Matematica 3 ebook

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Unidade 3
Livro Didático Digital
Glauco Antônio do Nascimento
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Modelagem 
Matemática
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
CRISTIANE SILVEIRA CESAR DE OLIVEIRA
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autores 
GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
OS AUTORES
Glauco Antônio do Nascimento
Olá. Meu nome é Glauco Antônio do Nascimento. Sou formado 
em Gestão de Negócios e em Licenciatura em Matemática. Possuo MBA 
em Gestão Empresarial e experiência técnico-profissional na área de 
Tecnologia da Informação (TI) há mais de 29 anos. Na área da educação, 
atuei por seis anos como professor no ensino fundamental, médio, técnico 
e superior (graduação e pós-graduação) de grandes universidades. Como 
sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir a minha experiência 
de vida àqueles que estão iniciando em suas profissões e estudos, fui 
convidado pela Editora Telesapiens a integrar o seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em ajudá-lo nesta fase de muito estudo 
e trabalho. Conte comigo!
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá. Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. Sou formada 
em Matemática, especialista em Metodologia do Ensino de Matemática e 
pós-graduada em Design Educacional. Possuo uma ampla experiência no 
âmbito da educação, seja na sala de aula, seja na elaboração de material 
didático para diferentes níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por 
esta disciplina e pelo processo de sua transmissão, busco a elaboração 
de um material de fácil compreensão. Por isso, fui convidada pela Editora 
Telesapiens a integrar o seu elenco de autores independentes. Estou 
muito feliz em poder auxiliá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. 
Conte comigo!
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez 
que:
INTRODUÇÃO:
para o início do 
desenvolvimento de 
uma nova compe-
tência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade 
de se apresentar um 
novo conceito;
NOTA:
quando forem 
necessários obser-
vações ou comple-
mentações para o 
seu conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações 
escritas tiveram que 
ser priorizadas para 
você;
EXPLICANDO 
MELHOR: 
algo precisa ser 
melhor explicado ou 
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e 
indagações lúdicas 
sobre o tema em 
estudo, se forem 
necessárias;
SAIBA MAIS: 
textos, referências 
bibliográficas e links 
para aprofundamen-
to do seu conheci-
mento;
REFLITA:
se houver a neces-
sidade de chamar a 
atenção sobre algo 
a ser refletido ou dis-
cutido sobre;
ACESSE: 
se for preciso aces-
sar um ou mais sites 
para fazer download, 
assistir vídeos, ler 
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso 
se fazer um resumo 
acumulativo das últi-
mas abordagens;
ATIVIDADES: 
quando alguma 
atividade de au-
toaprendizagem for 
aplicada;
TESTANDO:
quando o desen-
volvimento de uma 
competência for 
concluído e questões 
forem explicadas;
SUMÁRIO
Compreendendo o Conceito de Razão, Proporção e Regra de 
Três .................................................................................................................... 10
Razão ........................................................................................................................................................ 10
Proporção .............................................................................................................................................. 12
Propriedade fundamental da proporção .................................................... 13
Regra de três ..................................................................................................................................... 15
Reconhecendo a Porcentagem e as suas Aplicações na 
Matemática Financeira ............................................................................. 19
Porcentagem ...................................................................................................................................... 19
Matemática Financeira ............................................................................................................... 20
Porcentagem com Lucro ........................................................................................ 21
Porcentagem com Desconto ..............................................................................22
Juros ......................................................................................................................................23
Juros simples ..................................................................................................................23
Juros compostos ..........................................................................................................25
Conhecendo sequências numéricas ...................................................28
Sequência infinita ............................................................................................................................ 31
Sequência finita ................................................................................................................................ 31
Progressões aritméticas .............................................................................................................32
Termo geral de uma progressão aritmética .............................................33
Soma dos termos de uma progressão aritmética ...............................34
Progressões geométricas ........................................................................................................ 36
Somatório e fatorial....................................................................................39
Somatório ............................................................................................................................................. 39
Fatorial ..................................................................................................................................................... 41
Modelagem Matemática 7
LIVRO DIDÁTICO DIGITAL
UNIDADE
03
Modelagem Matemática8
INTRODUÇÃO
A disciplina Modelagem Matemática faz parte da cadeia do ensino 
de exatas em todas as suas etapas na educação de jovens e adultos. 
Sua principal responsabilidade é a de promover um desenvolvimento da 
prática de aritmética, álgebra elementar, geometria plana e sólida e da 
trigonometria. Também possui grande influência na área da física e da 
Tecnologia da Informação (TI), pois sabemos que vivemos em mundo que 
possui uma evolução rápida e que necessita de ajustes e precisão tanto 
nos resultados qualitativos quanto nos quantitativos. Assim, a matemática 
lhe proporcionará um maior desenvolvimento do raciocínio lógico e da 
sua organização, visto que ela, para a demonstração de seus resultados 
de forma compreensiva, exige uma formatação coerente com o que 
foi solicitado. Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar neste 
universo!
