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das A Gabarito utoatividades MAD | 2012/2 | Módulo V LÓGICA MATEMÁTICA Centro Universitário Leonardo da Vinci Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040 Bairro Benedito - CEP 89130-000 Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000 Elaboração: Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI Prof. Ademir Moretto 3UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE LÓGICA MATEMÁTICA UNIDADE 1 TÓPICO 1 Questão única: Identifique as premissas e a conclusão nas proposições: 1 Quem nasce no Brasil é brasileiro. (premissa) Luís nasceu no Brasil. (premissa) Logo, Luís é brasileiro. (conclusão) 2 Darcy, Karina e Mariana estudam na escola pública. (premissa) Logo, a Karina estuda na escola pública. (conclusão) 3 Quem estuda e trabalha é um vencedor. (premissa) Otaviano estuda e trabalha. (premissa) Logo, Otaviano é vencedor. (conclusão) TÓPICO 1 1 Assinale as que representam proposição: a) (x) Hoje o dia está quente. b) ( ) Você está gostando de estudar? (interrogativa) c) ( ) Por favor, traga-me a bolsa! (exclamativa) d) ( ) Um número natural multiplicado por dois mais um. (falta um complemento) e) (x) Um número natural multiplicado por dois mais um será sempre um número ímpar. R.: As alternativas A e E são proposições, pois são frases declarativas e passíveis da atribuição do valor de verdadeiro ou falso. Centro Universitário Leonardo da Vinci Rodovia BR 470, Km 71, nº 1.040 Bairro Benedito - CEP 89130-000 Indaial - Santa Catarina - 47 3281-9000 Elaboração: Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci - UNIASSELVI 4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A TÓPICO 1 1 Tomando as proposições simples relacionadas a seguir, forme proposições compostas usando os conectivos: “e”, “ou”, “se... então”, “se e somente se”, podendo usar um ou mais conectivos em cada proposição. p: As rosas são vermelhas. q: As violetas são azuis. r: O jardim está lindo. s: É primavera. Exemplo: p: As rosas são vermelhas e as violetas são azuis. R.: q: Se as rosas são vermelhas e as violetas são azuis, então o jardim está lindo. r: É primavera e o jardim está lindo. OBS.: Caro(a) tutor(a) externo(a), há outras maneiras de se fazer as proposições compostas. Aproveite a oportunidade e socialize as diferentes ideias. TÓPICO 1 Questão única: Identificar o ANTECEDENTE e o CONSEQUENTE nos seguintes argumentos: 1 O eleitor está descontente, porque alguns políticos legislam em benefício próprio. Antecedente: Porque alguns políticos legislam em benefício próprio. Consequente: O eleitor está descontente. 2 Ao observar um eclipse lunar, vemos que a forma da sombra nela projetada é curva. Ora, o corpo que projeta sua sombra na Lua é a Terra. Por conseguinte, a forma da Terra deve ser redonda. Antecedente: Ao observar um eclipse lunar, vemos que a forma da sombra nela projetada é curva. Ora, o corpo que projeta sua sombra na Lua é a Terra. Consequente: Por conseguinte, a forma da Terra deve ser redonda. 5UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 3 Alguns políticos legislam em benefício próprio, logo, o eleitor está descontente. Antecedente: Alguns políticos legislam em benefício próprio. Consequente: O eleitor está descontente. TÓPICO 2 1 Classifique os silogismos abaixo em Modus Ponens (MP) ou Modus Tollens (MT) e faça o seu esquema. a) Se Gabriel está correndo, então está com frio. Gabriel está correndo. Gabriel está com frio. MP b) Se Gabriel está correndo então está com frio. Gabriel não está com frio. Gabriel não está correndo. MT 6 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A c) Ivanor trabalha ou brinca. Ora, ele trabalha. Logo, não brinca. MT d) Isaías vai trabalhar de carro ou de bicicleta. Isaías não foi de