9 Ondas Eletromagneticas

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9. Ondas Eletromagnéticas
9.1 Corrente de deslocamento e a Lei de Ampère Generalizada
Vimos da lei de Ampère que: IldB
C
0µ=⋅∫
rr
∫ ⋅=
A
AdJ
rr
0µ
A (9.1) é válida para correntes contínuas (cc).
Na Superfície S1 (círculo), atravessa uma 
corrente de condução I quando o capacitor 
carrega.
Na Superfície S2 (um parabolóide), não existe 
corrente de condução na região entre as placas.
Trajetória C
(9.1)
corrente de condução na região entre as placas.
A Correção da lei de Ampère proposta por Maxwell
- Na equação (9.1) o resultado é contraditório porque 
o contorno C limita S1 e S2. 
- Corrente de deslocamento proposta por Maxwell:
dt
d
I E
d
Φ
= 0ε
- Lei de Ampère–Maxwell
dc
C
IIldB 00 µµ +=⋅∫
rr
dt
d
IldB E
C
Φ
+=⋅∫ 000 εµµ
rr
⇒ (9.3)
(9.2)
01
Significado da corrente de deslocamento
No capacitor de placas planas, o campo elétrico E é uniforme no seu interior.
Da lei de Gauss:
0ε
q
AdE
A
=⋅∫
rr
⇒
0ε
q
EA =
EAq 0ε= ⇒ Eq Φ= 0ε
Enquanto o capacitor está carregando
dq dΦ
dt
dq
I
d
= ⇒
dt
d
I E
d
Φ
= 0ε
Os campos magnéticos podem ser produzidos tanto por correntes de condução
quanto por campos elétricos variáveis.
Esse resultado é um exemplo notável do trabalho teórico de Maxwell e uma das
principais contribuições para o avanço da compreensão do eletromagnetismo.
02
9.2 As Equações de Maxwell
0ε
q
AdE
A
=⋅∫
rr
1. Lei de Gauss para a eletricidade :
2. Lei de Gauss para o magnetismo : 0=⋅∫
A
AdB
rr
Distribuições de cargas produzem campos elétricos. O fluxo elétrico através de qualquer
superfície fechada é igual a carga q no interior da superfície dividida por εεεε0.
O fluxo magnético resultante através de uma superfície fechada é nulo devido a
inexistência do monopólo magnético. Isto é, o número de linhas de campo magnético
entrando em um volume fechado é igual ao número de linhas que deixam esse volume. As
linhas de campo magnético são sempre fechadas.
(9.4)
(9.5)
3. Lei de Faraday:
dt
d
ldE B
A
Φ
−=⋅∫
rr
4. Lei de Ampère: 
dt
d
IldB E
A
Φ
+=⋅∫ 000 εµµ
rr
linhas de campo magnético são sempre fechadas.
Lei da indução de Faraday, um fluxo magnético variável no tempo cria um campo elétrico.
Lei da Ampère generalizada, correntes elétricas ou campo campos elétricos variáveis no
tempo, criam um campo magnético.
(9.6)
(9.7)
03
Exercício 9.1- Corrente de deslocamento 
Uma corrente de 0,100 A está a carregar um capacitor que tem placas
quadradas de 5,00 cm em cada lado. A separação das placas é de 4,00 mm.
Encontre (a) a taxa de variação do fluxo elétrico entre as placas e (b) a
corrente de deslocamento entre as placas.
(a) No capacitor de placas planas e paralelas, o campo elétrico no seu interior
é espacialmente uniforme cujo o módulo do campo elétrico é dado por
E = Q/(ε0A)
Resolução:
O fluxo elétrico em um capacitor de placas planas e paralelas é
∫ ⋅=Φ E AdE
rr
⇒ ∫=Φ E dAE ⇒ EAE =Φ
( )EA
dt
d
dt
d E =
Φ
212 /1085,8
10,0
mNC
A
⋅×
=
−
smV /1013,1 10 ⋅×=
(b) Usando o valor encontrado para dΦE/dt
dt
d
I E
d
Φ
= 0ε smVmNC /1013,1/1085,8
10212 ⋅×⋅⋅×= −− A100,0=
∫
A
E ⇒ ∫=Φ
A
E dAE ⇒ EAE =Φ
A taxa de variação do fluxo elétrico é dado por
⇒ 





=
Φ
A
A
Q
dt
d
dt
d E
0ε
⇒
dt
dQ
dt
d E
0
1
ε
=
Φ ⇒
0ε
I
dt
d E =
Φ
0ε
I
dt
d E =
Φ
Substituindo os valores
04
Aplicando a lei de 
Ampère na região entre as placas do capacitor:
Exercício 9.2- Equações de Maxwell 
Um capacitor de placas paralelas e circulares de raio R está sendo carregado. (a)
Escreva a expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central válida
para . (b) Calcule o módulo do campo magnético para r = 11,0 mm e dE/dt =
1,5 x 1012 V.m/s. (c) Escreva a expressão para o campo magnético induzido no caso em
que
.
Rr ≤
Rr ≤
∫ =⋅ µ
rr
(a) Na região entre as placas do capacitor temos a corrente de deslocamento Id
Resolução:
. Como E 
é uniforme e perpendicular às placas, o fluxo elétrico é ΦE = EA . 
dΦ EAd )(∫ =⋅
C
d
IldB µ
rr
⇒
dt
d
rB E
Φ
= 00)2( εµπ ⇒
dt
EAd
rB
)(
)2( 00εµπ =
O raio do contorno C limita a em A= πr2 . Rr ≤
dt
dE
r
r
B
π
πεµ
2
2
00= ⇒
dt
dEr
B
2
00εµ=
(b) )/105,1)(011,0)(/1085,8)(/104(5,0 1222127 smVmmNCAmTB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= −−π
T
81018,9 −×=
∫ =⋅
C
d
IldB µ
rr
⇒
dt
REd
rB
)(
)2(
2
00
π
εµπ = ⇒
dt
dE
r
R
B
2
2
00εµ=
(c) Para , há fluxo apenas na região limitada por R elétrico é ΦE = EπR
2 .Rr ≤
05
Exercícios Propostos
9-1. Prove que a corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas e capacitância C pode ser
escrita por Id = C(dV/dt), onde V é a diferença de potencial entre as placas.
