Módulo 10 -Geometria plana

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Geometria Plana
	
	
	MÓDULO 10
 Prof. Carlos
ESTUDO DOS TRIÂNGULOS
1. Elementos principais
· 
Lados: , e .
· 
Ângulos internos: , e .
· 
Ângulos externos: , e .
· Vértices: A, B e C.
Condições de existência: 
2. Classificação:
a) Quanto aos lados
· Equilátero: Possui os três lados congruentes.
Observação: Os ângulos internos têm as mesmas medidas.
· Isósceles: Possui dois lados congruentes.
Observação: Os ângulos internos opostos aos lados congruentes possuem a mesma medida.
· Escaleno: Possui os três lados com medidas diferentes.
Observação: Os ângulos internos possuem medidas diferentes.
b) Quanto aos ângulos
· Acutângulo: Possui os três ângulos internos agudos.
· Retângulo: Possui um ângulo interno reto.
Observação: Os dois ângulos agudos são complementares.
· Obtusângulo: Possui um ângulo interno obtuso.
Observação: Em qualquer triângulo, o maior lado se opõe o maior ângulo interno.
3. Relação entre os ângulos de um triângulo
a)	Ângulos internos
Lei Angular de Tales: 
A soma das medidas dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, ou seja, .
 
b)	Teorema do ângulo externo
A medida de qualquer ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
 
Observações:
· INCENTRO É o ponto de encontro das bissetrizes (centro da circunferência inscrita).
· BARICENTRO É o ponto de encontro das medianas (está localizado a 1/3 do lado e 2/3 do vértice).
· ORTOCENTRO É o ponto de encontro das alturas.
· CIRCUNCENTRO É o ponto de encontro das mediatrizes (centro da circunferência circunscrita).
4. Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que os ângulos correspondentes sejam dois a dois congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Essa é a definição de triângulos semelhantes. Ela impõe duas condições para existir a semelhança:
· ângulos correspondentes dois a dois congruentes;
· lados homólogos proporcionais.
Entretanto, se uma dessas condições ocorre, então a outra “automaticamente” também se verifica.
Exemplo 1: O triângulo escaleno de lados medindo 7 cm, 8 cm e 9 cm é semelhante ao triângulo, também escaleno, de lados com medidas 14 cm, 16 cm e 18cm.
Basta verificar a proporcionalidade entre os lados:
Onde K é a razão de semelhança entre os dois triângulos. Implícita está a congruência entre os ângulos correspondentes, embora nem conheçamos os seus valores.
Porém, se um triângulo apresenta como medidas de seus ângulos 50°, 60° e 70°, ele é semelhante a todos os triângulos de ângulos congruentes a esses, independentemente de conhecermos as medidas de seus lados. Podemos garantir que os lados homólogos desses triângulos são proporcionais.
Exemplo 2: Os triângulos GHI e JKL apresentados são semelhantes.
 (
L
)
 (
6
)
 (
K
)
 (
12
) (
G
)
 (
8
) (
6
)
 (
3
)
 (
I
)
 (
4
) (
H
)
 (
J
)
De fato, os lados dos triângulos são proporcionais:
Além disso, , embora não conheçamos as medidas desses ângulos.
5. Relações métricas no triângulo retângulo 
Elementos do triângulo retângulo
· 
Catetos: , .
· 
Hipotenusa: .
· 
Altura relativa à hipotenusa: .
· 
Projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa : .
· 
Projeção ortogonal do cateto sobre a hipotenusa : .
Relações métricas no triângulo retângulo
· 
· 
· 
· 
· 
· 
 (Teorema de Pitágoras)
6. Áreas de Triângulo
 
 
 
p semiperímetro
 
 
 
