3. Dinâmica. 3.1. Dinâmica - Leis de Newton, Força peso, Força normal e Força de tração

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Aula 01: Leis de Newton, força peso, força normal e força de tração
Conceito de dinâmica
Dinâmica é a parte da mecânica que estuda o movimento de um corpo e as causas desse movimento. 
Leis de Newton: Primeira Lei de Newton
Um corpo que está em movimento tende a permanecer em movimento e um corpo que está em repouso tende a permanecer em repouso a menos que uma força atue sobre ele. 
Leis de Newton: Segunda Lei de Newton
A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional à resultante das forças que atuam sobre ele e inversamente proporcional à sua massa (ou seja, Força é igual a Massa vezes a Aceleração).
 = m . 
Exercício 01
Um bloco de 6 kg é puxado sobre uma mesa perfeitamente lisa (sem atrito) com uma força de 12 N. Qual a aceleração do bloco. 
Resolução:
||= m .|| 12 = 6 . a a = a = 2 m/s2
Exercício 02
Em cada caso representado a seguir, é aplicado forças sobre um bloco de massa 2 kg. Sabendo que |F1| = 20 N e |F2| = 12 N. Calcule a aceleração adquirida pelo bloco em cada caso.
a) 
Nesse caso o módulo da força resultante será a soma do modo das duas forças. Logo irei trabalhar com a força de 32 N.
32 = 2 . a a = = 16 m/s2
b)
Como as forças possuem sentidos opostos, o módulo da força resultante será a subtração do módulo das duas forças. Logo irei trabalhar com a força 8 N. 
8 = 2 . a a = = 4 m/s2
Exercício 03
Na figura vemos um bloco de massa 2 kg, inicialmente em repouso sobre uma mesa perfeitamente lisa, sobre o qual são aplicadas as forças horizontais 1 e 2. Sendo |1| = 6 N e |2| = 8 N, calcule o módulo da força resultante. 
Resolução:
Note que o vetor resultante pode ser calculado por pitágoras. 
|FR|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100
|FR| = 10 N.
Exercício 04 
Um bloco de massa m = 5 kg desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade 7 m/s. A partir do instante t = 0, passa a atuar sobre o bloco uma força de direção constante cuja intensidade em função do tempo é dada pelo gráfico da segunda figura. Qual é a velocidade do bloco no instante t = 4,0 s? Qual é a intensidade média da força?
Discussão
Para resolver é preciso construir outro gráfico da aceleração em função do tempo.
 Força é o produto da massa pela aceleração (= m.). Como a massa é algo que não se altera, quando a força aumentar a aceleração também irá aumentar (e aumentará proporcionalmente). 
 Perceba que para eu saber o valor de “a” num determinado momento, devo dividir o módulo da força nesse momento pela massa do corpo (a = ). 
Resolução:
 Nos dois primeiros segundos de movimento a força é 75 N, logo nesses dois primeiros segundos a aceleração será 75 dividido pela massa do corpo: 75/5 = 15. Veja no gráfico abaixo que nos dois primeiros segundos a aceleração ficou 15 m/s2. 
 Note que se a partir do terceiro segundo a força caiu. A aceleração também cairá proporcionalmente (pois = m..
 No instante de 4 s, o gráfico da questão mostra que a força passou a ser 0. Se a força passou a ser 0, a aceleração também será.
 A variação de velocidade é a área do trapézio, e vale 45 m/s. Como a velocidade inicial v0 é 7 m/s, a velocidade v no instante 4 segundos será:
45 = V – V0 
45 = V – 7 
V = 52 m/s
 A área sob o gráfico dá a velocidade entre os instantes 0 segundos e 4 segundos, que é o período que a força atua. A Força média será o produto da massa pela aceleração média. A massa é 5 kg e a aceleração média é dada pela fórmula (como visto em MU e MUV):
am = 
am = = m/s2
Fm = m . am Fm = 5 . = N
Exercício 05
Um automóvel de massa igual a 1200 kg está inicialmente em repouso sobre uma estrada plana horizontal. A partir do instante t = 0, o automóvel começa a acelerar em linha reta, de modo que a resultante de todas as forças que atuam sobre ele tem intensidade variável de acordo com o gráfico.
a) Construa outro gráfico: o da aceleração em função do tempo. 