Modelagem Matemática 9
OBJETIVOS
Olá. Seja muito bem-vindo à Unidade 3. Nosso propósito é auxiliar 
você no desenvolvimento das seguintes objetivos de aprendizagem até o 
término desta etapa de estudos:
1. Aplicar os conceitos de Razão, Proporção e Regra de Três em 
situações-problema do dia a dia.
2. Aplicar o conceito de porcentagem na Matemática Financeira. 
3. Identificar os vários tipos de sequência numérica, como PA 
(progressões aritméticas), PG (progressões geométricas), entre outras 
séries corriqueiras.
4. Entender e aplicar as operações de somatório e fatorial nas 
situações-problema comuns no dia a dia profissional.
Então? Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento? 
Ao trabalho! 
Modelagem Matemática10
Compreendendo o Conceito de Razão, 
Proporção e Regra de Três
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você terá entendido a 
aplicabilidade dos conceitos de razão, proporção e regra de 
três. Além disso, será capaz de resolver diversas situações-
problemasque abrangem tais conceitos. Motivado para 
desenvolver essas competências? Vamos lá. Avante!
Razão
De maneira sucinta, podemos definir “razão” como uma divisão 
entre dois números. No entanto, sua definição formal é dada por:
DEFINIÇÃO:
Sejam dados dois números, 𝑎a e 𝑎b (𝑎 b≠ 0), chamamos de 
razão entre esses dois números o quociente indicado entre 
eles.
A razão a b 𝑎 𝑎 também pode ser escrita a 𝑎: b 𝑎 (lemos: a está para b) ou . 
Os números 𝑎 e 𝑎 são os termos da razão e são chamados, respectivamente,
de antecedente e consequente.
A razão entre a e b sempre é diferente de zero, sempre que a for 
diferente de zero.
Exemplo: Em um grupo de 95 pessoas, 41 são homens. Qual é a 
razão entre o número de moças e o total de pessoas?
Para encontrar a razão solicitada, inicialmente, é necessário 
identificar a quantidade de moças nesse conjunto. Note que foi afirmado 
Modelagem Matemática 11
que 41 pessoas eram homens, logo, 95 - 41 = 54 moças. Como a razão 
requerida é entre essa quantidade de pessoas e o total do grupo:
Assim, a razão procurada é ou 34:95 (lemos: 35 para 95) e 
podemos interpretar que há 34 moças em cada grupo de 95 pessoas.
É importante ressaltar que, constantemente, no conteúdo de razão, 
nos depararemos com frações e algumas propriedades dessa temática, o 
que exige que lembremos, por exemplo, como se dá a sua simplificação. 
Basicamente, simplificar uma fração consiste em dividir tanto o seu 
numerador quanto o seu denominador pelo maior valor possível. Observe a 
simplificação da fração :
Caso identifiquemos que o numerador (27) e o denominador (243) 
podem ser divididos por 27, é possível dividi-los imediatamente por esse 
valor. Observe:
Exemplo: Em uma prova com 70 questões, Luiz Felipe acertou 36. 
Determine a razão entre o número de erros e o número de acertos. 
Note que a quantidade de erros pode ser encontrada pela subtração 
70 – 36 = 44. Logo, a razão procurada é de: 
ou 11:9 (lemos: 11 para 9). Diante disso, podemos interpretar que há 
11 erros para cada 9 acertos.
Modelagem Matemática12
VOCÊ SABIA?
A escala é um tipo de razão e é considerada uma importante 
ferramenta presente nos mapas, dado que é útil para 
representar a relação entre a área real e a sua representação. 
É a escala que sinaliza o quanto um determinado espaço 
geográfico foi reduzido para“caber”no local em que ele foi 
confeccionado em forma de material gráfico.
Proporção
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Os números a, b, c, 
d (com b ≠ 0 e d ≠ 0) estão em proporção na ordem dada se, e somente, 
a razão entre a e b for igual à razão entre c e d.
Matematicamente, essa proporção é dada por:
em que é possível ler da seguinte maneira: a está para b, assim 
como c está para d.
Algumas nomenclaturas são direcionadas aos termos dessa 
proporção. Observe-os na figura a seguir:
Figura 1 – Nomenclatura dos termos de uma proporção
Fonte: Elaborado pelos autores.
Modelagem Matemática 13
Propriedade fundamental da proporção
Em toda proporção, pela sua propriedade fundamental, sabemos 
que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Logo:
Observe que, utilizando essa propriedade, podemos determinar o 
valor de uma incógnita na proporção, uma vez conhecida as outras três 
variáveis.
Existem algumas propriedades operacionais das proporções. A 
seguir, discursaremos melhor sobre elas:
 • Propriedade 1: Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos 
está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está 
para o 4º (ou 3º):
 • Propriedade 2: Dada uma proporção, a diferença dos dois primeiros 
termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois 
últimos está para o 4º (ou 3º):
 • Propriedade 3: Em uma proporção, a soma dos antecedentes está 
para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente:
Modelagem Matemática14
 • Propriedade 4: Para toda proporção, a diferença dos antecedentes está 
para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente 
está para o seu consequente:
 • Propriedade 5: Em uma proporção, o produto dos antecedentes está 
para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada 
antecedente está para quadrado do seu consequente: 
Exemplo: (Enem 2012) Há, em virtude da demanda crescente de 
economia de água, equipamentos e utensílios como as bacias sanitárias 
ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 
litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da 
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia 
diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não 
ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma 
bacia sanitária ecológica? 
a. 24 litros.
b. 36 litros. 
c. 40 litros. 
d. 42 litros. 
e. 50 litros.
