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DIVISÃO DE ENGENHARIA 
CURSO:ENGENHARIA DE MINAS 
NÍVEL: 2ᵒ ANO 
TURMA: EM B, DIURNO 
CADEIRA: TOPOGRAFIA I 
 TEMA: MÉTODOS TOPOGRÁFICOS PARA O CÁLCULO DE ÁREA E VOLUMES 
 
 
 Discente: 
Alexandre Justino Nhanombe 
 
 
 Docente: 
 Eng. Adelson Assado 
 
 
 
 
Tete, Maio de 2020 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
Topografia Página 2 
 
Índice 
Introdução ....................................................................................................................................... 4 
Objectivos ....................................................................................................................................... 5 
Geral ................................................................................................................................................ 5 
Específicos ...................................................................................................................................... 5 
Metodologia .................................................................................................................................... 6 
Cálculo de área ................................................................................................................................ 9 
Processos Analíticos ..................................................................................................................... 10 
Fórmula de Gauss ......................................................................................................................... 10 
Método de Bezout ......................................................................................................................... 12 
Método de poncelet ....................................................................................................................... 12 
Método de Simpson ...................................................................................................................... 12 
Processos Computacionais ............................................................................................................ 13 
Processos Gráficos ........................................................................................................................ 14 
Transformação geométrica............................................................................................................ 14 
Faixas de igual espessura .............................................................................................................. 14 
Divisão de quadrículas .................................................................................................................. 15 
Figuras geométricas equivalentes ................................................................................................. 15 
Processos Mecânicos .................................................................................................................... 15 
Planímetro ..................................................................................................................................... 15 
Cálculo de volume ........................................................................................................................ 18 
Método Seções Transversais ......................................................................................................... 18 
Método Média Ponderada. ............................................................................................................ 18 
Conclusão ...................................................................................................................................... 20 
Referências bibliográficas ............................................................................................................. 21 
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Anexos .......................................................................................................................................... 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Introdução 
No trabalho de mineração ocorre uma grande movimentação de produtos, que são as pilhas de 
minério removidas para entrarem no estoque ou para atender ao mercado. Controlar a 
movimentação dos estoques de produtos é uma necessidade. Para que se possa quantificar o 
volume de material que se desloca, é fundamental que seja feito o levantamento topográfico 
dessas pilhas com precisão. O que ocorre é que nem sempre o cálculo resultante desse 
levantamento é tão preciso quanto necessário. O presente trabalho trata do cálculo de área e de 
volume com a utilização do software Topograph obtendo-se o volume de terra a escavar e aterrar 
entre o terreno natural e um plano projectado ou entre dois planos paralelos de cotas definidas. O 
Sistema TOPOGRAPH 98 é um moderno e completo sistema para processamento de dados 
topográficos que executa as seguintes tarefas: armazena dados levantados em campo, manual ou 
electronicamente; processa cálculos topográficos; mostra dados calculados graficamente e emite 
