Domingos Pereira - Relatório 6 - Ajuste de Curvas

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21 de agosto de 2021 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 2020.2 
RELATÓRIO TÉCNICO 6: AJUSTE DE CURVAS 
TURMA: ENGENHARIA DE PETRÓLEO – EPET019 – B – TARDE 
ALUNO: DOMINGOS CLEMENTE PEREIRA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por meio de uma máquina 
calculadora ou um computador, sendo de grande importância pois, embora os métodos analíticos 
usualmente nos forneçam a resposta em termos de funções matemáticas, existem problemas que não 
possuem solução analítica. Mas, mesmo nestes casos podemos obter uma solução numérica para o 
problema. Uma solução via Cálculo Numérico é um conjunto de dados numéricos que fornecem uma 
aproximação para a solução exata do problema, aproximação esta que pode ser obtida em grau crescente de 
exatidão. 
Na área da Engenharia de Petróleo, os ajustes de curvas são utilizados em diversos testes, um deles é o 
teste de poço, onde a partir de simulações numéricas é possível determinar a taxa de injeção, de 
produção, comportamento da broca quando em contato com a rocha, entre outros, isso testando 
diferentes configurações. Com os dados coletados e comparados com modelos semelhantes são 
obtidos alguns parâmetros. Então, utilizando o método de mínimos quadrados são ajustados os dados 
de campo às curvas analíticas. 
 
 
2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 
Dado um conjunto de N pontos {(xj,yj) ∈ ℝ2 }nj=1 e uma família de funções F={f:ℝ→ℝ;y=f(x)}, 
o problema de ajuste de curvas consiste em encontrar uma função da família F que melhor se 
ajusta aos pontos dados, não necessariamente que os interpola. 
Aqui, o termo “melhor se ajusta” é entendido no sentido de mínimos quadrados, isto é, busca-se 
encontrar uma função f∈F tal que f(x) resolve o seguinte problema de minimização 
 
 
ou seja, f(x) é a função da família F cujo erro quadrático entre yj e f(xj), j=1,2,...,N é mínimo. 
A expressão 
 
 
] 
 
é chamada de resíduo e consiste na soma dos quadrados das diferenças entre a 
ordenadas yj e o valor da função procurada f(xj). 
 
3. MÉTODOS NUMÉRICOS 
Nesse relatório será apresentado apenas três métodos de ajustes de curva, o ajuste linear, ajuste 
parabólico e ajuste exponencial. 
 AJUSTE LINEAR 
Partindo da função q(x) = a0 + a1x, é necessário encontrar a0 e a1 para ser possível ajustar os pontos 
dispersos e determinar a função q(x). Calcula-se da seguinte maneira: 
𝑛 ∑ 𝑥i 
∑ 𝑥i ∑ 𝑥i2 
𝑎0 
𝑎1 
= 
∑ 𝑦i 
∑ 𝑥i . 𝑦i 
Encontrando a0 e a1 substitui na eq. q(x)= a0 + a1x 
 AJUSTE PARABÓLICO 
Partindo da função parabólica q(x) = a0 + a1x + a2x2, deve-se encontrar os valores de a0, a1 e a2. Ao 
determinar esses valores deve-se substituir na eq. q(x) = a0 + a1x + a2x2. Calcula-se da seguinte 
maneira:
𝑛 ∑ 𝑥i ∑ 𝑥i2 
∑ 𝑥i ∑ 𝑥i2 ∑ 𝑥i3 . 
∑ 𝑥i2 ∑ 𝑥i3 ∑ 𝑥i4 
𝑎0 
𝑎1 
𝑎2 
∑ 𝑦i 
= ∑ 𝑥i . 𝑦i 
∑ 𝑥i2. 𝑦i 
 AJUSTE EXPONENCIAL 
Partindo da equação y(x) = a . ebx para o ajuste exponencial, percebe-se que ela não é linear então 
y(x) precisa ser linearizada, para isso aplica-se o logaritmo natural nos dois lados da equação. 
Assim, lny = lna + bx, e por associação temos que lny = y’, lna = a0 e a1 = x, sendo lna 
correspondente a a0, a = ea0. Para determinar os valores de a utiliza-se a seguinte equação: 
𝑛 ∑ 𝑥i 
∑ 𝑥i ∑ 𝑥i2 
𝑎0 
𝑎1 
= 
∑ 𝑙𝑛𝑦 
∑ 𝑥i . 𝑙𝑛𝑦 
Encontrando os valores de a, aplica-se os valores à função y(x) = a . ebx. 
 
