Matemática Financeira - Introdução à Matemática Financeira, Taxas, Juros e Descontos

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13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 1/45
Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
Prof. Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
Descrição
Conceitos fundamentais da matemática financeira. Valor do dinheiro no tempo. Relação nos diferentes regimes de capitalização e nas modalidades
de desconto. Equivalência de capitais: comparação de valores em distintos instantes de tempo.
Propósito
Analisar valores monetários em diferentes instantes de tempo é fundamental para uma boa gestão de finanças pessoais e corporativas.
Preparação
Antes de iniciar, certifique-se de ter em mãos uma calculadora que seja capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação e logaritmos. A
calculadora de seu smartphone ou computador deve servir.
Objetivos
Módulo 1
Taxas de juros simples
Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Simples.
Módulo 2
Taxas de juros composta
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Identificar a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de juros no Regime de Capitalização Composta.
Módulo 3
Desconto
Reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade.
Módulo 4
Equivalência de capitais
Comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo.
Introdução
Matemática financeira é uma das ferramentas mais populares na área de finanças. Em diversas situações, estamos interessados em analisar a
dinâmica de montantes monetários ao longo do tempo. Quando comparamos valores em momentos distintos, precisamos considerar diversos
fatores. Se alguém tem a oportunidade de escolher receber $100 hoje ou $100 daqui a um ano, normalmente essa pessoa escolheria receber esse
valor hoje. Isso ocorre porque damos mais valor ao dinheiro disponível agora do que no futuro.
Para desistir de ter uma quantia em mãos hoje e receber uma quantia equivalente no futuro, os agentes econômicos costumam cobrar juros. Ou
seja, o agente que empresta dinheiro (credor) pede uma compensação financeira pelo tempo que seu dinheiro ficará indisponível. A matemática
financeira é um ferramental usado para mensurar valores monetários ao longo do tempo e facilitar a comparação entre esses valores.
No primeiro módulo, veremos o Regime de Capitalização Simples, cujos conceitos são a base para o que iremos estudar mais adiante.
Começaremos abordando conceitos fundamentais: Capital, Montante, Prazos e Taxas de Juros. O segundo módulo apresentará o Regime de
Capitalização Composta, o mais utilizado no mercado financeiro. Depois vamos estudar os descontos, operações que trazem valores futuros para
instantes anteriores do tempo. Elas podem ser operações racionais ou comerciais. No último módulo, vamos aprender a comparar valores
monetários em diferentes instantes de tempo, ou mesmo comparar diferentes fluxos de caixa, procedimento fundamental para uma boa gestão
financeira.
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1 - Taxas de juros simples
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de
juros no Regime de Capitalização Simples.
Conceitos fundamentais
Os juros correspondem à remuneração do capital em uma operação de crédito, ou seja, são o valor pago pelo tomador de um empréstimo ao credor,
para compensá-lo pelo capital cedido por determinado prazo.
Quando alguém toma dinheiro emprestado para quitar a dívida contraída, é preciso devolver, na data acordada para o pagamento (Prazo), o valor do
empréstimo (Capital) acrescido da remuneração do credor (Juros). À soma desses dois valores dá-se o nome de Montante.
O esquema anterior ilustra uma operação de crédito. No instante inicial (t=0), o credor cede um capital ao tomador, que no prazo acordado (t=n)
o devolve com juros.
A soma do capital (C) com os juros (J) recebe o nome de Montante (M):
Da mesma forma que na operação de crédito, os juros podem ser aplicados a uma operação de investimento. Quando você realiza uma aplicação
financeira, o capital investido gera juros, produzindo um montante ao final do período de investimento.
Suponha que uma pessoa pegue 1.000 reais emprestados em um banco. Depois de algum tempo, essa pessoa quita a dívida pagando ao banco
1.010 reais.
Vamos calcular:
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Você saberia dizer se esses juros são altos ou baixos? Reflita um pouco.
Nesta análise, vamos imaginar duas situações, o empréstimo teve prazo de:
1 ano
Nesse caso, todos certamente considerariam os juros bem baixos (1% ao ano).
1 dia
Nesse, entretanto, considerariam os juros bem elevados (1% ao dia).
Observamos então que, para avaliar os juros, é preciso conhecer o prazo a que se referem.
Os juros de uma operação podem, portanto, ser expressos como um percentual do capital em determinado prazo. A isso chamamos de taxa de
juros .
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Taxa de juros
Dado o que acabamos de ver, definimos taxa de juros (do inglês interest rate) como a razão entre os Juros e o Capital, expressa em porcentagem e
referida a determinado prazo:
Os prazos mais comuns aos quais a taxa de juros se refere podem ser:
Prazo Abreviação
ao dia a.d.
ao mês a.m.
ao bimestre a.b.
ao trimestre a.t.
ao quadrimestre a.q.
ao semestre a.s.
ao ano a.a.
ao período a.p.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Fique atento às abreviações, pois as usaremos bastante de agora em diante.
Suponha que um investidor aplicou 2.500 reais em um CDB e resgatou, 1 ano após a aplicação, 2.750 reais. Vejamos como calcular:
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Notem que há uma distinção entre Juros e Taxa de Juros! Como vimos, eles não são a mesma coisa. Os juros são expressos em unidades
monetárias: reais, dólares, euros etc. Já as taxas de juros são expressas em percentual e referidas a um período (dia, mês, ano etc.).
Taxa de juros e exemplo de Regime de Capitalização Simples
Neste vídeo, entenda um pouco mais sobre juros e taxa de juros.
Regime de Capitalização Simples
Um Regime de Capitalização consiste na forma como os juros se acumulam, incidindo periodicamente sobre o capital.
No Regime de Capitalização Simples, ou Juros Simples, somente o Capital Inicial rende juros. Assim, o valor dos
juros que são acrescidos ao capital é calculado com base apenas no capital inicialmente investido.
Em cada período de capitalização simples, o valor dos juros a serem incorporados na operação é igual a:
Se um investidor aplica um capital (C) por n períodos em um regime de capitalização simples a uma taxa de juros igual a i ao período, temos que
os juros calculados são:
Após o 1º período: C×i
Após o 2º período: C×i
... ...
Após o n-ésimo período: C×i

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E teremos um Montante (M) igual a:
Essas são as expressões para os juros e montante no Regime de Capitalização Simples.
Atenção!
Lembre-se de que o número de períodos (n) e a taxa de juros (i) devem estar na mesma unidade de tempo! Se n está expresso em meses, então i
deve ser “ao mês”; se n estiver em anos, i deve ser “ao ano”, e assim por diante!
Vamos a um exemplo:
Qual o montante de um empréstimo de R$ 2.000,00 a ser pagoem 3 anos, a juros simples de 15% ao ano?
Para juros simples, temos que:
No enunciado, são dados:
Como ambos, i e n, estão expressos na mesma unidade de tempo, podemos substituir seus valores na expressão e obteremos o seguinte montante:
Podemos resumir o que se passou durante o período na tabela abaixo:
Instante Juros Montante
t=0 - 2.000
t= 1 ano 2.000 x 15% = 300 2.000 + 300 = 2300
t = 2 anos 2.000 x 15% = 300 2.300 + 300 = 2.600
t = 3 anos 2.000 x 15% = 300 2.600 + 300 = 2.900
Paulo Roberto Vianna Júnior.
