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SEL310 e SEL—612: Ondas eletromagnéticas
Gabarito da 2a. Prova
Gabarito baseado na prova 1
novembro de 2006
Questão 1: Uma onda plana de freqüência f GHz e amplitude de campo elétrico Ei V/m propagando
no vácuo incide normalmente sobre duas placas constituídas por um dielétrico (permissividade relativa �r,
espessura d mm) colado a um condutor perfeito, conforme o esquema abaixo. Determinar a amplitude (em
V/m) e a fase (em graus) do campo elétrico da onda refletida Er em relação à onda incidente, na interface
vácuo-dielétrico. São dados: f = 3; Ei = 10; �r = 12; d = 10. Dica: resolver com auxílio da carta de Smith.
Condutor 
perfeito
d
ε
Ei
Er
Solução
A onda incide normalmente sobre a interface ar-dielétrico. Na interface com o condutor perfeito há re-
flexão total. Como o dielétrico é sem perdas, não há atenuação da onda em nenhuma das duas direções
de propagação. Portanto, o módulo do coeficiente de reflexão é 1 e a amplitude do campo elétrico da
onda refletida é igual a do campo da onda incidente. Vamos determinar a fase. O método da linha de
transmissão equivalente pode ser utilizado para resolver o problema. O dielétrico representa uma linha de
comprimento d terminada por curto-circuito. A relação entre as impedâncias intrínsecas do dielétrico e do
ar é Zdie/377 = 1/
√
εr = 1/
√
12 = 0, 278. O comprimento de onda é λ = 3× 108/ ¡√12× 3× 109¢ = 28, 87
mm. Na superfície do dielétrico, Zdie (−d) /Zdie (0) = jtg (2πd/λ) = jtg (2π × 10/28, 87) = −j1, 444. O
coeficiente de reflexão é Γ = [Zdie (−d)− 377] / [Zdie (−d)− 377] = −0, 704− j0, 710 ou |Γ| = 16 − 134, 8. O
campo elétrico da onda refletida é Er = |Γ|Ei exp [−j arg (Γ)] ou Er = 106 − 134, 8 V/m.
Questão 2: Um guia metálico de seção retangular possui dimensões a = 3 cm e b = 2, 5 cm e está
preenchido com material caracterizado por εr = 3, 8 e μr = 5. A freqüência de operação é 2 GHz.
Q2.1. Calcular a freqüência de corte do modo fundamental, a constante de propagação, a velocidade de fase
e a velocidade de grupo;
Q2.2. Considerar agora um guia metálico de seção retangular vazio (ar). Determinar as dimensões da seção
retangular de tal forma que a freqüência de corte do modo fundamental seja a mesma do guia consid-
erado no item (1), sabendo que as dimensões guardam a mesma proporção.
Solução
A freqüência de corte dos modos é fc =
£
1/
¡
2
√
με
¢¤q
(m/a)2 + (n/b)2 Hz. Para o modo TE10 a freqüência
de corte é fc = 1/
¡
2
√
μεa
¢
. A constante de propagação é β =
r¡
2π
√
μεf
¢2 − h(m/a)2 + (n/b)2i. O
comprimento de onda guiada é λg = 2π/β. A velocidade de fase é vf =
¡
1/
√
με
¢q
1− (fc/f)2 e a velocidade
de grupo é vg =
¡
1/
√
με
¢q
1− (fc/f)2. Substituindo os valores: fc = 1, 147 GHz; β = 1, 496 cm−1;
1
Tabela 1: Resumo dos Resultados das Provas.
Questão Item/Variável P1 P2 P3 P4
Q.1.1 |Er| (V/m) 10 30 30 30
Q.1.2 6 Er (0) -134,8 146,2 -61,2 177,6
Q.2.1.a fc (GHz) 1,147 0,606 1,118 0,354
Q.2.1.b β (cm−1) 1,496 12,044 2,608 14,773
Q.2.1.c vf (×109cm/s) 8,402 3,652 7,229 2,127
Q.2.1.d vg (×109cm/s) 5,624 3,624 6,225 2,116
Q.2.1 a1 (cm) 13,1 24,7 13,4 42,5
Q.2.2 b1 (cm) 10,9 20,6 11,2 35,4
Q.3.1 dp (×10−5m) 5,035 11,26 2,518×10−5 7,122×10−5
Q.3.2 R 2,585×10−3 0,264 0,051 0,431
Q.3.3 ∆Φ (0) 341,4 76,3 170,7 48,3
Q.3.4 vf (m/s) 3,164×105 1,415×106 6,327×105 2,237×106
vf = 8, 402× 109 cm/s; vg = 5, 624× 109 cm/s. As dimensões do guia preenchido com ar deve possuir a
mesma freqüência de corte e guardar as mesmas proporções. Portanto, fc = 1/
¡
2
√μ0ε0a1
¢
e a1 = 13, 1
cm. A altura do guia é b1 = a1/1, 2 ou b1 = 10, 9 cm. Note que a seção transversal deste guia é maior.
Questão 3: Uma onda plana propaga-se em um material caracterizado por (ε2 = 8ε0 F/m; μ2 = 1μ0
H/m e σ2 = 105 S/m). A freqüência de operação é f = 1 GHz. Calcular:
Q3.1. A profundidade de penetração, em metros;
Q3.2. A relação entre as amplitudes de campo elétrico na interface e à distância d = λo/1000, na qual λo
corresponde ao comprimento de onda no vácuo de f ;
Q3.3. A diferença de fase do campo elétrico na interface e à distância d = λo/1000, na qual λo corresponde
ao comprimento de onda no vácuo de f ;
Q3.4. A velocidade de fase correspondente à freqüência f .
Solução
O comprimento de onda no vácuo é λo = 3×108/109 = 0, 03m. No meio com perdas, εr = εr [1− (σ/2πfεrε0)].
Substituindo os valores, εr = 8
£
1−
¡
105/2π × 109 × 8× 8, 85× 10−12¢¤ = 83− j1, 8× 106. O vetor propa-
gação no meio é k = (2πf/c)
p
μrεr = kr − jki.
Substituindo os valores numéricos, k =
¡
2π × 109/3× 108¢p1× (83− j1, 8× 106) e k = (1, 99− j1, 99)×
104 m−1. A profundidade de penetração é dp = 1/ki = 1/
¡
1, 99× 104¢ e dp = 5, 04× 10−5 m. O campo
elétrico da onda em z = d é E (d) = E0 exp (−kid) exp (−jkrd). A relação entre as amplitudes de campo
elétrico na interface e em d é R = exp [−kid] = exp
£
−1, 99× 104 × 0, 03¤ e R = 2, 6× 10−3 . A fase em
z = 0 é determinada a partir do fator exp (−krz). Em z = 0, −krz|z=0 = 0; Em z = d, −krz|z=d = −341, 40.
Portanto, a diferença de fase é ∆Φ = 341, 40 . A velocidade de fase é dada por vf = 2πf/kr. Para f = 1
GHz, vf = 2π × 109/
¡
1, 99× 104¢ e vf = 3, 2× 105 m/s.
2