AULA 17 GEOMETRIA ANALÍTICA COM RESOLUÇÕES

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Hexágono Regular 
Prof. Antonio Rafael 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
02 
Sonhos são só sonhos quando não lutamos por eles. 
Nome do Aluno: 
1. (G1 - cmrj 2019) Com base na definição a seguir, responda. 
“A área de um triângulo é a metade do produto da medida de 
sua base pela medida de sua altura.” 
Considere o retângulo ABCD, cuja base mede 40 cm e altura 
mede 60 cm, e o triângulo BEF construído com vértices sobre 
os lados do retângulo, conforme a figura abaixo. Sabendo que 
ED 3DF e a área do triângulo BEF é a maior possível, qual 
a área deste triângulo? 
 
 
a) 2750 cm b) 2900 cm c) 21050 cm 
d) 21200 cm e) 21350 cm 
 
2. (Uece 2019) No plano, com o sistema de coordenadas 
cartesiano usual com origem no ponto O, as retas representadas 
pelas equações y x e y 4x 20 0   se cortam no ponto 
X. Se Y é a interseção da reta y 4x 20 0   com o eixo 
dos x (eixo horizontal), então, a medida da área do triângulo 
YOX é igual a 
u. a.  unidades de área. 
a) 12 u. a. 
b) 14 u. a. 
c) 10 u. a. 
d) 8 u. a. 
 
3. (Enem PPL 2018) Uma indústria automobilística está 
testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de 
combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido 
em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido 
consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado 
desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é 
indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo 
automóvel é indicada no eixo x (horizontal). 
 
 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de 
combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é 
a) y 10x 500   
b) 
x
y 50
10

  
c) 
x
y 500
10

  
d) 
x
y 50
10
  
e) 
x
y 500
10
  
 
4. (Unisc 2017) Os pontos (0, 1), (1, 2) e (3, k) do plano são 
colineares. O valor de k é igual a 
a) 0 
b) 2 
c) 2 
d) 8 
e) 8 
 
5. (Unisinos 2017) A equação da reta que passa pelos pontos 
A e B da figura abaixo é dada por: 
 
 
a) 2y 7x 11  
b) 2x 7y 11   
c) 2x 7y 11  
d) 2x 3y 5   
e) 2x 3y 1  
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ter sucesso é falhar repetidamente, mas sem perder o entusiasmo. 
 
(Winston Churchill) 
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6. (Pucsp 2017) A figura mostra um triângulo retângulo ABC, 
de hipotenusa AC, com A(2, 7), B(7, 2) e C(k, k 5). 
 
 
 
Sabendo que a área do triângulo ABC é 215 cm , o valor da 
abscissa do ponto C é 
a) 8. 
b) 9. 
c) 10. 
d) 11. 
 
7. (Ufrgs 2017) Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um 
hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem 
coordenadas (1, 0) e o ponto D tem coordenadas ( 1, 0), como 
na figura abaixo. 
 
 
 
A equação da reta que passa pelos pontos B e D é 
a) y 3x. 
b) 
3 3
y x .
3 3
  
c) 
3 3
y x .
2 2
  
d) 
3 3
y x .
3 3
  
e) 
3 3
y x .
2 2
  
 
8. (Enem (Libras) 2017) Um sítio foi adquirido por 
R$ 200.000,00. O proprietário verificou que a valorização do 
imóvel, após sua aquisição, cresceu em função do tempo 
conforme o gráfico, e que sua tendência de valorização se 
manteve nos anos seguintes. 
 
 
 
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, 
será de 
a) 190.000. 
b) 232.000. 
c) 272.000. 
d) 400.000. 
e) 500.000. 
 
9. (Enem PPL 2016) Na figura estão representadas, em um 
plano cartesiano, duas circunferências: 1C (de raio 3 e centro 
1O ) e 2C (de raio 1 e centro 2O ), tangentes entre si, e uma 
reta t tangente às duas circunferências nos pontos P e Q. 
 
