Introdução à Matemática Financeira_ taxas, juros e descontos

Prévia do material em texto

DEFINIÇÃO
Matemática Financeira. Valor do dinheiro no tempo. Conceitos fundamentais: capital,
montante, juros, taxas e fluxos de caixa – relação nos diferentes regimes de
capitalização e nas modalidades de desconto. Equivalência de capitais: comparação
de valores em distintos instantes de tempo.
PROPÓSITO
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo – fundamental para
uma boa gestão de finanças pessoais e corporativas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora que seja capaz de
realizar, além das operações básicas, potenciação e logaritmos. A calculadora de
seu smartphone ou computador deve servir.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de
juros no Regime de Capitalização Simples
MÓDULO 2
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de
juros no Regime de Capitalização Composta
MÓDULO 3
Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade
MÓDULO 4
Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
MÓDULO 1
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas
de juros no Regime de Capitalização Simples
INTRODUÇÃO
Vamos apresentar o Regime de Capitalização Simples, cujos conceitos são a base
para o que iremos estudar nos demais módulos. Começaremos abordando os
principais conceitos que utilizaremos ao longo dos diversos módulos: Capital,
Montante, Prazos e Taxas de Juros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou
seja, são o valor pago pelo tomador de um empréstimo ao credor, para compensá-lo
pelo capital cedido por um determinado prazo.
Assim, quando alguém toma dinheiro emprestado, para quitar a dívida contraída, é
preciso devolver, na data acordada para o pagamento (Prazo), o valor do empréstimo
(Capital) acrescido da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores
dá-se o nome de Montante.
O esquema acima ilustra uma operação de crédito. No instante inicial (t=0), o credor
cede um capital ao tomador, que no prazo acordado (t=n) o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser aplicados a uma
operação de investimento. Quando você realiza uma aplicação financeira, o capital
investido gera juros, produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um banco. Depois de
algum tempo, essa pessoa quita a dívida pagando ao banco 1.010 reais.
Vamos calcular:
Os juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J),
temos:
Nessa operação:
M = C + J
M = C + J
C  =  1. 000
M  =  1. 010 
Logo:
A taxa de juros
Como vimos que o Montante (M) é igual à soma do Capital (C) e dos Juros (J),
temos:
Podemos determinar o valor percentual ao qual esses juros correspondem, fazendo:
Ou seja, os juros pagos corresponderam a 1% do capital.
VOCÊ SABERIA DIZER SE ESSES JUROS
SÃO ALTOS OU BAIXOS? REFLITA UM
POUCO.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo de:
1 ano
Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem baixos (1% ao ano).

1 dia
Nesse, entretanto, o considerariam bem elevados (1% ao dia).
Observamos, então, que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo a que se
referem.
1. 010 = 1. 000 + J
J = 10 reais 
x100% = x100% = 0, 01x100% = 1%J
C
10
1.000
OS JUROS DE UMA OPERAÇÃO PODEM,
PORTANTO, SER EXPRESSOS COMO UM
PERCENTUAL DO CAPITAL EM
DETERMINADO PRAZO. A ISSO CHAMAMOS
DE TAXA DE JUROS.
TAXA DE JUROS
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest rate) como a
razão entre os Juros e o Capital, expressa em porcentagem e referida a um
determinado prazo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
Prazo Abreviação
ao dia a.d.
ao mês a.m.
i = J
C
ao bimestre a.b.
ao trimestre a.t.
ao quadrimestre a.q.
ao semestre a.s.
ano ano a.a.
ao período a.p.
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
AO PERÍODO
Esse se refere a um período genérico em que a operação é realizada.
Fiquem atentos às abreviações, pois, de agora em diante, as usaremos bastante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e resgatou, 1 ano após a
aplicação, 2.750 reais. Vejamos como calcular:
Os juros
Nessa operação:
M = C + J
javascript:void(0)
Logo:
A taxa de juros
Para calcularmos a taxa de juros, fazemos:
A taxa de juros fica expressa ao ano (a.a.), pois o período da aplicação foi de 1 ano.
Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos, eles não são
a mesma coisa. Os juros são expressos em unidades monetárias: reais, dólares,
euros etc. Já as taxas de juros são expressas em percentual e referidas a um
período (dia, mês, ano etc.).
C  =  2. 500
M  =  2. 750
2. 750 = 2. 500 + J
J = 2. 750 − 2. 500 = 250 reais
i = = = 0, 10 × 100% =   10% a. a.J
C
250
2.500
Assista ao vídeo e entenda um pouco mais sobre juros e taxa de juros.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros, incidindo
periodicamente sobre o capital, se acumulam.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples, somente o Capital
Inicial rende juros. Assim, o valor dos juros que são acrescidos ao capital é
calculado com base apenas no capital inicialmente investido.
 
Fonte: Shutterstock
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem incorporados na
operação é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de capitalização
simples a uma taxa de juros igual a i ao período, temos que os juros calculados
serão:
APÓS O 1º PERÍODO: C×I
APÓS O 2º PERÍODO: C×I
J = C × i
... ...
APÓS O N-ÉSIMO PERÍODO: C×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E teremos um Montante (M) igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de Capitalização
Simples.
J = C × i × n
M = C + J
M = C + C × i × n
M = C × (1 + i × n) 
LEMBRE-SE QUE O NÚMERO DE PERÍODOS
(N) E A TAXA DE JUROS (I) DEVEM ESTAR
NA MESMA UNIDADE DE TEMPO! SE N
ESTÁ EXPRESSO EM MESES, ENTÃO I
DEVE SER “AO MÊS”; SE N ESTIVER EM
ANOS, I DEVE SER “AO ANO”, E ASSIM POR
DIANTE!
 EXEMPLO
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pago em 3 anos, a juros
simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
No enunciado, são dados:
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo, podemos
substituir seus valores na expressão e obtemos o seguinte montante:
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
Instante Juros Montante
M = C× (1 + i × n)
C  =  2. 000 i  =  15% a. a.   =  0, 15   n  =  3  anos
M = 2. 000 × (1 + 0, 15 × 3)
M = 2. 000 × 1, 45 = R$ 2. 900, 00 
t = 0 - 2.000
t = 1 ano 2.000 x 15% = 300 2.000 + 300 = 2300
t = 2 anos 2.000 x 15% = 300 2.300 + 300 = 2.600
t = 3 anos 2.000 x 15% 300 2.600 + 300 = 2.900
Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que são obtidos
pela aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital inicial de 2.000 reais.
TAXAS PROPORCIONAIS E
EQUIVALENTES EM JUROS SIMPLES
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo (n), produzem o
mesmo montante (M). No caso de juros simples, as taxas equivalentes são
proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e duas vezes
maior do que a semestral, por exemplo. EXEMPLO
Uma taxa de juros simples de 1% a.m. é equivalente a uma taxa de 3% a.t., pois a
taxa trimestral será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma vez que há 3 meses em
um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros simples de
1% a.m. corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um trimestre a uma taxa de
3% a.t.:
MÃO NA MASSA
1. VOCÊ FOI AO BANCO SOLICITAR UM EMPRÉSTIMO DE R$
1.000,00 POR UM MÊS, E O BANCO COBROU UMA TAXA DE
JUROS DE 1,5% A.M. QUANTO VOCÊ PAGARÁ DE JUROS
NESSA OPERAÇÃO?
A) R$ 20,00
B) R$ 15,00
C) R$ 25,00
D) R$ 10,00
2. UM PRODUTO CUSTOU R$ 144,00, JÁ COM DESCONTO DE
20% SOBRE SEU PREÇO À VISTA. SE O COMPRADOR O
TIVESSE ADQUIRIDO COM PAGAMENTO APÓS UM MÊS,
PAGARIA 5% DE JUROS SOBRE O PREÇO À VISTA. QUANTO
TERIA PAGO SE COMPRASSE A PRAZO?
A) R$ 189,00
B) R$ 180,00
100 × (1 + 1% × 3) = 100 × (1 + 3% × 1)
C) R$ 190,00
D) R$ 179,00
3. UM BANCO APLICA R$ 100.000,00 À TAXA DE JUROS
SIMPLES DE 15% A.M. POR N MESES. APÓS ESSE PERÍODO,
ELE REAPLICA O MONTANTE OBTIDO À TAXA DE JUROS
SIMPLES DE 20% A.M., POR 4 MESES, OBTENDO UM
MONTANTE FINAL DE R$ 234.000,00. QUAL O PRAZO DA
PRIMEIRA APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
D) 4 meses.
4. UM CAPITAL DE R$ 6.000,00, APLICADO A JUROS SIMPLES
DE 60% AO ANO, RENDEU R$ 900,00. QUAL É O PRAZO DA
APLICAÇÃO?
A) 5 meses.
B) 3 meses.
C) 2 meses.
D) 4 meses.
5. QUAL É O CAPITAL QUE, INVESTIDO POR 4 MESES A UMA
TAXA DE JUROS SIMPLES DE 2% A.M., GERA UM MONTANTE
DE R$ 1.080,00?
A) R$ 3.000,00
B) R$ 5.000,00
C) R$ 2.000,00
D) R$ 1.000,00
6. CALCULE AS TAXAS DE JUROS SIMPLES MENSAIS
EQUIVALENTES ÀS SEGUINTES TAXAS: 
 