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Repare que os juros anuais são sempre iguais a 300 reais, uma vez que são obtidos pela aplicação da taxa de juros de 15% sobre o capital inicial de
2.000 reais.
Taxas proporcionais e equivalentes em juros simples
Quando podemos dizer que duas taxas são equivalentes?
Quando são aplicadas ao mesmo capital (C) durante o mesmo prazo (n), produzem o mesmo montante (M). No caso de juros simples, as taxas
equivalentes são proporcionais.
Isso significa que a taxa anual será doze vezes maior que a mensal e duas vezes maior do que a semestral.
Vamos ver um exemplo?
Uma taxa de juros simples de a.m. é equivalente a uma taxa de a.t., pois a taxa trimestral será 3 vezes maior do que a taxa mensal, uma vez
que há 3 meses em um trimestre.
Assim, aplicar um capital de 100 reais por 3 meses a uma taxa de juros simples de a.m. corresponde a aplicar os mesmos 100 reais por um
trimestre a uma taxa de a.t.:
Mão na massa
1% 3%
1%
3%

Questão 1
Você foi ao banco solicitar um empréstimo de R$ 1.000,00 por um mês, e o banco cobrou uma taxa de juros de 1,5% a.m. Quanto você pagará
de juros nessa operação?
A R$ 20,00
B R$ 15,00
C R$ 25,00
D R$ 10,00
E R$ 30,00
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESabemos%20que%20a%20taxa%20de%20juros%20%C3%A9%20obtida%20fazendo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%2C%20no%20nosso%20exemplo%2C%20%3Cspan%20class%3D'mjx-
text'%3EC%20%3D%20R%24%201.000%2C00%3C%2Fspan%3E%20e%20%3Cspan%20class%3D'mjx-
text'%3Ei%20%3D1%2C5%25%20a.m.%3C%2Fspan%3E%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELembrem-
se%20bem%20dessa%20%C3%BAltima%20express%C3%A3o%20(J%3DC.i)%2C%20que%20nos%20permite%20calcular%20os%20juros%20de%20um
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESeja%20P%20o%20pre%C3%A7o%20do%20produto.%20Com%20um%20desconto%20de%20%5C(20%20%5C%25%5C)%2C%20o%20co
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cmathbf%7BP%7D%20%5Ctimes(1
20%20%5C%25)%3D144%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24P%20%5Ctimes%200%2C80%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ESe%20comprasse%20a%20prazo%2C%20pagaria%20esse%20pre%C3%A7o%2C%20acrescido%20de%20juros%20de%205%25.%20Vam
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cmathbf%7BJ%7D%3D%5Cmathbf
caixa-
formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3Eo%20comprador%20teria%20pago%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24180%2B9%3D%5Cmathbf%7BR%7D%
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 2
Um produto custou R$ 144,00, já com desconto de 20% sobre seu preço à vista. Se o comprador o tivesse adquirido com pagamento após um
mês, pagaria 5% de juros sobre o preço à vista. Quanto teria pago se comprasse a prazo?
A R$ 189,00
B R$ 180,00
C R$ 190,00
D R$ 179,00
E R$ 170,00
Questão 3
Um banco aplica R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 15% a.m. por n meses. Após esse período, ele reaplica o montante obtido à taxa de
juros simples de 20% a.m., por 4 meses, obtendo um montante final de R$ 234.000,00. Qual o prazo da primeira aplicação?
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAp%C3%B3s%20(n)%20meses%20da%20primeira%20aplica%C3%A7%C3%A3o%2C%20o%20investidor%20ter%C3%A1%20um%20mont
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cmathrm%7BM%7D%201%3D100.
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEsse%20ser%C3%A1%20o%20capital%20aplicado%20na%20segunda%20opera%C3%A7%C3%A3o%2C%20gerando%20um%20montant
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20resposta%20encontrada%20est%C3%A1%20em%20meses%2C%20pois%20utilizamos%20uma%20taxa%20de%20juros%20expres
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20juros%20simples%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
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caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%2C%20substituindo%20na%20express%C3%A3o%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
A 5 meses.
B 3 meses.
C 2 meses.
D 4 meses.
E 6 meses
Questão 4
Um capital de R$ 6.000,00, aplicado a juros simples de 60% ao ano, rendeu R$ 900,00. Qual é o prazo da aplicação?
A 5 meses.
B 3 meses.
C 2 meses.
D 4 meses.
E 6 meses
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caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20resultado%20%C3%A9%20expresso%20em%20anos%2C%20pois%20a%20taxa%20de%20juros%20utilizada%20%C3%A1%20anua
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20juros%20simples%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%26%5Cma
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%2C%20substituindo%20na%20express%C3%A3o%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%241.080%3DC%20%5Ctimes(1%2B0%2C
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 5
Qual é o capital que, investido por 4 meses a uma taxa de juros simplesde 2% a.m., gera um montante de R$ 1.080,00?
A R$ 3.000,00
B R$ 5.000,00
C R$ 2.000,00
D R$ 1.000,00
E R$ 4.000,00
Questão 6
Calcule as taxas de juros simples mensais equivalentes às seguintes taxas:
I - 24% a.a.
II - 6% a.s.
III -16% a.q.
IV - 9% a.t.
V -3% a.b.
Assinale a alternativa com a sequência de resultados correta:
A I - 2%a.m., II - 1%a.m., III - 4%a.m., IV - 3%a.m., V - 1,5% a.m.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEm%20juros%20simples%2C%20as%20taxas%20equivalentes%20s%C3%A3o%20proporcionais.%20Assim%2C%20para%20determinar
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
O regime de capitalização simples é incomum no mercado financeiro, mas podemos encontrar exemplos em empréstimos informais, como entre
amigos ou familiares.
Imagine que João empreste R$ 1.000,00 a seu amigo Paulo, que se compromete a devolver R$ 1.050,00 após um ano. Quando chega a data do
pagamento, Paulo diz que está com dificuldade, mas pagará R$ 1.100,00 após mais um ano. Ou seja, Paulo paga R$ 50 a João por cada ano do
empréstimo ou 5% do valor emprestado (R$ 1.000,00).
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
B I - 1% a.m., II - 2% a.m., III - 4% a.m., IV - 3% a.m., V - 1,5% a.m.
C I - 2% a.m., II - 1% a.m., III - 3% a.m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
D I - 1% a.m., II - 1% a.m., III - 1,5% a.m., IV - 4% a.m., V - 1,5% a.m.
E I - 1% a.m., II - 2% a.m, III - 3% a. m., IV - 1,5% a.m., V - 4% a.m.
