Nota de Aula 03 - Teoria da Escolha c Incerteza Aplicações

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
MICROECONOMIA II
Profs. Marcos Antonio C. da Silveira e Eduardo P. S. Fiuza
Nota de Aula 3
Teoria da Escolha com Incerteza: Aplicações
Bibliogra…a: Varian, capítulo 12 e 13
1 Aplicação: Risco dos Ativos Financeiros
� Problema de escolha de portifólio na presença de renda do trabalho
� Existem dois cenários para economia:
– cenário bom (crescimento): probabilidade 50%
– cenário ruim (recessão): probabilidade 50%
� Salário de João tem a seguinte distribuição de probabilidade:
wL =
�
$100 c/prob. 0,5 (crescimento)
$0 c/prob. 0,5 (recessão)
� Suponha que existem três ativos …nanceiros disponíveis: ação, dólar e poupança
� Retorno da ação: RA
RA =
�
0; 10 (10%) c/prob. 0,5 (crescimento)
0 (0%) c/prob. 0,5 (recessão)
� Retorno da poupança: RP = 0,05 (5%) nos dois cenários, ou seja, c/ prob.=1
� Retorno do dólar: RD
RD =
�
0 (0%) 0,5 (crescimento)
0; 10 (10%) c/prob. 0,5 (recessão)
� Importante observar que:
– retornos dos ativos c/ mesmo valor esperado
E [RA] = E [RP ] = E [RD]
– retornos da ação e do dólar c/mesma variância
V ar [RA] = V ar [RD] > V ar [RP ] = 0
– retornos dos ativos diferem na covariância c/ salário
Cov [RA; w] > 0; Cov [RP ; w] = 0; Cov [RD; w] < 0
� João tem riqueza corrente (resultado de economias passadas) w0 = $1000
� Riqueza corrente pode ser aplicada em apenas um destes três ativos (hipótese irreal-
ista, apenas didática)
1
� Pergunta: em que ativo João aplicaria sua riqueza inicial?
� Observe que cada portifólio é uma diferente loteria monetária
–Logo, escolha de portifólio é uma aplicação da teoria da escolha c/ incerteza
� Suponha que João tem uma relação de preferência % sobre o conjunto de lotarias
monetárias $ que pode ser representada por uma função v.N-M (forma da utilidade
esperada)
U : $ �! R
ou seja, existe uma função utilidade de Bernoulli
u : C �! R
tal que, para toda loteria monetária
L = (w1; w2; :::; ws; :::; wN ; �1; �2; :::; �s; :::; �N) 2 $
onde c 2 C e PNs=1 �s = 1; segue que
U(L) = �1u(w1) + �2u(w2) + :::+ �su(ws) + :::+ �Nu(wN) =
EL[u(w)]z }| {
NX
s=1
�su (ws) (1)
� Suponha que João é avesso ao risco com utilidade de Bernoulli
u (w) = lnw
� Riqueza …nal se João investe em ação wA:
wA = wL + (1 +RA)w0 =
�
100 + (1 + 0; 10)1000 = 1200 c/prob. 0,5 (crescimento)
0 + (1 + 0)1000 = 1000 c/prob. 0,5 (recessão)
LA = (1200; 1000;
1
2
;
1
2
)
E [wA] = 0; 5 � 1200 + 0; 5 � 1000 = 1100
V AR [wA] = 0; 5 � (1200� 1100)2 + 0; 5 � (1000� 1100)2 = 10000
U (LA) = 0; 5u (1200) + 0; 5u (1000) = 0; 5 ln (1200) + 0; 5 ln (1000) = 6; 999
� Riqueza …nal se João investe em poupança wP :
wP = wL + (1 +RP )w0 =