I - 24% A.A. 
II - 6% A.S. 
III -16% A.Q. 
IV - 9% A.T. 
V -3% A.B. 
 
ASSINALE A ALTERNATIVA COM A SEQUÊNCIA DE
RESULTADOS CORRETA:
A) I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5% a.m.
B) I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5% a.m.
C) I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
D) I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V - 1,5% a.m.
GABARITO
1. Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o
banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará de juros
nessa operação?
Sabemos que a taxa de juros é obtida fazendo:
i = →  J = C× iJ
C
Como, no nosso exemplo, C = R$ 1.000,00 e i =1,5% a.m., temos:
Lembrem-se bem dessa última expressão (J=C.i), que nos permite calcular os juros
de uma operação. Basta aplicar a Taxa de Juros ao Capital.
2. Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20% sobre seu preço à
vista. Se o comprador o tivesse adquirido com pagamento após um mês,
pagaria 5% de juros sobre o preço à vista. Quanto teria pago se comprasse a
prazo?
Seja P o preço do produto. Com um desconto de 20%, o comprador pagou R$
144,00, ou seja:
Se comprasse a prazo, pagaria esse preço, acrescido de juros de 5%. Vamos
calcular os juros:
m, o comprador teria pago:
3. Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m. por n
meses. Após esse período, ele reaplica o montante obtido à taxa de juros
simples de 20% a.m., por 4 meses, obtendo um montante final de R$
234.000,00. Qual o prazo da primeira aplicação?
Após n meses da primeira aplicação, o investidor terá um montante de:
Esse será o capital aplicado na segunda operação, gerando um montante igual a:
J = 1. 000 × 1, 5% = 1. 000 × 0, 015 = R$ 15, 00
P × (1 − 20%) = 144
P× 0, 80 = 144 → P = = R$ 180, 00144
0,80
J = C× i
J = 180 × 5% = 180 × = R$ 9, 005
100
180 + 9 = R$ 189, 00
M_1 = 100. 000 × (1 + 0, 15 × n)
M2 = M1 × (1 + 0, 20 × 4)
M2 = 100. 000 × (1 + 0, 15 × n) × (1 + 0, 20 × 4)
A resposta encontrada está em meses, pois utilizamos uma taxa de juros expressa ao
mês.
4. Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu
R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
Para juros simples, temos:
J = 900
Logo, substituindo na expressão, temos:
O resultado é expresso em anos, pois a taxa de juros utilizada á anual (ao ano). Para
calcular o período em meses, basta multiplicarmos o valor obtido por 12.
5. Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simples de
2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
Para juros simples, temos:
234. 000 = 100. 000 × (1 + 0, 15 × n) × 1, 80
1 + 0, 15 × n = 234.000
100.000×1,80
1 + 0, 15 × n = 1, 30
0, 15 × n = 0, 30
n = = 2 meses  
0,30
0,15
J = C× i × n
C  =  6. 000 
i  =  60% a. a.   =  0, 60
900 = 6. 000 × 0, 60 × n
n = = 0, 25  anos  9006.000×0,60
M = C× i × n
M  =  1. 080 
i  =  2% a.m.   =  0, 02
n  =  4 meses
Logo, substituindo na expressão, temos:
6. Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às seguintes
taxas: 
 
I - 24% a.a. 
II - 6% a.s. 
III -16% a.q. 
IV - 9% a.t. 
V -3% a.b. 
 
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
Em juros simples, as taxas equivalentes são proporcionais. Assim, para
determinarmos as taxas de juros simples mensais em cada um dos itens do
enunciado, fazemos:
TEORIA NA PRÁTICA
O regime de capitalização simples é incomum no mercado financeiro, mas podemos
encontrar exemplos em empréstimos informais, como entre amigos ou familiares.
Imagine que João empresta R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo, que se compromete a
devolver R$ 1.050,00 após um ano. Quando chega a data do pagamento, Paulo diz
que está com dificuldade, mas pagará R$ 1.100,00 após mais um ano. Ou seja,
Paulo paga R$ 50 a João por cada ano do empréstimo ou 5% do valor emprestado
(R$ 1.000,00).
1. 080 = C× (1 + 0, 02 × 4) = C× 1, 08
C = = R$ 1. 000, 001.080
1,08
ia = = 2% a.m.        ib = = 1%a.m.       ic = = 4%a.m.
24%
12
6%
6
16%
4
id = = 3%       a.m. ie = = 1, 5% a.m.
9%
3
3%
2
Esse é um exemplo de capitalização simples: a taxa de juros de 5% incide sempre
sobre o valor inicial (R$ 1.000,00), e não sobre o valor acrescido de juros (R$
1.050,00 ao final do primeiro ano).
Estamos usando a expressão J=C×i, com C= R$ 1.000 e i = 5%. É importante
reforçar que podemos escrever a taxa de juros de duas formas: i = 5% ou i = 0,05.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CALCULE O MONTANTE QUE UM CAPITAL DE R$ 2.000,00
GERA A UMA TAXA DE JUROS SIMPLES DE 2% A.M., DEPOIS DE
CINCO MESES E MEIO:
A) R$ 220,00
B) R$ 22.000,00
C) R$ 2.105,00
D) R$ 2.220,00
2. UM JOVEM APLICA R$ 2.500,00 A JUROS SIMPLES PELO
PRAZO DE 2 MESES, RESGATANDO, AO FINAL DO PRAZO, R$
2.657,50. A TAXA ANUAL DA APLICAÇÃO FOI DE:.
A) 3,15%
B) 37,8%
C) 13,0%
D) 9,6%
GABARITO
1. Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa de juros
simples de 2% a.m., depois de cinco meses e meio:
A alternativa "D " está correta.
 
