Geometria - Caderno 03

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
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Conceitos trigonométricos básicos 1
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Conceitos trigonométricos básicos
 CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS BÁSICOS 
1 Conceitos trigonométricos básicos . . . . . . . . . . . . . . 4
Arcos e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Unidades para medir arcos de 
circunferência (ou ângulos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Circunferência unitária ou 
circunferência trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Arcos côngruos (ou congruentes) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Determinação de quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A ideia de seno, cosseno e 
tangente de um número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Valores notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Redução ao 1o quadrante da 1a volta positiva . . . . . . . 16
Trabalhando com arcos côngruos . . . . . . . . . . . . . . . . 21
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2118816 (PR)
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Um indício histórico do conhecimento do conceito de 
ângulo é a construção do monumento megalítico Stonehenge, 
entre 2500 e 2000 a.C., na Inglaterra. É o mais conhecido 
dos círculos de pedras britânicos e parece ter sido projeta-
do para a observação de fenômenos astronômicos, como 
os solstícios de verão e de inverno e os eclipses.
MÓDULO
Conceitos
trigonométricos básicos
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
Em quais unidades podemos medir arcos e 
ângulos? É possível estabelecer relações trigo-
nométricas para qualquer ângulo ou só para 
ângulos agudos?
www.ser.com.br
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4 Conceitos trigonométricos básicos
CAPÍTULO
Objetivos:
c Explorar e aplicar 
a circunferência 
trigonométrica, 
identificando ângulo, 
arcos e propriedades 
relacionadas.
c Identificar seno, 
cosseno e tangente 
na circunferência 
trigonométrica.
1
Conceitos
trigonométricos básicos
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Os ângulos aparecem nos registros da Grécia antiga associados ao estudo dos elementos de um 
círculo, relacionados com arcos e cordas.
Hipsicles (século III a.C.) foi um dos primeiros astrônomos gregos a dividir o círculo em 360 partes 
iguais, mas não há evidência científica para a escolha desse número. A hipótese mais provável é a de 
ter havido influência do sistema de numeração de base sexagesimal (base 60), utilizado na Babilônia.
A Trigonometria, como seu nome sugere, é o estudo das medidas envolvidas no triângulo. Seu 
propósito inicial é, portanto, a resolução de triângulos. Você já conhece as relações entre os ângulos 
e os lados de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas. Agora, vamos iniciar um estudo 
mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais recente da Matemática. Nesse 
novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e precisamos esta-
belecer um novo “ambiente” para a Trigonometria: a circunferência unitária ou o círculo unitário 
(também chamado circunferência trigonométrica), estendendo, assim, os conceitos das razões 
trigonométricas para ângulos maiores do que 180°.
 ARCOS E ÂNGULOS
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana:
 Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos, incluindo-os. Se 
os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma volta.
O
A
B
O
A ; B
← Arco )AB
 Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subtende.
O
D
C
Arco: )CD
Ângulo central: C BOD
O
B
A Arco: )AB
Ângulo central: ABOB
 Comprimento da circunferência de raio r: C 5 2pr.
 Comprimento e medida de arco: a medida de um arco é a medida do ângulo central que o 
subtende, independentemente do raio da circunferência que contém o arco. Usam-se ge-
ralmente unidades como o grau e o radiano para medir arcos. O comprimento do arco é a 
medida linear do arco, sendo usadas unidades como “metro”, “centimetro”, etc.
 Relação entre o comprimento , e a medida a (em graus) do arco:
360
2 r, pois r
360
5
a
? p 5
a
,
,
Considere cinco circunferências 
concêntricas de raios diferentes 
e um mesmo ângulo central sub-
tendendo arcos em todas elas. 
Os cinco arcos terão a mesma 
medida? E terão o mesmo com-
primento?
PARA
REFLETIR
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Conceitos trigonométricos básicos
 UNIDADES PARA MEDIR ARCOS DE 
CIRCUNFERÊNCIA (OU ÂNGULOS)
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência (ou ângulos) são o grau e o 
radiano.
 Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, cada uma dessas partes 
é um arco de um grau (1°).
Considere o arco )AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:
O
A
B
Arco )AB de 90°
(um quarto de volta)
O
AB
Arco )AB de 180°
(meia-volta)
O
A
B
Arco )AB de 270°
(três quartos de volta)
O
A ; B
Arco )AB de 360° ou 0°
(uma volta ou nulo)
 Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento retificado é igual ao raio da 
circunferência. Isso deve ser interpretado da seguinte forma: se temos um ângulo central de medida 
1 radiano, então ele subtende um arco de medida 1 radiano (lembre-se de que a medida do arco é 
igual à medida do ângulo) e comprimento de raio 1. Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, 
então ele subtende um arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios. Se temos um ângulo 
central de medida x radianos, então ele subtende um arco de medida x radianos e comprimento 
de x raios. Assim, , 5 xr se a medida x do arco for dada em radianos.
Relação entre as unidades para medir arcos
Como cada arco de comprimento , 5 r tem medida de 1 rad, podemos afirmar que o arco 
correspondente à circunferência, cujo comprimento é 2pr, tem medida 2p rad.
a) 
A ; B
)AB: arco de 360° ou
arco de 2p rad
c) 
AB
)AB: arco de 180° 360°
2




