propriedade das relações binárias

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Marizia Baptista Tomás Saide
Mandela Dos Santos Adamo
Mussa Mário Jafar
Osório Santos Muleva Dzonzi
Osvaldo Inácio Pedro
Ronaldo João Erasto
Sandra Raimundo Arnança
Sande João Chicote
Sérgio Paulo Mustafa
Selemane Amuli
Suzana Diona de Amparo Langa
Telvina Manuel Damas
Trindade João Matos
Relações Binárias; Propriedades das relações binárias; Propriedade Tricotomica; Propriedade Dicotómica; Propriedade de ordem (sentido lato, parcial e total) 
Universidade Rovuma
Lichinga
2021
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Marizia Baptista Tomás Saide
Mandela Dos Santos Adamo
Mussa Mário Jafar
Osório Santos Muleva Dzonzi
Osvaldo Inácio Pedro
Ronaldo João Erasto
Sandra Raimundo Arnança
Sande João Chicote
Sérgio Paulo Mustafa
Selemane Amuli
Suzana Diona de Amparo Langa
Telvina Manuel Damas
Trindade João Matos
Relações Binárias; Propriedades das relações binárias; Propriedade Tricotomica; Propriedade Dicotómica; Propriedade de ordem (sentido lato, parcial e total) Trabalho de Carácter Avaliativo em Grupo, da Cadeira de Lógica e Teoria de Conjunto, Licenciatura em Ensino de Matemática, 1°Ano, Recomendada pela:
Docente:
Dra. Nivia Malauene
Universidade Rovuma
Lichinga
2021
Índice:
Introdução...............................................................................................................................4
Conceito de Relação..............................................................................................................5
Relações Binárias..................................................................................................................5
Propriedades das Relações Binárias................................................................................6
Propriedade Tricotomica..................................................................................................11
Propriedade Dicotomica...................................................................................................12
Propriedade de Ordem ( Sentido Lato, Parcial e Total)............................................13
Exercícios Propostos..........................................................................................................14
Conclusão..............................................................................................................................16
Bibliografia...........................................................................................................................17
Introdução 
O presente trabalho de caracter avaliativo da Cadeira de Logica e Teoria de Conjunto, que visa abordar e ilutrar sobre As Relacoes no Contexto Matematico, sendo estas, Ligações entre elementos de conjuntos, que são representados usando uma estrutura chamada o tema central do presente trabalho (relação). O conteudo que se segue, e de extrema importancia que requer de forma cuidadosa muita atencao, visto que, no nosso dia-a-dia estamos freqüentemente utilizando o conceito de relações, tais como, Comparar objetos (maior, menor, igual); Marido-Mulher, Pai-para-filho, Pai-mãe-filho; etc. Relações estas podem tabem ser usadas para resolver problemas tais como, Determinar quais pares de cidades são ligadas por linhas aéreas em uma rede; Busca de uma ordem viável para diferentes fases de um projecto; Elaboração de um modo útil de armazenar informações em bancos de dados computacionais, entre outros Problemas, que A relação pode Solucionar. O conteudo que segue, abordara tambem aspectos da ramificacao da Relacao, onde observar-se-a topicos como, Relacao Binarias, Suas propriedades.
Relação
Conceito da relação
A palavra relação tem como origem latina "relatio",tem diversas acepções, no contexto geral ela é uma correspondência ou conexão entre algo ou alguém com outra coisa ou outra pessoa. A noção de relação é usada em diversas ciências para explicar todo tipo de fenómeno como acontece na matemática.
Uma relação é uma correspondência (ou associação) entre elementos de dois conjuntos não vazios. Mais especificamente, seja R uma relação definida do conjunto A com o Conjunto B. O conjunto A é denominado conjunto de partida e o conjunto B é denominado conjunto de chegada. A correspondência (ou relação) entre um dado elemento a ∈ A com um elemento b ∈ B, quando definida, é denotada pelo par ordenado (a,b), onde o primeiro elemento do par ordenado procede do conjunto de partida A e o segundo do conjunto de chegada B.
