Cálculo mental ultra rápido, 36ª edição, (s d )

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ES MATEMÁTICAS
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1
A - -
CÁLCULO MENTAL
ULTRA RAPIQO
P O R
J O S É C L O T E T
Das Escolas de Engenharia e Ciências Econômicas de Barcelona
E x - D o c e n l e d a U n i v e r s i d a d e d a m e s m a c i d a d e
36." EDIÇAO
OKMAT
D t O n A U Z A D O
Oficioiis Gráficas da LIVRARIA DO GLOBO
Barcelhs, Bertaso Sr Cia. — Pôrto Alegre
Fi l ia is : Saota Idar ia e Pelotas
5 ' 3
Os números governara o mwnúo.
i ' l a t a o
iA matemática é a rainha das ciên
cias e a aritmética é a rainha
d a s m a t e m á t i c a s .
(«anss
Fpiè''
A matemática é a honra do espíri
t o h u m a n o .
L e i h B Í t z
£ propriedade do Aator.
Froíi)c>5e a reprodaçao.
reíto o depósito como marcam as leis.
Todos os exemplares deste livro são numera
dos, e rubricados pelo autor cujos direitos de re
produção e adaptação já estão devidamente garan
t idos .
E x e m p l a r 1 G 2 0
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P R E F Á C I O
Várias edições obrigadas pela procura de nossos
l i v r o s i n t i t u l a d o s :
" O C A L C U L t S T A M E N T A L R E L Â M P A G O " E
" M A L A B A R I S M O S M A T E M Á T I C O S "
foram impressas nos principais idiomas, entro os
quais o Chinês e o Japonês.
Encontrando-nos agora no Brasil c perante a
insistência com que o público requer a impressão
do mais interessante déles, na formosa e regia lín
gua de Camões, entregamos à luz da publicidade
este l i v ro denominado:
" C A L C U L O M E N T A L U L T R A - R A P I D O "
com exemplos fáceis e práticos, na espera de que
chame a curiosidade dos interessados, os quais cm
qualquer momento, substituindo nossos métodos pe
los que êles pretendam aplicar, encontrarão pela ma
neira simples, rápida e eficiente os resultados que
lhes possam interessar.
7
Precisamente queremos frisar que nao nos expli
camos como alguns autores de extensos tratados de
matemática; não dediquem eles mais espaço e aten
ção em consignar processos de calculo abreviado,
maximé quando expõem em suas obras, regras com
cxrande luxo de detalhes e aglomerações de casos
(seqüência deles) que, se alguma vez podem ser apli
cados, não justificam que outros métodos e proces
sos de tão grande utilidade e interesse na vida pra
tica e quotidiana como é o cálculo rápido, possa ser
relegado, preterido e superficialmente esboçado.
Assim sendo, este livro contém uma variedade
de aplicações de fórmulas para operar rapidamente,
e unicamente quando seja de absoluta necessidade,
explicaremos e formularemos a analise necessária de
demonstração dos resultados, pois precisamente aca
bamos de fazer referência a que os autoreŝ em geial
dedicam-se a explicar, analisar e discutir hipóteses e
regras sem preocupar-se em muitos casos de expoi
as aplicações práticas e rápidas que possam ter.
Por outra parte, cremos que o leitor, perfeitamente
versado e preparado nelas e em especial, àqueles
a quem possam ser precisos para aplicá-los ou pra
ticá-los desde que tenham vocação e gosto pessoal
para tais inquietudes espirituais; e isso significa cul
tura matemática, tudo o que nos induz a restringu
ou a omitir a parte analítica para não fazer extensa
e pesada esta obra.
Algumas vezes temos feito caso omisso da esti ita
linguagem de precisão verdadeiramente matemáti
ca, para que os recém iniciados ou os profanos pos
sam compreender-nos com mais facilidade, ̂ teiic o
usado às vezes também de formas de espressão
poderiam ser apontadas como inestéticas ou vulga
res, se não fizéssemos a observação do porque de tal
motivo a nosso ver poderoso.
A missão que nos impusemos ao publicar nossas
obras foi sempre de divulgação de regras, fórmu
las e procedimentos singelos, rápidos e efetivos, que
fossem interessantes a quem quer que tivesse de
operar com números e em qualquer classe de ma
nifestação que a êles se referissem.
Esta foi sempre nossa norma e nela persevera-
r e m o s .
Se conseguirmos interessar o leitor e ser-llie ae
utilidade no sentido de ampliar o caudal de seus
conhecimentos neste ramo, ficaremos plenamente sa
tisfeitos e compensados.
O a u t o r
l . « PROCESSO
S O M A
E' comum na prática diária ouvir pessoas que
tenham que dedicar algum tempo a operações aritmé
ticas, queixarem-se do incômodo e embaralho que lhes
resulta o somar, pela falta de controle nas somas par
ciais e totais e a atenção ininterrupta que devem de
d ica r a e las .
Para sanar esta dificuldade, podemos indicar-lhes
processos seguros e eficientes, com a vantagem de
que possam deixar a operação em qualquer momento
desenvolvida como esteja e continuá-la quando lhes
seja oportuno, sem necessidade de verificar as somas
parciais das colunas já calculadas nem começar nova
m e n t e t o d o s o s c á l c u l o s .
A seguir apresentaremos um exemplo prático,
tico em cada caso para poder fazer a compaiação,̂ o
que permitirá compreender ao primeiro golpe de vi
ta o dispositivo da operação.
Controle oii desciivolviinento da operação.
T e r m l í i a r ã o d o s
Os que Tão em resultados iiurciais
c a d u c o l u i m . i m s c o l u n a s .
6 4 2 9 5 . 3 7 2 9
2 8 6 . 1 4 3 0
5 4 2 8 . 6 1 4 2
3 1 9 4 2 0 . 0 6 4 8
527965.43 3 1
2 1 8 5 . 6 0
o
o 5
3 2 4 . 8 6 1 2
5 2 7 6 . 0 2 9
925182.09
Para fazer a operação começaremos pela direita,
em cima ou em baixo dizendo;
1.'' coluna; começando eni baixo diremos: 2 -1- G
+ O -h 3 + 6 -1- 1 H- 4 + 7 = 29. escrevemos 9 como
terminação de um resultado parcial e vão 2, que escre
vemos na coluna dos que levamos para somar com a
segunda;
2." coluna: 2 que levamos -|- O -r S -r 6 + 4 O
_|_ 6 3 = 30, escrevemos o O nas parciais c le
vamos o 3 e marcamos a vírgula decimal,
3.^ coluna; 3 que levamos -1-0 + 4 -1- 5 + 5 + 0
+ 8 j_ g -|- 5 = 42, escrevemos o 2 nos resultados
parciais e levamos 4;
4.® coluna: 4 que levamos + 74-24-S-{-6u-.9
+ 2 + 8 -I- 9 = 48, escrevemos o S nas parciais e 'le"
v a m o s 4 ;
5.® coluna: 4 que levamos + 2-)-3 + l-|-9_|__^
+ 4 -f- 2 + 2 = 31, escrevemos o 3 nos parciais e le
vamos 3 ;
6.^ coluna; 3 que levamos 4-54-2 + 7-|-9_ug
-f- 4 = 35, escrevemos o 5 nos parciais e levamos 3-
12, es-7.® coluna: 3 que levamos -{- 2 + 1 -f q
crevemos o 2 (parciais) e levamos 1, e
8.® e última coluna: 1 que levamos -h 5
que escrevemos nos resutados parc ia is .
Com êste processo de fácil compreensão, podere
mos deixar a operação em qualquer momento e tornar
a seguí-la quando seja necessário e sem ter que pro
ceder a verificação desde o começo, já que observando
as terminações nos resultados parciais vemos os que
levamos: então contando os números que temos cal
culados que correspondem às colunas, poderemos con
t inuar na que segue, sem possib i l idade de erros nem
esquecimentos de classe alguma.
Também temos os resultados parciais que são: 29,
30, 42, 48, 31, 35, 12 e 9; mas somente escreveremos
a s u n i d a d e s d e l e s .
Uma vez colocado o resultado parcial (unidades)
debaixo de cada coluna correspondente, começando
pela direita ou pela esquerda, teremos o resultado, ou
seja, o total de 925182.09.
1 2
2.° PROCESSO-
1 3 3 4 4 3 . 2 Ê s t e m é t o d o t a m b é m n o s p e r m i t e
deixar a operação em qualquer momen-
64295.37 to e continuá-la a vontade sem repetir
2 8 6 - 1 4 s o m a s p a r c i a i s .
5 4 2 8 . 6 1 E f e t i v a m e n t e d i r e m o s a s s i m :
319420.06
5 2 7 9 6 5 . 4 3 1 . ® c o l u n a : 2 + 6 - f - 0 + 3 + 6 - { - l
2185.60 -h 4 -[- 7 = 29; escrevemos o 9 debai-
324.86 XQ como resultado da primeira coluna,
5276.02 e o 2 que são os que levamos acima na
segunda coluna, pois são décimas que
9 2 5 1 8 2 . 0 9 a g r e g a r e m o s m a r c a d a s c o m u m r i s c o n a
— parte inferior para diferençá-las da co
luna , e con t inuaremos d izendo :
2 .® co luna ; 0 + S- l -6 + 4 - { -0 - f6 - f l - f -3 + 2
(as que levamos) são 30; colocamos o O de baixo da
segunda coluna como resultado parcial e o 3 que leva
mos e colocamos na terceiracoluna para somá-lo com
as unidades dessa ordem; (depois de marcar a vírgula
das décimas) diremos;
3.® coluna; 6- l -4- f5 + 5- [ -0- [ -S-}-6 + 6 + 3
são 42, escrevemos o 2 debaixo e o 4 acima; agora,
4 .® co luna : 7 + 2 - | -8 - f -6 -4 -2 - f2 - í -8 - } -9 + 4
(que levamos da coluna anterior) são 48; escrevemos
3 e vão 4 que colocamos acima da coluna das centenas
(a 4.® ordem neste caso representa dezenas porque tem
dois decimais); prosseguimos dizendo:
1 8
s- coluna; 2 + 3 + 1 + 9 + 4 + 4 + 2 + 2 + 4
são 31, escrevemos 1 e vão 3 que colocamos acima na
coluna seguinte continuando agora assim.
6,® coluna: 5 + 2 + 7 + 9 + 5 + 4 + 3 são 35,
escrevemos o 5 e vão 3 que colocamos acima das de
zenas de milhar; continuando agora na
7.^ coluna; 2 + l + 5 + 3é igual a 12, escreve
mos o 2 e vão 1 acima da ordem das centenas de milhar
dizendo depois na
S.'' e última colona: 5 + 3 + 1 é Igual a 9 que es
crevemos como final, sendo pois o resultado definitivo
925182,09, como no caso anterior.
3.- PEOCESSO
6 4 2 9 5 . 3 7 D e s e n v o l v e - s e p o r s o m a s p a r c i a i s
236.14 de cada ordem, cu jos resu l tados se co-
5 4 2 8 . 6 1 l o c a m a b a i x o d e c a d a c o l u n a e s o m a n -
3 1 9 4 2 0 . 0 6 d o d e p o i s e s t a s p a r c e l a s o b t e r e m o s o
527965 .43 to ta l ou se ja 9251S2 .09 como pode -se
2185.60 verificar observando o dispositivo dês-
324 .86 t e caso .
5 2 7 6 . 0 2 C o m o f i n a l o r e s u l t a d o é o m e s m o
925182.09 que nos dois processos feitos.
29
28
3 9
4 4
2 7
3 2
9
8
925182.09
4 . " P E O C E S S O .
Uma operação de somar torna-se
muito dificultosa, quando a mesma ^
comprida demais, sendo mais prático di
vidir a mesma em frações, fazendo va
rias somas parciais que depois somam
se entre si para ter-se o resultado total-
Então vejamos:
Operação
4 2 8 7 6 . 8 7
6 3 2 8 5 4 . 3 2
1 2 8 6 5 . 0 6
2 7 6 4 2 8 . 3 5
2 4 2 8 . 0 3
3 4 2 . 6 8
5 2 7 . 1 0
2 4 6 8 2 . 3 7
6 5 4 2 . 8 0
6 5 7 . 3 2
5 2 9 . 0 0
8 4 3 7 6 . 5 5
2 8 7 3 8 . 6 2
5 3 2 8 7 . 8 1
4 2 1 6 3 7 . 4 5
6 2 1 7 3 . 2 4
1 6 5 0 9 4 7 . 5 7
E e s u l t a d o s P a r c i a i s
9 6 5 0 2 4 . 6 0
2 7 9 8 0 . 1 8
9 2 1 0 5 . 6 7
5 6 5 8 3 7 . 1 2
T o t a l 1 6 5 0 9 4 7 . 5 7
Desta maneira facilitamos a operação, cujo con
trole também está feito pelo método usual de soma.