 ou
arco de p rad 2
2
radp


b) 
A
B
)AB: arco de 90° 360°
4


 

 ou 
arco de 
2
p rad 2
4
radp


d) 
A
B
)AB: arco de 270° 3
4
de 360°


 ou 
arco de 3
2
p rad 3
4
de 2 rad

p
O
A
B
r
Comprimento do arco )AB 5
5 comprimento de zOA (r)
ou m()AB) 5 1 rad
“Esticando” o arco )AB, a medida 
do segmento obtido será igual à 
do raio. Use o transferidor e veri-
fique, aproximadamente, a quan-
tos graus corresponde 1 radiano.
Observe que é mais simples res-
ponder à pergunta “qual é o com-
primento de um arco de 2 radia-
nos numa circunferência de raio 
10 cm?” do que à pergunta “qual 
é o comprimento de um arco de 
30° numa circunferência de raio 
10 cm?”. 
PARA
REFLETIR
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6 Conceitos trigonométricos básicos
Observação:
Considerando que um arco de 180° mede p rad, podemos fazer a conversão de unidades usando 
uma regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as conversões entre grau 
e radiano mentalmente, sem recorrer à regra de três. Esse procedimento é muito simples se observar que:
 90° é 1
2
 de 180°; logo, é 1
2
 de p rad ⇒ 90° 5 
2
p rad
 60° é 1
3
 de 180°; logo, é 
1
3
 de p rad ⇒ 60° 5 
3
p rad 
 30°é 1
6
 de 180°; logo, é 1
6
 de p rad ⇒ 30° 5 
6
p rad 
 45° é 1
4
 de 180°; logo, é 1
4
 de p rad ⇒ 45° 5 
4
p rad
Você pode memorizar essas relações para agilizar as conversões.
Veja mais uma: 120° é o dobro de 60°; logo, 120° 5 2 ? 
3
prad 5 
4
prad.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Converta 30° em radianos.
RESOLUÇÃO:
grau radiano
180 p 180180
3030 x
6x x
6
rad
6
1
p
5 p 5
p⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒180⇒ ⇒180⇒ ⇒5⇒ ⇒p⇒ ⇒ ⇒
30 x
Portanto, 30° 5 
6
p rad.
Outro modo de resolver:
30 180°
6
rad
6 6
rad5 55 5 p 5 p
2 Escreva 3
4
p em graus.
RESOLUÇÃO:
grau radiano
180 p 180
x 3
4
180
x
4
3
pp
pp
5⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒180⇒ ⇒5⇒ ⇒p⇒ ⇒ ⇒
x
3
4
p
⇒ 4x 5 540 ⇒ x 5 135
Logo, 3
4
radp 5 135°.
Outra resolução:
p
5
?
5 55 5
3
4
rad 3 180°
4
540°
4
135°
3 Converta 
p5
16
 rad em graus.
RESOLUÇÃO:
grau radiano
180 p
x
 