Modelagem Matemática 15
Regra de três 
A regra de três é uma regra prática a qual facilita o cálculo de 
problemas que envolvem duas grandezas que podem ser diretamente ou 
inversamente proporcionais. 
Grandezas diretamente proporcionais são descritas por serem duas 
ou mais grandezas que, quando se aumenta ou diminui uma delas, a(s) 
outra(s) aumenta(m) ou diminui(em) na mesma proporção. 
Exemplo: 
 • Um carro percorre 70 km em uma hora, 140 km em duas horas, 210 
km em três horas e assim sucessivamente.
Logo, velocidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais, 
uma vez que aumentam de acordo com uma mesma razão.
Já as grandezas inversamente proporcionais ocorrem quando se 
aumenta uma delas e a outra diminui na mesma razão da primeira. 
Exemplo: 
 • Um veículo a 60 km/h faz um percurso em 1 hora; a 120 km/h, o 
mesmo percurso é realizado em 30 minutos e assim sucessivamente.
Note que velocidade e tempo são grandezas inversamente 
proporcionais, uma vez que, quanto maior é a velocidade, menor é o 
tempo necessário para percorrer o percurso desejado.
DEFINIÇÃO:
Regra de três pode ser definida como o processo destinado 
a resolver problemas que envolvam grandezas diretamente 
ou inversamente proporcionais.
Modelagem Matemática16
As regras de três podem ser classificadas em simples ou compostas 
e cada uma delas pode utilizar grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. Observe essa distinção na figura a seguir: 
Figura 2 – Classificação de uma regra de três
Fonte: Elaborado pelos autores.
Existem alguns passos que podemos seguir, de modo a solucionar 
os exercícios de regra de três. São eles:
1º passo: Separar, em uma mesma coluna, as grandezas de mesma 
espécie e de mesma unidade.
2º passo: Identificar se as grandezas envolvidas são diretamente ou 
inversamente proporcionais.
3º passo: Construir a proporção correspondente e resolvê-la.
Agora, observaremos a resolução de alguns exemplos relacionados 
à regra de três.
Exemplo: Três caminhões transportam 250 m³ de areia. Para 
transportar 1750 m³ de areia, quantos caminhões iguais a esse seriam 
necessários?
Modelagem Matemática 17
Seguindo os passos já apresentados:
1º passo: Construção da tabela:
Caminhões Capacidade
3 250 m³
x 1750 m³
2º passo: As grandezas são diretamente proporcionais, pois, quanto 
maior é a quantidade de caminhões, maior é a capacidade de transporte. 
Assim, os valores serão mantidos na mesma posição na tabela.
3º passo: Agora, basta resolver a proporção:
Logo, concluímos que são necessários 21 caminhões para 
transportar 1750 m³ de areia.
Exemplo: Com oito eletricistas, é possível realizar a instalação de 
uma casa em cinco dias. Caso essa quantidade passe para seis eletricistas, 
quantos dias levarão para fazer o mesmo trabalho? 
 Seguindo os passos já apresentados:
1º passo: Construção da tabela:
Eletricistas Dias
8 5
6 x
2º passo: As grandezas são inversamente proporcionais, pois, se 
a quantidade de eletricistas diminuir, serão necessários mais dias para 
finalizar a obra. Assim, uma das colunas de nossa tabela deverá ter os 
seusvalores invertidos.
Modelagem Matemática18
3º passo: Agora, basta resolver a proporção:
Logo, concluímos que são necessários, aproximadamente, sete 
dias para que os seis eletricistas realizem a obra. 
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que a razão equivale a uma comparação entre 
duas grandezas. Por outro lado, a proporção representa 
uma igualdade entre duas razões e, pelo princípio 
fundamental da proporção, o produto do meio é igual ao 
produto dos extremos. Por fim, você conheceu a regra de 
três, que consiste em ser uma técnica capaz de identificar 
o valor de uma grandeza por meio de uma proporção entre 
os dados disponibilizados.
Modelagem Matemática 19
Reconhecendo a Porcentagem e as suas 
Aplicações na Matemática Financeira
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você terá relembrado 
técnicas que possibilitam o cálculo da porcentagem e 
compreendido as aplicações desse conceito no contexto 
da matemática financeira. Motivado para desenvolver essas 
competências? Vamos lá. Avante!
Porcentagem
Porcentagem é definida como uma forma de cálculo que visa apurar 
descontos, acréscimo, quantidade, números, lucros e outros valores que 
necessitam de um detalhamento das informações em função do montante 
utilizado, ou seja, do valor informado para o cálculo.
