18 Campo Magnético Estacionário

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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 18: Campo Magnético Estacionário
• Experimento de Oersted : “corrente produzem campos magnéticos”
Introdução
• Fontes de um campo magnético: - Imã permanente;
- Campo elétrico variante no tempo;
- Corrente contínua.
AULA 18: Campo Magnético Estacionário
Campo Magnético Estacionário
Eletromagnetismo
Introdução
Elemento de corrente
• Condutor filamentar: Simetria cilíndrica com raio
tendendo a zero.
• Correntes elétricas sobre um condutor produzem
campo magnético (𝑯).
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Eletromagnetismo
• O direcionamento da corrente elétrica é normal
(𝟗𝟎°) ao plano formado pelo campo magnético,
sendo definido pelo versor 𝒂𝒏.
𝑯
𝑯
• O sentido do vetor 𝒅𝒍 é definido pelo sentido da
corrente no condutor.
• A intensidade de campos magnéticos H: não depende do meio.
• Densidade de fluxo magnético B: cada meio ou material,
possui uma permeabilidade 𝜇 natural que facilita ou dificulta
a concentração das linhas de campo.
Vetores:
Eletromagnetismo
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✓ Determinação da direção do campo magnético:
É feito pela regra da mão direita.
• Fluxo do campo magnético 𝚽𝒎 : depende da área de
distribuição do campo.
𝚽𝒎 = 𝑩 × 𝑨 = 𝑩. 𝑨. 𝒄𝒐𝒔𝜽
✓ Relação entre B e H: 𝑩 = 𝝁𝑯
𝐼
𝑧
Relação entre H e B
O campo de forças associados a H é a densidade de fluxo magnético B, que é dada por: 𝑩 = 𝝁𝑯 (𝑻)
𝝁 = 𝝁𝟎𝝁𝒓 É a permeabilidade do meio
É a permeabilidade do vácuo e vale 𝟒𝝅 × 𝟏𝟎−𝟕 Henry por metro (H/m). 𝝁𝟎
É a permeabilidade relativa do meio.𝝁𝒓
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𝜇𝑟 =
𝜇
𝜇0
A unidade de H é (A/m) 
Lei de Biot-Savart
“Um elemento diferencial de corrente Idl produz um elemento
diferencial de vetor densidade de campo magnético (B), dado por dH”.
𝑑𝐇 =
𝐼𝑑𝑙 × 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
ൗ𝐴 𝑚
O campo varia inversamente com o
quadrado da distância e não depende
do meio.
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- A orientação de dH é dada pelo produto vetorial I dl × 𝒂𝑹 e obtida
pela regra do parafuso.
- O sentido de R é tomado a partir do elemento de corrente para o
ponto onde o campo dH deve ser calculado.
𝐼𝑑𝑙
𝑎𝑅
𝑑𝐇
É uma Lei experimental, não havendo dedução. É uma equação do
eletromagnetismo, para determinar o valor e o sentido do campo
magnético produzido por uma corrente elétrica constante no tempo.
- O elemento dH é infinitesimal e tangencial ou normal à linha de
campo em volta do condutor, tendo várias contribuições ao redor do
condutor.
- Somando todas as contribuições de dH obtêm-se:
ර𝑑𝐇 = ර
𝐼𝑑𝑙 × 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
ൗ𝐴 𝑚
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Forma integral da lei de Biot-Savart
𝑑𝐇
𝑑𝐇
𝐼
𝑧
Lei circuital de Ampère
A integral de linha da componente tangencial do vetor intensidade de campo
magnético H em torno de um caminho fechado é igual à corrente líquida envolvida
(𝑰𝒆𝒏𝒗), ou enlaçada pelo caminho.
Para poder ser utilizada a lei de Ampère na determinação de H, deve haver um
considerável grau de simetria no problema.
• Em cada ponto do percurso fechado, H deve ser tangencial ou normal ao percurso.
• |H| tem o mesmo valor em todos os pontos do percurso em que H é tangencial.
A lei de Ampére é válida somente para correntes constantes.
Duas condições devem ser atendidas:
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EXEMPLO 1– Use a lei de Ampère para obter (a) H devido a um filamento de
corrente I retilíneo e infinitamente longo. (b) Qual será a magnitude do campo
magnético devido à corrente no filamento a uma distância do filamento?
Considere que o filamento esteja no vácuo.
(a) A lei de Biot-Savart mostra que, em cada ponto do círculo na figura, H é
tangencial e possui módulo constante. Então, aplicando a lei de Ampère:
Solução:
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𝐻. 𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣
𝐻. (2𝜋𝑟)= 𝐼
ൗ𝐴 𝑚𝐻 =
𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅
(b) Magnitude com campo magnético:
𝐵 = 𝜇𝐻 𝐵 = 𝜇
𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅ 𝐵 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅ (𝑇)
EXEMPLO 2 – Um condutor cilíndrico tubular fino de raio “r” e extensão infinita
conduz uma corrente I. Calcule H para todos os pontos usando a lei de Ampère.
Solução:
Pela lei de Biot-Savart H possui apenas a componente ф, e Hф é função apenas de r.
Logo, para os dois percursos indicados na figura, tem-se:
Lei de Ampère para o percurso 1:
Lei de Ampère para o percurso 2:
Para os pontos internos:
(não há corrente, pois trata-se de tubo). 
Para os pontos externos: ൗ𝐴 𝑚
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𝐼
EXEMPLO 3 – Determine H em qualquer ponto interno e externo, para um condutor cilíndrico sólido
de raio “a”, onde a corrente 𝐼 está uniformemente distribuída através da seção circular.
