Introdução à Lógica

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Disciplina: Introdução à Lógica
Aula 5: Cálculo proposicional I
Apresentação
Nesta aula daremos continuidade aos estudos iniciados na aula anterior. Cientes das
características e particularidades que envolvem a forma lógica, poderemos dar o
passo seguinte, que consiste em estudar o cálculo proposicional: uma operação
através da qual verificamos a validade de um argumento.
Porém, antes de aprendermos a fazer um cálculo proposicional, necessitamos
conhecer algumas ferramentas. Estes são os operadores proposicionais e
verofuncionais, que têm como finalidade unir duas ou mais proposições formando
uma premissa. Isso leva a formas lógicas mais complexas, que exigem maior rigor na
análise dos argumentos.
Veremos que a construção de tabelas de verdade é de extrema importância para
determinar a validade dos argumentos unidos pelos operadores lógicos. Desse modo,
construiremos as tabelas de verdade de cada um dos operadores verofuncionais, para
que você compreenda seu papel e aplicação na análise lógica dos argumentos.
Objetivos
Explicar a natureza do cálculo proposicional;
Identificar os operadores verofuncionais;
Analisar a tabela de verdade e o problema da condicional.
Operadores proposicionais
Como vimos na aula passada no tópico sobre Validade Formal, caso
troquemos a palavra “e” pela palavra “ou”, obteremos uma forma lógica
inválida:
P ou Q. 
Logo, P.
1. Por que essa forma lógica é inválida?
Vamos fazer uma análise desse tipo de argumento:
Maradona é brasileiro ou Maradona é argentino.
Premissa
Logo, Maradona é brasileiro.
Conclusão
Estamos diante de um argumento inválido, pois sua premissa é verdadeira e
sua conclusão é falsa.
O que podemos concluir dessa constatação?
Que a palavra “ou” e a palavra “e” cumprem uma função capital na forma
lógica. Isso porque a simples substituição de uma pela outra leva à passagem
de uma forma lógica válida para uma forma lógica inválida.
Lembra-se que o título da nossa aula é “Operadores Proposicionais”? Pois é,
tanto a palavra “e” quanto a palavra “ou” são operadores proposicionais.
Podemos definir operador proposicional como toda
palavra ou expressão que, ao ser acrescentada a uma ou
mais proposições, leva à formação de novas proposições.
Suponha que quiséssemos acrescentar o operador “e” à proposição “Maradona
é brasileiro” ou “Maradona é argentino”.
O resultado seria uma nova proposição:
Maradona é brasileiro e Maradona é argentino.
Geralmente encontramos esse tipo de proposição abreviada da seguinte
maneira: “Maradona é brasileiro e argentino”.

Atenção
No caso do exemplo acima, o argumento é válido, pois a premissa é falsa
e a conclusão é falsa.
Existem inúmeros operadores proposicionais, “e” e “ou” são apenas alguns
deles.
Veja outros exemplos:
Operadores proposicionais
Penso que Tenho medo que Não Se Então
Tenha sempre isso em mente, pois é fundamental saber que alguns
operadores proposicionais se aplicam a apenas uma proposição, enquanto
outros se aplicam a mais de uma.
O operador “e”, por exemplo, só pode ser aplicado em duas ou mais
proposições. Contudo, para aplicar operador “penso que” precisamos de
apenas uma proposição.
Devido ao nome, você já deve ter associado que os operadores
proposicionais são aplicados apenas a proposições. Logo, às “partes de
proposições” não se aplicam os “operadores”, como, por exemplo, em “é
lindo”. “É grande e pesado”, embora haja o operador “e”, não é uma
proposição.
Evidentemente, em nosso cotidiano, usamos esse tipo de expressão o tempo
todo, pois estamos fazendo abreviações. Essa construção pode ser a
abreviação para “o lutador é grande e pesado”, por exemplo.
Operadores verofuncionais
Operadores verofuncionais, também conhecidos como conectivos
proposicionais, são aqueles cujo valor de verdade da proposição com o
operador é completamente determinado pelo valor de verdade da proposição
sem o operador.
