EF 8º ANO_MATEMÁTICA_LIVRO DE ATIVIDADES_VOLUME 4 (PROFESSOR)

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8o. ano
Volume 4
ooo
Matemática
Livro do professor
Livro de
atividades Equações 29
10
11
Proporcionalidade 15
Contagem e 
probabilidade 29
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/Y
el
lo
w
 C
at
2 Livro de atividades 
9
Equações
Resolução de equações
Em geral, resolver uma equação é encontrar todos os valores da incógnita que satisfazem a igualdade im-
posta no problema. Denominamos tais números de soluções ou raízes da equação. Para resolvermos equações, 
usamos os princípios de equivalência (princípio aditivo e princípio multiplicativo) estudados em anos an-
teriores. Relembre-os.
Princípio aditivo: ao adicionarmos ou subtrairmos um número de ambos os membros de 
uma equação, sua solução não se altera.
Princípio multiplicativo: ao multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma 
equação por um número não nulo, sua solução não se altera.
Equações podem apresentar uma, nenhuma ou várias soluções. Isso dependerá do tipo de igualdade en-
contrada ao resolvermos problemas que estamos trabalhando.
Fração geratriz
Todo número racional ou tem uma representação decimal finita ou tem uma 
representação decimal infinita periódica (chamada de dízima periódica). Essas duas 
representações podem ser traduzidas como quocientes entre dois números inteiros. No 
caso de uma dízima periódica, esse quociente se chama fração geratriz.
No caso da dízima periódica, chamamos de período os dígitos que se repetem e abreviamos a representa-
ção do número colocando um traço horizontal sobre o período. Por exemplo, representamos o número 
2
11
 
como 0,181818... ou por 0 18, (pois 18 é seu período).
Podemos encontrar a fração geratriz de uma dízima resolvendo uma equação do 1º. grau. Veja os exemplos 
a seguir.
a) Encontre a fração geratriz da dízima periódica simples 0 272727, ...=0 27, .
Resolução: Denominando x 0 272727, ..., usamos o princípio multiplicativo de forma conveniente fazendo 
100 27 272727x , ...
Podemos agora subtrair da nova igualdade a antiga, membro a membro:
100 27 272727 0 272727x x� � �, ... , ...
Assim, cancelamos todos os infinitos dígitos da parte decimal e obtemos 99 27x .
Dividindo ambos os membros por 99, encontramos a geratriz desejada x
27
99
3
11
.
3 Matemática – 8o. ano – Volume 4
b) Encontre a fração geratriz da dízima periódica composta 0 15222 0 152, ... , .
Resolução: Lembre-se de que uma dízima periódica composta é formada por uma parte que não se repete 
seguida do período.
Denominando x 0 15222, ..., multiplicamos ambos os membros por 100 para obtermos uma dízima perió-
dica simples:
100x = 15,222...
Agora, separamos a parte inteira da decimal do número do segundo membro:
100x = 15 + 0,222...
Já sabemos como encontrar a fração geratriz da dízima 0 2, . Dessa forma, substituímos 0,222... por sua fração 
geratriz e resolvemos a equação:
100 15
2
9
x � � 100
135
9
2
9
x � � 100
137
9
x x
137
900
Equação do 1o. grau com duas incógnitas
Podemos relacionar duas grandezas a uma equação do 1º. grau do tipo ax by c� � , onde a, b e c são cons-
tantes apropriadas e x e y representam as variáveis.
Em um contexto geral, podemos dizer que uma equação do 1º. grau com duas incógnitas 
apresenta uma infinidade de soluções. Graficamente, podemos representar todos os pares ordenados 
(x, y) que satisfazem a equação ax + by = c como sendo pontos dispostos em linha reta. Dependendo 
da situação, somente parte dessa reta (ou mesmo alguns pontos) pode ser solução do problema.
Sistemas de equações do 1o. grau com duas incógnitas
Um sistema de equações é aquele em que as incógnitas satisfazem, simultaneamente, todas as equações 
dadas.
Ao analisarmos geometricamente no plano cartesiano um sistema que apresenta solução, vemos que as 
duas equações do tipo ax + by = c formam retas que se intersectam em um único ponto. Esse ponto é a solução 
do sistema, pois pertence tanto ao gráfico de uma equação quanto ao gráfico da outra. Como essas retas se 
cruzam apenas uma vez, a solução é única.
Para encontrar a solução do sistema linear, podemos aplicar vários métodos, entre os quais destacamos: o 
método da substituição e o método da adição.
Método da substituição
O esquema a seguir resume como aplicamos esse método.
Isole uma das 
incógnitas 
em uma das 
equações.
Substitua a 
expressão 
encontrada na 
outra equação.
Resolva a equação 
que agora tem apenas 
uma incógnita, 
encontrando seu valor.
Substitua o valor 
encontrado 
em uma das 
equações com duas 
incógnitas para 
determinar o valor 
da outra incógnita.
Confira o resultado.
4 Livro de atividades 
Método da adição
O método da adição consiste em utilizar as operações elementares (multiplicar ou dividir por número di-
ferente de zero uma equação; adicionar ou subtrair equações) com o objetivo de eliminar uma das incógnitas 
que compõem o sistema de equações.
Observe o fluxograma a seguir, que nos ajuda a aplicar corretamente esse método.
Atenção! Independentemente do método que você prefira usar, sempre é uma boa 
estratégia verificar o resultado. Para isso, substitua a solução encontrada nas duas equações 
originais do sistema. Se as duas igualdades forem verdadeiras, então a solução é a correta.
A resolução de um sistema de equações do 1º. grau com duas incógnitas se encaixa em uma destas três 
situações:
Sistema possível e determinado – as 
retas que representam cada equação 
se intersectam em um único ponto.
Sistema possível e indeterminado 
– ocorre quando chegamos a uma 
igualdade verdadeira que independe das 
incógnitas. As retas que representam 
esses gráficos se sobrepõem.
Sistema impossível – ocorre quando 
chegamos a uma igualdade falsa. As 
retas que representam esses gráficos 
são paralelas (não têm ponto comum).
Resolva a equação que agora tem 
apenas uma incógnita, 
encontrando seu valor.
Substitua o valor encontrado em 
qualquer equação que tenha 
as duas incógnitas.
Fim
Confira o resultado.
Some as duas equações, membro a membro, 
encontrando uma nova equação com apenas 
uma incógnita.
Início
As duas equações 
estão escritas de forma que 
basta somá-las para eliminar uma 
das incógnitas?
NÃO
SIM
Multiplique ou divida uma equação 
(ou as duas equações) por um número que 
possibilite eliminar uma das incógnitas ao 
somarmos as equações.
y
x
y
x
y
x
5 Matemática – 8o. ano – Volume 4
3 75 02x � �
3 75 075 752x � �� �
3 752x
3 75
3 3
2x
x 2 25
x � � 25
x � �5
Pelo princípio aditivo, adicionamos 75 aos dois 
membros, sem alterar a igualdade.
Pelo princípio multiplicativo, dividimos por 3 os dois 
membros, sem alterar a igualdade.
Usamos a raiz quadrada, pois ela é a operação inversa 
de elevar ao quadrado.
Equações polinomiais do 2o. grau do tipo ax2 = c
Denominamos equação do 2º. grau aquela em que a incógnita aparece elevada ao expoente 2. A equação do 
tipo ax c2 , em que a e c são números, sendo a 0, é chamada de equação incompleta do 2º. grau.
Para resolver esse tipo de equação, é importante observar os sinais das constantes envolvidas.
Atenção! Esteja atento na hora de finalizar a resolução de uma questão, pois em várias 
situações existem restrições para as soluções encontradas. Por exemplo, se estamos tratando 
de comprimento, não faz sentido um valor negativo como solução.
Resolução de equações
1. Para resolver uma equação do 1º. grau com uma incógnita, usamos o princípio aditivo e o princípio 
multiplicativo. Em cada passo da resolução das equações a seguir, assinale o princípio usado. Veja o 
modelo.
Atividades
Modelo: Resolva a equação 5 7 2 8x x� � � .
1º. passo
5 7 2 82 2x xx x� � � �� � �( ) ( )
3 7 8x � � �
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
2º. passo
3 7 87 7x � � �� � � �( ) ( )
3 15x � �
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
3º. passo
3 15
1
3
1
3
x ��
�
	
�
� �
�
�
	
�
�� �
x � �5
Foi usado o princípio
( ) aditivo. ( X ) multiplicativo.
6 Livro de atividades 
a) Resolva a equação 2 13 1 5x x� � � .
1º. passo
2 13 1 513 13x x� � �� �
2 145x x� �
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
2º. passo
2 14 55 5x xx x� �� �
7 14x
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
3º. passo
7 14
1
7
1
7
x ��
�
	
�
� �
�
�
	
�
��
x 2
Foi usado o princípio
( ) aditivo. ( X ) multiplicativo.
b) Resolva a equação 
x x
3
2
6
7
2
� � � .
1º. passo
x x
3
2
6
7
2
6 6��
�
	
�
� � �
�
�
	
�
�� �
2 12 21x x� � �
Foi usado o princípio
( ) aditivo. ( X ) multiplicativo.
2º. passo
2 12 2112 12x x� � �� �
2 9x x� �
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
3º. passo
2 9x xx x� � � �� �( ) ( )
x � �9
Foi usado o princípio
( X ) aditivo. ( ) multiplicativo.
2. Vovô Pedro gosta muito de brincar usando a Matemática. Com a ajuda das equações, ele consegue 
calcular números mentalmente. Leia o diálogo entre ele e seu neto João.
 Primeira situação:
ENCONTREI 
205.
PENSE EM UM NÚMERO, 
SOME 13 AO NÚMERO PENSADO, 
MULTIPLIQUE TUDO POR 3 E 
DEPOIS SOME 1. 
QUAL RESULTADO VOCÊ 
ENCONTROU AO FAZER AS 
CONTAS?
©Shutterstock/NotionPic
7 Matemática – 8o. ano – Volume 4
 Ajude vovô Pedro a descobrir o número em que João pensou.
Denominando de x o número pensado, podemos construir a seguinte equação:
( )x� � � �13 3 1 205
A seguir, vamos resolvê-la. Temos:
3 39 1 205x� � �
3 165x
x 55
João pensou no número 55.
 Segunda situação:
 Em que número João pensou?
Denominando de x o número pensado, podemos construir 
a seguinte equação:
( )x
x
� � � � �7 5
2
9 1
A seguir, vamos resolvê-la. Temos:
5 35
2
9 1x
x
� � � �
5
2
1 35 9x
x
� � � �
10
2 2
27
x x
� �
9
2
27
x
9 54x
x 6
João pensou no número 6.
3. Resolva as equações a seguir.
a) 3 1 2 3 7 5x x x� � � � �
 
