentos e
um novo vetor, de forma que
para deslocamentos sobre o eixo x.
para deslocamentos sobre o eixo y.
para deslocamentos oblíquos.
O vetor ∇
→
z definido pelas igualdades acima é
escrito como 
e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-
jeção do gradiente em uma direção cujo uni-
tário û faz um ângulo com a direção do gradi-
ente, fornece-nos a derivada da função na
direção de û, a chamada derivada direcional,
Du, como mostra a figura 23 a seguir :
Duf = ∇
→
f . û =|∇
→
f|| û|cos(θ) = |∇
→
f|cos(θ)
Podemos notar da igualdade Duf = |∇
→
f|cos(θ)
que o maior valor da derivada direcional ocorre
quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-
cional é o próprio gradiente, o que nos revela
uma importantíssima propriedade do gradiente:
30
UEA – Licenciatura em Matemática
O gradiente aponta na direção de maior vari-
ação da função.
Embora tenhamos apresentado o gradiente
em um exemplo bidimensional, ele é tridimen-
sional em sua forma mais geral:
Devemos também assinalar que o gradiente
está definido para uma função f escalar; não
existe gradiente de vetor, embora em várias
aplicações seja importante saber o gradiente
do módulo de um vetor.
Duas das aplicações mais importantes do gra-
diente na física estão na mecânica e no eletro-
magnetismo. Na mecânica, podemos definir a
força conservativa, 
→
F como simétrica ao gra-
diente da energia potencial mecânica W:
→
F = –∇
→
W
No eletromagnetismo, de forma similar, define-
se o campo elétrico 
→
E gerado por um potencial
elétrico φ:
→
E = –∇
→
φ
1. Ache a derivada direcional de f em P na dire-
ção indicada
a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2; 
b) f(x,y) = x2ln(y); 
P(5,1), û = – x̂ + 4 ŷ
c) f(x,y,z) = z2exy;
P(–1,2,3), û = 3̂ x + ŷ – 5 ẑ
d)
; 
2. Uma chapa de metal está situada no plano xy,
de modo que a temperatura T em (x,y) seja in-
versamente proporcional à distância da ori-
gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF.
a) Ache a taxa de variação de T em P na dire-
ção de x̂ + ŷ.
b) Em que direção T aumente mais rapida-
mente em P?
c) Em que direção a taxa de variação é zero?
3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por
V= x2 + 4y2 +9z2
a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na
direção de P para a origem.
b) Ache a direção que produz a taxa máxima
de variação de V em P.
c) Qual a taxa máxima de variação em P?
4. A temperatura T(x,y,z) é dada por 
T = 4x2 – y2 +16z2.
a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na
direção de 2̂x + 6̂ y – 3̂z..
b) Em que direção T aumenta mais rapida-
mente em P?
c) Qual é esta taxa máxima de variação?
d) Em que direção T decresce mais rapidamen-
te em P?
e) Qual é esta taxa de variação?
31
Cálculo II – Derivada direcional
TEMA 02
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Muitas vezes, em problemas de aplicações,
devemos achar os extremos de uma função de
várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos,
como exemplo, o problema de acharmos o
maior volume de uma caixa retangular sem
tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total
seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser
maximizada é o volume
V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área
total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12.
Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a
expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma
curva de nível para a função superfície da cai-
xa, pois representa todos os pontos de coor-
denadas (x,y,z) para os quais o valor da função
é constante e igual a 12.
O método dos multiplicadores de Lagrange
fornece-nos uma ferramenta eficiente para
resolver problemas dessa natureza, com base
no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de
gradiente de uma função. Comecemos com as
funções de duas variáveis: em termos gerais, o
vínculo aplicado à função, cujos extremos
procuramos, restringe os valores das coor-
denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de
nível correspondente ao vínculo, ou seja, só
nos interessaremos pelos valores da função
que corresponderem a pontos que estiverem
sobre a curva de nível que traduz o vínculo.
Vejamos a figura 
Figura 24 – Curva de nível C, 
representando g(x,y) =k, e a representação em 
termos do parâmetro t, mostrando que ∇
→
f = λ∇→g
O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano-
xy. A curva C pode ser escrita em termo de
componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um
parâmetro, como o tempo em problemas de
mecânica, mas que, em geral, pode ser um
ângulo ou outra grandeza conveniente.
Seja 
→
r (t) = x̂x + ŷ y = h(t)̂ x + m(t)̂ y o vetor
posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura
24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),
em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a 
t = to, isto é, 
→
r (to) = xô x + yô y = h(to)̂ x +
m(to)̂ y. Definindo F de uma variável t por 
F(t) =f(h(t),m(t)),
vemos que, quando t varia, obtemos valores
f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está
sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-
mos considerando apenas os valores de f(x,y)
que estão sobre pontos da curva C. Como
f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =
f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)
= 0. Se encaramos F como uma função com-
posta, então, pela regra da cadeia, 
Fazendo t = to, temos:
Isso mostra que o vetor ∇
→
f(xo,yo) é perpen-
dicular ao vetor 
→
r’(to) tangente a C.
Entretanto ∇
→
g(xo,yo) também é perpendicular a→
r’(to) porque C é uma curva de nível para g.
Como ∇
→
f(xo,yo) e ∇
→
g(xo,yo) são perpendicula-
res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto
é, ∇
→
f(xo,yo) = λ∇
→
g(xo,yo) para algum λ. O
número λ é chamado multiplicador de Lagran-
ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com
que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o
comprimento, a largura e a altura, respectiva-
mente, da caixa em metros. 
Exemplo 1
Achar a caixa sem tampa de maior volume com
superfície total de 12m2.
Solução:
Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito
à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12.
32
UEA – Licenciatura em Matemática
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-
curamos osvalores de x, y, z e tais que ∇
→
V =
λ∇
→
g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi-
ções, geramos as equações:
e 2xz+2yz+xy = 12,
ou seja:
(1) yz = (2z+y)
(2) xz = (2z+x)
(3) xy = (2x+2y)
(4) 2xz+2yz+xy =12
Para resolver esse sistema de equações, va-
mos lançar mão de alguns truques: observe
que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4)
por z, os lados esquerdos dessas equações
ficam iguais. Assim temos que:
(5) xyz = (2xz+xy)
(6) xyz = (2yz+xy)
(7) xyz = (2xz+2yz)
Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz =
xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a
equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy =
2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos:
2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan-
to y = 2z. Se substituirmos 
x = y =2z em (4), teremos:
4z2+4z2+4z2 = 12
sabendo que x, y, e z são todos positivos,
temos que z =1, x = 2 e y = 2.
Exemplo 2
Determine os valores extremos da função 
f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1.
Solução:
Devemos achar os valores extremos de f (x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1.
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re-
solvemos as equações ∇
→
f = λ∇
→
g, g(x,y) = 1,
que podem ser escritas como:
,
,
e x2+y2 = 1
Elas resultam em:
(8) 2x = 2x
(9) 4y = 2y
(10) x2+y2 = 1
A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0,
então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a
equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação
(10) fornece x = ±1. Portanto os valores
extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1),
(0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses
quatro pontos, temos:
f (0,1) = 2
f(0,–1) = –2
f(1,0) = 1
f(–1,0) = 1
Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo
x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é
f(±1,0) = 1.
1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para
determinar os valores máximo e mínimo da
função sujeita à restrição dada:
a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1
b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100
c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6
d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25
e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1
f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35
2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada
de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua-
drado do material para os lados, o fundo e a
tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00,
33
Cálculo II – Derivada direcional
respectivamente, ache as dimensões que mini-
mizam o custo.
3. Deve-se construir um depósito com tampa, em
forma de cilindro circular reto e com área de
superfície fixa. Mostre que o volume é máximo
quando h = 2R.
4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar
que o retângulo com área máxima, com perí-
metro constante p, é um quadrado.
5. Determine as dimensões de uma caixa retan-
gular de volume máximo tal que a soma de
suas doze arestas seja um constante c.
6. Determine as dimensões da uma caixa retan-
gular de maior volume se sua superfície total é
dada como 64m2.
UNIDADE III
Integrais de linha
37
Cálculo II – Integrais de linha
INTRODUÇÃO
A integral de linha é uma generalização natural 
da integral definida , em que o intervalo
[a, b] é substituído por uma curva, e a função
integranda é um campo escalar ou um campo
vetorial definido e limitado nessa curva.
As integrais de linha são de uma importância
fundamental em inúmeras aplicações, nomea-
damente, em ligação com energia potencial,
fluxo do calor, circulação de fluidos, etc.
No que se segue, começaremos por apresen-
tar os conceitos de curva e de comprimento de
uma curva; em seguida, daremos a definição
de integral de linha. Depois de enunciarmos as
propriedades fundamentais da integral de linha,
veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal-
ho realizado por uma força.
TEMA 01
CAMINHOS E CURVAS
Seja g uma função vectorial que toma valores
em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À
medida que a variável independente t percorre I,
os correspondentes valores da função g(t) per-
correm um conjunto de pontos de IRn, que con-
stitui o contradomínio da função. Se a função
tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu-
alizar, geometricamente, esse contradomínio.
Exemplo 1 
Seja g : IR → IR2 a função definida por:
g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)
O contradomínio de g é a reta que passa pelo
ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1).
Se a função g é contínua em I, o contradomínio
de g chama-se uma curva, mais concreta-
mente, a curva descrita por g.
Exemplo 2 
A função f : IR → IR3 definida por:
f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR.
Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é,
o seu contradomínio.
38
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 3 
O traço da curva é
o segmento de reta de extremidade inicial
(–1,0,2) e final (7,6,4).
Exemplo 4
O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser
representado, parametricamente, por
, ou seja, é o traço da
curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2).
Exemplo 5
A curva
Tem por traço a cúbica
Observe que, elimidando-se o parâmetro t,
obtemos , logo (x,y) pertence ao traço
de γ se, e só se, .
Definição 1 
Chama-se caminho em IRn qualquer função
contínua definida num intervalo (limitado ou
não) de números reais I e com valores em IRn.
O contradomínio de um caminho chama-se cur-
va ou arco.
Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C =
g (I) é a curva representada por g, e que g é
uma representação paramétrica da curva C;
como os pontos da curva são da forma g (t),
com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa-
da por parâmetro da representação paramétri-
ca considerada. Se g é um caminho definido
num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os
pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do
caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o
ponto final do caminho g.
As propriedades da função g podem ser uti-
lizadas para investigar as propriedades geo-
métricas do seu gráfico. Em particular, a deri-
vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada
com o conceito de tangência, tal como no caso
das funções reais de variável real. Veja-se qual 
o comportamento do quociente
quando h → 0. Esse quociente é o produto do 
vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal,
o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor 
. Como já foi visto no Cálculo
Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de 
quando h → 0, tem-se
,e, se g’(t) = 0, o
vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente,
como o vetor tangente à curva g no ponto g(t).
)(')()(lim
0
tg
h
tghtg
h
=−+
→
39
Cálculo II – Integrais de linha
Definição 2
Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca-
minho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t)
existe e é diferente do vetor nulo, a reta que
passa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t)
designa-se por reta tangente a C no ponto g(t).
Definição 3 
Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe
C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-
junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 se
existe um caminho de classe C1 que represen-
ta, parametricamente, C.
Exemplo 6
O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),
define uma curva de classe C1 pois g’(t) = 
(1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1].
Definição 4 
Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional-
mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder
ser decomposto num número finito de subin-
tervalos em cada um dos quais o caminho é de
classe C1. Uma curva diz-se seccionalmente de
classe C1 se existir um caminho seccionalmen-
te de classe C1 que a parametrize.
Conclui-se que um caminho seccionalmente
de classe C1 não pode deixar de ser contínuo.
Exemplo 4 
A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência
C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o
quadrante, com o segmento de reta C2, que
une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-
cionalmente de classe C1.
Exemplo 7
A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência
C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o
quadrante, com o segmento de reta C2, que
une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-
cionalmente de classe C1.
Com efeito, trata-se de uma curva que não é de
classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1,
1)), mas é a união de duas curvas de classeC1.
Lembrando
Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar
f é uma função de classe Cr num conjunto aber-
to S quando admite derivadas parciais contí-
nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No
caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se
que f é de classe Cr em S se existir uma função
g de classe Cr num aberto que contenha S, tal
que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn
uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) ,
diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr
em I, qualquer que seja i=1,..., n.
Definição 5 
Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que g
é um caminho fechado se I é um intervalo
fechado e limitado de extremos a e b e g(a)
= g(b). Diz-se que o caminho não-fechado g
é um caminho simples quando g é injetiva
(isto é, g não assume o mesmo valor em
quaisquer dois pontos distintos de I). O
caminho fechado g diz-se um caminho sim-
ples se g for injetiva no interior de I. Um con-
junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou uma
curva simples se existe, respectivamente,
um caminho fechado ou um caminho sim-
ples que o representa parametricamente.
40
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 8
A função g : [0, 8π] → IR3 definida por
g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que
representa um arco de hélice cilíndrica.