QUADRILÁTEROS 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
· A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360º.
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
1. Trapézios
a)	Definição:
· 
É todo quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos (). Os segmentos e são denominados, respectivamente, base menor e base maior.
Propriedade:
P.1)	 e ; e são suplementares.
b)	Classificação:
· Trapézio retângulo: Possui dois ângulos internos com medidas iguais a 90º.
· Trapézio isósceles: Possui dois lados com medidas iguais.
Propriedades:
P.1)	Os ângulos das bases são congruentes.
P.2)	As diagonais são congruentes.
P.3)	Os lados não paralelos são congruentes ().
· Trapézio escaleno: Possui os lados não paralelos com medidas diferentes.
c) Base média:
· A base média do trapézio é igual a semi-soma das bases.
2. Paralelogramos
a)	Definição
· 
É todo trapézio com os lados opostos paralelos ( e ).
Propriedades:
P.1)	Os ângulos opostos são congruentes.
P.2)	Os ângulos internos de vértices consecutivos são suplementares.
P.3)	Os lados opostos são congruentes.
P.4)	As diagonais se encontram no ponto médio.
b) Classificação:
· Retângulo: É todo paralelogramo equiângulo, ou seja, ângulos iguais. 
Propriedades:
P.1)	 Valem as propriedades do paralelogramo.
P.2)	As diagonais são congruentes.
· Losango ou rombo: É todo paralelogramo equilátero, ou seja, lados iguais.
Propriedades:
P.1)	Valem as propriedades do paralelogramo.
P.2)	As diagonais são bissetrizes e perpendiculares.
· Quadrado: É todo paralelogramo regular, ou seja, equilátero e equiângulo
Propriedades:
P.1)	Valem as propriedades do paralelogramo..
P.2)		As diagonais são congruentes, bissetrizes e perpendiculares.
3. Áreas 
· Área do quadrado 
 
 
 (
A = L
2
) 
 
· Área do retângulo
 
 (
A = b x h
)
 
· Área do paralelogramo
 (
A = b x h
)
· Área do trapézio
 
 
 
 
 
· Área do losango
CIRCUNFERÊNCIAS E CÍRCULOS
1) Definição:
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo O do plano.
2) Elementos:
· Centro: O.
· 
Raios: , , , .
· 
Diâmetro: .
· 
Cordas: , , , .
· 
Flecha: .
· Arcos: BC, AB, AC.
· 
Ângulo central: .
· 
Ângulo inscrito: .
· 
Ângulo excêntrico interior: .
· 
Ângulo excêntrico exterior: .
3) Diâmetro do Circulo: 
É a maior corda da circunferência.
4) Comprimento ou Perimetro da Circunferencia: 
5) Ângulo em graus
Quando o ângulo central α é dado em graus, podemos calcular o comprimento do arco através da fórmula abaixo:
C = α.π.r / 180º
6) Ângulo em radianos
Quando o ângulo central α é dado em radianos, podemos calcular o comprimento do arco através da seguinte fórmula:
C = α.r
7) Ângulo central
Ângulo central é o ângulo que possui o vértice no centro da circunferência.
8) Ângulo inscrito:
Ângulo inscrito é o ângulo que possui o vértice na circunferência e os lados são secantes.
9) Ângulo excêntrico interior:
Ângulo excêntrico interior é o ângulo que possui o vértice no interior da circunferência.
10) Ângulo excêntrico exterior:
Ângulo excêntrico exterior é o ângulo que possui o vértice externo à circunferência e os lados secantes a mesma.
11) Ângulo de segmento:
Ângulo de segmento é o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e um dos lados é tangente a mesma nesse ponto.
12)Ângulo circunscrito:
Ângulo circunscrito é o ângulo que possui o vértice em um ponto externo à circunferência e os lados tangentes a mesma.
POTÊNCIA DE PONTO
1) Duas cordas
 PA x PB = PC x PD
 
 
 
2) Duas secantes
 
 
 PA x PB = PC x PD
· 
3) Uma secante e uma tangente(PT)2 = PA x PB
ÁREAS
1) Área do círculo
 (
A = 
R
2
)
 