São exemplos de operadores verofuncionais:
ou 
Disjunção
e 
Conjunção
Os operadores lógicos têm a função de ligar duas ou mais proposições. No
caso dos operadores verofuncionais, partimos de duas proposições, P e Q,
conectadas pelo operador “ou”, por exemplo, cujo valor de verdade de “P ou
Q” passaremos a saber no momento em que conhecermos o valor de verdade
das proposições P e Q.

Exemplo
Veja o seguinte exemplo:
Caso saibamos que Maria não está no cinema, mas, sim, na casa dos
pais, então sabemos que a proposição “Maria está no cinema ou na casa
dos pais” é verdadeira, assim como sabemos que a proposição “Maria
está no cinema e na casa dos pais.” é falsa.
Contudo, mesmo que tenhamos o conhecimento de que Maria está na
casa dos pais, não podemos saber se “Rubem pensa que Maria está na
casa dos pais” é verdadeira ou falsa.
Podemos concluir, portanto, que “e” e “ou” são operadores verofuncionais
porque os valores de verdade de “Maria está no cinema” e “Maria está na
casa dos pais” determinam completamente o valor de verdade de “Maria
está no cinema ou na casa dos pais”.
Porém, “Rubem pensa que Maria está na casa dos pais” não é um
operador verofuncional uma vez que o valor de verdade “Maria está na
casa dos pais” não é o bastante para determinar o valor de verdade de
“Rubem pensa que Maria está na casa dos pais”.
Tabela de verdade
Devemos estar atentos às especificidades dos operadores verofuncionais. Isso
porque ocorre algo interessante ao estabelecermos as condições de verdade
de proposições formadas a partir desse tipo de operador lógico.
Caso não saibamos se Maria está na casa dos pais, ou se está no cinema, ou
se está na praia ou em qualquer outro lugar, sabemos ao menos isto:
Proposição
Maria está no cinema ou na casa dos pais.
Falsa 
Se Maria não estiver na casa dos pais nem no cinema.
Verdadeira 
Se Maria estiver na casa dos pais ou no cinema.
Isso ocorre com toda e qualquer proposição que apresenta a forma lógica “P
ou Q”.
As proposições que apresentam essa forma lógica só serão falsas no caso de P
e Q serem ambas falsas. Caso contrário, serão sempre verdadeiras.
Isso pode ser especificado graficamente construindo a tabela que se segue:
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
A tabela de verdade é um instrumento importante, pois nos auxilia na análise
lógica dos argumentos na medida em que exibe as condições de verdade de
uma forma proposicional que nos seja apresentada.
Não é demais lembrar que as condições de verdade das proposições são
determinadas pelas circunstâncias que fazem com que a proposição seja
verdadeira ou falsa.
Perceba que cada coluna da tabela expressa as condições de verdade da
proposição gerada pelo operador “ou”.
Passemos, então, à interpretação desta tabela:
1
A forma lógica “P ou Q” possui apenas quatro condições de verdades
resultantes da combinação dos dois valores de verdades possíveis de P e Q.
2
As proposições P e Q podem ser ambas verdadeiras ou ambas falsas, bem
como pode ocorrer de uma ser a verdadeira e a outra falsa ou vice-versa.
3
Essas condições de verdade estão expressas nas colunas que formam nossa
tabela de verdade. A tabela deve apresentar todas as condições de verdade
da proposição analisada.
4
Está claro que tanto faz que P seja verdadeira e Q falsa quanto o contrário.
Isso porque em ambos os casos o resultado será V (verdadeiro). Contudo,
mesmo assim, é preciso representar essas duas condições de verdade.
Os cinco operadores
verofuncionais
No que se refere à lógica proposicional clássica, temos cinco operadores
verofuncionais responsáveis pelo estudo da argumentação e da validade dos
argumentos.