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Mostrar solução
Questão 1
Calcule o montante que um capital de R$ 2.000,00 gera a uma taxa de juros simples de 2% a.m., depois de cinco meses e meio:
A R$ 220,00
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Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20juros%20simples%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20%3Cspan%20class%3D'mjx-text'%3Ei%3C%2Fspan%3E%20e%20%3Cspan%20class%3D'mjx-
text'%3En%3C%2Fspan%3E%20est%C3%A3o%20expressos%20em%20meses%2C%20podemos%20substituir%20seus%20valores%20na%20express%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20juros%20do%20periodo%20foram%20de%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24J%3D2.657%2C50-
2.500%3D157%2C50%24%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dark%3D%22false%22%0A%20%20%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEm%20juros%20simples%2C%20temos%20que%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20quest%C3%A3o%20pede%20a%20taxa%20anual.%20Como%20em%20juros%20simples%20as%20taxas%20equivalentes%20s%C
se%20a%20taxa%20mensal%20por%2012%20.%20Assim%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2F
caixa-
B R$ 22.000,00
C R$ 2.105,00
D R$ 2.220,00
E R$ 2.225,00
Questão 2
Um jovem aplica R$ 2.500,00 a juros simples pelo prazo de 2 meses, resgatando, ao final do prazo, R$ 2.657,50. A taxa anual da aplicação foi
de:
A 3,15%
B 37,8%
C 13,0%
D 9,6%
E 17,8%
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formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24i_%7Ba%20n%20u%20a%20l%7D%3D
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
2 - Taxa de juros composta
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre Capital, Montante, prazos e os diversos tipos de taxas de
juros no Regime de Capitalização Composta.
Regime de capitalização composta
No Regime de Capitalização Simples, os juros de cada período de capitalização são calculados exclusivamente sobre o Capital Inicial da operação.
No entanto, a maioria das operações financeiras não são estruturadas no Regime Simples.
No Regime de Capitalização Composta, ou Juros Compostos, a cada período de capitalização os juros são incorporados ao capital do período
anterior para servirem como base de cálculo dos juros no próximo período.
Chamando o Capital Inicial da operação de , observamos que esse capital passa por uma série de aumentos sucessivos a uma taxa i. Como
aumentar um valor em equivale a multiplicá-lo por , se a taxa de juros é igual a i, a cada período de capitalização, o capital é
multiplicado por .
Ao final de periodos, temos um montante final igual a:
Logo, da relação entre Montante, Capital e Juros, temos:
C
×% (1 + ×%)
(1 + i)
n
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Substituindo a expressão que encontramos para o Montante nessa última equação, temos:
Veja agora como seria a aplicação de um valor e quanto seria o rendimento em juros após determinado período.
Taxas de juros efetivas e nominais
Nem sempre a taxa de juros estará expressa na mesma unidade de tempo do período de capitalização, ou seja, o período em que os juros são
incorporados ao capital.
Nesse caso, existem dois tipos de taxas:
Efetivas
São as taxas aplicadas quando os períodos coincidem.
Taxas Efetivas
5% a.m. com capitalização mensal
4% a.a. com capitalização anual
10% a.s.
1% a.d.
Tabela: Taxas efeitvas.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Nominais
Nas situações em que a taxa de juros está expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do período de capitalização.
Taxas Nominais
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
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Taxas Nominais
8% a.s. com capitalização trimestral
Tabela: Taxas nominais.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Notem que quando nada é dito sobre o período de capitalização, inferimos que se trata de taxa de juros efetiva.
Nas fórmulas que desenvolvemos para juros compostos, devemos sempre utilizar taxas efetivas! Caso tenha sido
informada uma taxa nominal, devemos convertê-la para a taxa efetiva antes de aplicar a fórmula.
E como fazemos isso? Simples. As taxas efetiva e nominal são taxas proporcionais.
Vamos converter, então, as taxas nominais da tabela anterior em taxas efetivas:
Taxas Nominais Taxas Efetivas
10% a.b. com capitalização mensal
12% a.a. com capitalização semestral
6% a.m. com capitalização diária
8% a.s. com capitalização trimestral a.t.
Tabela: Conversão de taxas nominais em taxas efetivas.
Paulo Roberto Vianna Júnior.
Taxas equivalentes
Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital(C) e pelo mesmo período (n), produzem o mesmo montante (M). No entanto, à
diferença dos juros simples, as taxas proporcionais não são equivalentes para juros compostos!
Para encontrarmos taxas equivalentes em juros compostos, usamos a seguinte fórmula, em que as taxas são sempre efetivas, nunca nominais:
Agora, vamos ver um exemplo:
A taxa composta mensal equivalente a 12% ao ano pode ser determinada da seguinte forma:
im =
10%
2 = 5%a.m
is =
12%
2 = 6%a. s
id =
6%
30 = 0, 2%a ⋅ d
it =
8%
2 = 4%
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Taxa real e Taxa aparente
Como estamos falando do valor do dinheiro no tempo, não podemos deixar de falar de inflação. A inflação é o termo usado para designar a alta
geral dos preços em uma economia. O seu oposto é a deflação, uma queda geral dos preços na economia.
Comentário
Também podemos compreender a inflação como uma redução no poder de compra da moeda, pois, com os preços mais altos, a mesma quantidade
de dinheiro compra menos produtos.
Sabemos, portanto, que a inflação altera o valor do dinheiro no tempo, exatamente como fazem os juros. Assim, quando aplicamos determinado
capital, o montante recebido ao final da operação não tem o mesmo poder de compra que teria no início da operação, pois foi corroído pela inflação.
Dessa forma, a taxa de juros que recebemos na aplicação é uma taxa aparente, pois não leva em consideração as perdas ocasionadas pela inflação.
Se o efeito da inflação for descontado dessa taxa aparente, obtemos a taxa real da operação.
Por conseguinte, temos duas novas definições:
Taxa real
É a taxa que representa o ganho efetivo do investimento;
É obtida descontando-se o efeito da inflação.
Taxa aparente
É a taxa nominal da operação financeira;
Possui embutida em si a inflação.
A relação entre as três taxas: taxa aparente, taxa de inflação e taxa real é dada por:
Nesta fórmula, as três taxas são taxas efetivas expressas no mesmo período. Em outras palavras, se estamos falando de um período de 1 ano, as
três taxas devem ser taxas efetivas anuais. Portanto, antes de usarmos a fórmula, devemos converter as taxas para as mesmas unidades de tempo.
Exemplo
A taxa de juros oferecida por uma aplicação financeira de 1 ano foi de 6% a.a. Nesse período, a inflação acumulada foi de 3% a.a. Assim, podemos
calcular a taxa real, uma vez que a taxa de inflação é de 3% a.a., e a taxa aparente é igual a 6% a.a. Temos:

1 + iaparente  = (1 + iinflaçā ̃o ) × (1 + ireal )
1 + 0, 06 = (1 + 0, 03) × (1 + ireal )
1 + ireal  =
1 + 0, 03
1 + 0, 06
= 1, 029
ireal  = 0, 029 × 100% = 2, 9%a. a
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Taxa real e taxa aparente
Neste vídeo, entenda de forma mais detalhada a diferença entre taxa real e taxa aparente e veja um exemplo de como podemos confundi-las na
compra de um produto.
Taxas pre�xadas e pós-�xadas
Vimos que as taxas de juros reais podem ser negativas e nenhum investidor quer ver seu dinheiro render menos do que a inflação. Pensando nisso,
o mercado financeiro desenvolveu os títulos chamados de pós-fixados.