 
 
Nessas condições, a equação da reta t é 
a) y 3x 3 3   
b) 
3
y x 3 3
3
   
c) y x 4   
d) 
2
y x 4
3
   
e) 
4
y x 4
5
   
 
 
 
 
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10. (Pucrs 2016) O polígono ABCD, na figura abaixo, indica o 
trajeto de uma maratona realizada em uma cidade, sendo que as 
coordenadas estão representadas no sistema de eixos cartesianos 
abaixo. A reta que passa pelos pontos A e C, vértices desse 
polígono, possui coeficiente linear igual a 
 
 
a) 0 
b) 
2
3
 
c) 
3
4
 
d) 
4
5
 
e) 1 
 
11. (Enem 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de 
foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. 
O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o 
objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar 
sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis 
descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá 
descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico 
mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do 
tempo, nas simulações realizadas. 
 
 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do 
projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse 
alcançado. 
 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que 
representa a trajetória de B deverá 
a) diminuir em 2 unidades. 
b) diminuir em 4 unidades. 
c) aumentar em 2 unidades. 
d) aumentar em 4 unidades. 
e) aumentar em 8 unidades. 
12. (Uerj 2015) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares 
apresentam em determinado instante, respectivamente, 100% e 
90% da carga total. 
Considere as seguintes informações: 
 
- as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; 
- para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas 
horas a mais do que B1; 
- no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de 
carga igual a 75%. 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
O valor de t, em horas, equivale a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
13. (Pucrj 2014) O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo 
x e um lado sobre o eixo y como mostra a figura. A área do 
retângulo ABCD é 15 e a medida do lado AB é 5. A equação da 
reta que passa por D e por B é: 
 
 
a) y 5x 3   
b) y 3x 5  
c) y 3x 5   
d) 
3x
y 3
5

  
e) 
3x
y 3
5
  
 
 
 
 
 
 
 
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14. (G1 - cftmg 2014) A tabela seguinte mostra o número de 
ovos postos, por semana, pelas galinhas de um sítio 
 
Semana Número de galinhas (x) Número de ovos (y) 
1ª 2 11 
2ª 3 18 
3ª 4 25 
4ª 5 32 
 
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que os pares 
ordenados (x, y) satisfazem a relação 
a) y = 4x + 3. 
b) y = 6x – 1. 
c) y = 7x – 3. 
d) y = 5x + 7. 
 
15. (Pucrj 2014) O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo 
x e um lado sobre o eixo y, como mostra a figura. A área do 
retângulo ABCD é 15, e a medida do lado AB é 5. 
 
 
 
A equação da reta que passa por A e por C é: 
a) y 3x 
b) y 3x  
c) y 5x 
d) 
3
y x
5
 
e) 
5
y x
3
 
 
16. (Ufsm 2013) O uso de fontes de energias limpas e 
renováveis, como a energia eólica, geotérmica e hidráulica, é 
uma das ações relacionadas com a sustentabilidade que visa a 
diminuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar 
os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma 
estação de energia eólica, os cata-ventos C1, C2 e C3 estão 
dispostos conforme o gráfico a seguir. 
 
 
 
Para que um cata-vento de coordenadas (x,y) esteja alinhado 
com o cata-vento C1 e com o ponto médio do segmento 2 3C C , 
é necessário e suficiente que 
a) 2x 15y 850.  
b) 5y x 50 0.   
c) 55y 26x 2050 0.   
d) 4x 5y 450.  
e) 5y 6x 550 0.   
 
17. (Pucrs 2013) A equação que representa a reta na figura 
abaixo é _________. 
 
 
a) y = x 
b) y = – x + 1 
c) y = – x – 1 
d) y = x – 1 
e) y = x + 1 
 
18. (Uern2013) 
 
 
A área do triângulo retângulo formada pela sobreposição das 
retas r e s, no gráfico, é igual a 36 unidades. Logo, a equação da 
reta r é 
a) y = x + 12 
b) y = – x + 16 
c) y = – 2x + 16 
d) y = – 2x + 12 
 
 
 
 
 
 
 
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19. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 
e vértices A = (4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0). 
 