Exemplo 9
Uma circunferência centrada na origem e de
raio 2 tem por equação cartesiana a expressão
x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação
paramétrica dessa circunferência pode ser da-
da pela função f:[0, 2π] → IR2, 
com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp-
lo de um caminho simples e fechado.
Exemplo 10
A curva representada na figura abaixo pode ser
definida, parametricamente, pelo caminho 
α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre-
sentações paramétricas da mesma curva são,
por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com
, com
λ(t) = (tgt,tg3t).
Entre as diferentes representações paramé-
tricas de uma curva, interessa identificar aque-
las que correspondem apenas a uma mudança
de escala do parâmetro.
Definição 6
Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos
em IRn.
Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se
existe uma função bijetiva e continuamente
diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em
todos com exceção dum número finito de pon-
tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de
I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o
mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca-
minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca-
so, diz–se que a função φ preserva o sentido;
no segundo caso, que inverte o sentido.
Exemplo 11
Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2,
com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com 
definidos no exemplo
10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) =
2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente
diferenciável e tem derivada não nula em todo
o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro
lado, 
Pode-se, então, concluir que α e β são cami-
nhos equivalentes com o mesmo sentido.
41
Cálculo II – Integrais de linha
1. Determine as representações paramétricas das
seguintes curvas de IR2 e indique quais são sim-
ples, fechadas ou seccionalmente de classe C1:
a) y = x2, x∈[–1,1]
b) y = 1 –|x|, desde (–1,0) até (1,0)
c) x2 + y2 = 2
d) 4x2 + y2 = 1
2. Determine as representações paramétricas das
seguintes curvas de IR3 :
a) O segmento de reta que vai desde (0,0,0)
até (1,1,1).
b) O arco de parábola que vai desde (0, 0, 0)
até (1, 1, 2).
c) A curva definida pelas condições 
x2 + y2 + z2 = 4 e z = 1.
TEMA 02
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS
Como aplicação da integral definida em IR, já
foi visto que o comprimento do gráfico C de
uma função y = f(x), definida no intervalo [a, b],
pode obter-se pela fórmula
desde que f tenha derivada contínua em [a, b].
O objetivo desta seção é formalizar a noção de
comprimento de uma curva. Esse conceito
pode ser facilmente introduzido a partir da
noção de comprimento de uma linha poligonal,
definida como a soma dos comprimentos dos
segmentos de reta que a constituem.
Como a figura abaixo sugere, um valor aproxi-
mado do comprimento da curva aí representa-
da pode ser obtido marcando-se na curva um
certo número de pontos e calculando-se o com-
primento da linha poligonal cujos extremos são
precisamente esses pontos.
A intuição leva a supor que, se for inscrita na
curva uma nova linha poligonal, pela adição de
mais vértices, ter-se-á uma melhor aproxima-
ção do comprimento da curva.
Por outro lado, também é claro que o compri-
mento de qualquer linha poligonal inscrita não
deverá exceder o da curva, visto que uma linha
reta é o caminho mais curto entre dois pontos!
É, pois, natural, definir o comprimento de uma
curva como o supremo do conjunto dos com-
primentos de todas as linhas poligonais inscri-
tas na curva.
Definição 7
Seja g : [a, b] → IRn um caminho. Chama–se
42
UEA – Licenciatura em Matemática
linha poligonal inscrita no caminho g a uma
união de segmentos de reta cujos extremos são
pontos consecutivos g(t0),g(t1),...,g(tn+1), com
t0<t1<...<tn< tn+1. Diz-se que o caminho é reti-
ficável se o conjunto dos comprimentos de li-
nhas poligonais nele inscritas é majorado e,
nesse caso, chama-se comprimento do cami-
nho g ao supremo (isto é, ao menor dos majo-
rantes) desse conjunto.
Diz-se que uma curva é retificável se pode ser
representada parametricamente por um cami-
nho retificável e, nesse caso, chama-se com-
primento da curva ao ínfimo dos comprimentos
de todos os caminhos retificáveis que a repre-
sentam parametricamente.
O teorema seguinte estabelece uma condição
suficiente para que um caminho seja retificável
e indica a forma de calcular o seu comprimen-
to. Deve-se referir, contudo, que a mencionada
condição é igualmente necessária para que
um caminho seja retificável.
Teorema 1
Um caminho g: [a, b] → IRn de classe C1 é reti-
ficável se ||g’|| é uma função integrável em
[a, b]. Nesse caso, o comprimento de g entre
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por
Em particular, o comprimento de g é 
S = s(b) = ∫∫ba ||g’(t)||dt.
Observação:
A função ||g’(t)||representa a norma euclidiana
de g’(t)(t∈[a, b]). Ter-se-á, portanto,
.
Demonstração:
Para cada decomposição Δ do intervalo [a, b],
a = t0 < t1 < · · · < ti–1 < ti < · · · < tn = b,
o comprimento da linha poligonal inscrita na
curva definida por g é dado por
||g(ti) – g(ti–1)|| é o comprimento do segmento
da linha poligonal entre os pontos g(ti–1) e g(ti).
Se o caminho for de classe C1, pode escrever-
se, qualquer que seja a decomposição Δ,
(1)
A segunda igualdade é justificada pela apli-
cação da fórmula de Barrow a cada uma das
funções componentes de g. A desigualdade
que lhe segue justifica-se pela seguinte pro-
priedade: se f é um campo vetorial integrável
no intervalo [a, b], então
Note-se que quer g_(t) quer g_(t) são funções
integráveis em no intervalo [a, b].
De (1),sai, então, que é um majorante
dos comprimentos das linhas poligonais ins-
critas em g, o que implica que o caminho g é
retificável.
Vejamos, agora, que o comprimento de g entre 
g(a) e g(t) (a = t = b) é dado por .
43
Cálculo II – Integrais de linha
Seja o ponto A = O+g(a) a “origem dos arcos”
e s(τ) o comprimento do arco de curva que vai
desde o ponto A até ao ponto Q(τ) = O + g(τ),
com τ,τ0∈[a,b] (ver figura acima). Supondo
τ >τ0, tem-se
donde
(2)
caso τ < τ0, tem-se
e as desigualdades 2 mantêm-se válidas.
Por outro lado, uma vez que a norma é uma
função contínua, tem-se
(3)
adicionalmente é válida a igualdade
(4)
pois, pelo teorema da média,
Consequentemente, o enquadramento (2) e as
igualdades (3) e (4) implicam que
e, como τ0é qualquer valor do intervalo [a, b],
conclui-se que s é uma função derivável do
parâmetro t que verifica
(5)
s’(t) = ||g’(t)||, ∀t∈[a,b]. 
Assim, para a ≤ t ≤ b,
e, em particular, o comprimento de toda a
curva é dado por
Deve-se referir que o comprimento de uma cur-
va de classe C1 é independente da respectiva
parametrização. Com efeito sejam α : I = [a, b]
→ IRn e β : J = [c, d] → IRn duas parametriza-
ções equivalentes de uma mesma curva.
Sejaφ : I → J uma função bijetiva e continua-
mente diferenciável tal que φ’ (t) ≠ 0 em todos,
com exceção dum número finito de pontos t ∈I
e α(t) = β[φ(t)], em todos os pontos de I. Note-
se que se φ é bijetiva, então, ou φ’(t) ≥ 0 ou φ’(t)
≤ 0 ∀t ∈I. Suponha-se, por exemplo, que φ’(t)
= 0. Então, tendo em conta o teorema da mu-
dança de variável na integral definida, deduz-
se sucessivamente,
Note-se que ||β’(u)|| é uma função contínua e
φ é continuamente diferenciável, tal que φ (a) ≤
φ (b).
Observação 1
s(t) diz-se a função comprimento de arco. O
diferencial de s, dado por ds = ||g’(t)||dt.
Observação 2
No caso de um caminho g : [a, b] → IR2 com
g(t) = (x(t), y(t)) e t ∈[a, b], tem–se 
e .
Observação 3
No caso de um caminho g : [a, b] → IR3 com
g(t) = (x(t), y(t), z(t)) e t ∈[a, b], tem-se
e
Então, o comprimento s do caminho g é dado
por
44
UEA – Licenciatura em Matemática
.
Observação 4
No caso de uma curva em IR2 ser dada explici-
tamente por uma função real de variável real
y=f(x), com a = x = b, pode parametrizar-se a
curva por meio das equações
.
Nesse caso, admitindo que f tem derivada con-
tínua em [a, b], tem-se 
, 
donde o comprimento s da curva é dado por
,
que é precisamente o resultado apresentado
no início desta seção.
Exemplo 12
Calcular o comprimento do arco da catenária
definido parametricamente pela função 
g : [0, 1] → IR2 com g(t) = (t, cosh t).
Como g’(t) = (1, senh t), o comprimento do
arco da catenária será
Exemplo 13
Determinar o comprimento do arco da hélice
helicoidal definido parametricamente pela
função f : IR → IR3 com f (t) = (2et cos t, 2et sen
t, 2et), desde (2, 0, 2) até (–2eπ, 0, 2eπ).
Nesse caso, é fácil verificar que as extremida-
des da curva correspondem aos valores 0 e π
do parâmetro t. De fato, f(0) = (2, 0, 2) e 
f(π) = (–2eπ, 0, 2eπ).
Por outro lado, 
f’(t) = (2et(cos t – sen t), 2et(sen t + cos t), 2et)
e, portanto, 
. O comprimento pedido é então:
Hélice helicoidal.
1. Determinar o comprimento dos seguintes ar-
cos de curvas:
a) g(t) = (et cos t, et sen t), t∈[0,2]
b) y = ln x, x∈⎣ , ⎦
c) γ(t) = [a(t – sent), a(1 – cost)], t∈[0,2π]
d) γ(t) = (t cost, sent,t), t∈⎣0, ⎦
e) 
45
Cálculo II – Integrais de linha
TEMA 03
DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA 
Para tornar mais clara a definição de integral
de linha, tenha-se em atenção o que segue.
Seja C uma curva do plano unindo dois pontos
A e B, definida parametricamente por um cami-
nho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe
C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1,
. . . , Pi–1, Pi, . . . , Pn = B, correspondentes a
uma partição do intervalo [a, b], a = t0 < t1 < ..
. < ti–1 < ti < .. . < tn = b, isto é, tais que Pi =
g(ti), i = 0, 1, . . . , n. Seja ainda ϕ um campo
escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2,
contendo a curva C, e suponhamos que aque-
la função é positiva em D, ou seja, ϕ(x,y) ≥ 0,
∀(x, y)∈D.
Considere-se, agora, a soma Σni=1ϕ(Qi)Δsi em
que ΔSi = s(ti) – s(ti – 1) com (i = 1,2,3,...,n) é o
comprimento do arco Pi–1Pi e Qi é um ponto
arbitrário escolhido nesse arco. Como a figura
a seguir mostra, ϕ(Qi)ΔSi é a área de uma
“faixa” com base do arco Pi–1Pi no plano XOY e
altura ϕ(Qi). É, então, evidente que Σni=1ϕ(Qi)Δsi
constitui uma proximação da área da superfície
cilíndrica S de diretriz C e geratriz paralela ao
eixo OZ, situada entre o plano XOY e o gráfico
de ϕ (ver figura abaixo). Intuitivamente, é fácil
aceitar que, no caso de existir e ser finito o li-
mite de Σni=1ϕ(Qi)Δsi quando n → ∞ e σ = maxi
|ti – ti–1| ? 0, esse limite deverá coincidir com a
área de S. Ora, caso não dependa da decom-
posição de [a, b] nem da escolha dos Qi, esse
limite é precisamente a integral de linha de ϕ
sobre a curva C relativamente ao comprimento
de arco s. Essa integral é designada, habitual-
mente, por integral de linha de 1.a espécie e re-
presenta-se por , isto é,
.
Interpretação Geométrica da Integral de linha.
Admitindo-se que a integral de linha
existe, vejamos como o seu cálculo se pode
fazer, recorrendo a uma integral definida no
intervalo [a, b].
Uma vez que função comprimento de arco s(t)
é contínua e derivável em [a, b], o teorema de
Lagrange implica que
(6)
ΔSi = s(ti) – s(ti–1) = s’(ξi)(ti – ti–1), para algum
ξi∈]ti–1 , ti[.
Considerando a soma conclui-se
de (6) que
(7)
,
sendo de notar que o 2.o membro dessa igual-
dade é uma soma de Riemann da função ϕ.s’
no intervalo [a,b] relativamente à decom-
posição considerada. 
Como essa função é contínua, pode-se garan-
tir a existência da sua integral de Riemann no
intervalo [a, b], tendo-se, portanto,
atendendo a (5). Passando ao limite ambos os
membros de (7), deduz-se que
Como o limite do 1.o membro não pode deixar
46
UEA – Licenciatura em Matemática
de ser , conclui-se que para calcular essa
última integral bastará calcular a integral definida
Vimos atrás que, sendo ϕ uma função positiva
definida em IR2 e C uma curva do plano XOY, a 
integral de linha pode ser interpretada geo-
metricamente como a área de uma superfície.