Como discutido na questão anterior, se a força aumenta a aceleração aumenta proporcinalmente, já que a massa permanece constante.
Como na questão a força aumenta linearmente a partir do zero, a aceleração também irá aumentar linearmente a partir do zero. 
No instante 15 s a força será 3600 N, então a aceleração será a = = 3 m/s2.
b) Qual é a velocidade do automóvel no instante t = 20 segundos?
No instante t = 20 s o automóvel não está mais acelerando, ou seja, sua velociadde passou a ser constante. Para saber seu valor basta calcular a área sob o gráfico.
V = = = 30 m/s
c) Calcule o valor médio da resultante . 
Fm = m . am am = = = m/s2
Fm = 1200 . 
Fm = 1800 N
Força peso
A segunda lei de Newton diz que a força é o produto da massa e aceleração. A força peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade.
 = m . 
Nota: Eventualmente você pode se deparar com a unidade kgf como unidade de força.
1 kgf = 10 N
Exercício 06
(F. M. ABC-SP) Um corpo de massa 3 kg move-se sobre uma supefície horizontal lisa, com velocidade v0 no instante t = 0. Aplica-se ao corpo uma força de 18 N em sentido contrário ao do movimento. Esta força reduz v0 à metade de seu valor, enquanto o corpo percorre 9 m.
a) Qual o valor de V0?
 = m . 18 = 3 . a a = 6 m/s2
A aceleração será negativa, pois o movimento é progressivo retardado.
Aplicando Torricelli:
v2 = v02 + 2a∆S
()2 = v02 + 2.(-6).9
 = v0 – 108
 - v02 = -108
 = -108
V0 = 12 m/s
b) Qual o intervalo de tempo gasto para percorrer os 9 metros?
Basta usar a equação horária das abscissas (equação dos espaços). 
Exercício 07
(Cesgranrio-RJ) Durante as comemorações do “tetra”, um torcedor montou um dispositivo para soltar um foguete, colocando o foguete em uma calha vertical que lhe serviu de guia durante os instantes iniciais da subida. Inicialmente, a massa de combustível correspondia a 60% da massa total do foguete. 
Porém, a queima do combustível, que não deixou resíduos e provocou uma força vertical constante de 1,8 N, fez com que a massa total decrescesse, uniformemente, de acordo com o gráfico a seguir. 
Considerando t = 0,0 s, o instante em que o combustível começou a queimar, então o foguete passou a se mover a partir do instante:
a) 0,0 s	 b) 1,0 s	 c) 2,0 s	d) 4,0 s
Resolução:
Para o foguete se mover a força exercida contra o solo (1,8N) tem que ser maior que a força peso do foguete. 
1,8 > m . 10 m/s2
m < 
m < 0,18 kg
Logo, o foguete passou a se mover quando sua massa passou a ser de 0,18 kg ou 180g. 
O gráfico é do primeiro grau, então terá a forma:
y = ax + b
Lembre-se da aula de função do primeiro grau. “a” é a taxa de variação ou coeficiente angular, ele é obtido dividindo a variação no eixo y pela variação no eixo x. E “b” é o ponto que o gráfico corta o eixo y. Fica então:
Y = -20x + 200
Quando a massa for 180 g (ou seja, quando y valer 180), x (o tempo) será:
y = -20x + 200
180 = -20x + 200
x = 1 s
Leis de Newton: Terceira Lei de Newton
Se um corpo A aplicar uma força sobre um corpo B, receberá deste uma força de mesma intensidade, mesma direção e de sentido contrário, logo podemos concluir que: toda ação provoca uma reação de mesmo valor, mesma direção e sentido oposto (essas forças de ação e reação não se anulam, pois elas atuam em corpos distintos).
Ex: quando empurro um objeto com as mãos, estou exercendo uma força sobre o objeto e ao mesmo tempo esse objeto está exercendo uma força de mesma intensidade sobre as minhas mãos.
Ex.2: quando estou andando, meu pé exerce uma força para trás, empurrando o chão. Ao mesmo tempo o chão exerce uma força sobre meu pé, permitindo que eu ande. 