9-2. Um capacitor de placas planas e paralelas com formato circular de raio 10 cm está descarregado. Um anel
de 20 cm de raio, concêntrico com o capacitor, está a meio do caminho entre as placas. A corrente de
deslocamento através do anel é de 2,0 A. Qual a taxa da variação do campo elétrico entre as placas?
R. 7,2 x 10 ¹² V/m.s
9-3. Qual deve ser a taxa de variação da diferença de potencial entre as placas de um capacitor de placas
paralelas com uma capacitância de 2,0 mF para que seja produzida uma corrente de deslocamento de 1,5 A?
R. 7,5 x 10⁵ V/s
9-4. Enquanto um capacitor de placas paralelas de formato circular com 20 cm de diâmetro está carregando, a
densidade de corrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e tem módulo 20A/m². (a) Calcule o
módulo do campo magnético a uma distância de 50 mm do eixo de simetria dessa região. (b) Calcule dE/dt nessa
região. R. (a) 6,3 x 10⁻⁷ T ; (b) 2,3 x 10¹² V/m.s
⁵ ⁴
⁻
região. R. (a) 6,3 x 10⁻⁷ T ; (b) 2,3 x 10¹² V/m.s
9-5. O módulo do campo elétrico entre duas placas paralelas circulares da figura é E = (4,0 x 10⁵) – (6,0 x 10⁴t),
com E em volts por metro e t em segundos. Em t = 0, E aponta para cima. A área das placas é de 4,0 x 10⁻² m².
Para , determine o (a) módulo e (b) o sentido (para cima ou para baixo) da corrente de deslocamento na região
entre as placas; (c) o sentido do campo magnético induzido (horário ou anti-horário) do ponto de vista da figura.
R. (a) 2,1 x 10⁻⁸ A ; (b) para baixo ; (c) horário
9-6. Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares de raio R= 30 mm e a distância entre as placas é
de 5,00 mm. Uma diferença de potencial senoidal com um valor máximo de 150 V e uma frequência de 60 Hz é
aplicada às placas, ou seja, a tensão entre as placas é V = (150 V) sen[2p(60 Hz)t]. (a) Determine Bmax(R), o
valor máximo campo magnético induzido a uma distância radial r = R. (b) Plote Bmax(r) para 0 < r < 10 cm.
R. (a) 1,9 x 10⁻¹² T ; (b) m0e0R²Vmáxw/(2rd) (para r > R)
06
Exercícios Propostos
As Equações de Maxwell
9-7. Um elétron se move em um campo elétrico uniforme E = (2,50 î + 5,00 ĵ) V/m e em um campo magnético
uniforme B = (0,400 k) T. Determine a aceleração do elétron quando ele tem velocidade 10,0 î m/s.
R. ( –4,39 î –1,76 ĵ) x 10¹¹ m/s²
9-8. Um próton se move em um campo elétrico uniforme E = (50,0 ĵ) V/m e em um campo magnético uniforme B
= (0,200 î + 0,300 ĵ + 0,400 k) T. Determine a aceleração do próton quando ele tem velocidade 200 î m/s.
R. ( –2,87 ĵ +5,75 k) x 10⁹ m/s²
07
9.3 AS Equações de Maxwell – Forma Diferencial
Estas equações também podem ser escritas na forma diferencial e preveem a
existência de ondas eletromagnéticas.
LEI DE GAUSS PARA CAMPO ELÉTRICO
∫∫ =⋅
VA
dVAdE ρ
ε 0
1rr
onde, ∫=
V
dVq ρ
Pelo teorema da divergência
Se o divergente do campo elétrico é
não nulo, então, deve existir campos
elétricos na região resultantes de
carga total não nula.
Pelo teorema da divergência
∫∫ =⋅∇
VV
dVdVE ρ
ε 0
1
)(
rr
0)(
0
=−⋅∇∫
V
dVE
ε
ρrr
0ε
ρ
=⋅∇ E
rr
(9.8)
08
9.3 AS Equações de Maxwell – Forma Diferencial
LEI DE GAUSS PARA CAMPO MAGNÉTICO
0=⋅∫
A
AdB
rr
Pelo teorema da divergência
Inexistência de monopólos magnéticos.
0=⋅∇ B
rr
(9.9)
09
9.3 As Equações de Maxwell – Forma Diferencial
LEI DE FARADAY
∫∫ ⋅−=⋅
AC
AdB
dt
d
ldE
rrrr
onde, ∫ ⋅=Φ
A
B AdB
rr
Pelo teoremade Stokes
∫∫ ⋅∂
∂
−=⋅×∇
AA
AdB
t
AdE
rrrrr
)(
Campos magnéticos variáveis no tempo
gera campos elétricos do tipo rotacionais.
AA
0)( =⋅
∂
∂
+×∇∫
A
Ad
t
B
E
r
r
rr
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
rr
(9.10)
10
9.3 AS Equações de Maxwell – Forma Diferencial
LEI DE AMPÈRE








⋅
∂
∂
+⋅=⋅ ∫∫∫
AAC
AdE
t
AdJldB
rrrrrr
00 εµ onde, 
∫ ⋅=
A
AdJI
rr
Pelo teorema de Stokes
∫∫∫ ⋅∂
∂
+⋅=⋅×∇
AAA
AdE
t
AdJAdB
rrrrrrr
00)( εµ
∫ ⋅∂
∂
=
A
d AdE
t
I
rr
0ε
AAA
0000 =⋅






∂
∂
−−×∇∫
A
Ad
t
E
JB
r
r
rrr
εµµ
t
E
JB
∂
∂
+=×∇
r
rrr
000 εµµ
Campos elétricos variáveis no tempo, assim como
correntes elétricas, produzem campos magnéticos.