Solução:
Pontos internos (percurso 1) ao condutor: r < a
Pontos externos (percurso 2) ao condutor: r > a
Aplicando a lei de Ampère ao percurso fechado 1:
(𝐼 percorre um percentual da área)
(𝐼 percorre 100% da área, ou seja, é total)
𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 3: 𝑆 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑎𝑟𝑎 1,
assim com S’ (raio r) está para 𝑥. Logo, 𝑥 =
𝜋𝑟2
𝜋𝑎2
r
a 2
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EXEMPLO 4 – Determine H no eixo de uma espira circular de corrente I e raio a,
particularizando o resultado para o centro da espira.
Solução:
𝑑𝐇 =
𝐼𝑑𝑙 × 𝑎𝑅
4𝜋𝑅2
ൗ𝐴 𝑚Lei de Biot-Savart
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(0,0, ℎ)
(𝑎, 0,0)
R
0, 0, 0
0, 0, ℎ
𝑎, 0, 0
Vetor R e seu módulo em coord. cilíndricas:
Versor 𝑎𝑅:
Determinação de 𝑑𝑙 e montagem da
equação:
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Então:
Solução (Cont.):
𝑎𝑟 𝑎∅ 𝑎𝑧
0 𝐼𝑎𝑑∅ 0
𝑎𝑟 𝑎∅ 𝑎𝑧
0 𝐼𝑎𝑑∅ 0
−𝑎 0 ℎ = 𝑎𝑟 . 𝐼𝑎𝑑∅. ℎ − (−𝑎. 𝑖𝑎𝑑∅. 𝑎𝑧)
= 𝐼𝑎𝑑∅. ℎ. (ℎ𝑎𝑟 + 𝑎𝑎𝑧)
Em h=0: 
Integrando 𝑑𝐻, resulta:
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Campo Magnético EstacionárioSolução (Cont.):
O produto 𝑰𝒂𝒅∅. 𝒉𝒂𝒓 é igual a zero,
pois os elementos de corrente
diametralmente opostos produzidos
pelos elementos radiais se cancelam.
Logo, ∅ não varia com 𝑅. Portanto,
sobra 𝑰𝒂𝒅∅. 𝒂𝒂𝒛 que é igual a
𝑰𝒂𝟐𝒅∅. 𝒂𝒂𝒛
𝑑𝐻 =
𝐼𝑎2𝑑∅𝑎𝑧
4𝜋 𝑎2 + ℎ2 Τ3 2
Logo:
ൗ𝐴 𝑚 ൗ
𝐴
𝑚
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Solução (Cont.):
Alternativamente, para o centro da espira (h = 0),
pode-se determinar H pela lei de Ampère:
Neste ponto (0) os
campos H se somam,
tomando a direção
𝒂𝒛.
0
𝐼𝑑𝑙
𝐼𝑑𝑙
𝐼𝑑𝑙
𝐻
𝐻
𝐻
𝐻
Em relação ao centro da espira, 𝑰𝒅𝒍 varia de 0 a
2𝜋, e a corrente total vale:
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = න
0
2𝜋
𝐼𝑑𝑙 = 2𝜋. 𝐼
𝐻. 2𝜋𝑎 + 𝐻. 2𝜋𝑎 = 2𝜋. 𝐼
𝐻 =
𝐼
2𝑎
𝐻 =
𝐼
2𝑎
𝑎𝑧∴
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EXEMPLO –Um topógrafo está usando uma bússola a 6 m abaixo de uma linha de transmissão na qual existe
uma corrente constante de 120 A. Pergunta-se:
(a) Qual é o campo magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão?
(b) Isso irá interferir seriamente na leitura da bússola? (considere que a componente do campo magnético
da terra no local é de 20𝜇𝑇).
Solução: 
𝐵 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅
(a)
𝐵 =
(4𝜋 × 10−7) (120)
(2𝜋)(6)
𝐵 = 4𝜇𝑇
𝐵 = 𝜇𝐻 𝐵 = 𝜇
𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅𝐻 =
𝐼
2𝜋𝑟
𝑎∅
(b) O valor de 4𝜇𝑇 é 20% da magnitude do campo
terrestre. Portanto, irá afetar a leitura da bússola.
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Motivação histórica
CURIOSIDADES – LEI DE BIOT-SAVART
Já no século XVII havia, dentroda comunidade científica, a suspeita de que fenômenos elétricos e
magnéticos pudessem estar interligados. Isso motivou o físico Hans Christian Oersted a conduzir
experimentos para observar o efeito da eletricidade numa agulha magnética. Entre 1819 e 1820,
Oersted observou que ao se posicionar um fio condutor de um circuito elétrico fechado
paralelamente à agulha, essa sofria uma deflexão significativa em relação à sua direção inicial.
Oersted publicou os resultados de seu experimento em julho de 1820, limitando-se a uma descrição
qualitativa do fenômeno.
A descoberta de Oersted foi divulgada em setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou
diversos estudiosos na França a repetirem e estenderem seus experimentos. A primeira análise
precisa do fenômeno foi publicada pelos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os quais
conseguiram formular uma lei que descrevia matematicamente o campo magnético produzido por
uma distribuição de corrente elétrica.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_Oersted
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%A9lix_Savart
Assuntos da próxima aula:
Continuação da aula 18: Campos Magnéticos Estacionários
Rotacional