A expressão “por cento” significa “por cada cem” e ela é representada 
pelo sinal %. Além disso, podemos expressar uma porcentagem em forma 
de fração ou como decimal. Observe:
Exemplos:
De maneira sucinta, há três regras práticas para determinar x% de 
uma quantidade y, as quais são dadas por:
 • Para calcular X% de uma quantidade Y, devemos fazer:
Modelagem Matemática20
 • Para aumentar Y de X%, devemos fazer: 
 • Para diminuir Y de X%, devemos fazer: 
Matemática Financeira
O que é matemática financeira? Como o próprio nome indica, 
é uma matemática com particularidade e direcionada ao seguimento 
financeiro. Consiste em ser uma ferramenta útil para a análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. 
Com o passar do tempo, o homem notou a relação entre o tempo 
e o dinheiro. Ao perceber a desvalorização do dinheiro depois de certo 
período, concluiu que deveria ser feita uma correção monetária sobre 
isso, a fim de aumentar o poder de seu capital. Nas primeiras civilizações, 
na antiga babilônia, já existiam fatos que relatavam a existência da 
matemática financeira, uma vez que se era adotado um método de 
empréstimo de sementes em que, ao efetuar o pagamento das sementes 
emprestadas, o produtor pagava com mais uma parte da colheita.
Atualmente, a matemática financeira se aplica a diversas áreas 
do nosso sistema econômico e está em nosso cotidiano por intermédio 
dos empréstimos, financiamentos e investimentos. Além disso, é 
utilizada em toda movimentação de capital cuja finança é alicerçada em 
uma estipulação prévia de taxas e aplicações de juros. 
IMPORTANTE:
A taxa de juros é a razão entre os juros, cobráveis ou pagáveis 
no final de um período de tempo, e o dinheiro devido no 
início desse período. Comumente, usa-se o conceito “taxa 
de juros” quando se paga por um empréstimo e “taxa de 
retorno” quando se recebe pelo capital emprestado.
Modelagem Matemática 21
Em função da definição apresentada, vamos entender a 
porcentagem e a sua influência na matemática financeira. Nesse sentido, 
perceberemos que os elementos existentes no cálculo geram resultados 
que podem ser demonstrados de forma percentual (%). 
Porcentagem com Lucro
A ideia de lucro está associada ao ganho, vantagem sobre algo. 
Análoga a essa concepção, existe a porcentagem com lucro, que é 
utilizada quando calculamos o valor acrescido em função do juro aplicado 
sobre um montante.
Parece confuso para você? Ora, não se assuste! Resolveremos 
alguns exemplos juntos para esclarecer ainda mais essa concepção.
Exemplo: Suponha que você deseja aplicar, por um mês, o valor 
de R$ 20.000,00 sob uma taxa de juros mensal de 10%. Desse modo, qual 
será o total a ser resgatado após esse período?
Note que será necessário calcular o valor equivalente à porcentagem 
sob o valor a ser aplicado. Logo:
Para descobrir o total disponível, basta adicionar o valor encontrado 
ao total aplicado:
Entretanto, caso só tenhamos o valor montante e o valor do 
rendimento do lucro, poderemos chegar ao valor percentual de lucro 
(taxa de juros) sem o conhecermos. Basta dividimos o lucro pelo valor 
aplicado e multiplicar esse resultado por 100.
Exemplo: Considere foi obtido um montante de R$ 27.000,00 e 
que, a partir dele, o valor equivalente ao lucro foi de R$ 3.000, 00. Nesse 
contexto, qual é a taxa de juros incidida nessa operação?
Modelagem Matemática22
Assim como já sabemos, basta realizarmos a divisão:
VOCÊ SABIA?
Existem duas modalidades de juros: o simples e o composto. 
A diferença entre ambos se baseia na maneira pela qual a 
taxa de juros está incidida sobre o capital, isto é, o valor 
inicialmente aplicado. Assim, juros simples são calculados 
sempre sobre o capital é são constantes em todo o período. 
Já os juros compostos são calculados sobre o montante, ou 
seja, o capital acrescido aos juros do mês anterior.
Porcentagem com Desconto
Desconto, assim como o próprio nome sugere, é um desconto 
concedido a alguém ou a uma instituição por quitar a sua dívida no prazo 
anterior ao estipulado. A definição de desconto é contrária a de juro, pois, 
enquanto o juro é fornecido para estender o prazo de pagamento, o 
desconto é dado para que haja a antecipação desse prazo.
A porcentagem com desconto é definida quando retiramos uma 
porcentagem em função do juro aplicado sobre um valor do montante. Em 
outras palavras, ocorre a diminuição do valor principal.
Exemplo: Utilizaremos o mesmo exemplo anterior: considere um 
montante de R$ 27.000,00 que, devido à antecipação do pagamento, foi 
concedido um desconto de 5%. Qual é o valor equivalente ao desconto e 
ao total a ser pago? 
Note que, inicialmente, é preciso calcular a porcentagem referente 
ao desconto. Logo:
Modelagem Matemática 23
O valor a ser quitado equivale à diferença entre o valor inicial e o 
total do desconto:
Portanto, o valor equivalente ao desconto é de R$ 25.650,00. 
