Gabarito Lista Casa (8)

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MAE116 - Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios 8 - Estimac¸a˜o (gabarito)
Exerc´ıcio 1.
(2,0 pontos) Para avaliar a integrac¸a˜o pol´ıtica dos indiv´ıduos uma pesquisa de aˆmbito nacional
esta´ sendo planejada. Para isso, uma amostra de indiv´ıduos maiores de 18 anos sera´ selecionada
e para avaliar a integrac¸a˜o pol´ıtica os indiv´ıduos respondera˜o a treˆs questo˜es sendo que uma
delas e´ Votaria se o voto na˜o fosse obrigato´rio? Sendo p a proporc¸a˜o de indiv´ıduos que votariam
se o voto na˜o fosse obrigato´rio, responda:
(a) (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimac¸a˜o
de p seja no ma´ximo 0,03 com probabilidade 0,98?
Resposta:
Note que, pelas informac¸o˜es do problema, temos que ε = 0, 03 e γ = 0, 98. Assim, temos
que z = 2, 33 e, como p e´ desconhecido,
n =
(z
ε
)2
× p(1− p) ≤
(
2, 33
0, 03
)2
× 0, 25 ≈ 1508.
�
(b) (1,0 ponto) Suponha que a pesquisa foi planejada com um tamanho de amostra de 1500
indiv´ıduos, observando-se os seguintes resultados:
Votaria Frequeˆncia
sim 769
na˜o 731
Total 1500
Deˆ uma estimativa pontual para p e construa o intervalo de confianc¸a com coeficiente de
confianc¸a de 98%. Qual e´ o erro amostral da estimativa?
Resposta:
Denotemos por X o nu´mero de indiv´ıduos que votariam se o voto na˜o fosse obrigato´rio.
Como o tamanho amostral e´ n = 1500, temos que a estimativa pontual para p sera´
pˆ =
X
n
=
769
1500
≈ 0, 51.
Como γ = 0, 98, temos que z = 2, 33. Portanto, o erro amostral da estimativa sera´
ε = z
√
pˆ(1− pˆ)
n
= 2, 33
√
0, 51(1− 0, 51)
1500
≈ 0, 03.
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Assim, o intervalo de confianc¸a para p, com coeficiente de confianc¸a de 98% sera´
[pˆ− ε; pˆ+ ε] = [0, 51− 0, 03; 0, 51 + 0, 03] = [0, 48; 0, 54].
�
Exerc´ıcio 2.
(2,0 pontos) Uma amostra de trinta dias do nu´mero de ocorreˆncias policiais em certo bairro
de Sa˜o Paulo apresentou os seguintes resultados:
7, 11, 8, 9, 10, 14, 6, 8, 8, 7, 8, 10, 10, 14, 12, 14, 12, 9, 11, 13, 13, 8, 6, 8, 13, 10, 14, 5, 14, e
10.
(a) (0,5 ponto) Calcule uma estimativa pontual para a proporc¸a˜o p de dias violentos, isto e´,
dias com pelo menos 12 ocorreˆncias.
Resposta:
Se denotarmos por X o nu´mero de dias violentos, teremos que sera´
pˆ =
X
n
=
10
30
≈ 0, 33.
�
(b) (1,0 ponto) Fazendo as suposic¸o˜es devidas, construa um intervalo de confianc¸a para a
proporc¸a˜o de dias violentos. Use um coeficiente de confianc¸a de 90%.
Resposta:
A varia´vel X , definida no item (a), tera´ distribuic¸a˜o Binomial sob a suposic¸a˜o de que a
probabilidade de um dia ser violento (ou na˜o) for sempre a mesma, com esse evento sendo
independente dos demais dias, ou seja, um determinado dia sera´ (ou na˜o) violento inde-
pendentemente de um outro dia ter sido (ou na˜o). Usando a aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o
Binomial pela Normal, como γ = 0, 9, temos que z = 1, 64. Assim, o erro amostral da
estimativa sera´
ε = z
√
pˆ(1− pˆ)
n
= 1, 64
√
0, 33(1− 0, 33)
30
≈ 0, 14.
Portanto, o intervalo de confianc¸a, com coeficiente γ = 0, 9 sera´
[pˆ− ε; pˆ+ ε] = [0, 33− 0, 14; 0, 33 + 0, 14] = [0, 19; 0, 47].
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�
(c) (0,5 ponto) Em um ano (360 dias) e com a mesma confianc¸a de 90%, qual seria uma
estimativa do nu´mero de dias violentos nesse bairro.
Resposta:
Como estimativa pontual poder´ıamos considerar, com base no item (a), 360 × pˆ = 360 ×
0, 33 = 118, 8. No caso de considerarmos estimativa intervalar, com confianc¸a de 90%, com
base no item (b), ter´ıamos o intervalo
[360× 0, 19; 360× 0, 47] = [68, 4; 169, 2].
�
Exerc´ıcio 3.