Nesses títulos, negocia-se a taxa de juros reais. Funciona da seguinte maneira:
No início da operação, o tomador e o credor acordam o valor de juros reais que serão pagos e um fator de atualização monetária – como, por
exemplo, o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) – que será usado para compensar a inflação;
Ainda, ao iniciar a operação, como não se sabe o valor da inflação futura, também não há como saber o valor do montante a ser pago para
resgatar o título. Sobre esse tipo de operação, diz-se que está “em aberto”;
Quando o título vence, apura-se o valor do fator de atualização monetária (ou correção monetária) e calcula-se a taxa pós-fixada da operação,
combinando o fator de atualização com a taxa de juros acordada no início da operação.
Chamando a taxa pós de , a taxa de correção monetária de e a taxa de juros acordada no início da operação de , temos:
Assim, em oposição aos títulos prefixados, quando se conhece a priori o valor do montante ao final da operação, nos títulos pós-fixados só se
conhece o montante final na data do vencimento do título, ou seja, a posteriori.
Mão na massa

ipós icm ijuros 

Questão 1
Aplicam-se R$ 1.000,00 durante 2 meses, a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês. Ao calcularmos os juros dessa operação, obteremos:
A R$ 20,00
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20juros%20compostos%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24J%3DC%20%5Ctimes%5Cleft%5B(1%
1%5Cright%5D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24C%3D1.000%2C%20i%3D1%20%5C%25
caixa-formula%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELembre-
se%20sempre%20que%20a%20taxa%20de%20juros%20e%20o%20n%C3%BAmero%20de%20per%C3%ADodos%20devem%20sempre%20estar%20exp
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%26J%3D1
1%5Cright%5D%20%5C%5C%26J%3D1.000%20%5Ctimes%5B1%2C0201-
1%5D%3DR%20%5C%24%2020%2C10%5Cend%7Baligned%7D%24%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20resolver%20esse%20exercicio%2C%20precisaremos%20recordar%20uma%20propriedade%20dos%20logaritmos%2C%20pois%
paragraph'%3EA%20propriedade%20dos%20logaritmos%20que%20nos%20ser%C3%A1%20muito%20%C3%BAtil%20%C3%A9%20a%20seguinte%3A%3
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Clog%20a%5E%7Bb%7D%3Db%20
caixa-formula%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOu%20seja%2C%20quando%20aplicamos%20o%20logaritmo%20a%20uma%20pot%C3%AAncia%20qualquer%2C%20o%20expoente%2
o.%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20ao%20c%C3%A1lculo.%20Para%20juros%20compostos%2C%20temos%20que%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%
caixa-
B R$ 20,05
C R$ 20,10
D R$ 20,01
E R$ 20,50
Questão 2
Por quantos meses devo aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m. para obter R$ 10.000,00?
A 460 meses
B 450 meses
C 412 meses
D 462 meses
E 432 meses
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 20/45
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caixa-formula%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%2410.000%3D1.000(1%2B0%2C005)%5E
caixa-
formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3EComo%20a%20taxa%20de%20juros%20estava%20expressa%20ao%20m%C3%AAs%2C%20encontramos%20%3Cspan%20class%3D'mj
text'%3En%3C%2Fspan%3E%20igualmente%20expresso%20em%20meses.%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20enunciado%20fala%20em%2036%25%20ao%20ano%2C%20com%20capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20mensal%2C%20ou%20seja%se%20de%20uma%20taxa%20nominal%2C%20pois%20o%20prazo%20da%20taxa%20difere%20do%20periodo%20de%20capitaliza%C3%A7%C3%A3o
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24i_%7Bm%7D%3D%5Cfrac%7B36%20%
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paragraph'%3EAgora%2C%20podemos%20usar%20a%20f%C3%B3rmula%20dos%20juros%20compostos%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-
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caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ES%C3%A3o%20dados%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24C%3D55.000%2C%20i%3D3%20%5C%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%20a%20taxa%20efetiva%20que%20calculamos%20%C3%A9%20mensal%2C%20o%20que%20implica%20em%20usar%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24M%3D55.000%20%5Ctimes(1%2B0%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Qual é o montante gerado por um capital de R$ 55.000,00, aplicado à taxa de 36% a.a. por um ano, com capitalização mensal composta?
A R$ 78.416,85
B R$ 87.416,85
C R$ 78.410,58
D R$ 87.614,85
E R$ 87.410,58
Questão 4
Qual a taxa efetiva anual equivalente a 10% ao ano, com capitalização semestral?
A 10,15% a.a.
B 10,25% a.a.
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 21/45
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20enunciado%20fala%20em%2010%25%20ao%20ano%2C%20com%20capitaliza%C3%A7%C3%A3o%20semestral%2C%20ou%20sej
se%20de%20uma%20taxa%20nominal%2C%20pois%20o%20prazo%20da%20taxa%20difere%20do%20periodo%20de%20capitaliza%C3%A7%C3%A3o
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24i_%7Bs%7D%3D%5Cfrac%7B10%20%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENo%20entanto%2C%20o%20enunciado%20nos%20pede%20a%20taxa%20efetiva%20anual.%20Temos%2C%20ent%C3%A3o%2C%20qu
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%26i_%7Ba
1%20%5C%5C%26i_%7Ba%7D%3D(1%2B0%2C05)%5E%7B2%7D-
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caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EEstamos%20vendo%20um%20exemplo%20em%20que%20a%20nomenclatura%20%22taxa%20nominal%22%20est%C3%A1%20sendo%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAs%20taxas%20aparentes%2C%20ou%20nominais%2C%20n%C3%A3o%20podem%20ser%20negativas%2C%20mas%20isso%20n%C3%
C 10,55% a.a.
D 10,45% a.a.
E 10,35% a.a.
Questão 5
Se a taxa de juros nominal for de 10% a.a., e a taxa de inflação for de 4% a.a., quanto vale a taxa de juros real?
A 8,5% a.a.
B 5,5% a.a.
C 6,5% a.a.
D 5,8% a.a.
E 6,8% a.a.
Questão 6
Um investimento de R$ 1.000 por um ano é remunerado com 50% a título de juros, mais a inflação do período, que ficou em 20%. Qual foi o
montante final da operação?
A
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 22/45
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20aos%20c%C3%A1lculos%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fp%3E%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EComo%20o%20valor%20do%20empr%C3%A9stimo%20era%20de%201.000%20reais%2C%20temos%20que%20o%20valor%20final%20s
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EOs%20t%C3%ADtulos%20p%C3%B3s-
fixados%20n%C3%A3o%20precisam%2C%20necessariamente%2C%20ser%20corrigidos%20pela%20infla%C3%A7%C3%A3o.%20Tamb%C3%A9m%20
Teoria na prática
A capitalização composta é a mais usada no mercado financeiro. Se você tem recursos investidos, ela trabalha a seu favor, fazendo o investimento
crescer mais rapidamente. Uma dívida, porém, também irá crescer rapidamente.