�
100 + (1 + 0; 05)1000 = 1150 c/prob. 0,5 (crescimento)
0 + (1 + 0; 05)1000 = 1050 c/prob. 0,5 (recessão)
LP = (1150; 1050;
1
2
;
1
2
)
E [wP ] = 0; 5 � 1150 + 0; 5 � 1050 = 1100
V AR [wP ] = 0; 5 � (1150� 1100)2 + 0; 5 � (1050� 1100)2 = 5000
U (LP ) = 0; 5u (1150) + 0; 5u (1050) = 0; 5 ln (1150) + 0; 5 ln (1050) = 7; 002
2
� Rriqueza …nal se João investe em dólar wD:
wD = wL + (1 +RD)w0 =
�
100 + (1 + 0)1000 = 1100 c/prob. 0,5 (crescimento)
0 + (1 + 0; 10)1000 = 1100 c/prob. 0,5 (recessão)
LD = (1100; 1100;
1
2
;
1
2
)
E [wD] = 0; 5 � 1100 + 0; 5 � 1100 = 1100
V AR [wD] = 0
U (LD) = 0; 5u (1100) + 0; 5u (1100) = 0; 5 ln (1100) + 0; 5 ln (1100) = 7; 003
� Resultado:
U (LD) > U (LP ) > U (LA), dólar � poupança � ação
Para entender este resultado, observe que:
E [wA] = E [wP ] = E [wD] = 1100
V AR [wA] > V AR [wP ] > V AR [wD]
Aversão ao risco =) Investidor investe no ativo que minimiza volatilidade de sua
riqueza …nal
� Surpresa!!!! Como explicar V AR [wP ] > V AR [wD]?
–Retorno do dólar mais volátil que retorno da poupança:
V ar [RD] > V ar [RP ] = 0
–No entanto, João avesso ao risco prefere dólar pq
V AR [wP ] > V AR [wD] = 0
–O que explica esta aparente contradição?
� Dólar oferece "hedge" (proteção) p/ João: retorno do dólar covaria negativa-
mente com renda do trabalho wL
0 = Cov [RP ; wL] > Cov [RD; wL] =) V AR [wP ] > V AR [wD]
� Logo, dólar minimiza volatilidade da riqueza …nal
–Pergunta: a volatilidade (variância ou desvio-padrão) de um ativo …nanceiro é a
medida mais adequada de seu risco?
3
2 Aplicação: Diversi…cação de Carteira de Investimentos
� Suponha no exemplo anterior que João não recebe salário e existem apenas dois ativos:
ação e dólar
–Responda: qual o melhor portifólio para João entre as três alternativas abaixo:
1. 100 % da riqueza corrente w0 investida em ação
2. 100% da riqueza corrente w0 investida em dólar
3. 50% em ação e 50% em dólar
� Alternativa 1: 100% em ação:
w1 =
�
(1 + 0; 10)1000 = 1100 c/prob. 0,5 (crescimento)
(1 + 0)1000 = 1000 c/prob. 0,5 (recessão)
L1 = (1100; 1000;
1
2
;
1
2
)
U(L1) = 0; 5u (1100) + 0; 5u (1000) = 0; 5 ln (1100) + 0; 5 ln (1000) = 6; 955
� Alternativa 2: 100% em dólar
w2 =
�
(1 + 0)1000 = 1000 c/prob. 0,5 (crescimento)
(1 + 0; 10)1000 = 1100 c/prob. 0,5 (recessão)
L2 = (1000; 1100;
1
2
;
1
2
)
U(L2) = 0; 5u (1000) + 0; 5u (1100) = 0; 5 ln (1000) + 0; 5 ln (1100) = 6; 955
� Alternativa 3: 50% em ação e 50% em dólar
w3 =
�
(1 + 0; 10)500 + (1 + 0)500 = 1050 c/prob. 0,5 (crescimento)
(1 + 0)500 + (1 + 0; 10)500 = 1050 c/prob. 0,5 (recessão)
L3 = (1050; 1050;
1
2
;
1
2
)
U(L3) = 0; 5u (1050) + 0; 5u (1050) = 0; 5 ln (1050) + 0; 5 ln (1050) = 6; 957
� Resultado:
U(L3) > U(L1) = U(L2)() alternativa 3 � alternativa 1 � alternativa 2
. Para entender este resultado, observe que:
E [w1] = E [w2] = E [w3] = 1050
V AR [w1] = V AR [w2] > V AR [w3]
4
3 Aplicação: Seguros
3.1 Descrição do Problema
� Riqueza inicial de João: W0 > 0
� Probabilidade de ocorrer um acidente: 0 < � < 1
� Perda em caso de acidente: L > 0
� Prêmio de seguro: 1 > 
 > 0
� Valor do contrato de seguro (variável de escolha): K � 0
� Riqueza …nal: W
� Riqueza …nal em caso de acidente (estado da natureza ruim):
W = W0 � L+K � 
K =
Wbz }| {
W0 � L+ (1� 
)K (2)
@Wb
@K
= 1� 
 > 0
� Riqueza …nal se não houver acidente (estado da natureza bom):
W =
Wgz }| {
W0 � 
K (3)
@Wg
@K
= �
 < 0
� Aumento em K equivale a transferência de riqueza do estado bom p/ estado ruim
� Distribuição de prob. da riqueza …nal W :
Pr
24W = Wbz }| {W0 � L+ (1� 
)K
35 = �
Pr
24W = Wgz }| {W0 � 
K
35 = 1� �
� Cada K�0 equivale a uma diferente loteria monetária para a riqueza …nal:
K ()
0@ Wbz }| {W0 � L+ (1� 
)K ; Wgz }| {W0 � 
K ; �; 1� �
1A
� Objetivo de João: escolher a quantidade ótima de seguro K�
5
3.2 Maximização da Utilidade Esperada
� Seja $ o conjunto de todas as loterias monetárias com resultados W 2 C
� Seja % a relação de preferência de João sobre $ representada pela utilidade v.N-M
U : $�! R
com utilidade de Bernoulli u (W )
� Para todo K � 0; a utilidade v.N-M da loteria0@ Wbz }| {W0 � L+ (1� 
)K ; Wgz }| {W0 � 
K ; �; 1� �
1A
é dada por
U(K) = �u
0@ Wbz }| {W0 � L+ (1� 
)K
1A+ (1� �)u
0@ Wgz }| {W0 � 
K
1A
� Objetivo do investidor: resolver o problema de otimização
max
K
U(K)z }| {
�u
0@ Wbz }| {W0 � L+ (1� 
)K
1A+ (1� �)u
0@ Wgz }| {W0 � 
K
1A (4)
� Hipóteses comportamentais: não saciedade e aversão ao risco:
u0 (W ) > 0
u00 (W ) < 0
6
3.3 Escolha Ótima: Condições Marginais de Otimização
� Derivando função (4) com respeito a K:
U 0(K) = (1� 
)�u0 (W0 � L+ (1� 
)K)� 
 (1� �)u0 (W0 � 
K) (5)
� Derivando função (5) com respeito a K:
U 00(K) = (1� 
)2 �u00 (W0 � L+ (1� 
)K) + 
2 (1� �)u00 (W0 � 
K)
� Aversão ao risco () u00 (W ) < 0 =) U(K) estritamente côncava, ou seja, para todo K
U 00(K) < 0
Conclusão: condição marginal de 1a ordem necessária e su…ciente:
� Suponha existe K� > 0
� Condição marginal de 1a ordem: escolha ótima K� > 0 satisfaz
U 0(K�) = (1� 
)�u0 (W0 � L+ (1� 
)K�)� 
 (1� �)u0 (W0 � 
K�) = 0 (6)
� Intuição para condição (6):
(1� 
)�u0 (W0 � L+ (1� 
)K�)� 
 (1� �)u0 (W0 � 
K�) = 0()
(1� 
)�u0 (W0 � L+ (1� 
)K�) = 
 (1� �)u0 (W0 � 
K�)()
TMgSz }| {
�
1� �
u0
0@ Wbz }| {W0 � L+K� � 
K�
1A
u0
0@ Wgz }| {W0 � 
K�
1A
=
preço relativoz }| {
1� 
 (7)
–Lado esquerdo:taxa marginal de substituição TMgS entre riqueza nos estados
bom Wg e ruim Wb, ou seja,...