Estes campos magnéticos são do tipo rotacional.
(9.11)
11
CONCLUSÕES A PARTIR DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL
�Os campos elétricos criados por cargas elétricas são
divergentes ou convergentes.
�Os campos magnéticos apresentam linhas de campo
fechadas, isto é, não existem monopolos magnéticos.
�Campos magnéticos variáveis no tempo geram campos
elétricos rotacionais.
�Campos elétricos variáveis no tempo geram campos
magnéticos rotacionais.
�Correntes elétricas ou cargas em movimento geram campos
magnéticos.
12
Lei Forma Integral Forma diferencial
Gauss
(Campo Elétrico)
Gauss 
(Campo Magnético)
As Equações de Maxwell nas formas integral e diferencial
A partir das equações de Maxwell pode-se obter uma expressão para as ondas
eletromagnéticas.
0
E
ε
ρ
=⋅∇
→→
0B =⋅∇
→→
0
intdAE
ε
q
A
=⋅
→→
∫
0dAB =⋅
→→
∫(Campo Magnético)
Faraday
Ampère
t
JB
∂
∂
+=×∇
→
→→ E
 00εµ
r
t
B
∂
∂
−=×∇
→
→→
E
0B =⋅∇0dAB =⋅∫
A
dt
d B
C
Φ
−=⋅
→→
∫ dlE
dt
d
I E
C
Φ
+=⋅
→→
∫ 000dlB εµµ
13
Lei Forma Integral Forma diferencial
Gauss
(Campo Elétrico)
Gauss 
(Campo Magnético)
As Equações de Maxwell no espaço livre (vácuo)
Na descrição das ondas eletromagnéticas no vácuo, as equações de Maxwell não
apresentam distribuições de cargas ( ) nem correntes de condução ( ).
0E =⋅∇
→→
0B =⋅∇
→→
0dAE =⋅
→→
∫
A
0dAB =⋅
→→
∫
0=q 0=I
(Campo Magnético)
Faraday
Ampère
t
B
∂
∂
=×∇
→
→→ E
 00εµ
t
B
∂
∂
−=×∇
→
→→
E
0B =⋅∇0dAB =⋅∫
A
dt
d B
C
Φ
−=⋅
→→
∫ dlE
dt
d E
C
Φ
=⋅
→→
∫ 00dlB εµ
14
9.4 A Equação da Onda Eletromagnética
Tomando o rotacional do lado esquerdo da equação de Faraday tem-se:
Mas, sabe-se que:
Igualando as equações obtém-se:
(9.12)(9.12)
E um resultado análogo pode ser obtido para o campo magnético.
(9.13)
As equações (9.12) e (9.13) são denominadas equações de propagação das ondas
eletromagnéticas.
15
9.4 A Equação da Onda Eletromagnética
As soluções para estas equações são complexas pois é necessário
resolver,simultaneamente, um sistema de seis equações diferenciais de segunda
ordem, no tempo e espaço , como a seguir;
(9.14)
(9.15)
16
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
∂
∂
=
∂
∂
A equação geral de uma onda em uma dimensão oscilando na direção y e se 
propagando na direção x é dado por 
onde a função de onda y = y(x,t) é a solução da equação de onda (9.16), cuja solução 
pode ser descrita por 
(9.16)
)(),( ϕωκ +−= txAsentxy
A Equação de onda em uma dimensão e a velocidade da luz
200
1
v
=εµ ⇒
00
1
εµ
=v
00
1
εµ
=c
(9.18)
A expressão acima (9.17) é a velocidade de propagação da luz c.
127 1085,8104
1
−− ×××
=
π
sm /1000,3 8×=
Comparando a (9.13) e a (9.16)
)(),( ϕωκ +−= txAsentxy (9.17)
(9.19)
17
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE ONDA ELETROMAGNÉTICA
)(0 txsenEEy ωκ −=
)(0 txsenBBz ωκ −=
Uma onda eletromagnética que se
propaga com uma velocidade c na
direção x. A onda é mostrada em dois
instantes nos quais o campo elétrico
está na direção y e tem uma magnitude
(9.21)
(9.20)
está na direção y e tem uma magnitude
máxima E0, e o campo magnético está
ao longo da direção z e tem
uma magnitude máxima B0.
18
Representação de uma onda eletromagnética polarizada na direção x
Representação de uma onda eletromagnética senoidal, plana polarizada, deslocando-
se na direção x positiva com uma velocidade c.
19
A EQUAÇÃO DA ONDA ELETROMAGNÉTICA
Normalmente o estudo destas equações fica simplificado se o restringirmos a um
caso particular. Dessa forma, supondo que ambos os campo satisfaçam as
condições a seguir:
Campo elétrico uniforme que tenha apenas uma componente na direção y;
Campo magnético uniforme apontando na direção z.
Ou seja, E(y,t) e B(z,t), dependentes do tempo e de uma coordenada
Assim tem-se que:
jtxsenEE ˆ)(0 ωκ −=
r
(9.22)
Substituindo estes campos nas equações (9.20) e (9.21).
jtxsenEE ˆ)(0 ωκ −=
ktxsenBB ˆ)(0 ωκ −=
r
2002
t
E
z
E
yy
∂
∂
=
∂
∂
εµ
2002
t
B
z
B
zz
∂
∂
=
∂
∂
εµ
(9.24)
(9.25)
(9.23)
(9.22)
20
VELOCIDADE DA ONDA ELETROMAGNÉTICA
Substituindo as expressões encontradas para os campos elétricos e magnéticos na
expressão da Lei de Faraday, tem-se:
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
00
ˆˆˆ
yE
zyx
kji
t
B
i
z
E
k
x
E
zyy
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂ ˆˆ
∂∂∂
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
rr
ktxsenB
t
itxsenE
z
ktxsenE
x
ˆ)]([ˆ)]([ˆ)]([ 000 ωκωκωκ −
∂
∂
=−
∂
∂
−−
∂
∂
0
ktxBktxkE ˆ)cos(ˆ)cos( 00 ωκωωκ −=−
κ
ω
=
0
0
B
E
A expressão ω/κω/κω/κω/κ é a velocidade de propagação c da onda eletromagnética.