Para juros simples, temos:
Como i e n estão expressos em meses, podemos substituir seus valores na
expressão para calcularmos o Montante.
2. Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2 meses,
resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da aplicação foi de:.
A alternativa "B " está correta.
 
Os juros do período foram de:
Em juros simples, temos que:
157,50=2.500×i×2
A questão pede a taxa anual. Como em juros simples as taxas equivalentes são
proporcionais, a taxa anual é obtida multiplicando-se a taxa mensal por 12. Assim:
M = C × (1 + i× n)
C  =  2. 000
i  =  2% a.m.   =  0, 02
n  =  5, 5 meses
M = 2. 000 × (1 + 0, 02 × 5, 5) = 2. 220
J = 2. 657, 50 − 2. 500 = 157, 50
J = C × i× n
i = = 0, 0315 = 3, 15% a.m.
157,50
2.500×2
MÓDULO 2
 Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas
de juros no Regime de Capitalização Composta
INTRODUÇÃO
O presente módulo apresentará o Regime de Capitalização Composta, o mais
utilizado no mercado financeiro.
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
COMPOSTA
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de capitalização são
calculados exclusivamente sobre o Capital Inicial da operação. No entanto, a maioria
das operações financeiras não são estruturadas no Regime Simples.No Regime de Capitalização composta, ou Juros Compostos, a cada período de
capitalização, os juros são incorporados ao capital do período anterior para servirem
como base de cálculo dos juros no próximo período.
ianual = 3, 15% × 12 = 37, 8%a. a.
 
Chamando o Capital Inicial da operação de C, observamos que esse capital passa
por uma série de aumentos sucessivos a uma taxa i. Como aumentar um valor em 
 equivale a multiplicá-lo por ( ), se a taxa de juros é igual a i, a cada
período de capitalização, o capital é multiplicado por ( ).
Ao final de n períodos, temos um montante final igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa última equação,
temos:
×% 1 +×%
1 + i
M = Cx[(1 + i)x(1 + i)⋯(1 + i)]

n vezes
M = C + J      →      J = M − C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Quais são os juros e o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.200,00, após 3 meses,
a uma taxa composta de 1% a.m.?
Notem a nomenclatura utilizada. O enunciado pede os juros e o Valor Futuro da
aplicação.
Muitas vezes, o Capital e o Montante são chamados de Valor Presente (VP) e Valor
Futuro (VF) da operação financeira, respectivamente. Então, vemos que a questão
nos pede o Montante e os Juros. Vamos lá!
Para juros compostos, temos que:
Logo:
Agora vamos calcular os juros da operação. Para isso, fazemos:
Vejam que para calcular os juros não precisamos usar a fórmula 
. Bastou que calculássemos o Montante e subtraíssemos o
Capital.
J = C × (1 + i)n − C
J = C × [(1 + i)n − 1]
M = C × (1 + i)n
C  =  1. 200 i  =  1% a.m.   =  0, 01 n  =  3 anos
M = 1. 200 × (1 + 0, 01)3 = 1. 236, 36 reais
J = M −C = 1. 236, 36 − 1. 200 = 36, 36 reais
J = C × [(1 + i)n − 1]
TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do
período de capitalização, ou seja, o período em que os juros são incorporados ao
capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
EFETIVAS
Quando os períodos coincidem.
Taxas Efetivas
5% a.m. com capitalização mensal
4% a.a com capitalização anual
10% a.s.
1% a.d.
NOMINAIS
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade de tempo diferente
da unidade de tempo do período de capitalização.
Taxas Nominais
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização, inferimos que se
trata de taxa de juros efetiva.
MAIS IMPORTANTE AINDA, NAS FÓRMULAS
QUE DESENVOLVEMOS PARA JUROS
COMPOSTOS, DEVEMOS SEMPRE UTILIZAR
TAXAS EFETIVAS! CASO TENHA SIDO
INFORMADA UMA TAXA NOMINAL,
DEVEMOS CONVERTÊ-LA PARA A TAXA
EFETIVA ANTES DE APLICAR A FÓRMULA.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas efetivas:
Taxas Nominais Taxas Efetivas
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral
TAXAS EQUIVALENTES
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital (C) e pelo mesmo
período (n), produzem o mesmo montante (M). No entanto, à diferença dos juros
simples, as taxas proporcionais não são equivalentes para juros compostos!
Para encontramos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a seguinte
fórmula, em que as taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Onde n1 e n2 representam o mesmo período de tempo, mas estão expressos na
unidade de suas taxas correspondentes.
im = = 5% a.m.
10%
2
is = = 6% a. s.
12%
2
id = = 0, 2% a. d.
6%
30
it = = 4% a. t.
8%
2
i1 = (1 + i2)
n2/n1 − 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano, pode ser determinada da
seguinte forma:
Note que a taxa mensal equivalente a 12% a.a. não é 1% a.a. como nos juros
simples! Em juros compostos, taxas proporcionais não são equivalentes.
 
Fonte: Shutterstock
TAXA REAL E TAXA APARENTE
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos deixar de falar
de inflação. A inflação é o termo usado para designar a alta geral dos preços em uma
im = (1 + ia) − 1
1ano
12meses
im = (1 + 12%) − 1 = 0, 95% a.m.
1
12
economia. O seu oposto é a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder de compra
da moeda, pois, com os preços mais altos, a mesma quantidade de dinheiro compra
menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo, exatamente
como fazem os juros. Assim, quando aplicamos um determinado capital, o montante
recebido ao final da operação não tem o mesmo poder de compra que teria no início
da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa aparente, pois
não leva em consideração as perdas ocasionadas pela inflação. Se o efeito da
inflação for descontado dessa taxa aparente, obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
É a taxa que representa o ganho efetivo do investimento;
É obtida descontando-se o efeito da inflação.