Esses cinco operadores verofuncionais originam cinco formas proposicionais,
são elas:
Disjunção inclusiva: P ou Q
A disjunção apresenta uma peculiaridade: possui dois tipos. Por hora,
veremos a disjunção inclusiva.
Disjunção inclusiva é toda proposição representada pela forma “P
ou Q” e disjuntas a P e a Q.
Essa é sua tabela de verdade que já vimos aqui:
P Q P ou Q
V V V
V F V
F V V
F F F
Conjunção: P e Q
Chamamos de conjunção toda ligação entre proposições feita através da
letra “e”,que pode ser indicada pelo símbolo “ʌ” ou pelo símbolo do
ponto “.”.
Considerando a relação estabelecida por uma conjunção, o valor de
verdade será representado por esta tabela de verdade:
P Q P ˄ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
Negação: não P
A negação é bem simples: será uma negação qualquer proposição da
forma “não P”.
Existem outras duas maneiras de representar essa forma proposicional:
“~P” e “¬P”.
Podemos resumir da seguinte maneira: a negação de todo enunciado
verdadeiro é falsa e a negação de todo enunciado falso é verdadeira.
A tabela de verdade da negação é bem simples:
P Q ¬P
V F
F V
Veja um exemplo:
“Pelé é brasileiro” (“P” é verdadeira). Essa afirmação é verdadeira,
portanto sua negação, “Pelé não é brasileiro”, é falsa (“~P” é falsa).
Condicional: se P, então Q
Condicional é aquela proposição que apresenta a forma “Se P, então Q”.
Ela se chama antecedente a P e consequente a Q.
Em um enunciado condicional, uma sentença implica outra sentença.
Precisamos estar atentos ao fato de que um enunciado condicional
verdadeiro não pode ocorrer de um antecedente ser verdadeiro e o
consequente falso.
Analise este exemplo:
“Se o presidente da república sofreu um golpe, então ele não cumpriu o
seu mandato”.
Quer dizer que, do enunciado “O presidente da república sofreu um
golpe.”, conclui-se da proposição que “ele não cumpriu seu mandato”. O
sinal de implicação (“se”..., “então”) é representado pela flecha “→”.
Veja como fica a tabela de verdade para o enunciado condicional:
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Cabe dizer que os enunciados condicionais são importantes no que diz
respeito à reflexão acerca das condições suficientes e necessárias que
ligam as sentenças.
Observe:
“Se Rafael é soteropolitano, então Rafael é baiano.” (P → Q)
Isso é o mesmo que dizer que ser soteropolitano é condição suficiente
para ser baiano. Em outras palavras: “da verdade de P segue-se a
verdade de Q”, ou seja, P é, por definição, condição suficiente de Q.
Analise outro exemplo:
“Se Guilherme é casado, então ele já foi solteiro.” (R → S)
R só será verdadeira se S também for verdadeira, já que S é condição
necessária de R: não é casado quem nunca foi solteiro.
Bicondicional: P se, e só se, Q
Vimos que as sentenças condicionais colocam uma relação de único
sentido. Já a relação de equivalência estabelece uma bicondicionalidade,
ou seja, se dá em dois sentidos.
Trata-se, portanto, da conjunção de duas condicionais: “Se P, então Q, e
se Q, então P”.
Por exemplo: “O presidente terminaria seu mandato se e somente se não
tivesse sofrido um golpe político”.
Veja agora as condições de verdade da bicondicional. Como o nome
indica, trata-se da conjunção de duas condicionais: “Se P, então Q, e se
Q, então P”.
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Analise este exemplo:
“O destino só é possível se, e somente se, o universo for determinado
por Deus.”
Essa bicondicional será verdadeira somente em duas situações:
Quando o destino é possível e o universo determinado;
Quando o destino não é possível e o universo não é determinado.
Atividade
2. Das opções a seguir, qual é uma proposição condicional?
 a) O senador não renunciou.
 b) Se o senador renunciou, então não cumpriu seu mandato.
 c) O senador renunciou, se e somente se não permaneceu no cargo
até o final de seu mandato.
 d) O senador renunciou e cumpriu o seu mandato.
 e) O senador renunciou ou não renunciou ao seu mandato.
