Gabarito das Autoatividades de Lógica Matemática

Prévia do material em texto

das
A
Gabarito
utoatividades
MAD | 2013/1 | Módulo V
LÓGICA MATEMÁTICA
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2015
Prof. Ademir Moretto
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
LÓGICA MATEMÁTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
Questão única: Identifique as premissas e a conclusão nas proposições:
1 Quem nasce no Brasil é brasileiro. (premissa)
Luís nasceu no Brasil. (premissa)
Logo, Luís é brasileiro. (conclusão)
2 Darcy, Karina e Mariana estudam na escola pública. (premissa)
Logo, a Karina estuda na escola pública. (conclusão)
3 Quem estuda e trabalha é um vencedor. (premissa)
Otaviano estuda e trabalha. (premissa)
Logo, Otaviano é vencedor. (conclusão)
TÓPICO 1 
1 Assinale as que representam proposição:
a) (x) Hoje o dia está quente.
b) ( ) Você está gostando de estudar? (interrogativa)
c) ( ) Por favor, traga-me a bolsa! (exclamativa)
d) ( ) Um número natural multiplicado por dois mais um. (falta um complemento)
e) (x) Um número natural multiplicado por dois mais um será sempre 
um número ímpar.
R.: As alternativas A e E são proposições, pois são frases declarativas e 
passíveis da atribuição do valor de verdadeiro ou falso.
Centro Universitário Leonardo da Vinci
Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040
Bairro Benedito - CEP 89130-000
Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000
Elaboração:
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI
2015
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
TÓPICO 1
1 Tomando as proposições simples relacionadas a seguir, forme 
proposições compostas usando os conectivos: “e”, “ou”, “se... 
então”, “se e somente se”, podendo usar um ou mais conectivos em 
cada proposição.
p: As rosas são vermelhas.
q: As violetas são azuis.
r: O jardim está lindo.
s: É primavera.
Exemplo:
p: As rosas são vermelhas e as violetas são azuis.
R.: q: Se as rosas são vermelhas e as violetas são azuis, então o jardim 
está lindo.
r: É primavera e o jardim está lindo.
OBS.: Caro(a) tutor(a) externo(a), há outras maneiras de se fazer as 
proposições compostas. Aproveite a oportunidade e socialize as diferentes 
ideias.
TÓPICO 1
Questão única: Identificar o ANTECEDENTE e o CONSEQUENTE nos 
seguintes argumentos:
1 O eleitor está descontente, porque alguns políticos legislam em 
benefício próprio.
Antecedente: Porque alguns políticos legislam em benefício próprio.
Consequente: O eleitor está descontente.
2 Ao observar um eclipse lunar, vemos que a forma da sombra nela 
projetada é curva. Ora, o corpo que projeta sua sombra na Lua é a Terra. 
Por conseguinte, a forma da Terra deve ser redonda.
Antecedente: Ao observar um eclipse lunar, vemos que a forma da sombra 
nela projetada é curva. Ora, o corpo que projeta sua sombra na Lua é a Terra.
Consequente: Por conseguinte, a forma da Terra deve ser redonda.
5UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
3 Alguns políticos legislam em benefício próprio, logo, o eleitor está descontente.
Antecedente: Alguns políticos legislam em benefício próprio.
Consequente: O eleitor está descontente.
TÓPICO 2 
1 Classifique os silogismos abaixo em Modus Ponens (MP) ou Modus 
Tollens (MT) e faça o seu esquema.
a) Se Gabriel está correndo, então está com frio. 
 
Gabriel está correndo.
Gabriel está com frio. MP
b) Se Gabriel está correndo então está com frio.
Gabriel não está com frio. 
Gabriel não está correndo. MT
6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
c) Ivanor trabalha ou brinca.
Ora, ele trabalha.
Logo, não brinca. MT
d) Isaías vai trabalhar de carro ou de bicicleta.
Isaías não foi de carro.