� para cada unidade a mais de riqueza no estado ruim, TMgS é a quantidade de
riqueza no estado bom que o agente precisa renunciar para manter o bem-estar
constante
–Lado direito: 
1�
 é o preço relativo da riqueza no estado ruim em termos da
riqueza no estado bom. Por quê?
eq.(2) : Wb = W0 � L+ (1� 
)K
@Wb
@K
= 1� 
 > 0
=) �Wb = (1� 
)�K
=) �Wb = 1 =) �K = 1
1� 
eq.(3) : Wg = W0 � 
K
@Wg
@K
= �
 < 0
=) �Wg = �
�K
=) �K = 1
1� 
 =) �Wg =
�
1� 
7
3.4 Seguro Atuarialmente Justo
� Lucro da companhia de seguro:
Lucro = � (
K� �K�) + (1� �) 
K� = 
K� � �K� = (
 � �)K�
� Por de…nição, seguro atuarialmente justo: 
 = �
� Mercado competitivo =) Lucro = 0 =) 
 = �.
� Pela condição (7), seguro atuarialmente justo =)
=) u
0 (W0 � L+K� � 
K�)
u0 (W0 � 
K�) = 1
=) u0 (W0 � L+K� � 
K�) = u0 (W0 � 
K�)
=) W0 � L+K� � 
K� = W0 � 
K�
=) L = K�
� Suponha seguro não atuarialmente justo, ou seja, 
 > �? Neste caso, condição (7) =)
=) u
0 (W0 � L+K� � 
K�)
u0 (W0 � 
K�) > 1
=) u0 (W0 � L+K� � 
K�) > u0 (W0 � 
K�)
=) W0 � L+K� � 
K� < W0 � 
K�
=) �L+K� < 0
=) K� < L
8
4 Aplicação: Decisão de Carteira de Investimento
4.1 Descrição do Problema
� Decisão de portifólio: alocação da riqueza entre ativos (ou classes de ativos)
� Horizonte de investimento de um período: investimento feito em t = 0 e resultado do
investimento conhecido em t = 1
� W0 : Riqueza inicial do investidor em t=0
� Dois ativos disponíveis para investimento:
–ativo sem risco (Ex. CDI over) com retorno líquido certo Rf > 0
–ativo com risco (Ex.: ações) com retorno líquido aleatório R
� Distribuição de prob. do retorno líquido R do ativo com risco:
Pr [R = Rg] = �
Pr [R = Rb] = 1� �
0 < � < 1
Rg > Rb
� Momentos do retorno R do ativo com risco:
E [R] = �Rg + (1� �)Rb (8)
V AR [R] = � (Rg � E [R])2 + (1� �) (Rb � E [R])2
� Investidor competitivo: toma como dadas as dists. de prob. dos retornos dos ativos
� Variável de escolha do investidor: composição de portifólio entre os dois ativos
–� : proporção (%) da riqueza inicial W0 investida no ativo com risco
– 1� � : proporção (%) da riqueza inicial W0 investida no ativo sem risco
� Possíveis restrições sobre a escolha do investidor:
–� � 0 : investidor não pode vender ativo com risco
–� � 1 : investidor não pode vender ativo sem risco
� Rp: retorno líquido do portifólio =)
Rp = �R + (1� �)Rf = Rf + � (R�Rf )
–R�Rf : excesso de retorno do ativo com risco
� Momentos do retorno Rp do portifólio:
E [Rp] = �E [R] + (1� �)Rf = Rf + �E [R�Rf ]
V AR [Rp] = �
2V [R]
–E [R�Rf ]: prêmio de risco do ativo com risco
9
� W : riqueza …nal do investidor em t=1=)
W = [1 +Rp]W0
= [1 + �R + (1� �)Rf ]W0
� Distribuição de prob. da riqueza …nal W :
Pr
24W = Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
35 = �
Pr
24W = Wbz }| {(1 + �Rb + (1� �)Rf )W0
35 = 1� �
� Distribuição de prob. da riqueza …nal W determinada....