Juros
Juros representam a remuneração de um capital aplicado em alguma 
atividade produtiva. Eles podem ser calculados, isto é, capitalizados, de 
duas formas diferentes:
 • Simples.
 • Composto.
Juros simples
Os juros simples podem ser definidos como o acréscimo calculado 
sobre o valor inicial de uma aplicação financeira ou de uma compra feita a 
crédito. Além disso, pode ser definido por:
DEFINIÇÃO:
Chamamos de juros, a remuneração recebida por quem 
aplicou ou paga a quem tomou dinheiro emprestado. No 
regime de juros simples, os juros incidem exclusivamente 
sobre o principal e, para calculá-lo, utilizamos a seguinte 
relação:
Em que:
 • J é o juro obtido nesse período.
 • C é o capital aplicado inicialmente.
 • i é taxa de juros expressa na mesma unidade de tempo do período.
 • n é o tempo, período da transação.
Modelagem Matemática24
Outra relação pertinente a essa categoria de juros é a determinação 
do montante, que é dada por:
Em que M é o montante, isto é, o total arrecadado após o período 
estipulado.
Agora, estimado(a) aluno(a), realizaremos a resolução de alguns 
exemplos para fixar o conteúdo apresentado.
Exemplo: Qual será o rendimento de juros se R$ 5.000,00 for 
aplicado durante 12 meses a uma taxa de 2% ao mês no regime de juros 
simples?
Inicialmente, identificaremos os dados do problema, que são:
 • C = R$ 5.000,00.
 • n = 12.
 •
 • j = ?
Agora, basta substituir tais informações na primeira formula 
apresentada. Portanto:
Assim, concluímos que os juros provenientes dessa situação 
correspondemao valor de R$ 1.200,00.
Exemplo: Qual é o valor a ser retirado por um investidor se ele 
pretende aplicar R$ 20.0000 durante cinco anos, sob o regime de juros 
simples, a uma taxa anual de 14% ao ano?
Modelagem Matemática 25
Inicialmente, identificaremos os dados do problema, que são:
 • C = R$ 20.000,00.
 • n = 5.
 •
 • M = ?
Agora, basta substituir tais informações na segunda formula 
apresentada. Portanto:
Assim, o montante será de R$ 34.000,00.
Juros compostos
No regime de juros compostos, ao final de cada período de 
capitalização, os juros se incorporam ao principal e passam a render juros 
também. 
DEFINIÇÃO:
Os juros compostos  são calculados levando em 
consideração a atualização do capital. Em outras palavras, 
o juro incide não apenas sobre o valor inicial, mas também 
sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
Modelagem Matemática26
Pelo fato de que a maneira de capitalizar esses juros é distinta da 
dos juros simples, a fórmula para a sua determinação também é, já que 
é dada por:
Fórmula: 
Em que:
 • M é montante obtido nesse período.
 • C é o capital aplicado inicialmente.
 • i é taxa de juros expressa na mesma unidade de tempo do período.
 • n é o tempo, período da transação.
Exemplo: Quanto resgataria um investidor, uma vez que foi 
aplicada a quantia de R$ 10.000,00 por 12 meses a uma taxa de 2,3% a.m. 
a juros compostos?
Inicialmente, identificaremos os dados do problema, que são:
 • C = R$ 10.000,00.
 • n = 12.
 •
 • M = ?
Agora, basta substituir tais informações na segunda formula 
apresentada. Assim: 
Portanto, o montante, decorridos doze meses, será de R$ 13.137,34.
Para esclarecermos ainda mais o conteúdo para você, 
apresentaremos mais um exemplo. Vamos lá!
Modelagem Matemática 27
Exemplo: Qual é o valor de capital necessário para investir em uma 
aplicação que, sob 3% a.m. a juros compostos, ao final de sete meses, 
pudessem ser resgatados um total de R$ 14.000,00?
Inicialmente, reconheceremos os dados do problema, que são:
 • C = ?
 • n = 7.
 •
 • M = 14.000,00.
Agora, substituiremos as informações na segunda formula 
apresentada. Logo: 
Portanto, para resgatar o valor almejado, é necessária a aplicação 
de R$ 8.695,65.
Outra relação importante no contexto da matemática financeira é 
a que estabelece a relação de juros conforme o valor do montante e do 
capital. Ela é dada por:
Fórmula: 
Assim, uma vez conhecido o valor do montante e do capital, basta 
calcular a diferença entre ambos para determinar os juros.
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que a porcentagem compreende um cálculo 
que avalia o valor em razão de 100 e que essa concepção 
é muito utilizada na matemática financeira. Compreendeu, 
também, os juros simples e o composto, identificando 
as peculiaridades pertencentes a cada modalidade de 
capitalização.
Modelagem Matemática28
Conhecendo sequências numéricas
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você terá compreendido a 
concepção de sequências numéricas, saberá que é 
possível organizar os números em sequências numéricas 
e que elas podem ter diversas características, uma vez 
que as progressões aritméticas e as geométricas nos 
permitem uma maior exploração matemática e aplicação 
em situações no cotidiano. Motivado para desenvolver 
essas competências? Vamos lá. Avante!