1 5
Faremos a operação diretamente de baixo para
cima, dizendo na
SUBTRAÇÃO
Processo para fazer com nma só operação a subtração
de diyersos números de outros dÍTersos.
Um caso de utilidade prática que pode aplicar-se
com muita freqüência.
Sejam os números 428765, 32864, 2306 e 12457
como minuendo que representaremos em conjunto por
M, e os números 324132, 65827, 12, 328 e 12625 como
subtraendo que representaremos juntos por S e dispo-
1 2222 (ordens combinadas)
remos assim a operação:
1 2222
428765 '
M - ^ 32864
2 3 0 6
12457
' 3 2 4 1 3 2 '
65827
S - - 1 2
328
. 12625
» c o m o m i n u e n d o 4 7 6 3 9 2
c o m o s u b t r a e n d o
Diferença ou resto 73468 r e s u l t a d o
4 0 2 9 2 4
7 3 4 6 8
112223 (ordens de complemento)
.16
l . t » co luna : 5 + 8 -1 -2 - [ - 7 - ( - 2 = 24 e d i r emos :
de 30 restam 6 (subtraindo os 24 da próxima S.'' de
zena, 30 unidades). (Neste momento escrevemos na
parte de baixo e abaixo do último traço o número 3
que são as dezenas complementares) e continuamos
dizendo: 6 que restam + 7 (1.'' coluna abaixo no mi
nuendo) + 6 + 4 + 5 = 28, escrevemos o 8 como re
sultado abaixo entre os dois últimos traços e acima de
tudo no último traço, escrevemos o 2 (dezenas); ago
ra diremos 3 dezenas de baixo menos 2 de cima = 1
a favor da parte de baixo; esta dezena acrescentaremos
na 2.^^ coluna, assim, agora na
colunn diremos: 1 (diferença das dezenas des
ta ordem) + 2 + 2 + 1 + 2 + 3 são 11 e diremos:
restam 9 unidades (subtraindo 11 da próxima dezena 2).
(Neste momento escrevemos de baixo do último traço
o número 2 e continuamos dizendo: 9 que restam +
5_|_0 + 6 + 6 = 26, escrevemos o 6 como resultado
abaixo entre os dois últimos traços e agora acima de
tudo no último traço escrevemos o 2 e compulsamos
os valores das ordens de baixo com os de cima
do; 2 de baixo e 2 de cima se compensam ou se anulam,
e continuando a operação diremos na
3." coluna: 6 + 3 + 8 + 1 == ntinnamos
escrevemos 2 de baixo do último traço escreve-
no meio dizendo: 2 + 4 + 3 + ^"^ " rȒirpial
mos entre os traços de baixo o baixo e 2
e O 2 acima do último traço e direm
de cima se compensam; então passamos
1 7
4« coluna. Diremos; 2 + 5 + 4 — 11 ao próximo
'ii = 9 escrevemos 2 de baixo do último traço,
e contMos no meio dizendo 9 + 2 + 2 + 2 + 8
23 escrevemos entre os traços de baixo o 3 como re
sultado parcial e o 2 acima do último traço e diremos.
2 de baixo e 2 de cima se anulam, e continuamos na
5> coluna dizendo: 1 -f 6 + 2 = 9, até a próxima
dezeuL (desta ordem) vai 1 então escrevemos 1 de baixo
do último traço e continuamos no meio operando as-• .ij_i-|-3 + 2 = 7, que escrevemos entre os dois
traços de baixo como resultado parcial e não escreve
mos mda acima do último traço (porque não tem or
dem superior): e agora 1 que temos abaixo no último
traço o agregaremos na
e última coluna dizendo: i + 3 = 4. de 4 a 10
vão 6, escrevemos 1 abaixo de tudo e continuamos;
g 4 = 10. Teríamos que pôr o O que não tem signi-
ficaçâo, porque 1 de baixo e 1 de cima se anulam; as
sim que fica resolvida a subtração dos tais números
numa só operação como tínhamos anunciado.
Como resultado definitivo, diferença ou resto, o
total é 73468.
Para comprovação vejamos o dispositivo dêste
cesso, onde fazemos a soma dos números 428765, 328 >
2306 e 12457 que formam um total de 476392 e que de
nominamos Minuendo, (M).
Depois, fazemos a soma, dos números 324132, 65827,
12, 328 e 12625 cujo total de 402924, classificamos como
subtraendo, (S).
Fazemos um traço, efetuando depois a subtração
Í T "
números 476392 e 402924 que nos dá uma diferença
ou res to de 7346S como resu l t ado fina l .
Neste exemplo, as ordens de complemento de bai
xo tem sido superiores ou iguais às ordens de cima.
Caso os de cima forem superiores aos de baixo, em
vez de somar a diferença, a subtrairemos e continua
mos a operação da mesma maneira q.ie o temos ex
plicado.
Para que não exista dificuldade na explicação da
quele caso, vamos expor um exemplo prático. Sejam
os números 3490S, 7954, 6420 e 297 como minuendo
(M) e 248, 28309 e 648, os do subtraendo (S).
A operação dispõe-se assim:
1 2 3 1 2 o r d e n s c o m b i n a d a s
M =
r 3 4 9 0 S
7954 [
6420 [ como minuendo
l 297 J
4 9 5 7 9
S =
2 4 8
2S309 i- como subtraendo — 29205
6 4 8
Resto 20374 Di fe rença ou res to 20374
1 1 2 1 3
Diremos a continuação na
1.® coluna: S -f- 9 4- 8 = 25; de 25 a 30 (3." deze
na) vão 5, escrevemos o 3 (das dezenas) de baixo do
Í9~
último traço e continuamos no meio assim: 5 -f 7 + o -]-
4 8 = 24, escrevemos o 4 como resultado parcial e
2 acima nas ordens e fazemos a diferença 3 — 2 = i
a favor da de baixo que somamos assim na
2 . ' ' co luna : l - [ - 44~0- ! -4 = 9 ; de 9a 10 — 1 ,
escrevemos o 1 de baixo e continuamos no meio 1 + 9
+ 2 + 5 + O = 17, escrevemos o 7 como resultado par
cial e pomos 1 acima nas ordens, agora 1 ■— 1 se anu
l a m e c o n t i n u a m o s n a
3," coluna dizendo: 6 + 3 + 2 = 11; de 11 a 20
vão 9, escrevemos o 2 (representação de 20) de baixo
no último traço e continuamos no meio dizendo: 9 + 2
_|_ 4 -j- 9 _j- 9 = 33, escrevemos o 3 como resultado
parcial e pomos o outro 3 acima; agora bem, temos che
gado no caso que o número de cima é maior que o de
baixo, então procederemos assim: 3 que temos acima
e 2 abaixo a diferença é 1 a favor de cima. Neste caso
tiramos do primeiro número da 4.'' coluna 1 unidade
c o m o v e r e m o s n a
4." coluna dizendo: 8 — I = 7ede7al0 (deze
na) vão 3, escrevemos o 1 de baixo do último traço
e continuamos no meio assim: 3 + 6 + 7 + 4 = 20,
escrevemos o O como resultado parcial e colocamos o
2 acima no último traço, e outra vez o de cima émaioi
que o de baixo, diremos então 2 — 1 = 1 que pas
saremos subtraindo e operando como segue na
S.*" coluna e última: 2 — l = ledelalO vao
9, escrevemos o 1 abaixo de último traço e continua
mos no centro 9 + 3 = 12, cujo 2 escrevemos como
resultado final porque observamos que colocando o 1
em c ima anu la o 1 de ba ixo .
A opertção está terminada.
CASO DE SUBTRAÇÃO INVERSA.
E' hábito pôr o mlnuendo em cima e o subtraendo
em baixo, mas como em alguns casos é conveniente
subtrair a parte superior da inferior, como ocorre no
consumo de luz, força, água, navegação ; pois se
anotamos diária ou mensalmente, o consumo, a dis
tância, etc.; teremos que, sempre a indicação ante
rior será menor e por conseguinte devemos subtrair da
parte superior (acima) para a inferior.
Veja-se pelo seguinte esquema, como se deve fazer:
P l ü 3j.cs A n o C o n f r o l C o n t a d o r C o n s o m o
2 2 J a n . 1 9 3 6 8 7 4 9 3 5
23 S t
S t S 7 5 2 S 5 3 5 0
24
t t s s 8 7 5 8 3 6 5 5 1
25
S f S f 8 7 6 0 0 3 1 6 7
2R s t
t t S 7 7 0 0 5 1 0 0 2
27
t t s s 877348 3 4 3
28 s t
t t 877604 2 5 6
dando-nos o resultado 1." 350, a diferença entre o dia
anterior 874935 e o dia seguinte 875285 e assim su
cessivamente, em cada um dos dias que se seguem.
Também pode-se encontrar a diferença entre quan
tidades não conseqüentes subtraindo-as uma da outra.
2 1
20
2 - C. M.
O U T R O C A S O ,
Existem casos em que temos que subtrair vários
números de um número dado, então a operação pode
fazer-se simultaneamente. Vejamos um exemplo.
Tinhamos em caixa 22;500$000 réis. Pagamos 4
faturas, sendo a primeira de 600$000 réis, a segunda
de 1:150§000 réis, a terceira de 6:450^000 réis, e a
quarta 450$600 réis. Quanto f icou em caixa depois
dêstes pagamentos?
Dispõe-se assim a operação:
E m c a i x a 22:5008000
600S000
1:150$000 i Faturas
6:4508000
4508600
p a g a s .
1 3 : 8 4 9 8 4 0 0 l í q u i d o
depois da operação.
Operamos colocando os dois últimos zeros da es
querda no resultado e depois continuamos dizendo: de 6
a 10 vão 4, que escrevemos e levamos 1; agora, de 1
a 10 vão 9, que escrevemos e levamos 1; prosseguimos
dizendo; 1 -}- 5 -f 5 -h 5 = 16; de 16 a 20 vão 4, que
escrevemos e levamos 2, depois 2 que levamos, -{- 4 -|-
4 1 6 = 17, que para 25 faltam 8, que escrevemos
e levamos 2; depois, 2 que levamos 4-6-h 1 = 9, que
até 12 vão 3, que escrevemos e levamos 1; agora de
1 a 2 vai 1 que escrevemos como último número do
resultado total que é o seguinte: 13:8498400.
IViULTiPLiCAÇÃO
A operação de multiplicar é a que admite mais
possibilidades de abreviação.será de fácil compreensão, si se seguirem os casos
práticos que apresentaremos a seguirÉ preciso que quem opere, procure descobrir e per
ceber as abreviações que sejam possíveis de aplicar nas
operações, transformações e desenvolvimentos que o
cálculo apresenta, o que na prática lhe será fácil de apli
car, "ipso facto", sem nenhuma espécie de esforço, re
dundando tudo isso em benefício do operador que em
pregará menos tempo, menos quantidade de números
e obterá os resultados com mais segurança.
Nossas mãos são uma máquina de multiplicar.
Efetivamente: representemos nossos dedos por nú
meros de acordo com os desenhos 1 e 2, isto é, o núme
ro 6 vem indicado pelo polegar, o número 7 pelo indi
cador, o número 8 pelo médio, o número 9 pelo anular
P i g . 1 Fig. 2
e o número 10 pelo mínimo. Tanto na mão direita
c o m o n a e s q u e r d a .
Podemos calcular com elas, fazendo operações de
multiplicação de dois números compreendidos entre 6
e 10, que são os que podemos representar com as mãos.
Para evitar dificuldades de compreensão, faremos
o desenvolvimento de vários casos práticos. Seja o pri
meiro multiplicar o número 7 por 8.
