Mecânica Quântica

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Mecânica Quântica: 1
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Mecânica Quântica:
A equação de Schrödinger é a máxima fundamental para a mecânica quântica, assim como as leis de Newton são 
para a mecânica e as equações de Maxwell são para o eletromagnetismo.
Há evidências convincentes de que, em uma escala atômica ou subatômica, um objeto como um elétron não 
pode ser descrito simplesmente como uma partícula newtoniana clássica. Em vez disso, devemos levar em 
conta suas características de onda.
Uma vez que conhecemos a função de onda de um movimento de onda específico, sabemos tudo o que há 
para saber sobre o movimento. Por exemplo, podemos encontrar a velocidade e a aceleração de qualquer 
ponto da corda a qualquer momento.
Sendo assim, parece natural utilizarmos uma função de onda como o elemento central de nossa linguagem da 
mecânica quântica. O símbolo tradicionalmente usado para essa função de onda é a letra grega psi, . Em 
geral usaremos a letra maiúscula para representar uma função de todas as coordenadas espaciais e de tempo. 
Por outro lado, em minúsculo será usado apenas para a função de coordenadas espaciais — não de tempo.
Em geral, a função de onda de uma partícula depende de todas as três dimensões do espaço. No entanto, para 
simplificar vamos começar nosso estudo dessas funções considerando o movimento unidimensional, no qual uma 
partícula de massa m se move paralelamente ao eixo x e a função de onda depende somente da coordenada x e 
do tempo t.
Sabemos que qualquer função de onda y(x, t) que descreve uma onda em uma corda deve satisfazer a equação de 
onda:
 onde é a velocidade da onda na corda, independentemente do seu comprimento 
de onda.
Para uma onda se movendo na direção positiva de e comprimento de onda e frequência , e equação 
, ao utilizarmos a relação derivada acima, obtemos: 
ou seja ou ainda de tal forma que obtemos finalmente .
Essa equação é exatamente o relacionamento conhecido entre velocidade da onda, comprimento da onda e 
frequência para ondas em uma corda. Sendo assim, nossos cálculos mostram que a equação acima é uma função 
de onda válida, para ondas em uma corda para quaisquer valores de A e B, dado que e estão relacionados por 
Partícula livre:
A equação de onda para partículas não pode ser exatamente igual á para uma onda em uma corda, uma vez 
que a relação entre e são diferentes. PROVA:
Para uma partícula livre, que não sofre a influência de nenhuma força sobre ela, durante todo o seu 
movimento ao longo do eixo x, temos que sua energia potencial tem o mesmo valor para todo valor 
assumido por x (uma vez que, que , então força zero significa que a energia potencial 
tem derivada zero). Para simplificar, vamos assumir para todo x. 
Dessa forma, sua energia mecânica é composta unicamente pela energia cinética 
sendo . Sendo e substituimos na equação desenvolvida 
para energia da partícula e obtemos 
Ψ ou ψ
Ψ
ψ
Ψ
=
∂x2
∂ y(x, t)2
v2
1
∂t2
∂ y(x, t)2
v
x λ f
y(x, t) = A cos (kx− wt) +B sin (kx− wt) k =2
v2
ω2
k =
v
ω
=
λ
2π
v
2πf
v = λf
v k
ω = vk
v k
U(x)
Fx = –dU(x)/dx
U = 0
E = mv =
2
1
2
2m
p2
p = mv E = ℏω (E = hf) p = ℏk (p = )
λ
h
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 temos assim, a relação entre e para uma onda de partícula. Vemos que esta equação é 
muito diferente da relação correspondente para ondas em uma corda: para esta, a frequência angular é 
proporcional ao quadrado do número da onda, ao passo que, para as ondas sobre uma corda, é apenas 
diretamente proporcional a . 
Buscando uma forma análoga á uma onda em uma corda, temos:
 para uma partícula de massa , momento , movendo-
se na direção positiva do eixo ordenado. Vemos assim que uma derivada temporal nos fornece o termo " " 
necessário ao membro esquerdo da equação, ao passo que uma derivada espacial segunda fornece o termo 
" ". As demais constantes são adicionadas para se obter equidade. Assim, temos nossa equação de onda 
primitiva:
 cujo termo C foi adicionado como um fator de correção. Derivando 
assim a equação de onda , temos:
 Assim, 
igualando os termos correspondentes, para que nosso protótipo de equação de onda satisfaça para todo e 
, temos ou seja, o fator de correção .