Imagine que você entrou em R$ 100,00 no cheque especial do seu banco, que cobra juros (compostos) de incríveis 12,5% ao mês.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
R$ 1.300,00
B R$ 1.500,00
C R$ 1.800,00
D R$ 1.600,00
E R$ 1.700,00
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Mostrar solução
Questão 1
Um fundo de investimento recebe uma aplicação de R$ 10.000,00 e oferece uma taxa efetiva de 5% a.a. com capitalização composta. Quais
serão os juros auferidos após 36 meses?
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20juros%20compostos%2C%20temos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
1%5Cright%5D%20%5C%5C%26C%3D10.000%2C%20i%3D5%20%5C%25%20%5Ctext%20%7B%20a.%20%7D%20a%20.%3D0%2C05%2C%20n%3D36%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELembremos%20sempre%20de%20colocar%20a%20taxa%20de%20juros%20e%20o%20n%C3%BAmero%20de%20periodos%20expresso
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
1%5Cright%5D%3D1.576%2C25%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%22%
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20aos%20c%C3%A1lculos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENote%20que%20a%20resposta%20%C3%A9%20uma%20taxa%20semestral%2C%20pois%20as%20taxas%20que%20usamos%20s%C3%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
A R$ 1.576,25
B R$ 1.500,00
C R$ 11.576,25
D R$ 67.918,16
E R$ 11.500,00
Questão 2
A inflação acumulada nos últimos seis meses foi de 3%. Um investimento rendeu 6% no mesmo período. Calcule a taxa de rendimento anual
real desse investimento:
A 3%
B 6%
C 2,91%
D 5,91%
E 4%
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1%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26i_%7B%5Ctext%20%7Banual%20%7D%7D%3D(1%2B1%3D0%2C0591%3D5%2C91%20%5C%25%20%5Ctext%20%7B%20a.a.%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
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3 - Desconto
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os diferentes tipos de descontos e sua aplicabilidade.
Descapitalização ou desconto racional
A Descapitalização é a operação inversa da Capitalização.
Na Capitalização, os Juros (J) são incorporados a um Capital (C) para formar um Montante (M), ou seja, ao Valor Presente (VP) somam-se juros
para formar um Valor Futuro (VF).
Já na Descapitalização, os juros são retirados de um Valor Futuro para o cálculo do Valor Presente.
Assim, o desconto racional corresponde aos juros que seriam incorporados ao Capital na operação de capitalização.
Desconto comercial
Para entendermos os descontos comerciais, precisamos ver o que são os Títulos de Crédito.
Títulos de Crédito são papéis emitidos por um ente qualquer (Devedor), onde consta uma promessa de se pagar um valor (Valor de Face) em uma
data (Vencimento) a outro ente (Credor).
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
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Exemplo
Como exemplos de títulos de Crédito, podemos citar: duplicatas, notas promissórias, letras de câmbio, cheque pré-datado etc. Há pequenas
diferenças entre esses diversos títulos: na duplicata, o Credor emite o Título, sendo, portanto, o Emissor. Já na nota promissória e no cheque, o
Emissor é o devedor.
A característica comum a esses títulos e que os torna relevantes no nosso estudo é a possibilidade de serem “descontados”.
Há duas situações que podem ocorrer com os descontos de títulos de crédito:
Situação 1
O devedor pode antecipar o pagamento da dívida, ou seja, resgatar o título antes do vencimento.
Situação 2
O credor pode necessitar o recebimento do valor da dívida antes do prazo e, para isso, “vende” o título de crédito a um terceiro.
Em qualquer das duas situações, haverá um “desconto” sobre o Valor de Face do título. No primeiro caso, o desconto servirá para recompensar o
devedor pelo pagamento antecipado. No segundo caso, o “desconto” será a remuneração do terceiro que “comprou” o título. Essas duas operações
são chamadas de Operações de Desconto.
Atenção!
Cuidado com a nomenclatura! Quando um devedor antecipa um pagamento ou um credor “vende” um título de crédito, dizemos que eles estão
resgatando ou descontando o título.
Nessas operações, obtém-se o Valor Presente do Título (ou Valor Atual, ou Valor Descontado, ou Valor Líquido, ou Valor de Resgate), retirando-se do
seu Valor de Face (ou Valor Futuro, ou Valor Nominal, ou Valor no Vencimento) o Valor do Desconto.
Assim, temos a seguinte relação:
Valor Presente
VP = VF - Desconto
Desconto
Desconto = VF - VP
Vamos ver um exemplo?
Imaginemos agora a seguinte situação: você possui uma duplicata com Valor Nominal (VF) igual a 1.100 reais, vencendo em 1 ano. Contudo, você
não quer esperar todo esse tempo para receber o Valor de Face da duplicata e decide antecipar seu recebimento, descontando o título em um
banco.
O banco vai, então, oferecer um valor por esse título (VP), baseado no que ele quer receber de remuneração pela operação.
Suponhamos que o banco lhe ofereça a compra do título por 900 reais. Nesse caso, temos o seguinte valor para o desconto:
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Reparou que, na operação de descapitalização, o valor do desconto estava diretamente ligado à taxa de juros da operação de capitalização
correspondente?
Essa é uma situação típica de pagamento antecipado de dívidas.
Já no desconto comercial, o valor vai depender de negociação entre o credor, que deseja antecipar o recebimento do título, e o banco que vai
descontá-lo.
Desconto Racional
Operação inversa da capitalização (Descapitalização);
Comum em pagamentos de antecipados de dívidas (Devedor antecipa).
Desconto Comercial
Não guarda relação direta com a operação de crédito original;
Comum em antecipação de recebíveis (Credor antecipa).
Vamos ressaltar mais uma vez a nomenclatura que é utilizada nos descontos:
Agora, veremos as 4 formas distintas de cálculo de descontos: o desconto comercial simples, o desconto racional simples, o desconto racional
composto e o desconto comercial composto.
Desconto comercial simples ou desconto bancário
Também conhecido como desconto “por fora”, esse é o desconto mais utilizado pelas Instituições Financeiras (bancos, empresas de factoring etc.)
para o desconto de duplicatas e títulos de crédito em geral. Ele é um desconto comercial, ou seja, não se trata de uma operação de descapitalização,
e é calculado com base no Regime Simples.
Reservaremos a letra maiúscula ‘D’ para representar o desconto comercial simples.
Como vimos, esses títulos de crédito possuem duas informações principais: o seu Valor Nominal (VF) e a data de vencimento, ou o prazo para o
vencimento (n).
Usando essas informações, mais uma taxa de desconto comercial simples (iD) oferecida pelo banco, podemos calcular o valor do desconto pela
seguinte expressão:
Note a semelhança com a expressão que utilizamos para o cálculo dos juros simples.
Como vimos, o valor atual de um título (VP) é dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o desconto (D). Logo, temos:

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Desconto racional
Desconto racional simples ou “por dentro” (D)
Este é o desconto utilizado em operações de descapitalização sob o Regime Simples ou linear. Reservaremos a letra minúscula ‘d’ para representar
esse desconto, e chamaremos de id a taxa de desconto racional simples.
