AD1_GAI_2021_2_gabarito Geometria Analítica

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
Gabarito da 1a Avaliação a Distância
2o Semestre de 2021
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [6,0 pontos] Considere os vértices A = (−1, 0), B = (4, 1) e C = (1, 3) do paralelo-
gramo ABCD (dispostos de forma cont́ınua e no sentido anti-horário). Seja E um ponto tal que
−−→
BE é um múltiplo de
−−→
BC e
−−→
DE é perpendicular a
−−→
BC.
(a) [1,0 pontos] Determine as coordenadas do ponto D.
(b) [2,0 pontos] Determine as coordenadas do ponto E.
(c) [1,5 pontos] Determine a área do triângulo ABE.
(d) [1,5 pontos] Utilizando um sistema de eixos coordenados, faça um esboço do paralelogramo
ABCD e do triângulo ABE indicando todos os seus vértices.
Resolução:
(a) Sabemos que as diagonais AC e BD do paralelogramo ABCD se intersectam no seu ponto
médio. Assim, se D = (d1, d2), então
M =
(−1 + 1
2 ,
0 + 3
2
)
=
(
4 + d1
2 ,
1 + d2
2
)
.
Logo,
0 = 4 + d1 ⇐⇒ d1 = −4 e 3 = 1 + d2 ⇐⇒ d2 = 2.
Assim, D = (−4, 2).
(b) Suponha E = (m,n). Sendo assim, temos que:
−−→
BE = (m− 4, n− 1),
−−→
BC = (−3, 2).
Se
−−→
BE e
−−→
BC são múltiplos, então existe λ ∈ R tal que
−−→
BE = λ−−→BC. Logo,
(m− 4, n− 1) = λ(−3, 2)⇐⇒ m− 4 = −3λ e n− 1 = 2λ,
o que implica que
E = (m,n) = (4− 3λ, 1 + 2λ).
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Temos também que
−−→
DE = (4 − 3λ + 4, 1 + 2λ − 2) = (8 − 3λ,−1 + 2λ) é perpendicluar à −−→BC.
Logo,
〈(8− 3λ,−1 + 2λ), (−3, 2)〉 = 0
−3(8− 3λ) + 2(−1 + 2λ) = 0
−26 + 13λ = 0⇐⇒ λ = 2.
Assim, as coordenadas do ponto E, são
E = (4− 3(2), 1 + 2(2)) = (−2, 5).
(c) Note que
−→
BA = (−5,−1) e −−→BE = (−6, 4), logo
Area(ABE) = |det(
−→
BA,
−−→
BE)|
2 =
|4(−5)− (−1)(−6)|
2 =
26
2 = 13.
(d) O gráfico do paralelogramo e do triângulo é:
Figura 1: Gráfico da questão 1.
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Questão 2 [4,0 pontos] Considere o ćırculo C : x2 +y2 +2x−4y = 15, cujo diâmetro tem o ponto
(3, 0) como um de seus extremos. Seja r a reta que contém o diâmetro mencionado anteriormente.
(a) [1,5 pontos] Determine as equações paramétricas da reta r.
(b) [1,0 pontos] Determine a equação cartesiana da reta r.
(c) [1,5 pontos] Utilizando um sistema de eixos coordenados, faça um esboço do ćırculo C e da
reta r.
Resolução:
(a) Para descobrir a equação da reta r é preciso conhecer dois de seus pontos. Pelo enunciado,
um deles é conhecido e chamaremos de P = (3, 0). Para o segundo ponto, como a reta procurada
contém um diâmetro do ćırculo, o centro do ćırculo também deve pertencer a ela. Vamos encontrar,
então, o centro do ćırculo.
Completando os quadrados na equação do ćırculo, temos:
x2 + y2 + 2x− 4y = 15 ⇔ x2 + 2x+ 1 + y2 − 4y + 4 = 15 + 1 + 4
⇔ (x+ 1)2 + (y − 2)2 = 20.
Sendo assim, o centro do ćırculo é o ponto C = (−1, 2) e seu raio é
√
20.
Neste caso, a reta procurada r passa pelos pontos P = (3, 0) e C = (−1, 2). Para encontrar as
equações paramétricas de r, precisamos do vetor paralelo à ela
−→
CP = (4,−2). Portanto,{
x = 3 + 4t
y = −2t , t ∈ R,
são as equações paramétricas de r.
(b) Agora, note que, se
−→
CP = (4,−2) é um vetor paralelo à reta r, então (2, 4) é perpendicular à
reta r. Logo, a equação cartesiana de r tem a seguinte forma:
2x+ 4y = c,
para algum c real.
Para encontrar c, basta substituir as coordenadas de um ponto pertencente à reta r na equação
acima. Veja:
P = (3, 0) ∈ r ⇔ 2 · 3 + 4 · 0 = c⇔ c = 6.
Logo, a equação cartesiana da reta r é 2x+ 4y = 6, ou, x+ 2y = 3.
(c) O esboço pedido pode ser encontrado na figura abaixo.
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Figura 2: Gráfico da questão 2.
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