 
2) Área do Setor circular
ou
 
 = S = R, com em radianos.
3) Área da Coroa circular
4) Área do Segmento circular
 
QUADRO RESUMO DOS PRINCIPAIS POLÍGONOS REGULARES
EXERCÍCIOS
01) (EEAR 1/2019) A área de um hexágono regular inscrito em um círculo de cm de raio é _____ cm².
a) 6
b) 9
c) 12
d) 15
02) (EEAR 1/2019) Um trapézio tem 12 cm de base média e 7 cm de altura. A área desse quadrilátero é ______ cm².
a) 13
b) 19
c) 44
d) 84
03) (EEAR 1/2019) Se ABC é um triângulo retângulo em A, o valor de n é
a) 22/3
b) 16/3
c) 22
d) 16
04) (EEAR 1/2019) O segmento AT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio R = 8 cm. A potência de A em relação à circunferência é igual a ______ cm².
a) 16
b) 64
c) 192
d) 256
05) (EEAR 1/2019) Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: um circular, de raio 3m, e o outro triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência do primeiro. Considerando , para cercar totalmente esses jardins, arredondando para inteiros, serão necessários ____ metros de arame.
a) 29
b) 30
c) 35
d) 38
06) (EEAR 2/2018) Considere uma roda de 20 cm de raio que gira, completamente e sem interrupção, 20 vezes no solo. Assim 
a distância que ela percorre é ____ m.
a) 100
b) 80
c) 10
d) 8
07) (EEAR 2/2018) O triângulo ABC está inscrito na circunferência. Se BC = 8, a medida do raio é
a) 
b) 
c) 4
d) 2
08) (EEAR 2/2018) Seja ABCD um paralelogramo com AB// CD e BC// AD . Se a interseção de AC e BD é o ponto O, sempre é possível garantir que
a) AO = BO
b) AB = CB
c) DO = BO
d) AD = CD
09) (EEAR 2/2018) Seja BDEF um losango de lado medindo 24 cm, inscrito no triângulo ABC. Se BC = 60 cm, então AB = _____ cm.
a) 36
b) 40
c) 42
d) 48
10) (EEAR 2/2018) Considere o quadrilátero ABCO, de vértices A, B e C na circunferência e vértice O no centro dela. Nessas condições x mede
a) 30°
b) 45°
c) 55°
d) 60°
11) (EEAR 1/2018) Os pontos A, B, C e D estão alinhados entre si, assim como os pontos A, E e F também estão. Considerando G o ponto de interseção de FC e ED , o valor de tgα é
a) 0,2
b) 0,5
c) 2
d) 4
12) (EEAR 1/2018) Na figura, se BC = 60 cm, a medida de DE , em cm, é
a) 20
b) 24
c) 30
d) 32
13) (EEAR 1/2018) Na figura, os arcos que limitam a região sombreada são arcos de circunferências de raio R e centrados nos vértices do quadrado ABCD. Se o lado do quadrado mede 2R e considerando π = 3, então a razão entre a área sombreada e a área branca é
a) 
b) 
c) 2
d) 3
14) (EEAR 2/2017) O setor circular da figura representa a superfície lateral de um cone circular reto. Considerando π = 3, a geratriz e o raio da base do cone medem, em cm, respectivamente,
a) 5 e 2
b) 5 e 3
c) 3 e 5
d) 4 e 5
15) (EEAR 2/2017) No trapézio ACDF abaixo, considere AB = BC e DE = EF . Assim, o valor de x² é
a) 1
b) 4
c) 9
d) 16
16) (EEAR 2/2017) Se A, B, C e D são pontos da circunferência, o valor de x é múltiplo de
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
17) (EEAR 2/2017) Conforme a figura, os triângulos ABC e CDE são retângulos. Se AB = 8 cm, BC = 15 cm e CD = 5 cm, então a medida de DE , em cm, é
a) 2/5
b) 3/2
c) 8/3
d) ¼
18) (EEAR 2/2017) A malha da figura abaixo é formada por losangos cujas diagonais medem 0,50 cm e 2,00 cm. A área hachurada é de _____cm².
a) 20
b) 22
c) 23
d) 25
19) (EEAR 1/2017) Na figura, O é o centro do semicírculo de raio r = 2cm. Se A, B e C são pontos do semicírculo e vértices do triângulo isósceles, a área hachurada é _______ cm². 
(Use π = 3,14 )
a) 2,26
b) 2,28
c) 7,54
d) 7,56
20) (EEAR 1/2017) Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de AB e AC , de forma que AD = 4, DB = 8, DE = x, BC = y, e se DE // BC, então
a) y = x + 8
b) y = x + 4
c) y = 3x
d) y = 2x
21) (EEAR 1/2017) No quadrilátero ABCD, o valor de y – x é igual a
a) 2x
b) 2y
c) 
d) 
22) (EEAR 1/2017) Se ABC é um triângulo, o valor de α é
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
23) (EEAR 1/2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30°, seu lado oposto a esse ângulo mede
a) R/2
b) R
c) 2R
d) 2R/3
