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Trigonometria Ciclo Trigonométrico Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Marcio Eugen Klingenschmid Lopes dos Santos Revisão Técnica: Profa. Ms. Adriana Domingues Freitas Revisão Textual: Prof. Ms. Fatima Furlan 5 • Introdução • Números Congruentes • Função Tangente • Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica • Relação Fundamental Nesta unidade, estudaremos: - Definição; - Correspondência entre número e pontos no ciclo; - Números congruentes; - Seno no ciclo trigonométrico; - Cosseno no ciclo trigonométrico; - Seno e Cosseno de 30º, 45º e 60º; - Seno e cosseno de números congruentes; - Relação fundamental; - Aplicações. Ao término desta Unidade, desejamos que você seja capaz de resolver atividades que envolvam os tópicos abordados sobre o ciclo trigonométrico. · Iniciaremos pela definição do ciclo trigonométrico, depois passaremos a correspondência entre números reias e os pontos do ciclo, números congruentes, as relações de seno e cosseno no ciclo trigonométrico e a relação fundamental. · Situações práticas e aplicações envolvendo os conteúdos abordados sobre o ciclo trigonométrico encerram a unidade. Ciclo Trigonométrico 6 Unidade: Ciclo Trigonométrico Contextualização Veja algumas situações-problema em que usamos os tópicos abordados na unidade sobre ciclo trigonométrico. 1. Uma colônia de bactérias de população B se prolifera segundo a variação de tempo t, obedecendo a função: B(t) = 275 – 150 cos [ (t+2)л ]/3 Considerando que o tempo é dado em horas. Qual será quantidade de bactérias daqui a 11 horas? a) Qual a relação entre o tempo e o tamanho da população de bactérias? b) Qual função trigonométrica está sendo utilizada nesse exercício? c) Qual seria o gráfico dessa função? Qual o ponto de partida do gráfico? d) Que relações matemáticas estão envolvidas na resolução desse exercício? 2. O lucro de uma grande empresa, em milhões de dólares, é dado por? L(y) = 200 + 20x + 10. Sen (лy/8), onde: Y = 0 corresponde ao ano de 2010 Y= 1 corresponde ao ano de 2011 Y= 2 corresponde ao ano de 2012 e assim sucessivamente. a) Qual será o lucro dessa empresa em 2018? b) Qual a relação entre o tempo em anos e o lucro da empresa? c) Qual relação trigonométrica está sendo utilizada para determinar o lucro dessa empresa?. 3. Um braço de rio lança ao oceano certa quantidade de água em função do tempo. Sabendo que o nível da maré influencia a quantidade de água doce despejada ao mar, sendo que na maré baixa MB, a água avança em direção ao mar na ordem de 100000 litros por hora, enquanto na maré alta MA, avança 50000 litros por hora. 7 Considerando que a função de água lançada ao oceano A(t) é dada pela função A(t) = 1000 + sen л.t a) Qual seria o tópico estudado nessa unidade utilizado para resolver esta questão? b) Qual o relação entre a maré e o despejo de água no oceano? c) Qual a diferença entre o despejo na Maré baixa e na Maré alta para um período de 2 horas? d) Que relações podem ser estabelecidas entre a função seno e o despejo de água em função do tempo? 4. Depois de três horas, qual será a medida do ângulo formado pelo ponteiro dos minutos? a) Qual a relação entre os ponteiros do relógio e o ângulo? b) Qual o seno e cosseno do ângulo formado? Em qual dos eixos estará o resultado dessa relação? c) E se a pergunta fosse feita em relação ao ponteiro dos segundo, o que mudaria? 