Taxa aparente
É a taxa nominal da operação financeira;
Possui embutida em si a inflação.
TAXA REAL
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Taxa obtida pelo desconto da inflação na taxa aparente . Representa o
verdadeiro ganho financeiro da operação.
TAXA APARENTE
Taxa contratada em uma operação financeira, por vezes chamada de taxa
nominal.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo período. Em
outras palavras, se estamos falando de um período de 1 ano, as três taxas devem
ser taxas efetivas anuais. Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos converter
as taxas para as mesmas unidades de tempo.
 EXEMPLO
A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de 6% a.a. Nesse
período, a inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim, podemos calcular a taxa real,
uma vez que a taxa de inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a.
Temos:
1 + iaparente = (1 + iinflação )× (1 + ireal )
1 + iaparente = (1 + iinflação) × (1 + ireal)
Assista ao vídeo e entenda de forma mais detalhada a diferença entre taxa real e
taxa aparente e veja um exemplo de como na compra de um produto, podemos
confundi-las.
TAXAS PREFIXADAS E PÓS-FIXADAS
1 + 0, 06 = (1 + 0, 03) × (1 + ireal)
1 + ireal = = 1, 029
1+0,03
1+0,06
ireal = 0, 029 × 100% = 2, 9%a. a.
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum investidor quer ver
seu dinheiro render menos do que a inflação. Pensando nisso, o mercado financeiro
desenvolveu os títulos chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de juros reais que
serão pagos e um fator de atualização monetária – como, por exemplo, o Índice de
Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) – que será usado para compensar a
inflação.
Assim, no início da operação, como não se sabe o valor da inflação futura, também
não há como saber o valor do montante a ser pago para resgatar o título. Sobre esse
tipo de operação, diz-se que está “em aberto”.
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização monetária (ou
correção monetária) e calcula-se a taxa pós-fixada da operação, combinando o fator
de atualização com a taxa de juros acordada noinício da operação.
Chamando a taxa pós de , a taxa de correção monetária de e a taxa de juros
acordada no início da operação de , temos:
ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR
AMPLO (IPCA)
Divulgado mensalmente pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), este índice serve como a medida oficial de inflação no Brasil. Existem
outros índices que medem a inflação, como o Índice Geral de Preços do
Mercado (IGP-M) e o Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC).
ipós icm
ijuros
javascript:void(0)
Fator de atualização monetária
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o valor do
montante ao final da operação, nos títulos pós-fixados só se conhece o montante
final na data do vencimento do título, ou seja, a posteriori.
MÃO NA MASSA
1. APLICAM-SE R$ 1.000,00 DURANTE 2 MESES, A UMA TAXA DE
JUROS COMPOSTOS DE 1% AO MÊS. AO CALCULARMOS OS
JUROS DESSA OPERAÇÃO, OBTEREMOS:
A) R$ 20,00
B) R$ 20,05
C) R$ 20,10
D) R$ 20,01
2. POR QUANTOS MESES DEVO APLICAR R$ 1.000,00 A UMA
TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 0,5% A.M. PARA OBTER R$
10.000,00?
A) 460 meses
(1 +  i_pós ) = (1 + i_cm )

  x (1 + i_juros )
B) 450 meses
C) 412 meses
D) 462 meses
3. QUAL É O MONTANTE GERADO POR UM CAPITAL DE R$
55.000,00, APLICADO À TAXA DE 36% A.A. POR UM ANO, COM
CAPITALIZAÇÃO MENSAL COMPOSTA?
A) R$ 78.416,85
B) R$ 87.416,85
C) R$ 78.410,58
D) R$ 87.614,85
4. QUAL A TAXA EFETIVA ANUAL EQUIVALENTE A 10% AO ANO,
COM CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL?
A) 10,15% a.a.
B) 10,25% a.a.
C) 10,55% a.a.
D) 10,45% a.a.
5. SE A TAXA DE JUROS NOMINAL FOR DE 10% A.A., E A TAXA
DE INFLAÇÃO FOR DE 4% A.A., QUANTO VALE A TAXA DE
JUROS REAL?
A) 8,5% a.a.
B) 5,5% a.a.
C) 6,5% a.a.
D) 5,8% a.a.
6. UM INVESTIMENTO DE R$ 1.000 POR UM ANO É
REMUNERADO COM 50% A TÍTULO DE JUROS, MAIS A
INFLAÇÃO DO PERÍODO, QUE FICOU EM 20%. QUAL FOI O
MONTANTE FINAL DA OPERAÇÃO?
A) R$ 1.300,00
B) R$ 1.500,00
C) R$ 1.800,00
D) R$ 1.600,00
GABARITO
1. Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros compostos
de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros dessa operação, obteremos:
Para juros compostos, temos:
Lembre-se sempre que a taxa de juros e o número de períodos devem sempre estar
expressos na mesma unidade de tempo (neste caso, meses). Logo:
2. Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros
compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
J = C × [(1 + i)n − 1]
C  =  1. 000i  =  1% a.m.   =  0, 01  n  =  2 meses
J = 1. 000 × [(1 + 0, 01)2 − 1]
J = 1. 000 × [1, 0201 − 1] = R$ 20, 10
Para resolver esse exercício, precisaremos recordar uma propriedade dos
logaritmos, pois queremos calcular o número de períodos n, que está no expoente da
fórmula.
A propriedade dos logaritmos que nos será muito útil é a seguinte:
Ou seja, quando aplicamos o logaritmo a uma potência qualquer, nesse caso ab, o
expoente passa para a frente do logaritmo, multiplicando-o.
Vamos ao cálculo. Para juros compostos, temos que:
Logo:
10.000 = 1.000 (1 + 0,005)^n
(1 + 0,005)^n = 10.000/1.000
1,005^n = 10
n = Log 10/ Log 1,005
n = 1/0,002166
n = 462
Como a taxa de juros estava expressa ao mês, encontramos n igualmente expresso
em meses.
3. Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa
de 36% a.a. por um ano, com capitalização mensal composta?
O enunciado fala em 36% ao ano, com capitalização mensal, ou seja, trata-se de
uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa
efetiva mensal correspondente será dada por:
log ab = b× log a
M = C × (1 + i)n
C  =  1. 000  M  =  10. 000  i  =  0, 5% a.m.   =  0, 005
im = = 3% a.m.
36%)
12
Agora, podemos usar a fórmula dos juros compostos:
São dados:
Note que a taxa efetiva que calculamos é mensal, o que implica em usar n expresso
em meses. Logo:
4. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com capitalização
semestral?
O enunciado fala em 10% ao ano, com capitalização semestral, ou seja, trata-se de
uma taxa nominal, pois o prazo da taxa difere do período de capitalização. A taxa
efetiva semestral correspondente será dada por:
No entanto, o enunciado nos pede a taxa efetiva anual. Temos, então, que calcular a
taxa anual equivalente a 5% a.s.:
5. Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for de 4%
a.a., quanto vale a taxa de juros real?
Estamos vendo um exemplo em que a nomenclatura “taxa nominal” está sendo
usada como sinônimo de taxa aparente. As taxas se relacionam da seguinte forma:
M = C × (1 + i)n
C  =  55. 000  i  =  3% a.m.   =  0, 03  n  =  1 ano  =  12 meses
M = 55. 000 × (1 + 0, 03)
12
= R$ 78. 416, 85
is = = 5%a. s.
10%
2
ia = (1 + is) − 1
2 semestres
1ano
ia = (1 + 0, 05)
2
− 1 = 10, 25%a. a.
1 + iaparente = (1 + iinflação) × (1 + ireal)
(1 + 0, 10) = (1 + 0, 04) × (1 + ireal)
1 + ireal = = 1, 058
1,10
1,04
ireal = 0, 058 × 100% = 5, 8% a. a.
As taxas aparentes, ou nominais, não podem ser negativas, mas isso não ocorre com
as taxas de juros reais. Quando a inflação é superior à taxa aparente, a taxa real fica
negativa. Isso significa que os juros auferidos não compensaram as perdas com a
inflação. Nesse caso, há uma perda real.
6. Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a título
de juros, mais a inflação do período, que ficou em 20%. Qual foi o montante
final da operação?
Vamos aos cálculos:
Como o valor do empréstimo era de 1.000 reais, temos que o valor final será dado
por:
M=1.000×(1+80%)=R$ 1.800,00
Os títulos pós-fixados não precisam, necessariamente, ser corrigidos pela inflação.
Também são muito comuns os títulos corrigidos pela taxa de câmbio ou juros que
não são conhecidos no início da operação, como as taxas do CDI ou do Selic. As
duas últimas também são conhecidas como taxas “over”. A lógica, no entanto, é a
mesma.
TEORIA NA PRÁTICA
A capitalização composta é a mais usada no mercado financeiro. Se você tem
recursos investidos, ela trabalha a seu favor, fazendo o investimento crescer mais
rapidamente. Uma dívida, porém, também irá crescer rapidamente.
(1 + ipós) = (1 + icm) × (1 + ijuros)
(1 + ipós) = (1 + 0, 20) × (1 + 0, 50) = 1, 80
ipós = 0, 80 × 100% = 80% a. a.
M = 1. 000 × (1 + 80%) = R$ 1. 800, 00
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do seu banco, que cobra
juros (compostos) de incríveis 12,5% ao mês.
Se a capitalização fosse por juros simples, em um ano, essa dívida se transformaria
em R$ 250,00, o que já não é pouco.
Para obter esse resultado, calculamos inicialmente os juros mensais, usando a
expressão J=C×i, com C = R$ 100 e i = 12,5%: obtemos, então, R$ 12,50.
Depois, multiplicamos por 12 o número de meses. Com capitalização composta,
porém, esse valor chega a R$ 410,99! Podemos usar uma calculadora financeira
para obter esse resultado: fazemos i = 12,5; n = 12; PV = -100; PMT = 0; e pedimos,
então, o cálculo de FV.
Taxas de 12,5% eram comuns nos bancos brasileiros até poucos anos atrás, mas o
Banco Central do Brasil definiu que a taxa não pode ser maior que 8% ao mês, o que
ainda é bastante alto: uma dívida de R$ 100,00 chega a quanto após 12 meses?
Cuidado com o cheque especial!
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM FUNDO DE INVESTIMENTO RECEBE UMA APLICAÇÃO DE
R$ 10.000,00 E OFERECE UMA TAXA EFETIVA DE 5% A.A. COM
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. QUAIS SERÃO OS JUROS
AUFERIDOS APÓS 36 MESES?
A) R$ 1.576,25
B) R$ 1.500,00
C) 11.576,25
D) 67.918,16
2. A INFLAÇÃO ACUMULADA NOS ÚLTIMOS SEIS MESES FOI DE
3%. UM INVESTIMENTO RENDEU 6% NO MESMO PERÍODO.
CALCULE A TAXA DE RENDIMENTO ANUAL REAL DESSE
INVESTIMENTO:
A) 3%
B) 6%
C) 2,91%
D) 5,91%
GABARITO
1. Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e oferece
uma taxa efetiva de 5% a.a. com capitalização composta. Quais serão os juros
auferidos após 36 meses?
A alternativa "A " está correta.
 