5
16
p
⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒⇒ ⇒180⇒ ⇒180⇒ ⇒
x 5
16
180
x
16
5
⇒ ⇒5⇒ ⇒pp
pp
5 ⇒ 
⇒ 16x 5 900 ⇒ x 5 56,25
Como x 5 56,25, devemos transformar a fração do grau
0,25 ou )14 em minutos:
0,25 ? 60' 5 15' ou 1
4
 de 60' 5 15' 
Então, x 5 56°15', ou seja, 5
16
p rad 5 56°15'.
4 Transforme:
a) 1 rad em graus;
b) 1 grau em radianos.
RESOLUÇÃO:
a) 
180
x 1
5
p ⇒ px 5 180 ⇒ x 5 .
180
x
180
3,14
 . 57,3° ou 
57°18'
 Portanto, 1 rad . 57°18'.
b) 
180
1 x
5
p ⇒ 180x 5 p ⇒ x 5 .
180
3,14
180
p  . 0,017 rad
 Logo, 1° . 0,017 rad.
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Conceitos trigonométricos básicos
Observação:
Como 2p rad 5 360°, os valores que aparecem arredonda-
dos são:
 1 rad 5 


 



180
p
° . 57°17'44,8" 
 1° 5 
180
p rad . 0,01745 rad 
5 Transforme em radianos ou em graus sem usar regra de três:
a) 120°
b) 225°
c) 15°
d) 90°
e) 7
6
p
f ) 
4
3
p
RESOLUÇÃO:
a) 120° 5 2 ? 60° 5 2 ? 
3
2
3
p
5
p 
b) 225° 5 5 ? 45° 5 5 ? 
4
5
4
p
5
p 
c) 15° 5 1
2
 ? 30° 5 1
2 6 12
?
p
5
p 
d) 90° 5 1
2
 ? 180° 5 
1
2 12
? p 5
p
 