(2,0 pontos) O intervalo [0, 12; 0, 18] e´ o intervalo de confianc¸a constru´ıdo a partir de uma
amostra de tamanho 400, para a proporc¸a˜o p de estudantes, ingressantes na USP em 2010, que
cursaram o ensino me´dio em escola pu´blica.
(a) (0,5 ponto) Qual e´ o valor encontrado para a proporc¸a˜o amostral?
Resposta:
pˆ =
2× pˆ
2
=
pˆ+ ε+ pˆ− ε
2
=
0, 18 + 0, 12
2
= 0, 15.
�
(b) (0,75 ponto) Qual e´ o coeficiente de confianc¸a desse intervalo?
Resposta:
Como a proporc¸a˜o amostral e´ pˆ = 0, 15, temos que o erro amostral da estimativa sera´
ε = 0, 03. Uma vez que a proporc¸a˜o verdadeira e´ desconhecida, podemos utilizar pˆ para
calcular z, fazendo
ε
√
n√
pˆ(1− pˆ)
≈ 0, 03
√
400√
0, 15× 0, 85 ≈ 1, 68.
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Logo, obtemos
γ ≈ 2A(z)− 1 = 2A(1, 68)− 1
= 2× 0, 953− 1 = 0, 906
�
(c) (0,75 ponto) Se utilizarmos essa mesma amostra, mas uma confianc¸a de 95%, qual seria
o novo intervalo?
Resposta:
Se utilizarmos γ = 0, 95, temos que z = 1, 96. Nesse caso, o erro amostral da estimativa
sera´
ε = z
√
pˆ(1− pˆ)
n
= 1, 96
√
0, 15(1− 0, 15)
400
≈ 0, 035.
Logo, o intervalo de confianc¸a sera´
[pˆ− ε; pˆ+ ε] = [0, 15− 0, 035; 0, 15 + 0, 035] = [0, 115; 0, 185].
�
Exerc´ıcio 4.
(2,0 pontos) Para definir as cores dos carros da linha a ser lanc¸ada no pro´ximo ano, uma
montadora selecionou, aleatoriamente, 200 pessoas e apresentou proto´tipos em diversas cores,
anotando a prefereˆncia das pessoas. Setenta e cinco dessas pessoas preferiram uma nova cor
perolada.
(a) (1,0 ponto) A montadora deseja estimar a proporc¸a˜o p de carros dessa cor que sera˜o
solicitados no pro´ximo ano. Determine um intervalo de confianc¸a para p, com 90% de
confianc¸a.
Resposta:
Se denotarmos por X o nu´mero de pessoas que preferiram a nova cor perolada, teremos que
uma estimativa pontual da proporc¸a˜o de carros dessa cor que sera˜o solicitados no pro´ximo
ano sera´
pˆ =
X
n
=
75
200
= 0, 375.
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Utilizando um n´ıvel de confianc¸a γ = 0, 9, temos que z = 1, 64. Assim, o erro amostral da
estimatia sera´
ε = z
√
pˆ(1− pˆ)
n
= 1, 64
√
0, 375(1− 0, 375)
200
≈ 0, 056.
Portanto, o intervalo de confianc¸a sera´
[pˆ− ε; pˆ+ ε] = [0, 375− 0, 056; 0, 375 + 0, 056] = [0, 319; 0, 431].
�
(b) (1,0 ponto) Suponha agora que a montadora decida que um intervalo de confianc¸a, com
coeficiente de 90% para p deve ter comprimento 0, 05. O item (a) atinge esse objetivo?
Resposta:
O comprimento do intervalo obtido no item (a) e´ igual a 0, 431 − 0, 319 = 0, 112, que e´
maior que o comprimento desejado. Para que seja poss´ıvel alcanc¸ar esse objetivo, visto
que o coeficiente de confianc¸a esta´ fixado, e´ necessa´rio aumentar o tamanho amostral de
tal modo que o erro amostral da estimativa seja 0, 025 (pois o comprimento do intervalo
equivale a 2× ε). Como p e´ desconhecido, podemos considerar o valor ma´ximo de p(1− p),
ou seja, p(1− p) = 0, 25. Nesse caso teremos que
n =
(z
ε
)
2
× p(1− p) ≤
(
1, 64
0, 025
)2
× 0, 25 ≈ 1076.
Por outro lado, como ja´ obtivemos alguma informac¸a˜o a respeito de p no item anterior,
uma outra alternativa seria utilizar a amostra do item (a) como sendo uma amostra piloto
e assim, com base na estimativa obtida (pˆ = 0, 375), calcular
n =
(z
ε
)2
× pˆ(1− pˆ) =
(
1, 64
0, 025
)2
0, 375(1− 0, 375) ≈ 1009.
�
Exerc´ıcio 5.
(2,0 pontos) Utilize o programa R, com instruc¸o˜es a seguir, para gerar 200 re´plicas de uma
distribuic¸a˜o binomial, com paraˆmetros n = 80 e p = 0, 75 (probabilidade de sucesso). Para
cada re´plica estima-se a probabilidade de sucesso e constro´i-se o intervalo de confianc¸a (Lim inf,
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Lim sup), com γ = 0, 90. O programatambe´m fornece o nu´mero de intervalos, dentre os 200
gerados, que contem o verdadeiro valor de p.