carro. Ele foi de bicicleta. MP 1 Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: (a) O número 23 é primo. (V) (b) Fortaleza é a capital do Maranhão. (F) (c) Tiradentes morreu enforcado. (V) (d) (3 + 5) 2 = 32 + 52 (F) (e) 4,14444.... = (f) -1< -7 (F) (g) 0,137137137... é uma dízima periódica simples. (V) (h) As diagonais de qualquer paralelogramo são iguais. (F) (i) Todo polígono regular convexo é inscritível. (V) (j) O hexaedro regular tem 9 arestas. (F) (k) A expressão n2 - n + 41 (n ∈N) só produz números primos. (F) (Se n for 41 a expressão será falsa, pois o número produzido não será primo.) (l) Todo número divisível por 5 termina por 0 (zero) ou 5. (V) (m) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. (V) (n) O número 125 é cubo perfeito. (V) (o) 0; 4 e -4 são as raízes da equação (p) O cubo é um poliedro regular. (V) 7UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A TÓPICO 3 1 Sejam as proposições p: Está quente e q: Está chovendo. Traduza para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~ p (não está quente) ou (está frio) b) (está quente e está chovendo) c) p ∨ q (está quente ou está chovendo) d) (está quente se e somente se estiver chovendo) e) (se está quente então não está chovendo) f) p ∨ ~q (está quente ou não está chovendo) g) (não está quente e não está chovendo) h) (está quente se e somente se não está chovendo) i) (se está quente e não está chovendo, então está quente) j) ~ p → ~q (se não está quente então não está chovendo) k) (não está quente se e somente se não está chovendo) ↔ 2 Dadas as proposições p: Fernando é vendedor e q: Paola é feliz. Traduza para a linguagem corrente as proposições: a) q → p (Se Paola é feliz, então Fernando é vendedor) a) p ∨ ~q (Fernando é vendedor ou Paola não é feliz) b) q ~ p (Paola é feliz se e somente se Fernando não é vendedor) c) ~ p → q (Se Fernando não é vendedor, então Paola é feliz) d) ~ ~ p (É falso que Fernando não é vendedor); (Fernando é vendedor) e) (Se Fernando não é vendedor e Paola é feliz, então Fernando é vendedor) 3 Traduza para a linguagem corrente as proposições: p: Maira fala inglês e q: Maira fala espanhol. a. p ∨ q (Maira fala inglês ou Maira fala espanhol); (Maira fala inglês ou fala espanhol) b. (Maira fala inglês e fala espanhol) c. (Maira fala inglês e não fala espanhol) d. (Maira não fala inglês e não fala espanhol) e. ~ ~ q (Não acontece que Maira não fala espanhol); (Maira fala espanhol) f. (Não acontece que Maira não fala inglês e não fala espanhol) g. (Se Maira fala inglês ou fala espanhol, então Maira fala inglês e não fala espanhol) 8 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A h. ~ p ↔ ~ q (Maira não fala inglês se e somente se não fala espanhol) i. p → ~ q (Se Maira fala inglês então não fala espanhol) j. ~ ( ~ p ∨ ~q) (É falso que Maira não fala inglês ou não fala espanhol); (Maira fala inglês e fala espanhol) k. ~ (~ p → q) (Se não acontece que Maira não fala inglês, então fala espanhol) 4 Agora, traduza para a linguagem simbólica as proposições: p: Flávio é alto e q: Flávio é elegante. a) Flávio é alto e elegante. b) Flávio é alto, mas não é elegante. c) Não é verdade que Flávio é baixo ou elegante ~(~p ∨ q) d) Flávio não é alto e nem elegante. e) Flávio é alto ou é baixo e elegante. f) Não é verdade que Flávio é baixo ou que não é elegante. ~(~p ∨ ~q) 5 Dadas as proposições p: Janaína é pobre e q: Janaína é feliz. Traduza para a linguagem simbólica. a. Janaína é pobre e feliz. b. Janaína é rica e feliz. c. Janaína é infeliz e rica. d. Janaína não é pobre, mas é infeliz. e. Janaína não é feliz, mas é rica. f. Janaína é rica ou feliz. ~p ∨ q g. Janaína é pobre ou rica. p ∨ ~p h. Janaína é feliz ou infeliz. q ∨ ~q 6 Traduza para a linguagem simbólica as proposições