A presença do número imaginário significa que as soluções para a equação de Schrödinger são grandezas 
complexas, com uma parte real e outra parte imaginária. Um exemplo é a nossa função de onda de partícula 
livre: uma vez que descobrimos que , concluímos que, . Logo:
 
que pode ser reescrita como .
Veja como compreender essa função: descreve a distribuição de uma partícula no espaço, 
exatamente como as funções de onda para uma onda eletromagnética descrevem a distribuição dos campos 
elétricos e magnéticos. Quando estudamos padrões de interferência e difração, verificamos que a 
intensidade da radiação em qualquer ponto em um padrão é proporcional ao quadrado da magnitude do 
campo elétrico — isto é, . 
Da mesma maneira, o quadrado da função de onda de uma partícula em cada ponto nos informa sobre a 
probabilidade de encontrar a partícula em torno desse ponto. Mais precisamente, deveríamos dizer o 
quadrado do valor absoluto da função de onda, . Isso é necessário porque, como vimos, a função 
de onda é uma grandeza complexa com partes real e imaginária.
Para uma partícula que pode se mover apenas ao longo do eixo , a grandeza é a probabilidade 
de que a partícula seja encontrada no tempo em uma coordenada entre e . É mais provável a 
partícula ser encontrada em regiões onde é grande, e assim por diante.
Para calcular então o módulo da equação de onda, multiplicamos pelo seu conjugado (obtido 
substituindo por ). Assim:
 
Vemos assim que a função de distribuição de probabilidade não depende da posição, o que significa que 
existe a mesma probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar ao longo do eixo ! 
Matematicamente, isso ocorre porque a função de onda senoidal se estende por todo o caminho desde 
 até com a mesma amplitude .
Isso também significa que a função de onda não pode ser normalizada: a integral de sobre todo o 
espaço é infinito para qualquer valor de . Ou seja, a integral de sobre todos os valores 
possíveis de deve ser exatamente igual a 1. Em outras palavras, a probabilidade de que a partícula esteja 
ℏω =
2m
ℏ k2 2
ω k
k
Ψ(x, t) = A cos (kx− wt) +B sin (kx− wt) m p
ω
k2
− =
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
Cℏ
∂t
∂Ψ(x, t)
Ψ(x, t)
[A cos (kx− wt) +
2m
ℏ k2 2
B sin (kx− wt)] = Cℏω[A sin (kx− wt) −B cos (kx− wt)]
x
t C =2 −1 C = i
− = iℏ           Equaç o de Schroedinger para uma part cula livre
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
∂t
∂Ψ(x, t)
ã ı́
i
C = i B = iA
Ψ(x, t) = A[cos (kx− wt) + i sin (kx− wt)]         funç o de onda senoidal para part cula livreã ı́
Ψ(x, t) = Ae eikx −iωt
Ψ(x, t)
I
E2
∣Ψ(x, t)∣2
x ∣Ψ(x, t)∣2
t x x+ dx
∣Ψ(x, t)∣2
Ψ Ψ∗
i [−i]
∣Ψ(x, t)∣ =2 Ae ⋅i(kx−ωt) Ae =(−i)(kx−ω)t Ψ(x, t) = ∣A∣2
x
x =
–∞ x = ∞ A
∣Ψ(x, t)∣2
A ∣Ψ(x, t)∣ dx2
x
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em algum lugar é exatamente 1, ou 100%. Quando a integral de sobre todo o espaço é igual a 
unidade (dizemos que a equação está normalizada) e esta recebe o nome de densidade de probabilidade.
Pacote de ondas:
Para fazer uma função de onda mais bem localizada, imagine duas ondas senoidais adicionais se sobrepondo 
com diferentes números de onda e amplitudes de modo a reforçar os máximos alternativos de e anular os 
intermediários. Finalmente, se sobrepusermos ondas com um número muito grande de números de onda 
diferentes, podemos construir uma onda com um único máximo de Então temos algo que começa a 
parecer tanto uma partícula como uma onda. É uma partícula no sentido de que é localizada no espaço; se 
olharmos de longe, pode parecer um ponto. Mas também tem uma estrutura periódica, o que é uma 
característica de onda.
Um pulso de onda localizado, como o mostrado abaixo, é chamado pacote de ondas.
Podemos representar um pacote de ondas com uma expressão como: 
Essaintegral representa uma superposição de um número muito grande de ondas, cada uma com um número 
de onda diferente e uma frequência angular , cada uma com uma amplitude que depende de 
. 
a) Se a função A(k) for acentuadamente pontiaguda, estamos sobrepondo apenas uma estreita gama de 
números de onda. O pulso de onda resultante é então relativamente largo.
b) Mas se usarmos uma gama mais vasta de números de onda, de modo que a função seja mais 
ampla, o pulso da onda localizada é mais estreito . Este é simplesmente o princípio da incerteza em ação. 