e) 
7
6
p 5 7 ? 30° 5 210° 
f ) 
4
3
p 5 4 ? 60° 5 240°
Observação:
Quando a unidade não está indicada, subentende-se que é o 
radiano. Por exemplo:
7
6
p significa p7
6
rad
6 Qual é a medida, em radianos, de um arco de 20 cm de com-
primento contido numa circunferência de raio 8 cm?
RESOLUÇÃO:
, 5 20 cm; r 5 8 cm
r
20
8
2,5 rad
ou 8 cm
1rad
20 cm
x
x 20 rad
8
2,5 rad
a 5 5 55 5
5 55 5x5 5 5
,
⇒5 5⇒5 5 
7 O ponteiro dos minutos de um relógio mede 10 cm. Qual é a 
distância que sua extremidade percorre em 30 minutos?
RESOLUÇÃO:
12
6
39
8
7
4
5
10 2
11 1
Em 30 minutos, o ponteiro percorre 1
2
 da circunferência, isto 
é, 180°. 
Logo, a 5 180° 5 p rad.
Como o percurso é dado por , 5 a ? r, temos:
, 5 10p . 10 ? 3,14 5 31,4 cm
Então, a distância percorrida é de aproximadamente 31,4 cm.
PARA CONSTRUIR
1 (Vunesp) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm 
de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
12
6
3
2
4
1
5
9
10
8
11
7
a b
Usando a aproximação p 5 3, a medida, em cm, do arco 
externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo 
formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário 
mostrado, vale aproximadamente: b
a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20.
Cada minuto do relógio corresponde a 6°; portanto: 
a 5 60° 1 6° 5 60°
Partindo da ideia de que, enquanto o ponteiro dos minutos se 
desloca 60 min, o ponteiro das horas se desloca 30°, temos:
60 min 30°
54 min b
Logo, b 5 27°; portanto, o arco pedido mede 66° 1 27° 5 93°.
Calculando, em centimetros, o comprimento do arco de 93°, temos:
? p ?93° 2 20
360°
 5 31 cm
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8 Conceitos trigonométricos básicos
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 5
2 (Udesc) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, 
é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ângulo inter-
no formado entre os ponteiros das horas e dos minutos desse 
relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos, é: e
a) 
12
p . b) 
36
p . c) 
6
p . d) 
18
p . e) p
3
.
Considere a figura:
3
4
u
a
A cada 5 minutos corresponde um ângulo de 5
360°
12
30°. Logo, 
u 1 a 5 30°, sendo a o resultado pedido.
Por outro lado, como o ângulo u corresponde ao desloca-
mento do ponteiro das horas, em 20 minutos, segue que 
20 min 30°
60 min
10°.
?
5
Desse modo, 10 1 a 5 30 ⇔ a 5 20 5 
p
9
rad..
3 (Mack-SP) A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono re-
gular inscrito na circunferência de raio 5. Então, a soma dos 
comprimentos de todos os arcos da figura é: b
AF
BE
CD
a) 30. b) 30p. c) 15. d) 15p. e) 6p. 
Sendo O o centro da circunferência, a soma dos comprimentos de 
todos os arcos é:
6 ? m()AB) 1 12 ? m()OA) 5 6 ? 
p
3
 ? 5 1 12 ? 
p
3
 ? 5 5
5 2 ? p ? 5 1 4 ? p ? 5 5 10p 1 20p 5 30p
 CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA OU CIRCUNFERÊNCIA 
TRIGONOMÉTRICA
Denomina-se circunferência unitária (ou circunferência trigonométrica) a circunferência 
orientada cujo raio tem 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário.
1
Sentido positivo
Sentido negativo
À circunferência unitária de centro O vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos arcos.
1
A(1, 0)A'
B'
B
y
xO
Por que dizemos circunferência 
orientada?
PARA
REFLETIR
Os pontos B, A' e B' correspon-
dem a quais pares ordenados?
PARA
REFLETIR
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Conceitos trigonométricos básicos
Normalmente, as pessoas respondem a essa pergunta dizendo o seguinte: nas definições dadas para tangente e secante (bem como nas 
definições de seno e de cosseno), figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r 5 1, as fórmulas se simplificarão bastante.
Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r 5 1 corresponde a escolher o (comprimento do) raio 
como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém 
inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, não faz mal convencionar r 5 1.
No fundo, o que ocorre é que na Geometria euclidiana, embora haja uma unidade natural para medir ângulo (o radiano), não há uma unidade 
de comprimento que possa ser escolhida de modo canônico, isto é, independentemente de escolhas arbitrárias. Isso contrasta com a geometria 
hiperbólica (de Lobatchevski e Bolyai), na qual existe uma medida natural para os comprimentos, e, portanto, para áreas e volumes.
LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática. Rio de Janeiro: IMPA – Instituto de Matemática Pura e Aplicada; 
Vitae – Apoio à cultura, educação e promoção social, 1991. p. 188. Adaptado.
POR QUE A CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA TEM RAIO 1?
 ARCOS CÔNGRUOS (OU CONGRUENTES)
Toda vez que o ponto da circunferência, extremo do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para 
dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2p), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruen-
tes. É conveniente notar que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2p, que é 
o comprimento de cada volta.
B
A
Ao número 
3
p está associa-
do o ponto B.
B
A
Ao número p 1 p
3
2 tam-
bém está associado o ponto B.
B
A
Ao número 
3
p 1 2 ? 2p está as-
sociado o mesmo ponto B.
 Na primeira figura, o ponto deslocou-se 
3
p ou 60° de A até B.
 Na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2p ou 360°) e mais 
3
p ou 60°; ou seja, 
deslocou-se 7
3
p ou 420°.
 Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2 ? 2p ou 2 ? 360°) e mais 
3
p ou 60°, 
ou seja, 13
3
p ou 780°.
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do 
arco )AB seria escrito assim:
3
p
 1 k ? 2p ou 60° 1 k ? 360°, comk [ Z O que acontece quando k é ne-
gativo?
PARA
REFLETIR
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10 Conceitos trigonométricos básicos
Podemos, então, definir:
Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas medidas 
diferem de um múltiplo de 2p rad ou 360°.
Exemplos:
1o) 30° e 30° 1 360° ou 
6
e
6
2p p 1 p são côngruos.
2o) 45° e 45° 1 2 ? 360° ou 
4
e
4
2 2p p 1 ? p são côngruos.
3o) 60° e 60° 2 3 ? 360° ou 
3
e
3
3 2p p 2 ? p são côngruos.
Nesse último exemplo, o sinal negativo significa que as três voltas completas foram dadas no 
sentido horário. Dizemos, nesse caso, que:
60° 2 3 ? 360° 5 21 020 ou 17
3
2
p são arcos negativos. 
De modo geral:
 Se um arco mede a (em graus), os arcos côngruos a ela podem ser dados pela expressão 
a 1 k ? 360° (em graus), com k [ Z.
 Se um arco mede x radianos, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão x 1 k ? 2p 
ou x 1 2kp, com k [ Z.
 Como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos 
que o arco da 1a volta positiva (entre 0 e 2p ou 0° e 360°), associado a um ponto de circunferência, 
é a 1a determinação de qualquer arco côngruo associado ao mesmo ponto.
 DETERMINAÇÃO DE QUADRANTES
Os eixos x e y dividem a circunferência unitária em quatro partes congruentes chamadas 
quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A no sentido positivo.
A' A
B'
B
y
x
90°
180°
270°
360°O
0°
2º- 1º-
3º- 4º-
 