Exercício 
(Enem 2012) Durante uma faxina, a mãe pediu que o filho a ajudasse, deslocando um móvel para mudá-lo de lugar. Para escapar da tarefa, o filho disse ter aprendido na escola que não poderia puxar o móvel, pois a Terceira Lei de Newton define que se puxar o móvel, o móvel o puxará igualmente de volta, e assim não conseguirá exercer uma força que possa colocá-lo em movimento.
Qual argumento a mãe utilizará para apontar o erro de interpretação do garoto?
a) A fora de ação é aquela exercida pelo garoto.
b) A força resultantesobre o móvel é sempre nula.
c) As forças que o chão exerce sobre o garoto se anulam.
d) A força de ação é um pouco maior que a força de reação
e) O par de forças de ação e reação não atua em um mesmo corpo.
Resolução
Como o par de forças atuam em corpos diferentes elas não se anulam. Então, eventualmente as força pode causar efeitos nos corpos. Pode contribuir, por exemplo, para o “rompimento” da força de atrito entre o móvel e o chão.
Força normal
Quando estou parado sobre uma superfície horizontal ou inclinada, essa superfície exerce uma força sobre mim. 
Essa força (qualquer força de compressão) é chamada de normal (força normal) e é sempre perpendicular a superfície de contato. 
É importante entender que a força normal não forma com o peso um par ação-reação. A reação do peso é a força da terra sobe o objeto.
A força normal, força que uma superfície plana faz sobre um corpo, forma um par ação-reação com a força de compressão – força que o corpo faz sobre a superfície plana.
Força de Tração
Outra força que é importante conceituar é a força de tração, que é a força que um fio exerce quando puxa um objeto.
A figura abaixo representa bem a força peso, a força normal e a força de tração:
Note que no bloco da esquerda, a força exercida sobre a superfície de contato é a força peso, logo a força normal terá o mesmo módulo da força peso, porém sentido oposto.
Na figura da direita por sua vez, a força peso é igual a soma da força normal com a força de tração. 
Exercício 08
Um automóvel de massa m = 1200 kg, com velocidade v0 = 30 m/s, bate num poste e atinge o repouso. Supondo que a colisão tenha demorado ∆t = 0,2 s, calcule a intensidade da força média exercida pelo poste sobre o automóvel durante a colisão.
Resolução:
Para calcular a força média (m) vamos supor que ela tenha sido constante e, portanto, a aceleraçaõ escalar é constante (aceleração média).
am = = = -150 m/s2
Fm = m . |am| = 1200 . 150 = 1,8 . 105 N
Exercício 09
(Unicamp-SP) As histórias de super-heróis estão repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último momento, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada caia a partir do repouso, de uma altura de 81,0 metros, e que o nosso super-herói a intercepte 1,0 metro antes de ela chegar ao solo, demorando 0,05 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é de 50 kg, despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a moça para detê-la. 
(Também farei quando estudar quantidade de movimento)
Resolução
A moça irá cair por 80m, e na altura de 1 metro o herói irá interceptá-la, levando apenas 0,05 s para parar o seu movimento. A massa da moça sei quanto vale, resta saber a aceleração (desaceleração) da moça, após o herói interceptá-la.
a = = = 
É preciso calcular a velocidade inicial da moça, quando o herói a intercepta. Para isso devo usar Torricelli para calcular a sua velocidade depois de ela ter caido 80 metros.
V2 = V02 + 2α∆s
V2 = 0 + 2 . 10 . 80
V = 40 m/s
Com a velocidade inicial durante a interceptação sendo 40 m/s, a aceleração será:
a = = = = 800
FR = m . a
FR = 40 . 800
FR = 40000 N
Mas ainda devo somar esse valor a força peso da moça. A resposta será então: 40500 N.
Elevadores em movimento vertical
Se subirmos numa balança (uma que mede o peso e não a massa) dentro de um elevador, o peso medido será de fato o produto da nossa massa pelo aceleração da gravidade. Mas se o elevador passar a se movimentar, a balança não marcará o nosso peso, mas outro valor, que é chamado peso aparente. 
Vamos fazer um exercício mental: vamos supor que um elevador esteja parado e nós estejamos parados dentro desse elevador. Nessa situação, exerceremos uma força sobre o “solo” do elevador, que é o nosso peso, e, ao mesmo tempo, o elevador exercerá uma força de mesma intensidade sobre nossos pés, que é a força normal. 
