Estatística - Unid 4 - Distribuições de Probabilidade

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Estatística para Engenharia Civil
Unidade 4
Prof. Uendel Diego da Silva Alves
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Unidade 4
Distribuições de Probabilidades
Prof. Uendel Diego da Silva Alves
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Distribuições de Probabilidades
No contexto da probabilidade estatística, temos como principais distribuições de probabilidades as seguintes:
Bernoulli
Geométrica
Binomial
Poisson
Normal
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli é a mais básica das distribuições, mas é a base para todas as demais distribuições.
Temos experimento aleatório (existe a incerteza)
Realizado repetidas vezes (tentativas)
Mantidas as mesmas condições, teremos sempre dois resultados:
Sucesso
Fracasso
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Bernoulli
Esperança e Variância:
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição Geométrica
Consideremos tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento aleatório.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade e fracasso com probabilidade .
Seja o nº de tentativas necessárias ao aparecimento do 1º sucesso
Logo, assume os valores:
, que corresponde ao sucesso e 
, que corresponde ao fracasso na 1ª tentativa e ao sucesso na 2ª tentativa, , e 
, que corresponde a e 
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição Geométrica
, que corresponde a , com
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Binomial
Consideremos tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório.
Cada tentativa admite apenas dois resultados:
Fracasso, com probabilidades 
Sucesso, com probabilidade 
As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa.
Seja número de sucessos em tentativas.
Determinaremos a função de probabilidades da variável , isto é, .
Um resultado particular :
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Binomial
Considerando todas as -uplas com sucessos, temos:
A variável tem distribuição binomial, com parâmetros e , e a indicaremos pela notação
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Binomial
 provas independentes
Sucesso ou fracasso (Bernoulli)
Suponha que, ao lançar uma moeda repetidas vezes, desejo calcular a probabilidade de se obter exatamente uma quantidade n de caras e em seguida uma quantidade n de coroas.
 nesta ordem!
Se tivermos diversas ordens, poderemos ter, por exemplo:
S,F,F,S,F,S,S,S,F ...
F,S,S,F,S,F,S,S,S ...
Diversas ordens
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Binomial
... onde 
Esperança e Variância:
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Distribuições de Probabilidades
Aproximação da Binomial Poisson
Muitas vezes, no uso da distribuição binomial, acontece que é muito grande , e é muito pequeno .
Nesses casos, não encontramos o valor em tabelas, ou então o cálculo torna-se muito difícil, sendo necessário o uso de máquinas específicas.
Podemos então fazer uma aproximação da binomial pela distribuição de Poisson. Consideremos:
1. 	(maior que o maior valor da tabela, )
2. 	()
3. 
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Distribuições de Probabilidades
Aproximação da Binomial Poisson
Quando isto ocorre, a média será tomada como .
E a distribuição de Poisson será dada por:
Hipóteses para uma distribuição de Poisson
Eventos estão definidos em intervalos não sobrepostos, sendo, portanto, independentes.
 é a média, e esta média é constante no intervalo estudado.
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Distribuições de Probabilidades
Aproximação da Binomial Poisson
Exemplos
Carros que passam por um cruzamento por minuto durante certa hora do dia.
Erros por página em um material impresso.
Defeitos por unidade .
Colônia de bactérias numa cultura por , numa plaqueta de microscópio.
Mortes por ataque de coração por ano, numa cidade.
Problemas de filas de espera em geral.
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Distribuições de Probabilidades
Aproximação da Binomial Poisson
Exemplos
Seja . Calcular usando binomial e aproximação pela Poisson.
A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é . Numa instalação com lâmpadas, qual a probabilidade de lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Poisson
Consideremos a probabilidade de sucesso em um determinado intervalo.
A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo.
A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação probabilidade de um sucesso.
Seja o número de sucessos no intervalo. Então:
Onde é a média...
E a variância também será .
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Distribuições de Probabilidades
Distribuição de Poisson
Exemplos:
Em um livro de engenharia de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página deste livro contenha pelo menos 3 erros?
Um call center recebe 300 a cada hora. Calcule as probabilidades seguintes:
a) Que em um minuto não haja nenhum chamado.
b) Em dois minutos haja duas chamadas.
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