Quando nos referimos a sequências, nem sempre estamos nos 
direcionando às sequências numéricas. Uma sequência é uma lista 
ordenada de objetos, números ou elementos. 
DEFINIÇÃO:
Sequência é todo conjunto ou grupo no qual os seus 
elementos estão escritos em uma determinada ordem.
Modelagem Matemática 29
Um exemplo muito simples é a lista de medalhas de ouro, prata e 
bronze de alguns países nas Olimpíadas de 2015. Observe-as:
Tabela 1 – Medalhas mundiais de 2015
Fonte: Costa, 2015.
Modelagem Matemática30
Além disso, é possível identificar uma sequência com figuras 
geométricas, as quais podem obedecer, ou não, a um padrão, assim 
como pode ser visualizado na figura a seguir:
Figura 3 – Sequência de figuras geométricas
Fonte: https://bit.ly/320lynw
Em algumas sequências, podemos observar certo padrão, isto é, 
alguma informação ou característica que nos permite compreender como 
essa sucessão é elaborada, além de prever os elementos seguintes. Note, 
nos exemplos dados: na quantidade de medalhas por pais, é possível 
verificarmos alguma regularidade de elementos? A resposta é clara: 
não! No entanto, na sequência de quadrados, é possível identificar uma 
caraterística, não é mesmo? 
VOCÊ SABIA?
A sequência de Fibonacci foi criada no século XIII pelo 
matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci. 
Ele criou a sequência para resolver um problema de 
crescimento populacional e a propôs em seu livro 
“Liber Abaci”, publicado em 1202. O interessante é que a 
sequência de Fibonacci pode ser verificada em muitas 
outras situações e padrões naturais, como em proporções 
do corpo humano, conchas do mar e nas sementes de 
girassol.
https://bit.ly/320lynw
Modelagem Matemática 31
Na prática, é quase impossível prever os próximos termos de uma 
sequência sem o auxílio de expressões algébricas que modelem o padrão 
a ser seguido, generalizando, assim, as relações numéricas inerentes a essa 
construção. Estamos nos referindo ao uso de variáveis na escrita matemática. 
Além disso, as sequências podem ser classificadas em infinita e em 
finita.
Sequência infinita
Infinita é uma sequência ilimitada, ou seja, seus elementos seguem 
infinitamente e não possuem fim: 
Um exemplo de uma sequência infinita é o conjunto dos números 
pares e dos números primos. Observe:
Conjunto de números pares: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...)
Conjunto dos números ímpares: (2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29...)
Sequência finita
A sequência finita é uma sequência numérica na qual os elementos 
são limitados, isto é, possuem fim:
Um exemplo que pode ser dado para essa classificação é o conjunto 
dos múltiplos de cinco e menores que 30:
(0, 5, 10, 15, 20, 25)
Observe que há uma limitação quanto ao último exemplo. Portanto, é 
necessária uma consequente determinação da quantidade de elementos 
desse conjunto. 
Além das classificações infinita e finita, conheceremos, a seguir, 
a dinâmica de funcionamento de duas importantes sequências: as 
chamadas “progressões aritmética” e “geométrica”.
Modelagem Matemática32
Progressões aritméticas
Para introduzirmos o conceito de progressão aritmética (P.A.), 
apresentaremos um exemplo prático: atualmente, para as pessoas com 
menos de sessenta anos e sem necessidades especiais, a carteira de 
habilitação será renovada a cada dez anos. Assim, se, neste ano de 2020, 
renovei a minha carteira, em 2030, deverei me submeter aos mesmos 
procedimentos, o que também ocorrerá em 2040, 2050, 2060 e assim 
sucessivamente. Observe que os anos em que foi necessária a renovação 
obedecem a uma progressão aritmética indicada por: 
Ora, mas por que tal sequência é a representante de uma progressão 
aritmética? A resposta é simples! Isso se deve, porque, no caso exposto, é 
sempre adicionado o número 10 ao termo anterior, a fim de gerar o termo 
subsequente:
Agora, vejamos a definição formal de progressão aritmética:
DEFINIÇÃO:
Chama-se de progressão aritmética ou P.A., uma sequência 
numérica na qual a diferença entre qualquer termo, a partir 
do segundo, e o termo anterior resulta em um mesmo 
valor, ou seja, uma constante, que é chamada de razão e 
indicada pela letra r. 
Uma P.A. pode ser classificada de acordo com o valor dado a sua 
razão, sendo indicada por:
Modelagem Matemática 33
Termo geral de uma progressão aritmética
Para determinar o termo geral de uma P.A., isto é, a expressão 
algébrica que modela a sua estrutura, utilizamos a seguintefórmula:
Em que:
Para praticarmos, analisemos a resolução de um exemplo!
Exemplo: Observe a sequência numérica a seguir:
Agora, responda as perguntas: 
a. Essa sequência é uma progressão aritmética? Justifique. 
b. Qual é a razão da sequência?
c. Qual será o 9º termo da sequência? 
d. Qual é o termo geral dessa sucessão?