Para juros compostos, temos:
Lembremos sempre de colocara taxa de juros e o número de períodos expressos na
mesma unidade de tempo! Logo:
2. A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um investimento
rendeu 6% no mesmo período. Calcule a taxa de rendimento anual real desse
investimento:
A alternativa "D " está correta.
 
J = C. [(1 + i)n − 1]
C  =  10. 000i  =  5% a. a.   =  0, 05n  =  36 meses  =  3 anos
J = 10. 000. [(1 + 0, 05)3 − 1] = 1. 576, 25
Vamos aos cálculos:
Note que a resposta é uma taxa semestral, pois as taxas que usamos são
semestrais. Para calcular a taxa equivalente anual, fazemos:
MÓDULO 3
 Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade 
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos estudar os descontos, operações que trazem valores futuros
para instantes anteriores do tempo. Elas podem ser operações racionais ou
comerciais.
DESCAPITALIZAÇÃO OU DESCONTO
RACIONAL
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
(1 + iaparente) = (1 + iinflação) × (1 + ireal)
1 + 6% = (1 + 3%) × (1 + ireal)
1 + ireal = = 1, 02913
1,06
1,03
ireal = 0, 029 = 2, 913% a. s.
ianual = (1 + isemestral)
2
− 1
ianual = (1 + 2, 913%)
2
− 1 = 0, 0591 = 5, 91% a. a.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para formar um
Montante (M), ou seja, ao Valor Presente (VP) somam-se juros para formar um Valor
Futuro (VF).
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor Futuro para o cálculo do
Valor Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam incorporados ao
Capital na operação de capitalização.
 
DESCONTO COMERCIAL
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são os Títulos de
Crédito.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta
uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data
(Vencimento) a um outro ente (Credor).
 
Fonte: Shutterstock
 EXEMPLO
Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: Duplicatas, Notas Promissórias,
Letras de Câmbio, Cheque pré-datado, etc. Há pequenas diferenças entre esses
diversos títulos: na duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o Emissor. Já
na Nota Promissória e no Cheque, o Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no nosso estudo é
a possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de crédito:
 
Fonte: Shutterstock
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja, resgatar o título antes
do vencimento.
 
Fonte: Shutterstock
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida antes do prazo e, para
isso, “vende” o título de crédito a um terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do
título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o devedor pelo
pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto” será a remuneração do
terceiro que “comprou” o título. Essas duas operações são chamadas de Operações
de Desconto.
 ATENÇÃO
Cuidado com a Nomenclatura! Quando um devedor antecipa um pagamento ou um
credor “vende” um título de crédito, dizemos que eles estão RESGATANDO ou
DESCONTANDO o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual, ou Valor
Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-se do seu Valor de
Face (ou Valor Futuro, ou Valor Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do
Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
VP=VF-DESCONTO
OU
DESCONTO=VF-VP
 EXEMPLO
Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com Valor
Nominal (VF) igual a 1.100 reais, vencendo em 1 ano. Contudo, você não quer
esperar todo esse tempo para receber o Valor de Face da duplicata e decide
antecipar seu recebimento, descontando o título em um banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no que ele quer
receber de remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais. Nesse caso,
temos o seguinte valor para o desconto:
Repararam que, na operação de descapitalização, o valor do desconto estava
diretamente ligado à taxa de juros da operação de capitalização
correspondente?
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o credor, que
deseja antecipar o recebimento do título, e o banco que vai descontá-lo.
Desconto = VF − VP
Desconto = 1. 100 − 900 = 200 reais
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial
simples, o desconto racional simples, o desconto racional composto e o desconto
comercial composto.
DESCONTO COMERCIAL SIMPLES OU
DESCONTO BANCÁRIO, OU
DESCONTO “POR FORA” (D)
Esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas
de factoring etc.) para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é
Desconto = VF − VP
um desconto comercial, ou seja, não se trata de uma operação de descapitalização,
e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘ ’ para representar o desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações principais: o seu
Valor Nominal ( ) e a data de vencimento, ou o prazo para o vencimento ( ).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial simples ( )
oferecida pelo banco, podemos calcular o valor do desconto através da seguinte
expressão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Notem a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos juros
simples.
Como vimos, o valor atual de um título ( ) é dado pela diferença entre o Valor
Nominal ( ) e o desconto ( ). Logo, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D
VF n
iD
D = VF × i_D× n
VP
VF D
VP = VF −D
VP = VF − VF × iD × n
VP = VF(1 − iD × n)
DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU
“POR DENTRO” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o Regime Simples
ou linear. Reservaremos a letra minúscula ‘ ’ para representar esse desconto, e
chamaremos de a taxa de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de que o
desconto comercial é calculado sobre o valor de face ( ), enquanto o desconto
racional é calculado sobre o valor atual do título ( ).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela diferença entre o
valor de face e o desconto. Logo:
d
id
d = VP × id × n
VF
VP
VP = VF − d
VP = VF − VP × id × n
VF = VP + VP × id × n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
OU
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria taxa da
operação de capitalização no regime simples, ou seja, estamos realmente falando de
uma operação de descapitalização.
Assista ao vídeo e entenda melhor o que é Desconto Racional Composto ou “por
dentro” (DRC). Veja também exemplos de sua aplicabilidade e qual a sua
importância.
VF = VP × (1 + i_d× n)
VP = V F
1+id×n
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO
OU “POR DENTRO” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização, pois a maioria
das operações de capitalização são efetuadas sob o regime composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor Nominal
(VF) e o Valor Atual (VP), temos:
VF = VP × (1 + i)
n
 
