Fractais e Sequências numéricas

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Fractais e Sequências numéricas
Fractais
Fractais são figuras que podem ser quebradas em vários pedaços, sendo cada 
um desses pedaços uma reprodução do todo.
Fractais
Fractais são figuras que podem ser quebradas em vários pedaços, sendo cada 
um desses pedaços uma reprodução do todo.
Por que fractais são importantes?
Por serem figuras extremamente complexas os fractais servem de modelo 
perfeito para diversos fenômenos naturais. Por exemplo:
Por que fractais são importantes?
Por serem figuras extremamente complexas os fractais servem de modelo 
perfeito para diversos fenômenos naturais. Por exemplo:
Os flocos de neve:
Uma chuva de raios:
Diversas plantas:
Estruturas geológicas:
No nosso corpo:
E até no dia a dia da internet:
Fractais e Sequências Numéricas
Sabemos que fractais são figuras muito importantes para estudarmos vários 
fenômenos da natureza e que os fractais são figuras extremamente complexas, 
com um estudo bem delicado.
Então para facilitar o estudo dos fractais, podemos usar as sequências numéricas 
como ferramenta. Lembrando que uma sequência numérica é um conjunto de 
números escritos em uma determinada ordem, onde os termos da sequência 
podem ser representados por expressões algébricas.
Fractais e Sequências Numéricas
Para entender como podemos usar as sequências numéricas para estudar os fractais, vamos 
usar o Fractal Triminó. 
Para a construção do Fractal Triminó, deve-se pegar 3 quadrados e organizá-los em forma de 
L, obtendo-se o fractal de nível 1. Para obter um fractal nível 2, devemos substituir na figura 
cada peça por um fractal nível 1. O mesmo processo se repete para se obter o fractal de nível 
3 e assim por diante.
Fractais e Sequências Numéricas
Após construir o Fractal de Triminó, 
podemos começar a estudar o 
números de quadrados em cada 
nível do fractal.
Podemos começar esse estudo 
montando uma tabela com o número 
de quadrados em cada nível.
Nível do Fractal 1 2 3 4
n° de 
quadrados
3 9 27 81
Fractais e Sequências Numéricas
Assim conseguimos representar o número de quadrados em cada nível do Fractal de 
Triminó como uma sequência numérica (3, 9, 27, 81, …)
Agora o desafio é descobrir uma expressão algébrica que represente o termo geral 
dessa sequência!
Nível do Fractal 1 2 3 4
n° de 
quadrados
3 9 27 81
Fractais e Sequências Numéricas
nível 1
3 quadrados Nível 23.3 = 9 quadrados Nível 3
3.9 = 27 => 3.3.3 = 27 Nível 4
3.27 = 81 => 3.3.3.3 = 81
Fractais e Sequências Numéricas
Nível do 
Fractal Triminó
1 2 3 ... n
nº de 
quadrados
3 = 3¹ 9 = 3² 27 = 3³ ... An = 3 n
Fractais e Sequências Numéricas
Outro fractal muito famoso e importante é conhecido como curva de Koch. 
Através dela podemos formar figuras que servem de modelos para flocos de 
neve, essas figuras são chamadas de flocos de Koch. 
Fractais e Sequências Numéricas
Para construir a Curva de Koch vamos pegar uma reta e dividi-la em três partes 
iguais.
1/3 1/3 1/3
Em seguida, pegamos a parte do meio e colocamos mais dois segmentos.
Fractais e Sequências Numéricas
Sendo essa figura o primeiro nível fractal. Como a reta foi dividida em 3 parte 
iguais e agora ela possui 4 segmentos iguais que medem ⅓ do comprimento da 
reta, então podemos notar que o comprimento da figura é 4/3 do comprimento da 
reta.
1/3
2/3 3/3
4/3
Fractais e Sequências Numéricas
Repetindo esse processo várias vezes, pegando os segmentos e dividindo em 3 
partes iguais, pegando a parte do meio e transformando em mais 2 segmentos. 
obtemos as seguintes figuras:
2° nível do fractal 3° nível do fractal
4° nível do fractal
Fractais e Sequências Numéricas
Agora que sabemos construir a curva de Koch, podemos pensar uma maneira de 
saber o comprimento da figura em cada nível do fractal. Lembrando que o 
comprimento da figura sempre vai depender do comprimento da reta inicial.
No 1° nível o comprimento da figura era 4/3 do comprimento da reta, pois haviam 
4 segmentos que mediam ⅓ do comprimento da reta.
vamos olhar pro 2º nível.
Fractais e Sequências Numéricas
1/3
1/3
1/3
Fractais e Sequências Numéricas
1/3
1/3
1/3
Fractais e Sequências Numéricas
1/3
1/3
1/3
1/9
1/9 1/9 1/9
1/9
1/9 1/9
1/9
1/9
Fractais e Sequências Numéricas
1/3
1/3
1/3
1/9
1/9 1/9 1/9
1/9
1/9 1/9
1/9
1/9
No 2° nível, o comprimento da reta foi dividido em 9 partes iguais, sendo que 
agora a figura possui 16 segmentos, se cada segmento possui 1/9 do 
comprimento da reta, o comprimento da curva é de 16/9 do comprimento da reta. 
Fractais e Sequências Numéricas
Desafio: Achar o termo geral para o número de segmentos da figura no enésimo 
nível da figura, depois o termo geral para o comprimento da figura no enésimo 
nível. 
nível do fractal 1 2 3 n
número de 
segmentos
4 16 64 ?
comprimento da 
figura
4/3 16/9 64/27 ?