–pelas distribuições de prob. dos retornos dos ativos e....
–pela escolha de portifólio do investidor
� Cada portifólio � equivale a uma diferente loteria monetária para a riqueza …nal W :
�()
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0; Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0 ; �; 1� �
1A
� Objetivo do investidor: escolher a alocação ótima de portifólio ��
10
4.2 Objetivo do Investidor: Maximização da Utilidade Esperada
� Seja $ o conjunto de todos os portifólios, ou equivalentemente, o conjunto de todas
as loterias 0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0; Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0 ; �; 1� �
1A
� Seja % a relação de preferência do investidor sobre $
� Suponha que a relação % satisfaz as hipótese de continuidade e independência
� Logo, pelo Teorema da Utilidade Esperada, a relação % pode ser representada por
uma função utilidade v.N-M
U : $�! R
Isto signi…ca que existe uma utilidade de Bernoulli u (W ) tal que, para todo portifólio
�; equivalente à loteria0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0; Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0 ; �; 1� �
1A
a utilidade do portifólio � é dada por
U (�) = �u
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
1A+ (1� �)u
0@ Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0
1A
� Objetivo do investidor: resolver o problema de otimização
max
�
�u
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
1A+ (1� �)u
0@ Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0
1A (9)
� Hipóteses comportamentais: não saciedade e aversão ao risco:
u0 (W ) > 0 (10)
u00 (W ) < 0 (11)
� Hipótese institucional: investidor não pode vender ações =)
� � 0 (12)
11
4.3 Escolha Ótima: Condições de Otimização
� Derivando função (9) com respeito a �:
U 0 (�) = �u0
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
1A (Rg �Rf )W0
+(1� �)u
0@ Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0
1A (Rb �Rf )W0 (13)
� Derivando função (13) com respeito a �:
U 00 (�) = �u00
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
1A (Rg �Rf )2W 20
+(1� �)u00
0@ Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0
1A (Rb �Rf )2W 20
� Aversão ao risco () u(W ) estritamente côncava =) U (�) estritamente côncava, ou
seja, para todo �
U 00 (�) < 0
Conclusões:
– condição marginal de primeira ordem necessária e su…ciente para máximo global
–unicidade da solução
� Condição marginal de primeira ordem: restrição � � 0 =)
U 0 (��) = 0 se �� > 0 (14)
U 0 (��) � 0 se �� = 0 (15)
12
4.4 Caracterização da Solução Ótima
� Suponha existência de �� que resolve problema de otimização
� Avaliando U 0 (�) na eq. (13) em � = 0; segue que:
U 0 (0) = �u0 ([1 +Rf ]W0) (Rg �Rf )W0 + (1� �)u0 ([1 +Rf ]W0) (Rb �Rf )W0
= u0 ([1 +Rf ]W0)W0 f� (Rg �Rf ) + (1� �) (Rb �Rf )g (16)
Pelo resultado (8):