5 1 7 2x x� � �
5 1 1 7 2 1x x� � � � �
5 7 1x x� �
5 7 7 7 1x x x x� � � �
� ��2 1x
( ) ( )� � ��
�
	
�
� � � � �
�
�
	
�
�2
1
2
1
1
2
x
x
1
2
b) 5 7 3 4 1 2x x x� � � �( )
 
8 7 4 8x x� � �
8 8 7 4 8 8x x x x� � � � �
� �7 4
Encontramos um absurdo, pois a igualdade é falsa 
independentemente do valor de x. Assim, essa 
equação não tem solução.
ENCONTREI O 
NÚMERO 1.
PENSE EM UM NÚMERO, 
SUBTRAIA 7 DO NÚMERO PENSADO, 
MULTIPLIQUE TUDO POR 5, 
SUBTRAIA A METADE DO NÚMERO 
PENSADO E DEPOIS SOME 9. 
QUAL RESULTADO VOCÊ ENCONTROU 
AO FAZER AS CONTAS?
©Shutterstock/NotionPic
8 Livro de atividades 
c) 
x
x x
3
7 8
1
6
4 6� � � � �( )
 
x
x
x
3
7 8
2
3
1� � � � �
x x
3
7 7
3
� � �
x x x x
3 3
7 7
3 3
� � � � �
7 = 7
Encontramos uma igualdade verdadeira que inde-
pende de x, assim concluímos que a equação é in-
determinada.
d) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x� � � � � � �3 2 7 1
 
x x x x x x
x x x x
2 2
2 2
2 3 6 7 7
6 6 7
� � � � � � �
� � � � �
� � � �x x6 6 7
� � � � � �x x x x6 6 6 6 7
� � ��7 6 7x
� � � �� �7 6 6 7 6x
� ��7 1x
( ) ( )� � ��
�
	
�
�� � � �
�
�
	
�
�7
1
7
1
1
7
x
x
1
7
4. (ENEM)
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
X d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
Denominando o alcance do primeiro salto de x, os saltos 
seguintes terão alcance x – 1,2 e (x – 1,2) – 1,5, nessa se-
quência.
A meta atingida deve ser a soma desses três alcances, ou 
seja, deduzimos a equação x + x – 1,2 + x – 2,7 = 17,4.
Assim:
3x – 3,9 = 17,4
3x = 21,3
x
21 3
3
,
x = 7,1
Portanto, o alcance do primeiro salto teria de estar entre 
7,0 m e 8,0 m.
5. (OBMEP) Após lançar 2 014 
vezes uma moeda, Antônio 
contou 997 caras. Continuan-
do a lançar a moeda, quantas 
caras seguidas ele deverá obter 
para que o número de caras fi-
que igual à metade do núme-
ro total de lançamentos?
a) 10
b) 15
X c) 20
d) 30
e) 40
Vamos denotar como x o número de caras consecutivas 
tiradas após os 2 014 lançamentos.
Pelo enunciado do problema, a relação entre o número 
de caras e o número total de lançamentos é expressa 
pela equação x
x
� �
�
997
2 014
2
.
Resolvendo-a, temos:
2 997 2 014( )x x� � �
2x + 1 994 = 2 014 + x
2x – x = 2 014 – 1 994
x = 20
Assim, devem ser obtidas 20 caras seguidamente.
6. (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um or-
çamento inicial para organizar uma festa, que 
seria dividido entre elas em cotas iguais. Ve-
rificou-se ao final que, para arcar com todas 
as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 no-
vas pessoas haviam ingressado no grupo. No 
acerto foi decidido que a despesa total seria 
dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. 
O Salto Triplo é uma modalidade do 
atletismo em que o atleta dá um salto em 
um só pé, uma passada e um salto, nessa 
ordem. Sendo que o salto com impulsão 
em um só pé será feito de modo que o 
atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que 
deu a impulsão; na passada ele cairá com 
o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
 Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois 
de estudar seus movimentos, percebeu que, 
do segundo para o primeiro salto, o alcance 
diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o se-
gundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Que-
rendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e 
considerando os seus estudos, a distância al-
cançada no primeiro salto teria de estar entre
9 Matemática – 8o. ano – Volume 4
Quem não havia ainda contribuído pagaria a 
sua parte, e cada uma das 50 pessoas do gru-
po inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
 De acordo com essas informações, qual foi o 
valor da cota calculada no acerto final para 
cada uma das 55 pessoas?
a) R$ 14,00.
b) R$ 17,00.
c) R$ 22,00.
X d) R$ 32,00.
e) R$ 57,00.
Considere como x o valor da cota calculada no acerto 
final. Para a despesa ser quitada, os 510  reais deveriam 
ser pagos com 7 reais dos 50 participantes iniciais mais as 
cotas dos novos participantes. Os dados fornecidos pelo 
problema nos permitem estabelecer a seguinte equação:
50 ⋅ 7 + 5x = 510
5x + 350 = 510
5x = 160
x = 32
A cota final será de R$ 32,00.
7. Encontre as frações geratrizes das dízimas pe-
riódicas a seguir.
a) 0 272727 0 27, ... ,
Seja x = 0,272727... = 0 27,
Segue que 100x = 27,272727...
Subtraindo a última equação da primeira, membro a 
membro, temos:
99x = 27
x
27
99
3
11
b) 2 777 2 7, ... ,
Separamos a parte inteira da decimal periódica:
2,777... = 2 0 777, ...
x
���
Calculemos o valor de x. Sabemos que:
10x = 7,777...
Assim, 10x – x = 7,777... – 0,777...
9x = 7
x
7
9
Finalmente, temos:
2 777 2
7
9
25
9
, ...� � �
c) 0 1121212 0 112, ... ,
Considere x = 0,1121212... Vamos multiplicar esse 
valor por 1 000 para obtermos uma dízima periódica 
simples:
1 000x = 112,121212...
Agora, podemos separar a parte inteira da decimal 
periódica, recaindo no caso do item b:
1000 112 0 121212 x � � , ...
1000 112
12
99
 x � �
1000
11088 12
99
 
 
x �
�
1000
11 100
99
 
 
x
x
11 100
99 000
 
 
x
111
990
37
330
d) 3 040404 3 04, ... ,
Separamos a parte inteira da decimal periódica:
3,040404... = 3 0 040404, ...
x
� �� ��
Calculemos o valor de x. Sabemos que:
100x = 4,040404...
Assim, 100x – x = 4,040404... – 0,040404...
99x = 4
x
4
99
Finalmente, temos:
3 040404 3
4
99
301
99
, ...� � �
Equação do 1o. grau com 
duas incógnitas
8. Considere a equação 2x + y = 6.
a) Determine duas soluções dessa equação.
Sugestões de resposta: (0, 6) e (3, 0).
10 Livro de atividades 
b) Esboce o gráfico que representa todas as 
soluções dessa equação no plano cartesia-
no a seguir.
4
3
2
1
–3
–3
–2
–2
–1
–1
0 1 2 3 4 x
5
6
y
c) O ponto (3, 0) pertence ao gráfico dessa 
equação? Sim. 
d) O ponto (0, 5) pertence ao gráfico dessa 
equação? Não. 
e) O par ordenado (2, 2) é solução da equa-
ção? Sim. 
f) O par ordenado (–37, 80) é solução da 
equação? Sim, pois . 
9. (ENEM) Um terreno retangular de lados cujas 
medidas, em metro, são x e y será cercado 
para a construção de um parque de diversões. 
Um dos lados do terreno encontra-se às mar-
gens de um rio. Observe a figura.
 Para cercar todo o terreno, o proprietário gasta-
rá R$ 7.500,00. O material da cerca custa R$ 4,00 
por metro para os lados do terreno paralelos ao 
rio, e R$2,00 por metro para os demais lados.
2 37 80 74 80 6� � � �� � �( )
x y
 Nessas condições, as dimensões do terreno e 
o custo total do material podem ser relacio-
nados pela equação
X a) 4 2 7 500( )x y� �
b) 4 2 7 500( )x y� �
c) 2 7 500( )x y� �
d) 2 4 7 500( )x y� �
e) 2 2 7 500( )x y� �
10. Esboce os gráficos das equações.
a) 3 2 12x y� �
4
3
2
1
–1
–1
0 1 2 3 4 5 6 x
y
5
6
7
8
b) 2 5x y� �
3
2
1
–4
–5
–3
–2
–1
–1
0 1 2 3 4 5 6 x
y
Custo dos lados paralelos 
ao rio: 4x + 4x = 8x
Outros lados: 2y + 2y = 4y
Custo total: 8x + 4y =
= 4(2x + y) = 7 500
11 Matemática – 8o. ano – Volume 4
11. Faça o que se pede em cada item, considerando que todas as equações envolvidas sejam equações 
do 1.º grau com duas incógnitas.
a) Encontre duas equações cuja solução comum seja apenas o ponto (4, 1). 
b) Determine uma equação de tal maneira que toda solução dela também seja solução da equação 
x – y = 6. 
c) Indique uma equação cujas soluções nunca serão soluções da equação x + y = 2. 
Sistemas de equações do 1o. grau com duas incógnitas
12. (OBMEP) Juliana tem oito cartões de papel retangulares iguais. Se ela enfileirar todos os cartões jun-
tando lados de mesma medida, ela pode obter um retângulo de perímetro 236 cm ou um retângulo 
de perímetro 376 cm. Qual é a área de cada cartão?
a) 66 cm2 b) 132 cm2 c) 198 cm2 X d) 264 cm2 e) 330 cm2
Considere x a medida do maior lado do retângulo e y a medida 
do menor lado. Podemos dispor, segundo o enunciado, os 
cartões da seguinte maneira (as imagens são representativas 
e estão fora de escala):
8y
x
Ou assim:
8x
y
Pode-se estabelecer assim o seguinte sistema de equações:
2 8 236
2 8 376
� � �
� � �
�
�
( )
( )
x y
y x
 