Assim,
κ
ω
=c
(9.26)
(9.27)
21
VELOCIDADE DA ONDA ELETROMAGNÉTICA
Substituindo as expressões encontradas para os campos elétricos e magnéticos na
expressão da Lei de Ampère, tem-se:
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
zB
zyx
kji
00
ˆˆˆ
t
E
j
x
B
i
y
B yzz
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
00
ˆˆ εµ
jtxsenEjtxsenBitxsenB ˆ)]([ˆ)]([ˆ)]([ ωκεµωκωκ −
∂
=−
∂
−−
∂
t
E
B
∂
∂
=×∇
r
rr
00εµ
jtxsenE
t
jtxsenB
x
itxsenB
y
ˆ)]([ˆ)]([ˆ)]([ 00000 ωκεµωκωκ −
∂
=−
∂
−−
∂
0
ktkxEjtkxkB ˆ)cos(ˆ)cos( 0000 ωωεµω −=−
ω
κ
εµ
⋅=
000
0 1
B
E
Comparando com os resultados anteriores (9.19) e (9.27)
c
c
B
E 12
0
0 ⋅= ⇒ c
B
E
=
0
0 (9.28)
22
O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
23
O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
As ondas eletromagnéticas (EM) propagam-se no vácuo na velocidade da luz c.
Essas ondas transportam energia e momento para longe de uma fonte 
Em 1888, Hertz obteve com sucesso na geração e detecção das ondas 
eletromagnéticas na frequência de rádio previstas por Maxwell. 
Ondas de rádio são resultantes de cargas aceleradas, por exemplo, através de fios condutores
em uma antena de rádio. Elas são geradas por equipamentos eletrônicos tais como osciladores
LC e são usadas em sistemas de comunicação de rádio e televisão.
Microondas (ondas de rádio com comprimento de onda curto) têm comprimentos de ondas
variando entre cerca de 1 mm e 30 cm e também são geradas por equipamentos eletrônicos. Porvariando entre cerca de 1 mm e 30 cm e também são geradas por equipamentos eletrônicos. Por
causa de seus comprimentos de onda curtos, elas são adequadas para utilização em sistemas de
radar usados na navegação aérea e utilizadas para estudo de propriedades atômica e
moleculares da matéria.
Ondas infravermelhas possuem comprimento de onda variando de aproximadamente 1 mm
até o maior comprimento de onda da luz visível, 7 x 10-7 m. Essas ondas, produzidas por
corpos à temperatura ambiente e por moléculas, são prontamente absorvidas pela maioria dos
materiais. A radiação infravermelha tem muitas aplicações práticas e científicas, incluindo
fisioterapia, fotografia infravermelha e espectroscopia vibracional. Os controles remotos dos
aparelhos eletrodomésticos emite um feixe de infravermelho para comunicar-se com o
equipamento.
Luz visível possuem comprimento de onda variando de aproximadamente 1 mm entre 24
O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
Luz visível, é a parte do espectro eletromagnético que o olho humano pode detectar. A luz é
produzida por corpos quentes como filamento de lâmpada e pela reordenação dos elétrons em
átomos. E moléculas. Os comprimentos de onda de luz visível são classificados pela cor, indo
do violeta (λ = 4 x 10-7 m) ao vermelho (λ = 7 x 10-7 m). A sensibilidade dos olhos é uma
função do comprimento de onda e é máxima em um comprimento de onda de
aproximadamente de 5,5 x 10-7 m (amarelo-verde). Aluz é a base da ciência ótica e dos
instrumentos óticos.
A luz ultravioleta, cobre o comprimento de onda que vai de 4 x 10-7 m (400 nm) até
6 x 10-10 m (600 nm). O Sol é uma importante fonte de ondas ultravioletas, que são a principal
causa do bronzeamento e queimadura do Sol. Átomos na atmosfera absorvem a amior perte das
ultravioleta do Sol. Um importante constituinte da atmosfera é o ozônio (O3), que resulta deultravioleta do Sol. Um importante constituinte da atmosfera é o ozônio (O3), que resulta de
reações do oxigênio com a radiação ultravioleta. Esse escudo de ozônio converte a letal
radiação ultravioleta de alta energia em radiação infravermelha inofensiva.
Raio X são ondas eletromagnéticas ondas com comprimento de onda na faixa de
aproximadamente 10-8 m (10 nm) até 10-13 m (10-4 nm). A fonte mais comum de raio X é a
aceleração de elétrons de alta energia bombardeando um alvo de metal. Os raios X são usados
como ferramentas no diagnósticos na medicina e como tratamento para determinadas formas
de câncer. Como os raios x danificam ou destroem os tecidos, deve-se tomar o cuidado para
evitar exposição desnecessária e superexposição. Os raios X também são utilizados no estudo;
os comprimentos de onda dos raios X são comparáveis às distâncias de separação atômicas (~
0,1 nm) nos sólidos.
25
O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO
Raios gamas, são.ondas eletromagnéticas emitidas por núcleos radioativos e durante
determinadas reações nucleares. Possuem comprimentos de ondas variando de 10-10 m até 10-14
m. Raios gamas são altamente penetrantes e produzem sério danos quando absorvidos por
tecidos vivos. Conseqüentemente, aqueles que trabalham perto de tal radiação perigosa
precisam ser protegidos têm de ser protegidos por com materiais altamente absorvedores.