Mas, geralmente, supondo que ϕ é um qual-
quer campo escalar definido em IRn e C uma
qualquer linha do mesmo espaço, a integral de
linha de 1.a espécie define-se como segue:
Definição 8
Seja ϕ um campo escalar contínuo cujo domí-
nio contém uma curva C representada para-
metricamente por um caminho g : [a, b] → IRn,
seccionalmente de classe C1. A integral, 
, dado por
diz-se a integral de linha de ϕ sobre C relativo
ao comprimento de arco s definido pelo cami-
nho g. 
Exemplo 14
Calcular a área da superfície lateral do sólido
limitado superiormente pelo plano de equação
z = 1–x–y e inferiormente pelo círculo 
do plano z = 0.
Solução:
A curva que no plano XOY limita a superfície é 
a circunferência
.
Designando essa curva por C e representando-
a parametricamente pelas equações
, tem-se que a área pe-
dida é igual a
As integrais de linha relativos ao comprimento
de arco surgem, muitas vezes, ligadas a pro-
blemas relacionados com a distribuição de
uma grandeza escalar (massa, carga elétrica,
etc) ao longo de uma curva.
Supondo, por exemplo, que um filamento com
a configuração de uma curva em IR3 tem den-
sidade de massa por unidade de comprimento
dada por um campo escalar ϕ (isto é, ϕ(x,y,z),
que é a massa por unidade de comprimento
no ponto (x,y,z) de C), então a massa total do
filamento é definida por 
O centro de massa do filamento é definido
como o ponto (x,y,z), cujas coordenadas são
determinadas pelo sistema de equações:
Exemplo 15 
Calcular o centro de gravidade do arco de semi-
circunferência C = {(x,y): x2 + y2 = r2, y ≥ 0}
supondo que em todos os pontos de C a den-
sidade de massa por unidade de comprimento
é constante (ver figura a seguir).
Solução:
Seja ϕ(x,y) = ρ = const. a densidade de mas-
sa por unidade de comprimento em cada pon-
to (x,y) do arco de semicircunferência C.
Considerando a parametrização de C,
g(t) = (r cos t, rsen t), t∈[0,π], tem-se que a
massa de C é dada por
47
Cálculo II – Integrais de linha
Centro de gravidade de semicircunferência.
Então, as coordenadas do centro de gravidade 
são dadas por:
Isto é, .
A definição de integral de linha que agora se
apresenta é relativa a campos vetoriais e intro-
duz a habitualmente designada integral de linha
de 2.a espécie.
Definição 9
Seja C uma curva representada parametrica-
mente por um caminho g : [a, b] → IRn, sec-
cionalmente de classe C1, e f um campo veto-
rial definido em C, que toma valores em IRn.
Chama-se integral de linha de f ao longo do
caminho g à integral
(8)
sempre que a integral da direita exista. (Na
igualdade anterior, “.” representa a operação
de produto interno.)
Observação 5
Se A = g(a) e B = g(b), a integral pode
ser expressa por ∫BAf.dg; quando
essa notação é usada, há de se ter em conta
que a integral depende não só dos seus
extremos, mas também do caminho que os
liga! Se A = B, isto é, se C é fechado, é cos-
tume representar a integral de linha de f ao 
longo de g pelo símbolo.
Quando f e g são expressos pelas suas com-
ponentes, isto é, f = (f1, f2,...,fn) e g = (g1,
g2,...,gn), a igualdade (8) escreve-se na forma
No caso bidimensional, a curva C é habitual-
mente descrita por um par de equações para-
métricas do tipo
,
e a integral de linha escreve-se na forma
No caso tridimensional, a curva C é habitual-
mente descrita por três equações paramétricas
do tipo
,
e a integral de linha escreve-se na forma
Exemplo 16 
Seja f o campo vetorial definido por
para todos os pares
(x,y)∈IR2 tais que y ≥ 0. 
48
UEA – Licenciatura em Matemática
Calcular a integral de linha de f de (0,0) até
(1,1), ao longo de cada um dos seguintes ca-
minhos:
1. o segmento de reta de equações paramétri-
cas x = t, y = t, 0 ≤ t ≤ 1;
2. o caminho com equações paramétricas x =
t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1.
Solução:
No caso da alínea (a), tem-se g’(t) = (1,1) e
. Então, o produto interno 
f[g(t)].g’(t) é igual a , donde
No caso da alínea (b), tem-se g’(t) = (2t, 3t2), 
e
A integral pedida será, portanto,
Esse exemplo mostra que a integral, desde um
ponto até outro, pode depender do caminho
que liga os dois pontos. Repare, no entanto,
que se efetuar o cálculo do segundo integral,
utilizando a mesma curva, mas com uma outra
representação paramétrica, por exemplo, 
, com 0 = t = 1, tem-se 
, e a integral é igual 
a como anteriormente. Esse fato ilustra a
independência do valor da integral de linha re-
lativamente à representação paramétrica uti-
lizada para descrever a curva. Recordemos
que tal propriedade já tinha sido observada
quando se definiu a noção de comprimento de
arco.
Seja C uma curva de classe C1 parametrizada
por g:[a,b] → IRn tal que g’(t) ≠ 0, para qualquer
t∈[a,b] (uma curva nessas condições diz-se
regular). Mostra-se seguidamente que a inte-
gral de linha de um campo vetorial ao longo de
uma curva regular não é mais do que a integral
de linha de um certo campo escalar relativo ao
comprimento de arco. Seja, então, f um campo
vetorial, e ϕ o campo escalar definido por
ϕ[g(t)] = f[g(t)].T(t), isto é, pelo produto inter-
no de um campo vetorial f definido em C com 
o vetor unitário tangente . Então, 
Interpretemos fisicamente : se f caracteri-
zar o escoamento de um fluido (ou seja, se f for
um campo de velocidades), f. T traduzirá a com-
ponente tangencial desse escoamento em
cada ponto da linha C, constituindo uma medi-
da do escoamento do fluido na direção de T,
em cada ponto da referida linha; assim, se C
for uma curva fechada, a integral de linha
∫Cf.dg = ∫Cf . Tds representará uma medida do
escoamento do fluido ao longo da linha C,
medida essa que se designa por circulação.
1. Calcule ∫Cf(x,y)ds, ∫Cf(x,y)dx e ∫Cf(x,y)dy em que:
a) e C é a curva parametrizada
por , com t∈[0,4]
b) f(x,y) = x3 + y e C é a curva y = x3, com
0 < x < 1.
2. Calcule as áreas das superfícies cilíndricas si-
tuadas entre as curvas do plano XOY e as
superfícies indicadas:
a) Curva y = x2, x∈[0,2] e superfície .
b) Curva e superfície .
c) Curva x2 + y2 = ax(a > 0) e superfície
z = x – z. 
3. Considere um fio com a forma da hélice de
equações
49
Cálculo II – Integrais de linha
Calcule a massa do fio, sabendo que em cada
ponto (x,y,z) a densidade linear do fio é dada 
por .
4. Calcule a massa do segmento de curva 
y = ln x que une os pontos (1,0) e (e,1) se a
densidade linear em cada ponto for igual ao
quadrado da abscissa do ponto.
5. Calcule ∫C4(xy2)dx – 3x4dy, em que C é a linha
poligonal que une os pontos (0,1),(–2,1) e
(–2,0).
6. Calcule , em que C é a
circunferência x2 + y2 = 4, orientada no senti-
do positivo.
UNIDADE IV
Integrais múltiplas
53
Cálculo II – Integrais múltiplas
UM BREVE HISTÓRICO
RIEMANN
Nasceu no dia 17 de setembro de 1826, em
Breselenz, Alemanha. Era filho de um ministro
luterano e teve uma boa instrução, estudando
em Berlim e Göttingen, mas em condições
muito modestas por causa de sua saúde frágil
e de sua timidez. 
Aos 19 anos, Riemann foi, com todo o apoio do
pai, para a Universidade de Göttingen, estudar
teologia com o objetivo de tornar-se clérigo.
Mais tarde, pediu permissão ao pai e mudou o
foco dos seus estudos para a Matemática,
transferindo-se, um ano depois, para a Univer-
sidade de Berlim, onde atraiu o interesse de e
Jacobi.
Em 1849, retornou a Göttingen, onde obteve o
grau de doutor em 1851. Sua brilhante tese foi
desenvolvida no campo da teoria das funções
complexas. Nessa tese, encontram-se as cha-
madas equações diferenciais de Cauchy-
Riemann – conhecidas, porém, antes do tempo
de Riemann – que garantem a analiticidade de
uma função de variável complexa e o produti-
vo conceito de superfície de Riemann, que
introduziu considerações topológicas na aná-
lise. 
Três anos mais tarde, foi nomeado
Privatdozent, cargo considerado o primeiro
degrau para a escalada acadêmica. Com a
morte de Gauss em 1855, Dirichlet foi chama-
do a Göttingen como seu sucessor e passou a
incentivar Riemann, primeiro com um pequeno
salário, e depois com uma promoção a profes-
sor assistente. Em 1859, morreu Dirichlet, e
Riemann foi nomeado professor titular para
substituí-lo.
O período de 1851 a 1859, do ponto de vista
econômico, foi o mais difícil da vida de Rie-
mann, mas ele criou suas maiores obras justa-
mente nesses anos.
Riemann era um matemático de múltiplos inte-
resses e mente fértil, contribuindo não só para
o desenvolvimento da geometria e da teoria
dos números como também para o da análise
matemática.
Riemann tornou claro o conceito de integrabi-
lidade de uma função por meio da definição do
que atualmente chamamos Integral de Rie-
mann. 
Durante uma conferência-teste, generalizou to-
das as geometrias, euclidianas e não-euclidia-
nas, estabelecendo a Geometria Riemanniana,
que serviu de suporte para a Teoria da Rela-
tividade de Einstein.
Em 1859, publicou seu único trabalho em
Teoria dos Números: um artigo dedicado ao
Teorema dos Números Primos, no qual, partin-
do de uma identidade notável descoberta por
Euler, chegou a uma função que ficou conheci-
da como Função Zeta de Riemann. Nesse arti-
go, provou várias propriedades importantes
dessa função, e enunciou várias outras sem
prová-las. Durante um século, depois de sua
morte, muitos matemáticos tentaram prová-las
e acabaram criando novos ramos da análise
matemática.
Riemann morreu de tuberculose, no dia 20 de
Julho de 1866, em Selasca, na Itália, durante a
última de suas várias viagens para fugir do
clima frio e úmido do norte da Alemanha.
54
UEA – Licenciatura em Matemática
INTRODUÇÃO
As integrais múltiplas ou integrais de funções
de várias variáveis são uma extensão natural
do conceito de integral de funções de uma va-
riável. As integrais múltiplas contribuíram bas-
tante para o engrandecimento do cálculo e sua
possível atuação em diversas ciências. O cál-
culo, por meio das Integrais Múltiplas, tem di-
versas aplicações. Entre as diversas apli-
cações das Integrais Múltiplas, temos: o cálcu-
lo de volume de sólidos, o cálculo do centro de
massa e momento de inércia de um corpo, etc.
TEMA 01
INTEGRAIS DUPLAS
Seja f(x, y) uma função definida num domínio D
do plano. Vamos supor que D seja limitado, de
sorte que ele estará todo contido num retângulo
R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, 
Como ilustra a Fig. 6.1., vamos dividir os lados
horizontais desse retângulo em m subinterva-
los iguais de comprimentos . De
igual modo, dividimos os lados verticais em n
subintervalos iguais, de comprimentos
. Sejam:
x0 = a < x1 < x2 < ........ < xm = b
e 
y0 = c < y1 < y2 < ........ < yn = d 
os pontos dessas divisões.
Traçando, por esses pontos, retas paralelas
aos eixos de coordenadas, o retângulo R fica
dividido em sub-retângulos Rij, i = 1,..., m e
j = 1, ..., n, cada um deles com área ΔxΔy.
Agora, tomamos em cada sub-retângulo Rij um
ponto Pij = (ξi,ηj), como ilustra a Fig. 5.1 e for-
mamos uma soma, chamada de soma de
Riemann:
em que tomamos f(ξi,ηj) como zero quando o
ponto Pij estiver fora do domínio D. Quando Δx
e Δy tendem a zero, ou me n tendem a infinito,
pode acontecer que essa soma tenha um limite
determinado. Isso ocorrendo, esse limite é cha-
mado a integral de f sobre o domínio D, que se
indica pelo símbolo:
∫∫∫∫Df(x,y)dxdy 
Portanto, por definição,
∫∫∫∫Df(x,y)dxdy =
(1)
55
Cálculo II – Integrais múltiplas
Fig. 6.1
A existência desse limite depende do compor-
tamento da função f e das propriedades do do-
mínio D. Vamos supor que a fronteira de D seja
constituída de um número finito de arcos do
tipo:
x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β,
em que x(t) e y(t) são funções contínuas com
derivadas contínuas num intervalo fechado
[α,β], satisfazendo a condição x’2 + y’–2 ≠ 0.
Um tal arco é dito regular e uma fronteira con-
stituída de um número finito de arcos regulares
é chamada fronteira regular. Quando a função
f é contínua num domínio compacto (fechado e
limitado), com fronteira regular, a integral dupla
e (1) existe. Esse resultado é suficiente para os
propósitos do nosso curso.