Uma gama estreita de significa um intervalo estreito de e, portanto, um pequeno ; o 
resultado é um relativamente grande. Uma ampla gama de corresponde a um grande , e o 
resultante é menor. Você pode verificar a relação com o princípio da incerteza 
A equação de Schrödinger unidimensional que apresentamos anteriormente é válida somente para partículas 
livres, para as quais a função de energia potencial é zero. Mas para um elétron dentro de um átomo, um próton 
dentro de um núcleo atômico, a energia potencial não pode ser considerada nula. Assim:
 uma vez que é 
a energia cinética da partícula, e sua energia mecânica.
Estados estacionários:
Podemos escrever a função de onda para um estado para uma determinada energia da seguinte forma: 
Isso significa que a função de onda para um estado de energia definido é o produto de sua função de 
onda independente do tempo e um fator . (Para uma função de onda senoidal de uma partícula 
livre, . Um estado de energia definida normalmente é chamado de estado estacionário.
∣Ψ(x, t)∣ dx2
∣Ψ(x, t)∣2
Ψ(x, t) = A(k)e dk∫
−∞
∞
i(kx−wt)
k ω =
2m
ℏk2
A(k)
k
A(k)
k p =x ℏk Δpx
Δx k Δpx
Δx Δxp ≥x ℏ/2
− + U(x)Ψ(x, t) = iℏ           Equaç o de Schroedinger 
2m
ℏ2
∂x2
∂ Ψ(x, t)2
∂t
∂Ψ(x, t)
ã
2m
ℏ k2 2
ℏω
E
Ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt/ℏ
Ψ(x, t)
ψ(x) e−iEt/ℏ
ψ(x) = Aeikx
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A equação de Schrödinger, torna-se um pouco mais simples para os estados estacionários. Ou seja: 
 que derivando e simplificando, obtemos:
Poços de potencial:
Um poço de potencial é uma função energia potencial que possui um mínimo. Nossa primeira aplicação 
da equação de Schrödinger, a partícula em uma caixa, envolvia um poço de potencial rudimentar com uma 
função igual a zero dentro de um intervalo e igual a infinito em qualquer ponto fora desse intervalo.
Uma melhor aproximação para diversas situações físicas é um poço finito, que é um poço de potencial com 
lados retilíneos, porém com altura finita. A Figura abaixo mostra uma função energia potencial igual a zero no 
intervalo e que possui um valor em qualquer ponto fora desse intervalo. Essa função 
geralmente é chamada de poço de potencial quadrado, que pode servir como um modelo simples de um elétron 
confinado em uma placa metálica de espessura se deslocando perpendicularmente à superfície da placa. O 
elétron pode se mover livremente no interior do metal, mas terá de escalar uma barreira de potencial de altura 
 para escapar de cada superfície do metal. A energia é relacionada com a função trabalho.
Na mecânica newtoniana, a partícula fica presa (localizada) em um poço quando sua energia total é menor 
que a energia . Na mecânica quântica, esse estado localizado em geral é chamado de estado ligado. Todos 
os estados são ligados quando o poço de potencial possui profundidade infinita. Para um poço de potencial 
finito, se for maior que , a partícula não está ligada.
Também existem estados em que é maior que . Nesses estados de partícula livre, a partícula não está 
ligada, mas pode se mover livremente em todos os valores de . Qualquer energia maior que é possível; 
logo, esses estados de partícula livre formam uma região contínua e não um conjunto discreto de níveis com 
determinadas energias.
Dentro do poço quadrado , onde , a equação de Schrödinger independente de tempo é:
 ou cuja solução já é conhecida, e é dada na 
forma de senos e cossenos. No entanto, não há condições de contorno nessa situação. Como 
temos que 
Assim, para dentro do poço teremos:
Já para regiões fora do poço, a equação de Schroedinger se reescreve em 
.
Como a grandeza é positiva, então as soluções dessa equação são funções exponenciais, em vez de 
senos e cossenos, na forma 
Note que não pode ser permitido que aproxime-se do infinito, com ou . (Se isso 
acontecer, não poderíamos satisfazer à condição de normalização da Equação). Isso significa que, devemos ter 
 para e para . 
