P2_2010.1 gabarito

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Departamento de Economia - Puc-Rio -2010.1
Disciplina: Teoria Microeconômica-II - EC01214
Prof. Eduardo Fiuza
Aluno: ________________________________________. Matrícula: ___________
Exame P2
QUESTÃO 1 (2,5): Responda verdadeiro ou falso e justi…que brevemente. Podem ser usados
grá…cos.
a) A diferença entre o equivalente-certeza e o payo¤ esperado de um agente numa escolha sob
incerteza independe do seu grau de aversão ao risco.
Falso. Veja a Nota de Aula 2. Na p.6, vemos que esta diferença é justamente o negativo do prêmio
de risco S, que é de…nido como
S = E[w]� EC
onde E[w] é o payo¤ esperado. Na p.7: "sinal positivo do prêmio de risco S re‡ete aversão ao risco
1
"; p.8: "sinal negativo do prêmio de risco S re‡ete propensão ao risco ; p.9: "Sinal nulo do prêmio
de risco S re‡ete indiferença ao risco". Ora, o sinal do grau de aversão ao risco é o oposto da segunda
2
derivada da utilidade de Bernoulli. Logo:
i) quando o agente é avesso ao risco (utilidade de Bernoulli côncava), sua aversão é positiva )
prêmio de risco positivo ) diferença entre EC e payo¤ esperado negativa.
ii)quando o agente é propenso ao risco (utilidade de Bernoulli convexa), sua aversão é negativa )
prêmio de risco negativo ) diferença entre EC e payo¤ esperado positiva.
iii) quando o agente é neutro ao risco (utilidade de Bernoulli convexa), sua aversão é nula ) prêmio
de risco nulo ) diferença entre EC e payo¤ esperado nula.
b) Considere o jogo abaixo:
jogador 2
L R
jogador 1
T
M
B
24 3;_ 0;_0;_ 3;_
1;_ 1;_
35
A estratégia B não é estritamente dominada por nenhuma estratégia pura do jogador 1. Logo,
também não será estritamente dominada por nenhuma estratégia mista deste jogador.
Falso. Uma estratégia mista que atribua probabilidade 1/2 a T e 1/2 a M domina a estratégia B.
c) Suponha que um monopolista discriminador de preços segmenta seu mercado entre consumidores
de alta e baixa renda. Logo, a …m de extrair o máximo de excedente de cada mercado, o monopolista
pode e deve cobrar um preço maior dos consumidores mais ricos.
Verdadeiro, se admitirmos que os consumidores de alta renda têm elasticidade-preço mais baixa.
d) Um mercado organizado na forma de oligopólio sempre gera uma produção menor que a produção
Pareto-e…ciente.
Falso. No modelo de Bertrand, P=CMg ) maximiza-se o bem-estar.
e) Suponha duas …rmas A e B com funções de custo total dadas por
CA = 20y
2
CB = 3y
2
A produção de um cartel formado por estas …rmas é gerada pela …rma com menor custo marginal para
qualquer nível de produção.
3
Verdadeiro. Para qualquer nível de produção positivo, o custo de produção da …rma B é menor.
QUESTÃO 2 (3,0): Considere uma economia com dois indivíduos (i = A;B); dois bens (j = X; Y )
e um fator de produção (L). A função de utilidade dos indivíduos é dada por
UA (XA; YA) = (XA)
0:5 (YA)
0:5
UB (XB; YB) = (XB)
0:5 (YB)
0:5
onde Xi e Yi (i = A;B) são os níveis de consumo dos bens X e Y pelo indivíduo i.
Cada bem é produzido por apenas uma …rma. As funções de produção das …rmas que produzem os
bens X e Y são dadas, respectivamente, por
QX = FX (LX) = 2
p
LX
QY = FY (LY ) = LY
onde Lj é a quantidade de fator L empregada na produção do bem j (j = X; Y ) e Qj é a produção do
bem j (j = X;Y ):
O indivíduo B é dotado com 12 unidades do fator L e é o único proprietário da …rma que produz o
bem Y. Por sua vez, o indívíduo A não recebe dotação do fator L e é o único proprietário da …rma que
produx o bem X.
Lembre-se que uma alocação nesta economia é um vetor (XA; XB; YA; YB; LX ; LY ) que especi…ca o
consumo de cada bem pelos indivíduos e a quantidade de fator empregada para a produção de cada
bem.
a) Determine a fronteira (curva) de possibilidades de produção.
LB = 12; LA = 0; �
Y
A = �
X
B = 0; �
Y
B = �
X
A = 1:
Restrição de factibilidade:
LX+LY= 12 : (1)
Ora, o requerimento de trabalho das duas …rmas como funções das quantidade produzidas são:
LX =
�
QX
2
�2
LY = QY
Substituindo de volta em (1): �
QX
2
�2
+QY= 12 : (2)
Assim, a FPP é:
T (QX ; QY )= Q
2
X+4QY�48 = 0 (3)
b) Determine a taxa marginal de transformação da economia.
TMT é a inclinação da FPP.