A expressão do desconto é dada por:
A diferença em relação ao desconto comercial simples está no fato de que o desconto comercial é calculado sobre o valor de face (VF), enquanto
o desconto racional é calculado sobre o valor atual do título (VP).
Novamente, sabemos que o valor atual de um título é dado pela diferença entre o valor de face e o desconto. Logo:
Ou
Note, da expressão acima, que a taxa de desconto racional é a própria taxa da operação de capitalização no regime simples, ou seja, estamos
realmente falando de uma operação de descapitalização.
Desconto racional composto
Neste vídeo, entenda melhor o que é Desconto Racional Composto ou “por dentro” (DRC). Veja também exemplos de sua aplicabilidade e qual a sua
importância.

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Desconto racional composto ou “por dentro” (DRC)
Este é o desconto mais utilizado nas operações de descapitalização, pois a maioria das operações de capitalização são efetuadas sob o regime
composto.
Sabemos, do nosso estudo da capitalização composta, que:
Como vimos que o desconto é sempre dado pela diferença entre o Valor Nominal (VF) e o Valor Atual (VP), temos:
Desconto comercial composto ou “por fora” (DCC)
De forma similar ao desconto racional simples, esta forma de cálculo é utilizada em operações de desconto de títulos pelas instituições financeiras,
porém com menos frequência do que o seu similar simples. Neste caso, temos:
Como o desconto é dado pela diferença entre VF e VP, temos:
Mão na massa

Questão 1
Suponha que você possua um título de Valor Nominal (VF) igual a R$ 1.100,00 e com vencimento em 1 ano. Além disso, a taxa de juros anual
praticada no mercado é de 10% a.a. Qual é o Valor Atual (VP) desse título?
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-paragraph'%3EO%20que%20faremos%20para%20calcular%20o%20valor%20atual%20%C3%A9%20a%20opera%C3%A7%C3%A3o%20inversa%20da%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V%20F%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V%20P%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETamb%C3%A9m%20podemos%20calcular%20o%20valor%20do%20desconto%2C%20caso%20esse%20t%C3%ADtulo%20fosse%20resg
caixa-formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24Desconto%20%3DV%20%5Cboldsymbol%7BF%7D-
%5Cboldsymbol%7BV%20P%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Desconto%20%3D1.100-
1.000%3DR%20%5C%24%20100%2C00%24%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dark%3D%22false%22%0A%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20desconto%20comercial%20%E2%80%9Cpor%20fora%E2%80%9D%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
A R$ 900,00
B R$ 1.000,00
C R$ 1.050,00
D R$ 950,00
E R$ 850,00
Questão 2
Qual é o valor de desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 4 meses se a taxa de desconto é
de 60% ao ano?
A R$ 2.000,00
B R$ 2.050,00
C R$ 2.150,00
D R$ 3.000,00
E R$ 170,00
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 30/45
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20desconto%20racional%20simples%20(%22por%20dentro%22)%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
V%20P%3DV%20F-
%5Cfrac%7BV%20F%7D%7B1%2Bi_%7BD%7D%20%5Ctimes%20n%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
%5Cfrac%7B15.000%7D%7B1%2B0%2C60%20%5Ctimes%200%2C25%7D%3DR%20%5C%24%201.956%2C52%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 3
Qual é o valor de desconto racional simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa de desconto é
de 60% ao ano?
A R$ 1.956,52
B R$ 1.556,52
C R$ 1.765,25
D R$ 1.865,25
E R$ 1.756,52
Questão 4
Qual é o valor de desconto racional composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa de desconto
é de 60% ao ano?
A R$ 1.652,90
B R$ 1.552,90
C R$ 1.662,90
D R$ 1.562,90
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 31/45
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20desconto%20racional%20composto%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
V%20P%3DV%20F-
%5Cfrac%7BV%20F%7D%7B(1%2Bi)%5E%7Bn%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
%5Cfrac%7B15.000%7D%7B(1%2B0%2C60)%5E%7B0%2C25%7D%7D%3DR%5C%24%201.662%2C90%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20desconto%20comercial%20composto%20%C3%A9%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
V%20P%3DV%20F-V%20F%20%5Ctimes(1-
i)%5E%7Bn%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26V%20F%3D15.000%20%5C%5C%0A%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
15.000%20%5Ctimes(1-
0%2C60)%5E%7B0%2C25%7D%3DR%20%5C%24%203.070%2C94%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
E R$ 1.752,90
Questão 5
Qual é o valor de desconto comercial composto de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses se a taxa de
desconto é de 60% ao ano?
A R$ 3.050,94
B R$ 3.060,49
C R$ 3.070,94
D R$ 3.040,94
E R$ 3.080,49
Questão 6
Suponha agora que o valor do desconto seja de exatamente R$ 3.000,00 para um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3
meses. Qual é a taxa de desconto?
A 0,5904
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 32/45
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ENovamente%2C%20o%20desconto%20comercial%20composto%20%C3%A9%20dado%20por.%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24D_%7BC%20C%7D%3DV%20F-
V%20P%3DV%20F-V%20F%20%5Ctimes(1-
i)%5E%7Bn%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24V%20F%3D15.000%2C%20%5Cmathrm
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%20agora%3C%2Fp%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cboldsymbol%7BD%7D_%7B%5Cb
caixa-
formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
paragraph'%3Ee%20precisamos%20calcular%20o%20valor%20de%20i%2C%20a%20taxa%20de%20desconto%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%
caixa-formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%243.000%3D15.000-
15.000%20%5Ctimes(1-
i)%5E%7B0%2C25%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%2415.000%20%5Ctimes(1-
i)%5E%7B0%2C25%7D%3D12.000%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24(1-
i)%5E%7B0%2C25%7D%3D%5Cfrac%7B12.000%7D%7B15.000%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
i)%5E%7B0%2C25%7D%3D0%2C8%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cleft((1-i)%5E%7B0%2C25%7D%5Cright)%5E%7B4%7D%3D0%2C8%5E%7B4%7D%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
i%3D0%2C4096%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24i%3D0%2C5904%24%24%22%0A%20%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
Falta pouco para atingir seus objetivos.
B 0,6
C 0,5805
D 0,9505
E 0,9
_black
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 33/45
Vamos praticar alguns conceitos?
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20aos%20c%C3%A1lculos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Questão 1
Qual o valor do desconto comercial simples de um título com valor de face de R$ 15.000,00 e vencimento em 3 meses, considerando uma taxa
de desconto de 60% a.a.?
A R$ 27.000
B R$ 2.500
C R$ 2.250
D R$ 2.125
E R$ 13.500,00
Questão 2
Uma loja anunciou que venderia seus produtos com pagamento somente após três meses. João queria comprar um artigo por R$ 1.000,00 e
propôs ao lojista pagar à vista com desconto racional simples de 2% ao mês. Se o lojista aceitar a proposta de João, quanto ele pagará?
A R$ 960,00
B R$ 942,32
C R$ 980,39
D R$ 943,40
E R$ 950,00
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 34/45
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20aos%20c%C3%A1lculos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
4 - Equivalência de capitais
Ao �nal deste módulo, você será capaz de comparar valores monetários em diferentes instantes de tempo.