Figura abaixo ilustra uma função de onda possível para uma partícula em um poço de potencial finito. A função 
de onda é senoidal dentro do poço e exponencial fora do poço. Tende assintoticamente a zero 
para valores elevados de . As funções devem se unir continuamente nas fronteiras e ; a função 
de onda e sua derivada devem ser contínuas.
− +
2m
ℏ2
∂x2
∂ [ψ(x)e ]2 −iEt/ℏ
U(x)ψ(x)e =−iEt/ℏ iℏ
∂t
∂[ψ(x)e ]−iEt/ℏ
− +
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
U(x)ψ(x) = Eψ(x)
U(x)
U(x)
0 ≤ x ≤ L U0
L
U0 U0
E
U0
E U0
E U0
x E U0
(0 ≤ x ≤ L) U = 0
− =
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
Eψ(x) =
dx2
d ψ(x)2
− ψ(x)
ℏ2
2mE
E =
2m
ℏ k2 2
k = /ℏ2mE
ψ(x) = A cos ( x/ℏ) +B sin ( /ℏ)2mE 2mE
=
dx2
d ψ(x)2
− ψ(x) =
ℏ2
2m(E − U )0
ψ(x)
ℏ2
2m(U −E)0
U –E0
ψ(x) = Ce +Dekx −kx
ψ(x) x→∞ x→ –∞
D = 0 x ≤ 0 C = 0 x ≥ L
(0 ≤ x ≤ L)
∣x∣ x = 0 x = L
Mecânica Quântica: 5
Partícula em uma caixa:
Nosso sistema consiste em uma partícula confinada entre duas paredes rígidas separadas por uma distância . 
O movimento acontece apenas em uma dimensão, com a partícula se deslocando ao longo apenas do eixo e 
as paredes em e . A energia potencial correspondente às paredes rígidas é infinita, e a partícula 
não pode escapar; entre as paredes, a energia potencial é nula. Esse modelo pode representar um elétron livre 
para se mover dentro de uma molécula comprida e retilínea ou ao longo de um fio bastante fino.
Para resolver a equação de Schrödinger nesse sistema, começamos com algumas restrições sobre a função de 
onda da partícula. Como a partícula está confinada à região , esperamos que a função de 
distribuição de probabilidade ( ) e que a função de onda seja zero fora dessa região. 
Além disso, deve ser uma função contínua para que seja uma solução matematicamente aceitável para a 
equação de Schrödinger. Sendo assim, deve ser igual a zero nas fronteiras da região e . As 
duas últimas condições são conhecidas como as condições de contorno do problema.
Resolvemos agora para as funções de onda na região sob as condições anteriormente citadas. 
Nessa região, ; portanto, nessa região deve satisfazer a
Cuja solução é uma superposição de duas ondas: uma que se desloca no sentido com amplitude e outra 
que se desloca no sentido com o mesmo número de onda, porém com amplitude : 
 que pode ser reescrito na forma trigonométrica como 
Para satisfazer as condições de contorno:
a) 
b) .: Uma vez que, assim como ocorre com uma corda, o 
comprimento da região é um número inteiro de metades de comprimento de ondas.
L
x
x = 0 x = L
ψ(x) 0 ≤ x ≤ L
∣Ψ(x, t)∣ =2 ∣ψ(x)∣2 ψ(x)
ψ(x)
ψ(x) x = 0 x = L
0 ≤ x ≤ L
U(x) = 0 ψ(x)
− = Eψ(x)   Part cula em uma caixa
2m
ℏ2
dx2
d ψ(x)2
ı́
x A1
–x A2 ψ(x) = A e +1 ikx
A e2
−ikx ψ(x) = (A +1 A ) cos (kx) +2 i(A −1
A ) sin (kx)2
ψ(0) = 0 → (A +1 A ) =2 0
ψ(L) = 0 → kL = nπ k =
L
nπ
L
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Temos finalmente:
Os níveis de energia possíveis para uma partícula em uma caixa são dados por onde 
 é o módulo do momento linear de uma partícula livre com comprimento de onda . Isso faz sentido, já que 
dentro da região a energia potencial é zero e a energia é toda cinética. Para cada valor de , há 
valores correspondentes de , e ; vamos designá-los por , e . Juntando tudo, obtemos:
 assim: 
Temos então que os níveis de energia cada vez mais elevados são proporcionais a , então espaços maiores 
são cada vez mais espaçados entre si. Há um número infinitode níveis porque as paredes são perfeitamente 
rígidas; mesmo uma partícula de energia cinética infinitamente grande permanece confinada dentro da caixa.