Observe-se que, se um sub-retângulo Rij conti-
ver pontos de D e pontos fora de D, ele con-
tribuirá ou não à soma (1) conforme Pij seja
escolhido em D ou fora, respectivamente.
Essa escolha não afeta o valor da integral, que
é o limite da soma quando os lados dos sub-
retângulos Rij tendem a zero. Esse fato decorre
da hipótese que fazemos de que a fronteira
regular tem “área nula”, portanto em nada con-
tribui à integral. Existem fronteiras não regu-
lares e bastante complexas para terem “área
positiva” ou “medida positiva”, como se diz.
Para interpretar geometricamente o significado
da integral dupla, vamos supor, por um mo-
mento, que a função f seja positiva. Então, o
gráfico de z = f(x, y) é uma superfície que está
acima do plano Oxy, como ilustra a Fig. 6.2.
Podemos compreender que a soma de Rie-
mann em (1) é a soma dos volumes dos para-
lelepípedos cujas bases são os sub-retângulos
Rij e cujas alturas correspondentes são os va-
lores f(ξi,ηj). Quando Δx → 0 e Δy → 0, essa
soma vai-se aproximando mais e mais do que
podemos chamar o volume do sólido delimita-
do pelo domínio D, pelo gráfico de f e pelas
retas que passam pela fronteira de D e são
paralelas ao eixo Oz. Podemos, pois, definir o
volume desse sólido como a integral em (1). 
Fig. 6.2
Quando f for positiva em alguns pontos e ne-
gativa em outros, a integral em (1) consistirá de
duas partes: uma parcela positiva, igual ao vo-
lume do sólido correspondente ao subconjun-
to de D onde f é positiva, e uma parcela nega-
tiva, igual, em valor absoluto, ao volume do só-
lido correspondente ao subconjunto de D onde
f é negativa.
A área de uma figura plana D, com fronteira
regular, é definida como sendo a integral da
função f(x, y) = 1 em D, isto é,
A = ∫∫∫∫Ddxdy 
Essa definição é perfeitamente natural, já que
as somas de Riemann em (1), com f(x, y) = 1,
são áreas de polígonos que vão “aproximando”
mais e mais a figura D, à medida que Δx e Δy
tendem a zero (Figs. 6.3).
56
UEA – Licenciatura em Matemática
Figs 6.3
Como aplicação imediata da definição de área,
podemos verificar que a área A da figura deli-
mitada pelo gráfico de uma função f(x) ≥ 0, o
eixo Ox e as retas x = a e x = b (Fig. 6.4) é
dada por
A = ∫
b
af(x)dx 
De fato, de acordo com a definição acima e (2)
abaixo,
A = ∫∫∫∫Ddxdy =
Fig. 6.4
TEMA 02
INTEGRAIS REPETIDAS
Veremos que o cálculo das integrais duplas
reduz-se ao cálculo de integrais simples, gra-
ças a um teorema que se demonstra nos cur-
sos de análise. Vamos considerar uma versão
simplificada desse teorema, suficiente para os
propósitos de nosso curso.
Vamos supor que o domínio d da função f con-
sista dos pontos (x, y), com a ≤ x ≤ b e y1(x) ≤
y ≤ y2(x), onde y = y1(x) e y = y2(x) sejam
funções contínuas no intervalo [a, b], como
ilustra a fig. 6.5. Pode-se demonstrar, então,
que a integral dupla de f sobre d é o resultado
de duas integrações sucessivas:
(2)
Fig. 6.5
Podemos escrever a integral repetida do
segundo membro de (2) na forma
ou ainda 
Quando f é positiva, a integração em y, que
aparece no segundo membro de (2), represen-
ta a área A(x) de uma seção do sólido delimita-
do pelo domínio D, pela superfície z = f(x, y) e
pelas retas paralelas a Oz que passam pela
fronteira de D. O produto A(x)dx representa o
57
Cálculo II – Integrais múltiplas
volume de uma “fatia” desse sólido, como ilus-
tra a Fig. 6.6. Quando integramos x, obtemos o
volume total do sólido.
Fig. 6.6
O resultado expresso em (2) pode ser formula-
do trocando-se os papéis das variáveis x e y.
Para isso, devemos supor que D possa ser
descrito como o conjunto dos pontos (x, y)
com c ≤ y ≤ d e x1(y) ≤ x2(y), onde x = x1(y) e
x = x2(y) sejam funções contínuas no intervalo
[c, d]. Então, a integral dupla da função f é o
resultado de se integrar primeiro em x e depois
em y:
(3)
Observe-se que para a validade, tanto de (2)
como de (3), devemos supor que f seja função
contínua no domínio D e que este inclui sua
fronteira, sendo, então, um conjunto compacto.
Exemplo 1
Calcular a integral 
, onde D é o domínio deli-
mitado pelas retas y = 0, x = e pela curva
y = (Fig. 6.7a)
Fig. 6.7 a
Integrando primeiro em y, de y = 0 a y =
, obtemos:
∫∫∫∫D cos(y )dxdy
Em seguida integramos em x, de x = 0 a x = :
=
= = 1 –
Outro modo de calcular a integral consiste em
integrar primeiro em x e depois em y, como
ilustra a Fig. 6.7 b
Fig.6.7 b
∫∫∫∫D cos(y )dxdy=
Esse procedimento não é bom porque esta
última integral em x é bem mais complicada de
se calcular (integral por partes).
Exemplo 2
Calcular a integral da função f(x, y) = x no
domínio D formado pelas retas 
y = 0, x + y = 2 e a parábola x = y2 (Fig.6.8).
Nesse caso, é conveniente integrar primeiro em
relação a x:
=
=
=
58
UEA – Licenciatura em Matemática
=
Fig.6.8
Observação:
Poderíamos começar integrando primeiro em
y, mas é um modo mais difícil. É mais interes-
sante descobrir o modo mais fácil de resolver a
integral dupla, ou começando por x ou por y,
depende de cada caso.
Exemplo 3
Integrar uma função f(t), entre t = 0 e t = x, n
vezes é mostrar que o resultado pode ser ex-
presso com uma única integração. Vamos es-
crever
F0(x)= ∫∫
x
0f(t)dt1, F1(x) = ∫∫
x
0F0(t)dt1,
F2(x) = ∫∫
x
0F1(t)dt, .........,
Fn(x) = ∫∫
x
0Fn – 1(t)dt 
Note-se que
F1(x) = ∫∫
x
0 ds ∫∫
s
0 f(t)dt = ∫∫∫∫Df(t)dtds, onde D é o
triângulo, no plano t, s, delimitado pelas retas
t = s, t = 0 e s = x. 
Integrando primeiro em s, depois em t, obte-
mos:
F1(x) = ∫∫
x
0 f(t)dt ∫∫
x
1 ds = ∫∫
x
0 f(t)(x – 1)dt, usando
esse resultado, podemos calcular F2(x) de
maneira análoga:
.
Com esse resultado, podemos calcular F3(x)
pelo mesmo método de trocar a ordem das in-
tegrações:
.
É claro que continuando essas integrações
vamos encontrar, sucessivamente,
,.............., 
, Fn(x) é o resultado de inte-
grar f(t)n + 1 vezes entre 0 e x. Como vimos,
nos exemplos anteriores, a escolha da ordem
de integração no cálculo de uma integral dupla
é ditada pela conveniência em cada caso.
1. Em cada um dos exercícios, de a a g, são da-
dos um domínio D e uma função f. Calcule a
integral dupla de f sobre D em cada caso.
a) D é o quadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 e
f(x,y) = x2 + y2
b) D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} e f(x, y) = x2y
c) D é o quadrado de vértices (±1,0) e (0,±1), e
f(x, y) = x.ey
d) D é o domínio delimitado pelas retas x = y,
x = –1 e y = 1, e f(x, y) = x.y
e) D é o semicírculo x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 e
f(x, y) = x
f) D é o domínio delimitado pela parábola 
y = x2, pelo eixo Ox e pela reta x =1 e 
f(x, y) = x.ey
g. D é o domínio delimitado pela parábola 
y = x2, o eixo Oy e a reta y = e
f(x, y) =
2. Calcule a integral dupla ∫∫R∫∫(2x – 3y)dA se R é a
região que consiste de todos os pontos (x, y),
tais que –1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3 
3. Encontre o volume do sólido limitado pela su-
59
Cálculo II – Integrais múltiplas
perfície f(x, y) = 4 – os planos 
x = 3 e y = 2 e os três planos coordenados.
4. Encontre, por integração dupla, a área da re-
gião no plano xy, limitadopelas curvas y = x2
e y = 4x – x2.
5. Determine o valor da integral dupla
.
6. Encontre o valor da integral ∫∫R∫∫sen xdA, R é a 
região limitada pelas retas y = 2x, y = , e
x = π.
7. Encontre o volume do sólido abaixo do plano
z = 4x , e acima da circunferência x2 + y2 = 16
no plano xy. 
Propriedades da Integral Dupla
Vamos relacionar aqui várias propriedades das
integrais duplas, que são comuns às integrais
simples. A linearidade da integral expressa-se
por meio das seguintes equações:
1. ∫∫∫∫Dc.f(x,y)dxdy = c∫∫∫∫Df(x,y)dxdy, 
2. ∫∫∫∫D[f(x,y) + g(x,y)]dxdy
= ∫∫∫∫Df(x,y)dxdy + ∫∫∫∫Dg(x,y)dxdy,
onde c é constante, f e g são funções con-
tínuas num domínio compacto D com fron-
teira regular. Se D = D1∪D2, onde D1 e D2
são domínios disjuntos ou só têm em
comum um número finito de arcos regu-
lares, então
3. ∫∫∫∫D1∪D2f(x,y)dxdy
= ∫∫∫∫D1f(x,y)dxdy + ∫∫∫∫D2f(x,y)dxdy
TEMA 03
INTEGRAIS TRIPLAS
A extensão da integral dupla à integral tripla é
análoga à extensão da integral simples à inte-
gral dupla. O tipo mais simples de região em
R3 é um paralelepípedo retangular, limitado pe-
los seis planos: 
x = a1
x = a2
y = b1
y = b2
z = c1
z = c2
com a1< a2 , b1< b2 e c1< c2. 
Seja f uma função de três variáveis e supo-
nhamos que f seja contínua em tal região D.
Uma partição dessa região é formada dividindo
D em sub-regiões retangulares traçando pla-
nos paralelos aos planos coordenados. Deno-
temos tal partição por Δ e suponhamos que n
seja o número de sub-regiões. Seja ΔiV a medi-
da do volume da i-ésima sub-região. Escolhe-
mos um ponto arbitrário (ξi,γi,μi) na i-ésima sub-
região. Formamos a soma:
(1)
A norma ||Δ|| da partição é o comprimento da
maior diagonal das sub-regiões. As somas da
forma (1) terão um limite quando a norma da par-
tição tender a zero, para qualquer escolha dos
pontos (ξi,γi,μi), se f for contínua em D. Denomina-
mos esse limite de integral tripla de f em D e
escrevemos:
=
Assim, a integral tripla é igual a uma integral
iterada-tripla. Quando D é o paralelepípedo re-
tangular descrito anteriormente e f é contínua
em D, temos
Exemplo 1
Calcule a integral tripla 
60
UEA – Licenciatura em Matemática
se D é o paralelepípedo re-
tangular limitado pelos planos x = π, y = , 
z = e os planos coordenados.
Solução: 
=
=
=
= =
= 
=
Agora, discutiremos como definir a integral tri-
pla de uma função contínua de três variáveis
numa região em R3, diferente de um paralelepí-
pedo retangular. Seja D a região tridimensional
fechada, limitada pelos planos x= a e x = b,
pelos cilindros y = φ1(x) e y = φ2(x) e pelas
superfícies z = F1(x,y) e z = F2(x,y), onde as
funções φ1, φ2, F1, F2 são curvas (têm derivadas
ou derivadas parciais contínuas). Veja Fig. 7.0.
Fig.7.0
Construímos planos paralelos aos planos coor-
denados, formando um conjunto de paralelepí-
pedos retangulares que cobrem completamen-
te D. Os paralelepípedos que estão totalmente
dentro de D ou na fronteira de D formam uma
partição Δ de D. Escolhemos um sistema de
numeração de tal forma que sejam numerados
de 1 a n. A norma ||Δ|| dessa partição de D é
o comprimento da maior diagonal de qualquer
paralelepípedo que pertence à partição. Seja
ΔiV a medida do volume do i-ésimo paralele-
pípedo. Seja f uma função de três variáveis,
que é contínua em D e seja (ξi, γi, μi) um ponto
arbitrário no i-ésimo paralelepípedo. Formando
a soma
(2)
Se as somas da forma (2) têm um limite quan-
do ||Δ|| tende a zero, e se esse limite é inde-
pendente da escolha dos planos que formam a
partição e as escolhas dos pontos arbitrários
(ξi, γi, μi) em cada paralelepípedo, então esse
limite é chamado a integral tripla de f em D, e
escrevemos: 
= (3)
Em cálculo avançado, podemos demonstrar
que uma condição suficiente para que o limite
em (3) exista é que f seja contínua em D. Além
disso, sob a condição imposta sobre funções
φ1, φ2, F1, F2 de que sejam suaves, também po-
demos dizer que a integral tripla pode ser cal-
culada por meio da integral iterada
Assim como a integral dupla pode ser interpre-
tada como a medida da área de uma região
plana quando f(x, y) =1 em R1, a integral tripla
pode ser interpretada como a medida do vo-
lume de uma região tridimensional. Se f(x, y, z)
= 1 em D , então a Eq. (3) transforma-se em
e a integral tripla é a medi-
da do volume da região D.