x y
x y
� �
� �
�
�
8 118
8 188
Na primeira equação, temos x = 118 – 8y. Substituindo na ou-
tra equação, temos:
8 118 8 188
944 63 188
12
( )� � �
� �
�
y y
y
y
Segue assim que x = 118 – 8 ⋅ 12 = 22.
A área de cada retângulo é calculada por x ⋅ y. Assim, 
x y cm� � � �22 12 264 2.
13. Veja as duas situações envolvendo uma estante, um livro e um vaso com flores.
Basta encontrar um sistema de equações que tenha como solução o ponto (4, 1). Uma sugestão são as equações
x + y = 5 e x – y = 3 (dois números que somados resultam em 5 e o maior subtraído do menor resulta em 3).
Basta encontrar um sistema de equações possível e indeterminado cuja primeira equação é x – y = 6. Nesse caso, pode-se construir 
uma equação equivalente à primeira ao multiplicá-la por um número não nulo qualquer. Por exemplo, a equação 2x – 2y = 12 
satisfaz o problema.
Basta encontrar um sistema de equações impossível cuja primeira equação é x + y = 2. Nesse caso, por exemplo, a equação x + y = 3 satisfaz 
o problema, pois é impossível que a soma de dois números seja igual a 2 e 3 simultaneamente.
 Qual é a altura da estante, em centímetros?
Considerando as incógnitas l para a espessura do livro, e para a altura da 
estante e v para a altura do vaso com flores, temos, na primeira situação, 
a relação e + l – v = 154. Na segunda situação, temos e + v – l = 206.
Observe que as incógnitas l e v se cancelam ao somarmos as duas equa-
ções. Dessa forma, segue que:
( ) ( )e l v e v l
e
e
� � � � � � �
�
�
154 206
2 360
180
Assim, a altura da estante é de 180 centímetros.
Di
vo
. 2
01
9.
 D
ig
ita
l.
154 cm 206 cm
12 Livro de atividades 
14. Em uma fazenda, há galinhas e porcos, totali-
zando 41 cabeças e 110 pés. Quantas galinhas 
e porcos há nessa fazenda?
Considerando x o número de galinhas e y o número de 
porcos, o enunciado permite estabelecer duas relações 
(equações).
Em relação ao total de cabeças, temos x y� � 41.
Em relação ao total de pés, basta verificar que galinhas 
e porcos têm 2 e 4 pés, respectivamente. Assim, temos 
2 4 110x y� � .
O sistema formado será:
x y
x y
� �
� �
�
�
41
2 4 110
Podemos dividir a segunda equação por (–2) e em segui-
da somá-la com a primeira equação:
�
� �
� � ��
�
�
��
� ��
�
x y
x y
y
y
41
2 55
14
14
Assim, substituímos o valor de y em uma das equações e 
encontramos o valor de x:
x + y = 41
x + 14 = 41
x = 27
Na fazenda, há 27 galinhas e 14 porcos.
15. (OBMEP) Para ir com Maria 
ao cinema, João pode esco-
lher dois caminhos. No pri-
meiro, ele passa pela casa de 
Maria e os dois vão juntos até 
o cinema; nesse caso, ele anda 
sozinho 
2
3
 do caminho. No se-
gundo, ele vai sozinho e encontra Maria na 
frente do cinema; nesse caso ele anda 1 km a 
menos que no primeiro caminho, mas o do-
bro do que Maria terá que caminhar. Qual é a 
distância entre a casa de Maria e o cinema?
X a) 1 km
b) 2 km
c) 3 km
d) 4 km
e) 6 km
Considere x a distância entre as casas de João e Maria e y a 
distância da casa de Maria ao cinema.
No primeiro caminho, João anda uma distância de 
(x + y) quilômetros. Nesse caminho, ele anda sozinho 
x x y� � �
2
3
( ) quilômetros.
No segundo caminho, ele anda (x + y – 1) quilômetros. 
Mas também anda o dobro do que Maria, ou seja, 2y qui-
lômetros. Então, temos a igualdade x + y – 1 = 2y.
Dessas igualdades, queremos determinar o valor de y. 
Podemos então isolar o valor de x na primeira equação e 
substituir seu valor na segunda equação:
x x y
x x y
x y
� � �
� �
�
2
3
3 2 2
2
( ) x + y – 1 = 2y
2y + y – 1 = 2y
y = 1
A distância da casa de Maria até o cinema é de 1 km.
16. (OBMEP) Numa folha quadrada de papel de 
30 cm de lado, branca de um lado e cinza do 
outro, marcou-se um quadrado ABCD em li-
nhas pontilhadas, como na figura 1. A folha 
foi dobrada ao longo das linhas pontilhadas e 
o resultado está mostrado na figura 2, onde a 
parte cinza é um quadrado de área 144 cm2.
yx
x
x
x
y
y
y
AP
D
B
C
Figura 1 Figura 2
 Qual é o comprimento do segmento PA?
X a) 21 cm
b) 22 cm
c) 23 cm
d) 24 cm
e) 25 cm
Sejam x e y as medidas (em cm) de PA e PD, respectiva-
mente. Analisando a imagem, concluímos que x + y = 30.
Observe que o lado do quadrado menor (cinza) da fo-
lha dobrada será (x – y). Como a área desse quadrado é 
144 cm2, seu lado mede 12 cm. Assim, x − y = 12.
Somando as equações, encontramos 2x = 42 e, assim,
PA = x = 21 cm.
13 Matemática – 8o. ano – Volume 4
19. (OBMEP) Oito vasos iguais, encaixados, for-
mam uma pilha de 36 cm de altura, como na 
figura. Dezesseis vasos iguais aos primeiros, 
também encaixados, formam outra pilha de 
60 cm de altura. Qual é a altura de cada vaso?
X a) 15 cm
b) 16 cm
c) 18 cm
d) 20 cm
e) 22 cm
Sejam x a altura de um vaso e y a altura apenas da borda 
desse vaso.
Observando a imagem, deduzimos que x + 7y = 36.
Para um empilhamento de 16 vasos, teremos uma rela-
ção análoga à primeira, pois cada vaso acrescentado au-
menta uma unidade em y. Dessa forma, concluímos que 
x + 15y = 60.
Temos o seguinte sistema de equações:
x y
x y
� �
� �
�
�
7 36
15 60
Da primeira equação, segue que x = 36 – 7y. Substituindo-
-a na segunda equação, temos:
36 – 7y + 15y = 60
y = 3
Substituindo o valor de y na primeira equação, segue que 
x = 15. Assim, cada vaso tem 15 centímetros de altura.
20. (OBMEP) Na volta de uma pescaria, Pedro 
disse para Carlos: “Se você me der um de seus 
peixes, eu ficarei com o dobro do número de 
peixes com que você vai ficar”. Carlos respon-
deu: “E se, em vez disso, eu jogar um de seus 
peixes no rio, ficaremos com o mesmo núme-
ro”. Quantos peixes eles pescaram ao todo?
17. (OBMEP) A balança da figura está equilibra-
da. Os copos são idênticos e contêm, ao todo, 
1 400 gramas de farinha. Os copos do prato 
da esquerda estão completamente cheios e 
os copos do prato da direita estão cheios até 
metade de sua capacidade. Qual é o peso, em 
gramas, de um copo vazio?
a) 50
b) 125
c) 175
X d) 200
e) 250
Vamos denotar a capaci-
dade de 1 copo como sen-
do x (gramas de farinha) 
e a massa do copo vazio 
como y (em gramas). Pela 
quantidade total de fari-
nha, estabelecemos a pri-
meira equação:
2
3
2
1 400x x� � 
Temos:
7
2
1 400x 
x = 400 g
Com a balança equilibra-
da, estabelecemosa se-
gunda equação:
3
1
2
2
3
2
3 2 2
3 2 2
3
2
x y x y
x y x y
y y x x
��
�
	