Relações Binárias
Uma relação binária (ou apenas relação) é definida sempre sobre dois conjuntos, A e B, que podem ser iguais ou diferentes, estabelecendo alguma regra para relacionar um elemento a ∈ A com outro elemento b ∈ B. Em outras palavras, para definir uma relação de A em B devemos escolher (ou dizer como devem ser escolhidos) certo pares ordenados (a,b) no produto cartesiano A×B.
 Dados dois conjuntos A e B, uma relação R de A para B (ou de A em B) é um subconjunto do produto cartesiano A × B. No caso em que A = B dizemos apenas que R é uma relação em A.
Exemplo:
Dados A = {1,2,3} e B = {x,y,z} podemos definir relações de A em B escolhendo pares ordenados aleatoriamente em A × B, por exemplo: R1 ={(1,x)}, R2 = {(1,x),(3,z)} e R3 = {(1,x),(2,x),(3,x),(3,y)}. 
Convém notar que produto cartesiano A × B tem 9 elementos, logo o conjunto das partes P(A × B) possui 29 = 512 elementos. Isso significa que podemos definir 512 relações diferentes de A em B! 
Observa-se também que R1 ⊂ R2 e R1 ⊂ R3, porém R2 ⊂ R3.
Domínio e imagem de uma relação Binária
 Para desenvolver um estudo mais profundo de relações, consideremos os seguintes conceitos e notações.
 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer e R uma relação de A em B. 
· O domínio de R é o conjunto Dom(R) = {a ∈ A : ∃b ∈ B,(a,b) ∈ R}; 
· A imagem de R é o conjunto Im(R) = {b ∈ B : ∃a ∈ A,(a,b) ∈ R}; 
Exemplo Vamos encontrar o domínio e a imagem do exemplo seguinte:
A = {1,2,3} e B = {x,y,z}. 
Logo para R1 = {(1,x)}; 
Dom(R1) = {1},. Im(R1) = {x} e
Propriedades das Relações Binárias
Uma relação binária R entre elementos de um conjunto C caracteriza-se por meio das propriedades que se seguem:
· Propriedade Reflexiva;
· Propriedade Simétrica;
· Propriedade Transitiva;
· Propriedade Assimétrica;
· Propriedade Anti-simétricas;
· Propriedade Irreflexiva;
· Propriedade Inversa.
Relação Reflexiva
uma relação reflexiva é uma relação binária R sobre um conjunto X em que cada elemento de X está relacionado a si mesmo. Formalmente, isso pode ser escrito da seguinte forma:
∀x ∈ A: xRx 
Exemplo: Consideremos as relações R1 e R2 sob o conjunto de A={1,2,3,4}
R1={(1,1),(1,2),(2,1)}-não é reflexiva
R2={(1,1)(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3)(4,1),(4,4)}-é reflexiva
Relação Simetrica
Uma relação simétrica é um tipo de relação binária. Um exemplo é a relação "é igual a", porque se a=b é verdadeiro, Então b=a também é verdadeiro. Formalmente, uma relação binária R sobre um conjunto X é simétrica se e somente se:
∀a,b ∈ X: (aRb ↔ bRa)
Nota:
· A relação de igualdade é simétrica, pois para qualquer a e b ∈A, se a = b, então b = a.
· A relação ≤ é não simétrica no conjunto dos números reais.
· A relação de ser irmão não é simétrica no conjunto de todas as pessoas, mas é simétrica no conjunto de todos os homens. 
· Se R–¹ representa o inverso de R, Então R é simétrica se e somente se R=R–¹
Exemplo: Dado o conjunto de A={2,4,6,8}
R1={(2,2),(2,4),(4,2)}-é simetrico 
R2={(4,2),(6,2),(6,4),(8,2),(8,6)}-não é simetrico
Relação Transitiva
Uma relação transitiva é a que se estabelece entre três elementos de um mesmo conjunto de tal forma que se o primeiro tem relação com o segundo e este tem relação com um terceiro, então o primeiro elemento tem relação com o terceiro.