Exemplo 2
Encontre o volume do sólido limitado pelo cilin-
61
Cálculo II – Integrais múltiplas
dro x2 + y2 = 25, o plano x + y + z = 8 e o
plano xy. 
Solução:
Os limites de z para a integral iterada são de 0
a 8 – x – y (o valor de z no plano). Os limites
de y são obtidos da fronteira da região no
plano xy, que é a circunferência x2 + y2 = 25.
Então, os limites de y são de
– . Os limites de x são de
–5 a 5. Se V unidades cúbicas é o volume
procurado, temos:
V =
=
=
=
= 200π, portanto o volume é 200π unidades
cúbicas.
Exemplo 3
Encontre a massa do sólido acima do plano xy
limitado pelo cone 9x2 + z2 = y2 e o plano 
y = 9 se a medida da densidade do volume em
qualquer ponto(x, y, z) no sólido é proporcional
à medida da distância do ponto ao plano xy. 
Solução:
Seja M quilogramas a massa do sólido e seja a
distância medida em metros. Então, a densi-
dade do volume em qualquer ponto (x, y, z) no
sólido é kz kg/m3, em que k é uma constante.
Assim, se (ξi, γi, μi) é qualquer ponto no i-
ésimo paralelepípedo retangular da partição,
temos:
, portanto a massa é
1. Calcule a integral iterada:
a)
b)
2. Calcule a integral tripla de se D é a re-
gião limitada pelo tetraedro formado pelo pla-
no 12x + 20y + 15z = 60 e os planos coorde-
nados. 
3. Calcule a integral tripla de se D é a
região limitada pelo tetraedro com vértices 
(0, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 0) e (1, 0, 1). 
4. Calcule a integral tripla de (xz + 3z)dV se D
é a região limitada pelo cilindro x2 + z2 = 9 e
os planos x + y =3, e z = 0 e y = 0 acima do
plano xy. 
5. Calcule as integrais repetidas abaixo:
a)
b)
c)
Calcule a integral de f sobre o domínio D em
cada um dos Exercícios de 6 a 8. Sempre que
possível, esboce o domínio D.
62
UEA – Licenciatura em Matemática
6. f (x, y, z) = x.y2z3, D: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
7. f (x , y, z) = x + y + z e D é o tetraedro delimi-
tado pelos planos de coordenadas e pelo pla-
no x + y + z + 1 = 0. 
8. f (x, y, z) = (x + y + z + 2)–3 e D é o tetrae-
dro delimitado pelos planos de coordenadas e
pelo plano x – y + z = 1. 
Nos Exercícios 9 e 10, calcule, por integração
tripla, o volume do sólido dado.
9. Sólido delimitado pelos planos x = 0, y = 0,
z = x e pela superfície cilíndrica z = 1 – y2.
10. Sólido delimitado pelos planos 
z = 0, z = 5 + x + y e pelas superfícies cilín-
dricas y2 = x e y2 = 1. 
11. Usando integração tripla, encontre o volume do
sólido no primeiro octante limitado inferiormen-
te pelo plano xy, acima pelo plano z = y e la-
teralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x = 1. 
12. Encontre o volume do sólido no primeiro oc-
tante limitado pelos cilindros 
x2 + y2 = 4 e x2+ 2z = 4 e pelos três planos
coordenados. 
13. Encontre o volume do sólido limitado pelo
parabolóide elíptico 3x2 + y2 = z e abaixo do
cilindro x2+ z = 4. 
14. Encontre o volume do sólido limitado pelo elip-
sóide .
15. Determine a massa do sólido limitado pelos
cilindros x = z2 e y = x2 , e os planos x = 1,
y = 0 e z = 0. A densidade de volume varia
com o produto das distâncias aos três planos
coordenados e é medida em kg/m2.
16. Calcule a massa do sólido limitado pela su-
perfície z = x.y e pelos planos x = 1, y = 1 e
z = 0. A densidade de volume em qualquer
ponto é ρkg/m3 e .
17. Determine, por integração tripla, o volume do
sólido formado pela intersecção da esfera 
x2 + y2 + z2 ≤ 6 com o parabolóide z ≥ x2 + y2. 
TEMA 04
MUDANÇA DE VARIÁVEIS NAS INTEGRAIS
DUPLAS
Seja f uma função contínua num domínio com-
pacto D, com fronteira regular. Vamos supor
que D seja divididoem n subdomínios D1,
D2,........,Dn. Por meio de um número finito de
arcos regulares, como ilustra a Fig. 1. Em cada
um dos subdomínios Di, escolhemos um ponto
arbitrário Pi e formamos a soma 
Onde A(Di) representa a área do subdomínio
Di. Em seguida, consideramos toda uma se-
qüência de divisões do domínio D, a cada uma
das quais associamos uma soma Sn da manei-
ra descrita acima. Seja dn o maior dos diâme-
tros dos subdomínios D1, D2,........,Dn da divi-
são que fornece a soma Sn. Vamos supor que
à medida que n cresce, tendendo a infinito, o
diâmetro máximo dn tende a zero. Então, a so-
ma Sn tende à integral de f sobre D. Não nos
vamos ocupar da demonstração desse resulta-
do: vamos apenas usá-lo em várias aplicações. 
•• Coordenadas Polares
Como primeira aplicação do resultado anterior,
vamos considerar a integração de uma função
f em coordenadas polares r e θ. Vamos supor f
já expressa como função de r e θ, num domínio
D, dado na forma
r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ), α ≤ θ ≤ β
63
Cálculo II – Integrais múltiplas
Nesse caso, é conveniente dividir o domínio D
em subdomínios Di pelos círculos R = const. e
as retas θ = const. Dessa maneira, a área de
Dié aproximadamente dada por
A(Di) ≅ Δ ∼ r(rΔθ)
Já que Δr e r Δθ são os lados AB e AC de D
(Fig. 2). Com esse valor de A(Di), a soma Sn em
Fig.1 
é aproximadamente igual a 
Quando passamos ao limite, com n → ∞, essa
soma deve convergir para a integral repetida
(a)
Isso, de fato, ocorre, e essa integral é igual à
integral dupla de f sobre D:
.
Uma demonstração rigorosa desse resultado é
feita nos cursos de Análise e está fora dos
objetivos do nosso curso.
Exemplo 1
Vamos calcular a integral de f(x, y) =
no círculo x2 + y2 ≤ R2. Seria muito trabalhoso
efetuar essa integração em coordenadas carte-
sianas. No entanto o cálculo é imediato em
coordenadas polares, pois r = , logo: 
= 
=
= =
•• Mudança Geral de Variáveis
Vamos considerar, agora, o problema geral de
mudança de variáveis numa integral dupla,
∫∫∫∫Df(x,y)dxdy (1)
Vamos supor que o domínio D do plano x, y
seja transformado num domínio D’ do plano u,
v por uma aplicação biunívoca dada pelas
equações de transformação
x = x(u, v) y = y(u, v)
Supomos ainda que essas funções sejam con-
tínuas, com derivadas contínuas e jacobiano
diferente de zero em D’:
Vamos imaginar, no cálculo integral (1), que o
domínio D seja dividido em subdomínios pelas
curvas u = const. E v = const.. Um subconjun-
to Di dessa divisão será delimitado pelas curvas
u = u0 , u = u0 + Δu, v = v0 e v = v0 + Δv. Vamos
fazer um cálculo aproximado de sua área, con-
siderando valores pequenos de Δu e Δv.
Sejam
P = P(u, v) = (x(x, v), y(u, v)) e
P0 = (x0, y0) = (x(u0, v0), y(u0, v0))
Aproximaremos a área de Di pela do paralelo-
gramo, cujos lados são os vetores e
. Note-se que esses vetores são tan-
gentes, no ponto P0, às curvas v = v0 e 
u = u0, respectivamente. Essa área é o módu-
lo do produto vetorial desses vetores:
(2)
Isso sugere que a integral dupla em (1) seja
dada pela integral dupla de f|j| sobre D’, isto é,
∫∫∫∫Df(x,y)dxdy = ∫∫∫∫Df[x(u,v), y(u,v)]|j|dudv (3)
De fato, essa fórmula é correta. Não vamos de-
monstrá-la aqui, mas apenas nos contentar
com o argumento heurístico que demos acima.
Esse argumento sugere ainda que o módulo
do jacobiano é o limite das áreas de Di e do
subdomínio correspondente D’i do plano u, v,
quando Δu e Δv tendem a zero:
(4)
Esse resultado também é verdadeiro e pode
ser demonstrado com auxílio do teorema da
Média( veja exercício adiante). O sinal do jaco-
biano, por sua vez, está ligado às orientações
dos domínios D e D’: se J>0, então quando um
ponto P percorre a fronteira de D no sentido
64
UEA – Licenciatura em Matemática
anti-horário, sua imagem Q percorre a fronteira
de D’ no mesmo sentido anti-horário; mas se
j<0, então enquanto P percorre o contorno de
D no sentido anti-horário, Q estará descreven-
do a fronteira de D’ no sentido horário.
Exemplo 2
Note-se que, na integral (a), o fator r que
aparece no integrando é precisamente o jaco-
biano da transformação 
x = r.cosθ, y = r.senθ:
Esse resultado está de acordo com a fórmula
geral (3).
Exemplo 3
Para calcular a integral
,
D = {(x, y): 
Primeiro, fazemos a mudança de coordenadas
x = au, y = bv.
Em conseqüência,
I = a.b∫∫∫∫u2 + v2 ≤ 1(u2 + v2)dudv
Em seguida, introduzimos coordenadas pola-
res: u = r.cosθ, v = r.senθ, logo
Nos exercícios de 1 a 5, use coordenadas
polares para calcular as integrais indicadas. 
1. ∫∫∫∫x2 + y2 < R2 dxdy 
2. ∫∫∫∫x2 + y2 < R2 e–x
2–y2dxdy
3. ∫∫∫∫Dxydxdy, D: 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 
4. ∫∫∫∫Dxydxdy, D: a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2, x ≥ 0, y ≥ 0
5. ∫∫∫∫Dxydxdy, D:
TEMA 05
A PLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA E TRIPLA
Veremos, agora, diversas aplicações práticas
com integrais duplas e triplas. Aplicações que
revolucionaram em muito o cálculo e outras
ciências como a engenharia, a arquitetura, a
física, etc.
•• Centro de Massa e Momento de Inércia
Usamos integrais simples para encontrar o cen-
tro de massa de uma lâmina homogênea. Ao
usarmos integrais simples, podemos conside-
rar apenas lâminas de densidade de área cons-
tante (exceto em casos especiais). Mas, com
integrais duplas, podemos encontrar o centro
de massa de uma lâmina homogênea ou não
homogênea.
Suponhamos uma lâmina com a forma de uma
região fechada R no plano xy. Seja ρ(x,y) a
medida da densidade de área da lâmina em
um ponto qualquer (x, y) de R, onde ρ é con-
tínua em R. Seja Δ uma partição de R em n
retângulos. Se (ξi,γi) é um ponto qualquer no i-
ésimo retângulo que tem uma área de medida
ΔiA, então uma aproximação da medida da
massa do i-ésimo retângulo é dada por ρ(ξi,γi)
ΔiA, e a medida da massa total da lâmina é
aproximada por:
ρ(ξi,γi)ΔiA
Tomando o limite da soma acima quando a
norma de Δ aproxima-se de zero, expressamos
a medida M da massa da lâmina por
M = (1)
A medida do momento de massa do i-ésimo
retângulo em relação ao eixo x é aproximada
por γiρ(ξi,γi)ΔiA. Então, a soma das medidas dos
momentos de massa dos n-retângulos em re-
lação ao eixo x será aproximada pela soma de
n tais termos. A medida Mx do momento de
massa em relação ao eixo x da lâmina inteira é
dada por 
(2)
65
Analogamente, a medida My de seu momento
de massa em relação ao eixo y é dada por
(3)
O centro de massa da lâmina é denotado pelo 
ponto (x
–
,
–
y) e e .
Exemplo 1
Uma lâmina na forma de um triângulo isósce-
les tem uma densidade de área que varia com
o quadrado da distância do vértice do ângulo
reto. Se a massa é medida em kg e a distância
em metros, encontre a massa e o centro de
massa da lâmina. 
Solução: 
Escolhemos os eixos coordenados de tal for-
ma que o vértice do ângulo reto na origem e os
lados de comprimento a metros do triângulo
estejam ao longo dos eixos coordenados (veja
Fig. anterior). Seja ρ(x,y) o número de kg/m2 da
densidade da lâmina no ponto (x, y). Então,
ρ(x,y) = k.(x2 + y2), onde k é uma constante.