matemáticas:9UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 7 Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas: 8 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. (Use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.) a) b) c) d) e) f) g) h) Curitiba é capital do Paraná ∧Manaus é capital do Amazonas. (V ∧ V = V) i) Curitiba é capital do Paraná ∨ Manaus é capital do Amazonas. (V ∨ V = V) 9 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes pro- posições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.) a) b) c) d) e) f) g) h) 10 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes proposições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.) 10 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A a) b) c) d) e) f) g) 11 Determine o valor lógico, isto é, (V ou F) de cada uma das seguintes pro- posições. (Volte e use a tabela-verdade dos conectivos correspondentes.) a) Não é verdade que 20 é um número par. ~V = F b) É mentira que Maceió é capital de Alagoas. ~V = F c) 8 . 9 = 72 e 2 + 2 = 5 (V ∧ F = F) d) e) f) g) 12 Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são V e F, respecti- vamente, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das proposições: a) p ∨ q = V ∨ F = V b) p ∧ q = V ∧ F = F c) p ∧ ~ q = V ∧ ~ F = V ∧ V = V d) ~ p ∧ ~ q = ~ V ∧ ~ F = F ∧ V = F e) ~ ~ q = ~ ~F = ~V = F f) ~(~ p ∧ ~ q) = ~(~ V ∧ ~ F) = ~(F ∧ V) = ~ F = V g) (p ∨ q ) → (p ∧ ~ q) = (V ∨ F ) → (V ∧ ~ F) = V → (V ∧ V) = V → V = V h) ~ p ↔ ~ q = ~ V ↔ ~ F = F ↔ V = F i) p → ~ q = V → ~ F = V → V = V j) ~ ( ~ p ∨ ~q) = ~ ( ~ V ∨ ~F) = ~ ( F ∨ V) = ~ V = F k) ~ (~ p → q) = ~ (~ V → F) = ~ (F → F) = ~ V = F 11UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A UNIDADE 2 TÓPICO 1 1 Construa as tabelas-verdade das seguintes proposições P (p, q): a) ~ ( p ∨ ~ q) p q ~ q p ∨ ~ q ~ ( p ∨ ~ q) V V F F V F V F F V F V V V F V F F V F 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª b) ~ ( p → ~ q) p q ~ q p → ~ q ~ ( p → ~ q) V V F F V F V F F V F V F V V V V F F F 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª c) p ∧ q → p ∨ q p q p∧ q p ∨ q p∧ q → p ∨ q V V F F V F V F V F F F V V V F V V V V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 12 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A d) ~ p → (q → p) p q ~ p q → p ~ p → (q → p) V V F F V F V F F F V V V V F V V V F V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª Obs.: Na 4ª coluna, para facilitar a comparação, você pode construir uma nova tabela e escrever primeiro a coluna q e depois a coluna p, assim: q p q → p V F V F V V F F V V F V 1ª 2ª 4ª e) (p → q) → (p∧ q) p q p q p∧ q (p → q) → p∧ q) V V F F V F V F V F V V V F F F V V F F 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 13UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A f) q ↔~ q∧ p p q ~q ~q∧ p q ∧ ~ q∧ p V V F F V F V F F V F v F V F F F F F V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª g) (p ↔~ q) ↔ (q → p) p q ~q p ↔~ q q → p p ↔~ q ↔ (q→ p) V V F F V F V F F V F v F V V F V V F V F V F F 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª h) (p ↔~ q) → ~p∧ q p q ~p ~q p ↔~ q ~p∧ q (p ↔~ q) → ~p∧ q V V F F V F V F F F V V F V F v F V V F F F V F V F V V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 14 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A i) ~ p∧ r → q ∨ ~ r p q r ~p ~ r ~ p∧ r q ∨ ~r ~ p∧ r → q ∨ ~r V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V V F V F V F V F V F F F F V F V F V V F V V V F V V V V V V V F V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª TÓPICO 2 1 Identifique, através da tabela-verdade, se as proposições seguintes representam uma tautologia, contradição, contingência. a) p ↔ ~ p contradição (coluna 3ª) p ~p p ↔ ~p V F F V F F 1ª 2ª 3ª b) ~ (p → ~ q) contingência (coluna 5ª) p q ~q p → ~ q ~(p → ~ q) V V F F V F V F F V F V F V V V V F F F 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 15UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A c) p ∧ q → p ∨ q tautologia (coluna 5ª) P q p ∧ q p ∨ q p ∧ q → p ∨ q V V F F V F V F V F F F V V V F V V V V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª d) p ∧ q → p ∨ ~q tautologia (coluna 6ª) P q ~q p ∧ q p ∨ ~q p ∧ q → p ∨ q V V F F V F V F F V F V V F F F V V F V V V V V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª e) (p ↔ ~ q) → ~p ∧ q contingência (coluna 7ª) P q ~p ~q p ↔ ~ q ~p ∧ q (p ↔ ~ q) → ~p ∧ q V V F F V F V F F F V V F V F V F V V F F F V F V F V V 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª TÓPICO 2 1 Construa a tabela-verdade e teste a validade dos argumentos: a) ~ p → ~ q, p | q 16 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A p q ~ p ~ q ~p →~ q 1ª 2ª 3ª 4ª V V F F V F V F F F V V F V F V V V F V P C P Observe que, nas linhas 1 e 2, ambas as premissas são verdadeiras (V), mas na linha 2 a conclusão é falsa (F). Logo, o argumento dado é um sofisma (ou falácia). b) p → q, q → r | p → r p q r p → q q → r p → r 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F F V V V V V F V V V F V V V F V F V V V V P P C O argumento é válido, pois nas linhas em que as premissas são verdadeiras (V) a conclusão também é verdadeira (V). c) p → q | ~ q → ~ p p q ~ q ~ p p → q ~ q → ~p 1ª 2ª 3ª 4ª V V F F V F V F F V F V F F V V V F V V V F V V P C 17UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A O argumento é válido, pois nas 1ª, 3ª e 4ª linhas a premissa é verdadeira (V) e a conclusão também é verdadeira (V). d) p → ~ q, r → q, r | ~ p p q r ~ p ~ q p → ~ q r → q 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V V F F V V F F V V F F V V V V V V V V F V V V F V P C P P Argumento válido. Na linha cinco todas as premissas são verdadeiras (V) e a conclusão também é (V). 2 Converta os argumentos numa linguagem simbólica lógica, construa a tabela-verdade e teste sua validade: a) Escrevendo de forma simbólica: p → q, q | p p q p → q 1ª 2ª 3ª 4ª V V F F V F V F V F V V C P P 18 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A O argumento não é válido, pois na 3ª linha as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa. Trata-se de uma falácia, neste caso, da afirmação do consequente. b) p → q, ~ q | ~ p p q ~ p ~ q p → q 1ª 2ª 3ª 4ª V V F F V F V F F F V V F V F V V F V V C P P O argumento é válido, pois na 4ª linha as premissas são verdadeiras e a conclusão também. p → q, p | q p q p → q 1ª 2ª 3ª 4ª V V F F V F V F V F V V P C P 19UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A O argumento é válido, pois na 1ª linha as premissas são verdadeiras e a conclusão também. p → q, q → r | p → r p q r p → q, q → r p → r 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F V V F F V V V V V F V V V F V V V F V F V V V V P P C O argumento é válido, pois nas linhas em que as premissas são verdadeiras (V) a conclusão também é verdadeira (V). TÓPICO 2 1 Teste os argumentos construindo a tabela-verdade pela condicional associada. a) Forma simbólica: ~ p → q, p | ~ q Condicional associada: (~ p → q) ∧ p → ~ q p q ~ p ~ p → q (~ p → q) ∧ p ~q (~ p → q) ∧ p → ~ q V V F F V F V F F F V V V V V F V V F F F V F V F V V V 20 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A A última coluna, ou a coluna solução desta tabela-verdade, encerra as letras V e F. Portanto, a condicional associada não é tautológica e, por consequência, o argumento não é válido, ou seja, é um sofisma. Modo simbólico: ~ p → ~q, p | q Condicional associada: (~ p → ~ q) ∧ p → q p q ~ p ~ q (~ p → q) (~ p → ~ q) ∧ p (~ p → ~q) ∧ p → q V V F F V F V F F F V V F V F V V V F V V V F F V F V V O argumento é um sofisma, pois a última coluna não encerra somente o valorlógico (V). c) p → q, r → ~ q ∧ r | ~ p Condicional associada: p q r ~ p ~ q p → q ~q∧ r r → ~ q∧ r (p → q)∧ (r → ~ q∧ r) (p → q)∧ (r → ~ q∧ r) → ~ p V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V V F F V V F F V V V V F F V V V V F F V F F F V F F V V V F V V V F V F F F V V V V F V V V V V V O argumento é um sofisma, pois a última coluna não encerra somente o valor lógico (V). 21UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A TÓPICO 2 1 Prove, através das tabelas-verdade, a equivalência ou não das proposições: a) (p ∧ q) ⇔ p ∨ ~ q p q ~ q (p ∧ q) p ∨ ~ q V V F F V F V F F V F V V F F F V V F V As tabelas-verdade das duas proposições não são idênticas nas colunas 4 e 5, logo as proposições não são equivalentes. b) ~ (p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ q p q ~ p ~ q p ∨ q ~ (p ∨ q) ~ p → ~ q V V F F V F V F F F V V F V F V V V V F F F F V F F F V As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 6 e 7, logo as proposições são equivalentes. c) ~ p → p ⇔ p p ~ p ~ p → p V F F V V F As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 1 e 3, logo as proposições são equivalentes. d) ~ ~p ⇔ p 22 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A p ~ p ~ ~ p V F F V V F As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 1 e 3, logo as proposições são equivalentes. e) p → p ∧ q ⇔ p → q p q p ∧ q p → p ∧ q p → q V V F F V F V F V F F F V F V V V F V V As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 4 e 5, logo as proposições são equivalentes. f) p ⇔ q ⇔ ~ p ∨ q p q ~p p → q ~ p ∨ q V V F F V F V F F F V V V F V V V F V V As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 4 e 5, logo as proposições são equivalentes. g) p ↔ q ⇔ (p ∧ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) p q ~p ~q p ↔ q p ∧ q (~ p ∧ ~ q) (p ∨ q) ∨ (~ p ∧ ~ q) V V F F V F V F F F V V F V F V V F F V V F F F F F F V V F F V 23UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A As tabelas-verdade das duas proposições são idênticas nas colunas 5 e 8, logo as proposições são equivalentes. h) ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r) ⇔ (p → r) → q p q r ~p ~q ~r (~ q ∧ ~ r) ~ p ∧ (~ q ∧ ~ r) (p → r) (p → r) → q V V V V F F F F V V F F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V V F F V V F F V V F V F V F V F V F F F V F F F V F F F F F F F V V F V F V V V V V V F V V V F F As tabelas-verdade das duas proposições não são idênticas nas colunas 8 e 10, logo as proposições não são equivalentes. TÓPICO 3 1 Coloque V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) Solução, comentada: a) F, pois 2 não é elemento do conjunto {1, {2}, 4}. b) V, pois tanto 3 quanto 4 são elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 6}. c) V, note que é um elemento do conjunto { , 1, {2}. d) V, pois {3} é elemento do conjunto {1, 2, {3}, 4, 5}. e) V, pois {1. {2} } são elementos do conjunto {1, {2}, 3}. f) V, pois é elemento do conjunto { , {2} }. g) V, pois 4 é elemento do conjunto {1, {2}, 4}. h) F, pois os elementos 1, 2 não estão em {3, 4}. 24 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 2 Dado o conjunto A= {1, 3, 5}, classifique as afirmações a seguir em V (verdadeiras) ou F (falsas): a) (F) ∀ x ∈ A, x é primo. b) (V) {1, 5} ∈ P(A) c) (F) ∅ ∉ A d) (V) ∅ ⊂ A e) (V) {1, 3, 3, 5, 5} = A 3 Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7, 9} e C = {1, 3, 9}, encontre os elementos do conjunto K, tal que: A ∪ K = A, B ∪ K = B, C ∪ K = A ∪ B. R.: 4 Hachure no diagrama de Venn para três conjuntos que: (A ∩ B) ∪ C é diferente de A ∩ (B ∪ C) 5 Determine os elementos dos conjuntos A, B, C, sabendo que: A ∩ B = {2, 4}, A ∩ C = {2, 3}, A ∪ B = {2, 3, 4, 5} e