24) (EEAR 2/2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 8 voltas, percorrendo um total de 48m. Desprezando a largura da pista e considerando π = 3, o seu raio é, em metros, igual a
a) 0,8
b) 1,0
c) 1,2
d) 2,0
25) (EEAR 2/2016) Assinale a alternativa que representa, corretamente, a área do triângulo esboçado na figura abaixo.
a) 15 m²
b) m²
c) m²
d) m²
26) (EEAR 2/2016) Duas cordas se cruzam num ponto distinto do centro da circunferência, conforme esboço. A partir do conceito de ângulo excêntrico interior, a medida do arco x é
a) 40º
b) 70º
c) 110º
d) 120º
27) (EEAR 1/2016) Um triângulo ABC de base BC = (x + 2) tem seus lados AB e AC medindo, respectivamente, (3x - 4) e (x + 8). Sendo este triângulo isósceles, a medida da base BC é
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
28) (EEAR 1/2016) A figura abaixo ilustra um círculo com centro em O, origem do plano cartesiano, e uma reta r. considerando tal figura, a área da região sombreada corresponde a
a) 2π - 4
b) 2π - 2
c) π - 4
d) π - 2
29) (EEAR 1/2016) A figura abaixo apresenta um quadrado inscrito em um círculo de raio cm e centro O. Considerando π = 3 , a área da região hachurada é igual a _______ cm².
a) 2
b) 8
c) 16
d) 24
30) (EEAR BCT 2/2015) Um triângulo isósceles de base 10 cm e perímetro 36 cm tem _____ cm² de área.
a) 75
b) 72
c) 60
d) 58
31) (EEAR BCT 2/2015) O ponto O é o centro da circunferência da figura, que tem 3m de raio e passa pelo ponto B. Se o segmento AB forma um ângulo de 30° com o raio OA , então a medida de AB, em m, é
a) .
b) .
c) 
d) 
32) (EEAR BCT 2/2015) Na circunferência da figura, O é o seu centro e V, A e B são três de seus pontos. Se x e y são, respectivamente, as medidas dos ângulos AÔB e B Vˆ A , então sempre é correto afirmar que
a) x = 2y.
b) y = 2x.
c) x + y = 90°.
d) x - y = 90°.
33) (EEAR 2015) Na figura, A e B são pontos da circunferência e CD é seu diâmetro. Assim, o ângulo BÂC mede 
a) 20°. 
b) 30°. 
c) 50°. 
d) 60°.
34) (EEAR 2015) Um trapézio isósceles tem base maior e base menor medindo, respectivamente, 12 cm e 6 cm. Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm, então seu perímetro é ____ cm. 
a) 22 
b) 26 
c) 28 
d) 30
35) (EEAR 2015) Seja ABC um triângulo isósceles de base BC = (x+3) cm, com AB = (x+4) cm e AC = (3x–10) cm. A base de ABC mede ______ cm. 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10
36) (EEAR 2015) Na figura, ABCD é um quadrado formado por pequenos quadrados de lado x divididos por uma de suas diagonais. Assim, a área sombreada, em função de x é 
a) 
b) 
c) 5,5x² 
d) 3,5x²
37) (EEAR 2014) Em uma circunferência de raio r = 6 cm, a área de um setor circular de 30° é ____ π cm².
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
38) (EEAR 2014) A área de um losango é 24 cm². Se uma das diagonais desse losango mede 6 cm, o lado dele, em cm, mede
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 7.
39) (EEAR 2014) Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado l . A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
40) (EEAR 2014) A figura é formada por um círculo de raio R = 4 cm e três triângulos equiláteros de lados congruentes ao raio do círculo. Os triângulos têm apenas um ponto de intersecção entre si e dois vértices na circunferência. A área hachurada, em cm², é
a) .
b) .
c) .
d) .
41) (EEAR 2013) Considere o retângulo ABCD, e os pontos médios dos seus lados M, N, P e Q. Unindo esses pontos médios, conforme a figura, pode-se concluir que a área hachurada, em cm², é
a) 8
b) 4
c) 
d) 
42) (EEAR 2013) Utilizando a Potência do Ponto P em relação à circunferência dada, calcula-se que o valor de x é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
43) (EEAR 2013) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que AP e DP são bissetrizes dos ângulos internos A e D e, respectivamente, o valorde x é
a) 55°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
44) (EEAR 2012) O perímetro de um triângulo equilátero de altura h = m é ______ m.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