 
 
A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: 
a) x 7  y 
b) 
x
5
3
  y 
c) 
x
5
2
  y 
d) 
x
7
2
  y 
e) 
x
7
3
 y 
 
20. (Ufpr 2012) Na figura abaixo estão representados, em um 
sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 
unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r 
que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a 
equação da reta r é: 
 
 
a) x 2y 4   
b) 4x 9y 0  
c) 2x 3y 1   
d) x y 3  
e) 2x y 3  
 
 
 
 
 
 
21. (Ufpr 2011) Um balão de ar quente foi lançado de uma 
rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado 
descreve a situação de maneira simplificada. 
 
 
 
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e 
Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado 
na figura, são, então: 
a) (21,7). 
b) (22,8). 
c) (24,12). 
d) (25,13). 
e) (26,15). 
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Adotemos, convenientemente, o sistema de eixos cartesianos 
usual, com a origem no ponto Logo, se é a distância de 
até temos e Ademais, 
segue que e implicam em 
Portanto, a área do triângulo é dada por 
 
 
 
Se a área é a maior possível, então e a resposta é 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Se X é o ponto de interseção das retas y x e   y 4x 20, 
então 
    x 4x 20 x 4. 
 
Logo, temos X (4, 4). 
Ademais, a abscissa do ponto Y é tal que 
    0 4x 20 x 5. 
 
Portanto, a área pedida é 
  
1
5 4 10 u.a.
2
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
A equação que descreve a relação entre a quantidade de 
combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é 
dada por 
x y x
1 y 50.
500 50 10
      
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
 
r AB AC
m m m  
 
Então, 
2 ( 1) k ( 1)
1 0 3 0
3 k 1
1 3
3 3 k 1
k 8
   

 


  

 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
A equação da reta é dada por 
3 1
y 1 (x ( 2)) 7y 7 2x 4
5 ( 2)
2x 7y 11.

        
 
   
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Do gráfico, vem k 7 e   2 k 5 7, implicando em 
 7 k 12. Logo, sendo a área de ABC igual a 215 cm , 
temos 
          

   
 
2 k 7 21
15 | 2k 10 2k 49 7k 7k 35 4 | 30
7 k 5 2 72
| 10k 70 | 30
k 10.
 
 
Portanto, a resposta é  Cx k 10. 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
 
 
Considerando a circunferência circunscrita no hexágono regular, 
podemos escrever que a medida α do ângulo ˆADB será dada 
por: 
60
30
2

  α 
 
 
D. x D
F, F (x, 0), B (40, 60) E (0, 3x).
 0 x 40  0 3x 60  0 x 20.
BEF
2
2
x 40 0 x1 1
| 60x 120x 3x |
2 0 60 3x 0 2
3
| 900 (x 30) | .
2
    
   
x 20
  2
3
800 1200cm .
2
 
 
 
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Portanto, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos B 
e D será dado por: 
3
m tg30
3
   
A reta pedida passa pelo ponto D( 1, 0) e tem coeficiente 
angular 
3
m .
3
 
Portanto, sua equação será dada por: 
3 3 3
y 0 (x ( 1)) y x
3 3 3
         
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Desde que os pontos (0, 200000), (2, 240000) e 1(10, y ) 
estão alinhados, vem 
 
1
1
1
0 2 10 0
0 2y 2000000 400000 2400000 0
200000 240000 y 200000
y R$ 400.000,00.
     