Se o elevador passar a se movimentar para cima por exemplo, sentiremos que a força que o “solo” do elevador exerce sobre nossos pés aumenta (ou seja, a força normal aumenta). Nessa situação a força normal, é maior que o nosso peso. Como essas forças possuem sentidos contrários, a força resultante será a subtração do módulo das duas forças: FR = FN – P. 
Dependendo de o elevador está subindo ou descendo, acelerando ou retardando, o “cálculo” da força resultante varia. 
Exercício 10
Um indivíduo de massa 70 kg está sobre uma balança do tipo usado em famácias, dentro de um elevador numa região em que g = 10 m/s2. 
Supondo que o mostrador da balança esteja graduado em newtons, calcule a indicação da balança quando:
a) o elevador está em repouso;
Quando o elevador estiver em repouso a marcação da balança será o peso do indivíduo: P = m.a = 70.10 = 700 N
b) o elevador sobe com velocidade constante; 
Se o elevador não está acelerando, a aceleração evolvida será apenas a gravidade, logo a resposta pra esse ítem também é 700 N.
c) o elevador sobe acelerado, tendo a aceleração módulo igual a 3 m/s2;
Se ele sobe acelerado, a força normal é maior que a força peso, logo a força resultante será FR = FN – P. Então a força normal será:
FN = FR + P
FN = ma + mg
FN = m (g+a)
FN = 70 (10 + 3)
FN = 910 N
d) o elevador sobe retardando, sendo o módulo da aceleração igual a 3 m/s2;
Se ele sobe retardando a força peso é maior que a força normal. Então FR = P - FN. 
FN = P – FR
FN = mg - ma
FN = m (g-a)
FN = 70 (10 – 3)
FN = 490 N
e) o elevador desce acelerado, sendo o módulo da aceleração igual a 3 m/s2;
Se ele desce acelerado a força normal é menor que a força peso. E como visto no item anterior se a força normal é menor que a força peso, a força normal é 490 N.
f) o elevador desce retardado, sendo o módulo da aceleração igual a 3 m/s2.
Quando o elevador desce retardado a força normal é maior que a força peso, e como visto no item c, a força normal vale 910 N, nessa situação. 
g) o elevador cai em queda livre;
Quando o elevador cai em queda livre, está descendo acelerado, no caso, em queda livre, a = g. Então:
FN = P – FR
FN = mg - ma
FN = m (g-a)
FN = 70 (10 - 10)
FN = 0
Exercício 11
Um corpo de massa igual a 4 kg está pendurado em um dinamômetro que está fixo no teto de um elevador, numa região em que g = 10 m/s2. Uma pessoa, dentro do elevador, observa que o ponteiro do dinamômetro assinala 48 N. Quais os movimentos possíveis? Qual é o módulo da aceleração do elevador? 
Resolução:
O peso do bloco é a gravidade vezes a massa, ou seja, 40 N. Se a marcação do dinamômetro é 48 N, é porque o elevador sobe acelerado ou desce retardado. O módulo da aceleração do elevador é calculado assim:
FN = m (g+a)
48 = 4 (10+a)
a = 2 m/s2
Sistema de corpos
Muitas vezes acontece de estarmos interessados em estudar o movimento não de um único corpo, mas de um conjunto de corpos.
Exemplo:
]
Na figura é aplicado uma força horizontal de 21 N sobre dois blocos de massa 4 kg e 3 kg. Note que em cada bloco atua uma força peso e uma força normal. Usando a segunda lei de Newton, calculamos a aceleração do sistema:
F = m . a 21 = (4+3) . a a = 3 m/s2
Vamos agora analisar a intensidade da força que o bloco A exerce no bloco B, veja a imagem. 
A resultante das forças sobre b é 1:
F1 = mB . a = (3 kg)(3 m/s2) = 9 N
Se quiséssemos, poderiamos ter considerado separadamente o bloco A, que está sob a ação de duas forças 1 e - 1. Aplicando a ele a Segunda Lei de Newton:
F – F1 = mA . a 21 – F1 = (4) (3) F1 = 9 N
Exercício 12
(Vunesp-SP) 
A figura mostra dois blocos sobre uma mesa lisa, plana e horizontal. Sendo F = 5 N, m1 = 2,0 kg e m2 = 3 kg, a força de contato entre os blocos tem intensidade igual a: 
a) 1,7 N b) 2,0	 c) 2,5 N d) 3,0 N	e) 5,0 N
Resolução
O bloco A aplica bloco B uma força F1; pela lei da ação e reação B aplica sobre o bloco A essa mesma força F1, mas em sentido oposto.