8 Unidade: Ciclo Trigonométrico Introdução Considere uma circunferência de raio 1 e origem O. Essa circunferência se denomina ciclo trigonométrico ou circunferência trigonométrica. Os pontos 0; л/2; л; 3л/2 e 2л são as intersecções do circulo trigonométrico com os eixos de coordenadas x e y, que dividem o ciclo em 4 partes idênticas, denominadas quadrantes. I r=1 II III IV 0O 2 π 2π 3π π 2 Na figura, pode-se observar que: • I Quadrante está compreendido entre 0º e 90º ; • II Quadrante está compreendido entre 90º e 180º; • III Quadrante está compreendido entre 180º e 270º; • IV Quadrante está compreendido entre 270º e 360º. Sabendo as divisões do ciclo trigonométrico, podemos identificar a qual quadrante um arco pertence e também estabelecer as relações com outros arcos de diferentes valores, que podem ser congruentes em certos casos. Como base para orientação do comprimento do arco utilizamos o ponto A como ponto de partida, origem do ciclo, percorrendo no sentido horário ou anti-horário, dependendo de cada caso. Saber a correspondência entre um número real e ligá-lo a pontos do clico trigonométrico é uma tarefa importante. A O 1 -1 1-1 x y Supondo que um número x tenha valor igual à zero (x=0), podemos fazer a correspondência desse número com o ponto de origem do ciclo. No caso do número ser diferente de zero, teremos duas opções, para o caso de x >0, deve-se percorrer o sentido anti-horário. E para valores de x< 0, percorremos o sentido horário. O ponto correspondente no ciclo será a imagem de x e o comprimento do percurso será o modulo de x. Vamos determinar a imagem do número x= л/2, que representam um quarto do ciclo. 9 Arcos Congruentes A congruência ocorre toda vez que uma nova volta se completa sobre um ponto. Por exemplo, um ponto x acrescido de uma volta 2л, é exatamente x mais uma volta. Podemos exemplificar com arcos côngruos ou congruentes: x; x+2л; x+4л; x+6л; x+8л; etc., onde x representa a medida angular de um arco da circunferência. (Percorrendo-se na orientação positiva do ciclo trigonométrico, ou seja, no sentido anti-horário) O mesmo vale para x-2л; x-4л; x-6л; x-8л; etc. (Percorrendo-se na orientação negativa do ciclo trigonométrico, ou seja, no sentido horário) Generalizando, temos que x ± (número par)л Vamos ver alguns exemplos de números congruentes: a) Quais os números congruentes a л/2 • Com o acréscimo de uma volta no sentido anti-horário (+): л/2 + 2 л = 5 л/2 • Com o acréscimo de uma volta no sentido horário (-): л/2 - 2 л = - 3 л/2 • Com o acréscimo de duas voltas no sentido anti-horário (+): л/2 + 4л = 9 л/2 • Com o acréscimo de duas voltas no sentido horário (-): л/2 - 4л = - 7л/2 b) No circulo trigonométrico, vamos marcar a imagem do número indicado: • 36л 36л = 18 . 2л + 0 18 voltas completas a partir de 0л 36л = é congruente a 0 (zero) • 19π 19π = 18π + π 19π = 9.2π + π 9 voltas (9π) 19π é congruente a π. 10 Unidade: Ciclo Trigonométrico • 43л/4 43л/4 = (40л + 3л)/4 43л/4 = 10л + 3л/4 5 voltas (10л) 43л/4 é côngruo a 3л/4. Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Considerando um arco trigonométrico AB de qualquer de medida α, denomina-se cosseno de α a abscissa (x) do ponto B, e temos que o seno desse mesmo α é a ordenada (y) do ponto B. A seguir, apresentamos a tabela com os valores notáveis presentes no ciclo trigonométrico. f(x) x 0º 90º 180º 270º 360º Sen 0 1 0 -1 0 Cos 1 0 -1 0 1 Os pontos da circunferência trigonométrica que interceptam os eixos das coordenadas são: A= (1,0) ; B= (0,1) ; C =(-1,0) e D =(0,-1). Podemos admitir que dado um número x qualquer, o correspondente em x (Abscissa) é o cosseno de x, e o correspondente em y (ordenada) é o seno de x. Denomina-se de a o ponto referente ao cosseno de x e b o ponto referente ao seno de x no ciclo trigonométrico. A O Cosx=a Senx=b 1 -1 1-1 x x y Algumas observações sobre a função seno e cosseno: - A imagem da função seno é o intervalo [ -1,1]; - O contradomínio da função seno não é igual a sua imagem, logo a função não é sobrejetora. - A função seno é impar. - A função seno também não é injetora, pois para diferentes valores de x temos muitas vezes a mesma imagem. 