relatórios dos dados de campo e dos cálculos efetuados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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Objectivos 
Geral 
 Conhecer os métodos usados para o cálculo da área e do volume. 
Específicos 
 Saber caracterizar os métodos para o cálculo da área e do volume; 
 Identificar a fórmula utilizada no programa; 
 Saber calcular qualquer exercícios usando as formulas presentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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Metodologia 
Para a prossecução dos objectivos acima mencionados consistiram na obtenção de informações 
através de documentos em formato electrónico do tipo PDF e informações da internet referentes 
ao tema em estudo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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O levantamento topográfico é realizado por meio da medição dos pontos notáveis, ou seja, onde 
existem variações dos mesmos pares coordenados amarrados ao sistema de coordenadas. Assim 
se obtém a descrição do terreno no local onde houve a deposição de um referido material. Para 
efectuar esse tipo de levantamento são necessários, além de equipamentos e softwares 
específicos para realização do cálculo de volume, profissionais treinados e qualificados para 
executá-lo, de modo a se obter um resultado o mais preciso possível. 
Após o término do processamento dos dados no TOPOGRAPH é visualizada uma janela é 
mostrada com o resultado final do cálculo. Os volumes podem ser calculados com base na malha 
triangular ou na malha rectangular e ambas as opções funcionam de forma semelhante. A 
diferença está no método de cálculo do volume, utilizado para cada caso. Para quaisquer das 
opções será necessário que a malha triangular tenha sido gerada pelas Curvas de Nível. 
O método utilizado para o cálculo do volume de corte e de aterro de uma área rectangular de um 
terreno em relação a um plano horizontal é o somatório dos volumes de prismas de base 
triangular. Para a obtenção desses prismas, cada triângulo da malha triangular deverá ser 
verificado. 
Ao informar a área rectangular sobre a qual será calculado o volume, os triângulos gerados pelas 
Curvas de Nível poderão se posicionar de três diferentes maneiras em relação à referida área. Se 
todos os vértices do triângulo estiverem dentroda área rectangular, a projecção desse triângulo 
no plano de referência será a base do prisma sobre o qual será calculado o volume e se um ou 
dois dos vértices do triângulo estiverem fora da área rectangular, a parte do triângulo que estiver 
dentro dessa área poderá ser dividida em vários triângulos. Cada um desses novos triângulos será 
tratado como no caso acima. 
No caso em que todos os vértices do triângulo estiverem fora da área rectangular, esse triângulo 
será desconsiderado no cálculo do volume. Os triângulos resultantes da verificação feita acima 
poderão se posicionar em relação ao plano de referência de três maneiras diferentes. Se todos os 
vértices do triângulo estiverem acima do plano de referência, será definido um prisma triangular 
cujas bases serão o próprio triângulo e sua projecção no plano de referência. O volume desse 
prisma será acrescentado no volume de corte do terreno e se todos os vértices do triângulo 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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estiverem abaixo do plano de referência, será definido um prisma triangular cujas bases serão o 
próprio triângulo e sua projecção no plano de referência. O volume desse prisma será 
acrescentado no volume de aterro do terreno. 
Se o plano de referência interceptar o triângulo, poderão ocorrer dois casos: um vértice 
posicionado acima do plano de referência e dois vértices abaixo ou vice-versa. Nos dois casos 
serão dois prismas, um de base triangular e outro de base quadrangular. No primeiro caso, o 
volume do prisma de base triangular será somado ao volume de corte do terreno e o volume do 
prisma de base quadrangular será somado ao volume de aterro do terreno. No segundo caso será 
feito o inverso, ou seja, o volume do prisma de base triangular será somado ao volume de aterro 
do terreno e o volume do prisma de base quadrangular será somado ao volume de corte do 
terreno. 
O método utilizado será semelhante ao usado no cálculo de volume pela malha triangular. Ao 
invés de utilizar a malha triangular, será usada a malha retangular. Cada retângulo será dividido 
em dois triângulos e, para cada um desses triângulos será aplicado o método de Cálculo para a 
Malha Triangular. 
No cálculo do volume usando a malha retangular, somente serão levados em conta os retângulos 
que tiverem pelos menos três de seus vértices no interior da malha triangular. 
Os volumes das pilhas foram calculados separadamente, conforme a metodologia descrita acima. 
A figura abaixo mostra os sólidos gerados a partir da triangulação da medição das pilhas de 
Produtos bem como as curvas de nível das mesmas. 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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 Fonte: CSN – Companhia Siderúrgica Nacional 
 