26
DESCRIÇÃO DE UMA ONDA ELETROMAGNETICA
A figura a seguir mostra um gerador de ondas eletromagnéticas
→→
onda de número 
angular frequência 
campos dos amplitudes as são B eE
) éticaeletromagn onda da magnética componente ( t)-xsen(BB
) éticaeletromagn onda da elétrica componente ( t)-xsen(EE
:expressões as com acordo de ntesenoidalme variamcampos Os
;propagação
de direção a e si entre laresperpendicu são ) E ( elétrico e ) B ( magnético campos Os
00
0
0
=
=
=
=
→→
κ
ω
ωκ
ωκ
27
Exercício 9.3:
Uma onda eletromagnética senoidal com frequência de 40 MHz propaga-se no vácuo
na direção x. Em um certo ponto e em um certo instante, o campo elétrico tem seu valor
máximo de 750 N/C e está ao longo do eixo z. (a) Determine o comprimento de onda e
o período. (b) Calcule a direção e a magnitude do campo magnético quando E = 750 k
N/C. (c) Escreva as expressões para a variação espacial e temporal do campo elétrico e
magnético dessa onda.
(a) Como c = λf e sabemos que f = 4,00 x 107 Hz , temosResolução:
Hz
sm
f
c
7
8
104
/103
×
×
==λ m50,7= . O período é:
Hzf
T
7104
11
×
== s81050,2 ×=
28
(b) Da equação :
Hz
CN
c
E
B
8
0
0 103
/750
×
== T61050,2 −×=
(c) As expressões temporais para os campos elétrico e magnético são:
ktxCNE ˆ)1051,2838,0(sen)/750( 8×−=
r
jtxTB ˆ)1051,2838,0(sen)1050,2( 86 ×−×= −
r
)104(22 7 Hzf ×== ππω Hz81051,2 ×=
)(sen0 txEE ωκ −= )(sen0 txBB ωκ −=e onde,
m50,7/2/2 πλπκ == 1810838,0 −×= me
E
r
c
r
B
r
Exercícios Propostos – O espectro das ondas eletromagnéticas
9-9. A velocidade de uma onda eletromagnética propagando-se através de uma substância transparente não 
magnética é , onde é a constante dielétrica da substância. Determine a velocidade da luz na água, que tem 
constante dielétrica em frequências ópticas de 1,78. R. 2,25 x 10⁸ m/s 
9-10. Uma onda eletromagnética senoidal plana propagando-se na direção x. Suponha que o comprimento de 
onda seja 50,0 m e que o campo elétrico vibre no plano xy com uma amplitude de 22,0 V/m. Calcule (a) a 
frequência da onda e a magnitude e a direção de B quando o campo elétrico tem o seu valor máximo na direção 
negativa y. (c) Escreva a expressão para B na forma B = Bmáx sen ( kx – wt ) com valores numéricos para Bmáx , k 
e w. R. (a) 6,00 MHz ;(b) – 73,3k nT ; (c) –73,3 cos ( 0,126x – 3,77 x 10⁻⁷t) k nT
9-11. Em unidades do SI, o campo elétrico em uma onda eletromagnética é descrito por 
Ey = 100 sen ( 1,00 x 10⁷ x – w t ) 
Encontre (a) a amplitude a oscilação do campo magnético correspondente, (b) o comprimento de onda l e (c) a 
frequência f. R. (a) 0,333 mT ; (b) 0,628 mm ; 4,77 x 10¹⁴ Hz
9-12. Classifique ondas com frequências de 2 Hz, 2 kHz, 2 MHz, 2 GHz, 2 THz, 2 PHz, 2 Ehz, 2 ZHz e 2 YHZ no 
espectro eletromagnético. Classifique ondas com comprimentos de onda 2 km, 2 m, 2 mm, 2 mm, 2 nm, 2 pm, 2 
⁻⁷
⁴
espectro eletromagnético. Classifique ondas com comprimentos de onda 2 km, 2 m, 2 mm, 2 mm, 2 nm, 2 pm, 2 
fm e 2am.
9-13. O olho humano é mais sensível à luz com um comprimento de onda de 5,50 x 10⁻⁷ m, que está na região 
do verde amarelo do espectro eletromagnético visível. Qual é a frequência dessa luz? R. 5,45 x 10¹⁴ Hz
9-14. Suponha que você está a 180 m um transmissor de rádio. (a) Quantos comprimentos de onda você está da 
transmissor se a estação se chama 1 150 AM? (b) Quantos comprimentos de onda seriam se a estação fosse 98 
FM? (As frequências da banda FM são mega-hertz.)
R. (a) 0,690 comprimentos de onda ; (b) 58,9 comprimentos de onda.
9-15. Uma notícia importante é transmitida por ondas de rádio para pessoas sentadas próximas de seus rádios, a 
100 km de distância da estação, e por ondas sonoras para pessoas sentadas na sala de notícias, a 3,00 m do 
transmissor de notícias. Quem recebe a notícia primeiro? Explique. Considere a velocidade do som no ar de 343 
m/s. R. A audiência da rádio ouve-a 8,41 ms mais cedo.
9-16. Doze canais VHF de televisão (canais 2-13) se encontram na faixa de frequência entre 54 MHz e 216 MHz. 
Cada canal é atribuída uma largura de 6,0 MHz, com as duas faixas de 72,0–76,0 MHz e 88,0–174 MHz sendo 
reservados a outros objetivos que não são a transmissão de TV. (O canal 2, por exemplo, fica entre 54,0 e 60,0 
MHz.) Calcule o intervalo de comprimento de onda para (a) o canal 4, (b) o canal 6 e (c) o canal 8. 29
9.5 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting
BEE
rrr
×=
0
1
µ (9.29)
As ondas eletromagnéticas transportam energia a medida que se propagam.