ATENÇÃO Uma partícula em uma caixa não pode ter energia zero. Note que a energia de uma partícula em 
uma caixa não pode ser zero. Para exigiria , mas substituindo-se na Equação de onda 
obtém-se uma função de onda nula. Como uma partícula é descrita por uma função de onda não nula, significa 
que não pode haver uma partícula com .
ψ(x) = 2iA sin kx =1 C sin ( )
L
nπ
E = =
2m
ℏ k2 2
2m
p2
p =
h/λ λ
0 ≤ x ≤ L n
p λ E pn ln En
p = =
λn
h
2L
nh
E = = =      N veis de energia para part cula em uma caixan 2m
p2
8mL2
n h2 2
2mL2
n π ℏ2 2 2
ı́ ı́
n2
E = 0 n = 0 n = 0
E = 0
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Para uma partícula em uma caixa, sabemos que a mesma só pode ser encontrada num intervalo delimitado por 
, assim, o processo de normalização da probabilidade se torna possível, uma vez que as 
extremidades de integração não são mais ilimitadas, e sim dadas pela largura da caixa. Assim:
 resolvendo a integral, temos que a relação 
é satisfeita para 
Logo, para uma função normalizada, temos . Para uma função de onda normalizada, 
 não é meramente proporcional à probabilidade de encontrar a partícula, mas é exatamente igual à 
probabilidade de encontrar a partícula no intervalo entre as coordenadas e . Esse é o motivo pelo qual 
chamamos de função de distribuição de probabilidade.
Barreira de potencial e Tunelamento:
Uma barreira de potencial é o oposto de um poço de potencial; ela é descrita por uma função de energia 
potencial com um máximo. Uma partícula da mecânica quântica comporta-se de forma diferente da mecânica 
newtoniana: se ela encontra uma barreira como a da Figura abaixo e possui energia menor que , ela pode 
aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado tunelamento. No tunelamento da mecânica quântica, ao 
contrário do que ocorre no tunelamento da mecânica macroscópica, a partícula não atravessa realmente a 
barreira e não perde nenhuma energia no processo.
As figuras acima descrevem o inverso da situação de poço; a energia potencial é igual a zero em todos os 
pontos, exceto no intervalo , no interior do qual ela possui valor igual a . Isso poderia representar 
um modelo simples de um elétron entre duas placas metálicas separadas por uma lacuna de ar de espessura 
. A energia potencial é menor dentro de ambas as placas que na região entre as placas.
0 ≤ x ≤ L
∣ψ(x)∣ dx =2 C sin ( )dx2 2
L
nπx
1 = C sin ( )dx∫
0
L
2 2
L
nπx
C =
L
2
ψ(x) = sin ( )
L
2
L
nπx
∣ψ(x)∣ dx2
x x+ dx
∣ψ(x)∣2
E2
0 ≤ x ≤ L U0
L
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De forma análoga ás condições de poço, obtemos uma função de onda do tipo indicado na Figura abaixo. A 
função de onda não é igual a zero dentro da barreira (a região proibida pela mecânica newtoniana). O que ainda 
é mais notável é que existe uma probabilidade de que a partícula que inicialmente estava do lado esquerdo da 
barreira possa ser encontrada do lado direito da barreira. 
Existe uma condição de tunelamento, por exemplo, quando enrolamos dois fios de cobre ou fechamos os 
contatos de uma chave, a corrente passa de um condutor para o outro, apesar da existência de uma fina 
camada de óxido de cobre isolante que sempre se forma sobre a superfície de um condutor de cobre. Os 
elétrons tunelam através dessa fina camada de óxido.
O tunelamento também é muito importante na física nuclear. Uma reação de fusão pode ocorrer quando dois 
núcleos tunelam através da barreira de potencial formada pela repulsão elétrica mútua e se aproximam tanto 
que as forças nucleares de atração produzem a fusão dos dois núcleos. A emissão de partículas alfa de núcleos 
instáveis também envolve o tunelamento. Uma partícula alfa é um conjunto de dois prótons e dois nêutrons 
(assim como um núcleo da forma mais comum do hélio). Esses conjuntos se formam naturalmente dentro de 
um núcleo atômico maior. Uma partícula alfa tentando escapar de um núcleo encontra uma barreira de potencial 
resultante da ação combinada da força de atração nuclear e da repulsão elétrica da parte restante do núcleo. A 
partícula alfa tunela através dessa barreira. Dependendo da altura e da largura da barreira, para um dado tipo 
de núcleo emissor de partículas alfa, a probabilidade do tunelamento pode ser baixa ou alta e o material 
emissor de alfas terá radioatividade baixa ou alta.