�
� � �
� � �
� � �
( )
y y� � � �
1
2
400 200
Assim, o copo vazio tem 
massa de 200 gramas.
18. (OBMEP) Um grupo de amigos acabou de 
comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 fal-
tarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um 
der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual é o preço 
da pizza?
a) R$ 45,50 
b) R$ 48,50
X c) R$ 50,50
d) R$ 52,50
e) R$ 54,50
Considere x o número de amigos e y o 
preço da pizza (em reais). Do enuncia-
do, deduzimos as seguintes equações:
y x
y x
� �
� �
�
�
8 2 5
9 3 5
,
,
Podemos substituir o valor de y 
da primeira equação na outra e 
obter a equação 8x + 2,5 = 9x – 3,5. 
Resolvendo-a, obtemos x = 6. Substi-
tuindo esse valor em qualquer equação, 
obtemos y = 50,50. Assim, a pizza custa 
R$ 50,50.
7y
x
36 cm
14 Livro de atividades 
a) 5
b) 7
c) 8
X d) 9
e) 11
Sejam x o número de peixes de Pedro e y o de Carlos. Do 
enunciado, temos o seguinte sistema de equações:
x y
y x
� � �
� �
�
�
1 2 1
1
( )
Veja que o método da adição é impraticável nesse caso, 
pois esse sistema não está na forma usual, isto é, as equa-
ções que o compõem não estão na forma ax + by = c. 
Antes de resolvê-lo, podemos deixar as equações nesse 
formato. Não é um passo obrigatório, ficando ao critério 
do professor a necessidade de deixar o sistema nesse for-
mato ou prosseguir normalmente com a solução usando 
o método da substituição.
Da primeira equação, obtemos x – 2y = –3; da segunda 
equação, temos x – y = 1. Assim:
x y
x y
� ��
� �
�
�
2 3
1
Podemos multiplicar ambos os membros da segunda 
equação por (–2) e assim obter:
�
� ��
� � ��
�
�
� ��
�
x y
x y
x
x
2 3
2 2 2
5
5
Substituímos o valor de x na segunda equação, x – y = 1, 
e, assim, y = 4. Concluímos que Pedro pescou 5 peixes e 
Carlos pescou 4. O total de peixes pescados é de 9 (5 + 4).
Equações polinomiais do 
2o. grau do tipo ax2 = c
21. Resolva as equações.
a) x 2 7 9� �
x
x
x
2 16
16
4
�
��
��
b) 27 122x
12
27
4
9
2x 
x
x
��
��
4
9
2
3
c) 3 5 252 2x � �
3 25 25
3 0
0
2
2
x
x
x
� �
�
�
d) 3 3 3 9x x x( )� � �
3 9 3 9
1
1
2
2
x x x
x
x
� � �
�
��
e) x x2 24 5 10� � �
� �
�� �
4 6
3
2
0
2
2
x
x
Não tem solução.
22. Um terreno retangular 
representado ao lado 
pode ser dividido em 
3 quadrados. Saben-
do que ele tem área 
de 294  m2, determine 
suas dimensões e as áreas de cada quadrado.
Os dois quadrados menores têm lado de mesma medida 
(x), e o quadrado maior mede 2x. Pelos dados do enun-
ciado, temos:
x x x
x
x
x
2 2 2
2
2
2 294
6 294
49
7
� � �
�
�
��
( )
Observe que a resposta x= –7 é solução da equação, mas 
não convém para responder ao problema, pois as medidas 
têm de assumir valores positivos. As dimensões do retân-
gulo são 2x e 3x, ou seja, 14 m e 21 m.
Os quadrados menores têm lado de 7 m e área de 49 m2, 
e o quadrado maior tem lado de 14 m e área de 196 m2.
x
15 Matemática – 8o. ano – Volume 4
1
Proporcionalidade
10
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas que variam sempre na mesma razão são chamadas de grandezas diretamente proporcionais.
Quando isso acontece, podemos escrever:
y = k ⋅ x ou y
x
k
Nessa relação, x representa uma grandeza; y, o valor correspondente para a outra; e k é a razão (constante em 
cada situação) entre os valores das duas grandezas.
O gráfico que relaciona duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem do 
plano cartesiano.
x
y
a3
a2
a1
b1 b2 b30
Nesse tipo de relação, o quociente entre as duas grandezas é sempre constante, isto é:
a
b
a
b
a
b
k1
1
2
2
3
3
Nas situações concretas, em aplicações, pode haver restrições aos valores que as grandezas podem assumir, 
por exemplo, ser sempre positiva, inteira, entre outras. Essas restrições fazem com que o gráfico deixe de ser 
uma reta, podendo ser um segmento de reta ou apenas pontos alinhados.
Temos que ser cautelosos, pois não basta a relação entre as grandezas ser de tal maneira que quando uma 
aumenta a outra aumenta ou quando uma diminui a outra diminui; tem que ser na mesma proporção!
16 Livro de atividades 
O gráfico que relaciona duas grandezas inversamente proporcio-
nais denomina-se hipérbole equilátera (não aprofundaremos seu es-
tudo neste momento).
Nesse tipo de relação, o produto entre as duas grandezas é sempre 
constante, isto é:
a b a b a b k1 1 2 2 3 3� � � � � �
Também no caso das grandezas inversamente proporcionais, pode ha-
ver restrições aos valores que as grandezas podem assumir, por exemplo, 
ser sempre positiva ou mesmo inteira positiva.
Regra de três na resolução de problemas que envolvem 
grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Você pode continuar usando a regra de três para resolver questões que envolvem grandezas proporcionais 
(direta ou inversamente), tendo cuidado para verificar primeiro qual tipo de proporcionalidade está presente 
no problema que você vai resolver.
• Em grandezas diretamente proporcionais, basta fazer a proporção entre as duas razões normalmente.
• Em grandezas inversamente proporcionais, você deve fazer a proporção invertendo uma das razões.
Grandezas não proporcionais
Nem sempre as grandezas se relacionam de formas proporcionais (direta ou inver-
sa). Existem outras formas de elas estarem relacionadas, e nessas situações teremos que 
estudar caso a caso.
Por exemplo, a área de um quadrado não é proporcional a seu lado, e sim ao qua-
drado de seu lado. Podemos escrever algebricamente a relação entre a área y de um 
quadrado de lado x como y x 2. 
x
y
a3
a2
a1
b1 b2 b30
x
x
y = x2
Duas grandezas que variam sempre na razão inversa uma da outra são chamadas de grandezas 
inversamente proporcionais.
Quando isso acontece, podemos escrever:
y
k
x
 ou y x k� �
Nessa relação, x representa uma grandeza; y, o valor correspondente para a outra; e k é o produto (constante 
em cada situação) entre os valores das duas grandezas.
Grandezas inversamente proporcionais e grandezas 
não proporcionais
Outra classe importante de grandezas são as grandezas que se relacionam de forma inversamente 
proporcionais.
17 Matemática – 8o. ano – Volume 4
Atividades
Grandezas diretamente proporcionais
1. Dona Adélia está preparando uma festa de aniversário. Depois de pesquisar informações na internet, 
ela resolveu usar como referência para cada pessoa convidada 400 mL de refrigerante, 350 mL de 
suco, 80 g de bolo, 5 unidades de doces e 12 unidades de salgados.
a) Complete a tabela com as quantidades necessárias para os diversos tamanhos de festas.
Pessoas Refrigerante (L) Suco (L) Bolo (kg) Doces (unidades)
Salgados 
(unidades)
1 0,4 0,35 0,08 5 12
15 6 5,25 1,2 75 180
20 8 7 1,6 100 240
40 16 14 3,2 200 480
50 20 17,5 4 250 600
b) Em outra pesquisa, dona Adélia encontrou alguns kits prontos para festa com as quantidades a seguir.
• Para 15 pessoas: 1,5 kg de bolo, 60 docinhos e 180 salgados.
• Para 20 pessoas: 2 kg de bolo, 80 docinhos e 240 salgados.
• Para 40 pessoas: 4 kg de bolo, 160 docinhos e 480 salgados.
• Para 50 pessoas: 5 kg de bolo, 200 docinhos e 600 salgados.
As quantidades também são proporcionais nesses kits? Quais as quantidades previstas por pes-
soa? Compare os resultados com os do item anterior.
Sim, as quantidades são proporcionais. Para 1 pessoa, estão previstos: 100 g de bolo, 4 docinhos e 12 salgados. Em relação aos 
resultados do item anterior, temos um aumento da quantidade de bolo/pessoa de 80 g para 100 g; diminuição do número de 
docinhos/pessoa de 5 para 4; a quantidade de salgados é a mesma.
2. Maria está escolhendo um plano de telefonia celular e comparando duas opções. A companhia A 
oferece um plano de custo fixo mensal de R$ 40,00 mais uma taxa de R$ 1,00 por minuto de ligação 
usado, enquanto a companhia B oferece um plano de pagar apenas a taxa de R$ 5,00 por minuto.
a) Escreva uma equação algébrica que relaciona o valor (y) a ser pago com a quantidadede minu-
tos (x) usados em cada plano.
Para o plano A, a equação é y = x + 40.
Para o plano B, a equação é y = 5x.
b) Em qual desses planos o total a ser pago é diretamente proporcional à quantidade de minutos 
falados? Justifique sua resposta.
O plano B é diretamente proporcional à quantidade de minutos falados, pois obedece à relação y = k ⋅ x (nesse caso, k = 5).
c) Quantos minutos mensais devem ser utilizados para que o valor a ser pago nos dois planos seja o 
mesmo?
Basta fazer 5x = x + 40. Resolvendo a equação, segue que x = 10. Assim, devem ser usados 10 minutos para que o valor dos dois 
planos seja o mesmo.
18 Livro de atividades 
Massa para chapisco
Utilizar o traço de 1 : 3, isto é, misturar 1 lata de cimento para 
3  latas de areia bruta. Essa argamassa é indicada para o chapisco 
(acabamento inicial) em superfícies de alvenaria.
Massa para emboço
Utilizar o traço de 1 : 7, isto é, misturar 1 lata de cimento para 
7 latas de areia. Misturar aditivo plastificante (pois nessa medida a 
massa tem pouca liga). Essa argamassa é indicada para o emboço 
(acabamento intermediário) em superfícies de alvenaria.
Reboco 
(massa fina)Emboço 
(massa grossa) Chapisco
3. (ENEM) Um produtor de maracujá usa uma caixa-d’água, com volume V, para alimentar o sistema 
de irrigação de seu pomar. O sistema capta água através de um furo no fundo da caixa a uma vazão 
constante. Com a caixa-d’água cheia, o sistema foi acionado às 7 h da manhã de segunda-feira. Às 
13 h do mesmo dia, verificou-se que já haviam sido usados 15% do volume da água existente na 
caixa. Um dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento do sistema quando o volume restante 
na caixa é de 5% do volume total, para reabastecimento.
 Supondo que o sistema funcione sem falhas, a que horas o dispositivo eletrônico interromperá o 
funcionamento?
a) Às 15 h de segunda-feira.
b) Às 11 h de terça-feira.
c) Às 14 h de terça-feira.
d) Às 4 h de quarta-feira.
X e) Às 21 h de terça-feira.
Como a vazão é constante, o volume consumido de água é diretamente proporcional ao tempo. Se em 6 horas foram gastos 15% do 
volume total de água, então para serem usados 95% do total podemos usar a seguinte regra de três:
Volume usado (em %) Tempo decorrido (em horas)
15 6
95 x
15
95
6 3
19
6 19 6
3
38� � � � �
�
�
x x
x
São necessárias 38 horas para que o dispositivo eletrônico seja acionado. Assim, ao ser ligado às 7 h da manhã de segunda-feira, o 
dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento às 21 h de terça-feira.
4. Ao preparar argamassas de acabamento, o pedreiro tem que saber a finalidade de seu uso, pois a 
proporção de cimento e de areia determina que tipo de massa será criada. Veja mais informações a 
seguir.
a) Carlos precisava fazer o chapisco de uma parede nova e fez uma argamassa com 2 latas e meia de 
cimento. Quantas latas de areia ele deve colocar?
A proporção usada para a argamassa de chapisco é de 1 lata de cimento para 3 latas de areia. Como essas quantidades são 
grandezas diretamente proporcionais, podemos estabelecer a relação y
x
3
1
, onde x e y são as quantidades de cimento e areia 
usadas, respectivamente. Dessa relação, concluímos que y = 3x. Fazendo x = 2,5, temos y = 3 · 2,5 = 7,5. Assim, Carlos vai colocar 
7 latas e meia de areia.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/R
Gt
im
el
in
e
19 Matemática – 8o. ano – Volume 4
b) Quando terminou de chapiscar a parede toda, Carlos verificou que só usou 3
4
 da argamassa 
preparada. Para fazer a argamassa de emboço, ele vai reaproveitar essa massa que sobrou, com-
pletando-a de forma que obtenha uma quantidade equivalente a uma massa preparada com 
1 lata de cimento. Quanto ele terá que colocar de cimento e de areia para fazer essa argamassa de 
emboço?
Se Carlos usou 
3
4
 de argamassa para chapisco, então sobrou 
1
4
 dessa massa. Proporcionalmente, sobrou 
1
4
 de 2,5 latas de 
cimento, isto é, 
1
4
5
2
5
8
� � de latas de cimento nessa mistura. Da mesma maneira, proporcionalmente, sobrou 
1
4
 de 7,5 latas de 
areia, isto é, 
1
4
15
2
15
8
� � de latas de areia. Assim, Carlos deve completar a mistura aplicando mais 1
5
8
3
8
� � de uma lata de ci-