TMT =
dQY
dQX
=
�@Ui=@QX
@Ui=@QY
=
2QX
4
=
QX
2
c) Determine todas as as condições para que uma alocação seja Pareto-e…ciente.
I. Factibilidade de produção/FPP: (3)
II. Tangência das curvas de indiferença e igualdade com a TMT:
4
dYi
dXi
=
�@Ui=@Xi
@Ui=@Yi
=
1
2
Y
1=2
i
X
1=2
i
1
2
X
1=2
i
Y
1=2
i
=
Yi
Xi
TMT =
QX
2
=
YA
XA
=
YB
XB
= TMS
III. Factibilidade de consumo:
XA +XB = QX
YA + YB = QY
(4)
d) Determine os preços e a alocação de equilíbrio de mercado competitivo, supondo que o fator L é
o numerário da economia, ou seja, pL = 1.
I.Firma X:
max
LX
pX �2
p
LX�LX
CPO:
pXp
LX
= 1 ) LX= P2X) QX= 2
q
P 2X= 2PX (5)
II.Firma Y:
max
LY
�Y = pY �LY�LY
CPO:
pY= 1
(1)z}|{) LY= 12 � P2X
Note que substituindo de volta pY na função-objetivo, obtemos:
��Y = 1�QY�LY = 1�LY�LY = 0 (6)
Indivíduo A:
max
XA;YA
(XA � YA)1=2
s:a: PXXA + PY YA = PXQX � LX (7)
Combinando as CPO:
1
2
Y
1=2
A
X
1=2
A
1
2
X
1=2
A
Y
1=2
A
=
�APX
�APY
) YA
XA
=
PX
PY
(8)
Substituindo (8) e (5)em (7):
5
2 � PX �XA = PX � (2PX)� P 2X
ou:
XA = PX � PX
2
=
PX
2
(9)
No indivíduo B:
max
XB ;YB
(XB � YB)1=2
s:a: PXXB + PY YB = PY �QY � LY + 12 (10)
Combinando as CPO:
1
2
Y
1=2
B
X
1=2
B
1
2
X
1=2
B
Y
1=2
B
=
�BPX
�BPY
) YB
XB
=
PX
PY
(11)
Substituindo (11) e (6)em (10):
2 � PX �XB = PY �QY � LY| {z }
=0
+ 12
XB =
12
2PX
(12)
Substituindo ( 5),(9) e (12) em (4):
1
2
PX +
12
2PX
= 2PX
Resolvendo para PX :
PX = 2
Logo: XA = 1 e XB = 124 = 3:
Substituindo de volta em (8):
PY YA = PXXA ) YA = 2 � 1
1
= 2
e em (11):
PY YB = PXXB ) YB = 2 � 3
1
= 6
que atendem também à restrição de factibilidade de consumo, pois
YA + YB = QY = 12� P 2X = 8
6
QUESTÃO 3 (1,5): Um apicultor mora nas adjacências de uma plantação de maçãs. A função
custo do apicultor é dada por
CA =
A2
100
onde A é a produção de mel em litros. A função custo do plantador de maçãs é dada por
CM =
M2
100
� A
onde M é a produção de maçãs em quilos. Suponha que o preço do mel seja 2 por litro, enquanto o
preço da maçã seja 3 por quilo. Ambos os produtores tomam estes preços como dados.
a) Compare os níveis de produção e…cientes de Pareto com os níveis de produção quando as …rmas
maximizam seus lucros individualmente.
Apicultor:
max
A
2A� A
2
100
CPO:
2� 2A
100
= 0 ) A = 100
Fruticultor:
max
A
3M�M
2
100
+100
CPO:
3�2M
100
= 0 ) M = 150
Maximização conjunta:
max
A
2A� A
2
100
+ 3M�M
2
100
+A
CPO:
2� 2A
100
+ 1= 0 ) A = 150
3�2M
100
= 0 ) M = 150
Portanto há uma produção ine…ciente de mel devido à separação entre as …rmas e à exterrnalidade
de produção causada pela polinização das abelhas.
b) Descreva como a ine…ciência gerada pela externalidade, se houver, pode ser corrigida através de
um imposto (ou subsídio). Qual o nível do imposto (ou subsídio)?
Seja o subsídio s à produção de mel. Agora o apicultor vai resolver o seguinte problema de maxi-
mização.
max
A
2A� A
2
100
+ sA
7
CPO:
2� 2A
100
+ s= 0
Para atingir o nível ótimo de produção de mel, resolvemos para A = 100. Então:
s = 1
c) Suponha que existe um mercado para a externalidade. Suponha também que o apicultor tem
o direito de produzir qualquer quantidade de mel. Calcule o preço e as quantidades produzidas no
equilíbrio competitivo. Veri…que se Pareto-e…ciência é alcançada.
8
Se há um mercado para a externalidade, chamemos o preço cobrado de p. Agora os problemas de
maximização são:
Apicultor:
max
A
2A� A
2
100
+ pA
CPO:
2� 2A
100
+ p= 0
Fruticultor:
max
A
3M�M
2
100
+A� pA
CPO:
3�2M
100
= 0 ) M = 150
9
1 � p = 0 ) p = 1
Note que, com p = 1 (igual ao subsídio), restabelece-se o nível Pareto-e…ciente de produção de mel.