A ∪ C = {1, 2, 3, 4}. R.: 25UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A Usando as informações acima, podemos escrever: 6 Determine x para que A = B, dados A = {7, 15, 18, 4x} e B = {18, 15, 20, 7}. Solução: 7 Hachure no diagrama a seguir a operação: (A – B) ∩ C. 8 Dados os conjuntos A, B, C, represente no diagrama de Venn as operações indicadas: a) A Δ B b) (A ∩ C) – B 26 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A c) (A ∪ B) ∩ C d) C Δ B UNIDADE 3 TÓPICO 3 1 Considere uma caixa de vidro com formato de um cubo, de aresta 30 cm, e na qual se encontra, em um canto, uma pequena abelha e no canto diametralmente oposto um pequeno grão de açúcar, como ilustrado na figura a seguir: Pergunta-se: a) Qual é o caminho mais curto para a abelha chegar ao grão de açúcar? R.: O caminho mais curto para a abelha equivale à diagonal do cubo. 27UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A b) Imagine que no lugar da abelha encontra-se uma formiga. Qual é o caminho mais curto para a formiga atingir o grão de açúcar? R.: O caminho mais curto para a formiga é uma linha reta. Planificando parte do cubo, você tem uma melhor compreensão: 2 No alto da estante, há uma coleção de três livros. Tanto a capa quanto a contracapa de cada um dos livros têm a mesma medida: 2,5 mm de espessura. O total de páginas de cada livro mede 4 cm, conforme ilustração. 28 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A Se a traça começar a comer da página um do primeiro volume e seguir comendo em linha reta até a última página do volume três, que distância ela terá percorrido? R.: A distância total que a traça percorre é de 5 cm. Como ela começa na primeira página do volume 1, que está do lado direito do livro e vai até o volume 3, a primeira coisa que a traça vai roer é a capa do volume 1. Depois disso, ela vai para contracapa do volume 2, aí vai andar 4 cm pelas páginas até a capa do volume 2. Por fim, estará na capa do volume 3 e chegará à sua última página, a linha final do nosso quebra-cabeça. Isso totaliza quatro capas e o conteúdo de um volume, ou 5 cm. 3 Mexendo apenas três palitos, forme 4 (quatro) triângulos equiláteros. Basta levantar os três palitos e formar uma pirâmide de base triangular. 4 Preencha a grade com os algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sem repetir nenhum algarismo. A soma em cada uma das linhas, colunas e diagonais deverá ser 15. Tente e descubra a lógica do desafio. R.: 29UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A R.: Ao final de sete dias, terá escalado 7 metros, já que sobe três e escorrega dois. No oitavo dia, ele escala o restante, o que faz com que chegue à borda do poço, de onde pula para fora. A resposta é, portanto, oito dias. 5 Esta é a história de um sapo que caiu da bicicleta e acabou no fundo de um poço de 10 metros de profundidade. O poço era fundo demais para que o sapo desse um impulso para sair dele.Todo dia, ele escalava 3 metros das paredes escorregadias do poço, mas, durante a noite, enquanto descansava, escorregava 2 metros. Nesse ritmo, de quantos dias o sapo precisaria para sair do poço? Escreva o processo do raciocínio que você usou para chegar na resposta. 6 Aqui você encontra um interessante quebra-cabeça, mais fácil do que parece. O centro do círculo está indicado pelo O. O ângulo AOC mede 90º. A linha AB é paralela à linha OD. O segmento OC mede 5 cm e o segmento CD mede 1 cm. O problema, aqui, é determinar o comprimento da linha AC. R.: A linha OD é o raio do círculo e tem 6 cm de comprimento. A figura ABCO é o retângulo cujos cantos opostos tocam o centro e a beirada do círculo. Por isso, o raio da linha OB terá 6 cm de comprimento. Como as duas diagonais do retângulo têm o mesmo comprimento, a linha AC será igual à linha OB, ou seja, 6cm de comprimento. 