 
Cálculo de área 
As áreas topográficas são projecções horizontais das obras projetadas e executadas pela 
engenharia. 
Processos de Cálculo 
1. Analíticos; 
2. Computacionais; 
3. Gráficos; 
4. Mecânicos. 
 
 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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1. Processos Analíticos 
Foram os primeiros métodos desenvolvidos para o cálculo de área de poligonais. São baseados 
em fórmulas matemáticas, limitantes da figura. 
1. Fórmula de Gauss; 
2. Método de Bezout; 
3. Método de Poncelet; 
4. Método de Simpson. 
 
1.2 Fórmula de Gauss 
(Áreas delimitadas por poligonais regulares: triângulos, trapézios, etc) 
Baseia-se na soma e subtracção da área de trapézios formados pelos vértices e projecções sobre 
os eixos N, E. 
Essa operação pode ser expressa por diferentes equações, como a equação a seguir, que utiliza a 
propriedade distributiva. 
 (∑ 
 
 
 ∑ 
 
 
 ) 
Exemplo: Base dos trapézios no eixo “E” 
 S = 0,5 x [ (E2-E1) x (N1+N2) 
+ (E3-E2) x (N3+N2) 
+ (E4-E3) x (N4+N3) 
+ (E5-E4) x (N5+N4) 
+ (E1-E5) x (N1+N5)] (uma das formas da formula de Gauss) 
 
Exemplo: 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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i.Preencher a tabela (matriz), com os valores das coordenadas adoptando um sentido, horário ou 
anti-horário. 
 
ii.Proceder com a multiplicação N x E (X x Y) da seguinte forma: 
- 
- |XA YA| 
- |XB YB| 
+ |XC YC| 
+ |XA YA| 
+ 
iii.A área da figura do exemplo (triângulo), será determinada pela equação de Gauss: 
SABC = 0,5× (Y A X B +Y B X C +Y C XA – YB X B - Y A XB – YA XC ) 
 
∑ 
-
 – 
∑ 
 
SABC= (∑ ∑ ) 
∑ ∑ 
 
 
O valor da area deve ser sempre positivo, se negative, multiplique po -1. 
 
Métodos Topográficos para o Cálculo de Área e Volumes 
 
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1.3 Método de Bezout 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Para n qualquer (par ou ímpar) esse método interpreta a curva com uma série de trapézios de 
altura d. 
 (
 
 
 ∑ 
 
 ) 
Onde: ∑ (internos) 
 
1.4 Método de poncelet 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Para n par, interpreta a curva como uma sériede trapézios de altura 2d. 
 ( ∑ 
 
 
 
( ) ( 
 
) 
Onde: Σyi = y1 + y3 + y5 + ...+ yn - 1 (Ímpares) 
 
1.5Método de Simpson 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Para n par, interpreta a curva como uma série de trechos de parábola de base 2d, e calcula-se a 
área por integração 
 
 
 
 ( ∑ ∑ ) 
 
Onde: Σyp= y2 + y4 + y6 + ...+ yn – 2 (pares) 
Σyi= y1 + y3 + y5 + ...+ yn – 1 (Ímpare) 
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2. Processos Computacionais 
A partir de uma mesa digitalizadora acoplada a um computador que disponha de um editor de 
desenho 
 (AutoCAD ou similar), fornece-se as coordenadas (x,y) de pelo menos dois pontos. O cursor 
passa a fornecer coordenadas reais 
O programa utiliza a fórmula de Gauss, já que o contorno da figura é na realidade uma poligonal 
de muitos lados. 
 
Software CAD e Software GIS 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Processos Gráficos 
Transformação geométrica; 
Faixas de igual espessura; 
Divisão de quadrículas; 
Figuras geométricas equivalentes. 
 
3.1 Transformação geométrica 
Consiste em transformar as poligonais regulares em um triângulo de área equivalente. 
 
Para recordar: teorema de Heron para determinar a área de qualquer triângulo. 
 √ ( ) ( ) ( ) 
Onde: 
 
 
 . a,b,c os catetos do triângulo 
 
3.2 Faixas de igual espessura 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Consiste em efectuar a divisão da figura em faixas de espessura constante (e), medindo-se as 
larguras (li) dessas faixas. 
 ∑ 
 
 
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3.3 Divisão de quadrículas 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Consiste na contagem directa dos quadrados multiplicados pela área deles. Pode-se utilizar 
milímetro para facilitar a tarefa. 
 ∑ 
 
 
3.4 Figuras geométricas equivalentes 
(Áreas que se delimitam por poligonais irregulares) 
Consiste em dividir a área em figuras geométricas equivalentes: rectângulos, Triângulos e 
trapézios, de modo a compensar as áreas que ficaram dentro e fora da figura geométrica. 
 