Tendo todos os dedos, das duas mãos, estendidos,
faremos tocar o indicador (7) da mão esquerda, com
o médio 8 da mão direita e fecharemos os dedos das
mãos, que sejam superiores aos 7 e aos 8 com que cal
culamos, ou sejam: 8, 9, e o 10 da mão esquerda e 9
e o 10 da mão direita- Os dedos que conservamos aber
tos tanto de uma mão como da outra ou sejam o 6, o 7
e o 8 da direita e o 6 e o 7 da esquerda são as dezenas
da operação, isto é, 5, que são iguais a 50 unidades. Cal
culadas as dezenas precisamos calcular as unidades, que
conseguiremos, observando os dedos que ficaram fecha
dos e que são 3 (8, 9 e 10) na mão esquerda e dois (9
€ 10) na mão direita e que multipl icaremos dizendo
2X3 igual 6 unidades que somadas com as 50 das 5 de
z e n a s a n t e r i o r m e n t e d i t a s , p e r f a z e m e m d e fi n i t i v o 5 6
un idades , como 7X8 que são os números que mu l t ip l i
c á v a m o s .
O U T E O E X E M P L O .
Seja mult ipl icar 6X9-
Estendidos todos os dedos da mão esquerda, dei-
zaremos aberto o dedo polegar e fecharemos o 7, 8, 9,
e o 1 0 .
Agora estendidos todos os dedos da mão direita,
deixaremos abertos 6, 7, 8 e 9 e fecharemos o 10 por
se r supe r i o r.
2 4
Peito isto, faremos tocar o dedo 6 da mão esquer
da com o n.° 9 da mão direita e contaremos os dedos
que se acham abertos contando inclusive os dois quo
se tocam. Veremos que em conjunto são 5, que repre
sentam as dezenas da operação ou sejam 50 unidades,
mais a multiplicação dos dedos fechados que são 4 na
mão esquerda e um na di re i ta ou seja 4X1 igual 4,
mais 50 que (representam as dezenas) são 54, de acordo
com o resultado de 6X9 que era o que pretendíamos de
m o n s t r a r .
3 I Ü L X I P L I C A R 1 0 X 1 0 .
Conservaremos todos os dedos de ambas as mãos
(direita e esquerda) abei'tos e diremos 10X10 igual
100, pois como não sobra nenhum dedo, êste é o resul
t a d o .
Quando se multiplica o número 10 por qualquer
dos números 6, 7, 8 ou 9, parece que não corresponde
à operação. Vejamos porque dá-se, isso:
Seja multiplicar 7X10-
Estendida a mão esquerda, contaremos até 7 dei
xando aberto o dedo (polegar) e 7 (indicador) e fecha
remos o 8 (médio) o 9 (anular) e o 10 (mínimo). De
pois na mão direita contaremos até 10 deixando todos
os dedos abertos. Agora faremos tocar o 7 com o 10
6 contaremos os dedos abertos que são con]untamente
7, que representam as dezenas da operação e por conse
g u i n t e 7 0 u n i d a d e s . ^
Algum leitor possivelmente poderá dizer: como.
Já temos o resultado, e ainda temos que multipicar 3
dedos que estão fechados na mão esquerda (o 8. 9 e
10)' Efetivamente sobram 3 dedos fechados ̂ na es
querda, mas na direita há O dedos fechados; então 3X0
iguai O mais 70 das dezenas, da-nos como resultado
unidades. De maneira que esta regra é sem excepgao.
2 5
OUTnO EXEMPLO.
Miiltiplicar 10X6.
Como no caso anterior, tendo os dedos estendidos
farernos tocar o mínimo da esquerda com o polegar da
direita e fechando os dedos que restam da operação ou
se:am O na esquerda e 4 na direita (7, 8. 9 e 10) dlre
mos assim: cinco dedos estendidos da mão esquerda
ma.is 1 da direita são 6, ou sejam as dezenas que são
iguais a 60 unidades. Agora devemos procurar as uni
dades, multiplicando os dedos fechados, que são O na
mao esquerda e quatro na direita, com os quais dire
mos 0X4 são O unidades mais 60 que tínhamos achado
anteriormente, são definitivamente 60 unidades, coinci-
dindo com o resultado de 6X10.
Esta é somente uma simples curiosidade que dei
xamos à consideração dos nossos leitores.
Quando o multiplicando ou o multiplicador, ou os
dois pela sua vez teem zeros, multiplicam-se entre si
os algarismos significativos e juntam-se ao resultado
tantos zeros quantos teniia um dos fatores resp. ou os
dois fatores conjuntamente.
E x e m p l o s : 2 8 5 4
X 6 0 0 0
1 7 1 8 4 0 0 0
3 2 5 8 4 0 0
X 4 9 4 5 6 8 0 0
X 8 0
1 3 0 3 3 6 0 0
7 5 6 5 4 4 0 0 0
Se houver decimais, a vírgula passará para a di
re i t a , t an tas casas no resu l t ado quan tos fo rem os ze ros
do mult ipl icador.
Multiplicar quantidades pela unidade seguida de
z e r o s -
Para multiplicar quantidades pela unidade segui
da de zeros, juntam-se ao multiplicando tantos zex'os
q u a n t o s t e n h a o m u l t i p l i c a d o r.
E x e m p l o :
3 8 7 2 5 X1 0 0 = 3 8 7 2 5 0 0
Sendo número decimal, a vírgula passará para a
direita tantas casas quantos zeros tiver o mutiplicador.
38725,1964X10000 = 387251964;
o u t r a ,
3 6 5 , 2 8 X 1 0 = 3 6 5 2 , 8
M U L T I P L I C A R P O R . 1
Multiplicar por 5 é o mesmo que multiplicar o nú
mero por 10 e dividir por 2.
1 0 1 0
E f e t i v a m e n t e 5 é i g u a l a — ; o u 5 = —
2 2
Por exemplo seja multiplicar 642X5.
Diremos 642 : 2 = 321 e agora multiplicando poi
10 que é o mesmo que acrescentar um zero, teremos
e m d e fi n i t i v o 3 2 1 0 .
2 6 2 7
MüLTIPLICAE por 50, 500, 5000, etc.
Como no caso anterior, operamos como se fôsse
mos multiplicar por 5 e acrescentamos ao resultado
tantos zeros quantos tenha o multiplicador. Efetiva
mente; dizemos que multiplicar por 5 é o mesmo que
multiplicar o n.° por 10 e dividí-lo por 2 ou também
dividí-lo por 2 e multiplicá-lo depois por 10.
Operemos agora como indicámos e vejamos um ca
so prático, que seja por exemplo: 5326X500. Teremos
53260 (acrescentamos um zero que é igual a multipli
car por 10) e dividindo por 2 temos:
5 3 2 6 0
V 2 2 6 6 3 0
e a g o r a , a c r e s c e n t a n d o o s d o i s z e r o s d o m u l t i p l i c a d o r
o b t e m o s o r e s u l t a d o d e 2 6 6 3 0 0 0 .
M U L T I P L I C A R P O R 2 5 .
P o r i d ê n t i c a r a z ã o m u l t i p l i c a r p o r 2 5 é o m e s m o
que multiplicar um número por 100 e dividí-lo por 4;
p o r q u e t e m o s q u e 2 5 é i g u a l a 1 0 0 1 0 0
; o u 2 5 =
4 4
Exemplo: Multipliquemos pelo método abreviado
642856 por 25; aplicando a teoria de que 25 é igual a
100 : 4, temos 642856X100 igual 64285600 que dividi
do por 4 dá-nos:
64285600 : 4 = 16071400
cuja divisão verificamos dizendo: Vi de 6 ou, 6 : 4 da
1, que escrevemos como resultado e vão 2 que restam;
2 que restavam com 4 formam 24 que divididos por 4
2 8
dão-nos 6, que escrevemos e nào resta nada; assim di
remos: 2 : 4 é impossível, escrevemos pois O na or
dem do resultado, então juntamos o 2 ao 8 formando
28 que dividimos por 4 e dá 7, que escrevemos co
mo resultado © continuamos dizendo; 5 dividido por
4 dá 1, que escrevemos e vai 1 que com o 6 forma 16,
que ao dividir por 4 dá 4, que escrevemos, e a seguir
os dois zeros porque a 16 não sobra nada, e zero divi
dido por 4 dá zero, com o qual o resultado é de 16071400.
\
MULTIPLICAR POR 125.
Pelos sistemas expostos nos outros casos mult>
plicar um número por 125 é o mesmo que multicá-lo
por 1000 e dividí-lo por 8, porque
1 0 0 0 1 0 0 0
125 é igual a ou 125 =
E x e m p l o :
8
3624X125
Aplicando o cálculo -^^^ínal
igual 3624000 e dividindo por dividindo os dois453000 fazendo a ope Ç ̂ ̂ ̂ 4, escreve-
primeiros algarismos P resultado; agora,
x n o s 4 c o m o 4 2 q u e d i v i d i d o p o r 8
os 4 que vao, com ^ ^ ^ formam 24
dá 5 que escrevemos também e não
q u e d i v i d i d o p o r o s t r ê s z e r o s r e s t a u -r e s t a n a d a , p e o q u ^ ^ g é
zeroT̂endr» producto definitivo 453000.
2 9
la'-' Casos
é . S M . : " " « o
^ murnííSçL^^do
,. ■ ̂ ^̂ tam-se-lhes as unidades de ordem inferiorate .finalizar a operação. Se faz caso omiso do al-a-
t^se dezenas que na pratica acos-t u m a - s e r i s c a r .
Vm caso prático conduzir-nos-á a melhor compre
ensão da forma de operar.
Exemp lo :
2 6 5 3 7
X 1 6
4 2 4 5 9 2
Não demos importância ao número 1 e comecemos
dizendo: 6X7 igual 42, escrevemos o 2 e vão 4, que
com 6X3 igual 18 do segundo algarismo foi'mam 22
mais 7 do primeiro algarismo somam 29; escrevemos
o 9 e vão 2 que com 6X5 igual a 30 fazem 32 mais 3
do segundo algarismo formam 35; escrevemos 5 e vão
3 que com 6X6 igual 36, fazem 39, mais 5 do terceiro
algarismo fazem 44; escrevemos 4 e restam 4, que com
6X2 igual 12 fazem 16, mais 6 do quarto algarismo são
22; escrevemos 2 e vão 2 que com 2 do último algaris
mo fazem 4 que esc revemos , de mane i ra que o resu l
tado ou produto é de 424592.
2 . " Caso :
QÜANBO O ALGARISMO DAS UNIDADES DO
MULTIPLICADOR E' A UNIDADE.
Paz-se a operação inversa.
Exemplo p rá t i co :
2 8 4 7
X 4 1
1 1 6 7 2 7
Escrevemos primeiro 7 porque 1X7 igual a 7 e a
seguir diremos: 4X7 igual a 28, mais 4, (algarismo da
s u a e s q u e r d a ) , f a z e m 3 2 ; e s c r e v e m o s 2 e v ã o 3 , m a i s
4X4 i gua l 16 e são 19 , ma i s 8 f o rmam 27 ; esc revemos
7 e vão 2 que com 4XS igual 32, são 34, mais 2 formam
36; escrevemos 6 e vão 3 que com 2X4 igual 8, for
mam 11, que escrevemos, por ser o último número, dan
do em conseqüência como resultado 116727.
MULTIPLICAÇÃO POR 15.
Escreve-se o multiplicando seguido de um zero (o
que eqüivale a multiplicar i)or 10) junta-se a metade
dêste produto (que representa multiplicar por 5) sen
d o ê s t e o r e s u l t a d o .
Caso prático
2 1 7 4 8 6 X 1 5
2174860 (produto por 10) -\-
1087430 (metade deste produto) =
3262290 que é o resultado procurado.
3 0 3 1
multiplicação POIi 75
Para multiplicar por 75. juntem-se dois zeros
multiplicando e subtrai-se do produto a quarta partenatural que ao juntar dois zeros, multiplicamos por100 que e igual a quatro vezes 25 (4X25) e como 75
e Igual a três vezes 25 (3X25) devemos subtrair uma
vez (1X25) que é o valor do multiplicando.
Seja multiplicar o número:
641286 X 75 =
641286X100 = 64128600 = X 100
— V i 1 6 0 3 2 1 5 0 = — 2 5
Resu l tado 48096450 = 75X641286
MULTIPLICADOR que seja o número 9 ou diver
s o s B o v e s .
Acrescentam-se ao multiplicando tantos zeros quan
tos noves tem o multiplicador e se subtrai o multipli
cando do número assim formado. Exemplo:
6 2 4 8 X 9 =
62480 — 6248 = 56232 .
O u t r o :
3 4 2 7 6 5 X 9 9 9 =
3 4 2 7 6 5 0 0 0 — 3 4 2 7 6 5 = 3 4 2 4 2 2 2 3 5
Poderíamos concretizar tal processo em regra di
z e n d o q u e : q u a n d o t e m q u e m u l t i p l i c a r - s e u m a q u a n
tidade (multiplicando) por outra que seja toda formada
pelo algarismo 9, (multiplicador) escreve-se a primei
ra seguida de tantos zeros, quantos noves tem a segun
da e se sub t ra i do resu l tado o mu l t ip l i cando.
