16 Materiais Dielétricos e Capacitância

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CCE0159- Teoria Eletromagnética 1
Aula 16: Materiais Dielétricos e Capacitância
Dielétricos
Dielétricos são substâncias não condutoras (ausência de elétrons livres) e que possuem poucas cargas
disponíveis para condução.
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P - Qual o comportamento do dielétrico quando colocadas em uma região de campo elétrico?
• O campo elétrico externo polariza as moléculas apolares (não se encontram polarizadas) no sentido oposto ao
campo e consequentemente tanto as moléculas apolares como polares se orientam, isto é, são polarizadas.
R – Há um processo de polarização, com redução do campo elétrico.
• A polarização produz então um grande dipolo, que é o somatório de todos os dipolos atômicos ou moleculares,
capaz de reduzir o campo elétrico.
• Se o dielétrico não puder suportar o campo elétrico externo, os elétrons poderão ser separados, produzindo a
ionização das moléculas, fazendo com que o dielétrico se torne um condutor. Esse processo é chamado de ruptura
do dielétrico.
✓ O exemplo mais interessante de ruptura dielétrica é a formação de raios das descargas atmosféricas.
A tabela ao lista um número de dielétricos com suas
permissividades relativas e suas tensões de ruptura .
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✓ Cada substância que forma um dielétrico é
caracterizada pelo máximo campo elétrico que pode
suportar 𝑬𝒎𝒂𝒙, antes da ruptura, ao qual se dá o
nome de rigidez dielétrica.
EXEMPLO 1 – Suponha que um par de placas de um capacitor, preenchida com mica, deva suportar uma ddp de 6 kV.
Queremos trazer as placas tão próximas quanto pudermos sendo uma camada de separação de mica, sem ruptura do
dielétrico. Pede-se determinar a distância mínima de espessura do dielétrico, para que não haja seu rompimento.
Solução:
𝐸 =
𝑉
𝑑
𝑑 = 30 μm
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200MV/m =
6 𝑘𝑉
𝑑
𝑉 = 𝐸 . 𝑑
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Condições de fronteira (ou contorno) na interface entre dois dielétricos
O objetivo é analisar o comportamento dos campos na fronteira entre um par de dielétricos.
Para dois dielétricos de características diferentes, são
estabelecidas duas condições de fronteira para interfaces
dielétrico-dielétrico:
(1ª Condição) A componente tangencial E é contínua
através da interface entre os dois dielétricos.
𝐸𝑡1
𝐸𝑡2
Fronteira
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(2ª Condição) A componente normal de D é descontínua através
da interface entre os dielétricos, sendo valor de tal
descontinuidade dado por |𝝆𝒔|.
➢ Havendo carga livre na fronteira, e escolhendo o versor para o
dielétrico 2:
𝐷𝑛1
𝐷𝑛2
Fronteira
➢ Não havendo cargas livre na interface (𝜌𝑠 = 0):
𝜌𝑠
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𝑡𝑔𝜃1
𝑡𝑔𝜃2
=
𝜖𝑟1
𝜖𝑟2
Se há incidência de campo elétrico entre os meios, formando ângulo com o eixo normal à superfície, então é
valida a relação:
𝑚𝑒𝑖𝑜 1
𝑚𝑒𝑖𝑜 2
𝜖𝑟2
𝜖𝑟1 𝜃1
𝜃2
𝐸2
𝐸1
𝜖𝑟1
𝑁
𝜃1
𝜖𝑟2
𝜃2
𝑡𝑔𝜃1 =
𝜖𝑟1
𝑁
𝑡𝑔𝜃2 =
𝜖𝑟2
𝑁
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Exemplo: Um campo elétrico com intensidade de 15,0 kV/m oriundo de um dielétrico com constante dielétrica igual a
12, meio 1, incide na fronteira com um dielétrico cuja constante dielétrica é igual a 1, meio 2, formando um ângulo de
30° com a normal à fronteira entre os dois meios. Determine: (a) o campo elétrico tangencial no meio 2; (b) o ângulo
que o campo elétrico resultante no meio 2 faz com a normal.
𝑚𝑒𝑖𝑜 1
𝑚𝑒𝑖𝑜 2
𝜖𝑟2 = 1
𝜖𝑟1 = 12 𝜃1 = 30°
𝐸𝑡1 = 𝐸𝑡2
𝐸𝑡1 = 𝐸𝑡2 = 15 × 𝑠𝑒𝑛30° = 7,5 𝑘𝑉/𝑚
𝐸1 = 15 𝑘𝑉/𝑚
𝜃2 =?
