estatistica exercicios A3

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Introdução
Nesta unidade, utilizaremos os resultados da estatística descritiva, apoiados com a teoria básica das probabilidades para estudar algumas distribuições de probabilidade.
As distribuições de probabilidade estão presentes em diversas aplicações do nosso dia a dia, como na realização de experimentos simples (como lançamento de um dado) e em exemplos mais complexos (como implantar um sistema de controle da qualidade em uma linha de produção industrial).
Neste momento, concentraremos nossa atenção para as distribuições discretas, focando nas Distribuições Binomial e de Poisson. Em outra oportunidade, trabalharemos com a distribuição contínua mais estudada no mundo: a distribuição Normal.
Bons estudos!
Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade
Variáveis aleatórias são variáveis que assumem valores numéricos para cada resultado de um experimento. Ainda, para ser classificada como aleatória, a variável deve ser associada a valores determinados pelo acaso.
Para ilustrar o conceito de variável aleatória, considere o lançamento simultâneo de dois dados. A tabela seguinte representa a combinação de possibilidades de resultados do experimento. 
Tabela 3.1 - Possíveis resultados no lançamento de dois dados
Fonte: Elaborada pelo autor.
Uma possível variável aleatória para esse experimento seria contar quantas vezes sai o número 5 nesse lançamento:
Variável aleatória:
X: número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados.
Observe que existem 3 possibilidades de valores para a variável aleatória X:
Para cada variável aleatória, podemos relacionar uma distribuição de probabilidade, que consiste em uma associação na qual, para cada valor da V.A., associamos a sua probabilidade de ocorrência .
No exemplo do lançamento dos dados, para o caso da variável aleatória que definimos, a distribuição de probabilidade é dada por
	           
xi
	          
Pi
	       
x1=0
	p1=2536
	       
x2=1
	p2=1036
	       
x3=2
	p3=136
Tabela 3.2 - Distribuição de probabilidade para a variável aleatória X
Fonte: Elaborada pelo autor.
Toda variável aleatória que possui uma quantidade enumerável de valores possíveis (xi) é classificada como discreta. Por exemplo, no caso da variável aleatória de contagem do resultado 5 no lançamento do dado, temos um conjunto de três possibilidades (0, 1 e 2). Logo, esse é um exemplo de variável aleatória discreta.
Considere, agora, a quantidade de litros de óleo diesel produzidos em uma indústria. Observe que as possibilidades de resultados para essa V.A. não se restringem a números inteiros (0 litros, 1 litro, 2 litros, 3 litros,..., n litros,...), podendo assumir qualquer valor real positivo, por exemplo, 3,816 litros. Nesse caso, estamos tratando de uma variável aleatória contínua.
Como já mencionado, esta unidade será destinada para as variáveis discretas. Em outra oportunidade, você conhecerá mais sobre as variáveis contínuas.
Histogramas de Distribuição de Probabilidade Discreta
Um histograma é um gráfico de barras que associa cada classe a uma frequência, podendo ser uma frequência absoluta ou relativa.
Para o caso das distribuições de probabilidade, o histograma terá cada classe representando os possíveis resultados da variável aleatória. O eixo vertical indicará a probabilidade de ocorrência de cada classe.
O histograma a seguir representa a distribuição de probabilidade da variável aleatória X já mencionada anteriormente (número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados).
Figura 3.1 - Histograma da distribuição de probabilidade da V.A X
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como estamos trabalhando com probabilidades, duas características comuns a todas as distribuições podem ser observadas no histograma anterior:Medidas de Tendência Central para Variáveis Aleatórias Discretas
De modo análogo à forma que as medidas de média, variância e desvio-padrão, podemos associar tais valores a cada variável aleatória. Ou seja, para cada experimento, podemos definir várias variáveis aleatórias que, por sua vez, para cada V.A. será associada a uma distribuição de probabilidades que, assim terá uma média, uma variância e um desvio-padrão.
Figura 3.2 - Média, variância e desvio-padrão de uma variável aleatória discreta
Fonte: Elaborada pelo autor.
A tabela seguinte
e contém a relação de fórmulas utilizadas para o cálculo dessas medidas de tendência central e dispersão.
Tabela 3.3 - Medidas de tendência central e dispersão de uma variável aleatória discreta
Fonte: Elaborada pelo autor.
No exemplo da variável aleatória X (número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados), teremos as seguintes medidas.
Vamos Praticar
A tabela a seguir corresponde à variável aleatória X que corresponde ao número de banheiros em uma residência brasileira em dezembro de 2019.
	                                           
xx
	                             
P(x)P(x)
	0
	0,01
	1
	0,29
	2
	0,53
	3
	0,17
Tabela 3.4 - Distribuição de probabilidade do número de banheiros em casas brasileiras
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir dos dados da tabela, assinale a alternativa que corresponde ao número médio de banheiros no Brasil em dezembro de 2019.
Distribuição de Probabilidade Binomial
Agora que você já conhece as características gerais de uma variável aleatória discreta e sua distribuição de probabilidade, vamos nos concentrar no estudo de uma V.A. específica que gera uma distribuição de probabilidade muito utilizada em problemas do dia a dia de qualquer profissional da área de exatas: a distribuição Binomial.
Conceito
Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos:
1. O experimento tem um número finito de tentativas.
2. As tentativas devem ser independentes (o resultado de qualquer tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas).
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (em geral, chamadas de sucesso e fracasso).
4. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as tentativas (TRIOLA, 2013, p. 180).
Para exemplificar, voltemos ao exemplo da distribuição X já trabalhada na seção anterior (número de vezes que sai o número 5 no lançamento de dois dados). Observe que nesse caso temos satisfeitos os quatro requisitos da definição de probabilidade binomial:
1. O lançamento de dois dados pode ser interpretado como dois (número finito) lançamentos.
2. O resultado do primeiro lançamento do dado não interfere no resultado do segundo lançamento, por isso são classificados como independentes.
3. Cada lançamento pode resultar em um sucesso (sair 5) ou em um fracasso (sair um número diferente de 5).
4. A probabilidade de sair 5 é sempre igual a em cada um dos lançamentos.
Em qualquer distribuição binomial, a probabilidade de ocorrência de sucessos em um conjunto de tentativas pode ser calculada a partir da expressão seguinte:
Parte superior do formulário
Parte inferior do formulário