A taxa de transporte de energia por unidade de área é descrito pelo vetor de Poynting
No SI, S é medido em W/m2. Como
EBS
0
1
µ
=
Visto que E/B = c, então tem-se que
(9.30)
Visto que E/B = c, então tem-se que
0
2
0
2
µµ
cB
c
E
S == (9.31)
A intensidade I transportado por uma onda é a média temporal de S.
A média temporal dos campos são
2
0EEméd =
2
0BBméd =
0
2
0
0
2
0
22 µµ
cB
c
E
SI méd ===
e
(9.32)
30
Variação da Intensidade com a Distância
Seja uma fonte pontual S que emite ondas eletromagnética isotrópica, isto é, com
intensidade igual em todas as direções.Supondo que a energia seja conservada
enquanto ela se afasta da fonte, a mesma energia emitida pela fonte se distribui
pela superfície esférica de área A = 4πR2. A taxa de transferência de energia que
atravessa a superfície esférica é igual a
potência da fonte PS.
Ppotência
A intensidade I na superfície esférica 
é dada por:
R 24 R
P
área
potência
I S
π
==
De acordo com a equação, a intensi-
dade de uma radiação eletromagnética
emitida por uma fonte pontual isotrópica,
cai com o quadrado da distância R.
31
(9.33)
Exercício 9.4:
Uma fonte pontual de radiação eletromagnética fornece uma potência média de 800
W. Calcule os campos elétricos e magnéticos máximos em um ponto a 3,50 m da
fonte.
WPS 800=Resolução:
mR 50,3=
0
0
2 24 µπ c
E
R
PS =
0
2
0
0
2
0
22 µµ
cB
c
E
SI méd === 24 R
P
I S
π
=
Campo elétrico máximo:
⇒ =
⋅
⋅⋅⋅⋅
==
−
2
78
2
0
0 5,32
800104103
2 π
π
π
µ
R
Pc
E S mV /6,62
Campo magnético máximo:
32
Campo magnético máximo:
0
0
2 24 µπ
cB
R
PS = ⇒ =
⋅⋅⋅
⋅⋅
==
−
82
7
2
0
0 1035,32
800104
2 π
π
π
µ
cR
P
B S T
71009,2 −×
Exercícios Propostos – Energia Transportadapor uma onda
9-17. Quanta energia por metro cúbico está contida na luz solar, se a intensidade da luz solar na superfície da
Terra sob um céu razoavelmente claro é 1 000 W/m²? R. 3,33 mJ/m³
9-13. Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente (igualmente em todas as direções) com uma potência
média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 milhas do
transmissor. Calcule a amplitude da fem induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora.
R. 49,5 mV
9-18. Qual é a magnitude média de um vetor de Poynting a 5,00 milhas de um transmissor de rádio transmitindo
isotropicamente com uma potência média de 250 kW?
9-19. Uma comunidade planeja construir uma instalação para converter radiação solar em energia elétrica. Ela
necessita de 1,00 MW de potência e o sistema a ser instalado tem uma eficiência de 30,0% (ou seja, 30% da
energia solar incidente são convertido em energia elétrica). Qual deve ser a área efetiva de uma superfície
absorvedora perfeita usada em instalação como esta, supondo-se uma intensidade constante de 1 000W/m²?
R. 3,33 x 10³ m²
9-20. Em uma região de vácuo, o campo elétrico em um instante de tempo é E = (80,0 i +32,0 j – 64,0 k) N/C e o9-20. Em uma região de vácuo, o campo elétrico em um instante de tempo é E = (80,0 i +32,0 j – 64,0 k) N/C e o
campo magnético B = (0,200 i +0,0800 j – 0,290 k) mT. (a) Mostre que os campos são perpendiculares entre si.
(b) Determine o vetor de Poynting para esses campos. R. (b) 62,8º em relação ao eixo x.
9-21. O filamento de uma lâmpada incandescente tem uma resistência de 150 W e conduz uma corrente contínua
de 1,00 A. O filamento tem 8,00 cm de comprimento e 9,00 mm de raio. (a) Calcule o vetor de Poynting na
superfície do filamento. (b) Encontre a magnitude dos campos elétricos e magnéticos na superfície do filamento.
R. (a) 332kW/m² ; (b) 1,88 kV/m e 222 mT
9-22. A que distância de uma fonte pontual de uma onda eletromagnética de 100 W temos Emáx = 15,0 V/m?
9-23. Uma das armas vem sendo considerada para um sistema antimíssil é um laser que poderia ser usado para 
destruir míssil balístico. Quando um laser de ata frequência é usado na atmosfera da Terra, o campo elétrico 
pode ionizar o ar, transformando em um plasma condutor que reflete a luz laser de volta. No ar seco a 0ºC e 1 
atm, ocorre rompimento dielétrico para campos com amplitude acima de 3,00 MV/m. Qual a intensidade do feixe 
de laser produzirá um campo elétrico assim? R. 11,9 GW/m²
33
MOMENTO E PRESSÃO DE RADIAÇÃO
A transferência de do momento pela incidência de uma onda eletromagnética sobre
uma superfície (ou objeto) quando há uma absorção completa é
c
U
p
∆
=∆ (9.34)
∆p é a transferência do momento.
∆U é a energia absorvida pela superfície (ou objeto).
A pressão causada pela incidência da radiação sobre a superfície (ou objeto) é
c
I
P =
onde I = P / A , sendo A = 4πR2 para ondas esféricas.
(9.35)
onde I = PS / A , sendo A = 4πR
2 para ondas esféricas.
(9.36)
No caso em que o feixe incidente é totalmente refletido,
c
U
p
∆
=∆
2
∆U é a energia recebida pelo superfície (ou objeto).