Se tomarmos A um conjunto, e R uma endorrelação de A, ou seja é transitiva se satisfaz a seguinte forma:
∀x,y,z ∈ A : xRy e yRz ⇒ xRz;
Nota:
· As relações ≤, < e = são transitivas no conjunto dos números reais.
· As relações ⊆, ⊂ e = são transitivas na família de todos os subconjuntos do conjunto Universo.
Exemplo:
Dado o conjunto A = {1,2, 3} considere as seguintesrelações:
R1 = {(1,1), (3, 3), (1,2),(2,1), (1, 3), (3,1), (2, 3), (3,2)} não é transitiva
R2 = {(1,1),(2,2),(3, 3), (1, 2), (2,3),(1,3)} é transitiva
Relação Assimétrica:
Uma relação binária interna R em um conjunto A é assimétrica se, para todo a∈A e b∈A, se aRb então b/Ra, ou seja:
 ∀a,b :(a,b) ∈R →(b,a) ∉R)
Exemplo:
.A relação <, entre números reais : se x<y, então necessariamente y não e menor que x.
Relação Anti-simétrica
Uma relação anti-simétrica é uma relação binária R em um conjunto X quando não há um par de elementos distintos de X, cada um deles relacionado por R ao outro. Mais formalmente, R é anti-simétrica precisamente se para todos a e b em X
Se R a,b com a≠b, então R(a,b) não deve existir ou equivalente
Se R(a,b) e R(b,a), então a=b
Em formula lógica temos: (a,b) R ^ (b,a) 
Exemplo: Dada uma relação binária R sobre um conjunto A. Considere as relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}: 
R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)} não é anti-simétrico 
R2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} é anti-simétrico 
Relação Irreflexiva
Seja R uma relação definida no conjunto A. Uma relação R é chamada irreflexiva se 
∀a ∈ A,(a,a) R.
Exemplo : Suponhamos uma relação em A, R={(a,b) ∈ AxA : a≠b} é Irreversível pois (a,a) ∈A
Relação Inversa
 Dada uma relação R de A em B , então R-¹ é uma relação de B em A , definida por relação inversa de R. se R e R-¹={(y, x) ∈ AxB|(x,y)∈R}, Dessa definição decorre que R-¹ é o conjunto dos pares ordenados de R , invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
Exemplo 1.12. Consideremos os conjuntos A ={15,16,17,18,19,20} e B {(45,48,51,54,57,60){ e a relação R={(x, y) ∈ Ax B tal que y= 3x)} de A em B . Escreva a relação inversa. Sabemos que a relação R é
R ={(15,45),(16,48),(17,51), (18,54) (19,57)(20,60)}
.Logo:
A relação inversa é
R={(45,15), (48,16), (51,17), (54,18), (57,19), (60,20)}
Resumo das Propriedades da Relação
Suponhamos que R é uma relação em A, diremos que: 
· R é reflexiva se (∀x ∈ A) xRx; 
· R é simétrica se (∀x,y ∈ A) xRy ⇒ yRx;
· R é transitiva se (∀x,y,z ∈ A) xRy e yRz ⇒ xRz; 
· R é Assimétrica se ( ∀x,y ∈ A) xRy→(x,y) ∉R)
· R é Ant-simétrica se (a,b) R ^ (b,a) 
· R é irreflexivel se (∀a ∈ A,(a,a) R)
· R é Inversa se R e R-¹={(y, x) ∈ AxB|(x,y)∈R}
Exemplo:
Dado o conjunto A = {1,2,3} considere as seguintes relações
 1. R1 = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} é simétrica e transitiva, porém não é reflexiva. De fato, (3, 3) /∈ R1; 
2. R2 = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)} é reflexiva e transitiva, porém não é simétrica. De fato, (1,2) ∈ R1 e (2,1) /∈ R1; 
3. R3 ={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} é reflexiva e simétrica, porém não é transitiva. De fato, (2,1) ∈ R1 e (1,3) ∈ R1, mas (2,3) /∈ R1; 
4. R4 = {(1,1),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)} é simétrica. Porém não é reflexiva e nem transitiva.