 
4. APLICAÇÕES 
Dado o seguinte problema: 
 
Percebe-se que C está em função de v, assim sendo C(v) a nossa função. Foi adotado v = x e C = q para 
que as variáveis fiquem semelhantes às das funções apresentadas no ponto 3. 
Realizando os cálculos de ajustes linear, parabólico e exponencial respectivamente, foi obtido o 
seguinte:
. 
. 
 AJUSTE LINEAR 
Na figura 1, foi realizado manualmente os cálculos com auxílio do software Symbolab para se obter 
a função q(x) linear que mais se aproxima aos pontos fornecidos. O problema em questão também 
solicita que seja estimado o custo de investimento q(x) para um volume de x = 1,42, assim obteve-se 
o seguinte 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
Plotando o gráfico com a função de ajuste linear e os pontos fornecidos, usando o Excel, obteve-se a 
seguinte reta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 AJUSTE PARABÓLICO 
Segue-se da mesma forma que o ajuste anterior, abaixo está a equação parabólica q(x) e 
posteriormente q(1,42): 
 
Figura 3 
Plotando no Excel foi obtida a seguinte parábola: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 AJUSTE EXPONENCIAL 
Abaixo estão os cálculos para se obter a função exponencial q(x), análogo ao que foi feito nos outros 
dois ajustes, como feito nos outros pontos, abaixo está a extimativa de custo para x = 1,42.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
Plotando o gráfico no Excel obteve-se a seguinte curva exponencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
 
 
 
 MELHOR AJUSTE PARA X = 1,42 
Conforme pedido na questão, baseado no Coeficiente de Pearson, foi escolhido o melhor ajuste 
entre os apresentados acima. Usando o Excel obtivemos o seginte: 
Reta: r = 0,950216725 Parábola: r = 0,93747155 Curva exponencial: r = 0,9509969 
Como já se sabe, quanto mais próximo de 1 estiver “r” melhor é o ajuste. Então, percebe-se que 
para x = 1,42 o melhor ajuste é o exponencial sendo então o mais adequado. Portanto, a melhor 
estimativa para o custo de investimento para uma ETA de 1.42 mil m3 é de 393,036 milhares de 
euros. 
 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Como pode-se notar os ajustes calculados manualmente corresponderam aos ajustes calculadros 
usando o Excel, além disso, os Coeficientes de Pearson tendiam a 1. Ainda podemos afirmar que todos 
os métodos foram eficientes, pois alcançaram o objetivo de achar uma função para ajuste dos pontos. 
Contudo, entre os três métodos, foi possível notar uma grande diferença ao aplicar x = 1,42 nas 
funções q(x) respectivas. Com isso, por meio das análises entre os Coeficientes de Pearson vimos que a 
melhor forma de ajuste para o problema em quetão foi o exponencial. 
Portanto, pode-se concluir que os três métodos de ajustes apresentados foram suficientes para 
alcançar o objetivo final. 
 
 
6. BIBLIOGRAFIA 
Profa. Adriana Cherri, Profa. Andréa Vianna, Prof. Antonio Balbo, Profa Edméa Baptista. Métodos 
numéricos computacionais. Faculdade de ciências – Unesp Bauru, Departamento de computação e 
departamanto de matemática. Disponível em: 
http://wwwp.fc.unesp.br/~adriana/Numerico/Ajuste.pdf. Acesso em: 20 de ago. 2021. 
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Foundation, 2021. Disponível em: 
<https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=M%C3%A9todo_dos_m%C3%ADnimos_quadrados&oldid
=61246570>. Acesso em: 22 mai. 2021. 
JUNIOR, Rogério Tadeu Santana; STEFFENS, Lindaura Maria. Estudo de métodos de upscaling de 
permeabilidade absoluta e determinação de parâmetros de testes de poços através do método 
dos mínimos quadrados. 27º SIC UDESC, Universidade do Estado de Santa Catarina. Disponível em: < 
https://www.udesc.br/arquivos/udesc/id_cpmenu/6226/Estudo_de_M_todos_de_UPSCALING_de_Per 
meabilidade_Absoluta_e_Determina o_de_Par_metros_de_Testes_de_Po_os_atrav_s_do_M_todso_dos_ 
M_nimos_Quadrados_15035693674922_6226.pdf>. Acesso em: 20 de ago. 2021. 
 
WILHELM, Volmir Eugênio; KLEINA, Mariana. Ajuste de curva pelo método dos quadrados 
mínimos. Universidade Federal do Paraná. Disponível em: < 
https://docs.ufpr.br/~volmir/MN_13_MQM_ppt.pdf>. Acesso em: 20 de ago. 2021. 
http://wwwp.fc.unesp.br/~adriana/Numerico/Ajuste.pdf
http://www.udesc.br/arquivos/udesc/id_cpmenu/6226/Estudo_de_M_todos_de_UPSCALING_de_Per
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PILLING, Sergio. Ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados. Universidade do Vale da 
Paraíba – UNIVAP, São José dos Campos. Disponível em:<https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt5.pdf>. Acesso em: 19 de ago. 2021. 
 
IME, UFRGS. Ajuste de curvas. Disponível em: < 
https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/adc.html>. Acesso em: 19 de ago. 2021. 
 
VALLE, Marcos Eduardo. Ajuste de curvas e o método dos quadrados mínimos. Universidade 
Estadual de Campinas – UNICAMP, Departamento de Matemática Aplicada. Disponível em: < 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula13.pdf>. Acesso em: 19 de ago. 2021. 
 
 
http://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/adc.html
http://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/adc.html
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula13.pdf
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula13.pdf
	 AJUSTE LINEAR
	 AJUSTE PARABÓLICO
	 AJUSTE EXPONENCIAL
	 AJUSTE LINEAR (1)
	 AJUSTE PARABÓLICO (1)
	 AJUSTE EXPONENCIAL (1)
	 MELHOR AJUSTE PARA X = 1,42