30 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M ÁT I C A 7 Antes deste cubo ser dividido em 27 cubinhos, seus seis lados foram pintados de azul. Veja se você consegue responder às seguintes perguntas: (1) Quantos cubos têm três lados pintados? R.: 8 cubos têm três lados pintados. (2) Quantos cubos têm dois lados pintados? R.: 12 cubos têm dois lados pintados. (3) Quantos cubos têm um só lado pintado? R.: 6 cubos têm um só lado pintado. (4) Quantos cubos não têm nenhum lado pintado? R.: 1 cubo não tem nenhum lado pintado. 8 Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8. Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual será o número de pulos que o cachorro precisa dar para alcançar a lebre? R.: Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou seja, um pulo de lebre vale pulos do cachorro. Podemos, então, escrever: Nº de pulos Valor do pulo Cachorro 5 2 Lebre 8 5 31UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação invertida, ou seja, vamos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo valor do pulo da lebre (5) e os 8 pulos da lebre pelo valor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre). A cada instante, o cachorro tira uma diferença de 25 – 16 = 9 pulos. Como a distância que os separa é de 36 pulos de cachorro, o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezes até alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator cachorro (25) por 4, temos: 25 x 4 = 100 pulos. 9 Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos ele pode ainda carregar? R.: Um saco de areia equivale a oito tijolos. Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos, então pode carregar 18 x 8 = 144 tijolos. 10 Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando sete pessoas, de modo que uma delas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente. R.: São sete pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. Vamos chamar essa pessoa de João. Então, primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel sem João, usando apenas as outras seis pessoas. Como temos seis pessoas e cinco lugares no carro, calculamos o arranjo de seis elementos, tomados 5 a 5: Agora calculemos o número de maneiras de lotar o automóvel com João. Sabemos que ele não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. Então fixamos João em um dos lugares traseiros (logo, sobram quatro lugares no carro) e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras seis pessoas nos quatro lugares restantes, ou seja, um arranjo de seis elementos, tomados 4 a 4: João pode estar em qualquer um dos três assentos traseiros. Assim devemos multiplicar esse resultado por 3: O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (com e sem João). O total é 720 + 1.080 = 1.800 maneiras 32 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 11 As idades de duas pessoas há oito anos estavam na razão de 8 para 11. Agora, estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente? R.: Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova e de x a idade da pessoa mais velha. O problema diz que atualmente as idades estão na razão de 4 para 5, então: O problema diz também que há oito anos as idades estavam na razão de 8 por 11. Logo: Isolando y na equação 1, temos: Substituindo y na equação 2, encontramos o valor de x: Portanto, a idade da pessoa mais velha é 30 anos. 33UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 12 Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg. Eles pesam 60, 70 e 80kg. Como devem proceder para atra- vessar o rio? R.: Os homens de 60 e 70 kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80 kg atravessa sozinho. O que havia atravessado na primeira viagem, volta com o barco. Finalmente, os de 60 e 70 kg atravessam e os três estarão do outro lado do rio. 13 Um relógio digital marca 19:56:45. Qual o número mínimo de segundos que devem passar até que se alterem todos os algarismos? R.: Um relógio digital marca 19:56:45. Os algarismos estarão alterados, pela primeira vez, quando o relógio marcar 20:00:00, ou seja, em 15 segundos mais 180 segundos, isto é, 195 segundos. 