Propriedade Tricotômica 
A lei da tricotomia afirma que todo número real é positivo, negativo ou zero. A tricotomia é a propriedade de uma relação de ordem que, para quaisquer x e y, exatamente um dos seguintes ocorre: x<y, x=y, ou x>y. Este axioma da tricotomia é válido para comparações ordinárias de números reais e, por conseguinte, seus subconjuntos, tais como os inteiros e racionais.
Mais geralmente, uma relação binária R em um conjunto X é tricotômica se para todos os x e y em X, exactamente um de xRy, yRx, x=y for válido. Uma relação é tricotômica se, e somente se, for assimétrica e semiconexa.
Exemplo: Num Conjunto X={a,b,c}, a relação
 R={(a,b), (a,c), (b,c)}
Propriedade Dicotômica
Uma dicotomia é uma partição de um todo (ou um conjunto) em duas partes (subconjuntos). Em outras palavras, esse par de partes deve ser conjunto exaustivo: tudo deve pertencer a uma parte ou a outra, e mutuamente exclusivo: nada pode pertencer simultaneamente a ambas as partes. Essa partição também é freqüentemente chamada de bipartição
Uma relação dicotômica R é tal que aRb, bRa, mas não ambas.
 Por exemplo, se existe um conceito A e é dividido em partes B e não-B, as partes formam uma dicotomia: elas são mutuamente exclusivas, pois nenhuma parte de B está contida em não-B e vice-versa, e eles são conjuntamente exaustivos, pois cobrem todo o A e juntos novamente dão A.
Outras Relações
Relação de Equivalência
 Dizemos que a relação R é de equivalência quando R for uma relação reflexiva, simétrica e transitiva. O caso mais óbvio de relação de equivalência é a igualdade em um conjunto numérico. 
Por exemplo, a igualdade no conjunto dos números reais R.
 É reflexiva: ∀x ∈ R, x = x; 
É simétrica: ∀x,y ∈ R, x = y ⇒ y = x; 
É transitiva: ∀x,y,z ∈ R, x = y e y = z ⇒ x = z;
Sempre que precisarmos lembrar o que é uma relação de equivalência, basta lembrar das boas propriedades que a igualdade possui.
Relações de Compatibilidade
Uma relação R em A é chamada uma relação de compatibilidade se ela é reflexiva e simétrica.
Exemplo:
Seja X={ball, bed, dog, egg, let} e seja R a relação dada por R={(x,y)| x e y possuem alguma letra em comum.
R={(ball,ball),(bed,bed),(dog,dog),(egg,egg),(let,let),(ball,bed),(bed,ball),(ball,let),(let,ball),(bed,dog),(dog,bed),(bed,egg),(egg,bed),(bed,let),(let,bed),(dog,egg),(egg,dog)(egg,let),(let,egg)}
Relações de Ordem
Em matemática e em lógica matemática, especialmente em teoria dos conjuntos e em teoria das relações, uma relação de ordem é uma relação binária que pretende captar o sentido intuitivo de relações como o maior e o menor o anterior e o posterior e etc. Foram definidos muitos tipos de relações de ordem e diferentes obras usam os termos "ordem" e "relação de ordem" de maneiras diversas, pelo qual existe uma ambiguidade na literatura. Os tópicos "relações de ordens" estão fortemente vinculados ao conjunto parcialmente ordenado.