Ele foi de bicicleta. MP
1 Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
(a) O número 23 é primo. (V)
(b) Fortaleza é a capital do Maranhão. (F)
(c) Tiradentes morreu enforcado. (V)
(d) (3 + 5) 2 = 32 + 52 (F)
(e) 4,14444.... = 
(f) -1< -7 (F)
(g) 0,137137137... é uma dízima periódica simples. (V)
(h) As diagonais de qualquer paralelogramo são iguais. (F)
(i) Todo polígono regular convexo é inscritível. (V)
(j) O hexaedro regular tem 9 arestas. (F)
(k) A expressão n2 - n + 41 (n ∈N) só produz números primos. (F) (Se n for 
 41 a expressão será falsa, pois o número produzido não será primo.)
(l) Todo número divisível por 5 termina por 0 (zero) ou 5. (V)
(m) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (V)
(n) O número 125 é cubo perfeito. (V)
(o) 0; 4 e -4 são as raízes da equação 
(p) O cubo é um poliedro regular. (V)
7UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
TÓPICO 3 
1 Sejam as proposições p: Está quente e q: Está chovendo. Traduza 
para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~ p (não está quente) ou (está frio)
b) (está quente e está chovendo)
c) p ∨ q (está quente ou está chovendo)
d) (está quente se e somente se estiver chovendo)
e) (se está quente então não está chovendo)
f) p ∨ ~q (está quente ou não está chovendo)
g) 	 								(não está quente e não está chovendo)
h) (está quente se e somente se não está chovendo)
i) (se está quente e não está chovendo, então está quente)
j)	 ~	p	→	~q	(se	não	está	quente	então	não	está	chovendo)
k) (não está quente se e somente se não está chovendo)
↔
2 Dadas as proposições p: Fernando é vendedor e q: Paola é feliz. 
Traduza para a linguagem corrente as proposições:
a)	q	→	p	(Se	Paola	é	feliz,	então	Fernando	é	vendedor)
a) p ∨ ~q (Fernando é vendedor ou Paola não é feliz)
b) q ~ p (Paola é feliz se e somente se Fernando não é vendedor)
c)	~	p	→	q	(Se	Fernando	não	é	vendedor,	então	Paola	é	feliz)
d) ~ ~ p (É falso que Fernando não é vendedor); (Fernando é vendedor)
e) (Se Fernando não é vendedor e Paola é feliz, então Fernando é 
vendedor)
3 Traduza para a linguagem corrente as proposições: p: Maira fala inglês 
e q: Maira fala espanhol.
a. p ∨ q (Maira fala inglês ou Maira fala espanhol); (Maira fala inglês ou fala espanhol)
b. 	 				(Maira fala inglês e fala espanhol)
c. (Maira fala inglês e não fala espanhol)
d. (Maira não fala inglês e não fala espanhol)
e. ~ ~ q (Não acontece que Maira não fala espanhol); (Maira fala espanhol)
f. (Não acontece que Maira não fala inglês e não fala espanhol)
g.	 	 																										(Se Maira fala inglês ou fala espanhol, então Maira 
fala inglês e não fala espanhol)
8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
h. ~ p ↔ ~ q (Maira não fala inglês se e somente se não fala espanhol)
i.	 	p	→	~	q	(Se	Maira	fala	inglês	então	não	fala	espanhol)
j. ~ ( ~ p ∨ ~q) (É falso que Maira não fala inglês ou não fala espanhol); 
(Maira fala inglês e fala espanhol)
k.	 ~	 (~	 p	→	 	 q)	 (Se	não	acontece	que	Maira	 não	 fala	 inglês,	 então	 fala	
espanhol)
4 Agora, traduza para a linguagem simbólica as proposições: p: Flávio 
é alto e q: Flávio é elegante.
a) Flávio é alto e elegante. 
b) Flávio é alto, mas não é elegante. 
c) Não é verdade que Flávio é baixo ou elegante ~(~p ∨ q)
d) Flávio não é alto e nem elegante. 