Portanto, se M kg é a massa da lâmina, da fór-
mula (1) temos:
= k ∫∫∫∫R(x2 + y2)dA
=
Para encontrar o centro de massa, observemos
que, devido à simetria, esse deve estar na reta
y = x. Portanto, se encontramos –x, teremos
também –y. Usando a fórmula (3), temos
= k∫∫R∫∫ x . (x2 + y2)dA
Como M
–
x = My, temos M
=x ; e como
M = obtemos . Portanto o centro
de massa está no ponto .
O momento de inércia de uma partícula, cuja
massa é mkg, em relação a um eixo, define-se
como mr2kg – m2, em que r m é a distância
perpendicular da partícula ao eixo.
Se temos um sistema de n partículas, o mo-
mento de inércia do sistema define-se como a
soma dos momentos de inércia de todas as
partículas. Isto é, se a i-ésima partícula tem
uma massa de mikg e está a uma distância de
γi m do eixo, então I kg-m2 é o momento de
inércia do sistema, onde 
(4)
Estendendo esse conceito de momento de
inércia a uma distribuição contínua de massa
em um plano, tal como barras ou lâminas, por
processos semelhantes aos usados anterior-
mente, temos a definição abaixo.
Suponhamos umadada distribuição contínua
Cálculo II – Integrais múltiplas
66
UEA – Licenciatura em Matemática
de massa que ocupou uma região R no plano
xy, e consideremos que a medida da densi-
dade de área dessa distribuição no ponto (x, y)
seja ρ(x,y)kg–m2 onde ρ é contínua em R.
Então, o momento de inércia Ix kg-m2 em rela-
ção ao eixo x dessa distribuição de massa é
determinado por:
(5)
Analogamente, a medida Iy do momento de
inércia em relação ao eixo y é dada por:
(6)
E a medida I0 do momento de inércia em rela-
ção à origem ou ao eixo z, é dada por:
=
∫∫R∫∫(x2 + y2)ρ(x,y)dA 
(7)
O número I0 da fórmula (7) é a medida do que
denominamos o momento polar de inércia.
Exemplo 2
Uma lâmina retangular tem uma densidade de
área constante de ρkg/m2. Encontre o momen-
to de inércia da lâmina em relação a um canto.
Solução:
Suponhamos que a lâmina seja limitada pelas
retas x= a, y = b, o eixo x e o eixo y. Veja a
Fig. acima. Se I0 kg-m2 é o momento de inér-
cia em relação à origem, então,
= ∫∫R∫∫ρ(x2 + y2)dA
=
=
O momento de inércia, é, então, 
kg–m2
Consideremos que a massa total M kg de uma
lâmina esteja concentrada em um ponto; isto
é, suponhamos que uma partícula nesse ponto
tenha a mesma massa M kg que a lâmina.
Então, se essa partícula está a uma distância r
m do eixo dado L, o momento de inércia em
relação a L dessa partícula é Mr2kg-m2. O
número r é a medida do raio de giração da lâ-
mina dada em relação a L. Temos a definição:
Se I é o momento de inércia em relação a um
eixo L de uma distribuição de massa em um
plano, e M é a medida da massa total da dis-
tribuição, então o raio de giração da distribui-
ção em relação a L tem medida r, onde 
Exemplo 3
Suponhamos que uma lâmina tenha a forma
de uma região limitada por uma semicircunfe-
rência, e a medida da densidade de área da
lâmina em um ponto qualquer seja propor-
cional à medida da distância do ponto ao
diâmetro. Se a massa é medida em kg e a dis-
tância em m, encontre o raio de giração da
lâmina em relação ao eixo x.
= ∫∫R∫∫kydA
=
67
=
Se Ixkg–m2 é o momento de inércia da lâmina
em relação ao eixo x, então
= ∫∫R∫∫ky3dy dx 
=
Portanto, se r m é o raio de giração
e assim . O raio de giração, então é 
m.
Nos Exercícios de 1 a 5, encontre a massa e o
centro de massa da lâmina dada, conforme a
densidade da área for indicada. A massa é
medida em kg; a distância, em m.
1. Uma lâmina na forma da região retangular li-
mitada pelas retas x = 3 e y = 2 e os eixos
coordenados. A densidade de área em um
ponto qualquer é xy2kg-m2.
2. Uma lâmina na forma da região limitada pela
parábola x2 = 8y, a reta y = 2 e o eixo y. A
densidade de área varia com a distância à reta
y = –1.
3. Uma lâmina na forma da região no primeiro
quadrante limitada pela circunferência 
x2 + y2 = a2 e os eixos coordenados. A densi-
dade de área varia com a soma das distâncias
aos dois lados retos.
4. Uma lâmina na forma da região limitada pela
curva y = sen x e o eixo x de x = 0 a x = π.
A densidade de área varia com a distância ao
eixo x.
5. Uma lâmina na forma da região no primeiro qua-
drante limitada pela circunferência x2 + y2 = 4, e
a reta x+y = 2. A densidade de área em um
ponto qualquer é xy kg/m2. 
Nos Exercícios de 6 a 7, encontre o momento de
inércia da lâmina homogênea dada em relação
ao eixo indicado se a densidade da área é
ρkg/m2 e a distância é medida em metros.
6. Uma lâmina na forma da região limitada por 4y
= 3x, x = 4 e o eixo x; em relação ao eixo y.
7. Uma lâmina na forma da região limitada por
uma circunferência de raio a unidades; em re-
lação a seu centro.
8. Uma lâmina homogênea de área de densidade
ρkg-m2 tem a forma da região limitada por um
triângulo isósceles, que tem uma base de com-
primento b m e uma altura de comprimento h
m. Encontre o raio de giração da lâmina em
relação à sua reta de simetria.
Cálculo II – Integrais múltiplas
Centro de Massa e Momento de Inércia 
(outras considerações)
Seja ρ a densidade de massa de um corpo que
ocupa um domínio D do espaço. O centro de
massa desse corpo é definido como sendo o
ponto C = (x0,y0,z0) tal que 
,
(1)
onde M é a massa total do corpo.
Para bem compreender o significado dessa
definição, devemos notar que xρdV é o produ-
to da massa elementar dm = ρdV por sua dis-
tância x ao plano Oyz (Fig. 1).Esse produto é
chamado o momento de massa em relação ao
plano Oyz. A primeira integral em (1) é a soma
dos momentos de todas as massas elemen-
tares dm ou momento total em relação ao
plano Oyz. Do mesmo modo, a segunda e a
terceira integrais são momentos totais em
relação aos planos Oxz e Oyz, respectiva-
mente. O que as Equações (1) nos dizem é
que ao três momentos referidos são, respecti-
vamente, iguais aos momentos Mx0, My0 e Mz0
da massa total M, concentrada no centro de
massa C. Em outras palavras, os momentos de
massa são os mesmos que se obtêm como se
toda a massa estivesse concentrada no centro
de massa.
As Equações (1) podem ser escritas na forma
compacta:
(2)
Onde R = C = (x0,y0,z0) e r = (x, y, z). A inte-
gral que aí aparece é o vetor cujas compo-
nentes são as integrais das componentes do
vetor ρr = (ρx, ρy, ρz). Naturalmente, se a ori-
gem do sistema de coordenadas coincidir com
o centro de massa, R será zero e
∫∫∫∫∫∫DρrdV 
Vamos supor que a massa esteja distribuída so-
bre uma lâmina de espessura h, disposta sobre
o plano x, y e que ρ seja independente de z: ρ =
ρ(x,y). Nesse caso, é conveniente introduzir a
densidade superficial de massa σ = ρh. Em con-
seqüência, a massa contida num elemento de
volume dV = h.dx.dy será dada por 
ρdV = ρhdxdy = σdxdy
e a massa total do domínio D do plano será
∫∫∫∫Dσdxdy
As coordenadas do centro de massa C = (x0,y0)
serão agora dadas por
e (3)
O centro de massa de um corpo é chamado
centróide ou centro geométrico quando sua
massa estiver homogeneamente distribuída,
isto é, quando ρ for constante. Nesse caso, a
fórmula (3) reduz-se a 
onde V é o volume de D; e as fórmulas (3)
ficam sendo Ax0 = ∫∫∫∫Dxdxdy e Ay0 = ∫∫∫∫Dydxdy
onde A é a área de D.
Para introduzir a noção de momento de inércia,
vamos considerar um corpo D em rotação em
torno de um eixo L, com velocidade angular ω
(Fig.1).
Fig. 1
Então, cada elemento de massa dm = ρdV, a
uma distância r do eixo, terá velocidade esca-
lar ωr, portanto sua energia cinética será
A energia cinética total, Eer, devida à rotação,
será a soma de todos esses elementos, isto é,
68
UEA – Licenciatura em Matemática
69
Essa última integral é, por definição, o momen-
to de inércia I do corpo em relação ao eixo L:
I = ∫∫∫∫∫∫Dr2ρdV (4)
Em termos do momento de inércia, a energia
cinética de um corpo em rotação assume a 
forma . Note-se que essa energia é
diretamente proporcional ao momento de inér-
cia. Quanto maior o momento de inércia, tanto
maior será a energia necessária para colocar o
corpo em rotação ou para pará-lo.
A integral (4) mostra-nos que o momento de
inércia I será tanto maior quanto mais afastada
do eixo L estiver a massa do corpo, como ocor-
re nos volantes ou reguladores de velocidade.
Observe também a analogia entre a expressão
da energia cinética de rotação e a energia ciné-
tica de um corpo de massa m em translação 
com velocidade r: .
Vemos que a massa m desempenha aqui pa-
pel análogo ao do momento de inércia no caso
de uma rotação.
No caso de uma lâmina D disposta sobre o pla-
no x, y, com densidade superficial de massa σ,
o momento de inércia em relação a um eixo L,
perpendicular ao plano, é dado por
I = ∫∫Dr2σdxdy 
Onde r é a distância do elemento de massa σ
dxdy ao eixo L.
Exemplo 1
•• Área de uma superfície
A integral dupla pode ser utilizada para se
determinar a área da porção da superfície 
z = f(x,y), situada sobre uma região fechada R
no plano xy. Para mostrar isso, devemos, ini-
cialmente, definir o que significa a medida des-
sa área e depois obter uma fórmula para cal-
culá-la. Suponhamos que f e suas derivadas
parciais primeiras sejam contínuas em R e su-
ponhamostambém que f(x, y) > 0 em R. Seja
Δ uma partição de R em n sub-regiões retangu-
lares. O i-ésimo retângulo tem dimensões de
medidas Δix e Δiy e uma área de medida ΔiA.
Seja (ξi,γi) um ponto qualquer no i-ésimo retân-
gulo, e o ponto Q (ξi,γi,f(ξi,γi)) na superfície.
Consideremos o plano tangente à superfície.
Projetamos verticalmente para cima o i-ésimo
retângulo sobre o plano tangente, e seja Δiσ a
medida da área desta projeção. A Fig. 1 mostra
a região R, a porção da superfície sobre R, a i-
ésima sub-região retangular de R e a projeção
do i-ésimo retângulo sobre o plano tangente à
superfície em Q. O número Δiσ é uma aproxi-
mação da medida da área da parte da superfí-
cie que está sobre o i-ésimo retângulo. Como
temos n dessas partes, a soma
é uma aproximação da medida σ da área da
porção da superfície que está sobre R. Isso nos
leva a definir σ como:
(1)
Fig. 1
Cálculo II – Integrais múltiplas
70
UEA – Licenciatura em Matemática
Agora, precisamos obter uma fórmula para cal-
cular o limite da Eq.(1). Para isso, encontramos
uma fórmula para calcular Δiσ como a medida
da área de um paralelogramo. Para simplificar
o cálculo, tomamos o ponto (ξi,γi) no i-ésimo
retângulo, no vértice (xi–1,yi–1). Sejam A e B ve-
tores que têm como representantes os seg-
mentos de reta orientados com pontos iniciais
em Q e que formam os dois lados adjacentes
do paralelogramo, cuja área tem Δiσ de medida
(veja Fig.2).
Fig.2
Então, Δiσ = |AXB|. Como 
A = Δixi + fx(ξi,γi)Δixk e
B = Δiyj + fy(ξi,γi)Δiyk 
Segue que 
= –Δix Δiy fx(ξi,γi) i – Δix Δiy 
fy(ξi,γi)j + Δix Δiyk
Portanto veja em (2) abaixo
Δiσ = |A x B| =
Substituindo a Eq. (2) em (1), temos
Esse limite é uma integral dupla que existe em
R devido à continuidade de fx e fy que está
sobre R,
(3)
Exemplo 1
Encontre a área da superfície do cilindro
x2 + z2 = 16. Limitada pelos planos 
x = 0, x = 2, y = 0 e y = 3. 
Solução:
A superfície é mostrada acima. A região R é o
retângulo no primeiro quadrante do plano xy,
limitado pelas retas x = 2 e y = 3 tem equação
x2 + z = 16. Resolvendo para z, temos 
z = . Portanto, f(x, y) = .
Assim, se σ é a medida da área da superfície,
temos da equação (3) 
= 2πunidades quadradas.