mento e 7
15
8
41
8
� � latas de areia.
5. (OBMEP) Um bloco de folhas retangulares de papel pesa 2 kg. Outro bloco do mesmo papel tem o 
mesmo número de folhas que o primeiro, mas suas folhas têm o dobro do comprimento e o triplo 
da largura. Qual é o peso do segundo bloco?
a) 4 kg b) 6 kg c) 8 kg d) 10 kg X e) 12 kg
Fixados a espessura e o tipo de papel, o peso de uma folha será diretamente proporcional à área retangular. A área de uma folha do 
segundo bloco é seis vezes a área de uma folha do primeiro bloco. Assim, o segundo bloco de papel tem seis vezes o peso do primei-
ro. Portanto, o peso do segundo bloco é de 6 · 2 kg = 12 kg.
6. (ENEM) O pacote de salgadinho preferido de uma menina é vendido em embalagens com diferentes 
quantidades. A cada embalagem é atribuído um número de pontos na promoção:
 “Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra, 
você ganhará um bichinho de pelúcia”.
 Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas, pontos e preços:
Massa da embalagem (g) Pontos da embalagem Preço (R$)
50 2 2,00
100 4 3,60
200 6 6,40
20 Livro de atividades 
 A menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho de pelúcia nessa pro-
moção é
a) R$ 10,80. b) R$ 12,80. X c) R$ 20,80. d) R$ 22,00. e) R$ 22,80.
Devemos observar qual das três embalagens é a mais vantajosa em relação ao preço e aos pontos. Observe que, na embalagem de 50 g, 
temos R$ 2,00 e 2 pontos. Isso significa que cada ponto da embalagem corresponderá ao preço de R$ 1,00. Da mesma forma, vemos que 
na embalagem de 100 g temos R$ 3,60 e 4 pontos, isto é, 
3 60
4
0 9
,
, . Assim, cada ponto corresponde a R$ 0,90. E, para a embalagem de 
200 g, temos R$ 6,40 e 6 pontos, ou seja, 
6 40
6
1 07
,
, . Assim, cada ponto corresponde a R$ 1,07.
Sendo assim, a opção que minimiza a quantia gasta é adquirir três embalagens de 100 g. O valor a ser pago é de 3 · R$ 3,60 + R$ 10,00 = 
= R$ 10,80 + R$ 10,00 = R$ 20,80.
7. (ENEM) Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por 
duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta 
da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da 
parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão 
constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.
 Quantos minutos essa torneira levará para encher completamente o restante 
do depósito?
a) 8
X b) 10
c) 16
d) 18
e) 24
Como a torneira tem vazão constante, o tempo gasto para encher o depósito é diretamente proporcional ao volume de água in-
troduzido nele. Definindo como a a medida da aresta do cubo menor, o volume desse cubo é a3. O volume do cubo maior é de 
( )2 83 3a a .
Levou 8 minutos para encher a metade do cubo maior, isto é, ocupar um volume de 4 3a . Precisamos encontrar o tempo restante (x) 
necessário para preencher o volume restante de 5 43 3 3a a a� � (correspondente à metade do cubo maior e ao cubo menor).
Podemos estabelecer uma regra de três para relacionar o tempo gasto e o volume preenchido:
Volume preenchido Tempo gasto (em min)
4 3a 8
5 3a x
4
5
8
4 40 10
3
3
a
a x
x x� � � � �
Sendo assim, a torneira levará 10 minutos para encher completamente o restante do depósito.
21 Matemática – 8o. ano – Volume 4
8. (ENEM) Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, 
areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para 
construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira 
com 14 m3 de concreto.
 Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira?
a) 1,75 X b) 2,00 c) 2,33 d) 4,00 e) 8,00
Veja que os três ingredientes juntos constituirão7 partes iguais usadas na formação do concreto.
Dessas 7 partes do concreto, 1 parte é de cimento, ou seja, a razão entre cimento e concreto é de 1
7
. Assim, em 14 m3 de concreto, 
há 
1
7
14 23 3� �m m de cimento.
9. (ENEM) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há ne-
cessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito 
por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo 
reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, 
quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos 
aos do já existente.
 A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
a) 2. b) 4. X c) 5. d) 8. e) 9.
Se todos os ralos são idênticos, é razoável descobrirmos a vazão (em metros cúbicos por hora) de um único ralo. Veja que 6 ralos 
fazem o escoamento de 900 m³ em 6 horas. Assim, um único ralo escoa 
900
6
150 m³ em 6 horas. Se um ralo escoa 150 3m em 
6 horas, em 1 hora ele escoará 
150
6
25
3m
 m³. Sendo assim, a vazão de um ralo é de 25 m³/hora.
No novo reservatório, para que 500 m³ sejam escoados em 4 horas, a vazão total deverá ser de 
500
4
125
3m
h
 m³/hora. Sendo assim, 
serão necessários 
125
25
5 ralos.
10. (ENEM) Em uma fábrica de bebidas, a máquina que envasa refrigerantes é capaz de encher 150 gar-
rafas de 2 L a cada minuto e funcionar ininterruptamente durante 8 horas por dia.
 Para atender uma encomenda de 198 000 garrafas de 2 L, a máquina é colocada para funcionar todos 
os dias, a partir do dia 10, sempre das 8 h às 16 h.
 A máquina terminará essa tarefa no dia
a) 11, às 14 h.
X b) 12, às 14 h.
c) 13, às 14 h.
d) 12, às 8 h 06 min.
e) 13, às 8 h 06 min.
Repare que a quantidade de garrafas enchidas é diretamente 
proporcional ao tempo. Sendo assim, podemos estabelecer a 
seguinte regra de três:
Garrafas enchidas Tempo (em min)
150 1
198 000 x
A tabela nos fornece a seguinte proporção:
150
198 000
1 198 000
150
1320� � � �
x
x
Então, temos x = 1 320. Esse número corresponde ao número 
de minutos. Para sabermos essa quantidade em horas, dividi-
mos por 60: 1 320 : 60 = 22. 
Serão necessárias 22 horas completas para se encherem 
198 000 garrafas.
A máquina trabalha 8 horas por dia. Sendo assim, a partir das 
8 h do dia 10, ela terminará após 2 dias de trabalho (ou seja, no 
dia 12) e após 6 horas do terceiro dia (pois 22 = 8 · 2 + 6). Assim, a 
máquina finalizará a tarefa no dia 12 às 14 horas.
22 Livro de atividades 
11. (ENEM) Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que 
deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas 
apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, 
obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em 
reais, de cada produto comercializado.
Produto Tipo A Tipo B
Arroz 2,00 1,70
Feijão 4,50 4,10
Soja 3,80 3,50
Milho 6,00 5,30
 Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectiva-
mente,
a) A, A, A, A. b) A, B, A, B. c) A, B, B, A. X d) B, A, A, B. e) B, B, B, B.
Do produto B, só se aproveitam 90% de 1 kg, ou seja, 900 gramas. Devemos usar a mesma referência de massa entre os dois produtos 
A e B. Para isso, devemos comparar o valor proporcional a 900 gramas do produto do tipo A em relação ao produto do tipo B. Assim:
• Para o arroz, 900 g do tipo A correspondem a 90% de R$ 2,00, que é R$ 1,80, maior do que o valor de B. Assim, o tipo B tem o melhor 
custo/benefício.
• Para o feijão, 900 g do tipo A correspondem a 90% de R$ 4,50, que é R$ 4,05, menor do que o valor de B. Assim, o tipo A tem o 
melhor custo/benefício.
• Para a soja, 900 g do tipo A correspondem a 90% de R$ 3,80, que é R$ 3,42, menor do que o valor de B. Assim, o tipo A tem o melhor 
custo/benefício.
• Finalmente, para o milho, 900 g do tipo A correspondem a 90% de R$ 6,00, que é R$ 5,40, maior do que o valor de B. Assim, o tipo 
B tem o melhor custo/benefício.
Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são B, A, A e B, respectivamente.
12. (ENEM) Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios 
como, por exemplo, as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez 
dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira 
de Normas Técnicas (ABNT).
 Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não 
ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica?
a) 24 litros
X b) 36 litros
c) 40 litros
d) 42 litros
e) 50 litros
Para calcularmos a economia diária feita pela substituição das bacias sanitárias, devemos observar o valor percentual economizado 
nessa substituição.
Trocando a bacia sanitária pela ecológica, para cada descarga dada, em vez de gastar 15 L, gastam-se apenas 6 L, economizando 9 L. 
Isso corresponde a uma economia de 9
15
3
5
0 6 60, %.
Assim, para 60 litros de água gastos por dia com descarga, a economia será de 60% de 60 L = 0,6 ⋅ 60 L = 36 L.
23 Matemática – 8o. ano – Volume 4
13. (ENEM)
A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente 
em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu 
lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água 
vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no proces-
so de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).
 Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma tra-
vessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é
a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento 
de seu lado.
b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 − 0,2)a)2.
X c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para (0,8a)3.
d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.
e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.
O volume inicial da travessa era V a1
3. Depois de cozida, as arestas tiveram redução de 20% em suas medidas e, assim, passaram a 
medir 0,8 ∙ a. O novo volume será V a a V2
3 3
10 8 0 512 0 512� � � � � �( , ) , , = 51,2% de V1 . 
Assim, temos uma diminuição de 100% – 51,2% = 48,8% do volume total.
14. (ENEM)
Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do 
SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo 
mesmo motivo.
Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
 Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que 
o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.
 De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos pró-
ximos cinco anos, corresponderia a
a) 4 mil.
b) 9 mil.
c) 21 mil.
X d) 35 mil.
e) 39 mil.
Seja x o acréscimo de internação de homens por AVC. Como estamos supondo que a taxa de crescimento de casos dessa doença 
foi a mesma para os homens e para as mulheres, temos:
x
28
8
32
Simplificando: 
x
28
1
4
 → x 28
4
7
Haveria um acréscimo de 7 mil homens, com o total passando a ser de 35 mil.
24 Livro de atividades 
15. (ENEM)
Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obriga-
toriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a 
partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formadapor biodísel. Até 
junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem 
como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
 Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões 
de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo 
volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consu-
mo de biodísel com a adição de 3%?
a) 27,75 milhões de litros. 
b) 37,00 milhões de litros.
c) 231,25 milhões de litros.
X d) 693,75 milhões de litros.
e) 888,00 milhões de litros.
Fixado o volume total, a quantidade de biodiesel é diretamente proporcional ao percentual de biodiesel na mistura, assim:
925
4 3
3
4
925 693 75
% %
,
�
� � �
x
x
Assim, o consumo de biodiesel seria de 693,75 milhões de litros.
Grandezas inversamente proporcionais e grandezas 
não proporcionais
16. (ENEM) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retân-
gulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu compri-
mento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência 
da viga.
BUSHAW, D. et al. Aplicações da matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997.
25 Matemática – 8o. ano – Volume 4
 A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
X a) S
k b d
x
�
� � 2
2 b) S
k b d
x
�
� �
2 c) S
k b d
x
�
� � 2
 d) S
k b d
x
�
� �2
 e) S
k b d
x
�
� �2
2
Como a resistência (S) é diretamente proporcional à largura (b), temos que S k b� � ; S é diretamente proporcional ao quadrado 
da altura (d2), portanto temos que S k d� � 2; já S é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento (x2), então temos 
que S
k
x 2
. Juntando tudo, obtemos que S k
b d
x
�
��
�
		