Constantes lógicas
Podemos usar símbolos que representem os operadores verofuncionais. Desse
modo, ao invés de escrevermos “P ou Q” para uma disjunção, escrevemos
apenas “P ˅ Q”.
Os símbolos usados para expressar os operadores verofuncionais são:
¬P 
Não P 
Negação
P ˄ Q 
P e Q 
Conjunção
P ˅ Q 
P ou Q 
Disjunção (inclusiva)
P → Q 
Se P, então Q 
Implicação ou condicional
P ↔ Q 
P se, e só se, Q 
Bicondicional ou equivalência

Atenção
Esses símbolos recebem o nome de constantes lógicas. Os símbolos P,
Q etc. são variáveis proposicionais, não confundam.
P, por exemplo, é uma variável pelo fato de simbolizar qualquer
proposição. Já as constantes simbolizam apenas as expressões referentes
aos operadores verofuncionais.
Disjunção inclusiva x exclusiva
Como vimos, a disjunção inclusiva é toda proposição representada pela
forma “P ou Q” e disjuntas a P e a Q.
Já a disjunção exclusiva é o tipo de disjunção que só é verdadeira no caso
de apenas uma das proposições disjuntas ser verdadeira. Veja como fica a
tabela de verdade da disjunção exclusiva:
P Q P ou Q
V V F
V F V
F V V
F F F
Note que essa tabela é bem diferente daquela em que estava representada a
disjunção inclusiva. Aqui “P ou Q” só é verdadeira na segunda e terceira linha.
Isso quer dizer que a palavra “ou” é ambígua entre dois significados
verofuncionais muito distintos. Em muitos casos, repetimos a palavra “ou” a
fim de ressaltar a exclusividade da disjunção.
Isso ocorre neste tipo de proposição:
“Ou Maradona nasceu na Argentina ou no Brasil”.
Nesse caso, sempre se uma for verdadeira a outra será falsa. Perceba a
diferença quando estamos diante de uma disjunção inclusiva.
“Ou Rafael foi ao cinema ou Marcus foi ao cinema”.
Nesse caso, a repetição do “ou” é apenas para dar ênfase à frase. Trata-se de
uma disjunção inclusiva pelo fato de uma delas ser verdadeira e não fazer
com que a outra seja falsa.
Atividade
3. Correlacione a tabela de verdade referente a cada um dos operadores
verofuncionais estudados nesta aula.
a)
P ¬P
V F
F V
b)
P Q P ʌ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
c)
P Q P → Q
V V V
V F F
F V V
F F V
d)
P Q P ˅ Q
V V F
V F V
F V V
F F F
e)
P Q P ↔ Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Referências
ALVES, Alaôr Café. Lógica: pensamento formal e argumentação. São Paulo: Quartier
Latin, 2005.
CHAUI, Marilena. Convite à filosofia. São Paulo: Ática, 2000.
COPI, Irving M. Introdução à Lógica. 2. ed. São Paulo: Mestre Jou, 1978.
KELLER, Vicente. Aprendendo Lógica. Petrópolis: Vozes, 2008.
MORTARI, Cezar. A. Introdução à Lógica. São Paulo: UNESP, 2001.
SMULLYAN, R. M. Lógica de Primeira Ordem. São Paulo: UNESP, 2009.
Próximos Passos
Condições necessárias e suficientes;
Valoração;
Uso da tabela de verdade no cálculo proposicional;
Tautologia, contradição e contingência;
Formalização e âmbito;
Formas proposicionais simples e complexas.
Explore mais
Assista ao vídeo sobre lógica proposicional
<https://www.youtube.com/watch?v=bKef0ZvQyLs> que trata em particular
dos operadores lógicos, condição de verdade e tabelas de verdade.
https://www.youtube.com/watch?v=bKef0ZvQyLs