11 - A função seno é uma função periódica, de período 2л. - A função cosseno não é injetora e nem sobrejetora. - A função cosseno é par. - O período da função cosseno é 2л. Seno e Cosseno de 30º, 45º e 60º As definições já apresentadas na unidade sobre as relações métricas no triangulo retângulo em um triangulo agudo são equivalentescom as definições do ciclo trigonométrico. Porém no ciclo trigonométrico assumimos a hipotenusa h = 1 já que tratamos de um ciclo de raio 1. Logo: Sen x = Cateto oposto a x / hipotenusa, ou seja = b/1 = b Cos x = Cateto Adjacente a x / hipotenusa, ou seja = a/1 =a Os ângulos mais utilizados em graus ou radianos são apresentados a seguir na tabela, para 30º = л/6; 45º = л/4; 60º = л/2 e 90º = л. 30º 45º 60º Seno 1 2 2 2 3 2 Cosseno 3 2 2 2 1 2 Congruência de números no ciclo trigonométrico Para valores de seno e cosseno de números congruentes, basta lembrar que o valor acrescido de uma ou mais voltas nos fornecerá o valor côngruo. Logo para todo valor de x, real e inteiro, temos: Sen x = (x+ 2л) Cos x = (x+ 2л) Para compreender melhor essas relações, vejamos um exemplo, determinando o seno e cosseno do ângulo indicado: 12 Unidade: Ciclo Trigonométrico • 1350º 1350º / 360º 1350º = 3. 360º + 270º. Então, sen 1350º = sen 270º = sen 3л/2 = -1 cos 1350º = cos 270º = cos 3л/2 = 0 • 3780º 3780º / 360º 3780º = 10 . 360º + 180º. Ou Seja: 5 voltas inteiras a partir de 180º Então, Sen 3780º = sen 180º = Sen л = 0 Cos 3780º = cos 180º = Cos л = -1 Função Tangente Definimos função tangente como sendo uma função f(x) = tg x ou y = tg x, com x ≠ л/2+k л, k ∈ Z. A tg α = AT α T t M O B B’ . Considerando um arco AM presente no ciclo trigonométrico, denomina-se tangente de x a ordenada correspondente ao ponto T, que pode ser determinado ao se prolongar a raio, como podemos verificar na figura apresentada. Ou seja: o ponto T é o ponto de intersecção entre a reta (prolongamento do raio) OM e a reta tangente. Podemos obter o valor da tangente de um ângulo, conhecidos os valores de seno e cosseno a partir da seguinte relação: Tg x = sen x / cos x A função tangente tem o seguinte comportamento quando analisada graficamente; • 1º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞. • 2º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de - ∞ a 0. 13 • 3º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞. • 4º quadrante: Se x cresce, a tangente cresce de - ∞ a 0. A seguir, apresentamos uma tabela com alguns valores de tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º. 30º 45º 60º Tg 3 3 1 3 Para compreender melhor a função tangente, resolveremos a seguir alguns exemplos: a) Verifique se a tangente é maior ou menor que zero para os seguintes casos: • tg 85º Localizado no 1º quadrante, podemos afirmar que x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞. Logo, a tangente de 85º é maior que zero para esse ângulo. • tg 190º Localizado no 3º quadrante, podemos afirmar que se x cresce, a tangente cresce de 0 a + ∞. Logo, a tangente de 190º é maior que zero para o ângulo indicado. • tg 7л/6 Sabendo que 7л/6 = (7. 180º) /6 = 210º 210º está localizado no terceiro quadrante. Logo, podemos afirmar que se x cresce, a tangente cresce de 0 a -∞. Logo, a tangente de 7л/6 é maior que zero para o ângulo indicado. • tg 130º Localizado no 2º quadrando, podemos afirmar que se x cresce, a tangente cresce de 0 a -∞. Logo, a tangente de 130º é menor do que zero. A função tangente também é uma função periódica, com período igual a л, que se repetirá em [л, 2л] ,[2л, 3л] e assim sucessivamente. Podemos também ter casos em que precisamos calcular a tangente da soma de dois ângulos. Para tal tarefa seguiremos os seguintes passos: Sabendo que soma dos cossenos e dos senos são dadas por: 14 Unidade: Ciclo Trigonométrico cos ( x + y ) = cos x. cos y – sen x . sen y sen ( x + y ) = sen x . cos y + sen y . cos x A tangente da soma será: Tg sen x y (x + y) = ( ) cos (x y) + + Ou ainda: Tg tg x tg tg x tg y (x + y) = y � �1 . Agora, demonstraremos como calcular o seno, cosseno e a tangente do angulo de 75º utilizando os valores dos ângulos notáveis que são os ângulos de 30˚, 45˚ e 60˚. Substituindo o valor de 75˚ pela soma de 30˚+ 45˚. cos75˚ = cos (30˚+ 45˚) = (cos 30˚.cos 45)˚ - ( sen 30˚.sen 45˚) cos75˚ ( )75 3 / 2 . 2 / 2 – 1 / 2 . 2( ( ) )) ( ))/ 2 6 / 4 2 / 4Cos = = − sen75˚= sen (30˚+ 45˚) =( sen 30˚.cos 45)˚ + (.sen 45˚. cos 30˚) sen75˚= (1 /2 . 2 / 2) + ( 2 / 2 . 