· Relaçao de Ordem no Sentido Lato
Dizemos que R é uma relação de ordem ampla (ou não estrita) sobre A se satisfaz as seguintes condições:
· Reflexividade	
∀x ∈ A : R(x,x)
· Anti-simétrica
 ∀x,y ∈ A : R(x,y) ∧ R(y,x) →x=y 
· Transitividade
∀x,y,z ∈ A : R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z)
· Relaçao de Ordem Parcial
Dado um conjunto A e uma relação binária R sobre A, dizemos que R é uma relação de ordem parcial sobre A se satisfaz as seguintes condições:
· Transitividade 
∀x,y,z ∈ A : R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z)
· Irreflexividade
∀x∈A: ~R(x,x)
· Assimetria
∀a,b((a,b) ∈R →(b,a) ∉R)
· Relação de Ordem Total
Dada um relação R, dizemos que x,y ∈ A, x≠y são incomparáveis, x || y se e somente se R(x,y) nem R(y,x).} Uma relação de ordem total deve satisfazer as seguintes condições:
· Reflexiva
∀x ∈ A : R(x,x)
· Anti-Simetrica
 ∀x,y ∈ A : R(x,y) ∧ R(y,x) →x=y 
· Transitividade
∀x,y,z ∈ A : R(x,y) ∧ R(y,z) → R(x,z)
∀x,y ∈ A : R(x,y) ∨ R(y,x)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.Dados os conjuntos A = 3,5,7 e B = 3,9,15,35, Determine
a) A×B; b) B ×A; c) A2 = A×A
2.Consideremos as relações:
R x, yNN x y 5e S x, yNN 2x y 7, determine: R S .
Sejam os conjuntos A 1,4,9e B 2,2,3e a relação
R x, yAB x y 6, determine:
a) R .
b) DR.
c) ImR.
d) R1, DR1 e ImR1 
3.Determine se as relações seguintes se são reflexivas, simétricas, assimétricas, anti-simétricas ou transitivas : Considere as relações sobre o conjunto dos inteiros:
R1 = {(a,b) | a ≤ b }
R2 = {(a,b) | a > b }
R3 = {(a,b) | a = b ou a = -b } 
R4 = {(a,b) | a = b }
R5 = {(a,b) | a = b+1 }
R6 = {(a,b) | a+b ≤ 3 }
4. Sejam os conjuntos A 1,4,9e B 2,2,3e a relação
R x, yAB x y 6, determine:
a) R .
b) DR.
c) ImR.
d) R1, DR1 e ImR1 
5. Crie uma Relacao em S , de Propriedade Tricotomica
Conclusão
Com o Trabalho Apresentado, de Conteúdos Que fornecem Raciocínio Matemático, destaca-se que, Na Matemática, como em outras ciências, muitas vezes queremos estabelecer uma relação ou correspondência entre dois conjuntos, ou seja, sempre que se associa elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto, estabelece-se uma relação entre eles. A relação entre elementos dos conjuntos geralmente é dada por uma regra ou fórmula, onde, por convenção, os elementosdo primeiro conjunto são representados por x e os elementos do segundo conjunto por y . sendo elas acompanhadas de propriedades tais como por exemplo, Reflexiva se (∀x ∈ A) xRx; Simétrica se (∀x,y ∈ A) xRy ⇒ yRx; Transitiva se (∀x,y,z ∈ A) xRy e yRz ⇒ xRz; Assimétrica se ( ∀x,y ∈ A) xRy→(x,y) ∉R Entre outras que foram abordados no trabalho.
Visto tambem, As relações de ordem, Descritos como constantes tanto na vida real, na natureza quanto na Matemática. E a classificação das relações de ordem em diversos tipos como ordem no sentido lato, parcial, e ordem total, (Destacados no trabalho Apresentado) Também tem seus pares na vida real. 
	
Bibliografia
HEFEZ, A. Curso de Álgebra, Vol I. Coleção Matemática Universitária, IMPA. 1993.
LIMA, E. L. Curso de Análise, Vol I. Projeto Euclides, IMPA. 1976.
SIDKI, S. Introdução à Teoria dos Números. 10º Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA. 1975
BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society 
DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press
Jerrold E. Marsden & Michael J. Hoffman (1993) Elementary Classical Analysis, W. H. Freeman and Company ISBN
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