�
��
2
2
.
17. (ENEM)
A resistência elétrica e as dimensões do condutor
A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo 
de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe pro-
porcionalidade entre:
• resistência (R) e comprimento (ℓ), dada a mesma secção transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (ℓ) e
• comprimento (ℓ) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
fio condutor
resistência RA
ℓ
fio de mesmo 
material
resistência RA resistência RA
ℓ
fio de mesmo 
material
resistência RA
ℓ
fio de mesmo 
material
2ℓ
resistência R2A
2ℓ
resistência 2RA
resistência 
R
2
ℓ
2A
Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
 As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (ℓ), 
resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (ℓ) e área da secção transver-
sal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta.
b) direta, direta e inversa.
X c) direta, inversa e direta.
d) inversa, direta e direta.
e) inversa, direta e inversa.
De acordo com a questão:
• para a mesma área da secção transversal, quando dobra a resistência, dobra o comprimento, portanto a resistência e o comprimen-
to são grandezas diretamente proporcionais;
• para o mesmo comprimento, quando a resistência é reduzida pela metade, dobra a área de secção transversal, portanto a resistên-
cia e a área são grandezas inversamente proporcionais;
• para a mesma resistência, quando dobra o comprimento, dobra a área da secção transversal, portanto o comprimento e a área são 
grandezas diretamente proporcionais.
26 Livro de atividades 
18. (ENEM) Pedro ganhou R$ 360.000,00 em uma 
loteria federal e resolveu dividir integralmente 
o prêmio entre os seus três filhos, Ana, Renato 
e Carlos, de forma que cada um receba uma 
quantia que seja inversamente proporcional 
às suas idades.
 Sabendo que Ana tem 4 anos, Renato, 5 anos 
e Carlos, 20 anos, eles receberão, respecti- 
vamente,
a) R$ 54.000,00; R$ 216.000,00 e R$ 90.000,00.
b) R$ 90.000,00; R$ 54.000,00 e R$ 216.000,00.
c) R$ 216.000,00; R$ 90.000,00 e R$ 54.000,00.
X d) R$ 180.000,00; R$ 144.000,00 e R$ 36.000,00.
e) R$ 180.000,00; R$ 120.000,00 e R$ 60.000,00.
Como os valores recebidos são inversamente proporcio-
nais às idades, temos: IA ∙ VA = IR ∙ VR = IC ∙ VC = k (constan-
te), onde I é a idade dos filhos, V é o valor que cada um 
deve receber e A, R e C se referem a Ana, Renato e Carlos, 
respectivamente. Assim, temos V
k
A 4
, V
k
R 5
 e 
V
k
C 20
.
Portanto:
V V V
k k k
k k k
A R C� � � � � �
� � �
4 5 20
360
5
20
4
20 20
360
10
20
360
2
360 720
k
k
k
�
� � �
Logo, VA
720
4
180, VR
720
5
144 e VC
720
20
36.
Portanto, Ana, Renato e Carlos receberão, respectiva-
mente, R$ 180.000,00, R$ 144.000,00 e R$ 36.000,00.
19. (ENEM) Um clube tem um campo de futebol 
com área total de 8 000 m2, correspondente 
ao gramado. Usualmente, a poda da grama 
desse campo é feita por duas máquinas do 
clube próprias para o serviço. Trabalhando 
no mesmo ritmo, as duas máquinas podam 
juntas 200 m2 por hora. Por motivo de urgên-
cia na realização de uma partida de futebol, 
o administrador do campo precisará solicitar 
ao clube vizinho máquinas iguais às suas para 
fazer o serviço de poda em um tempo máxi-
mo de 5 h.
 Utilizando as duas máquinas que o clube já 
possui, qual o número mínimo de máquinas 
que o administrador do campo deverá solici-
tar ao clube vizinho?
a) 4
b) 6
c) 8
X d) 14
e) 16
Como as 2 máquinas têm a capacidade de podar 200 m2 
por hora, elas realizam a tarefa em 40 horas de trabalho 
(8 000 ÷ 200 = 40). Fixada a tarefa, a quantidade de má-
quinas e o tempo para realizar a tarefa são inversamente 
proporcionais, assim n ∙ 5 = 2 ∙ 40. Logo, são necessárias 16 
(n = 16) máquinas no total. Como o clube tem 2, terá que 
solicitar 14 máquinas emprestadas.
20. (ENEM) Um carpinteiro fabrica portas retan-
gulares maciças, feitas de um mesmo material. 
Por ter recebido de seus clientes pedidos de 
portas mais altas, aumentou sua altura em 1
8
, 
preservando suas espessuras. A fim de manter 
o custo com o material de cada porta, preci-
sou reduzir a largura.
 A razão entre a largura da nova porta e a lar-
gura da porta anterior é
a) 1
8
b) 
7
8
c) 8
7
X d) 8
9
e) 9
8
Como a espessura está fixa, para manter constante o cus-
to com material, é necessário que a área da porta tam-
bém fique constante. Sendo x a altura e y a largura, temos 
x y A� � (constante) ou x
A
y
, ou seja, as grandezas são 
inversamente proporcionais. Sendo x 1 a altura da porta 
anterior, x 2 a altura da nova porta, y 1 a largura da porta 
anterior e y 2 a largura da nova porta, obtemos:
x x x2 1 11
1
8
9
8
� ��
�
	