3 / 2 )= 2 / 4 + 6 / 4 tg75˚ = ( 3 ) ( 3 ) / 3 3 3 ( 3 ) )) / 3 1 3 75 1 – / 3 .1 (3 – / 33) 33 – tg + + = + = = tg75˚ = Da mesma forma, podemos também utilizar a subtração entre ângulos conhecidos para se determinar o ângulo de 15º. Considerando que o cosseno, seno e a tangente da diferença são dados por: cos( x - y ) = cosx.cosy + senx.seny sen( x - y ) = senx.cosy – seny.cosx 15 tg ( x – y ) = ( )– 1 . tg x tgy Tg x y tgx tgy - = + Resolvendo: cos 15˚= cos ( 60˚ - 45˚ ) = cos 60˚.cos 45˚ + sen60˚.sen45˚ cos 15˚= .(1 / 2. ( 2 ) / 2 ) ) + (( 3 ) / 2. ( 2 / 2 ) ) = 2 ) / 4 + 6 ) / 4 sen15˚= sen ( 60˚- 45˚ ) = sen 60˚.cos 45˚ - sen45˚. cos60˚ sen15˚ = ( ) 3 2. 2 /2 2 2 . ½ 6 4( ( ) ) ( 2 /) 4)− = − tg15˚ = 60 45 3 1 3 1 15 (60 45 ) 1 60 . 45 1 ( 3.1) 1 3 tg tg tg tg tg tg - - - = - = = = + + + Racionalizando: tg 15º= 3 1 1 3 1 3 1 3 3 1 9 3 1 9 1 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 3 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . . ( �� � � 2 2 3 Relação Fundamental A relação fundamental pode ser obtida aplicando-se o teorema de Pitágoras no triangulo contido na figura, elevando os catetos ao quadrado, no caso os valores de seno e coseno resultando no valor da hipotenusa ao quadrado, que é o é valor do raio de medida 1. Logo a relação é dada por sen2x + cos2x =1. A O Cosx Senx 1 -1 1 1 -1 x P y 16 Unidade: Ciclo Trigonométrico Podemos exemplificar a relação fundamental, aplicando tal relação para o cálculo do cosx na condição em que senx =3/5 e 0º < x <90º. É possível afirmar que x está no 1º quadrante do ciclo trigonométrico, portanto o cosseno de x deve ser maior que zero. Aplicando a relação fundamental, temos: sen2 + cos2 =1 logo cosx = � �1 2sen x cosx = 2 31 1 2 5 9 16 1 4/5 25 25 Cosx sen x Cosx æ ö÷ç= ± - = - ÷ç ÷çè ø = - = = cosx= 2 31 1 2 5 9 16 1 4/5 25 25 Cosx sen x Cosx æ ö÷ç= ± - = - ÷ç ÷çè ø = - = = Além de entender as funções trigonométricas, bem como as relações e outros conceitos abordados no estudo da trigonometria, é muito importante lembrar um pouco sobre os produtos notáveis, que nos auxiliam em diversas situações, que são apresentadas a seguir em um breve resumo. Produtos notáveis • Quadrado da soma de dois termos ( x + y )2 = x2 + 2.x.y + y2 Exemplo: ( x + 2 )2 = x2 + 2.x.2 + 22 = x2 + 4x + 4 • Quadrado da diferença de dois termos ( x - y )2 = x2 - 2.x.y + y2 Exemplo: ( x - 3 )2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9 • Produto da soma pela diferença de dois termos x2 - y2 = ( x + y). ( x – y ) Exemplo: ( x -2 ). ( x + 2 )= x2 + 2x - 2x – 4 = x2 – 4 17 Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre Ciclo trigonométrico, consulte as indicações a seguir: 1. O presente artigo intitulado “Trigonometria no Ensino Médio: A Construção de Alguns Conceitos”, de Cristiane Maria Roque Vazquez, investiga com quatro turmas do Ensino Médio de uma escola pública os conceitos de trigonometria com a atuação ativa dos alunos, permitindo a formulação de conceitos e suas relações. http://goo.gl/i6E8Jy 2. http://goo.gl/oBDyZL 3. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/circulo_trigonometrico.htm 4. O capitulo 4 do livro Matemática contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante. São Paulo, Ática, 2000. 5. A parte 10 do livro Matemática do Ensino Médio (volume I), de Antonio dos Santos Machado. São Paulo, Atual, 1996. 18 Unidade: Ciclo Trigonométrico Referências DANTE, L. R. Matemática: Contexto e aplicações – Vol 1. São Paulo:Ática, 2011. GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. 2.ed.. São Paulo: FTD, 2005 IEZZI...[et.al], Gelson. Matemática: Ciência e aplicações: Ensino médio. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 2010. MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola:Ensino médio – Vol.1. 2.ed. São Paulo: Atual, 1996. 19 Anotações www.cruzeirodosulvirtual.com.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 CEP 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000
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