VP =  VF
(1+i)
n
D_RC = VF− VP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
OU “POR FORA” (DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma decálculo é utilizada em
operações de desconto de títulos pelas instituições financeiras, porém com menos
frequência do que o seu similar simples. Neste caso, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DRC = VF−  
VF
(1+i)
n
VP = VF × (1 − i)
n
DCC = VF − VP
DCC = VF − VF × (1 − i)
n
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA QUE VOCÊ POSSUI UM TÍTULO DE VALOR
NOMINAL (VF) IGUAL A R$ 1.100,00 E COM VENCIMENTO EM 1
ANO. ALÉM DISSO, A TAXA DE JUROS ANUAL PRATICADA NO
MERCADO É DE 10% A.A. QUAL É O VALOR ATUAL (VP) DESSE
TÍTULO?
A) R$ 900,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 1.050,00
D) R$ 950,00
2. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DE
UM TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E
VENCIMENTO EM 3 MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE
60% AO ANO?
A) R$ 2.000,00
B) R$ 2.050,00
C) R$ 2.150,00
D) R$ 2.250,00
3. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL SIMPLES DE UM
TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO
EM 3 MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE 60% AO ANO?
A) R$ 1.956,52
B) R$ 1.556,52
C) R$ 1.765,25
D) R$ 1.865,25
4. QUAL É O VALOR DE DESCONTO RACIONAL COMPOSTO DE
UM TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E
VENCIMENTO EM 3 MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE
60% AO ANO?
A) R$ 1.652,90
B) R$ 1.552,90
C) R$ 1.662,90
D) R$ 1.562,90
5. QUAL É O VALOR DE DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
DE UM TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E
VENCIMENTO EM 3 MESES, SE A TAXA DE DESCONTO É DE
60% AO ANO?
A) R$ 3.050,94
B) R$ 3.060,49
C) R$ 3.070,94
D) R$ 3.040,94
6. SUPONHA AGORA QUE O VALOR DO DESCONTO SEJA DE
EXATAMENTE R$ 3.000,00 PARA UM TÍTULO COM VALOR DE
FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO EM 3 MESES. QUAL É A
TAXA DE DESCONTO?
A) 0,5904
B) 0,6
C) 0,5805
D) 0,9505
GABARITO
1. Suponha que você possui um título de Valor Nominal (VF) igual a R$
1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de juros anual
praticada no mercado é de 10% a.a. Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
O que faremos para calcular o valor atual é a operação inversa da capitalização.
Sabemos que:
Logo:
Também podemos calcular o valor do desconto, caso esse título fosse resgatado
antecipadamente:
2. Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com valor de
face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de
60% ao ano?
O desconto comercial “por fora” é dado por:
VF = VP × (1 + i)
VP = = = R$ 1. 000, 00V F1+i
1.100
1+10%
Desconto = VF − VP
Desconto = 1. 100 − 1. 000 = R$ 100, 00
D = VF × iD × n
VF   =  15. 000
Logo:
3. Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor de face
de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de 60%
ao ano?
O desconto racional simples (“por dentro”) é dado por:
Logo:
4. Qual é o valor de desconto racional composto de um título com valor de
face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de
60% ao ano?
O desconto racional composto é dado por:
5. Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com valor de
face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, se a taxa de desconto é de
iD  =  60% a. a.   =  0, 60
n  =  3 meses  =  3/12 anos  =  0, 25 anos
D = 15. 000 × 0, 60 × 0, 25 = R$ 2. 250, 00
d = VF − VP = VF − V F
1+iD×n
VF   =  15. 000
id  =  60% a. a.   =  0, 60
n  =  3 meses  =  3/12 anos  =  0, 25 anos
d = 15. 000 − = R$ 1. 956, 5215.0001+0,60×0,25
DRC = VF − VP = VF −
V F
(1+i)n
VF   =  15. 000
i  =  60% a. a.   =  0, 60
n  =  3 meses  =  3/12 anos  =  0, 25 anos
Logo :
DRC = 15. 000 −   = R$ 1. 662, 90
15.000
(1+0,60)
0,25
60% ao ano?
O desconto comercial composto é dado por:
Logo:
6. Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$ 3.000,00
para um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses.
Qual é a taxa de desconto?
Novamente, o desconto comercial composto é dado por:
Temos agora e precisamos calcular o valor de i, a taxa de desconto:
TEORIA NA PRÁTICA
DCC = VF − VP = VF − VF × (1 − i)
n
VF   =  15. 000
i  =  60% a. a.   =  0, 60
n  =  3 meses  =  3/12 anos  =  0, 25 anos
DRC = 15. 000 − 15. 000 × (1 − 0, 60)
0,25
= R$ 3. 070, 94
DCC = VF − VP = VF − VF × (1 − i)
n
VF   =  15. 000  i =  ?  n  =  3 meses  =  3/12 anos  =  0, 25 anos
DCC = 3. 000
3. 000 = 15. 000 − 15. 000 × (1 − i)0,25
15. 000 × (1 − i)
0,25
= 12. 000
(1 − i)
0,25
= 12.00015.000
(1 − i)0v = 0, 8
((1 − i)0,25)
4
= 0, 84
1 − i = 0, 4096
i = 0, 5904
Está chegando a Copa do Mundo e você resolveu comprar uma televisão nova para
assistir a todos os jogos com seus amigos. Você escolheu a melhor TV da loja, mas
precisou tomar um empréstimo.
Você se comprometeu a pagar R$ 10.000,00 ao seu emprestador, 12 meses depois,
quando receberá um bônus no seu trabalho, a uma taxa de juros de 1% ao mês.
Mas você deu sorte e ganhou o bolão da Copa com os amigos do escritório! Foi um
bolão generoso: após apenas um mês do empréstimo, você pôde quitar a dívida.
Usando o desconto racional composto, podemos calcular o valor do desconto que irá
obter:
Note que usamos , porque você só recebeu o valor do bolão 1 mês após a
compra. Usamos ainda .
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. QUAL O VALOR DO DESCONTO COMERCIAL SIMPLES DE UM
TÍTULO COM VALOR DE FACE DE R$ 15.000,00 E VENCIMENTO
EM 3 MESES, CONSIDERANDO UMA TAXA DE DESCONTO DE
60% A.A.?
A) R$ 27.000
B) R$ 2.500
C) R$ 2.250
D) R$ 2.125
DRC = VF − VP = VF −   = 10. 000 −   = R$1. 036, 76
V F
(1+i)n
10.000
(1+1%)
11
n  =  11
i  =  1% e VF   =  10. 000
2. UMA LOJA ANUNCIOU QUE VENDERIA SEUS PRODUTOS
COM PAGAMENTO SOMENTE APÓS TRÊS MESES. JOÃO
QUERIA COMPRAR UM ARTIGO POR R$ 1.000,00 E PROPÔS AO
LOJISTA PAGAR À VISTA COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES
DE 2% AO MÊS. SE O LOJISTA ACEITAR A PROPOSTA DE
JOÃO, QUANTO ELE PAGARÁ?.
A) R$ 960,00
B) R$ 942,32
C) R$ 980,39
D) R$ 943,40
GABARITO
1. Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor de face
de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando uma taxa de
desconto de 60% a.a.?
A alternativa "C " está correta.
 