3 2
É natural que assim suceda, porque acrescentar os
zeros, representa mul t ip l icar pelo número que repre
sentam os noves mais 1; depois de multiplicar por esta
soma o número e subtrair o multiplicando, subtrai-se
ao resultado o mais 1, que representa em definitivo o
valor numérico das unidades noves que servem de mul
t ipl icador, que nos exemplos mencionados são: (9-|- l)
= 10 para o 1." caso e (999-1-1) = 1000 para o segundo,
e naturamente, ao acrescentar os zeros, temos multi
plicado por (9-|-l) = 10 e por (999-{-l) == 1000, o que
representaria, como observamos, o multiplicador au
mentado de uma unidade, pela facilidade que se supõe
multiplicar pela unidade seguida de zeros.
Assim sendo: se depois subtraímos do resultado
obtido, o multiplicando, quer dizer, que das vezes que
o tomamos como somando (naqueles casos 9H-1 = 10
e 999-1-1 = 1000) subtraímos uma vez o multiplicando,
ficou então demonstrado, ao fazer dita operação, que
se toma somente 10 — 1 = 9 vezes e 1000 — 1 = 999,
que são os multiplicadores aplicados nos dois casos e
que nos deram resultados de conformidade com o que
propúnhamos obter.
Acrescentando 5 zeros ao número 15328764, o mul
tiplicamos por 100000 ou por (99999+1): o que é o mes
mo que tomá-lo como somando 100000 vezes. Assim
sendo: se nós multiplicarmos o número 15328764 X
99999, eqüivale a tomá-lo esta última quantidade de
vezes como somando e como 99999 é igual a 100000 1,
podemos já escrever como método de resolução do pro
blema 1532876400000 (cem mil vezes como somando)
15328764 (uma vez como tal) = 1532861071236 que
9 o verdadeiro resultado.
8 3
DECOUIPOSIÇÃO EM EATOEES
Qnando o multiplicando ou o multiplicador são possiTeis de decoinpor.se em dois ou mais fatores, efetua"
se a operação mais abreviadamente, multiplicando o
numero com o qual temos que operar por um dos fa
tores, o resultado pelo outro fator, êste último nelo ou
tro e assim sucessivamente até terminar com êles; en
tão dizemos: multiplica-se a quantidade por um dos
fatores, seuresultado pelo seguinte s assim sucessiva
mente até fazê-lo com todos os fatores em que foi de
composto o multiplicador e uma vez terminado de mul
tiplicar pelo último fator, o valor obtido será o resul-
tado da operação.
Caso prát ico
Seja multiplicar: 258746X48
O número 48 pode decompor-se assim:
8 X 6
Opera-se da seguinte maneira:
258746 (multiplicando)
X 8 ( 1 . 0 f a t o r )
2 0 6 9 9 6 8
X 6 (2 .0 f a to r )
1 2 4 1 9 8 0 8
( 1 . 0 f a t o r ) 8 X 6 ( 2 . ° f a
t o r ) = 4 8 ; e n t ã o o n ú
m e r o d e v e z e s t o m a d o c o
m o s o m a n d o f o i o m e s m o
6 o resultado tem que ser
o mesmo, assim como nos
casos em que houver mais
f a t o r e s .
3 4
MULTIPLICAÇÕES SIMPLIFICADAS.
Multiplicação de números compreendidos entre 10 e 20.
Com exemplos práticos compreendemos melhor co
m o s e f a z e m o s c á l c u l o s .
Seja multipl icar 15 X 13. Dispõe-se assim:
1 5 ( R i s q u e m o s o 1 d o m u l -
X 1 3 t i p l i c a d o r. P o d e r í a m o s f a -
z ê - l o c o m o 1 d o m u l t i -
1 9 5 p l i c a n d o e s e r i a o m e s
m o ) .
Riscamos o número 1 do multiplicador e começa
mos a operação dizendo; 3X5 = 15, escrevemos 5 e
l e v a m o s 1 .
Agora dizemos: 1 que levamos mais 3 são 4 mais
15 igual a 19, que escrevemos antes do 5 e já temos o
resultado que é 195.
Multiplicaremos outro número, por exemplo: 19
XIS. Dispõe-se assim a operação:
1 9
X 18
3 4 2
(Risquemos o 1 do
mul t ip l i cador )
Paremos a operação dizendo: 8X9 — 72, escrevemos
o 2 e vão 7; faz-se a soma dos 7 que vão, mais 8 e são
15: mais 9 igual 24; escrevemos o 4 e levamos 2 e como
final, 2 que levamos mais 1 igual a 3 que escrevemos
tendo como resultado 342.
Tamhém para maior rapidez podemos dizer: SX9
«= 72, escrevemos o 2 e vão 7, mais 18 igual 25, mais
3̂5
2 fnllil iTeTr" -ún.ero
- - -
Mnltipllcação de números entre 10 e loo terminados
e m 1 .
Seja multiplicar 91XS1.
Dispõe-se a operação como segue;
9 1
X 8 1
7 3 7 1
Riscamos o número 1 do multiplicando ou do mui-
tiplicador, e escrevemos o 1 como unidade.
Dizemos agora, 8 mais 9 igual 17, escrevemos o 7
e vai 1. Prosseguimos dizendo: 8X9 =.72, mais 1 que
escrevemos , tendo o resu l tado de
7371, como se pode comprovar pelo método usual.
Multiplicação de números até 100 e que terminam em 5.
Multipliquemos 65X85.
Dispõe-se ass im:
6 5
X 85
5 5 2 5
3 6
\
Multiplicamos primeiro 5X5, cujo resultado escre-î emos. Diremos então: 6 + 8-14 cuja metade é 7
agora 6X8 = 48+ 7 ditnq „ "^«caae e 7,aicos = 55 que escrevemos àfiente de 25 para termos então o total: 5525
Devemos levar em conta também o seguinte: quan
do a soma das dezenas dos dois números não é divi-
sível por 2, (exata), escrevemos a metade igual e como
desprezamos 1, em lugar de ter por terminação 25, te
remos 75. (Neste caso o número 1 representa 50 uni-
dades).
Vejamos um caso prático, para não deixar dúvidas
Seja multiplicar 75X85.
7 5
X 8 5
6 3 7 5
Dizemos 7 mais 8 igual a 15, cuja metade é 7 e vai
1 que desprezamos de momento. Agora 7x8 = 56 + 7
igual a 63 que escrevemos e agora como a metade de 7
mais 8 não era exata, escrevemos 75 em lugar de 25 que
colocamos na direita como no caso anterior.
C A S O E S P E C I A L .
Quando os números da multiplicação de dois alga
rismos terminados em 5 forem iguais, não será preci
so fazer a soma das dezenas e dividi-las por 2, senão
que acrescentaremos em uma unidade qualquer dos fa-
3 7
3 — C. M.
G888
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'soraçoTídxa bÇ oiuoo 'gg soiii0AB:^uni: siod9p 9 f aadnios
Bp sou Buios-iinas b siod 'siBin apBpinn Binn BCas no
OS = SXi- :somajip sapBpiun sb jbost.i ap siodaQ
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-I9S 9 fx ®íop SO uisjas jod 'oAarann orasatn o
som ®^̂9TOBS0ÕJ0J S9l9p BinOS-Iin9S B 'SBU929p
OPBOSIJ*̂^̂^̂ soagrann sop osinio osbo opu0ZBj no siod9p 'anbaod 0:̂u9raB:ii0jj0d es-Bondxa
o oiad soTnajBoiidîĵnra o e (sBuazep) seio:̂
FUNDAMENTO DA 3IÜLTIPLICAÇA0 ABREVIADA
A abreviação da multiplicação se baseia na multi
plicação de uma soma por outra.
Efetivamente, seja multiplicar (a+b) por (c+d),
ao desenvolver teremos ac-j-cb+ad+db
a + b
c- | -d
a c + c b + a d - f d b
que nos dá a parte do desenvolvimento da operação e
a concatenação das ordens. Efetivamente façamos apli
c a ç ã o p r á t i c a d e m u l t i p l i c a r : ^
Observemos que 62 é igual a 60 + 2 que representa
remos 60 por a e 2 por b e que 84 é igual a 80 4 que i
representaremos 80 por c e 4 por d; então teremos:
a b í ;
62 -= 60+2 = (a+b)
X 84 = 80+4= (c+d)
c d
5208 = ac + cb + ad + db
N o c á l c u l o
q u e s e g u e :
a 6 0
C 8 0
abreviado operamos seguindo o grafico
a 6 0
c 8 0
b 2
d 4
Dizemos 4X2 = 8 ou seja db; 4x60 + S0x2 = 400
ou seja ad+cb e 80X60 = 4800 ou seja ac de modo que
somando temos 5208 = ac+cb+ad+db, que é o que uos
propúnhamos, demonstrar, pois estão contidas todas as
combinações obtidas na multiplicação de uma soma com
outra, feita anteriormente.
RECOMENDAÇÃO.
A dificuldade que uma pessoa acha querendo se
guir o método de multiplicação abreviada consiste em
continuar o fio que concatena toda a operação.
Naturalmente que o costume de somar os resulta
dos que em cada operação se verifica, põe obstáculos
ao não iniciado, fazendo-o perder muitas vezes a rela
ção das operações.
Porisso em cada operação é necessário, para acostu
mar-se, escrever os que se levam e ainda recomendamo.s
aos que se iniciam, que façam separadamonte as mul
tiplicações das diferentes ordens, juntando os que vão
e escrevendo o número correspondente no resultado e
os que se levam, no gráfico do movimento a que cor
responde.
Dêste modo se adquire hábito e prática da opera
ção que poderá ser feita por qualquer pessoa que quei
ra decorar êste método tão especial c de rapidez incrí
vel. Executa-se então com facilidade, com singeleza
e com menos esforço, que com o método conuimente
empregado.
Recomendamos também muita prática, para poder-
se fazer as somas de produtos, aumentados das unída-
l i
des que se levam; tornamos a dizer: o hábito e n
sistência facilitam extraordinàriamente, e quem se elZ'
cita, surpreende-se da facilidade com que o verifica
Se alguma vez se perder a orientação nos movi
mentos, e facil poder prosseguir sem necessidade de
repetir a operação; para isso basta contar as ordens
que se fizeram, o que se consegue contando os movi-
mentos executados, o que nos conduz a fixar rapida
mente a ordem onde devemos continuar a operação.
Os exemplos dados poderão servir de guia e comentário
ao que acabamos de expor.
MULTIPLICAR ENTRE SI DOIS NÚMEROS DE
T R Ê S A L G A R I S M O S .
Seja multiplicar 423X658.
TRÊS CIFRAS
e aplicando a multiplicação abreviada veriimamoa a se
Dispõe-se a operação como segue:
4 2 3
X 6 5 8
2 7 8 3 3 4
cuja parte gráfica representamos a seguir:
4 2 3
6 5 8
4 2
3
+ ce + Cf
îfíca iiltíiianieníe
^gregaremos ao movimento.
de milhar tine agregaremos ao 4." movimento,
p de milhar qne agregaremos ao H." movimento,
ivei" terminado a operação,
.se pode controlar por caso.s priUico.s que seguem. Tum-
a, concatenando oral ou meiitulmente todas as tn-flens que
porqueas diferentes ordens na colucar.-ão dos resulta-
È
f u n d a m e n t o d a M U L T I P L I C A c ã / - » A r , „ « T -"^"-ICAÇaO abreviada para TRês C I F R A S
Seja: 423 X 6õS = (a + b + c) (d + e + f). Desenvolve-se a oi:
guiate disposição:
a -j- b + c
) e raçao po r l e t r as e t e rno» ; - imos. ad + as + at + bd+be + M + cd + ce + cl, e amioauao ̂ maltiplicacão abreviada veriticamoB a
4 2 3 = 400 +20 + 3 a + b +
400 4-20 + 3 = uma soma
l . J
Y
X X
X 1 ) 5 8 —
278834
600 + 50 + S = outra soma =
A
f s
600 + yO + S
( l e i
u m a s o m a
X
o u t r a s o m a
d + e + f
C U J O
G s y u e m a
d e
a p l i c a ç ã o
é
4 0 0
r
6 0 0
e o p e r a n d o d i s s e m o s :
• i X h =
S X 2 0 + 5 0 X 3 =
8 X 400 + GOO X 3 + 50 X 20 =
5 0 X 4 0 0 + 6 0 0 X 2 0 = : I 2 0 0 0 = a e + b d
6 0 0 X 4 0 0 = 2 4 0 0 0 0 = a d
2 4 = c : f
3 1 0 = b C + c e
C O O O = a f + c d + b e
c s o m a n d o L e m o s : ^78331 = ad + ae + af + bd + be + b£+ cd V C l
agregaremos ao 2 . " mov imei i lo .
levamos 3 (luc são conlenas (jue agregurtmios un
e s c r e v e m o s • » e
.) line niiii i;»,"in.eiius (jue agregm ininí.-> "• movinienlo.
levamos G que são unidades de milluii' que agregaremos ao 4. movimeiilo." dezenas de millmr que agregaremos ao 5." movimento.
o que demonstra se terem feito todas as combinações nas ordens da multiplicação c cuja aplicação ao mõtodo rajiido oral ou mental o ratilica ])lMiiiinoiile
Vejamos a seguir:
1.̂ Movimento funidades) = 3 x 8 = 24, escrevemo.s o 1 e levamos 2 quo são dezenas (jueS.M*) " (dezenas) = levamos 2 (do 1." movimento) + 8 X 24-.5x3 = 33, escrevemo.s o 3 e" feenteuas) = levamos 3 (do 2." movimento) + 8 X 4 + 6 X 3 + 5 X 2 = 63.