Da 2ª lei de Newton:
t
p
F
∆
∆
=
tc
U
∆
∆
=
2
tc
tPot
∆
∆⋅
=
)(2
c
IA2
=
c
IA
F
2
= (9.37)
34
(totalmente refletido)
MOMENTO E PRESSÃO DE RADIAÇÃO
No caso em que o feixe incidente é totalmente absorvido pela superfície (ou objeto),
os cálculos para obter a preção de radiação e a força são análogos cIAF /=
Aparelho para medir a pressão exercida pela luz.
Ainda que as pressões de radiação sejam muito
pequenas (cerca de 5 x 10-6 N/m2 para a luz
A superfície absorvedora em que toda energia é absorvida é denominada de corpo negro.
Disco negro
Espelho
Luz
solar direta), elas tem sido medidas por balança
de torção como mostrado na figura. A luz pode
atingir tanto um espelho quanto um disco negro
que estão suspensos por uma fibra fina. A luz
que atinge o disco negro é completamente
absorvida e, assim, todo seu momento é
transferido para o disco. A luz que atinge o
espelho (incidência normal) é totalmente
refletida e, assim, a transferência do momento
transferido para o disco. A pressão de radiação é determinada medindo-se o ângulo
de giro da barra conectora horizontal. O aparelho precisa ser colocado no vácuo para
eliminar os efeitos das correntes de ar. 35
Exercício 9.5: Energia Solar
O Sol fornece cerca de 1000 W/m2 de energia para a superfície da Terra. (a) Calcule a
potência incidente total sobre um telhado de 8,00 x 2,00 m. (b) Determine a pressão
de radiação e a força de radiação sobre o telhado supondo que a sua cobertura é um
absorvedor perfeito.
Resolução: (a) Supondo que a radiação incide perpendicularmente sobre o
telhado, podemos encontrar a potência do telhado inteiro :
WmmWIAPS
522 1060,1)16)(/1000( ×===
(b) Para uma superfície completamente absorvedora:
===
mWI
p
/1000 2
26 /1033,3 mN−×
36
=
×
==
sm
mW
c
I
p
/100,3
/1000
8
26 /1033,3 mN−×
=×=== − )16)(/1033,3( 226 mmNpA
c
IA
F N
41033,5 −×
Exercício 9.6: Pressão de um Apontador a Laser
Muitas pessoas fazem apresentação utilizando apontadores laser para dirigir a
atenção de sua audiência. Se um apontador de 3,0 mW cria um ponto de 2,00 mm de
diâmetro, determine a pressão de radiação sobre uma tela que reflete 70% da luz que
atinge. A potência de 3,0 mW é média no tempo.
Antes de calcular a pressão, devemos determinar a intensidade do
feixe:
Resolução:
23
3
2 )10(
100,3
−
−×
===
ππ
W
R
P
A
P
I SS
22 /106,9 mW×=
Para calcular a pressão de radiação do feixe de laser, um feixe completamente
refletido iria aplicar uma pressão p = 2I/c. Considere que a superfície absorve
uma parte de 30% e reflete 70% da luz que incide sobre a superfície. Assim,
37
uma parte de 30% e reflete 70% da luz que incide sobre a superfície. Assim,
Pressão de radiação devido a superfície absorvedora:
sm
W
c
I
pA /100,3
106,9
3,03,0
8
2
×
×
⋅=⋅=
27 /106,9 mN−×=
Pressão de radiação devido a superfície refletora:
sm
W
c
I
pR /100,3
106,9
7,07,0
8
2
×
×
⋅=⋅= 26 /1048,4 mN−×=
Pressão de radiação sobre a superfície:
=×+×=+= −− 66 1048,41096,0RA ppp
26 /1044,5 mN−×
Exercícios Propostos – Momento e pressão de radiação 
9-24. Uma onda eletromagnética plana de intensidade 6,00 W/m² atinge um pequeno espelho de bolso com 40
cm² de área posicionado perpendicularmente à onda que se aproxima. (a) Qual o momento que a onda transfere
a cada segundo? (b) Encontre a força que a onda exerce sobre o espelho.
9-25. Uma onda de rádio transmite 25,0 W/m² de potência por unidade de área. Uma superfície plana de área A é
perpendicular à direção de propagação da onda. Calcule a pressão de radiação sobre a superfície se ela for
absorverdor perfeito. R. 83,3 nPa
9-26. Um possível meio de vôo espacial é colocar uma placa aluminizada perfeitamente refletora em órbita ao
redor Terra e então usar a luz do Sol para empurrar essa “vela solar”. Suponha que uma vela de área 6,00 x 10⁵
m² e massa 6000 kg seja colocada em órbita voltada para o Sol. (a) Qual é a força exercida sobre a vela? (b)
Qual é a aceleração da vela? (c) Quanto tempo ela leva para chegar a Lua, a 3,84 x 10⁸ de distância? Despreze
todos os efeitos gravitacionais, suponha que a aceleração calculada no item (b) permanece constante
considerando uma intensidade solar de 1340 W/m² . R. (a) 5,36 N ; 8,93 x 10⁻⁴ m/s² ; 10,7 dias
9-27. Um laser de hélio-neônio de 15 mW (l = 632,8 mm) emite um feixe de seção transversal circular de 2,00
mm de diâmetro. (a) Encontre o campo elétrico máximo no feixe. (b) Qual é a energia total que está em um
⁻ ⁹
⁻⁴
mm de diâmetro. (a) Encontre o campo elétrico máximo no feixe. (b) Qual é a energia total que está em um
comprimento de um feixe de 1,00 m do feixe? (c) Encontre o momento transportado por 1,00 m do feixe.