Equivalência de capitais
Da mesma forma que vimos taxas equivalentes, dois capitais são considerados equivalentes se produzem o mesmo resultado final para o
investidor/devedor, mesmo que estejam em diferentes instantes de tempo.
Vamos imaginar um Capital de 1.000 reais aplicado a uma taxa de juros de 10% a.a. Assim, o montante ao final de 1 ano será de:
Ou, graficamente:
Portanto, a uma taxa de 10% a.a., é indiferente receber 1.000 reais hoje ou 1.100 reais em um ano. Dizemos, então, que esses dois capitais são
equivalentes, ou seja, 1.000 reais hoje equivalem a 1.100 reais em um ano, a uma taxa de juros de 10% a.a.
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
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Essa é a ideia por trás da equivalência de capitais: permitir comparar valores monetários que estão expressos em datas diferentes, sob determinada
taxa de juros.
Notem que não podemos comparar os capitais apenas observando seus Valores Nominais. Para compará-los, precisamos avaliá-los na mesma
data.
Assim, usamos a Capitalização para avaliar capitais em datas futuras e os Descontos para avaliá-los em datas passadas.
Vamos agora aprofundar esse estudo de equivalência de capitais, analisando os dois principais regimes de capitalização e descontos: o Regime de
Juros Simples e o Regime de Juros Compostos.
Equivalência de capitais sob juros simples
Dizemos que dois capitais C1 e C2 são equivalentes, à mesma taxa de juros e para a mesma data (data focal), se os seus valores, avaliados na
data focal, forem iguais.
Vamos analisar o exemplo:
Como verificamos se os capitais C1 e C2 apresentados são equivalentes?
Para isso, precisamos definir uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Neste exemplo, vamos considerar a data focal como sendo
2017.
Como estamos lidando com juros simples, podemos lembrar da seguinte relação de capitalização em juros simples:
Assim, podemos avaliar o valor do capital C1 em 2017, fazendo:
Como o valor de C1, avaliado em 2017, é igual ao valor de C2, também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal
de 2017, a uma taxa de juros simples de ao ano.
Da mesma forma, poderíamos ter descapitalizado C2 para trazê-lo à data focal de 2015 :
Vamos a mais um exemplo:
10%
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 36/45
Agora, responda: os capitais e acima são equivalentes?
Veja a resposta a seguir:
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos
considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016, temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal
de 2016, a uma taxa de juros composta de ao ano.
Vimos, então, que reais em 2015 equivalem, sob juros composto de a.a., a reais em 2016 e a reais em 2017.
Notem o que acontece quando comparamos com :
Avaliando o valor do capital em 2017, temos:
Ou seja, os capitais não são equivalentes!
Esse problema não ocorre quando usamos juros compostos.
Equivalência de capitais sob juros compostos
Vamos analisar um exemplo similar sob a ótica dos juros compostos. Vamos verificar se os capitais e esão equivalentes:
C1 C3
C1 C3
C1
C1 C3
10%
1.000 10% 1.100 1.210
C2 C3
C3
C1 C2
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 37/45
Para juros compostos, temos:
Assim, podemos avaliar o valor do capital em 2017, fazendo:
Como o valor de , avaliado em 2017, é igual ao valor de , também avaliado em 2017, temos que os dois capitais são equivalentes a uma taxa
de juros compostos de ao ano.
Vamos a mais um exemplo:
Agora, responda: os capitais e , vistos anteriormente, são equivalentes?
Para verificar se os capitais e são equivalentes, definimos novamente uma data focal, na qual iremos avaliar os dois capitais. Vamos
considerar, agora, a data focal como sendo 2016.
Avaliando o valor do capital em 2016 , temos:
Como o valor de , avaliado em 2016, é igual ao valor de , também avaliado em 2016, temos que os dois capitais são equivalentes na data focal
de 2016 , a uma taxa de juros simples de ao ano.
Vimos, então, que reais em 2015 equivalem, sob juros simples de 10\% a.a., a reais em 2016 e a reais em 2017.
Apesar disso, notem o que acontece quando comparamos com ,o que teremos? :
Avaliando o valor do capital em 2017 , temos:
Ou seja, os capitais são equivalentes. Essa é uma propriedade fundamental dos juros compostos, que os distinguem dos juros simples.
C1
C1 C2
10%
C1 C3
C1 C3
C1
C1 C3
10%
1.000 1.100 1.200
C2 C3
C3
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Se dois capitais são equivalentes em determinada data focal e a certa taxa de juros, eles serão equivalentes em
qualquer data focal.
Por isso, sempre usaremos juros compostos para analisar equivalência de capitais.
Equivalência de �uxos de caixa
Da mesma forma que podemos comparar dois valores monetários no tempo, podemos comparar dois fluxos de caixa. Vamos analisar os dois
fluxos:
Trazendo todas as entradas e saídas de caixa para 2018, temos os seguintes valores presentes para os dois fluxos:
Como o valor presente dos dois fluxos de caixa são iguais, dizemos que são equivalentes. E isso vale para qualquer data focalescolhida.
Por exemplo, poderíamos calcular o valor final dos fluxos da seguinte forma:

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Valores monetários em diferentes instantes do tempo
Neste vídeo, entenda melhor como comparar valores monetários em diferentes instantes do tempo
Mão na massa
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAp%C3%B3s%203%20anos%2C%20o%20montante%20da%20divida%20ser%C3%A1%20dado%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20

Questão 1
Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 10% ao ano, equivalerá a que valor em 3 anos?
A R$ 13.310,00
B R$ 13.300,00
C R$ 13.130,00
D R$ 13.330,00
E R$ 13.500,00
Questão 2
Uma dívida de R$ 10.000,00, sob juros compostos de 5% ao semestre, equivalerá a que valor em 3 anos?
A R$ 13.300,46
B R$ 13.400,46
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Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EAp%C3%B3s%203%20anos%2C%20ou%206%20semestres%2C%20o%20montante%20da%20d%C3%ADvida%20ser%C3%A1%20dado%2
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24V%20F%3D10.000%20%5Ctimes(1%2
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20imagem%20a%20seguir%20ilustra%20o%20fluxo%20de%20pagamentos%20do%20empr%C3%A9stimo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A
image%20src%3D%22img%2Fimg-
14.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Paulo%20Roberto%20Vianna%20J%C3%BAnior.%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A%20%20%20%
image%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EO%20valor%20presente%20do%20fluxo%20de%20pagamento%20deve%20se%20igualar%20ao%20valor%20inicial%20da%20d%C3%AD
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cfrac%7B1.080%7D%7B1%2B4%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EMultiplicando%20toda%20a%20express%C3%A3o%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%20(1%2B4%5C%25)%5E%7B3%7D%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%241.080%20%5Ctimes(1%2B4%20%5C%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
C R$ 13.500,46
D R$ 13.600,46
E R$ 13.700,46
Questão 3
Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 4% a.m., em três prestações mensais. A primeira prestação vence
em 1 mês e será de R$ 1.080,00. A segunda será de R$ 640,00. Pode-se afirmar que:
A A última prestação será igual a primeira.