5 ' fe último mo
de maneira que
bem üb.servemofi que por êste método se opera com todas as fases de combinação
entram na operação.
Para certificar-se disso é mister prestar atenção nos valores (ordens) que vão tendo os númeios no seu (lese ..
(') Ao lazer a multiplicação dos números ims esquemas, deixamos de considerar os zeros das quantidades maicadas nus ftgurus. porque
dos parciais, ao eserevê-los totalizados, (com os que vão), correspondem aos seus verdadeiios va ores.
■ centenas) = levamos 3 (do 2.° movimento) + 8 X 4 + 6 X 3 + 5 X 2 = 63. escrevemo.s e / - .vcuu. . , . .uc «maaae.s ne „
luuWadeB de milhdl-)= levamos 6 (do 3." movimento) + 6 x ■! + 6 X 2 = 3S. escrevemos o S e levamos 3 cue são detenas de milhar cue
movimeuto (dezenas de milhar) =. levamos 3 (do d.- movimento, + G X 1 = 27, cue escrevemos i„teg,-almeute 27 por have.' .uátieos
ue o resultado nesta operação rápida, está de acôrclo tom o demonstrado aiiteriornieiite e """ oral ou mentalmente
OOS ene por êste método se onera eom todos as fases de combinação dimanantes da mnlt.pl.caçac de nma soma por out,a, c-„.cate"a...lo
q u e s e g u e m . T a m -
todas as ordens que
•is diferentes orden.s na colocação dos resulta-
Começando a calcular, diremos pelo primeiro sinal
gráfico; 8X3 = 24, escrevemos como resultado 4 e vão
2: agora, 2 que vão, mais 8X2 =« 16, formam 18, mais
e temos em conjunto o desenvolvimento do
segundo sinal gráfico ou sejam 33; escrevemos o 3
como resultado e vão 3; continuamos dizendo: 3 que
vão, mais 8X4 = 32, formam 35, mais 6X3 = 1S são
53, mais 2X5 = 10 (que completa o terceiro sinal grá
fico) formam um total de 63; escrevemos 3 e vão 6;
agora 6 que vão, mais 4X5 = 20, são 26, mais 6X2 ■=
12, são 38, escrevemos 8 e vão 3 (4-° sinal gráfico) e
dizemos: 3 que vão, mais 6X4 igual 24, são 27, que es
crevemos integralmente como resultado do produto por
ser o fim do quinto sinal gráfico e da operação, sendo
tal resultado 278334.
/
4 3
multiplicação PE BOIS NÚMEROS BE
a l g a r i s m o s .
_ Vamos multiplicar 1456x2378. Dispõe-,
raçao como segue: si)õe-se a opG-
1 4 5 6
X 2 3 7 8
3 4 6 2 3 6 8
Os gráficos da operação são da forma seguinte:
4 5 4 5 4 5 6 5
2 X 5 =
3 6 ; e s c r e v e m o s
3 7 8 7 8
T e n d o n ó s j á d e s e n v o l v i d o a n t e r i o r m e n t e d o i s
exemplos , es te será de fác i l compreensão, e l im inando
m u i t a s e x p l i c a ç õ e s , i m p r e s c i n d í v e i s n e s t e s c a s o s .
Começaremos dizendo: 8X6 = 48; escrevemos S e
vão 4, agora 4 mais 8X5 = 40 e são 44, mais 7X6 =
42, são 86; escrevemos 6 e vão 8; agora, 8 mais 8X4 =
32 são 40, mais 3X6 = 18 são 58. mais 7X5 = 35 for
mando em conjunto 93; escrevemos 3 e vão 9; 9 que
vão, mais 8X1 = 8 são 17, mais 2X6 = 12 são 29, mais
7X4 = 28 são 57, mais 3X5 = 15 forma 72; escreve
mos 2 e vão 7; 7 que vão, mais 7X1 = 7, são 14, mais
10, são 24, mais 3 X 4 = 12 que foiunani
6 e vão 3; 3 que vão, mais 3X1
= 3 são 6, mais 2X4=8 são 14; escrevemos 4 e vai
1 e agora 1. mais 2X1 = 2 são 3. que escrevemos como
final por não levar nada e haver terminado os sinais
de maneira que o produto definitivo é 3462368.
8
t f
\
MULTIPLICAÇÃO ABREVIADA DE NÚMEROS DE
5 A L G A R I S M O S .
Seja multiplicar 52631X91487.
Dispõe-se assim:
5 2 6 3 1
X 91487
4 8 1 5 0 5 2 2 9 7
Vejamos como se desenvolve a operação com os grá
fi c o s d a m e s m o ;
1 . ° M o v i m e n t o
dizemos 7X1 = 7 que escrevemos e não vai nada.
2 . ° M o v i m e n t o
, 3
- f O p o r u â o l e v a r m o s
n a d a d o 1 . ° m o v i m e n t o .
8 7
Dizemos agora, 7X3 = 21, mais 8X1 igual 29, es
crevemos 9 como segundo algarismo do resultado e vão
2 que transportamos ao valor do:
4 5
S.° MoTÍmento
6 3 1
+ 2 que vão do 2.® tnvto.
Dizemos assim: 7X6 = 42, mais 2 que vão do 2.°
mvto. igual 44, + 4X1 = 4 e formam 48, + 8X3 = 24,
que fazem 72; escrevemos 2 e vão 7 que levamos como
c o m p o n e n t e d o ;
4 . ° M o v i m e n t o
4 - 7 que vão do 3 . °
m v t o .
1 4 8 7
e continuamos dizendo: 7X2 = 14 mais 7 que vão do
3.® mvto. 21, mais IXI = 22 mais 8X6 -= 48 e formam
70, mais 4X3 = igual 12 e são 82; escrevemos 2 e le
v a m o s 8 a o
5 . ° M o v i m e n t o
s 2 6 3 '
4- 8 que vão do
4 . ® m v t o .
0 1 4 8 " ' '
7 - 35 mais 8 que vão do 4.° mvto. 43,e a«.no.. 7X5 "f8X2 -
4 X 6 - 2 4 e . « . v e « o .
C.® Movimento
5 2 6 3
4 - 9 c l u e v ã o d o 5 . ®
m v t o .
9 1 4 6
Agora dizemos 8X5 = 40, mais 9 que vão do 5.®
mvto. igual 49, mais 9X3 = 27 e formam 76, mais 4X2
= 8 e são 84, mais 1x6 = 6 e são 90; escrevemos O e
vão 9 que levamos ao:
7 . ® M o v i m e n t o
5 2 6
4- 9 quo levamos do 6.®
m v t o .
9 1 4
6 continuamos dizendo: 4X5 igual 20, mais 9 que vão
do 6.® mvto. 29 mais 9X6 igual a 54 e formam 83, mais
1X2 são 2 total 85, escrevemos 5 e vão 8 que levamos ao
8 . ® M o v i m e n t o
5 2
4- 8 que levamos do 7.®
m v t o .
Seguimos assim: 1X5 igual a 5, mais 8 que leva
mos do 7.® mvto. são 13, mais 9X2 igual a 18 e formam
31, escrevemos 1 e vão 3 que levamos ao último ou seja:
5 e vão 9 para o: 4 7
9 . ° MoT Ímen to
5
+ 3 que levamos do 8.®
m v t o .
Dizemos: 9X5 igual a 45, mais 3 que vão do 8.*^
mvto. 48, que escrevemos integralmente, por ter fina
l i z a d o t o d a a c o n c a t e n a ç ã o d o s e l e m e n t o s p a r a o p e r a r,
sendo o resu l t ado o que segue : 4815052297 .
OPEEAÇOES QUAííDO A QUANTIDADE DOS ALGARISMOS DO
MULTIPLICANDO E DO MULTIPLICADOR, E' DESIGUAL.
Caso prát ico.
Seja mul t ip l icar 123x45; temos
1 2 3
X 4 5
5 5 3 5
L ® M o v i m e n t o
1 2 3
X 4 5
e d izemos 6X3
m o v i m e n t o .
= 1 5 e s c r e v e m o s 6 e levamos 1, que passa ao
2 . ® M o v i m e n t o
1 2 3
X 45
3 5
e d i z e m o s 5 X 2
= 10 mais 1 que
l e v a m o s 1 1 m a i s
4 X 3 = 1 2 q u e
somam 23, es
c r e v e m o s 3 e
vão 2 ( que pas
s a m a o 3 . ® m o
v i m e n t o ) .
3 .® MoTin ien to
5̂
1 2 3
X 45
3 5
d i z e m o s 5 X 1 =
5 mais 2 que le
v a m o s 7 m a i s
4X2 = 8 que so
mam 15, escre
vemos 5 6 vai 1.
( q u e p a s s a a o
4.® movimento) .
4 .® e ú l t imo mov imento
1 2 3
X 4 5
5 3 5
d i z e m o s 4 X 1 =
4 mais 1 que le
vamos são 5 que
e s c r e v e m o s c o
m o ú l t i m o n ú
mero do resu l
tado que é 5535
4 9
VÁRIOS AXiGARISMOS COMO MULTIPLICANDO E TRÊS
COMO MULTIPLICADOR.Caso prát ico.
4 1 2 5 6
X 3 7 8
1 5 5 9 4 7 6 8
1 . " M o T Í D i e n t o .
8
d i z e m o s 6 X 8 =
4S, escrevemos
8 e l e v a m o s 4
q u e t r a n s p o r t a
m o s a o 2 . ® m o
v i m e n t o .
f>A.
Resultado parcial ao terminar o 1." movimento 8.
2 . ° M o v i m e n t o .
( f .
'Cf.
e c o n t i n u a m o s d i
z e n d o ; 8 X 5 = 4 0
mais 4 que vão do
1.® mvto. = 44 mais
7 X 6 = 4 2 q u e s o
m a m 8 6 » e s c r e v e
mos 6 e vão 8 que
levamos ao 3.° mo-
v i r a e n t o .
Parciais do resultado ao terminar o 2." movimento 68.
5 0
i
:)
3.® Morimento
a g o r a 8 X 2 = 1 6
m a i s 8 q u e v ã o d o
2." mvto. = 24 mais
3 X 6 = 4 2 m a i s
7X5 igual 77, es
c r e v e m o s 7 e v ã o
7 q u e l e v a m o s a o
4 . ® m o v i m e n t o .
"p.?
Parciais do resultado ao terminar o 3.® movimento 768.
4 . ® S l o v i m c n t o
e
'r«?.v
c o n t i n u a m o s d i
z e n d o : 8 X 1 = 8
m a i s 7 q u e v ã o d o
3 . ® m o v i m e n t o = 1 5
m a i s 3 X 5 = 3 0
mais 7X2 Igual '1-1,
e s c r e v e m o s 4 o
v ã o 4 q u e l e v a m o s
a o 5 . ® m o v i m e n t o .
P a r c i a i s d o r e s u l t a d o a o t e r m i n a r o 4 . ® m o v i m e n t o 4 7 6 8 .