Só para lembrar 
 
 
4. Processos Mecânicos 
4.1 Planímetro 
O planímetro é um equipamento que possui dois braços articulados com um pólo numa 
extremidade, que deve permanecer fixo, e um cursor na outra, devendo percorrer todo o contorno 
da área, retornando ao ponto inicial. 
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Um tambor giratório no mesmo braço do cursor, situado na extremidade oposta, faz girar um 
ponteiro sobre o círculo de leitura. Pode-se demonstrar que o giro do tambor, e portanto adiferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo contorno percorrido. 
 Sempre em superfície plana; 
 O pólo deve ser fixado dentro ou fora da figura a medir, dependendo do seu tamanho; 
 As hastes devem ser dispostas de maneira a formar um ângulo recto entre si, assim, é 
possível verificar se o traçador contornará a figura facilmente; 
 O aparelho deve ser zerado no início da medição; 
 Percorre-se o contorno da figura com o traçador, no sentido horário, voltando ao ponto de 
partida; 
 Faz-se a leitura do tambor (aparelho mecânico), ou, a leitura no visor (aparelho 
electrónico). 
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 ( 
S – área 
Lf – leitura final 
Li – leitura inicial 
k – constante do aparelho 
Para determinar o valor de k, sugere-se planimetrar n vezes uma área S conhecida 
 (
 
 
 ∑ 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Cálculo de volume 
 
1. Método Seções Transversais 
V = [( A1 + A2 ) / 2 ] x D 
 Onde: A1 e A2 = Áreas 
 D = Distância 
2. Método Média Ponderada. 
Consiste em balancear o volume de corte e aterro, ocorrendo o mínimo possível de desperdício 
de material. Deve-se nesse método definir primeiramente os pesos de cada ponto, podendo ser 
peso 1 ao 4, dependendo da área de influência do ponto. 
Definido os pesos segue os seguintes passos: 
1º Cálculo da cota de passagem (Cota média): somando separadamente as cotas de cada peso e 
multiplica-se pelo seu peso e logo após soma-se todos os resultados e divide pela somatória 
algébrica dos pesos. 
 
∑ 
∑ 
 
 
2º Utiliza-se o método das seções transversais para calcular cada seção, utilizando como 
referência a cota de passagem (Platô) e as cotas levantadas em campo (Terreno Natural). 
 
( ) 
 
 
3º Método Cota imposta em área regular. 
Quando se tem um valor para a cota de projecto para o empreendimento, se calcula o volume 
pelo produto da área da base pela média das alturas das arestas. 
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 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Conclusão 
O levantamento topográfico é um procedimento fundamental quando se trata de conhecer o 
terreno onde vai ser realizada uma obra, ou ainda se esse terreno for utilizado para outros fins 
como, por exemplo, a pesquisa geológica ou a exploração mineral. No que se refere 
especificamente ao cálculo de volume das pilhas de minério, conclui-se que esse cálculo permite 
um controle eficaz sobre a movimentação desse material. Assim, seja para se garantir o uso 
adequado e seguro de um terreno, seja para assegurar o bom andamento de uma empresa, no caso 
o de mineração, o levantamento topográfico se configura como indispensável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
 Manual Topografia Basica_VNF (Vinícius Nogueira Fróes); 
 Manual Cálculo de Áreas (Renato de Oliveira Fernandes); 
 https://www.google.com/search?q=exercicios+topogr%C3%A1ficos+para+o+c%C3%A1
lculo+de+%C3%A1rea+e+volumes&oq=&aqs=chrome.2.69i59l8.442827346j0j7&sourc
eid=chrome&ie=UTF-8 
 https://www.google.com/search?q=m%C3%A9todos+topogr%C3%A1ficos+para+o+c%
C3%A1lculo+de+%C3%A1rea+e+volumes+pdf&oq=&aqs=chrome.7.69i59l8.44290699
9j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.google.com/search?q=m%C3%A9todos+topogr%C3%A1ficos+para+o+c%C3%A1lculo+de+%C3%A1rea+e+volumes+pdf&oq=&aqs=chrome.7.69i59l8.442906999j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8
https://www.google.com/search?q=m%C3%A9todos+topogr%C3%A1ficos+para+o+c%C3%A1lculo+de+%C3%A1rea+e+volumes+pdf&oq=&aqs=chrome.7.69i59l8.442906999j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8
https://www.google.com/search?q=m%C3%A9todos+topogr%C3%A1ficos+para+o+c%C3%A1lculo+de+%C3%A1rea+e+volumes+pdf&oq=&aqs=chrome.7.69i59l8.442906999j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8
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Anexos 
Calcular o volume entre duas superfícies verticais, sabendo que : A1 = 8,76 m² A2 = 10,62 m² 
d = 10 m 
 
Dados: Formula Resolução 
A1 = 8,76 m² V = ( A1 + A2 ) x D ( ) 
A2 = 10,62 m² ( ) 
 d = 10 m