�
� �
x y x y2 2 1 1� � �
9
8 1 2 1 1
x y x y� � �
y y2 1
8
9
� �
Logo, a razão solicitada é 
y
y
y
y
2
1
1
1
8
9 8
9
�
�
� .
27 Matemática – 8o. ano – Volume 4
21. (ENEM) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi le-
vantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram 
conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos 
de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no 
gráfico a seguir.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente 
Ca
so
s 
de
 c
ân
ce
r p
ul
m
on
ar
 
60
50
40
30
20
10
0
Número de cigarros consumidos diariamente
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course– 1992 (adaptado).
 De acordo com as informações do gráfico,
a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversa-
mente proporcionais.
b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não 
se relacionam.
c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas direta-
mente proporcionais.
d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão.
X e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão 
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
Observe que o aumento do número de cigarros provoca o aumento nos casos de câncer de pulmão, logo, as grandezas não podem 
ser inversamente proporcionais; mas, como o gráfico não é uma reta que passa pela origem, as grandezas também não são direta-
mente proporcionais.
22. Ana, Bruna e Camila juntaram moedas em seus cofrinhos. Ana colocou só moedas de 1 real, Bruna 
guardou apenas moedas de 50 centavos e Camila colocou moedas de 1 real e de 50 centavos. As 
3 amigas abriram os cofrinhos no mesmo dia e constataram que economizaram exatamente o mes-
mo valor. Camila ainda notou que no seu cofrinho havia a mesma quantidade de moedas de 1 real 
e de 50 centavos. Qual a razão entre o número de moedas dos cofrinhos de Bruna e Ana? E a razão 
entre o número de moedas dos cofrinhos de Camila e Ana?
Sejam x, y e z respectivamente os números de moedas dos cofrinhos de Ana, Bruna e Camila. Como os valores economizados são 
iguais, 1 0 5 1
2
0 5
2
0 75� � � � � � � � �x y
z z
z, , , , logo, temos 
y
x
1
0 5
2
,
 e z
x
1
0 75
4
3,
.
28 Livro de atividades 
23. (OBMEP) Turmalinas são pedras semipreciosas cujo valor varia de acordo com o peso; se uma tur-
malina pesa o dobro de outra, então seu valor é cinco vezes o dessa outra. Zita, sem saber disso, 
mandou cortar uma turmalina que valia R$ 1.000,00 em quatro pedras iguais. Quanto ela irá receber 
se vender os quatro pedaços?
X a) R$ 160,00
b) R$ 200,00
c) R$ 250,00
d) R$ 400,00
e) R$ 500,00
Se o dobro do peso leva ao quíntuplo do valor, então a metade do peso reduz o valor à sua quinta parte. Sendo P o peso origi-
nal da pedra, V seu valor original, p o novo peso e v o valor de um dos pedaços, temos: p P P� � �
�
	