M o v i m e n t o .
a g o r a : S X 4 = 3 2
m a i s 4 q u e v ã o d o
4.® mov imento = 36
m a i s 3 X 2 = 4 2
mais 7X1 = 49, es
c r e v e m o s O © v ã o
4 q u e t r a n s p o r t a
m o s a o 6 . ® m o v i
m e n t o .
'4.Í
Parciais do resultado ao terminar o 5.® movimento 94708.
5 1
6.® Movimento.
fCv̂
ò®-
x\^'
■«' /
e c o n t i n u a m o s d i
z e n d o : 7 X 4 = 2 8
mais 4 que vão do
5.® movimento 32
ma is 3X1 igua l 3
e são 35, escreve
mos 5 e vão 3 que
levamos ao 7.® mo
v i m e n t o .
Parciais do resultado ao terminar o 6.® movimento 5947G8.
7.® e úl t imo movimento.
T o t a l
15594768.
O U r e s u l t a d o a o t e r m i n a r
a g o r a : 3 X 4 = • 1 2
m a i s 3 q u e v ã o d o
6 . ® m o v i m e n t o = 1 5
q u e e s c r e v e m o s í n
t e g r o p o r t e r t e r
m i n a d o t o d a a
c o n c a t e n a ç ã o d e
o r d e n s .
o 7 . ® e ú l t i m o m o v i m e n t o
V
DIVEBSOS ALGARISMOS POR QUATRO
S e j a : 9 2 3 0 4 5
X 1678
154886510
1 . ® M o v i m e n t o ,
4 .
0 ^
D i z e m o s 5 X 8 = 1 0 e s
c r e v e m o s o O e v ã o 4
q u e l e v a m o s a o s e g u n
d o m o v i m e n t o .
2 . ® M o v i m e n t o .
a g o r a S X 4 m a i s 4 ( q u e
v â o d o 1 . ® m o v i m e n t o )
s ã o 3 6 , m a i s 7 X 5 = 7 1 ,
)> escrevemos o 1 e vão
7 q u e l e v a m o s a o 3 . ®
m o v i m e n t o .
0 - ^
Parece multo complicada a manipulação dos números na for
ma que acabamos -de expor. Mas não é assim, tendo um pouco
de bábito e prática, resulta mais cômodo e rápido, que pelo mé
todo comum, como poderão comprovar nossos leitores si se de
cidirem a operar por este método, tão prático, singelo e abreviado.
3 . ® M o v i m e n t o .
Agora 8X0 mais 7 (que
v ã o d o 2 . ® m o v i m e n t o )
s ã o 7 , m a i s 6 X 5 = 3 7 ,
m a i s 7 X 4 = 6 5 . e s c r e
v e m o s 5 e v ã o 6 q u o
l e v a m o s a o 4 . ® m o v i
m e n t o .
5 2 4 - C. M.
5 3
4° Movimento.
O 5 - N
• •
- 1 6 7 8
• —
9 5 1 O-̂
D i z e m o s : 8 x 3 = 2 4 ,
m a i s 6 ( q u e v ã o d o 3 . ®
m o v i m e n t o ) = 3 0 , m a i s
y 1X5 = 35, mais 7X0 =
3 5 , m a i s 6 X 4 = 5 9 , e s
c r e v e m o s 9 e v ã o 5 q u e
l e v a m o s a o 5 . ° m o v i
m e n t o .
5 . ® M o v i m e n t o .
• • •
1 6 7 8
6 9 5 1 0-̂
D e i x a m o s o 5 ( e n t r e p a
r ê n t e s e s ) p o r t e r - s e j á
v e r i fi c a d o t o d a s a s c o m
b i n a ç õ e s d e c o n c a t e n a -
ç ã o 6 d i z e m o s : 8 X 2 =
16-1-5 (que vão do 4.°
m o v i m e n t o ) = 2 1 , m a i s
1 X 4 = 2 5 , m a i s 7 X 3 =
46, mais 6X0 igual 46,
esc revemos o 6 e vão 4
que levamos ao 6.® mvto.
Deixamos os niimeros 4
e 5, (entre parenteses)
pelas razões expostas no
c a s o a n t e r i o r e d i z e m o s :
8X9 = 72, mais 4 (que
^vão do 5.® movimento)
são 76, mais 1X0 = 76,
mais 7X2 = 90, mais.
6X3 = 108, escrevemos
o 8 e vão 10, que leva
mos ao 7.® movimento.
9 2 3 (Q 5 K
8 8
7.® Movimento.
Deixamos os números (045)
d o m u l t i p l i c a n d o e o ( 8 )
do mu l t i p l i cado r, pe lo que
já temos explicado e segui
m o s d i z e n d o : 7 X 9 = 6 3 ,
)> mais 10 (que vão do 6.®
m o v i m e n t o ) 7 3 , m a i s 1 X 3
= . 7 6 , m a i s 6 X 2 = 8 8 , e s
c r e v e m o s o 8 6 v ã o 8 q u e
l e v a m o s a o S . ® m o v i m e n t o .
( 8 }
1
8 . ® M o v i m e n t o .
4 S k
1 7 8 )
8 8 O
D e i x a m o s o s n ú m e
r o s ( 3 0 4 5 ) e 7 8 p e l o
a n t e r i o r m e n t e d i t o o
s e g u i m o s : 6 X 9 i g u a l
54 , ma is 8 (que vão
/ > d o 7 . ® m o v i m e n t o ) =
62, mais 1X2 = 64 es
c r e v e m o s o 4 6 v ã o
G q u e p a s s a m o s a o
9 . ® e ú l t i m o m v t o .
9 .® e ú l t imo mov imento .
{6 8 j
8 8
Assim que o resultado é 1548869510.
D e i x a m o s o s
n ú m e r o s ( 2 3 0 4 5 )
d o m u l t i p l i c a n
d o e ( 6 7 8 ) d o
m u l t i p l i c a d o r e
d i z e m o s : 1 X 9
— 9, mais 6 (que
^ vão do 8.® mo
vimento ) = a 15 ,
q u o e s c r e v e m o s
i n t e g r a l m e n t e
por ser a últi
ma combinação
r e s u l t a n t e .
6 5
Como podemos observar, podem-se fazer multiplicações de qual
quer quantidade de algarismos, guardando a simetria precisa paru
operar, conforme temos visto pelos exemplos práticos, anteriores.
E* muito interessante e prático nas operações em que a quan
tidade de números do multiplicando é desigual ao do multiplicador,
completar com zeros as diferentes ordens.
Ve jamos um exemplo :
4 7 6 0 1
X 3 2 5
Nas ordens superiores escrevem-se zeros, então a operação
f i c a m a i s f á c i l p a r a o p r i n c i p i a n t e , t r a n s f o r m a n d o - s e a s s i m :
4 7 6 0 1
X 0 0 3 2 5
1 5 4 7 0 3 2 5
A o c a l c u l a r d i r e m o s : 5 X 1 = 5 , q u e e s c r e v e m o s e n ã o v a i
nada; 5x0 = O, mais 2x1 = 2 que escrevemos também sem le
var nada; 5X6 = 30, mais 3X1 = 33, mais 2X0 = 33, escreve
mos o 3 e vão 8; 5X7 = 35, mais 3 que levamos são 38, mais
0X1 = 38, mais 2X6 = 50, mais 0X3 = 50, escrevemos o O e
levamos 5; 5X4 20, mais 5 que levamos são 25, mais 0X1
= 25, mais 2X7 = 39 mais 0X0 mais 3X6 = 57, escrevemos o 7 e vão
5; agora 2X4 = 8, mais 5 que levamos são 13 mais 0X0 = 13,
mais 3X7 = 34, mais 0X6 = 34, escrevemos o á e levamos 3;
3X4 = 12, mais 3 que levamos são 15, que escrevemos integral
mente, porque o resultado que segue de 0X6 e de 0X7 é zero.
MULTIPLICAÇÃO DE ALGARISMOS SERVDfDO-NOS DO
C O M P L E M E N T O .
Veremos agora a multiplicação de algarismos cujos valores as-
tejam perto da unidade seguida de zeros usando do complemen
to a 100 ou a 1000 etc.
Seja multiplicar 96x92. Dispõe-se assim a operação:
96 até 100 vão 4 (complemento)
X 9 2
8832
1 0 0 8
5 6
Agora d i remos: 9G — 8 igua l 88
T a m b é m 9 2 — 4 i g u a l 8 8
cujo número 88 eqüivale às centenas da operação: agora achare
mos as dezenas e unidades multiplicando entre si os complementos:
4X8 igual 32 que escrevemos a seguir das centenas formando de
fi n i t i v a m e n t e o p r o d u t o t o t a l , i g u a l a 8 8 3 2 .
O u t r o e x e m p l o :
M u l t i p l i c a r 9 3 x 8 8 .
Dispõe-se assim:
93 a té 100 (complemento) vão 7
X 8 8 " 1 0 0 " " 1 2
8 1 8 4
temos 93 — 12 Igual 81
como SS — 7 igual 81
q u e s ã o a s c o u t c u a s
d o r e s u l t a d o
e cujas dezenas e unidades são o produto de 7X12, igual 84, de for
ma que escrevendo éstc resultado parcial atrás das centenas tere
mos como resultado total S1S4.
MULTIPLICAR DOIS NÚMEROS DE TRÊS jVIJGARISMOS ENTRE
SI, SERVINDO-NOS DO COMPLEMENTO.
Seja procurar o produto de 977X992.
Dispõe-se assim a operação:
977 até 1000 vão 23. (complemento a 1000)
X 992 " 1000 " 8 .
9 G 9 1 S 4
dizemos 977 — 8 igual 9G9
também 992 — 23 Igual 969
que são 03 milhares do resultado e cujo produto parcial de 8X23
Igual a 1S4 escrevemos em continuação de 9C9 paia foimai asso
definitivamente o produto total de 969184.
MULTIPLICAÇÃO POR NÚMEROS QUE SEJAM DÍGITOSR E P E T I D O S
Para multiplicar por números quo sejam os
dos, dolfl, três, quatro, etc., vezes, como por exemplo: 2̂ .
5 7
55, 66. 77, 88. 99, 222, 333, 444. 555, 666, 777, 888, 999, 2222 3333
4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999, etc. multiplica-se o número por
11, quando é de dois algarismos; por ill, quando é de três al
garismos; por 1111 quando é de quatro e assim sucessivamente,
e o resultado obtido multiplica-se por 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, ou O
segundo seja o valor absoluto de cada um dos dígitos iguais que
compõem o mult ipl icador.
Caso prá t ico .
54026 X 33; 33 = (3 X 11) diremos 54026 X 11 X 3 ou bem
54026 X 3 X 11 que será na primeira aplicação:"
54026 X 11 = 594286 X 3 = 1782858
e n a s e g u n d a
54026 X 3 = 162078 X 11 = 17S285S
No primeiro caso diremos: 1.®: 6 = 6, que escrevemos; 2.":
6 + 2 = 8, que escrevemos também; 3.°: 2 + 0 = 2, que es
crevemos; 4.®: 0 + 4 = 4, que escrevemos; 5.°: 4 + 5 = 9, que
escrevemos e 6.® e último, escrevemos o 5 porque a operação
terminou. Agora multiplicamos dizendo: 3 X 6 = 18, escrevemos
8 e levamos 1, depois 3 X S = 24 mais 1 são 25 que escrevemos
e levamos 2; 3 X 2 =; 6 mais 2 são 8 etc.
O u t r o c a s o :
202654 X 555 :
555 = (111 X 5)
2 0 2 6 5 4 X 5 X 1 1 1 o u t a m b é m
2 0 2 6 5 4 X 111 = 2 2 4 9 4 5 9 4 X 5 = 11 2 4 7 2 9 7 0
que será idêntica aplicação do primeiro caso. E também:
2 0 2 6 5 4 X 5 = 1 0 1 3 2 7 0 X 111 = 11 2 4 7 2 9 7 0
em cuja mult ip l icação por 111 diremos 1.°: 4 que escrevemos;
2.®: 4 + 5 = 9, que escrevemos; 3.®: 4 + 5 + 6 = 15, escre
vemos o 5 e levamos 1; 4.®: 1 + 5 + 6 + 2 = 14, escrevemos
o 4 e levamos 1; 5.®: 1 + 6 + 2 + 0 = 9 que escrevemos tam
bém; 6.®: 2 + 0+2 = 4, que escrevemos; 7.®: 0 + 2 = 2, que
escrevemos e depois 8.®: escrevemos o 2 por ser o último e multi
pl icamos por 5. Então o resultado será:
11 2 4 7 2 9 7 0
PROVA DO 9 NA IttULTIPLICAfJAO.