B A última prestação será igual a segunda.
C A segunda prestação será a menor.
D A terceira prestação será a menor.
E A terceira prestação será a maior.
Questão 4
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 41/45
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPodemos%20usar%20o%20mesmo%20racioc%C3%ADnio%20do%20exerc%C3%ADcio%20anterior%20-
%20a%20diferen%C3%A7a%20principal%20%C3%A9%20que%20o%20primeiro%20pagamento%20j%C3%A1%20ocorre%20ap%C3%B3s%20o%20segun
paragraph'%3ENovamente%2C%20o%20valor%20presente%20do%20fluxo%20de%20pagamento%20deve%20se%20igualar%20ao%20valor%20inicial%
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cfrac%7B600%7D%7B(1%2B3%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EMultiplicando%20toda%20a%20express%C3%A3o%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%20(1%2B3%5C%25)%5E%7B3%7D%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%26600%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 3% a.m., em duas prestações mensais. A primeira vence em 60
dias e será de R$ 600,00. Qual é o valor da segunda prestação?
A R$ 414,73
B R$ 454,37
C R$ 474,73
D R$ 447,37
E R$ 434,73
Questão 5
Uma pessoa toma R$ 3.000,00 emprestados, prometendo pagar com juros de 5% ao mês em duas prestações bimestrais, sendo a primeira de
R$ 1.500,00. Qual é o valor da segunda prestação?
A R$ 1.982,67
B R$ 1.992,77
C R$ 1.952,67
D R$ 1.962,77
E R$ 1.952,77
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 42/45
Parabéns! A alternativa B está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EUsaremos%20novamente%20o%20racioc%C3%ADnio%20dos%20exercicios%20anteriores.%20Basta%20prestar%20aten%C3%A7%C3%
paragraph'%3EVamos%20igualar%20o%20valor%20presente%20do%20fluxo%20de%20pagamento%20ao%20valor%20inicial%20da%20divida%20para
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cfrac%7B1.500%7D%7B(1%2B5%2
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EMultiplicando%20toda%20a%20express%C3%A3o%20por%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24(1%2B5%20%5C%25)%5E%7B4%7D%
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%241.500%20%5Ctimes(1%2B5%20%5C%
caixa-
formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20imagem%20a%20seguir%20ilustra%20os%20dois%20fluxos%20de%20pagamentos%20do%20empr%C3%A9stimo.%20Em%20ver
image%20src%3D%22img%2Fimg-
13.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Paulo%20Roberto%20Vianna%20J%C3%BAnior.%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%0A%20%20%20%
image%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20que%20os%20dois%20fluxos%20sejam%20equivalentes%2C%20seus%20valores%2C%20em%20qualquer%20instante%20de%
text'%3Et%3D2%3C%2Fspan%3E%20%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%2
caixa-formula%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Teoria na prática
O que você prefere: receber R$ 1.000,00 agora ou R$ 1.050,00 daqui a um mês?
Questão 6Uma multinacional precisa realizar 3 pagamentos anuais de R$ 1.000,00 nos próximos 3 anos. Seu diretor financeiro, no entanto, entende ser
mais adequado substituir essa dívida por outra equivalente, com 2 pagamentos iguais ao final do segundo e do quarto anos. Se a taxa de juros
é de 5% a.a., qual é o valor desses dois pagamentos?
A R$ 1.547,40
B R$ 1.547,50
C R$ 1.537,40
D R$ 1.537,50
E R$ 1.527,50
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13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 43/45
Como vimos, isso depende da taxa de juros à qual você tem acesso. Empresas tomam decisões como essa a todo momento, das mais variadas
formas.
Vamos analisar uma peculiaridade brasileira:
Quando um lojista faz uma venda no cartão de crédito, ele costuma receber um mês depois (ou em “D+30”, como esse arranjo é conhecido). No
resto do mundo, é comum que o lojista receba em apenas dois dias (modelo “D+2”).
No final de 2016, o governo brasileiro propôs aplicar a regra usada no resto do mundo, mas nem todos os lojistas acharam isso uma boa ideia, e a
proposta não foi adiante. Por quê? Receber em apenas 2 dias não seria melhor do que em 30 dias?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Parabéns! A alternativa C está correta.
Mostrar solução
Questão 1
Observe a imagem a seguir:
Ao calcularmos o valor de P, que torna as saídas de caixa equivalentes às entradas, considerando uma taxa de juros de 4% ao período,
obteremos:
A R$ 280,00
B R$ 1.000,00
C R$ 416,00
D R$ 216,00
E R$ 380,00
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212ge/00026/index.html# 44/45
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EPara%20que%20sejam%20equivalentes%2C%20o%20valor%20futuro%20das%20entradas%20de%20caixa%20(setas%20verdes)%20dev
caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%241.080%20%5Ctimes(1%2B4%20%5C%25)%5E
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3ETemos%20os%20seguintes%20fluxos%20de%20pagamentos%20poss%C3%ADveis%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%0A%20%20%20%20%20
12%20col-md-10%20col-lg-10'%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-
image%20src%3D%22img%2Fimg-
16.jpg%22%20alt%3D%22%22%20title%3D%22Paulo%20Roberto%20Vianna%20J%C3%BAnior%22%20loading%3D%22lazy%22%3E%3C%2Fyduqs-
image%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%
paragraph'%3EComo%20as%20duas%20formas%20de%20pagamento%20s%C3%A3o%20equivalentes%2C%20os%20valores%20presentes%20dos%2
paragraph'%3ELogo%3A%3C%2Fp%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cyduqs-caixa-
formula%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formula%3D%22%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
10%20%5C%25)%3D0%2C5%20%5Ccdot%20P%2B%5Cfrac%7B0%2C5%20%5Ccdot%20P%7D%7B1%2Bi%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20
caixa-formula%3E%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20
Considerações �nais
Aqui, você deu seus primeiros passos no campo da Matemática Financeira, e agora sabe calcular o valor do dinheiro em diferentes instantes do
tempo. Isso é fundamental tanto para clientes de produtos financeiros (qualquer pessoa com conta corrente no banco, por exemplo) quanto para
gerentes financeiros de grandes empresas.
Diversos profissionais trabalham cotidianamente com os conceitos que aprendemos aqui: juros, capital, fluxos de caixa e regimes de capitalização.
Preste atenção e busque aplicações desses conceitos à sua volta: de promoções em lojas a manchetes de jornais sobre investimento ou política
econômica. Você verá como os assuntos tratados aqui estão presentes em seu dia a dia.
Questão 2
Você pode pagar por determinado produto à vista, com desconto de 10%, ou parcelado em duas prestações iguais e mensais. A primeira
prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês depois. Qual é a taxa de juros embutida nessa operação?
A 25% a.m.
B 20% a.m.
C 15% a.m.
D 12,5% a.m.
E 17,5% a.m.
13/03/2023 14:19 Introdução à Matemática Financeira: taxas, juros e descontos
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Referências
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
GITMAN, L. J. Princípios de Administração Financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 2002.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,1997.
ZIMA, P. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
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