Ao respondermos aos questionamentos, obtemos:
a. Sim. Porque os termos da sequência são encontrados a partir da 
soma entre sete e o termo anterior.
b. A razão da sequência é dada por: .
c. Para determinar o sétimo termo da sequência, basta substituir as 
informações na relação de termo geral de uma P.A.: 
d. Determinar o termo geral da P.A. consiste em encontrar a relação 
algébrica que possibilita encontrar os termos, logo:
Modelagem Matemática34
Exemplo: Um medicamento deve ser tomado da seguinte forma: 
três pílulas no 1º dia; cinco pílulas no 2º dia; sete pílulas no 3º dia, e assim 
sucessivamente. Após quantos dias um paciente estará tomando 43 
pílulas desse medicamento?
Ao identificarmos os dados do problema, sabemos que:
•	
•	
•	
Agora, basta substituirmos os valores na relação de termo geral de 
uma P.A.:
Logo, no 21° dia, a quantidade de pílulas a serem tomadas será 43.
Soma dos termos de uma progressão aritmética
Outra relação pertinente à progressão aritmética é o cálculo da 
soma de seus termos. Essa fórmula possibilita determinar rapidamente a 
soma dos termos de uma sucessão aritmética, que é dada por:
Em que:
 • último termo da sequência.
 • quantidade de termos da sequência a serem somados.
 • primeiro termo da sequência.
Modelagem Matemática 35
Caro aluno, vamos solucionar mais um exemplo? 
Exemplo: Encontre a soma dos 25 primeiros termos de uma 
progressão geométrica definida por: 
Para encontrar o valor solicitado, basta identificar os termos da 
progressão e substituir os valores na formula apresentada. Portanto:
Logo:
Assim, a soma dos 25 primeiros termos da progressão aritmética 
apresentada equivale a 900.
Modelagem Matemática36
Progressões geométricas
Contrária a uma progressão aritmética, uma progressão geométrica, 
também chamada de P.G., é formada a partir da multiplicação de um 
mesmo número para se obter o subsequente. Esse número também 
recebe o nome “razão” e, agora, será indicado pela letra q:
Em que:
Em uma P.G., cada termo é obtido multiplicando-se a razão 
pelo termo anterior. Desse modo, o quociente entre um termo e o seu 
antecedente nos dá o valor da razão, não é mesmo?! Portanto, para 
identificar a razão de uma P.G., basta realizar a divisão entre o termo e o 
seu antecessor.
Solucionemos mais um exemplo: 
Exemplo: Observe a sequência: (5, 25, 125...). Com base nela, 
responda aos questionamentos a seguir:
a. Essa sequência é uma P.A. ou uma P.G.?
b. Qual é a sua razão? 
c. Encontre o 7º elemento da sequência. 
d. Qual é a fórmula do termo geral dessa sequência?
Modelagem Matemática 37
Ao responder aos questionamentos, obtemos:
a. A sequência é uma P.G., pois seus elementos são encontrados a 
partir da multiplicação de uma mesma constante.
b. A razão é dada por .
c. O sétimo termo é dado por: 
d. 
VOCÊ SABIA?
Os paradoxos de Zenão motivam o estudo de sequências 
cujos termos diminuem muito, assumindo valores cada 
vez mais próximos de zero. Ainda relacionado à soma 
dos termos, embora pareça muito estranho, é possível 
somarmos os elementos de uma P.G. infinita, mas com uma 
condição: essa progressão precisa ser decrescente, isto é, 
ter uma razão maior que –1 e menor que 1.
Para calcularmos a soma dos n primeiros termos de uma P.G., é 
necessário utilizar o valor do primeiro termo, a razão e o total de termos 
que estamos somando:
Em que:
Exemplo: De 2011 a 2020, uma empresa dobrou o seu patrimônio 
a cada ano. Se, em 2010, a empresa acumulava um patrimônio de 1,5 
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milhão de reais, qual foi o valor acumulado, referente à soma dos lucros, 
em 2020?
Note que a situação se refere a uma aplicação da relação de soma 
dos termos de uma P.G. Logo, os dados são:
Portanto, o total acumulado nesse período foi de R$170,5 milhões 
de reais.
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que podemos organizar os números em 
sequências numéricas. Uma sequência numérica em que 
um termo é obtido somando-se um fator constante ao 
termo anterior é denominada de progressão aritmética (PA), 
mas, se o termo for encontrado multiplicando-se o termo 
anterior por um fator constante, denomina-se progressão 
geométrica (PG).
Modelagem Matemática 39
Somatório e fatorial
INTRODUÇÃO:
Ao término deste capítulo, você terá entendido a definição 
de somatório e compreendido como essa simbologia 
funciona na prática. Além disso, conhecerá fatorial e as 
suas propriedades. Motivado para desenvolver essas 
competências? Vamos lá. Avante!
Somatório
A notação somatória é utilizada para representar, em uma 
forma reduzida, a soma de um determinado número de expressões, 
funções, números etc. 