Para certificarmo-nos de que a multiplicação está bem cal
culada, explicaremos pràticamente como fazer o controle, servin-
do-nos do que se chama a prova do 9. fundado nos restos dêste
n ú m e r o .
C a s o p r á t i c o .
M u l t i p l i q u e m o s :
4G258 = 8 + 5+ 2 + 6 + 4 =25 ; agora 2 + 5 = 7
X 4 2 1 5 = 5 + 1 + 2 + 4 = 1 2 ; a g o r a 1 + 2 = 3 .
D i z e m o s a g o r a 7 X 3 = 2 1 e 1 + 2 = 3 .
2 3 1 2 9 0
4 6 2 5 S
9 2 5 1 6
1 8 5 0 3 2
194977470
P a r a q u e a o p e r a ç ã o e s t e j a b e m f e i t a , a s o m a
n e s t a f o r m a d o r e s u l t a d o t e m q u e s e r 3 .
V e j a m o s :
0 + 7 + 4 + 7 + 7 + 9 + 4 + 9+1= 48
e S + 4 = 1 2 e 2 + l = 3 . O p e r a ç ã o c o n f o r m e .
Somamos os valores absolutos do multiplicando que são 8 + 5
+ 2 + 6 + 4 = 25 e tornamos a somar até que sòmcnte fique
um algarismo ou seja 5 + 2=7.
Somando agora os do multiplicador que são 5 + 1 + 2 + 4
= 12 e tornando a somar para achar sòmeuto um algarismo temos
1 + 2 = 3 que escrevemos debaixo do 7.
Multiplicando agora estes números 7 X 3 = 21 e somando
para obter um só algarismo, temos 1 + 2 = 3, o que indica que
a soma dos valores absolutos do resultado da operação que con
trolamos. tem que ser também 3 para estar de acôrdo.
Efetivamente: somamos os números do resultado dizendo:
0 + 7 + 4+ 7 + 7 + 9+ 4 + 9 + 1 = 48 e 8 + 4-12 e
Na prática, quando se soma e tem noves a soma dêstes nú
meros ou se chega a múltiplo de 9. faz-se caso omisso deles e
c o n t i n u a - s e c o m o s r e s t a n t e s . . , , „ « n n
No resultado diríamos 1 + 4 + 7 + 7 + 4 + 7 —
3 porque o zero não tem influência neste caso.
Resultando exato o controle, não quer dizer
esteja perfeita, pois poderia ter-se errado ' ^^0
ordem qualquer ou também ter-se °
estaríamos na crença de um resultado perfeito; mas Isto
uma probabilidade que dificilmente se aproscn a. subtração
A prova do 9, pode aplicar-se também na
e divisão, seguindo o ritmo que cada esenvo
mente e comprovando com os resultados o o .
59
5 8
D I V I S Ã O
A divisão ê a operação mais difícil de fazer das que até agora
explicamos, mas presta-se também a uma quantidade de abre
viações, que si se conhecem, facilitam muito a maneira de operar.
D I V I D I R P E L O S D Í G I T O S
P a r a d i v i d i r p e l o s d í g i t o s é f á c i l e m u i t o p r á t i c o d i s p o r a
o p e r a ç ã o n a f o r m a d e p o d e r t i r a r 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , 1 / 6 , 1 / 7 ,
l /S, o 1/9 para d iv id i r respect ivamente por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
E x e m p l o s p r á t i c o s .
S e j a d i v i d i r :
823456 : 2
D i s p õ e - s e a s s i m a o p e r a ç ã o :
8 2 3 4 5 6
1 / 2 4 1 1 7 2 8
e operamos começando pela esquerda dizeudo:
1 . '
2 . '
3 . '
4 . "
5 . °
6 . '
cálculo. A metade de 8, é 4, que escrevemos de baixo do 8.
" A metade de 2, é 1, que escrevemos de baixo do 2.
" A metade de 3, é 1, que escrevemos de baixo do 3,
e sobra 1, que agregamos ao 4 que segue para o
" A m e t a d e d e 1 4 ( f o r m a d o c o m o n . " 1 q u e s o b r o u
no 3.° cálculo e o 4) é 7 que escrevemos debaixo do 4
" A metade de 5, é 2, que escrevemos de baixo do 5
e sobra 1. que agregamos ao 6 que segue para o
" e último. A metade de 16 (formado com o n." 1
que sobrou no 5.° cálculo e o 6) é 8, que escrevemos
como f i na l da ope ração .
Se a divisão não tivesse sido exata, teria sobrado uma unida
de e teríamos dito: 1 com um zero formam 10, e escreveríamos o
n." 5 depois do 8, mas, teríamos marcado primeiramente o 5 com
uma vírgula que mencionasse os decimais, suposto que a parte
inteira terminasse no último dividendo e porisso o 5 representa
r i a o s d e c i m a i s .
6Õ
2 . " E x e m p l o : 3 1 7 8 6 2 : 3
Dispomos assim a operação:
3 1 7 8 6 2
1/3 105954 e dizemos:
O têrço de 3, õ 1, que escrevemos de baixo do 3
O têrço de 1, é O, que escrevemos de baixo do 1 e
sobra 1, que agregamos ao 7 que segue para o
O têrço de 17, é 5, que escrevemos de baixo do 7 o
sobram 2 que agregamos ao 8 que segue para o
O têrço de 28, é O, que escrevemos debaixo do 8 e
sobra 1 que agregamos ao 6 que segue para o
O têrço de 16, é 5, que escrevemos de baixo tio 6 e
sobra 1 que agregamos ao 2 que segue para o
6 .® " e ú l t imo. O têrço de 12, é 4 , que escrevemos de
baixo do 2 terminando a operação.
Quando a d i v i são não t em quoc ien te exa to , podo -se pô r o
resul tado em forma de f ração ou decimais.
S e j a d i v i d i r : 1 4 2 5 : 6 . D i s p õ e - s e a s s i m :
1 4 2 5
1 . " c á l c u l o .
2 . "
3 . "
4 . " "
5 . '
1 / 6 2 3 7 3 / 6 o u 2 3 7 1 / 3 o u
1 4 2 5
l / G 2 3 7 . 5
Diremos: o 1/6 de 14, é 2, que escrevemos de baixo o sobram
2, que cora o 2 seguinte formam 22; o 1/6 de 22, é 3, que escre
vemos de baixo e sobram 4 que com o 5 formam 45; o 1/6 de
45, 7, que escrevemos de baixo do traço, podendo ser em forma
de fração 3/6 ou 1/3. (1.® desenvolvimento) ou poderemos tam
bém ao lado direito do 7 marcar uma vírgula e seguir calculando
os decimais, e neste caso se dirá: 3 que sobravam com um O fíi-
zem 30 e o 1/6 de 30, é 5, que escrevemos ao lado do 7, dando
assim de resultado 237,5 (2.® desenvolvimento) e terminamos a
operação por ter sido exata a última divisão por 6. Se nao fôsse
aslm teríamos continuado a procurar mais números rteciniaiR,
juntando zeros a cada rosto.
6 1
f
Se o dividendo contém decimais, faz-se a operação como com
os Inteiros, cuidando-se ünicamente de marcar a vírgula decimal,
quando cliegarmoa a ela.
Vejam o dispositivo do seguinte caso prático;
85432,564
1 /7 12204 ,652
Para dividir pela unidade seguida de zeros, se o dividendo é
inteiro, separam-se com uma vírgula para a esgueraa tantas ca.-
sas quantos zeros tenha a unidade, formando assim a parte deoi-
maJ, e se o dividendo de por si i4 é um número decimal, se cor
rerá a vírgula para a esquerda, também tantas casas quantos
zeros tiver o divisor, e o número assim diminuído será o quo-
c i e n t e .
Caso pratico.
82356 ; 10
82356 : 100
82356 : IODO
S2356 : 10000
82356 : 100000
82356 : 1000000
82356 : 10000000
8235,6
823,56
82,356
8,2356
0,82356
0,082356
0,0082356
e assim sucessivamentee se tivesse parte decimal, da seguinte
f o r m a :
823,56 : 10
823,56 : 100
823,56 : 1000
823,56 : lOOOO
823,56 : 100000
823,56 : 1000000
823,56 : 10000000
82,356
8,2356
0,82356
0,082356
0,0082356
0,00082356
0,000082356
O t s e r v a m o s q u e e q u e
:rj'c!::"":via dds aIgar.smos decimais, a vírgula foi
deslocada a partir de dito lugar.
Se no lugar da unidade seguida de zeros fôsse outro algaris
mo s ign i f i ca t i vo , poder íamos p i ' ime i ro passar a v í rgu la e depo is
d i v i d i r p o r d i t o a l g a r i s m o .
E x e m p l o :
28653,92 : 4000
começaremos passando a vírgula e então teremos,
28,66392 e agora dividimos por 4, assim:
28,65392
1/4 7,16348 sendo ôste o resultado.
Se houver decimais tanto no dividendo como no divisor, deve-
50 observar e prestar atenção aos lugares a correr, partindo do
BÍtio onde estão os sinais decimais.
DITIDIB POR 5, 50, 600, ETC.
Para dividir por 5, poderemos fazê-lo muito rápido, se obser
varmos que dividir por 5 é o mesmo que multiplicar por 2 : 10,
que nos diz que, devemos multiplicar o número por 2 e dividir
por 10 o total.
Exemplo :
G5428 : 5
Aplicando aquela igualdade teremos 65428X2 igual 130S56
que dividido por 10, faremos correr a vírgula um ugar
como resultado definitivo 13085,6.
1 6 5 4 2 8
ou também — igual ■
5 1 3 0 8 5 . 6
Para dividir i>or 60 mullipUca-so por 2
por 500, multiplica-se por 2 e divide-se P
sivamente por 5000, 50000, etc.
DIVIDIR POR 25
Para dividir por 25 multiplica-se o
por 100. porque dividir por 25 6 o mesmo que muHipli,
dividir por 100.
Exemplo: 836 : 25.
6 3
6 2
Aplicando a fórmula veremos que 836x4 = 3344, que dividido
por 100 dá-nos 33,44 como no método comum.
D I V I D I R P O R 7 5
Div id imos por 100 como representação das 4 par tes e já que
3 1
7 5 é i g u a l — , p a r a o b t e r o r e s u l t a d o t e m o s q u e a g r e g a r —
4 3
p a r t e .
E x e m p l o ; 6 3 2 4 9 ; 1 0 0 = 6 3 2 , 4 9
1
m a i s — = 2 1 0 , 8 3
3
To t a l . . . 8 4 3 , 3 2
D n i D I R P O R 1 2 5
Pode remos d i v i d i r po r 125 com rap idez se obse rva rmos quo
d i v i d i r p o r 1 2 5 é o m e s m o q u e m u l t i p l i c a r o d i v i d e n d o p o r 8 e
d iv id i r o resu l tado por 1000,
E x e m p l o :
S e j a d i v i d i r : 8 2 6 5 : 1 2 5 .
Temos segundo a definição anterior 8265X8 = 66120 que di
vidiremos por 1000 sinalando como uma vírgula assim 66,120, que
cor responde exatamente ao resu l tado.
DIVISÃO POR DECO^IPOSIÇÂO DO DIVISOR
Quando é possível decompor o divisor em fatores, podemos
fazer mais fácil a operação, dividindo sucessivamente por cada
u m d ô l e s o d i v i d e n d o .
Ve jamos um caso p rá t i co :
6 5 4 2 9 0 : 3 5
cujo divisor é igual a 5X7; então faremos a operação abreviada
a s s i m :
654290
1 / 5 1 3 0 8 5 8 e a g o r a ê s t e p o r
1 / 7 1 8 6 9 4 c u j o r e s u l t a d o é
O u t r o e x e m p l o : 7 9 4 3 0 4 • 1 9 '
cujo divisor i iguai a 4X0X8; eutão dlsiise-õc assim a operação:
794304 que dividimos por
1/4 198576 e agora por
1 / 6 3 3 0 9 6 e p o r ú l t i m o p o r
6 4
1 /8 4137 de acôrdo com os fa to res
acima mencionados, pois que 4X6X8 é igual a 192 que ô o divi
s o r d a o p e r a ç ã o
Recordando a divlsibi l idade dos números nos será fáci l deduzir
mentalmente como se podem decompor os divisores na opex-ação
d e d i v i d i r .
E f e t i vamen te ; U m número é d i v l s í ve l po r 2 , quando o a l ga
r i s m o q u e r e p r e s e n t a a s u n i d a d e s , f ô r z e r o o u a l g a r i s m o p a r .