𝐸2
𝑡𝑔𝜃1
𝑡𝑔𝜃2
=
𝜖𝑟1
𝜖𝑟2
𝑡𝑔30
𝑡𝑔𝜃2
=
12
1
𝑡𝑔𝜃2 = 0,048
𝜃2 = 2,7°
(𝑎) (𝑏)
Solução:
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Condições de fronteira (ou contorno) entre um dielétrico e um bom condutor
Usando as condições de fronteira pra um par de dielétricos:
Não existe componente tangencial de campo elétrico
na fronteira de um bom condutor. Num bom condutor,
como 𝐸 = 0 , a primeira condição de contorno se
torna:
𝐸𝑡1 = 0
Para a segunda condição de contorno, a densidade de
fluxo também é zero dentro do condutor, então:
𝐷𝑛 = 𝜌𝑠
Capacitância (C)
Aplicando uma ddp a um par de condutores separados por
um dielétrico (capacitor de placas planas).
A carga positiva (+Q) se acumulará na superfície da base
da placa superior e quantidade igual de carga negativa (-Q)
se acumulará na superfície do topo da placa inferior,
formando uma distribuição de cargas nas placas.
Observação: Sobre as placas, as densidades de carga são
uniformes. Sendo A a área entre as placas, então:
𝐷𝑛 = ±𝜌𝑆 = ±
𝑄
𝐴
= ±
𝐶𝑉
𝐴
Os sinais ± dão a direção de 𝐷𝑛.
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A quantidade de carga que se acumula como função da
ddp aplicada é chamada capacitância (C).
Onde Q é a carga na placa;
V é a ddp entre as placas superior e inferior.
A unidade de capacitância é o farad (F), definido como um Coulomb por volt.
1 farad (F) = 1 (C / V)
𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹)
Portanto, capacitância pode ser definido como a capacidade de um capacitor de armazenar energia.
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Um dispositivo usado para armazenar carga e, consequentemente energia elétrica, é conhecido como capacitor.
±
𝑄
𝐴
= ±
𝐶𝑉
𝐴
Capacitância (C) (Cont.)
A capacitância depende apenas da geometria do sistema e das
propriedades do(s) dielétrico(s) envolvido(s). Isso pode ser
verificado pela situação a seguir:
Conforme a figura, a carga total +Q no condutor 1 e a carga –Q no
condutor 2 criam um fluxo elétrico, estabelecendo os campos D e E.
• O que acontece com os campo D e E se dobrarmos as cargas?
• O que acontece com a capacitância?
Os campo D e E também são dobrados e, consequentemente,
também é dobrada DDP entre os condutores. Portanto, a razão Q/V
se mantém fixa.
Logo, a capacitância é constante para um mesmo material dielétrico.
Resposta:
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7.3 – Cálculo da Capacitância
• Determinação da capacitância entre duas placa paralelas
• Determinação da capacitância em um capacitor esférico
• Determinação da capacitância em um capacitor cilíndrico
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Será desprezando os efeitos de dispersão do fluxo nas bordas.
Sobre as placas, as densidades de carga são uniformes:
𝐷𝑛 = ±𝜌𝑆 = ±
𝑄
𝐴
= ±
𝐶𝑉
𝐴
Determinação da capacitância entre duas placa paralelas
Entre as placas, D é uniforme e aponta de +𝜌𝑠 para −𝜌𝑠, (direção −𝑎𝑧)
Então: 𝐷 =
𝑄
𝐴
(−𝑎𝑧) → 𝐸 =
𝑄
𝜖0. 𝜖𝑟 𝐴
(−𝑎𝑧)
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A é a área de cada placa e d é a 
distância entre elas.
𝝆𝒔
−𝝆𝒔
O potencial da placa superior em relação à placa inferior é:
𝑉𝑎𝑏 = −න
𝑏
𝑎
𝐸. 𝑑𝑙
Determinação da capacitância entre duas placa paralelas (Cont.)
➢ A capacitância entre duas placas paralelas será:
𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹) 𝐶 =
𝑄
𝑄𝑑
𝜖0. 𝜖𝑟 𝐴
𝐶 =
𝜖0. 𝜖𝑟 𝐴
𝑑
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A é a área de cada placa e d é a 
distância entre elas.
∴
𝑟𝑖 = 𝑎
𝑟𝑒 = 𝑏
𝑟𝑖
𝑟𝑒
Determinaçãoda capacitância em um capacitor esférico
𝐸 =
𝑘𝑄
𝑟2
Onde: 𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
A ddp entre as placas é dada por:
𝑉𝑎𝑏 = −න
𝑏
𝑎
𝐸. 𝑑𝑟
A capacitância é: 𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹) 𝐶 =
𝑄
𝑘𝑄
1
𝑎
−
1
𝑏
𝐶 =
𝑎𝑏
𝑘 𝑏 − 𝑎
(𝐹)
Lei de Gauss: ර𝐷. 𝑑𝑠 = 𝑄𝑒𝑛𝑣
𝐸. 𝜖0. 4𝜋𝑟
2 = 𝑄
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= −𝑘𝑄න
𝑏
𝑎 𝑑𝑟
𝑟2
= +𝑘𝑄
1
𝑟
𝑎
𝑏
= 𝑘𝑄
1
𝑎
−
1
𝑏
∴
𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹) 𝑉𝑎𝑏 = −න
𝑏
𝑎
𝐸. 𝑑𝑟
𝐶 =
𝑎𝑏
𝑘 𝑏 − 𝑎
Uma extensão deste exemplo é o cálculo da capacitância
de uma esfera condutora isolada com raio a.