Vamos aos cálculos:
2. Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento somente
após três meses. João queria comprar um artigo por R$ 1.000,00 e propôs ao
D = VF × iD × n
VF   =  15. 000
iD  =  60% a. a.   =  0, 60
n  =  3 meses  =  3/12 anos
D = 15. 000 × 0, 60 × = R$ 2. 2503
12
lojista pagar à vista com desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista
aceitar a proposta de João, quanto ele pagará?.
A alternativa "D " está correta.
 
Vamos aos cálculos:
MÓDULO 4
 Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo
INTRODUÇÃO
Neste módulo, vamos aprender a comparar valores monetários em diferentes
instantes de tempo, ou mesmo comparar diferentes fluxos de caixa, procedimento
fundamental para uma boa gestão financeira.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados
equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o investidor/devedor, mesmo
que estejam em diferentes instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a.
Assim, o montante ao final de 1 ano será de:
VP = V F
(1+id×n)
VP = = R$ 943, 401.000
(1+0,02×3)
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 1.100
reais em um ano. Dizemos, então, que estes dois capitais são equivalentes, ou seja,
1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de 10%
a.a.
Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores
monetários que estão expressos em datas diferentes, sob uma determinada taxa de
juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus Valores
Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma data.
Títulos de Crédito são papeis emitidos por um ente qualquer(Devedor), onde consta
uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma determinada data
(Vencimento) a um outro ente (Credor).
M = 1. 000 × (1 + 10%) = 1. 100
 
Fonte: Shutterstock
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os Descontos
para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando os dois
principais regimes de capitalização e descontos: o Regime de Juros Simples e o
Regime de Juros Compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB
JUROS SIMPLES
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, a uma mesma taxa de juros e
para uma mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na data focal,
forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 acima são equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais.
Neste exemplo, vamos considerar a data focal como sendo 2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte relação de
capitalização em juros simples:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de , também avaliado em
2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2017, a uma taxa
de juros simples de 10% ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado para trazê-lo à data focal de
2015:
Vamos a mais um exemplo:
VF = VP × (1 + i × n)
C1
C20171 = 1. 000 × (1 + 10% × 2) = 1. 200
C2
C2
C20152 = = 1. 000
1.200
1+10%×2
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
SIM
NÃO
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos novamente uma
data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos considerar, agora, a data
focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado
em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal de 2016, a uma
taxa de juros simples de 10% ao ano.
Vimos, então, que 1.000 reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10% a.a., a
1.100 reais em 2016 e a 1.200 reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos com :
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
C1 C3
C1 C3
C1
C20161 = 1. 000 × (1 + 10% × 1) = 1. 100
C1 C3
C2 C3
C3
C20173 = 1. 100 × (1 + 10% × 1) = 1. 210
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS SOB
JUROS COMPOSTOS
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos verificar
se os capitais e são equivalentes:
Para juros compostos, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
Como o valor de , avaliado em 2017, é igual ao valor de , também avaliado em
2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros compostos de
10% ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
C1 C2
VF = VP × (1 + i)n
C1
C20171 = 1. 000 × (1 + 10%)
2 = 1. 210
C1 C2
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
SIM
NÃO
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado em
2016, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa de juros simples de
10% ao ano.
Se compararmos agora com , o que teremos?
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais são equivalentes.
C1 C3
C1
C20161 = 1. 000 × (1 + 10% × 1) = 1. 100
C1 C3
C3 C2
C3
C20173 = 1. 100 × (1 + 10%) = 1. 210
ESSA É UMA PROPRIEDADE
FUNDAMENTAL DOS JUROS COMPOSTOS,
QUE OS DISTINGUEM DOS JUROS SIMPLES.
SE DOIS CAPITAIS SÃO EQUIVALENTES EM
UMA DETERMINADA DATA FOCAL E A UMA
DETERMINADA TAXA DE JUROS, ELES
SERÃO EQUIVALENTES EM QUALQUER
DATA FOCAL.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência de capitais.
EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXA
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo,
podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois fluxos:
 