(a) (1,0 ponto) Calcule a proporc¸a˜o de intervalos que conteˆm o verdadeiro valor de p, dentre
os 200 gerados.
Resposta:
Aqui, dentre os intervalos gerados (ver final da lista, probabilidade de sucesso estimada e
seus respectivos intervalos), em apenas 27 casos o valor p = 0, 75 na˜o pertence ao intervalo.
Portanto, temos que a proporc¸a˜o de intervalos (obtida) que contem o verdadeiro valor de
p = 0, 75 e´ igual a 0,895. �
(b) (1,0 ponto) Comente o resultado obtido.
Resposta:
A proporc¸a˜o de intervalos que conteˆm o verdadeiro valor de p = 0, 75, dentre os 200 gera-
dos, calculada no item (a), corresponde a uma estimativa do n´ıvel de confianc¸a γ = 0, 90.
Pelo resultado do item anterior, que foi pro´ximo do verdadeiro n´ıvel de confianc¸a (no nosso
caso, 0, 895), podemos concluir que os intervalos esta˜o satisfazendo o n´ıvel γ desejado. �
Observac¸o˜es:
1. Instruc¸o˜es comec¸ando por “#”sa˜o comenta´rios;
2. As instruc¸o˜es de comandos devem ser digitadas na tela “Script Windown”e, para serem
executadas, clique em <Submit> (lado direito acima da tela “Output Windown”);
3. Os resultados dos comandos executados aparecera˜o na tela “Output Windown”.
Programa no Rcmdr
# para gerar 200 re´plicas da binomial n = 80, p = 0.75
n_replicas<-200
replicas<- rbinom(n_replicas,80,0.75)
# para estimar a probabilidade de sucesso
p_sucesso<- replicas/80
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# para construir intervalo de confianc¸a para cada re´plica
erro<-1.64*sqrt(p_sucesso*(1-p_sucesso)/80)
Lim_inf<-p_sucesso - erro
Lim_sup<- p_sucesso+erro
#para visualisar os resultados
cbind(p_sucesso,Lim_inf, Lim_sup)
# para contar quantos IC n~ao contem o verdadeiro valor 0,75
aux1<- ifelse(Lim_inf< 0.75,1,0)
aux2<-ifelse(Lim_sup< 0.75,1,0)
indicadora <-ifelse(aux1==aux2,1,0)
sum(indicadora)
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Probabilidades e intervalos de confianc¸a obtidos
p_sucesso Lim_inf Lim_sup
[1,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[2,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[3,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[4,] 0.8125 0.7409333 0.8840667
[5,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[6,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[7,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[8,] 0.7000 0.6159750 0.7840250
[9,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[10,] 0.5500 0.4587808 0.6412192
[11,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[12,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[13,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[14,] 0.8375 0.7698578 0.9051422
[15,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[16,] 0.6250 0.5362324 0.7137676
[17,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[18,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[19,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[20,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[21,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[22,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[23,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[24,] 0.8250 0.7553302 0.8946698
[25,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[26,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[27,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[28,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[29,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[30,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[31,] 0.8625 0.7993563 0.9256437
[32,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
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[33,] 0.6875 0.6025115 0.7724885
[34,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[35,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[36,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[37,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[38,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[39,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[40,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[41,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[42,] 0.6875 0.6025115 0.7724885
[43,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[44,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[45,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[46,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[47,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[48,] 0.6875 0.6025115 0.7724885
[49,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[50,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[51,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[52,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[53,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[54,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[55,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[56,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[57,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[58,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[59,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[60,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[61,] 0.6875 0.6025115 0.7724885
[62,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[63,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[64,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[65,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[66,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[67,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
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[68,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[69,] 0.7000 0.6159750 0.7840250
[70,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[71,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[72,] 0.7375 0.6568240 0.8181760
[73,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[74,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[75,] 0.7000 0.6159750 0.7840250
[76,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[77,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[78,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[79,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
[80,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[81,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[82,] 0.8125 0.7409333 0.8840667
[83,] 0.7000 0.6159750 0.7840250
[84,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[85,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[86,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[87,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[88,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[89,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[90,] 0.7000 0.6159750 0.7840250
[91,] 0.6750 0.5891199 0.7608801
[92,] 0.6625 0.5757981 0.7492019
[93,] 0.7625 0.6844720 0.8405280
[94,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[95,] 0.7125 0.6295130 0.7954870
[96,] 0.8000 0.7266570 0.8733430
[97,] 0.7500 0.6706038 0.8293962
[98,] 0.7250 0.6431282 0.8068718
[99,] 0.7875 0.7124927 0.8625073
[100,] 0.7750 0.6984331 0.8515669
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MAE116 - Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios 8 - Estimac¸a˜o (gabarito)
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Grupo B - 2o semestre de 2012
Lista de exerc´ıcios 8 - Estimac¸a˜o (gabarito)
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Grupo B - 2o semestre de 2012
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