45) (EEAR 2012) Num triângulo RST a medida do ângulo interno R é 68° e do ângulo externo S é 105°. Então o ângulo interno T mede
a) 52°.
b) 45°.
c) 37°.
d) 30°.
46) (EEAR 2012) Um trapézio de bases x + 3 e 4x – 3, tem base média 2x + 2. A menor base mede
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
47) (EEAR 2012) Na figura, PT é tangente, em T, à circunferência de centro O e raio 6 m. Sabendo que P está situado a 10 m de O, então PT = _____ m.
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
48) (EEAR 2/2011) Um polígono convexo ABCD é tal que apenas dois de seus lados são paralelos entre si e os outros dois lados são congruentes. Dessa forma, pode-se dizer que ABCD é um
a) losango.
b) paralelogramo.
c) trapézio isósceles.
d) trapézio retângulo.
49) (EEAR 2/2011) Considere a figura composta de três círculos concêntricos de raios medindo, respectivamente, 5 cm, 4 cm e 3 cm. A área, em cm², da parte hachurada é
a) 9π.
b) 16π.
c) 18π.
d) 24π.
50) (EEAR 2/2011) Um quadrado e um triângulo equilátero estão inscritos em uma circunferência de raio R. A razão entre as medidas dos apótemas do quadrado e do triângulo é
a) 2.
b) 3.
c) 
d) 
51) (EEAR 1/2011) Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma pessoa percorrerá 2198m. Considerando π = 3,14, a medida, em metros, do diâmetro desse jardim é
a) 70.
b) 65.
c) 58.
d) 52.
52) (EEAR 1/2011) Na figura, O é o centro da circunferência e PA é tangente a ela, em P. Se PÂO = 30° e OA =cm, então a medida do raio da circunferência, em cm, é
a)
b) 
c) 
d) 
53) (EEAR 1/2011) Os números que expressam as medidas, em cm ou em cm², do lado, da superfície e do perímetro de um quadrado, dados nessa ordem, formam uma PA. O lado desse quadrado, em cm, mede
a) 
b) 
c) 
d) 
54) (EEAR 1/2011)Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então a + b – c é igual a
a) 150°.
b) 120°.
c) 100°.
d) 90°.
55) (EEAR 1/2011) Na figura, AB e CD são cordas tais que AP = 2PB, CD = 10 cm, e . A medida de AB , em cm, é
a) 
b) 
c) 
d) 
56) (EEAR 1/2011) Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4 cm cada um. Se os triângulos ABC e DCE são equiláteros, a área do triângulo BDE é
a) 
b) 
c) 
d) 
57) (EEAR 2/2010) Se o triângulo CDE é semelhante ao triângulo ABC, o valor de é
a) 30°.
b) 45°.
c) 60°.
d) 90°.
58) (EEAR 2/2010) Quando dadas em cm, as medidas dos lados do trapézio ABCD são expressas por números consecutivos. Assim, o valor de x é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
59) (EEAR 2/2010) Na figura, AH é altura do triângulo ABC. Assim, o valor de x é
a) 20°.
b) 15°.
c) 10°.
d) 5°.
60) (EEAR 2/2010) Um setor circular, cujo arco mede 15 cm, tem 30 cm² de área. A medida do raio desse setor, em cm, é
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
61) (EEAR 1/2010) Um ângulo central α determina, em uma circunferência de raio r, um arco de comprimento. A medida desse ângulo é
a) 150º.
b) 120º.
c) 100º.
d) 80º.
62) (EEAR 1/2010) Seja um retângulo de comprimento c e largura . Aumentando-se o comprimento em 1/10 do seu valor, para que a área não se altere, a sua largura deverá ser igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
63) (EEAR 1/2010) Os lados de um triângulo obtusângulo medem 3 m, 5 m e 7 m. A medida da projeção do menor dos lados sobre a reta que contém o lado de 5 m é, em m,
a) 2,5.
b) 1,5.
c) 2.
d) 1.
64) (EEAR 1/2010) Na figura, PA é tangente à circunferência em A, e B é ponto médio de PC . A medida de PC , em cm, é
a) 
b) 
c) 16
d) 20
GABARITO 
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	D
	B
	D
	C
	D
	D
	A
	C
	B
	D
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	B
	B
	D
	A
	B
	B
	C
	C
	B
	C
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	C
	B
	B
	B
	A
	B
	C
	D
	A
	C
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	B
	B
	A
	C
	D
	B
	A
	B
	B
	D
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
	B
	D
	B
	D
	C
	A
	D
	C
	C
	A
	51
	52
	53
	54
	55
	56
	57
	58
	59
	60
	A
	C
	A
	B
	A
	C
	A
	C
	C
	A
	61
	62
	63
	64
	B
	B
	B
	C
	