A' A
B'
B
y
xO
2º- 1º-
3º- 4º-
p
2
3p
2
p 2p
Para determinar em que quadrante se encontra um arco, basta saber em que quadrante está 
sua 1a determinação. Para isso, basta reduzir cada arco à 1a determinação e, depois, verificar o valor 
do arco de acordo com os pontos iniciais e finais de cada quadrante:
 1o quadrante: 1a determinação entre 0° e 90° ou 0 e 
2
p rad;
 2o quadrante: 1a determinação entre 90° e 180° ou 
2
p e p rad;
 3o quadrante: 1a determinação entre 180° e 270° ou p e 3
2
p rad;
 4o quadrante: 1a determinação entre 270° e 360° ou 3
2
p e 2p rad.
Com relação ao 1o exemplo, po-
demos afirmar que são côngruos: 
30° e 390° ou 
6
e 13
6
p p13p p . E com 
relação ao 2o e ao 3o exemplos?
PARA
REFLETIR
Os pontos A, B, A' e B' são pon-
tos dos eixos e por isso não são 
considerados pontos dos qua-
drantes.
Para todo ponto (x, y) pertencente 
à circunferência unitária, temos 
21 < x < 1 e 21 < y < 1.
PARA
REFLETIR
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Conceitos trigonométricos básicos
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
8 Determine o menor arco não negativo côngruo ao arco de 
1 320°, ou seja, a 1a determinação do arco de 1 320°. Descubra 
também a que quadrante pertence o arco. 
RESOLUÇÃO:
Devemos obter o menor valor não negativo de a, tal que 
a 1 k ? 360° 5 1 320°, com k [ Z.
Então:
1 320 360
240 3 → 1 320° 5 240° 1 360° ? 3
Logo, o arco côngruo é 240°.
Observe ainda que k 5 3 representa o número de voltas 
completas dadas. Além disso, como 180° , 240° , 270°, en-
tão 1 320° pertence ao 3o quadrante.
Dizemos que 240° é a 1a determinação de 1 320° ou que 
1 320° foi reduzido à 1a volta.
9 Determine o quadrante de cada arco, além de representar a 
expressão geral dos arcos côngruos:
a) 21 640° 
b) 
p37
3
rad 
RESOLUÇÃO:
É importante salientar que, para localizar o quadrante e en-
contrar a expressão geral dos arcos côngruos, é necessário 
achar a 1a determinação positiva.
a) 1 640 360
200 4
1640° 200° 4 360°
200° 160° 360°