� (Rg �Rf ) + (1� �) (Rb �Rf ) = [�Rg + (1� �)Rb]� [�Rf + (1� �)Rf ]
= [�Rg + (1� �)Rb]�Rf
= E [R]�Rf
Substituindo resultado acima em (16):
U 0 (0) = u0 (1 +RfW0)W0 fE [R]�Rfg (17)
Hipótese de não saciedade u0(W ) > 0 e resultado (17) =)
E [R]�Rf > 0 =) U 0 (0) > 0 (18)
E [R]�Rf � 0 =) U 0 (0) � 0 (19)
� Caso 1: Suponha E [R]�Rf > 0: Neste caso, cond. marg. (14) e (18) =)
�� > 0
� Caso 2: Suponha E [R]�Rf � 0: Neste caso, cond. marg. (15) e (19) =)
�� = 0
13
4.5 Estática Comparativa
� Equivalente-certeza EC� do portifólio � :
u (EC�) = U (�) (20)
= �u
0@ Wgz }| {[1 + �Rg + (1� �)Rf ]W0
1A+ (1� �)u
0@ Wbz }| {[1 + �Rb + (1� �)Rf ]W0
1A
� Expansão de Taylor 2a ordem da eq. acima =) EC� aproximadamente igual à ex-
pressão abaixo:
EC� =
�
1 +Rf + E [R�Rf ]�� 1
2
rR ([1 +Rf ]W0)
V AR [R]
1 +Rf
�2
�
W0
– rR [W ] : coe…ciente de aversão relativa ao risco (CARR)
rR (W ) = �u
00 (W )W
u0 (W )
� Hipótese de não saciedade u0(W ) > 0 =) objetivo do investidor:
max
�
U (�) = max
�
u (EC�) = max
�
EC�
= max
�
�
1 +Rf + E [(R�Rf )]�� 1
2
rR [(1 +Rf )W0]
V AR [R]
1 +Rf
�2
�
W0
� Resolvendo o problema de otimização acima =) escolha ótima ��:
�� =
1
rR [(1 +Rf )W0]
E [R�Rf ]
V AR [R]
[1 +Rf ] (21)
� Proporção �� ótima da riqueza inicial W0 investida no ativo com risco....
–aumenta com o prêmio de risco E [(R�Rf )]
–diminui com a variância V ar [R] do retorno do ativo com risco
–diminui com o aumento do CARR rR [W ] avaliado em W = (1 +Rf )W0
14
� Repetindo resultado (21) acima:
�� =
1
rR [(1 +Rf )W0]
E [R�Rf ]
V AR [R]
[1 +Rf ]
� Efeito riqueza: proporção ótima ��....
–aumenta com W0 quando CARR rR é decrescente com W0
–decresce com W0 quando CARR rR é crescente com W0
–não varia com W0 quando CARR rR não varia com W0
� O que diz a evidência empírica quanto à relação entre CARR rR e W0?
–Forte crescimento da economia norte-americana no longo prazo: W0 "
–Preço de mercado do risco E[R�Rf ]
V AR[R]
e alocação de portifólio � não mudaram no
longo prazo com a mesma força que a economia norte-americana
–CARR rR constante sustentado pela evidência empírica.
� Utilidade de Bernoulli quadrática: não coerente com a evidência empírica
u(W ) = aW � bW 2 =) @rR(W )
@W
> 0
� Utilidade de Bernoulli potência: coerente com a evidência empírica
u(W ) =
W 1�
1� 
 =) rR(W ) = 
15
4.6 Análise Média-Variância
� Modelo-padrão de decisão de portifólio em cursos de MBA de Finanças
� W0 : riqueza inicial do investidor emt=0
� Dois ativos disponíveis para investimento:
–ativo sem risco (Ex.: CDI over) com retorno líquido certo Rf > 0
–ativo com risco (Ex.: ações) com retorno líquido aleatório R
� Distribuição de prob. do retorno líquido R do ativo com risco:
Pr [R = Rg] = �
Pr [R = Rb] = 1� �
0 < � < 1
Rg > Rb
� � : proporção (%) da riqueza inicial W0 investida no ativo com risco
� Rp: retorno líquido do portifólio
Rp = �R + (1� �)Rf = Rf + � (R�Rf )
� W : riqueza …nal em t=1