	- 2 -
	
	
$
C
$
$
$
$
A
D
B
C
+
=
+
=
ì
í
ï
î
ï
180
180
o
o
AB
CD
º
AC
2
b
B
Bm
+
=
AB
DC
AD
BC
BC
(
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2
h
b
B
A
·
+
=
2
d
D
A
·
=
OA
OF
OE
OH
FH
$
A
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O
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$
E
G
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$
F
J
C
$
$
B
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D
2
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r
C
.
2
p
=
$
C
0
2
360
.
a
p
·
=
R
A
setor
A
R
r
COROA
=
-
p
.
(
)
2
2
TRIÂNGULO
SETOR
SEG
A
A
A
-
=
6
3
14
,
3
=
p
$
e
A
p
2
4
2
2
2
1
3
1
$
e
B
x
2
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2
2
30
3
15
3
30
2
2
$
e
C
3
6
3
3
2
6
2
3
2
²
15
x
2
²
13
x
3
12
6
-
p
3
6
16
-
p
3
8
12
-
p
3
12
16
-
p
2
4
2
2
3
î
í
ì
-
>
+
<
c
b
a
c
b
a
3
2
2
3
3
12
3
8
2
8
3
6
2
6
2
5
3
5
4
3
2
3
3
2
PD
CP
=
3
6
3
7
2
8
2
9
3
4
3
8
$
$
$
A
B
C
+
+
=
180
o
3
10
b
a
-
3
.
.
2
r
p
=
l
l
l
10
1
l
11
10
l
11
9
l
10
9
2
12
2
14
C
B
A
ˆ
ˆ
ˆ
+
=
)
semelhança
 
de
 
razões
(
2
1
k
12
6
8
4
6
3
=
=
=
=
J
ˆ
 
 
I
ˆ
 
e
 
K
ˆ
 
 
H
ˆ
 
L
ˆ
 
G
ˆ
º
º
º
AB
AC
BC
AH
BH
AC
CH
h
m
n
2
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.
a
h
b
c
.
.
=
b
n
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2
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.
c
m
a
2
=
.
n
m
a
+
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a
b
c
2
2
2
=
+
2
h
b
A
·
=
2
c
b
a
p
+
+
=
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p
A
-
-
-
=
2
ˆ
A
sen
c
b
A
·
·
=
AB
AB
DC
$
A
$
D
$
B