2 512 5640°2 5 2 22002 2° 42 2° 4 ?
2 52002 5 2
→
 Notamos que 90° , 160° , 180° (2o quadrante). Como 
21 640° é côngruo de 160°, ele está no 2o quadrante.
 A expressão geral dos arcos côngruos é:
 160° 1 k ? 360°, com k [ Z
b) Retirando-se um número inteiro de voltas completas, en-
contraremos a 1a determinação positiva.
 Então:
 
37
3
6
3 3
36
3 3
6 2p 5 p 1 p 5 p 1 p 5 p 1 ?6 21 ?6 2p
 O número de voltas é 6 e a 1a determinação é p
3
rad, então 
a expressão geral dos arcos côngruos é 
3
p 1 2kp, com 
k [ Z; além disso, 0 , 
3
p , 
2
p , portanto, p
3
rad pertence 
ao 1o quadrante.
10 Represente na circunferência unitária as extremidades dos 
arcos dados, em rad, pela expressão x 5 
3
p 1 kp, com k [ Z.
RESOLUÇÃO:
 para k 5 0 ⇒ x 5 
3
p ; 
 para 5 5 p 1 p 5 p⇒5 5⇒5 5k 15 5k 15 5x5 5x5 5
3
4
3
;
 para k 5 2 ⇒ x 5 
3
p 1 2p côngruos de
3




 



p
.
 Para os demais valores de k, obtemos:
 arcos côngruos de 
3
p (com extremidades em P
1
);
 arcos côngruos de 
3
p 1 p (com extremidades em P
2
).
A' A
O
B'
B
y
x
P
1
P
2
[ ]
p
3
[ ]
4p
3
11 Encontre a expressão que representa todos os arcos côn-
gruos aos indicados na figura:
180°
60°
300°
y
x
RESOLUÇÃO:
Observe que os três ângulos dividem o círculo em todos os 
arcos a partir de um deles, de preferência partes iguais a 120°; 
então, podemos representar o menor aumentando 120°; 
portanto, a expressão é 60° 1 k ? 120°, com k [ Z.
a k
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12 Conceitos trigonométricos básicos
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 6 a 8
PARA CONSTRUIR
4 Escreva a expressão geral dos arcos congruentes a: 
(Sugestão: determine primeiro o menor arco não negativo 
côngruo ao arco dado.)
a) 800° 
800 360
80 2
a 5 80° 1 k ? 360°, com k [ Z 
b) 420°
420 360
60 1
a 5 60° 1 k ? 360°, com k [ Z
c) 1 640°
1 640 360
200 4
a 5 200° 1 k ? 360°, com k [ Z
d) 
p9
4
rad 
p
2 p 5
p 2 p
5
p9
4
2
9 8
4 4
a 5 
p
4
 1 2kp, com k [ Z
e) 
p19
3
rad 
19
3
2
19 6
3
13
3
13
3
2
13 6
3
7
3
7
3
2
7 6
3 3
rad
p
2 p 5
p 2 p
5
p
p
2 p 5
p 2 p
5
p
p
2 p 5
p 2 p
5
p
a 5 
p
3
 1 2kp, com k [ Z
f ) 
p33
5
rad 
33
5
2
33 10
5
23
5
23
5
2
23 10
5
13
5
13
5
2
13 10
5
3
5
rad
p
2 p 5
p 2 p
5
p
p
2 p 5
p 2 p
5
p
p
2 p 5
p 2 p
5
p
a 5 
p3
5
 1 2kp, com k [ Z
5 Considerando a origem em A, represente, na circunferência 
unitária, a outra extremidade dos arcos dados, em radianos, 
pela expressão (com k [ Z):
a) x
4
k5 p 1 p 
B
O
B'
5p
4
A
A'
y
x
p
4
b) x 2
3
k5 p 1 p 
B
O
B'
5p
3
A
A'
y
x
2p
3
c) x
3
2k5 p 1 p 
B
O
B'
A
A'
y
x
2
p
3
d) x
3
k
2
5
p
1 ?
p 
B
O
B'
A
A'
y
x
5p
6
p
3
4p
3
11p
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Conceitos trigonométricos básicos
 A IDEIA DE SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM 
NÚMERO REAL
Ao estudarmos trigonometria no triângulo retângulo, os valores sen a, cos a e tg a foram 
definidos apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 , a , 
2
p , com a indicando a medida do 
ângulo em radianos.
Para esses valores de a foram demonstradas duas importantes relações:
sen2 a 1 cos2 a 5 1 e tg a 5 
sen
cos
a
a
 
