Regra de LHopital - MAT 147 - 2020-I

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Formas Indeterminadas
Regra de L’Hôpital
Regra de L’Hôpital
por
Ab́ılio Lemos
Universidade Federal de Viçosa
Departamento de Matemática-CCE
Aulas de MAT 147 - 2019
03 de março de 2020
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
Formas Indeterminadas
Regra de L’Hôpital
As formas indeterminadas são as seguintes:
0/0,±∞/±∞, 0 · (±∞),∞−∞, 00, (±∞)0 e 1±∞. As últimas 5,
para serem resolvidas, devem ser transformadas nas duas primeiras.
Exemplos de Formas indeterminadas:
(i) lim
x→4
x2 − x − 12
x2 − 3x − 4
;
(ii) lim
x→0
x
1− 2x
;
(iii) lim
x→∞
x3
ex
;
(iv) lim
x→0+
x · ln x ;
(v) lim
x→0+
xx .
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
Formas Indeterminadas
Regra de L’Hôpital
Regra de L’Hôpital I: Sejam f e g funções diferenciáveis em um
intervalo aberto I , exceto possivelmente em a ∈ I .Suponha que
para todo x 6= a em I , g ′(x) 6= 0. Então se
limx→a f (x) = 0 (±∞), limx→a g(x) = 0 (±∞) e
limx→a
f ′(x)
g ′(x) = L, segue que limx→a
f (x)
g(x) = L.
Obs:
(i) A regra continua valendo se em a forem considerados limites
laterais à esquerda ou à direita;
(ii) A regra continua valendo se trocarmos L por ±∞;
(iii) A regra pode ser aplicada várias vezes.
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
Formas Indeterminadas
Regra de L’Hôpital
Regra de L’Hôpital II: Sejam f e g funções diferenciáveis para
todo x > n, n ∈ R∗+. Suponha que para todo x > n , g ′(x) 6= 0.
Então se limx→∞ f (x) = 0 (±∞), limx→∞ g(x) = 0 (±∞) e
limx→∞
f ′(x)
g ′(x) = L, segue que limx→∞
f (x)
g(x) = L.
Obs:
(i) A regra continua valendo se trocarmos x →∞ por x → −∞;
(ii) A regra continua valendo se trocarmos L por ±∞;
(iii) A regra pode ser aplicada várias vezes.
Ab́ılio Lemos Departamento de Matemática – UFV
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