W = (1 +Rp)W0
= f1 +Rf + � (R�Rf )gW0
= (1 +Rf )W0 + � (R�Rf )W0
� Momentos da riqueza …nal W:
E [W ] = E [(1 +Rf )W0 + � (R�Rf )W0] = (1 +Rf )W0 + �
prêmio de riscoz }| {
E [R�Rf ]W0 (22)
V AR [W ] = V AR [(1 +Rf )W0 + � (R�Rf )W0] = �2V [R]W 20
=) DP [W ] = �DP [R]W0 (23)
� Hipótese de prêmio de risco positivo, ou seja, E [R�Rf ] > 0 =) trade-o¤ entre retorno
esperado e variância do portifólio
� "Restrição orçamentária " do investidor: isolando � em (23) e substituindo em (22)
=)
E [W ] = (1 +Rf )W0 +
�
DP [W ]
DP [R]W0
�
E [R�Rf ]W0
= (1 +Rf )W0 +
prz }| {
E [R�Rf ]
DP [R]
DP [W ]
onde pr = E[R�Rf ]
DP [R]
: preço de mercado do risco
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� Preferências do investidor representada pela função utilidade
F (E [W ] ; DP [W ]) = E [W ]� � (DP [W ])2
onde � > 0 : "aversão ao risco"
� Objetivo do investidor:
max
E[W ];DP [W ]
F (E[W ];DP [W ])z }| {
E [W ]� � (DP [W ])2 (24)
sujeito à restrição:
E [W ] = (1 +Rf )W0 +
E [R�Rf ]
DP [R]
DP [W ]
� Derivação do portifólio ótimo �� :
–Substituindo (22) e (23) em (24):
max
�
F (E[W ];DP [W ])z }| {
(1 +Rf )W0 + �E [R�Rf ]W0 � ��2DP [R]2W 20
–Condição marginal de primeira ordem:
E [R�Rf ]W0 � 2���DP [R]2W 20 = 0
=) �� = 1
2�
E [R�Rf ]W0
DP [R]2W 20
=
1
2�
E [R�Rf ]
V [R]W0
� Por que análise média-variância é restritiva?
–Análise média-variância:
max
�
F (E [W ] ; DP [W ])
–Maximização da utilidade esperada:
max
�
E [u(W )]
–Expansão de Taylor em torno de �W � E [W ] :
u(W ) � u( �W ) + u0( �W ) �W � �W�+ 1
2
u00( �W )
�
W � �W�2 +X1
j=3
1
j!
u(j)( �W )
�
W � �W�j
=) E [u(W )] � u( �W ) + 1
2
u00( �W )E
h�
W � �W�2i+X1
j=3
1
j!
u(j)( �W )E
h�
W � �W�ji(25)
=) E [u(W )] � u( �W ) + 1
2
u00( �W )V AR [W ] +
X1
j=3
1
j!
u(j)( �W )E
h�
W � �W�ji (26)
–Análise média-variância X Maximização da utilidade esperada:
F (E [W ] ; DP [W ]) 6= E [u(W )]
–Utilidade esperada da riqueza não depende apenas de sua média e variância, mas
também dos demais momentos de sua distribuição
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� Quando análise média-variância pode ser racionalizada como caso particular da max-
imização da utilidade esperada? Ou seja, quando
E [u(W )] = F (E [W ] ; DP [W ])
é verdade? Resposta:
–Retornos dos ativos normalmente distribuídos
–Utilidade quadrática da riqueza
� Problemas com a distribuição normal:
– Inadequado para estudo da alocação de portifólio no longo prazo:
(1 +Rac) = (1 +Rt)(1 +Rt+1)
Rt; Rt+1 � Normal =) Rac não normal
–Violação do pressuposto de "limited liability" de muitos ativos com risco:
R � Normal =) 1 +R pode assumir valores negativos
� Problemas com a utilidade quadrática:
–Violação da hipótese de não saciedade:
u0(W ) = a� 2bW =) u0(W ) < 0 quando W > a
2b
–Coe…ciente de aversão relativa ao risco aumenta com a riqueza
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