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Calculando: 
 
 
 
1 2
2 2 2 2
SO O :
4 2 x x 12 x 12 2 3
4 2 2 1
sen 30
sen 90 sen 4 2
180 150
t : y ax b
3
a tg tg 150 tg 30 a
3
α α
α
β α β
β

      
      

     
 
        
 
 
 
2 1 2
2
2
1 2
QRO SO O :
2 4
RO 2
1 RO
OR 9
SO O VOR :
VO 9 18
VO 3 3
2 2 3 2 3
V 0 ; 3 3 b 3 3
  
  

  
   
 
 
 
Assim: 
t : y ax b
3
t : y x 3 3
3
 
  
 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
Calculando o coeficiente angula da reta que passa pelos pontos 
A e C, temos: 
 
 
 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e C 
será dado por: 
5 2 3
m 1
4 1 3

  

 
 
Determinando, agora, a equação da reta que passa pelos pontos 
A e C, podemos escrever: 
 
 y 2 1 (x 1) y x 1       
 
O coeficiente linear é o valor de y quando x vale zero, logo o 
coeficiente linear desta reta é 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e 
(6,12) é 
12
2.
6
 Portanto, sendo 
16
4
4
 o coeficiente 
angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (4,16), 
podemos concluir que o coeficiente angular deverá aumentar em 
4 2 2  unidades. 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
 
 
Fazendo (I) = (II), temos: 
t t 2
6t 4t 8 t 4.
4 6

      
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Desde que 
 
(ABCD) AB AD 15 5 AD
AD 3
    
 
 
 
e A é a origem, é imediato que B (5, 0) e D (0, 3). 
 
Portanto, a equação da reta BD é 
 
x y 3
1 y x 3.
5 3 5
      
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
A relação pedida é tal que 
 
18 11
y 11 (x 2) y 7x 3.
3 2

      

 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Desde que 
 
(ABCD) AB BC 15 5 BC
BC 3
    
 
 
 
e B (5, 0), é imediato que C (5, 3). 
 
Portanto, como A é a origem, segue-se que a equação da reta 
AC é 
3
y x.
5
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Seja M o ponto médio do segmento de extremidades 
2C (200, 30) e 3C (50, 50). 
Temos: 
 
200 50 30 50
M , (125, 40).
2 2
  
  
 
 
 
Portanto, a condição de alinhamento dos pontos P (x, y), 
1C (100,10) e M é 
 
x 100 125 x
0 10x 4000 125y 100y 1250 40x 0
y 10 40 y
5y 6x 550 0.
       
   
 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Como a reta passa pelo ponto (0,1), seu coeficiente linear é 
h 1. Além disso, como a reta também passa por ( 1, 0), 
temos 0 m ( 1) 1 m 1.      Portanto, a equação procurada 
é y x 1.  
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Sabendo que a área do triângulo é igual a 36 unidades, vem 
 
1
(k 4) (6 0) 36 k 4 12
2
k 16.
       
 
 
 
Portanto, a equação da reta r é dada por 
 
12
y x 16 2x 16.
6
      
 
 
 
 
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Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
Sabendo que a área do triângulo ABC mede 25, obtemos 
 
AB BC
25 5 (c 4) 25 2
2
c 14.

     
 
 
 
A equação de r é dada por 
 
C A
C C
C A
y y 0 5
y y (x x ) y 0 (x 14)
x x 14 4
x
y 7.
2
 
        
 
   
 
 
Resposta da questão 20: 
 [A] 
 
O quadrado cinza tem lado medindo 2 e o quadrado hachurado 
tem lado medindo 3. Observe a figura: 
 
 
 
Coeficiente angular da reta r: 
r
3 2 1
m
2 0 2

 

 
 
logo, a equação reduzida da reta r será: 
1
y x 2
2
   
 
que é equivalente à equação:x 2y 4   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
A equação da reta PQ é: 
5 0 1
y x x.
10 0 2

 

 
 
Seja R (20, 20). O ponto P é a interseção das retas PQ e 
RP. Como estas retas são perpendiculares, segue que 
RP
m 2.  Assim, a equação da reta RP é: 
y 20 2 (x 20) y 2x 60.         
 
O ponto P é a solução do sistema formado pelas equações de 
PQ e RP : 
1
1 y x
y 12y x 2
P (24,12).2
5 x 24
y 2x 60 x 60
2

    
     
     