F – F1 = mA . a
F1 = mB . a
Resolvendo o sistema:
F = (mA + mB) . a
5 = 5a
a = 1 m/s2
Substituindo na segunda equação:
F1 = mB .a
F1 = 3 . 1 = 3 N
Exercício 13
(FCMSC-SP) Uma corda vertical pode suportar uma força máxima de tração de 800 N. Para que um indivíduo de peso igual a 1000 N e massa igual a 100 kg possa descer escorregando por essa corda sem rompê-la, deverá ter aceleração no mínimo de:
a) 1,0 m/s2 b) 2,0 m/s2 c) 8,0 m/s2 d) 9,8 m/s2
Resolução: 
Se a corda suporta no máximo 800 N, o peso aparente do indivíduo deve ter no máximo esse valor (800 N). Para que o peso aparente tenha esse valor, ele precisa descer acelerando.
F = m (g-a)
800 = 100 (10-a)
800 = 1000 – 100a
- 200 = -100a
a = 2 m/s2
Exercício 14
(Fuvest-SP) Uma pessoa segura uma esfera A de 1 kg que está presa numa corda inextensível C de 200 g, a qual, por sua vez, tem presa na outra extremidade uma esfera b de 3,0 kg. Como se vê na figura.
A pessoa solta a esfera A. Enquanto o sistema estiver caindo e desprezando-se a resistência do ar, podemos afirmar que a tensão na corda vale:
a) Zero b) 2 N	 c) 10 N d) 20 N e) 30 N
Resolução
Na esfera de baixo o peso aponta para baixo e a tração aponta para cima, então subtraio:
P - T = m. a
30 - T = 3 a ( I )
Na esfera de cima tanto o peso como a tração apontam para baixo, então a força resultante será a soma das duas forças:
P’ + T = m’ a
10 + T = 1 a ( I I )
Somando ( I ) e ( II ):
30 + 10 = 4 a
40 = 4 a
a = 10 m/s²
Substituindo a = 10 na equação 2:
10 + T = 10
T = 10 – 10 = 0
Ou, substituindo na equação ( I )
30 – T = 30
30 – 30 = T
T = 0
Exercício 15
Dois blocos d
e massa m1 = 2 kg e m2 = 4 kg são ligados por um fio ideal, conforme mostra a figura. 
Um segundo fio é ligado ao bloco superior. Aplica-se ao segundo fio uma força . 
Pede-se a intensidade da força F para que a aceleração dos blocos seja dirigida para cima e igual a 2 m/s2. Neste caso, qual é a força tensora (T) no fio entre os blocos? (dado g = 10 m/s²).
Resolução:
Para calcular a força F, podemos juntar os blocos e considerar que essa força puxa um bloco de 6 kg (soma das massas):
FR = m . a
Veja que F puxa o bloco para cima, e o peso aponta para o centro da terra. Como a aceleração está para cima, a força F é maior que o peso, logo a resultante é F - P:
F - P = m . a
F - (6 . 10) = 6 . 2
F - 60 = 12
F = 72 N
Olhe para o bloco 1 agora. A força F = 72 N o puxa para cima, e o peso e a tração do fio o puxam para baixo, logo a resultante é 72 - P - T, e o P, no caso, é o peso do bloco 1:
FR = m . a
F – P – T = m . a
72 – (2 . 10) – T = 2 . 2
72 – 20 – T = 4
52 – 4 = T
T = 48 N
Mas eu poderia pensar de outra forma supondo que uma força x qualquer puxa o bloco m2 pra cima, enquanto que o peso puxa esse bloco para baixo. Então ficaria:
FR = m2 . a
x – P = m2 . a 
x - 40 = 4 . 2
x = 8 + 40
x = 48 N
No caso, a força x qualquer que puxa o bloco m2 é a tração.