e) Flávio é alto ou é baixo e elegante. 
f) Não é verdade que Flávio é baixo ou que não é elegante. ~(~p ∨ ~q)
5 Dadas as proposições p: Janaína é pobre e q: Janaína é feliz. Traduza 
para a linguagem simbólica.
a. Janaína é pobre e feliz. 
b. Janaína é rica e feliz. 
c. Janaína é infeliz e rica. 
d. Janaína não é pobre, mas é infeliz. 
e. Janaína não é feliz, mas é rica. 
f. Janaína é rica ou feliz. ~p ∨		q
g. Janaína é pobre ou rica. p ∨ ~p
h. Janaína é feliz ou infeliz. q ∨ ~q
6 Traduza para a linguagem simbólica as proposiçõesmatemáticas:
9UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
7 Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:
8 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições. (Use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) Curitiba é capital do Paraná ∧Manaus é capital do Amazonas. (V ∧ V = V)
i) Curitiba é capital do Paraná ∨ Manaus é capital do Amazonas. (V ∨ V = V)
9 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes pro-
posições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) 
10 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes 
proposições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.)
10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
11 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes pro-
posições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.)
a) Não é verdade que 20 é um número par. ~V = F
b) É mentira que Maceió é capital de Alagoas. ~V = F
c) 8 . 9 = 72 e 2 + 2 = 5 (V ∧ F = F)
d)
e)
f)
g)
12 Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são V e F, respecti-
vamente, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das proposições:
a) p ∨ q = V ∨ F = V
b) p ∧ q = V ∧ F = F
c) p ∧ ~ q = V ∧ ~ F = V ∧ V = V
d) ~ p ∧ ~ q = ~ V ∧ ~ F = F ∧ V = F
e) ~ ~ q = ~ ~F = ~V = F
f) ~(~ p ∧ ~ q) = ~(~ V ∧ ~ F) = ~(F ∧ V) = ~ F = V
g) (p ∨ q ) → (p ∧ ~ q) = (V ∨ F ) → (V ∧ ~ F) = V → (V ∧ V) = V → V = V
h) ~ p ↔ ~ q = ~ V ↔ ~ F = F ↔ V = F
i) p → ~ q = V → ~ F = V → V = V
j) ~ ( ~ p ∨ ~q) = ~ ( ~ V ∨ ~F) = ~ ( F ∨ V) = ~ V = F
k) ~ (~ p → q) = ~ (~ V → F) = ~ (F → F) = ~ V = F
11UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Construa as tabelas-verdade das seguintes proposições P (p, q):
a) ~ ( p ∨ ~ q)
p q ~ q p ∨ ~ q ~ ( p ∨ ~ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
b) ~ ( p → ~ q)
p q ~ q p → ~ q ~ ( p → ~ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
c) p ∧ q → p ∨ q 
p q p∧ q p ∨ q p∧ q → p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
d) ~ p → (q → p)
p q ~ p q → p ~ p → (q → p)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Obs.: Na 4ª coluna, para facilitar a comparação, você pode construir uma 
nova tabela e escrever primeiro a coluna q e depois a coluna p, assim:
q p q → p
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
1ª 2ª 4ª
e) (p → q) → (p∧ q)
p q p q p∧ q (p → q) → p∧ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
13UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
f) q ↔~ q∧ p
p q ~q ~q∧ p q ∧ ~ q∧ p
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
v
F
V
F
F
F
F
F
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
g) (p ↔~ q) ↔ (q → p)
p q ~q p ↔~ q q → p p ↔~ q ↔ (q→ p)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
v
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
h) (p ↔~ q) → ~p∧ q
p q ~p ~q p ↔~ q ~p∧ q (p ↔~ q) → ~p∧ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
v
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
i) ~ p∧ r → q ∨ ~ r
p q r ~p ~ r ~ p∧ r q ∨ ~r ~ p∧ r → q ∨ ~r
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª
TÓPICO 2
1 Identifique, através da tabela-verdade, se as proposições seguintes 
representam uma tautologia, contradição, contingência.
