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MATRIZES
Uma matriz m x n é um quadro de elementos dispostos em m linhas e n 
colunas.
Os valores de m e n são sempre positivos e inteiros.
M = à M é uma matriz 2 x 3.
Cada elemento da matriz é indicado por aij, onde “i” refere-se à linha e 
“j” refere-se à coluna na qual o elemento se encaixa. Na matriz, temos :
a11 = 4 a12 = 9 a13 = 10
a21 = 8 a22 = 6 a23 = 5
DEFINIÇÃO
ELEMENTOS
Exercício
1. Determine a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e 
aij = i – j, se i ≠ j.
Exercício
2. Multiplique os elementos da diagonal principal da matriz M 
quadrada de ordem 3 x 3 onde aij = 
TIPOS DE MATRIZES
Exercício
3. Determine as matrizes oposta e transposta das matrizes 
abaixo:
a)
Exercício
b)
Exercício
c)
Exercício
4. Calcule x e y para que a matriz seja simétrica.
Exercício
5. Seja A a matriz A = (aij)2x3 , cuja lei de formação é dada 
abaixo. É correto afirmar que:
Exercício
6. Sendo as matrizes A = (aij) e B=(bij),quadradas de ordem 2 
com aij = i² - j² e bij = -i² + j² , o valor de A – B é :
Duas matrizes, A e B, serão iguais se forem do mesmo tipo e se 
os elementos correspondentes forem iguais. 
Determine x e y para que as matrizes A e B sejam iguais.
Igualdade de matrizes
Dadas duas matrizes de mesmo tipo, A e B, denomina-se matriz 
soma (A+B) a matriz obtida adicionando-se os elementos 
correspondentes de A e B, o mesmo ocorre para a subtração.
A única necessidade é que as matrizes sejam do mesmo 
tamanho nxm. 
Adição e subtração de matrizes
Exemplo Resolvido
Dadas as matrizes A e B determine A+B.
Exercício
7. Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes 
A = e B = 
Exercício
8.Dadas as matrizes A = , B = e C = 
determine a matriz D resultante da operação A + B – C.
üMultiplicação de número real por matriz
Dada uma matriz A e um número real k, denomina-se multiplicação de 
matriz por escalar (numero real K), a matriz obtida multiplicando-se 
cada um dos seus elementos por k. 
Observe como exemplo a determinação da matriz.
üMultiplicação de matrizes
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, 
define-se produto da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo 
mxp, tal que cada elemento de C é calculado multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos 
elementos correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, 
somando-se os produtos obtidos. 
Exemplo Resolvido
ATENÇÃO: O produto entre duas matrizes A e B é definido 
se e somente se, o número de colunas da matriz A for igual
ao numero de linhas da matriz B. Assim:
ATENÇÃO
O produto entre duas matrizes A e B é definido se, e somente se, o 
número de colunas da matriz A for igual ao numero de linhas da matriz 
B. Assim:
9. Calcule o produto de A = por B = 
10. Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
a) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3;
b) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3;
c) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3;
d) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B;
e) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
11. Sobre as sentenças abaixo:
I. O produto das matrizes A 3x2 .B 2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto das matrizes A 5x4 .B 5x2 é uma matriz 4 x 2
III. O produto das matrizes A 2x3 .B 3x2 é uma matriz quadrada 2x2.
É verdade que:
a) Somente I é falsa;
b) Somente II é falsa;
c) Somente III é falsa;
d) Somente I e III são falsas;
e) São todas falsas.
12. O valor de a para que a igualdade matricial abaixo seja 
verdadeira é:
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) -2 
e) -1
13. Calcule a matriz transposta da matriz C dado que 
C =
14. Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 
com aij = i² – j2 e bij = -i² + j², o valor de A - B é
Uma matriz quadrada A, é dita invertível quando existe outra 
matriz denotada A-1, tal que A. A-1 = I onde I, é a matriz 
identidade.
DEFINIÇÃO
MATRIZ INVERSA
Exemplo Resolvido
Se queremos descobrir a matriz inversa da matriz A 
representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos 
permitirá multiplicar as matrizes. Assim:
A = e A-1 = 
MÉTODO PRÁTICO
É necessário calcular o determinante da matriz (caso o 
determinante de igual a zero, não existe matriz inversa para 
ela). 
Em seguida basta inverter a ordem dos elementos da diagonal 
principal e trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária.
MÉTODO PP-SS :Inverte a POSIÇÃO da PRINCIPAL e 
muda o SINAL da SECUNDÁRIA
15. Determine a inversa da matriz A =
16. Determine o valor de x que garante que a matriz
tem inversa. 
17. Caso exista, encontre a inversa da matriz
18. Sejam as matrizes
Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. 
Então o produto xy é:
a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4
19. Multiplicando-se por
obtém-se a matriz .Então o valor de x é:
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e)3