U m n ú m e r o 6 d i v i s í v e l p o r 3 , q u a n d o a s o m a d o v a l o r a b s o
lu to de seus a lgar ismos 6 d iv is íve l por 3 ou múl t ip lo de 3 .
Um número é d iv is íve l por 4, quando termina em dois zeros,
ou o número formado pelos dois úl t imos algar ismos é múlt ip lo de
4 e também quando o algarismo da.s unidades agregada ao duplo
d a s d e z e n a s s ã o d i v i s í v e i s p o r 4 .
Um número é divisível por 5, quando termina em O ou em 5.
Um número é divisível por 6 quando seja divisível por 2 e
por 3 ao mesmo tempo, ou também quando é divisível por 3 e
t e r m i n a e m z e r o o u c i f r a p a r .
Um número de três algarismos é divisível por 7, quando so-
madoa os algarismos das unidades, mais o triplo das dezenas, mais
o duplo das centenas dá 7 ou múltiplo de 7. Quando o número
tenha mais de três cifras, se divide em períodos do três algaris
mos começando pela direita e subtraída a soma dos algarismos
que formam grupos ímpares dá quo sejam pares, so o resto ó 7
ou múltiplo de 7, o número 6 divisível por Gste número.
Um número é divisível por 8, quando termina em 3 zeios ou
também quando as tréa últimas cifras são divisíveis por S e
quando a aoma das unidades, mais o duplo das dezenas conjunta
mente com o quádruplo das centenas é 8 ou múltiplo de 8.
Um número é divisivel por 9, quando a soma dos algarismos
dá 9 ou múltiplo de 9.
Um número é divisível por 10 quaudo terminar em 0.
absolutos dr'", ^ "• =<>'"»■ <1°^
t o p a r o u ^ l " S a rtopar, ou também se a diferença entre elas ê 11, ou múltiplo
p o r i i i ^ r t L r ' " ' ^ ^ «
ros ou^as^toaTíiLarir' T' em dois ze-
üm número é divislvcr múltiplo de 25.
ros ou as três última tp duaudo termina em três ze-
d e 1 2 5 . l - e i t a s e l a m 1 2 6 o u m ú l t i p l o
DE UTILIDABE COMERCIAL
toe a vlnto dTum^bJetrpõi'" ° ™
diterentes que o comerciaî te ur T° assuntos oompietamento
motemalmtusque uribfHV. ™ eouta, e co-rença que existe entre um e P°e desconhecer a dite-
lhes, Tamos fazer o cálculo dod^rt T' prejudicar-que se possa apreciar a verdade do práticos, para
Calculemos os dois casos. Pretendemos.
4i2B0$Z°«rsVdrqueu'ost?nr'' toeço deee«a.em sêbre o p.cço de ĉo Xelsf
zz r:us?:
3:750$000
Lucro
5101000■ -!ü ̂-̂SOiOOO, obtemos 510SOOO do lucro
6 6 c o r r e s p o n d e p o r
cada 1§000 réis, 510/4250 e por cada 100$000 (o que procuramos)
1 0 0 v e z e s m a i s o u s e j a :
510 X 100 51000 D iv id indo por 100 5 1 0
4 2 5 0 4 2 5 0 ^ 2 , 5
12 ,̂ de ganância obtida sôbre o cnsto da mercadoria.
OUTKO CASO.
No caso anterior calculamos a percentagem de lucro sôbre
o custo, sabendo o que nos tinha custado a mercadoria e o liquido
obtido na venda.
Agora vamos saber a quanto temos que vender a mercadoria
para obter uma percentagem determinada.
Temos outra partida de banha que nos custou 12:5OOS0O(> réis
e queremos ganhar uma percentagem de 8%; A que prego deve
mos vender para obter o lucro desejado?
Se quiséssemos ganhar 8§000 réis por cada 1$000, neste caso
teríamos que multiplicar, 12:5000§000 X 8. mas como queremos
ganhar 8§000 por cada 100$000 réis. faremos o seguinte:
12:5005000 X8
e que operando dá um resultado Igual a:
1 0 0
19-500SOOOX8 = 100:0005000 contos que dividimos por 100 e temos
l-iooçooo de réis, sendo esta última a Importância que devemos
aumentar ao custo da mercadoria, obtendo assim o preço de ven
da de: 12:600$000-fl:000?000 = 13:600$l)00 para conseguir a per-
centagem de lucro sôhre o custo.
Agora veremos como se calcula a percentagem sObre a venda,
não sôbre o custo, coisa muito diferente e que é de grande im
portância e que 08 comerciantes devem ter multo em conta, como
j á f o i d i t o :
Exemplo: Temos uma partida de aço cujo custo foi de 7Í040
réis o quilo, e queremos vender ganhando uma percentagem de
12% eObre o preço de custo. A que preço devemos vender o
q u i l o d e a ç o ? . , ^Temos que raciocinar diferentemente ao caso anterior, pois
por cada lOOgOOO réis que vendemos, nosso custo tem que ser de
réis sòmente, ou seja:
67
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P O T E N C I A Ç Ã O
Conhecendo as regras da mult ipl icação abreviada, explicadas
anteriormente, nos será fácil elevar ao quadrado, cubo etc., qual
quer número, com menos esfôrço que se o fizéssemos pelo método
u s u a l , t o m a n d o c o m o f a t o r o n ú m e r o t a n t a s v e z e s c o m o n o s i n d i
c a o g r a u d a p o t ê n c i a .
S e j a e l e v a r a o q u a d r a d o o n ú m e r o S 4 o u s e j a : 8 4 X 8 4 .
D i s p õ e - s e a s s i m a o p e r a ç ã o :
8 4
X 8 4
7 0 5 6
dizendo 4X4 = 16, escrevemos 6 e vai 1, duplo de 4X8 = 64 (por
que são dois produtos parciais iguais) mais 1 que são 65; escre
vemos 5 e vão 6, que como 8X8 = 64 que com 6 formam 70 que es
crevemos integralmente, por ser o final. Resultado definitivo: 7056.
Se fôsse elevar ao cubo, seria multiplicar o número três ve
z e s p o r s i m e s m o .
E x e m p l o : 8 4 X 8 4 X 8 4 .
Como temos o resultado de 84X84 que é igual a 7056, agora
multipl icaremos este por 84.
Dispõe-se assim a operação:
7 0 5 6
X 8 4
5 9 2 7 0 4
Diremos: 4X6 = 24; escrevemos 4 e vão 2. Agora, 4X6 — 20,
mais 2 são 22, mais 8X6=48 que somam 70; escrevemos o O 0
vão 7, e dizemos: 4X0 = 0 que com 7 são 7, mais 8X5 = 40, for
m a m 4 7 ; e s c r e v e m o s o 7 e v ã o 4 ; a g o r a , 4 X 7 = 2 8 m a i s 4 s ã o
3 2 q u e c o m 8 X 0 = 0 s ã o 3 2 ; e s c r e v e m o s 2 e v ã o 3 q u e c o m 8 X 7
= 5 6 f o r m a m 5 9 ; q u e e s c r e v e m o s c o m o fi n a l , s e n d o a s s i m o c u b o
de 84 igua l a 592704 ,
A g o r a e l e v e m o s a o q u a d r a d o o n ú m e r o 2 3 4 .
2 3 4
X 2 3 4
5475G
Diremos: 4X4 = 16, escrevemos 6 e vai 1. Duplo de 4x3 =
24 mais 1 são 25, escrevemos 5 e vão 2; duplo de 4X2 = 16 com
mais 2 que levamos são 18. mais 3X3 = 9 que com 18 formam 27,
escrevemos 7 e vão 2; duplo de 3X2 = 12 mais 2 que levamos sao
14, escrevemos 4 e vai 1; agora, 2X2 = 4 que com 1 que levamos
são 5 quo escrevemos como final, seudo o resultado 54756.
P a r a e l e v á - l o a 3 . " p o t ê n c i a t e r e m o s :
í 5 4 7 5 6
X 234
1 2 8 1 2 9 0 4
D i r e m o s :
1." 4X6 = 24, escrevemos o 4 e levamos 2;
2.® 4x5-1-3X6-1-2 que levamos igual a 40, escrevemos o O c
l e v a m o s 4 ;
3.0 4x7-1-2X64-3x5-1-4 que levamos igual a 59, escrevemos
o 9 e l e v a m o s 5 ;
4.® 4x44-2X54-3X74-5 que levamos igual a 52, escrevemos
o 2 e l e v a m o s 5 ;
5.0 4x5-l-2X7-f3x44-B que levamos Igual a 51, escrevemos
o 1 e levamos 5;
6.® 3X54-2X44-5 que levamos igual a 28, escrevemos o 8 c
l e v a m o s 2 , e
7.® o último 2XB-f2 que levamos igqal g 12, escrevemos tudo
p o r t e r t e r m i n a d o a o p e r a ç ã o . ' n
Poderíamos usar o mesmo procedimento se tivéssemos que
calcular qualquer potência e levada a maior grau, tomando o nú
mero tantas vezes como fator, quantas nos indicasse dito grau.
Ve j a - s e u m e x e m p l o : S e j a e n c o n t r a r o r e s u l t a d o d e 1 2 3 ® =
1 2 3 X 1 2 3 X 1 2 3 X 1 2 3 X 1 2 3 X 1 2 3 = 3 4 6 2 8 2 5 9 9 1 6 8 9
P a r a e l e v a r a u m a p o t ê n c i a u m n ú m e r o f o r m a d o p e l a u n i
dade seguida de zeros, se escreve a unidade seguida de tantos ze
ros quantos zeros tenha dito número multiplicados pelo grau da po
t ê n c i a .
E x e m p l o :
100-, seu resultado é
1 0 0 0 0 o u s e j a q u a t r o z e r o s
porque 2 zeros que tem o número 100, multiplicado por 2 (grau)
s ã o q u a t r o z e r o s .
O u t r o e x e m p l o :
1000®, escrevemos como resultado
1000000000000000 ou seja
3 zeros X 5 (srau) = 15 zeros, conforme escrevemos acima.
Quando no lugar de ser a unidade seguida de zeros, tôr ou
tro número seguido de zeros, também se elevaria ou elevariam a
Botência reduerida a citra ou cifras significativas e se seguem
depois a regra dos zeros.
E x e m p l o :
8 0 2 , d i r e m o s
8X8 = 64 e ainda
um zero X 2 (grau) = 2 zeros due agregaremos a 64 como segue
6400 sendo êste o resultado.
Outro exemplo:
125000®, diremos
125X125X125 = 1953125, e ainda
= T̂ nr 3 fcrau) = 9 zeros que agregaremos a 19531t r ê s z e r o s p o r o ( g r a u j —
como segue 1953125000000000
sendo êste o resultado.
t
O resultado de uma potência de qualquer número é tomá-lo
como fator tantas vezes como nos indica o grau da potência.
E x e m p l o :
235®
Então o número 235 o tomaremos cinco vezes como fator da
m a n e i r a s e g u i n t e :
235X235X235X235X235 = 716703146875
que é o resultado.
Explicamos que o quadrado de uma soma (a-f-b)® = a^-f-
2 ab-l-b- e apllcando-o a um número por exemplo:
65 (decompondo-o) temos
(60-f 5)2 = 60=-i-2x60X5-l-5= = 3600-l-600-)-25 = 4225 e fazendo a
a b
operação abreviada temos:
6 5
X 6 5
4 2 2 5
Operando dizemos: 5X5 = 25. escrevemos o 5 e levamos 2;
agora 5X6 = 30 mais 2 que levamos 32 mais 5X6 = 30 somam
62, escrevemos 2 e levamos 6 e agora 8X6 = 36 mais 6 que le
vamos 42 que escrevemos como resultado definitivo.
Operando poderíamos ter reduzido mais o cálculo, porque se
repete 5X6 e 6X5 que é igual a duplicá-los; então, podíamos
ter feito a operação assim: 5X5 = 25, escrevemos 5 e vao 2
agora 2 vezes 5X6 = 60 mais 2 que levamos 62, escrevemos o 2
€ vão 6. e agora 6X6 = 36 mais G que levamos são 42 sendo o re
s u l t a d o 4 2 2 5 .
Em todos os cálculos com potências podemos fazer uso dêstc
processo, porque todo número, pode considerar-se como uma
soma e decomposta, como temos feito.
a.'' POTÊNCIA I)E NüaiEROS COMPOSTOS CUJOS
ALGARISMOS