a) p ↔ ~ p contradição (coluna 3ª)
p ~p p ↔	~p
V
F
F
V
F
F
1ª 2ª 3ª
b)	~	(p	→	~	q)	contingência	(coluna	5ª)
p q ~q p → ~ q ~(p → ~ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
15UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
c) p ∧ q → p ∨ q tautologia (coluna 5ª)
P q p ∧ q p ∨ q p ∧ q → p ∨ q 
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
d) p ∧ q → p ∨ ~q tautologia (coluna 6ª)
P q ~q p ∧ q p ∨ ~q p ∧ q → p ∨ q 
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
e) (p ↔	~ q) → ~p ∧ q contingência (coluna 7ª)
P q ~p ~q p ↔ ~ q ~p ∧ q (p ↔	~ q) → ~p ∧ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
TÓPICO 2
1 Construa a tabela-verdade e teste a validade dos argumentos:
a) ~ p → ~ q, p |		q
16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
p q ~ p ~ q ~p →~ q
1ª
2ª
3ª
4ª
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
P C P
Observe que, nas linhas 1 e 2, ambas as premissas são verdadeiras (V), mas 
na linha 2 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado é um sofisma 
(ou falácia).
b) p → q, q → r | p → r
p q r p → q q → r p → r
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
P P C
O argumento é válido, pois nas linhas em que as premissas são verdadeiras 
(V) a conclusão também é verdadeira (V).
c) p → q | ~ q → ~ p
p q ~ q ~ p p	→	q ~	q	→	~p
1ª
2ª
3ª
4ª
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
P C
17UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
O argumento é válido, pois nas 1ª, 3ª e 4ª linhas a premissa é verdadeira 
(V) e a conclusão também é verdadeira (V).
d) p → ~ q, r → q, r |	 ~ p 
p q r ~ p ~ q p → ~ q r → q
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
P C P P
Argumento válido. Na linha cinco todas as premissas são verdadeiras (V) e 
a conclusão também é (V).
2 Converta os argumentos numa linguagem simbólica lógica, construa 
a tabela-verdade e teste sua validade:
a)
Escrevendo de forma simbólica: p → q, q | p
p q p → q
1ª
2ª
3ª
4ª
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
C P P
18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
O argumento não é válido, pois na 3ª linha as premissas são verdadeiras, 
mas	a	conclusão	é	falsa.	Trata-se	de	uma	falácia,	neste	caso,	da	afirmação	
do consequente.
b)
p → q, ~ q |	 ~ p
p q ~ p ~ q p	→	q
1ª
2ª
3ª
4ª
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
C P P
O argumento é válido, pois na 4ª linha as premissas são verdadeiras e a 
conclusão também.
p → q, p | q
p q p	→	q
1ª
2ª
3ª
4ª
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
P C P
19UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
O argumento é válido, pois na 1ª linha as premissas são verdadeiras e a 
conclusão também.
p → q, q → r | p → r
p q r p → q, q → r p → r
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
P P C
O argumento é válido, 
pois nas linhas em 
que as premissas 
são verdadeiras (V) 
a conclusão também 
é verdadeira (V).
TÓPICO 2
1 Teste os argumentos construindo a tabela-verdade pela condicional 
associada.
a) Forma simbólica: ~ p → q, p |		~ q
Condicional associada: (~ p →	 q) ∧ p →	~ q
p q ~ p ~ p → q (~ p → q) ∧ p ~q (~ p → q) ∧ p →	~ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
A última coluna, ou a coluna solução desta tabela-verdade, encerra as letras V 
e F. Portanto, a condicional associada não é tautológica e, por consequência, 
o argumento não é válido, ou seja, é um sofisma.