14 Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele observou que, de minuto em minuto, o número de ovos na cesta duplicava. Às 2 horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade? R.: 1h59min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a cesta estava cheia, significa que no minuto anterior a cesta estava pela metade. 15 Uma garrafa com sua rolha custa R$ 1,10. Sabendo que a garrafa custa R$ 1,00 a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da garrafa? R.: Sendo G a garrafa e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas equações: 34 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI NEAD L Ó G I C A M A T E M Á T I C A Logo, a garrafa custa R$ 1,05 e a rolha R$ 0,05. 16 Um homem tem dois relógios. Um deles não anda, e o outro atrasa uma hora por dia. Qual deles mostrará mais frequentemente a hora certa? R.: O relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que atrasa só mostra a hora certa de 12 em 12 dias, depois de ter atrasado 12 horas. Portanto, o que não anda mostra a hora certa com maior frequência. 17 Uma florista colheu 49 kg de flores do campo que podem ser vendidas imediatamente por R$ 1,25 o quilo. A florista pode também vendê-las desidratadas por 2 reais a mais o quilo. O processo de desidratação faz as flores perderem de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista? R.: Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar 49 x 1,25 = 61,25 reais. As flores desidratadas perdem , então elas vão pesar Portanto, a florista ganha mais no processo sem a desidratação. 18 O prefeito de uma cidade decidiu colocar um adesivo em todos os carros oficiais. O adesivo terá a forma retangular com 6 quadrados, disposto em 2x3 e com 3 cores. 1 quadrado azul, 2 quadrados amare- los e 3 quadrados verdes. Dentre quantos tipos diferentes de adesivos o prefeito terá que escolher? R.: Como o quadrado pintado de cor azul pode estar em qualquer lugar, então temos 6 possíveis formas de escolher a posição desse quadrado. Entre os 5 quadrados restantes precisamos pintar dois de amarelo, o que podemos fazer de 10 formas, assim os três quadrados restantes são pintados de verde. Portanto, o prefeito tem 6 x 10 = 60 formas diferentes de escolher o adesivo. 35UNIASSELVI NEAD GABARITO DAS AUTOATIVIDADES L Ó G I C A M A T E M Á T I C A 19 Numa feira, uma dúzia de laranjas e 5 maçãs tinham o mesmo preço. Depois de quinze dias, o preço das laranjas caiu 10% e o das maçãs subiu 2%. Quanto se gastará a mais na compra de uma dúzia de laranjas e 10 maçãs? R.: Vamos supor que uma dúzia de laranjas custe R$ 1,00. Assim, 5 maçãs também custam R$ 1,00. Como o preço das laranjas subiu 10%, o novo valor é R$ 1,10. O preço das maçãs diminuiu 2%, logo o novo preço das maçãs é R$ 0,98. Assim, antes se gastavam R$ 2,00 na compra de 1 dúzia de laranjas e 5 maçãs, agora gasta-se 1,10 + 0,98 = 2,08. Temos, então, que o aumento foi de R$ 0,08, que corresponde ao percentual: Tivemos um aumento de 4%. 20 Se de 15% dos membros de uma população afetados por uma doença 8% morreram, qual a percentagem da mortalidade em relação à população inteira? R.: A proporção de população que fica doente pela enfermidade é , dos que ficam doentes, a proporção que morre é Logo, a proporção de populaçãoque morre pela doença é que corresponde a: 12% da população inteira morre.
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