Imagine que você queira determinar a seguinte soma:
Para determiná-la, existe uma maneira mais abreviada de se 
apresentar esse cálculo. Para tal finalidade, utilizamos a concepção de 
somatório, que seria representado por:
Lê-se da seguinte maneira: somatório de k=1 até k =5.
De modo geral, um somatório pode ser representado da seguinte 
maneira:
Modelagem Matemática40
Em que:
Exemplo
 Exemplo: Expanda a expressão indicada por: 
Inicialmente, é necessário identificar a partir de qual número se 
inicia e qual findará o somatório. Em outras palavras: . Logo: 
Exemplo: Encontre uma expressão analítica para o termo geral 
da sequência (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13...) e, utilizando o símbolo de somatório, 
represente a soma entre esses termos: 
1 + 3 + 5 + 7 +9 + 11 + 13
Modelagem Matemática 41
Note que essa soma é composta por sete termos, assim, está 
limitada de 1 até 7, os quais serão os valores limitantes em nosso somatório. 
Agora, devemos pensar em uma expressão algébrica que possibilite a 
determinação de cada termo de acordo com a sua posição. Observe que é: 
Logo, utilizando a notação de somatório, constatamos que: 
VOCÊ SABIA?
O símbolo utilizado no somatório é uma letra grega, o 
sigma, que é utilizado sempre em seu modelo maiúsculo. 
Ele é acompanhado por um índice inferior, que denota o 
início, e um superior, que indica o final do somatório.
Fatorial
Fatorial é um número natural inteiro positivo representado por n!, no 
qual um número é calculado pela multiplicação dele por todos os seus 
antecessores, até chegar ao número 1, não incluído o 0.
Inicialmente, pode parecer confusa essa explicação, mas observe 
alguns exemplos de fatoriais: 
Modelagem Matemática42
Genericamente, o formato de um fatorial é dado por:
Por convenção, no estudo de fatoriais, sabemos que:
O processo de simplificação também é possível de ser realizado 
com fatoriais. Ele é constantemente usado, quando pertinente, na divisão, 
para reduzir os elementos que fazem parte. Observe alguns exemplos:
Basicamente, o processo sempre será o mesmo: devemos 
decompor o fatorial até o termo contido no denominador da fração para 
que ocorra a eliminação.
Modelagem Matemática 43
Fatoriais funcionam como uma representação de números, logo, é 
correto escrever tanto 6 quanto 3! = 3 x 2 x 1 = 6. Assim, as operações 
aritméticas matemáticas, como adição, subtração, multiplicação e divisão, 
podem ser realizadas com fatoriais. Observe alguns exemplos dispostos 
a seguir:
No contexto dos fatoriais, também é possível elaborar equações 
fatoriais que detenham as mesmas propriedades de uma equação, porém 
associadas ao conceito de fatorial. A maneira de resolvê-las continua a 
mesma, mas sempre considerando o contexto fatorial.
Exemplo: Resolva uma equação definidapor: 
Como ela poderia ser resolvida? A resolução é simples! Como os 
dois lados da equação são números ou expressões fatoriais, basta igualar:
Vamos analisar mais um exemplo?
Modelagem Matemática44
Exemplo: Solucione a equação fatorial definida por: 
Atente-se ao fato de que, para solucionar essa equação fatorial, 
foram necessários outros conhecimentos de álgebra, tais como fatoração 
e resolução de uma equação de segundo grau.
Para finalizar o estudo dos fatoriais, observe a resolução de mais 
um exemplo:
Exemplo: Determine a solução da equação fatorial a seguir:
Modelagem Matemática 45
Perceba que métodos e manipulações algébricas sempre estão 
presentes na matemática, nesse caso especifico, no fatorial.
IMPORTANTE:
A análise fatorial é um método utilizado nos estudos de 
estatística, por meio da criação de variáveis.
RESUMINDO:
Gostou do que lhe apresentamos? Aprendeu mesmo 
tudinho? Agora, só para termos a certeza de que você 
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo, 
resumiremos tudo o que estudamos. Você deve ter 
aprendido que o somatório corresponde a uma maneira 
mais simples de indicar a soma entre uma série de números, 
com base em sua lei de formação. Não só, mas também 
conheceu fatorial, que equivale ao produto de um número 
por seus antecessores, bem como compreendeu as 
operações aritméticas que podem ser realizadas com esse 
conceito e descobriu como resolver equações fatoriais. 
Foi muito bom ter a sua companhia nesta jornada do conhecimento! 
Até breve!
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REFERÊNCIAS
COSTA, G. Quadro de Medalhas dos Mundiais de 2015: faltaram três 
pódios para a meta. Globo esporte.com, 27 dez. 2015. Disponível em: 
http://globoesporte.globo.com/blogs/especial-blog/brasil-no-rio/post/
quadro-de-medalhas-dos-mundiais-de-2015-faltaram-tres-podios-para-
meta.html. Acesso em: 21 ago. 2020.
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 
2012.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 2012.
LIMA, E. L. et al. Temas e Problemas Elementares. Coleção PROFMAT. 2. 
ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005.
PAIVA, M. Matemática Paiva. São Paulo: Moderna, 2014.
Glauco Antônio do Nascimento
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Livro Didático Digital