Modo simbólico: ~ p → ~q, p |		 q
Condicional associada: (~ p →	~ q) ∧ p →	 q
p q ~ p ~ q (~ p → q) (~ p →	~ q) ∧ p (~ p → ~q) ∧ p →		 q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
O argumento é um sofisma, pois a última coluna não encerrasomente o 
valor lógico (V).
c) p → q, r →	~ q ∧ r | ~ p
Condicional associada:
p q r ~ p ~ q p → q ~q∧ r r →	~ q∧ r (p → q)∧ (r →	~ q∧ r) (p → q)∧ (r →	~ q∧ r) → ~ p
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
O argumento é um sofisma, pois a última coluna não encerra somente o 
valor lógico (V).
21UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
TÓPICO 2
1 Prove, através das tabelas-verdade, a equivalência ou não das proposições:
a) (p ∧ q) ⇔ p ∨ ~ q
p q ~ q (p ∧ q) p ∨ ~ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
As tabelas-verdade das duas proposições não são idênticas nas colunas 4 
e 5, logo as proposições não são equivalentes.
b) ~ (p ∨ q) ⇔	~ p ∧ ~ q
p q ~ p ~ q p ∨ q ~ (p ∨ q) ~ p → ~ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 6 e 7, 
logo as proposições são equivalentes.
c) ~ p → p ⇔	p
p ~ p ~ p → p
V
F
F
V
V
F
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 1 e 3, 
logo as proposições são equivalentes.
d) ~ ~p ⇔	p
22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
p ~ p ~ ~ p 
V
F
F
V
V
F
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 1 e 3, 
logo as proposições são equivalentes.
e) p → p ∧ q ⇔	p → q
p q p ∧ q p → p ∧ q p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 4 e 5, 
logo as proposições são equivalentes.
f) p ⇔ q ⇔	~ p ∨ q
p q ~p p → q ~ p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 4 e 5, 
logo as proposições são equivalentes.
g) p ↔ q ⇔ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q)
p q ~p ~q p ↔ q p ∧ q (~ p ∧ ~ q) (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ ~ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
23UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 5 e 8, 
logo as proposições são equivalentes.
h) ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r) ⇔	(p → r) →	q 
p q r ~p ~q ~r (~ q ∧ ~ r) ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r) (p → r) (p → r) → q 
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
As tabelas-verdade das duas proposições não são idênticas nas colunas 8 
e 10, logo as proposições não são equivalentes.
TÓPICO 3
1 Coloque V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas:
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
g) ( )
h) ( )
Solução, comentada:
a) F, pois 2 não é elemento do conjunto {1, {2}, 4}.
b) V, pois tanto 3 quanto 4 são elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 6}.
c) V, note que é um elemento do conjunto { , 1, {2}.
d) V, pois {3} é elemento do conjunto {1, 2, {3}, 4, 5}.
e) V, pois {1. {2} } são elementos do conjunto {1, {2}, 3}.
f) V, pois é elemento do conjunto { , {2} }.
g)	V, pois 4 é elemento do conjunto {1, {2}, 4}.
h)	F, pois os elementos 1, 2 não estão em {3, 4}.
24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
2 Dado o conjunto A= {1, 3, 5}, classifique as afirmações a seguir em 
V (verdadeiras) ou F (falsas):
a) (F) ∀ x ∈ A, x é primo. 
b) (V) {1, 5} ∈ P(A) 
c) (F) ∅ ∉ A 
d) (V) ∅ ⊂ A 
e) (V) {1, 3, 3, 5, 5} = A 
3 Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7, 9} e C = {1, 3, 9}, encontre os 
elementos do conjunto K, tal que: A ∪ K = A, B ∪ K = B, C ∪ K = A ∪ B.
R.:
4 Hachure no diagrama de Venn para três conjuntos que: (A ∩ B) ∪ C 
é diferente de A ∩ (B ∪ C)
5 Determine os elementos dos conjuntos A, B, C, sabendo que: A ∩ B = 
{2, 4}, A ∩ C = {2, 3}, A ∪ B = {2, 3, 4, 5} e A ∪ C = {1, 2, 3, 4}.