�
�
1
4
1
2
1
2
, assim, v V V� �
�
	
�
� �
1
5
1
5
1
25
. 
Vendendo os 4 pedaços, 4
4
25
4
25
1v V� � �1 000 = 160.
Portanto, Zita receberá R$ 160,00 se vender os quatro pedaços.
24. (OBMEP) João fez uma viagem de ida e volta entre Pirajuba e Quixajuba em seu carro, que pode 
rodar com álcool e com gasolina. Na ida, apenas com álcool no tanque, seu carro fez 12 km por litro 
e na volta, apenas com gasolina no tanque, fez 15 km por litro. No total, João gastou 18 litros de 
combustível nessa viagem. Qual é a distância entre Pirajuba e Quixajuba?
a) 60 km
b) 96 km
X c) 120 km
d) 150 km
e) 180 km
Se R é o rendimento do combustível, é preciso determinar 
quantos quilômetros o carro faz com 1 L. A distância (no 
caso, entre as duas cidades) percorrida é D = litros consumi-
dos × rendimento.
• RA = 12 km/L (álcool), LA é a quantidade de álcool consumida 
na viagem de ida;
• RG = 15 km/L (gasolina), LG é a quantidade de gasolina consu-
mida na viagem de volta.
Como D L R L RA A G G� � � � , com a distância fixada, R e L são 
inversamente proporcionais. Temos L
D
A 12
 e L
D
G 15
 e sa-
bemos que L LA G� �18, logo, temos:
18
12 15
18
9
60
18
3
20
120
� �
�
�
�
D D
D
D
D
Portanto, a distância entre Pirajuba e Quixajuba é de 120 km.
25. (OBMEP) João vai de bicicleta ao encontro de sua namorada Maria. Para chegar 
na hora marcada, ele deve sair às 8 horas e pedalar a 10 km/h ou sair às 9 horas e 
pedalar a 15 km/h.
 A que horas é o encontro dos namorados?
a) 10 h
b) 10 h 30 min
X c) 11 h
d) 11 h 30 min
e) 12 h
Para a distância fixa, o tempo gasto é inversamente proporcional à velocidade média. Sendo t a hora do encontro, temos:
( ) ( )t t
t t
t
t
� � � � �
� � �
�
�
8 10 9 15
10 80 15 135
5 55
11
Portanto, o encontro dos namorados será às 11 horas.
29 Matemática – 8o. ano – Volume 4
Contagem e 
probabilidade
11
Princípio multiplicativo
Ao nos depararmos com um problema de contagem, se conseguirmos dividir esse problema em etapas 
independentes e se formos capazes de contar a quantidade de casos em cada etapa, podemos usar o princípio 
multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem, para contar o número total 
de casos.
Problemas que envolvem contagem podem ser 
bastante trabalhosos se precisarmos escrever todas 
as possibilidades uma a uma.
É por isso que, em muitas situações, podemos 
usar a árvore de possibilidades para facilitar a 
contagem. Veja um exemplo.
Para fazer um sanduíche, uma lanchonete dispõe 
de três tipos de recheio (hambúrguer, peito de peru 
ou vegetariano) e quatro tipos de molho (picante, 
agridoce, de ervas ou especial). Quantos sanduíches 
diferentes são possíveis de serem feitos escolhendo 
um recheio e um tipo de molho?
O esquema ao lado ilustra todas as possibilida-
des de montarmos esse sanduíche.
Veja que um sanduíche é formado por um re-
cheio e um molho. Como há três maneiras de deci-
dirmos o recheio e quatro maneiras de decidirmos 
o molho, o total de sanduíches possíveis de serem 
feitos é 3 · 4 = 12.
Graças à árvore de possibilidades, também 
podemos facilmente listar todas essas possibili-
dades, bastando seguir os diferentes caminhos 
indicados pelas setas. 
TIPOS DE MOLHOTIPOS DE RECHEIO
Peito de peru
Picante
Agridoce
De ervas
Especial
Hambúrguer
Picante
Agridoce
De ervas
Especial
Vegetariano
Picante
Agridoce
De ervas
Especial
30 Livro de atividades 
Observe a tabela que mostra todas as opções possíveis.
Recheio
Molho
Hambúrguer Peito de peru Vegetariano
Picante
 Hambúrguer com 
molho picante
Peito de peru com 
molho picante
Vegetariano com 
molho picante
Agridoce
 Hambúrguer com 
molho agridoce
 Peito de peru com 
molho agridoce
Vegetariano com 
molho agridoce
De ervas
 Hambúrguer com 
molho de ervas
 Peito de peru com 
molho de ervas
 Vegetariano com 
molho de ervas
Especial
Hambúrguer com 
molho especial
 Peito de peru com 
molho especial
 Vegetariano com 
molho especial
Em problemas que envolvem contagem, alguns deles podem ter uma restrição. Veja algumas dicas:
• Começar pelas restrições – se uma decisão do problema é mais complicada do que as outras, ela deve 
ser tomada em primeiro lugar.
• Se necessário, dividir o problema em casos menores – separar o problema em casos mais fáceis de 
resolver auxilia na contagem, pois basta somarmos as quantidades de todas as possibilidades de cada 
caso para se obter o resultado final.
Cálculo de probabilidade
Ao analisarmos um fenômeno ou realizarmos uma experiência, é possível prever o que pode acontecer se 
conseguirmos obter informações sobre o que estamos estudando. Por exemplo, ao lançarmos uma moeda ao 
alto, se soubermos a maneira como ela é lançada, a altura que ela alcança, quantos giros ela dá no ar, a forma 
com que ela toca o chão e mais informações da própria moeda, como sua massa, dimensões, densidade, etc., 
antes mesmo de jogá-la podemos saber se o resultado será cara ou coroa.
Mas seria necessária uma quantidade absurda de informação para prevermos o que vai acontecer! Quando 
não dispomos dessas informações, lançamos mão das incertezas que cercam os acontecimentos e tentamos 
reduzir em casos simples as possibilidades do resultado final. Chamamos esses fenômenos de experimentos 
aleatórios, pois não temos certeza do seu resultado.
Além de considerarmos esses casos simples, chamados de eventos, desenvolvemos uma maneira de en-
tender quando um evento tem mais chance ou menos chance de ocorrer do que outro ou quando eles têm a 
mesma chance. Esse cálculo é denominado probabilidade.
Vamos recordar alguns conceitos importantes.
O espaço amostral de um experimentoaleatório é o conjunto formado por todos os 
resultados possíveis para esse experimento. Por exemplo:
• para o lançamento de uma moeda, o espaço amostral é {cara, coroa};
• para o lançamento de um dado, o espaço amostral é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
31 Matemática – 8o. ano – Volume 4
Assim, o número de resultados possíveis é sempre a quantidade de elementos do espaço amostral. 
Quando consideramos um espaço amostral em que todos os seus elementos têm a mesma probabilidade 
de ocorrer, dizemos que ele é um espaço amostral equiprovável.
Os dois exemplos anteriores são equiprováveis (desde que a moeda e o dado não sejam viciados): no caso 
da moeda, a chance de dar cara é a mesma de dar coroa; no caso do dado, é igualmente provável sair qualquer 
um dos seis resultados possíveis.
Para calcular a probabilidade de ocorrer um evento, dividimos o número de resultados favoráveis pelo 
número de resultados possíveis.
número de resultados favoráveis
Probabilidade de um evento
número de resultados possíveis
Esse quociente gera um número entre 0 e 1 ou, em termos percentuais, um número entre 0% e 100%.
• Se um evento tem 100% de probabilidade de ocorrer, ele é chamado de evento certo.
Por exemplo, a probabilidade de tirar um número natural menor do que 7 no lançamento de um dado.
• Se um evento tem 0% de probabilidade de ocorrer, ele é chamado de evento impossível.
Por exemplo, a probabilidade de tirar coroa em uma moeda com duas caras.
Lembre-se da seguinte propriedade:
Ao obtermos as probabilidades de ocorrer cada um 
dos eventos de um espaço amostral, a soma de todas essas 
probabilidades é igual a 1 ou, na forma percentual, igual a 100%.
Para calcular a probabilidade de um evento, em alguns casos, teremos que determinar o número de casos 
favoráveis e o número de casos possíveis por problemas de contagem. Nessa hora, precisaremos utilizar nova-
mente as ideias do princípio multiplicativo.
Exemplo:
Sites de previsão do tempo indicam que a probabilidade de chuva para o próximo fim de semana é de 65%. 
Qual é a probabilidade de não chover?
Chamamos de A o evento “chuva para o próximo fim de semana”. Logo, P(A) = 65% = 0,65. A probabilidade de 
não chover é a probabilidade de não ocorrer o evento A, ou seja, P A( ). Logo, P A P A( ) ( ) , , %� � � � � �1 1 0 65 0 35 35 .
Considere um evento A. Chamando de P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A e de 
P A( ) a probabilidade de não ocorrer o evento A, ou seja, de ocorrer o evento A, temos 
que P A P A( ) ( )� �1.
Também podemos escrever: 
P A P A( ) ( )� �1 ou P(A) = 1–P(A).
O evento A é denominado complementar do evento A.
32 Livro de atividades 
Princípio multiplicativo
1. De quantos modos diferentes é possível colorir o barco ilustrado a seguir usando as cores amarela 
ou vermelha? É possível repetir as cores, e você deve pintar cada parte (o casco, a vela e a bandeira) 
com uma única cor. Com lápis de cor, pinte cada célula da tabela a seguir até se esgotarem todas as 
possibilidades.
Casco Vela Bandeira
O barco pode ser pintado de 8 maneiras diferentes.
Use o princípio multiplicativo para confirmar a resposta 
encontrada:
Amarelo Amarelo Amarelo
Amarelo Amarelo Vermelho
Amarelo Vermelho Amarelo
Amarelo Vermelho Vermelho
Vermelho Amarelo Amarelo
Vermelho Amarelo Vermelho
Vermelho Vermelho Amarelo Casco Vela Bandeira Total
Vermelho Vermelho Vermelho 2 × 2 × 2 = 8
2. Carla deseja pintar o quadro ao lado, mas ela ainda não decidiu que cores usar.
Atividades
a) Escolha quatro cores diferentes.
1ª. cor: Pessoal. 
2ª. cor: Pessoal. 
3ª. cor: Pessoal. 
4ª. cor: Pessoal. 
b) Cada parte (vaso e flores) tem que ser pintada com apenas uma cor; 
o vaso deve ter cor diferente das flores e a flor central tem que ter cor diferente das outras duas 
flores. Respeitando essas restrições, de quantas formas diferentes Carla pode pintar o quadro?
Vaso: 4 cores; flor central: 3 cores (não pode repetir a cor do vaso); flor da direita: 2 cores; flor da esquerda: 2 cores.
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 48 possibilidades.
3. Amanda, Camila, Alan e Davi formaram um time para participar de diversas competições na esco-
la. Eles definiram que o nome do time seria a sigla formada pelas iniciais dos quatro nomes, como 
ACAD.
a) Escreva todas as siglas possíveis.
ACAD, AACD, AADC, ACDA, ADAC, ADCA, CAAD, CADA, CDAA, DAAC, DACA, DCAA.
Como a inicial dos nomes de Amanda e Alan é a mesma (letra A), a sigla ACAD pode indicar tanto os nomes de Amanda, Camila, 
Alan e Davi, nessa ordem, como os nomes de Alan, Camila, Amanda e Davi. Caso os nomes tivessem 4 iniciais diferentes, teríamos 
ao todo 4 · 3 · 2 · 1 = 24 siglas.
b) Quantas são as siglas possíveis? 12 
33 Matemática – 8o. ano – Volume 4
4. No Centro de Tradições Gaúchas (CTG), em 
Pelotas, Rio Grande do Sul, há um grupo de 
dança formado por 6 homens e 7 mulheres. 
O grupo tem ensaiado para uma apresenta-
ção que ocorrerá no aniversário da cidade. 
O coreógrafo precisa organizar os pares para 
essa apresentação. Determine o número de 
pares que podem ser formados, sabendo que 
estes não podem ser compostos de pessoas 
do mesmo sexo.
Considerando-se apenas um homem, há possibilidade de 
ele formar par com 7 mulheres. Logo, como há 6 homens, 
o total de pares possíveis é 6 · 7 = 42.
5. Para os jogos escolares deste ano, Eliana ficou 
responsável pela confecção da bandeira da 
sala. Os alunos optaram por uma bandeira 
com 3 faixas coloridas: 1 vermelha, 1 azul e 
1 amarela. Coube à Eliana a decisão de como 
ficaria a disposição dessas cores.
a) De quantas maneiras Eliana pode colorir 
essa bandeira, de modo que as cores não 
se repitam?
Há 3 cores para a primeira faixa, 2 para a segunda e 
1 para a terceira. Logo, há 3 · 2 · 1 = 6 maneiras de se 
colorir a bandeira sem repetir as cores.
b) Se fosse possível que as cores se repetis-
sem, porém não em faixas lado a lado, de 
quantas maneiras Eliana poderia colorir a 
bandeira?
Há 3 cores para a primeira faixa, 2 para a segunda (pois 
não se pode colocar a mesma cor da primeira faixa 
na segunda) e 2 para a terceira, pelo mesmo motivo. 
Pode-se, no entanto, repetir a cor da primeira faixa na 
terceira, havendo, portanto, 3 · 2 · 2 = 12 maneiras de 
se colorir essa bandeira.
6. Para definir sua senha bancária, Cassiano preci-
sou escolher 6 algarismos, de 0 a 9, sem repeti-
ção e sem que o 0 ocupasse a primeira posição. 
Quantas são as combinações possíveis?
Há o total de 10 algarismos. Para a primeira posição, exis-
tem 9 possibilidades, já que o zero não pode ser utilizado. 
Para a segunda posição, também há 9 possibilidades (os 8 
algarismos possíveis e não utilizados na primeira posição 
mais o algarismo 0). Para a terceira posição, são 8 possibi-
lidades, enquanto para a quarta posição são 7 possibilida-
des. Procedendo de maneira sucessiva, temos que o total 
de combinações é igual a 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136 080.
7. Uma caixa contém bolinhas de 3 cores dife-
rentes: verde, amarela e azul. Sabe-se que, ao 
se retirar uma bolinha, sem olhar, a probabi-
lidade de sair uma bola verde é 0,5, a proba-
bilidade de sair uma bola amarela é 0,25 e a 
probabilidade de sair uma bola azul é 0,25.
 Sabendo que, na caixa, há 28 bolinhas, deter-
mine quantas há de cada cor.
Bolinhas verdes: 0,5 = 50% → 50% verdes = 0,5 · 28 = 
=14 bolinhas verdes.
Bolinhas amarelas: 0,25 = 25% → 25% amarelas = 
=0,25 · 28 = 7 bolinhas amarelas.
Bolinhas azuis: 0,25 = 25% → 25% azuis = 0,25 · 28 = 
=7 bolinhas azuis.
8. Em uma gaveta, estão 10 pares de meias: 
3 brancas, 3 pretas e 4 marrons. As meias se-
rão retiradas da gaveta no escuro, uma a uma.
a) Determine o número mínimo de retiradas 
para se garantir um par da mesma cor. 
Se forem retiradas 3 meias, pode-se ter: 1 meia bran-
ca, 1 meia preta e 1 meia marrom. Na quarta retirada, 
a meia deverá ser branca, preta ou marrom. Logo, o 
número de retiradas para que o par seja da mesma cor 
é 4.
b) Determine o número mínimo de retiradas 
para se garantir um par de cor branca. 
Na gaveta, há 6 meiasbrancas, 6 meias pretas e 
8 meias marrons. Para se encontrar, com certeza, um 
par de meias brancas, devem ser retiradas da gaveta 6 
meias pretas + 8 meias marrons + 2 meias brancas = 
= 16 meias.
34 Livro de atividades 
b) Encontre o número de comissões possíveis, 
sabendo que os cargos são iguais e sem dis-
tinção e que:
• não existe restrição à escolha dos mem-
bros.
A diferença com relação ao item anterior é que (André 
e Ana) e (Ana e André), por exemplo, representam a 
mesma comissão. Assim, temos que dividir por 2 o 
número de comissões do item anterior, isto é, 
30 ÷ 2 = 15.
• a comissão deve ser formada por um ho-
mem e uma mulher.
Para o homem, temos 3 escolhas; para a mulher, 
3 escolhas. Assim, 3 × 3 = 9.
• a comissão deve ser formada por um 
homem e uma mulher que não formam 
um casal.
Para o homem, temos 3 escolhas, mas, uma vez 
escolhido o homem, temos apenas 2 escolhas para a
mulher. Assim, 3 × 2 = 6.
12. (ENEM)
c) Qual a probabilidade de se retirar uma 
meia branca?
n E
n A
P A
n A
n E
( )
( )
( )
( )
( )
%
20
6
6
20
3
10
30
d) Qual a probabilidade de se retirar uma 
meia marrom?
n E
n A
P A
n A
n E
( )
( )
( )
( )
( )
%
20
8
8
20
4
10
40
9. De quantas maneiras podemos escolher 4 pes-
soas, de um grupo de 8 pessoas, para ocupa-
rem quatro cargos diferentes de um comitê?
Para o 1º. cargo, temos 8 pessoas para escolher; uma vez 
escolhido alguém, temos 7 pessoas para escolher para 
o 2º. cargo; uma vez escolhida, sobram 6 pessoas para o 
3º. cargo; e, para o último cargo, temos 5 escolhas, assim:
8 × 7 × 6 × 5 = 1 680 comitês diferentes.
10. André, Bárbara, Cristina e Daniel estão brin-
cando de roda. De quantas maneiras diferen-
tes essas crianças podem formar uma roda?
Vamos começar por uma das crianças, por exemplo, 
André. Temos 3 escolhas para a criança que está 
segurando a mão direita de André; digamos que seja 
Bárbara e temos 2 possibilidades de quem está segurando 
a mão direita de Bárbara; digamos que seja Cristina, então 
a criança que está faltando é Daniel, que vai segurar a mão 
direita de Cristina e a esquerda de André. Assim:
1 × 3 × 2 × 1 = 6
Portanto, as crianças podem formar uma roda de 6 ma-
neiras diferentes.
11. Uma comissão com dois membros deve ser 
escolhida de um grupo formado por 3 casais, 
assim formados: André e Ana, Bruno e Bárbara, 
Carlos e Camila. 
a) Determine o número de comissões possí-
veis se não existe restrição à escolha dos 
membros, mas um deles coordenará os 
trabalhos da comissão.
Para coordenador da comissão, temos 6 possíveis esco-
lhas. Uma vez escolhido o coordenador, para o outro 
membro temos 5 escolhas. Assim, 6 × 5 = 30.
O designer português Miguel Neiva criou 
um sistema de símbolos que permite que pes-
soas daltônicas identifiquem cores. O sistema 
consiste na utilização de símbolos que identifi-
cam as cores primárias (azul, amarelo e verme-
lho). Além disso, a justaposição de dois desses 
símbolos permite identificar cores secundárias 
(como o verde, que é o amarelo combinado 
com o azul). O preto e o branco são identifica-
dos por pequenos quadrados: o que simboliza 
o preto é cheio, enquanto o que simboliza o 
branco é vazio. Os símbolos que representam 
preto e branco também podem estar associa-
dos aos símbolos que identificam cores, signi-
ficando se estas são claras ou escuras.
Folha de São Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 
18 fev. 2012 (adaptado).
35 Matemática – 8o. ano – Volume 4
15. (OBMEP) Manuela quer pintar as quatro 
paredes de seu quarto usando as cores azul, 
rosa, verde e branco, cada parede de uma cor 
diferente. Ela não quer que as paredes azul e 
rosa fiquem de frente uma para a outra. De 
quantas maneiras diferentes ela pode pintar 
seu quarto?
a) 8
X b) 16
c) 18
d) 20
e) 24
Manuela tem 4 paredes para escolher pintar de azul;
feita a escolha, ela tem 2 paredes para escolher para
pintar de rosa (não pode ser a oposta da já pintada de
azul); resta escolher entre 2 paredes a que vai pintar
de branco; para pintar de verde, só sobrou 1 parede:
4 × 2 × 2 × 1 = 16
Assim, Manuela pode pintar seu quarto de 16 maneiras
diferentes.
16. (ENEM) Para estimular 
o raciocínio de sua filha, 
um pai fez o seguinte 
desenho e o entregou 
à criança juntamente 
com três lápis de cores 
diferentes. Ele deseja 
que a menina pinte so-
mente os círculos, de modo que aqueles que 
estejam ligados por um segmento tenham co-
res diferentes.
 De quantas maneiras diferentes a criança 
pode fazer o que o pai pediu?
a) 6
b) 12
X c) 18
d) 24
e) 72
Vamos denominar as cores por 1, 2 e 3. Para o círculo A, te-
mos 3 opções de cores. Uma vez escolhida uma cor (cor 1, 
por exemplo), temos 2 opções de cores para o círculo B (cor 
2, por exemplo) e temos 2 opções de cores para o círculo C. 
O problema é a quantidade de possibilidade de cores para o 
círculo D, pois vai depender se os círculos A e C têm ou não 
a mesma cor. Por esse motivo, vamos dividir a questão em 
dois casos.
1º. caso: se C tiver a mesma cor de A, para o círculo D teremos 
2 opções de cores: 3 × 2 × 1 × 2 = 12.
2º. caso: se C tiver cor diferente de A, para o círculo D teremos 
1 opção de cor: 3 × 2 × 1 × 1 = 6.
Portanto, a criança pode pintar os círculos de 
18 (12 + 6 = 18) maneiras diferentes.
A B
D C
 De acordo com o texto, quantas cores podem 
ser representadas pelo sistema proposto?
a) 14
b) 18
X c) 20
d) 21
e) 23
Temos 3 cores primárias {Az, Am, Vm}; 3 cores secundá-
rias {Az-Am, Az-Vm, Am-Vm}, as quais podem ter 3  to-
nalidades {normal, claro, escuro}; e o branco e o preto. 
Assim:
(3 + 3) × 3 + 2 = 18 + 2 = 20
Portanto, podem ser representadas 20 cores pelo sistema 
proposto.
13. (OBMEP) Dois casais de namorados vão sen-
tar-se em um banco de uma praça. Em quan-
tas ordens diferentes os quatro podem 
sentar-se no banco, de modo que cada namo-
rado fique ao lado de sua namorada?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
X e) 8
Olhando apenas para os casais, temos 2 maneiras de eles 
se sentarem no banco: (casal 1, casal 2) ou (casal 2, casal 1); 
para cada casal, temos 2 maneiras: (homem, mulher) ou 
(mulher, homem). Assim, temos 2 × 2 × 2 = 8.
Portanto, os quatro podem se sentar em 8 ordens diferentes.
14. (OBMEP) Gabriel comprou uma rosa, um cra-
vo e um lírio e quer dar uma flor para cada uma 
de suas três amigas. Ele sabe que uma amiga 
não gosta de cravos, ou-
tra não gosta de lírios e a 
terceira não gosta de ro-
sas. De quantas maneiras 
ele pode distribuir as flo-
res de modo a agradar às 
três amigas?
a) 1
X b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
Vamos imaginar que a 1ª. amiga não gosta de cravos, a 2ª. não 
gosta de lírios e a 3ª. não gosta de rosas. Gabriel tem duas op-
ções de flor para a 1ª. amiga: se a 1ª. amiga receber lírio, nesse 
caso só tem uma opção para a 3ª. amiga, que deve receber 
cravo, e resta rosa para a 2ª. amiga; se a 1ª. amiga receber rosa, 
nesse caso só tem uma opção para a 2ª. amiga, que deve re-
ceber cravo, e resta lírio para a 3ª. amiga.
Resumindo, há duas possibilidades: 1ª. lírio, 2ª. rosa e 3ª. cravo 
ou 1ª. rosa, 2ª. cravo e 3ª. lírio.
36 Livro de atividades 
a) 56 b) 70 c) 71 X d) 72 e) 80
Vamos imaginar que o carro rosa tenha chegado primeiro. A quantidade de vagas disponível para o carro preto, respeitando a restri-
ção, depende de qual vaga o carro rosa utilizou.
1º. caso: se o carro rosa usou uma das 2 vagas no extremo, o carro preto tem 8 opções: 2 × 8 = 16.
2º. caso: se o carro rosa usou uma das 8 vagas que não são extremos, o carro preto tem 7 vagas para escolher: 8 × 7 = 56.
Portanto, os carros podem ocupar as vagas de 72 (16 + 56 = 72) maneiras diferentes.
18. (OBMEP) Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele quer pintar cada região 
da figura de uma cor de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De 
quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?
a) 16
b) 24
c) 64
X d) 72
e) 256
Para facilitar a resolução, numeramos as regiões. Começando a pintar da região I, temos 4 opções de cores; uma vez