QUESTÃO 4 (1,0): Considere uma economia com dois indivíduos (1 e 2), um bem privado
(dinheiro) e um bem público. As funções de utilidade dos indivíduos são:
U1 (d1; G) = d1 + 2 lnG
U2 (d2; G)= d2 + 2 lnG
onde:
wi =riqueza inicial de i
di =quantidade de dinheiro consumida por i
G =quantidade do bem público
Cada unidade do bem público custa uma unidade de dinheiro
Assuma que w1 = 2 e w2 = 2
a) Calcule a produção e…ciente do bem público (no sentido de Pareto).
A condição de Boven-Lindahl-Samuelson diz que:
@U1=@G
@U1=@d1
+
@U2=@G
@U2=@d2
= CMgG = 1
Substituindo as devidas derivadas:
2
G
+
2
G
= 1
ou:
G = 4
b) Suponha que os indivíduos decidem descentralizadamente quanto comprar do bem público num
mercado competitivo (provisão privada do bem público). Sejam �g1 > 0 e �g2 > 0 as quantidades
compradas pelos indivíduos 1 e 2 em equilíbrio. A provisão total do bem público �G = �g1 + �g2 é Pareto-
e…ciente? Prove.
Veja seção 3.5 da Nota de Aula 26. Pela equação (34), vimos que:
bi
G
� 1 (13)
onde b1 = b2 = 2:Com preferências quase-lineares e utilidades marginais iguais, ambos contribuem.
Portanto G = 2) g1 = g2 = 1:
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QUESTÃO 5 (2,0): Considere uma sociedade com N agentes e seja X um conjunto de alternativas
para essa sociedade. Cada agente tem um conjunto de possíveis relações de preferências racionais
(completas e transitivas) sobre X. Uma forma da sociedade escolher entre alternativas em X é dada pela
regra do voto majoritário: a alternativa z é socialmente preferível à alternativa y se 50% ou mais das
pessoas preferem z a y. Dado isso, responda ao que se pede:
a ) A preferência social descrita acima é completa? É transitiva?
Lembrando: a preferência individual é completa quando o indivíduo, diante de duas alternativas x e
z, tem x � z ou z � x, ou ambos (os chamados indiferentes). Ora, suponha que existem três grupos de
eleitores com tamanhos exatamente iguais: os que preferem estritamente z, os que preferem estritamente
x e os que são indiferentes. Neste caso, a votação vai depender dos indiferentes. Se eles se omitirem ou
votarem nulo, a votação não terá vencedor, logo a preferência não é completa.
Ela também não é transitiva. No exemplo abaixo, a maioria (2/3) prefere z � x estritamente, e
a maioria (também 2/3) prefere x � y, mas não se segue daí que a maioria pre…ra z � y, como a
transitividade exigiria. Pelo contrário, temos que a maioria prefere y � z.
b ) Considere uma economia com três agentes votantes e três alternativas, e suponha que as prefer-
ências dos indivíduos sejam como descrito abaixo (onde (>) se refere a preferência estrita):
1: z > x > y
2: y > z > x
3: x > y > z
Suponha o seguinte esquema de votação: vota-se primeiro z contra x, e depois vota-se o vencedor
da primeira etapa contra y (sempre segundo a regra do voto majoritário). Qual alternativa deve ser
selecionada?
Como vimos, a maioria prefere z a x, portanto é z que será escolhido no primeiro turno. Mas,
também como vimos, a maioria prefere y a z, portanto o vencedor …nal é y.
c) Suponha que vale o mesmo esquema de votação acima e as preferências também são as mesmas.
Cada agente (1,2,3) conhece as suas preferências e as dos demais. Assuma, no entanto, que o agente que
organiza o esquema de votação não conhece as preferências dos agentes. Nesse caso, a regra de escolha
continua sendo selecionar em cada etapa a alternativa que recebeu mais de 50% dos votos, o ponto
central é que agora a alternativa em que um agente vota em uma dada etapa não necessariamente é a
alternativa que ele prefere (votação estratégica). Nesse caso, a alternativa selecionada é diferente daquela
obtida no item anterior? Em caso a…rmativo, identi…que o agente que se comporta estrategicamente.
Note que o segundo agente já obtém a sua alternativa preferida sem votar estrategicamente, então
não será ele que mudará seu voto. O terceiro agente, se votar em z em vez de x, não muda nada
no segundo turno. Agora note o indivíduo 1: ele sai perdendo no …nal se y for selecionada, pois é a
alternativa que ele menos prefere. Assim, ele pode votar estrategicamente em x no primeiro turno, pois
no segundo turno, ninguém tem incentivos a desviar, e todos votam em suas alternativas preferidas.
Neste caso, x enfrentaria y, e sairia ganhando. O indivíduo 1 conseguiria, então, direcionar a votação
para a escolha social de x, votando no primeiro turno numa alternativa.
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