R.:
25UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
Usando as informações acima, podemos escrever:
6 Determine x para que A = B, dados A = {7, 15, 18, 4x} e B = {18, 15, 20, 7}.
Solução: 
7 Hachure no diagrama a seguir a operação: (A – B) ∩ C.
8 Dados os conjuntos A, B, C, represente no diagrama de Venn as 
operações indicadas:
a)	A	Δ	B				
b) (A ∩ C) – B 
26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
c) (A ∪ B) ∩		C 
d)	C	Δ	B																		
UNIDADE 3
TÓPICO 3
1 Considere uma caixa de vidro com formato de um cubo, de aresta 
30 cm, e na qual se encontra, em um canto, uma pequena abelha e 
no canto diametralmente oposto um pequeno grão de açúcar, como 
ilustrado na figura a seguir:
 Pergunta-se:
a) Qual é o caminho mais curto para a abelha chegar ao grão de açúcar?
R.: O caminho mais curto para a abelha equivale à diagonal do cubo.
27UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
b) Imagine que no lugar da abelha encontra-se uma formiga. Qual é o 
caminho mais curto para a formiga atingir o grão de açúcar? 
R.:	O	caminho	mais	curto	para	a	formiga	é	uma	linha	reta.	Planificando	parte	
do cubo, você tem uma melhor compreensão:
2 No alto da estante, há uma coleção de três livros. Tanto a capa quanto 
a contracapa de cada um dos livros têm a mesma medida: 2,5 mm 
de espessura. O total de páginas de cada livro mede 4 cm, conforme 
ilustração.
28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
 Se a traça começar a comer da página um do primeiro volume e 
seguir comendo em linha reta até a última página do volume três, 
que distância ela terá percorrido?
R.: A distância total que a traça percorre é de 5 cm. Como ela começa na 
primeira página do volume 1, que está do lado direito do livro e vai até o 
volume 3, a primeira coisa que a traça vai roer é a capa do volume 1. Depois 
disso, ela vai para contracapa do volume 2, aí vai andar 4 cm pelas páginas 
até	a	capa	do	volume	2.	Por	fim,	estará	na	capa	do	volume	3	e	chegará	à	
sua	última	página,	a	linha	final	do	nosso	quebra-cabeça.	Isso	totaliza	quatro	
capas e o conteúdo de um volume, ou 5 cm.
3 Mexendo apenas três palitos, forme 4 (quatro) triângulos equiláteros.
Basta levantar os três palitos e formar uma pirâmide de base triangular.
4 Preencha a grade com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sem 
repetir nenhum algarismo. A soma em cada uma das linhas, colunas 
e diagonais deverá ser 15. Tente e descubra a lógica do desafio. 
R.: 
29UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
R.:	Ao	final	de	sete	dias,	terá	escalado	7	metros,	já	que	sobe	três	e	escorrega	
dois. No oitavo dia, ele escala o restante, o que faz com que chegue à borda 
do poço, de onde pula para fora. 
A resposta é, portanto, oito dias.
5 Esta é a história de um sapo que caiu da bicicleta e acabou no fundo 
de um poço de 10 metros de profundidade. O poço era fundo demais 
para que o sapo desse um impulso para sair dele.Todo dia, ele escalava 
3 metros das paredes escorregadias do poço, mas, durante a noite, 
enquanto descansava, escorregava 2 metros. Nesse ritmo, de quantos 
dias o sapo precisaria para sair do poço? Escreva o processo do 
raciocínio que você usou para chegar na resposta. 
6 Aqui você encontra um interessante quebra-cabeça, mais fácil do 
que parece. O centro do círculo está indicado pelo O. O ângulo AOC 
mede 90º. A linha AB é paralela à linha OD. O segmento OC mede 5 
cm e o segmento CD mede 1 cm. O problema, aqui, é determinar o 
comprimento da linha AC. 