Exemplo 2
Encontre a área do parabolóide z = x2 + y2
limitado superiormente pelo plano z = 4.
71
Solução:
A figura acima mostra a superfície dada. Da
equação do parabolóide, vemos que 
f(x, y) = x2 + y2. A região fechada no plano xy
limitada pela circunferência x2 + y2 = 4 é a
região R. Se σ unidades quadradas é a área
desejada, da equação (3), temos: 
Como o integrando contém os termos 
4(x2 + y2), o cálculo da integral dupla é simpli-
ficado se usarmos coordenadas polares. Então,
x2 + y2 = r2 e dxdy = dA = r dr dθ. Além disso,
r varia de 0 a 2 e θ de 0 a 2π. Temos, então,
, portanto esta é a área em uni-
dades quadradas.
Exemplo 3
Encontre a área da metade superior da esfera
x2 + y2 + z2 = a2.
Solução:
O hemisfério é mostrado acima. Resolvendo a
equação da esfera para z e colocando esse
igual a f(x, y), obtemos:
F(x, y) = 
Como fx(x,y) = –x/ , e
fy(x,y) = –y/ , notamos que fx e fy
não são definidos na circunferência 
x2 + y2 = a2, que é a fronteira da região R no
plano xy. Além disso, a integral dupla obtida na
Eq. (3) é
,
que é imprópria, pois o integrando tem uma
descontinuidade infinita em cada ponto da
fronteira de R. Podemos resolver essa situação
considerando a região R’ como a limitada pela
circunferência x2 + y2 = b2,onde b< a, toman-
do depois o limite, b → a–. Além disso, o cálcu-
lo é simplificado se a integral dupla for calcula-
da por uma integral iterada e se usarmos coor-
denadas polares. Então, temos
= 2πa2, que é a área do hemisfério em unida-
des quadradas.
Cálculo II – Integrais múltiplas
1. Encontre a área da superfície formada pela in-
tersecção dos planos, x = 0, x = 1, y = 0, y =1,
com o plano 2x + y + z = 4.
2. Encontre a área da superfície no primeiro oc-
tante delimitada pelo cilindro x + y = 9 e o
plano x = z.
3. Determine a área da porção da superfície da
esfera x2 + y2 + z2 = 4x recortada por uma
folha do cone y2 + z2 = x2.
4. Determine a área da porção de superfície da
esfera x2 + y2 + z2 = 4z, interior ao parabolóide
x2 + y2 = 3z.
5. O segmento de reta da origem ao ponto (a, b)
gira em torno do eixo x. Encontre a área da
superfície do cone gerado. 
6. Encontre a área da porção do plano x = z que
está compreendida entre os planos y = 0 e y = 6
e interior ao hiperbolóide 9x2 – 4y2 + 16z2 = 144.
72
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE V
Teorema de Green
75
Cálculo II – Teorema de Green
TEOREMA DE GREEN
George Green, matemático e físico inglês, com
pouca formação básica, foi quem desenvolveu
o Teorema de Green. Em 1828, Green publicou
seu trabalho An Essay on the Application of
Mathematical Analysis to the Theories of
Electricity and Magnetism (um ensaio sobre a
aplicação da análise matemática e as teorias
de eletricidade e magnetismo). Nesse trabalho,
o teorema foi utilizado, mas passou desperce-
bido pela pequena tiragem do trabalho. Pos-
teriormente, Green procurou a formação supe-
rior e, após anos de estudos autodidáticos, en-
trou na Universidade de Caius, em Cambridge.
Formou-se em quatro anos, com desempenho
desapontador, possivelmente por estar engaja-
do em sua pesquisa. Publicou trabalhos sobre
luz e som, e morreu em 1844.
Quatro anos depois, seus trabalhos iniciais fo-
ram novamente publicados, sendo, então, con-
siderados de imensa importância para teorias
modernas de eletricidade e magnetismo.
Seja U um aberto de R2 e r
→ 
: [a,b] → U um cam-
inho seccionalmente C1, fechado e simples, isto
é r
→
, não se auto-intersecta, exceto nas extremi-
dades. Seja A a região interior a Γ = r→([a,b]) –
parte da dificuldade na formalização da versão
mais geral do Teorema de Green deve-se ao
fato de ser difícil definir com rigor o “interior” de
uma curva fechada. Outra dificuldade reside na
definição de “orientação” de um caminho.
Vamos resignar-nos à seguinte definição: dize-
mos que o caminho fechado simples r
→ 
está ori-
entado no sentido positivo, se r
→
percorre a cur-
va Γ = r→([a,b]), deixando à esquerda os pon-
tos do interior de Γ.
Teorema 1 (Teorema de Green).
Seja U um aberto de R2 e F
→ 
= (F1, F2) um cam-
po vetorial de classe C1 sobre U. Suponha-se
que r
→ 
: [a,b] → U é um caminho fechado sim-
ples, seccionalmente C1, orientado no sentido
positivo. Seja A o interior de Γ = r→([a,b]).
Temos então:
(1)
Pelas razões acima referidas, a prova desse
teorema para o caso geral está longe de ser
realizável no âmbito deste curso. Assim, vamos
restringir-nos a uma classe particular de regi-
ões do plano:
Definição 1
Seja U ⊂ IR2 um aberto limitado. Diz-se que U é
uma região regular se for, simultaneamente, 
x-regular e y-regular, isto é,
U = {(x,y)∈ 2: f1(x) < y < f2(x) e a < x < b}
e
U = {(x,y)∈ 2: h1(y) < x < h2(x) e c < y < d},
Com f1,f2,h1,h2 funções de classe C1.
Região x-regular.
Exemplo 1
Um intervalo I = ]a,b[X]c,d[ é uma região re-
gular de R2.
76
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 2
Um círculo D ⊂ IR2, de raio R e centro em
P0 = (x0,y0) é uma região regular.
Com efeito,
e 
Vamos provar o Teorema de Green no caso em
que A é uma região regular.
Nesse caso, a fronteira de A é a curva
Γ = Γ1∪Γ2∪Γ3∪Γ4, com
Γ1 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f1(x)},
Γ2 = {(x,y) ∈ IR2 : x = b e f1(b) ≤ y ≤ f2(b)},
Γ3 = {(x,y) ∈ IR2 : a ≤ x ≤ b e y = f2(x)},
Γ4 = {(x,y) ∈ IR2 : x = a e f1(a) ≤ y ≤ f2(a)},
Para obtermos um caminho r
→
para Γ orientado
positivamente, podemos considerar:
r
→
1(t) = (t,f1(t)) t∈[a,b];
r
→
2(t) = (b,t) t∈[f1(b), f2(b)];
r
→
3(t) = (a + b – t, f2(a + b – t)) t∈[a,b];
r
→
4(t) = (a, f1(a) + f2(a) – t) t∈[f1(a), f2(a)].
Assim,
por outro lado,
Do mesmo modo, uma vez que a região A tam-
bém pode ser descrita por
A = {(x,y)∈ : h1(y) < x < h2(y) e c < y < d},
Temos:
e
Assim,
Exemplo 3
Seja Γ o quadrado de vértices em (0, 0), (2, 0),
(2, 2) e (0, 2).
Seja F
→o campo vetorial dado por
F
→ 
= (y2, x):
Aplicando o Teorema de Green, obtemos:
Exemplo 4
Seja A a região limitada pelas parábolas
y = x2 e y = x2 + 2 para x > 0.
77
Cálculo II – Teorema de Green
Seja F
→
o campo vetorial dado por
F
→ 
= (xy,x):
Aplicando o Teorema de Green, obtemos:
Caso A1 e A2 sejam duas regiões do plano, tal
como ilustra a figura seguinte, onde se possa
aplicar o Teorema de Green, vamos ver que a
fórmula (1) do Teorema de Green vale ainda
para a união A = A1 ∪ A2.
Repare-se que A é interior à curva Γ = Γ1∪Γ2.
Para um dado campo vectorial F
→
= (F1,F2), te-
mos:
Somando as duas equações, obtemos a fórmu-
la do Teorema de Green para a região A:
Essa discussão elucida-nos como tratar regi-
ões que têm “buracos”.
Exemplo 5
Considere a coroa circular A = A1∪A2 da figura
seguinte.
Essa região não é o interior de uma curva sim-
ples, mas sim a região limitida por duas curvas
simples, a saber,
Γe = Γ1∪Γ4 e Γi = Γ2∪Γ3
Repare-se que a fronteira de A é
Γ = Γe∪Γi
Dado um campo vectorial F
→
= (F1,F2), podemos
aplicar o Teorema de Green para A1 e para A2 :
Somando, obtemos, mais uma vez, a fórmula
do Teorema de Green:
Note-se que as orientações indicadas para Γe e
Γi “deixam à esquerda os pontos de A".
Ainda em relação à figura anterior, suponha-se
que as circunferências têm raios R1 = 1 e R2 = 2.
Consideremos o campo vectorial F
→ 
= (y3, – x3).
Aplicando o Teorema de Green, obtemos:
78
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 6
Por meio do teorema de Green, calcule
, onde C é a curva fechada que
consiste nos gráficos de y = x2 e y = 2x entre
os pontos (0,0) e (2,4).
Solução:
A figura abaixo exibe a região R delimitada por
C. Aplicando o teorema de Green, temos:
Exemplo 7
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a
integral curvilínea , onde
C é a elipse 4x2 + 9y2 = 36.
Solução:
A figura abaixo ilustra a região R delimitada por
C. Aplicando o teorema de Green, temos
Exemplo 8
Com o auxílio do teorema de Green, calcule a in-
tegral curvilínea 
se C é a fronteira da região delimitada pelos
quartos de círculo de raios a e b e pelos seg-
mentos dos eixos x e y, conforme figura a se-
guir.
Solução:
Teorema
Se uma região R do plano-xy é delimitadanpor
uma curva fechada simples, parcialmente sua-
ve C, então, a área A de R é
79
Cálculo II – Teorema de Green
Exemplo 9
Use o teorema anterior para achar a área da
elipse 
Solução:
As equações paramétricas da elipse C são 
x = a cost, y = b sent; 0 ≤ t ≤ 2π. 
1. Aplique o teorema de Green ao cálculo da inte-
gral curvilínea.
a) C é a curva fecha-
da definida por y = x2 e y = –x.
b) C é o quadrado
de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
c) C é o círculo x2 + y2 = 1.
d) C é o triângulo de vér-
tices (1,1), (2,2) e (3,0).
e) C é a fronteira da
região entre os círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
2. Calcule a área das regiões delimitadas pelos
gráficos das equações:
a) y = 4x2, y = 16x 
b) y2 – x2 = 5, y = 3 
c) C é a hipociclóide x = acos3 t, y = asen3 t;
0 ≤ t ≤ 2π.
A INVENÇÃO DO PLANÍMETRO
Em 1854, o matemático suíço Jacob Amsler
inventou um dispositivo mecânico capaz de
medir a área de regiões planas limitadas. Na
ocasião (e até hoje) o instrumento foi enxerga-
do com muito entusiasmo. Se considerarmos a
dificuldade de medir áreas de planos extrema-
mente irregulares, teremos idéia do quão ino-
vador foi o planímetro no século XIX.
Julgando o planímetro um instrumento bastan-
te interessante, pensaremos um pouco mais a
respeito do seu funcionamento. Mecanicamen-
te, o instrumento tem uma construção muito
simples, possui dois braços de tamanho igual
ou não, comumente feitos de metal. Esses bra-
ços são capazes de variar o ângulo entre eles,
desde 0 a 180 graus.
Na extremidade de um dos braços, temos uma
ponta que pode ser fixada em superfícies pla-
nas. Na outra ponta, temos uma rodinha que
gira perpendicularmente ao braço na qual é fi-
xada. Na ponta dessa rodinha, temos um conta-
dor, que mede o número de voltas que ela dá
quando a ponta móvel do instrumento desloca-
se em uma superfície plana. Quando essa ponta
se desloca sobre uma curva plana fechada, o
contador indicará a área cercada pela curva.
Ao pensar em um instrumento tão simples, so-
mos imediatamente induzidos a imaginar co-
mo este pode executar cálculos que, em princí-
pio, tem um grande grau de complexidade. 
O Teorema de Green aliado ao Planímetro
O desenho seguinte esquematiza o funciona-
mento de um planímetro. A área R a ser medi-
da não deve conter a extremidade fixa do apa-
relho, e percorreremos a curva C com a ex-
tremidade móvel, sempre no sentido anti-horá-
rio (por causa do marcador).
80
UEA – Licenciatura em Matemática
Para usar o Teorema de Green, precisamos
descrever o campo de direções definido pelo
instrumento. Para tal, comecemos definindo
coordenadas x e y. Como podemos fazer qual-
quer escolha, coloquemos a origem na ponta
do planímetro que é fixada e, a partir dela, dois
eixos perpendiculares x e y. Como a rodinha
gira perpendicularmente ao braço no qual está
fixada, o campo F(x,y) definido pelo planímetro
é perpendicular ao braço móvel, e podemos
supor que tenha módulo 1.
Equação do Campo F(x,y)
Vamos considerar aqui que o planímetro tem
os dois braços com comprimento igual a r. O
primeiro está centrado na origem escolhida
(0,0); o segundo, em um ponto móvel (a,b).