R. (a) 1,90 kN/C ; (b) 50,0 pJ ; (c) 1,67 x 10⁻¹⁹ kg.m/s
9-28. Dado que a intensidade de radiação solar incide sobre a atmosfera superior da Terra é de 1340 W/m²,
determine (a) intensidade de radiação solar incidente sobre Marte, a(b) potência total incidente sobre Marte e (c)
força de radiação atuando sobre o planeta, se ele absorve quase toda a luz. (d) Compare essa força com a
atração gravitacional entre Marte e o Sol. R. (a) 577 W/m² ; 2,06 x 10¹⁶ W ; (c) 6,87 x 10⁷ N ; 1,64 x 10²¹ N
9-29. Cargas aceleradas irradiam ondas eletromagnéticas. Calcule o comprimento de onda da radiação
produzida próton em um ciclotron com um raio de 0,500 m e campo magnético de 0,350 T. R. 56,2 m
38
Apêndices
Ondas em uma dimensão ........................................................ 40
Velocidade transversal de uma onda ..................................... 42
A equação de onda linear ........................................................ 43
Operadores vetoriais ............................................................... 44
Sites ........................................................................................... 45
39
Ondas em uma dimensão
(a) Pulso em um instante t = 0s. (b) Pulso em um instante t.
Pulso unidimensional deslocando-se para a direita com uma velocidade v. (a) Em t = 0s , a forma
do pulso é dado por y = f(x) . (b) em um momento posterior, a forma se mantém a mesma e o
deslocamento vertical do meio é dado por y = f (x – vt).
y(x,0) = f(x) – deslocamento vertical y do elemento da corda localizado para cada valor x e no
instante t = 0.
A – Amplitude da onda, v – velocidade da onda (velocidade do pulso).
y(x,t) = f(x - vt) – deslocamento vertical y do elemento da corda localizado para cada valor x e
no instante t. 40
Ondas em uma dimensão
λ – comprimento de onda
Τ – período
y(x,t) – função de onda
( )ϕω +−= tkxAtxy sen),(
fT /1=
λ – comprimento de onda
k – número de onda
Figura – (a) comprimento da onda λλλλ é a
distância dentre duas cristas adjacentes. (b)
o período T é o tempo que uma onda leva
para propagar-se um comprimento de onda
vT=λ ⇒ fv λ=
λπ /2=k ⇒ kv /ω=
41
Velocidade transversal de um onda
)( ϕωκ +−= txAy sen
O desvio y em relação ao ponto de equilíbrio é descrito pela função de onda
ou seja, y representa o movimento transversal da corda. Localizando um ponto P para um ponto
fixo x, a velocidade transversal vy e a aceleração ay transversal deste ponto P, pode ser obtido por
t
y
dt
dy
v
x
y
∂
∂
==
=constante
2
2
2
2
t
y
dt
yd
a
x
y
∂
∂
==
=constante
)( ϕωκω +−−= txAv cos
Os valores transversais y , vy e ay oscilam em torno da posição de equilíbrio, atingido seus 
valore máximos, respectivamente por: 
Aymáx =
Av máxy ω=)(
Aa máxy
2)( ω=
)( ϕωκω +−−= txAvy cos )(2 ϕωκω +−−= txAay sen
O símbolo representa a derivada parcial de y em relação à t. Para realizar este cálculo,
fixa a coordenada x constante e deriva a expressão em relação à variável t.
ty ∂∂ /
42
A equação de onda linear
Considerando uma onda se propagando em uma corda esticada, a inclinação da corda em
qualquer ponto é a derivada parcial de y em relação à x. A segunda derivada parcial fornece a
curvatura da corda. Calculando a segunda derivada parcial em relação à x:
2
2
2
2
x
y
dx
yd
t
∂
∂
=
=constante
)(2
2
2
ϕωκκ +−−=
∂
∂
txA
x
y
sen⇒
Como v = ω/κω/κω/κω/κ, dividi-se a derivada parcial segunda de y em relação à t pela derivada parcial
segunda de y em relação x:
)(
)(
/
/
2
2
22
22
ϕωκκ
ϕωκω
+−−
+−−
=
∂∂
∂∂
txA
txA
xy
ty
sen
sen
⇒
2
22
22
/
/
v
xy
ty
=
∂∂
∂∂
Separando em cada membro as derivadas parciais,
2
2
22
2 1
t
y
vx
y
∂
∂
=
∂
∂
A expressão acima, representa a equação de onda, que é uma equação diferencial parcial de 2ª
ordem, que tem como solução a função de onda y(x,t) = A sen ( κκκκx – ωωωωt + ϕϕϕϕ ).
43
Operadores Vetoriais 
Sejam o campo escalar .),,( zyxff =
O operador nabla em coordenadas cartesianas é definido por: k
z
j
y
i
x
ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
Defini-se operador gradiente por: .k
z
f
j
y
f
i
x
f
f ˆˆˆ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
r
O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo e sua orientação
representam a máxima taxa de crescimento dessa função escalar.
Seja o campo vetorial . kzyxFjzyxFizyxFF zyx ˆ),,(ˆ),,(ˆ),,( ++=
r
Defini-se operador divergente por: ( )kFjFiFkjiF zyx ˆˆˆˆˆˆ ++⋅



∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
rr
Defini-se operador divergente por: ( )kFjFiFk
z
j
y
i
x
F zyx
ˆˆˆˆˆˆ ++⋅


 ∂
+
∂
+
∂
=⋅∇
z
F
y
F
x
F
F z
yx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
rr
O divergente representa a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que entra divido 
por volume.
Defini-se o operador rotacional por:
zyx FFF
zyx
kji
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
ˆˆˆ
rr
O rotacional é o vetor representado pela circulação da função vetorial por
unidade de área cujo os componentes x, y, z é normal ao plano definido pela
circulação.
F
r
44
Sites
http://videoseducacionais.cptec.inpe.br/swf/natureza_radiacao/1_2/
Grupo de Reelaboração do Ensino de Física (GREF) - Eletromagnetismo
http://www.if.usp.br/gref/eletromagnetismo.html
45