R.:	A	linha	OD	é	o	raio	do	círculo	e	tem	6	cm	de	comprimento.	A	figura	ABCO	
é o retângulo cujos cantos opostos tocam o centro e a beirada do círculo. Por 
isso, o raio da linha OB terá 6 cm de comprimento. Como as duas diagonais 
do retângulo têm o mesmo comprimento, a linha AC será igual à linha OB, 
ou seja, 6cm de comprimento. 
30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
CA
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
7 Antes deste cubo ser dividido em 27 cubinhos, seus seis lados foram 
pintados de azul. Veja se você consegue responder às seguintes 
perguntas: 
(1) Quantos cubos têm três lados pintados?
R.: 8 cubos têm três lados pintados.
(2) Quantos cubos têm dois lados pintados?
R.: 12 cubos têm dois lados pintados.
(3) Quantos cubos têm um só lado pintado?
R.: 6 cubos têm um só lado pintado.
(4) Quantos cubos não têm nenhum lado pintado?
R.: 1 cubo não tem nenhum lado pintado.
8 Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a 
lebre dá 8. Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo 
a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual será o 
número de pulos que o cachorro precisa dar para alcançar a lebre?
R.: Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou seja, 
um pulo de lebre vale pulos do cachorro. Podemos, então, escrever:
Nº de pulos Valor do pulo
Cachorro 5 2
Lebre 8 5
31UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação 
invertida, ou seja, vamos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo 
da lebre (5) e os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro (2). Assim 
teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre). 
A cada instante, o cachorro tira uma diferença de 25 – 16 = 9 pulos. Como a 
distância que os separa é de 36 pulos de cachorro, o cachorro terá de percorrer 
essa distância 36/9 = 4 vezes até alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se 
o fator cachorro (25) por 4, temos: 25 x 4 = 100 pulos.
9 Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. 
Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos 
ele pode ainda carregar?
R.: Um saco de areia equivale a oito tijolos. Se o caminhão pode carregar 
ainda 18 sacos, então pode carregar 18 x 8 = 144 tijolos.
10 Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três 
no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para 
lotar o automóvel utilizando sete pessoas, de modo que uma delas 
nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.
R.: São sete pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. 
Vamos chamar essa pessoa de João. Então, primeiro vamos calcular o 
número de maneiras de lotar o automóvel sem João, usando apenas as 
outras seis pessoas.
Como temos seis pessoas e cinco lugares no carro, calculamos o arranjo de 
seis elementos, tomados 5 a 5: 
Agora calculemos o número de maneiras de lotar o automóvel com João. 
Sabemos que ele não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar 
em	um	dos	três	bancos	de	trás.	Então	fixamos	João	em	um	dos	lugares	traseiros	
(logo, sobram quatro lugares no carro) e depois calculamos o número de maneiras 
de colocar as outras seis pessoas nos quatro lugares restantes, ou seja, um 
arranjo de seis elementos, tomados 4 a 4: 
João pode estar em qualquer um dos três assentos traseiros. Assim devemos 
multiplicar esse resultado por 3: 
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos 
(com e sem João). O total é 720 + 1.080 = 1.800 maneiras
32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
11 As idades de duas pessoas há oito anos estavam na razão de 8 para 
11. Agora, estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha 
atualmente?
R.: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova e de x a idade da pessoa 
mais velha. O problema diz que atualmente as idades estão na razão de 4 
para 5, então: 
O problema diz também que há oito anos as idades estavam na razão de 8 
por 11. Logo: 
Isolando y na equação 1, temos: 
Substituindo y na equação 2, encontramos o valor de x:
Portanto, a idade da pessoa mais velha é 30 anos.
33UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
12 Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 
130 kg. Eles pesam 60, 70 e 80kg. Como devem proceder para atra-
vessar o rio?
R.: Os homens de 60 e 70 kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80 
kg atravessa sozinho. O que havia atravessado na primeira viagem, volta 
com o barco. Finalmente, os de 60 e 70 kg atravessam e os três estarão do 
outro lado do rio.
