Aula 4 2 CVR

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Introdução
Análise Quantitativa de Fenômenos Físicos
Força e Conjugado em Sistemas de Campo Magnético
Balanço Energético
Energia em Sistemas de Campo Magnético de Excitação Única
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
Cap. 4 – PRINCÍPIOS DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
4. Princípios de Conversão de Energia
 Circuito com entreferro e circuito magnético variável:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Area(oaco) – Energia armazenada pelo acoplamento magnético durante a excitação
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Area(obdo) – Energia armazenada pelo acoplamento magnético após o fechamento da
armadura pela excitação.
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
Wcpo = área(obdo) - área(oaco)
4. Princípios de Conversão de Energia
 Durante o fechamento da armadura, o fluxo aumenta de 1 para 2. A energia retirada
da fonte elétrica, durante esse tempo é:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
área(cabdc)2
1
eletW F( )d

   
4. Princípios de Conversão de Energia
 A equação que dá a variação da energia no transdutor é dada por:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
dWelet = e i dt = dWcpo + dWmec
área(cabdc) = área(obdo) - área(oaco) + Wmec
Portanto:
Wmec = área(oabo)
4. Princípios de Conversão de Energia
 O trabalho mecânico (f · dx) é executado pela força magnética de atração f.
 Variação da relutância, da corrente e do fluxo devido aos transitórios existentes.
 Cálculo da força mecânica pela energia:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
Deslocamento
dx
Balanço de 
Energia
Força 
Magnética
cpoW
f ( ,x)
x


 

4. Princípios de Conversão de Energia
 Para um sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
onde:
 Como o sistema magnético sem perdas é conservativo, o valor final da energia é o
mesmo, independente de como 𝝀 e 𝒙 são trazidos ao seu valor final (ver as trajetórias 1
e 2 da figura). Assim, ao integrar a equação acima obtém-se a energia do campo como:
4. Princípios de Conversão de Energia
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Usando a expressão de energia para o sistema linear (𝝀 = 𝑳 𝒙 𝒊):
 Logo, para o sistema linear (𝝀 = 𝑳 𝒙 𝒊), temos:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 O relé mostrado na figura abaixo é construído de material magnético de permeabilidade
infinita com um êmbolo móvel, também de permeabilidade infinita. A altura do êmbolo é
muito maior que o comprimento do entreferro ( h >> g). Calcule a energia magnética
armazenada Wcpo em função da posição do êmbolo (0 < x < d) para N = 1000 espiras,
g = 2,0 mm, d = 0,15 m, l = 0,1 m e i = 10 A.
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Solução
onde:
Logo:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
J
4. Princípios de Conversão de Energia
 Para o sistema de armazenamento de energia magnética sem perdas (sistema
conservativo), temos as seguintes expressões:
 Comparando as duas equações, chega-se aos valores de 𝒊 e 𝒇𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐:
 A equação acima mostra que a força mecânica é obtida pela derivada parcial da função
de energia (expressa em termos de 𝛌 e 𝒙) em relação a 𝒙, mantendo o enlace de fluxo
𝛌 constante.
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
+
4. Princípios de Conversão de Energia
 Para o relé do exemplo anterior, determinar a força no êmbolo em função de x quando
a corrente na bobina é mantida constante em 10 A.
 Energia expressa em função de 𝝀 e 𝒙:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Expressando em termos de 𝒊 utilizando 𝝀 = 𝑳 𝒙 𝒊 , obtemos:
 Os resultados mostram que a indutância da bobina e a energia do campo nos dois
entreferros do êmbolo são máximas em x = 0 e nulas em x = d.
 Também pode-se observar que a força do campo é constante e negativa, isto é, tem
um sentido oposto ao deslocamento x do êmbolo.
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Em um sistema com terminal mecânico rotativo, as variáveis mecânicas tornam-se o
deslocamento angular () e o conjugado (Tcampo).
 Em sistemas magnéticos lineares, para os quais 𝝀 = 𝑳 𝜽 𝒊, tem-se que:
 Portanto, o conjugado pode ser expresso por:
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
4. Princípios de Conversão de Energia
 Exemplo: O circuito magnético mostrado na figura consiste em um estator de bobina
única e um rotor oval. Como o entreferro não é uniforme, a indutância da bobina varia
com a posição angular do rotor, medida entre o eixo magnético da bobina do estator e
o eixo principal do rotor, de acordo com L() = L0 + L2 cos(2) , onde L0 = 10,6 mH e
L2 = 2,7 mH. Observe a variação de indutância de segunda harmônica em função do
ângulo  do Rotor. Isso é consistente com o fato de que a indutância não se altera caso
o rotor seja girado de 180°. Encontre o conjugado em função de  para uma corrente
de bobina igual a 2 A.
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐
𝟐
4. Princípios de Conversão de Energia
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
 O conjugado atua em um sentido tal que o eixo do rotor é puxado para
se alinhar com o eixo da bobina e assim maximizar a indutância da
bobina.
4. Princípios de Conversão de Energia
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
 Um indutor tem uma indutância que foi obtida experimentalmente como
sendo:
onde L0 = 30 mH, x0 = 0,87 mm e x é o deslocamento de um elemento
móvel. A sua resistência de enrolamento foi medida sendo igual a 110 mΩ.
a) O deslocamento x é mantido constante em 0,90 mm e a corrente é
incrementada de 0 a 6,0 A. Encontre a energia magnética resultante
armazenada no indutor.
b) Em seguida, a corrente é mantida constante em 6,0 A e o deslocamento
x é incrementado até 1,80 mm. Encontre a alteração correspondente na
energia magnética armazenada no indutor.
4. Princípios de Conversão de Energia
Determinação da Força e do Conjugado Magnético
 Um atuador com uma palheta rotativa é mostrado. Assumir que a
permeabilidade do núcleo e da palheta seja infinita ( → ). O
comprimento total do entreferro é 2g e o formato da palheta é tal que se
pode assumir que a área efetiva do entreferro é dada por:
As dimensões do atuador são g = 0,8 mm, A0 = 6,0 mm2 e N = 650 espiras.
a) Encontre a indutância correspondente L().
b) Supondo que a bobina esteja conduzindo uma corrente i, escreva uma
expressão para a energia magnética armazenada no atuador.
4. Princípios de Conversão de Energia
Determinação da Força e do Conjugado Magnético