Chamemos de v
→ 
o vetor que define o braço
móvel do planímetro.
Temos v
→ 
= (x – a, y – b) e um vetor perpendi-
cular é 
→
w = (–(y – b), x – a). Como o braço tem
comprimento r, temos:
.
Assim, temos que nosso campo é:
Precisamos, agora, determinar a e b. Para isso,
consideraremos a equação dos círculos que
podem ser descritos por cada um dos braços
do planímetro:
Da segunda linha, temos que:
e logo
Substituindo na equação do círculo centrado
em (0,0), e desenvolvendo, teremos:
4y2a2 + (x2 + y2)2 + 4x2a2 – 4xa(x2 + y2) = 4y2r2
4(x2 + y2)a2 – 4x(x2 + y2)a +(x2 + y2)2 – 4y2r2 = 0
Colocando (x2 + y2) = R2 temos:
e logo
ou seja,
A escolha do valor positivo de a implica sim-
plesmente que o caminho a ser percorrido pelo
braço do planímetro é o sentido anti-horário
(sentido padrão de funcionamento). Com esse
valor, o valor de b aparece, consequentemen-
te, como sendo:
ou seja,
Agora, que calculamos os valores de a e de b
81
Cálculo II – Teorema de Green
temos que o campo para o planímetro é:
Derivando ambas as equações, obtemos:
logo,
e 
Assim, pelo Teorema de Green aplicado ao
planímetro, a constante que multiplica a área
só depende do comprimento dos braços, ou
seja
área cercada de C.
O QUE MEDE A INTEGRAL DE LINHA?
Tendo especificado que, para o campo gerado
pelo planímetro, e de acordo com o Teorema
de Green, a integral de linha ∫∫Cf(x,y)dx +
g(x,y)dy é igual a um múltiplo da área da
região delimitada pela curva C, torna-se neces-
sário definir agora o que exatamente calcula a
integral de linha, e a relação desta com a medi-
ção realizada pelo planímetro.
Para entender essa relação, analisaremos al-
guns casos de interesse que possibilitarão es-
sas definições.
Quando o campo é um campo de forças
Quando o campo é um campo de forças, temos
que a integral de linha ∫∫Cf(x,y)dx + g(x,y)dy re-
presenta o trabalho realizado pelo campo veto-
rial F = (f, g) em uma partícula que se move ao
longo da curva C.
Para ver isso, faremos uma breve introdução
ao cálculo do trabalho, desde situações mais
simples, em que a força aplicada a uma partí-
cula é constante e na direção e no sentido do
movimento, até situações com mudanças cons-
tantes na direção do movimento, na direção e
na intensidade da força sobre a partícula.
Na situação mais simples, em que a força apli-
cada a uma partícula é constante e na direção
e no sentido do movimento, que se dá em linha
reta, o trabalho é dado por W = F.(b – a), em
que b – a é a distância percorrida pelo objeto
durante a atuação da força, e F é o módulo da
força.
No caso em que a força não tem módulo cons-
tante, podemos subdividir a distância percorri-da em intervalos de tamanhos Δx e supor que
a força é constante em cada um dos pedaci-
nhos. Assim, W = FiΔx e, tomando o limite
quando Δx tende a zero, teremos .
Podemos, então, mudar a direção da força atu-
ante sobre o objeto. Se seu módulo e direção
forem constantes, podemos determinar sua
componente na direção do movimento
(|F|cosθ) e, assim, determinar o trabalho co-
mo W = |F|cosθ(b – a).
No caso em que o módulo da força não é cons-
tante, novamente torna-se necessária a inte-
gração dessa força ao longo de toda a tra-
jetória e .
Também é possível fazer que a direção de atu-
ação da força sobre a partícula varie durante a
trajetória, além da variação já incluída do
módulo da força.
82
UEA – Licenciatura em Matemática
Nesse caso, torna-se necessário definir um ve-
tor v
→
unitário, que representa a direção do
movimento do objeto.
O produto escalar do vetor força F pelo vetor
direção v
→
dá-nos o módulo da componente da
força na direção do movimento (|F|cosθ = F.v→)
uma vez que v
→
é unitário. Integrando esse pro-
duto escalar por toda a trajetória, obtemos o 
trabalho . Lembramos que, nesse ca-
so apenas o vetor F é variável, o vetor v
→
é cons-
tante. Finalmente, temos o caso em que, além
do módulo e da direção da força sobre o obje-
to serem variáveis, a direção do movimento
também varia.
Para determinar o trabalho nessa situação, é
necessário realizar uma parametrização da
curva por comprimento de arco. Também é
preciso determinar um vetor unitário v
→
que re-
presente a direção do movimento do objeto. O
produto escalar dos vetores variáveis Força F e
direção v
→
terá como resultado o módulo da
componente da força na direção do movimen-
to em cada ponto da trajetória. Integrando esse
produto escalar durante todo o comprimento 
da curva, obtemos o trabalho .
Seja F = (f(x, y), g(x, y)). Como v
→
é um vetor
tangente a uma trajetória curvilínea parame-
trizada por comprimento de arco s, então
e 
Assim, no caso em que o campo é um campo
de forças, a integral de linha calcula o trabalho
realizado para se mover sobre a curva C sob a
ação do campo. O planímetro, em princípio,
não determina um campo de forças, e a inte-
gral de linha, então, não calcula trabalho.
QUANDO O CAMPO É UM CAMPO QUALQUER
Se o campo é qualquer, a integral de linha não
calcula o trabalho realizado ao se mover um
ponto sobre a curva C, mas o exemplo anterior
mostra que a integral de linha de um campo
qualquer F, ao longo de um curva C, mede a
concordância da circulação do campo F com a
orientação da curva C, pois, se em um ponto F
não tiver componente na direção de C, o valor
acrescido por esse ponto na integral de linha
será nulo, e se tiver componente nessa dire-
ção, haverá um acréscimo na integral de linha
de valor igual ao módulo dessa componente
do campo. Ela mede também a soma das pro-
jeções da força na direção da curva.
Ora, dado um campo de vetores F = (f(x, y),
g(x, y)), podemos procurar suas curvas inte-
grais, isto é, as curvas que são sempre tan-
gentes ao campo. Procuramos curvas (x(s),
y(s)) tais que o vetor tangente 
ou, na prática, procuramos soluções do sis-
tema de equações diferenciais e
. Se |F| = 1 então a curva sai para-
metrizada por comprimento de arco e F.v
→ 
= 1.
Assim, a integral de linha de um campo unitário
em cima de uma curva integral mede o compri-
mento desta curva, pois
Relação entre a integral de linha e a
medição realizada pelo Planímetro
As figuras a seguir, realizadas usando o soft-
ware Maple, mostram o campo gerado pelo
Planímetro, no primeiro quadrante, e algumas
curvas integrais e ortogonais desse campo.
83
Cálculo II – Teorema de Green
Traduzindo para o funcionamento físico do Pla-
nímetro, quando este percorre uma curva inte-
gral do campo, a rodinha fixada perpendicular-
mente na extremidade do braço móvel, roda
perfeitamente livre. O contador acoplado a
essa rodinha mede o número de voltas que ela
dá ao se deslocar sobre a curva. Seja k esta
medida e d o diâmetro da rodinha. O compri-
mento total da curva integral será então kπd.
Chamando novamente de F = (f, g) o campo
associado ao Planímetro e de C a curva inte-
gral, temos:
∫∫C f dx + g dy = comprimento de C = kπd
Quando o Planímetro percorre uma curva orto-
gonal, a rodinha não roda nada; logo, o medi-
dor acoplado na rodinha indicará zero, ou seja,
o valor da integral de linha do campo sobre a
curva ortogonal.
Assim, em qualquer um dos casos, 
∫∫C fdx + g dy = kπd
em que k é o número medido pelo contador
acoplado à rodinha.
Qualquer curva fechada C, contida no primeiro
quadrante, pode ser aproximada por vários seg-
mentos de curvas integrais e ortogonais inter-
caladas, que denotaremos por C1, C2, ...,Cn.
Então,
∫∫C f dx + g dy ≈ ∫∫C1 f dx + g dy + 
+ ∫∫C2 f dx + g dy + ... + ∫∫Cn f dx + g dy 
= (k1 + k2 + ... + kn)πd
em que k é o número dado pelo contador ao
percorrermos a curva C.
Funcionamento do Planímetro
Chamemos de r o comprimento de cada braço
do Planímetro, d o diâmetro da rodinha coloca-
da perpendicularmente ao braço móvel e de k
o número dado pelo contador ao se percorrer
C no sentido anti-horário. O campo determina-
do pelo Planímetro é F = (f, g). Então
área cercada por C ou
seja:
Área cercada por 
De todo o conteúdo colocado, podemos ver o
quão interessante é esse instrumento que, ba-
seado num teorema relativamente simples, tem
aplicações extensas e extremamente úteis na
engenharia, na geologia, etc.
Respostas dos Exercícios
87
Cálculo II – Respostas dos exercícios
UNIDADE I
Funções de várias variáveis
TEMA 01
INTRODUÇÃO
Pág. 12
1. 25m
2. –7,34oC .
TEMA 02
DOMÍNIO E IMAGEM
Pág. 15
a)
b)
c) Todos reais (todo plano xy)
d) y ≥ x 
y > –x
e)
f)
88
UEA – Licenciatura em Matemática
g)
h) x2 + y2 ≤ 3 
i) y > u
j) y ≥ –x
l) x2 + y2 ≠ 1
m) x2 + y2 ≠ 4
TEMA 03
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Pág. 19
1. a–4 b–3 c–1 d–2
2. a) As isotérmicas são círculos centrados na
origem 
b) x2 + y2 = 100
3. A soma das distâncias entre um ponto perten-
cente à elipse e cada um de seus focos é con-
stante. A usina estará sobre uma elipse que tem
tenha uma da cidades em cada um de seus
focos, de forma que a soma das distâncias entre
a usina e cada cidade seja igual a M.
TEMA 04
LIMITES E CONTINUIDADE PARA 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Pág. 21
Demonstrações
TEMA 05
DERIVADAS PARCIAIS
Pág. 24
Demontrações
TEMA 06
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Pág. 25
Demonstrações
UNIDADE II
Derivada direcional
TEMA 01
VETOR GRADIENTE 
E DERIVADAS DIRECIONAIS
Pág. 30
Demonstrações
TEMA 02
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Pág. 32
1. a) máximos: f(±1,0) =1, mínimos f(0,±1) =–1
b) x = 100/3, y = 100/3, z = 100/3
c) máximos: f(± 2,1) = 4, mínimos f(± 2,–1) = –4
d) máximo: 
mínimo :
e) mínimo:
f) máximo: f(1,3,5) = 70, 
mínimo: f(–1,–3,–5) = – 70
2. Base quadrada de lado , altura 
3. Demonstração
4. Demonstração.
5. Cubo, aresta de comprimento c/12.
6. x = y 4,62 m e z 2,31 m.
89
Cálculo II – Respostas dos exercícios
UNIDADE III
Integrais de linha
TEMA 01
CAMINHOS E CURVAS
pág. 41
Demonstrações
TEMA 02
COMPRIMENTO DE CURVAS E CAMINHOS
pág. 44
1. a) 
b)
c) 8a
d)
e) 14
TEMA 03
DEFINIÇÃO DE INTEGRAIS DE LINHA 
Pág. 48
1. a)
b)
2. a)
b)
c)
3.
4.
5. 56 
6. 2π
90
UEA – Licenciatura em Matemática
UNIDADE IV
Integrais múltiplas
TEMA 02
INTEGRAIS REPETIDAS
Pág. 58
1. a) 1. ;
b) 2. ;
c) 3.0; 
d) 4.0; 
e) 5. 0; 
f) ; 
g)
2. –24
3. 21,5
4. 8 / 3
5. 42
6.
7. un. Cúbicas
TEMA 03
INTEGRAIS TRIPLAS
Pág. 61
1. a)
b)
2.
3.
4.
5. a) – 
b)
c)
6.
7.
8.
9.
10.
11. unid.cúbicas 
12. unid.cúbicas
13. 4πunid. Cúbicas
14. unid. cúbicas
15. 
16. 
17. 
TEMA 04
MUDANÇA DE VARIÁVEIS 
NAS INTEGRAIS DUPLAS
Pág. 64
1 πR2
2. π(1 – e–R2)
91
Cálculo II – Respostas dos exercícios
3.
4. (b4 – a4)/8
5. 0
TEMA 05
A PLICAÇÕES DA INTEGRAL 
DUPLA E TRIPLA
Pág. 67
1. 12kg, (2, )
2.
3. )
4.
5.
6. 9ρkg–m2
7.
8. 
Pág. 72
1. unid. quadradas
2. 9 unid.quadradas
3. 8π unid. quadradas
4. 12πunid. quadradas. 
5. unid. quadradas
6. unid. quadradas
UNIDADE V
Teorema de Greenn
Pág. 79
1. a) 
b)
c) π
d) – 3
e) –3π
2. a) 
b)
c) 
92
UEA – Licenciatura em Matemática