13 Um relógio digital marca 19:56:45. Qual o número mínimo de segundos 
que devem passar até que se alterem todos os algarismos?
R.: Um relógio digital marca 19:56:45. Os algarismos estarão alterados, pela 
primeira vez, quando o relógio marcar 20:00:00, ou seja, em 15 segundos 
mais 180 segundos, isto é, 195 segundos.
14 Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao 
testar a eficiência das galinhas, ele observou que, de minuto em 
minuto, o número de ovos na cesta duplicava. Às 2 horas a cesta 
estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade?
R.: 1h59min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h 
a	cesta	estava	cheia,	significa	que	no	minuto	anterior	a	cesta	estava	pela	
metade.
15 Uma garrafa com sua rolha custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa 
custa R$ 1,00 a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é 
o preço da garrafa?
R.: Sendo G a garrafa e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas 
equações:
34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
NEAD
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
Logo, a garrafa custa R$ 1,05 e a rolha R$ 0,05.
16 Um homem tem dois relógios. Um deles não anda, e o outro atrasa uma 
hora por dia. Qual deles mostrará mais frequentemente a hora certa?
R.: O relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que 
atrasa só mostra a hora certa de 12 em 12 dias, depois de ter atrasado 12 
horas. Portanto, o que não anda mostra a hora certa com maior frequência.
17 Uma florista colheu 49 kg de flores do campo que podem ser vendidas 
imediatamente por R$ 1,25 o quilo. A florista pode também vendê-las 
desidratadas por 2 reais a mais o quilo. O processo de desidratação faz 
as flores perderem de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo 
para a florista?
R.:	Se	a	florista	vender	as	flores	sem	desidratá-las,	ela	vai	apurar	49	x	1,25	
=	61,25	reais.	As	flores	desidratadas	perdem					,	então	elas	vão	pesar	
Portanto,	a	florista	ganha	mais	no	processo	sem	a	desidratação.
18 O prefeito de uma cidade decidiu colocar um adesivo em todos os 
carros oficiais. O adesivo terá a forma retangular com 6 quadrados, 
disposto em 2x3 e com 3 cores. 1 quadrado azul, 2 quadrados amare-
los e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivos 
o prefeito terá que escolher? 
R.: Como o quadrado pintado de cor azul pode estar em qualquer lugar, então 
temos 6 possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os 
5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos 
fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são pintados de verde. 
Portanto, o prefeito tem 6 x 10 = 60 formas diferentes de escolher o adesivo.
35UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
L
Ó
G
I
C
A
 
M
A
T
E
M
Á
T
I
C
A
19 Numa feira, uma dúzia de laranjas e 5 maçãs tinham o mesmo preço. 
Depois de quinze dias, o preço das laranjas caiu 10% e o das maçãs 
subiu 2%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de 
laranjas e 10 maçãs?
R.: Vamos supor que uma dúzia de laranjas custe R$ 1,00. Assim, 5 maçãs 
também custam R$ 1,00. Como o preço das laranjas subiu 10%, o novo valor 
é R$ 1,10. O preço das maçãs diminuiu 2%, logo o novo preço das maçãs 
é R$ 0,98.
Assim, antes se gastavam R$ 2,00 na compra de 1 dúzia de laranjas e 5 
maçãs, agora gasta-se 1,10 + 0,98 = 2,08. Temos, então, que o aumento foi 
de R$ 0,08, que corresponde ao percentual: 
Tivemos um aumento de 4%.
20 Se de 15% dos membros de uma população afetados por uma doença 
8% morreram, qual a percentagem da mortalidade em relação à 
população inteira?
R.:	A	proporção	de	população	que	fica	doente	pela	enfermidade	é									,
dos	que	ficam	doentes,	a	proporção	que	morre	é	
Logo, a proporçãode população que morre pela doença é 
que corresponde a: 
12% da população inteira morre.