O potencial de uma esfera carregada é
A capacitância pode ser calculada obtendo-se o limite da
capacitância do condutor esférico quando 𝑏 → ∞
𝐶 =
𝑄
𝑘𝑄
1
𝑎
−
1
𝑏
=
1
𝑘
1
𝑎
−
1
∞
𝐶 = 4𝜋𝜖0𝑅
Determinação da capacitância em um capacitor esférico (Cont.)
𝑉𝑎𝑏 = 𝑘𝑄
1
𝑎
−
1
𝑏
𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹)
𝑟𝑖 = 𝑎
𝑟𝑒 = 𝑏
𝑟𝑖
𝑟𝑒
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⟹ Curiosidade: com esta expressão é que foi calculada a
capacitância média da terra. Raio médio da terra = 6.371 km.
Determinação da capacitância em um capacitor cilíndrico
O capacitor cilíndrico é formado por duas superfícies cilíndricas
coaxiais de raios a e b, de comprimento L contendo cargas +Q e –Q.
O fluxo do campo elétrico entre as superfícies cilíndricas, pela lei de
Gauss é
ර𝐷. 𝑑𝑆 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 ර𝐸. 𝑑𝑆 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖0
𝐸. 2𝜋𝑟𝐿 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖0
𝐸 =
2𝑘𝑄
𝐿𝑟
𝑉𝑎𝑏 = −න
𝑏
𝑎
𝐸. 𝑑𝑟 = −
2𝑘𝑄
𝐿
න
𝑏
𝑎 𝑑𝑟
𝑟
= −
2𝑘𝑄
𝐿
𝑙𝑛 𝑟
𝑎
𝑏
= −
2𝑘𝑄
𝐿
ln 𝑎 − ln 𝑏 =
2𝑘𝑄
𝐿
ln 𝑏 − ln 𝑎 =
2𝑘𝑄
𝐿
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
𝐶 =
𝑄
𝑉
(𝐹) 𝐶 =
𝐿
2𝑘𝑙𝑛
𝑏
𝑎
𝐸 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖02𝜋𝑟𝐿
𝐸 =
𝑄𝑒𝑛𝑣 × 2
𝜖02𝜋𝑟𝐿 × 2
𝐸 =
2𝑄
𝜖04𝜋𝑟𝐿
𝐶 =
𝑄
2𝑘𝑄
𝐿
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
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Onde: 𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
Exercício
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Dois condutores cilíndricos coaxiais, cujo condutor interno possui raio ‘a’ e o condutor externo raio ‘b’, formam um
cabo coaxial, dividido em duas seções, como mostrado na figura. A primeira seção é preenchida com um dielétrico
de permissividade relativa 𝜖𝑟, enquanto o segundo é preenchido pelo ar (𝜖0 = 8,854 × 10
−12 Τ𝐹 𝑚 ). Calcule a
capacitância equivalente do cabo por unidade de comprimento, considerando a os espaçadores indicados na figura.
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Na região do cabo preenchido
pelo dielétrico:
𝐶𝑑 =
2𝜋𝜖𝐿
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
=
2𝜋𝜖0𝜖𝑟𝑦
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
Na região do cabo preenchido
pelo ar:
𝐶𝑎𝑟 =
2𝜋𝜖0𝐿
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
=
2𝜋𝜖0(𝑙 − 𝑦)
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
Capacitância equivalente:
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑑 + 𝐶𝑎𝑟
𝐶𝑒𝑞 =
2𝜋𝜖0
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
𝜖𝑟𝑦 + (𝑙 − 𝑦)
Não faz sentido os condutores estarem em série. Os
condutores, interno e externo, estão em paralelo pois se
aplicarmos uma tensão V0 entre as partes condutoras,
essa tensão será a mesma em todo o cabo.
Solução:
𝐶 =
𝐿
2𝑘𝑙𝑛
𝑏
𝑎
=
2𝜋𝜖𝐿
𝑙𝑛
𝑏
𝑎
Onde: 𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
A capacitância para um cabo coaxial é:
𝜖𝑟 =
𝜖
𝜖0
𝜖 = 𝜖0.. 𝜖𝑟
Assuntos da próxima aula:
Continuação de Materiais Elétricos e Capacitância