Fonte: Shutterstock
 
Fonte: Shutterstock
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes
valores presentes para os dois fluxos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são
equivalentes. E isso vale para qualquer data focal escolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VPFC1 = + = 1. 500
550
1+10%
1.210
(1+10%)2
VPFC2 = −500 + = 1. 500
2.420
(1+10%)
2
VFFC1 = 550 × (1 + 10%) + 1. 210 = 1. 815
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e entenda melhor como comparar valores monetários em diferentes
instantes do tempo
MÃO NA MASSA
VFFC2 = −500 × (1 + 10%)
2
+ 2. 420 = 1. 815
1. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS COMPOSTOS DE
10% AO ANO, EQUIVALERÁ A QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.310,00
B) R$ 13.300,00
C) R$ 13.130,00
D) R$ 13.330,00
2. UMA DÍVIDA DE R$ 10.000,00, SOB JUROS COMPOSTOS DE
5% AO SEMESTRE, EQUIVALERÁ A QUE VALOR EM 3 ANOS?
A) R$ 13.300,46
B) R$ 13.400,46
C) R$ 13.500,46
D) R$ 13.600,46
3. UMA PESSOA TOMA R$ 2.000,00 EMPRESTADOS,
PROMETENDO PAGAR COM JUROS DE 4% A.M., EM TRÊS
PRESTAÇÕES MENSAIS. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO VENCE EM 1
MÊS E SERÁ DE R$ 1.080,00. A SEGUNDA SERÁ DE R$ 640,00.
QUAL É O VALOR DA TERCEIRA PRESTAÇÃO?
A) R$ 466,00
B) R$ 460,00
C) R$ 406,00
D) R$ 416,00
4. UMA PESSOA TOMA R$ 1.000,00 EMPRESTADOS,
PROMETENDO PAGAR COM JUROS DE 3% A.M., EM DUAS
PRESTAÇÕES MENSAIS. A PRIMEIRA VENCE EM 60 DIAS E
SERÁ DE R$ 600,00. QUAL É O VALOR DA SEGUNDA
PRESTAÇÃO?
A) R$ 414,73
B) R$ 454,37
C) R$ 474,73
D) R$ 447,37
5. UMA PESSOA TOMA R$ 3.000,00 EMPRESTADOS,
PROMETENDO PAGAR COM JUROS DE 5% AO MÊS EM DUAS
PRESTAÇÕES BIMESTRAIS, SENDO A PRIMEIRA DE R$
1.500,00. QUAL É O VALOR DA SEGUNDA PRESTAÇÃO?
A) R$ 1.982,67
B) R$ 1.992,77
C) R$ 1.952,67
D) R$ 1.962,77
6. UMA MULTINACIONAL PRECISA REALIZAR 3 PAGAMENTOS
ANUAIS DE R$ 1.000,00 NOS PRÓXIMOS 3 ANOS. SEU DIRETOR
FINANCEIRO, NO ENTANTO, ENTENDE SER MAIS ADEQUADO
SUBSTITUIR ESSA DÍVIDA POR OUTRA EQUIVALENTE, COM 2
PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DO SEGUNDO E DO QUARTO
ANOS. SE A TAXA DE JUROS É DE 5% A.A., QUAL É O VALOR
DESSES DOIS PAGAMENTOS?
A) R$ 1.547,40
B) R$ 1.547,50
C) R$ 1.537,40
D) R$ 1.537,50
GABARITO
1. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano,
equivalerá a que valor em 3 anos?
Após 3 anos, o montante da dívida será dado por:
2. Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre,
equivalerá a que valor em 3 anos?
Após 3 anos, ou 6 semestres, o montante da dívida será dado por:
3. Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros
de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence em 1
mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Qual é o valor da
terceira prestação?
A figura a seguir ilustra o fluxo de pagamentos do empréstimo:
O valor presente do fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial da dívida
para que haja equivalência. Logo:
VF = 10. 000 × (1 + 10%)
3
= R$ 13. 310, 00
VF = 10. 000 × (1 + 5%)
6
= R$ 13. 400, 96
Multiplicando toda a expressão por , temos:
4. Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros
de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60 dias e
será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação?
Podemos usar o mesmo raciocínio do exercício anterior – a diferença principal é que
o primeiro pagamento já ocorre após o segundo mês.
Novamente, o valor presentedo fluxo de pagamento deve se igualar ao valor inicial
da dívida para que haja equivalência. Logo:
Multiplicando toda a expressão por , temos:
5. Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros
de 5% ao mês em duas prestações bimestrais, sendo a primeira de R$
1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
Usaremos novamente o raciocínio dos exercícios anteriores. Basta prestar atenção
ao fato de que os pagamentos são feitos a cada dois meses (bimestrais), mas a taxa
de juros ainda é dada ao mês.
Vamos igualar o valor presente do fluxo de pagamento ao valor inicial da dívida para
que haja equivalência:
Multiplicando toda a expressão por , temos:
+ + = 2. 0001.080
1+4%
640
(1+4%)2
P
(1+4%)3
(1 + 4%)3
1. 080 × (1 + 4%)
2
+ 640 × (1 + 4%) + P = 2. 000 × (1 + 4%)
3
1. 168, 128 + 665, 60 + P = 2. 249, 728
P = R$ 416, 00
+ = 1. 000600
(1+3%)2
P
(1+3%)3
(1 + 3%)3
600 × (1 + 3%)
+
P = 1. 000 × (1 + 3%)
3
P = R$ 474, 73
+ = 3. 0001.500
(1+5%)2
P
(1+5%)4
(1 + 5%)
4
6. Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos
próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser mais
adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos
iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros é de 5% a.a.,
qual é o valor desses dois pagamentos?
A figura abaixo ilustra os dois fluxos de pagamentos do empréstimo. Em verde, está a
situação atual, e em vermelho, a proposta de substituição da empresa:
Para que os dois fluxos sejam equivalentes, seus valores, em qualquer instante de
tempo, devem ser os mesmos. Para facilitar as contas, vamos igualar o valor dos
dois fluxos em :
TEORIA NA PRÁTICA
1. 500 × (1 + 5%)2 + P = 3. 000 × (1 + 5%)4
P = R$ 1. 992, 77
t = 2
X+ = 1. 000 ×(1 + 5%) + 1. 000 +X
(1+5%)
2
1.000
1+5%
X+ 0, 907 ×X = 1. 050 + 1. 000 + 952, 38
1, 907 ×X = 3. 002, 38
X = = 1. 547, 40
3.002,38
1,907
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um
mês?
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas
tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês
depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No resto do mundo, é
comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do
mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a proposta não foi
adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Após estudar este módulo, sabemos que a resposta é: “Não necessariamente!”.
Depende do quanto o lojista vai receber, ou seja, das taxas que os bancos vão
cobrar para operacionalizar a venda no cartão de crédito em “D+2” ou “D+30”.
Se há pagamentos em diferentes instantes do tempo, há taxas de juros embutidas,
mesmo que isso não seja explícito. Preste sempre atenção às taxas de juros
“escondidas” dentro de outras taxas!
Voltando ao exemplo inicial: se a taxa de juros é igual a 5% ao mês, é equivalente
receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 em um mês. Esses valores são
equivalentes, como vimos, pois:
Se a taxa de juros for maior que 5% ao mês, é melhor receber daqui a um mês. Por
exemplo, a uma taxa de 6% ao mês, R$ 1.000,00 equivalem a R$ 1.060,00 daqui a
um mês, o que é melhor do que R$ 1.050,00.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
(1  +  5%) x R$ 1. 000, 00  =  R$ 1. 050, 00
1. OBSERVE A FIGURA A SEGUIR: 
 
 
AO CALCULARMOS O VALOR DE P, QUE TORNA AS SAÍDAS DE
CAIXA EQUIVALENTES ÀS ENTRADAS, CONSIDERANDO UMA
TAXA DE JUROS DE 4% AO PERÍODO, OBTEREMOS:
A) R$ 280,00
B) R$ 1.000,00
C) R$ 416,00
D) R$ 216,00
2. VOCÊ PODE PAGAR POR DETERMINADO PRODUTO À VISTA,
COM DESCONTO DE 10%, OU PARCELADO EM DUAS
PRESTAÇÕES IGUAIS E MENSAIS. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO É
PAGA NO ATO DA COMPRA E A SEGUNDA, UM MÊS DEPOIS.
QUAL É A TAXA DE JUROS EMBUTIDA NESSA OPERAÇÃO?
A) 25% a.m.
B) 20% a.m.
C) 15% a.m.
D) 12,5% a.m.
GABARITO
1. Observe a figura a seguir: 
 
 
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às
entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período, obteremos:
A alternativa "C " está correta.
 
Para que sejam equivalentes, o valor futuro das entradas de caixa (setas verdes)
deve ser igual ao valor futuro das saídas de caixa (seta vermelha). Assim,
considerando t = 3, temos:
2. Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%,
ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira prestação é
paga no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros
embutida nessa operação?
A alternativa "A " está correta.
 
Temos os seguintes fluxos de pagamentos possíveis:
1. 080 × (1 + 4%)
2
+ 640 × (1 + 4%) + P = 2. 000 × (1 + 4%)
3
1. 833, 728 + P = 2. 249, 728
P = R$ 416, 00
Como as duas formas de pagamento são equivalentes, os valores presentes dos
fluxos precisam ser iguais. Logo:
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da Matemática Financeira, e agora
sabe calcular o valor do dinheiro em diferentes instantes do tempo. Isso é
fundamental tanto para clientes de produtos financeiros (qualquer pessoa com conta
corrente no banco, por exemplo) quanto para gerentes financeiros de grandes
empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os conceitos que aprendemos
aqui: juros, capital, fluxos de caixa e regimes de capitalização. Preste atenção e
busque aplicações desses conceitos à sua volta: de promoções em lojas a
P .(1 − 10%) = 0, 5.P + 0,5.P
1+i
0, 90 = 0, 50 +
0,50
1+i
= 0, 40
0,50
1+i
1 + i = = 1, 25 
0,50
0,40
i = 0, 25 = 25% a.m.
manchetes de jornais sobre investimento ou política econômica. Você verá como os
assuntos tratados aqui estão presentes em seu dia a dia.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo:
Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-Hill do
Brasil, 1995.
CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES
javascript:void(0);