Depois, os valores de sen a, cos a e tg a foram estendidos para a 5 0 (ângulo nulo), a 5 
2
p 
(ângulo reto) e 
2
p , a , p (ângulos obtusos), a fim de possibilitar a resolução de triângulos quais-
quer, mas sem a justificativa desses valores.
Agora, vamos estender a noção de sen a, cos a e tg a para todos os valores reais de a.
Consideremos P(x, y) um ponto da circunferência trigonométrica, ponto final do arco de 
medida a rad, definido a partir do número real a. Nessas condições, definimos:
O (1, 0)
0 ; 2p
1
cos a
a
y
x
p
 2
3p
2
sen a
P(cos a, sen a)
p
 
sen a 5 ordenada de P
cos a 5 abscissa de P
tg sen
cos
; cos 0a 5 a
a
a ±
Apesar de a definição de seno e de cosseno na circunferência trigonométrica necessitar do arco 
em radianos – por causa da associação com os números reais –, não há problema em se referir aos 
valores dos ângulos em graus. Então, agora podemos pensar em seno e cosseno de arcos (ou ângulos) 
maiores que 90°, algo impensávelquando se trabalhava com triângulos retângulos. Também podemos 
pensar em senos e cossenos de ângulos negativos.
Geometricamente, o cos x é a abscissa de P e o sen x é a ordenada de P.
Vejamos, agora, o significado geométrico de tg x. Para isso, vamos considerar na circunferência 
trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto A, com a mesma orientação do eixo y. 
Observe as figuras com P em cada um dos quadrantes:
y
xO
B
P T
R
B'
A'
A
t
A' x
y
O
P
R
B
B'
T
A
t
T
A'
y
x
O
P
R
B
B'
t
A
T
t
A'
y
x
O
P
R
B
B'
A
Em todos os casos, nORP e nOAT são semelhantes. Dessa semelhança, vem: 
PR
OR
AT
OA
ou sen x
cos x
AT
1
5 5
Como sen x
cos x
tg x e AT
1
AT5 5 , então temos tg x 5 AT, ou seja, geometricamente, a tg x é a 
medida algébrica de wAT.
 OBSERVAÇÕES
Observe que a definição de seno, 
cosseno e tangente coincide com 
aquela dada para ângulos agudos, 
pois, como todos os pontos da cir-
cunferência trigonométrica estão à 
distância 1 da origem, pela relação de 
Pitágoras, temos:
sen2 a 1 cos2 a 5 1
Assim, essa definição, estendida 
agora para qualquer número real, 
mantém as relações fundamentais.
Observe também que tg a não 
é definida para 
2
a 5
p
 e 
3
2
a 5
p
,
em que cos a 5 0.
Dessa forma, ao associar um nú-
mero real a a um arco da circunfe-
rência, estamos associando o núme-
ro real ao ponto P, cuja abscissa é o 
cosseno de a e cuja ordenada é o 
seno de a.
Justifique que nORP , nOAT.
Medida algébrica de AT significa 
que ela pode ser positiva, negati-
va ou nula.
PARA
REFLETIR
21_2119656_SER_EM_MAT_GEOM_CAD3_C01_AL_PR.indd 13 12/19/14 10:21 AM
14 Conceitos trigonométricos básicos
Se T é o encontro das retas OP e t, no caso de essas retas serem paralelas, não existe wAT e, 
por isso, não existe tg x.
Por exemplo, tg
2
e tg 3
2
p p
 não existem veja que cos
2
0 e cos 3
2
0p 5 p 5

 .
Como a reta t é orientada “para cima”: o ponto T (encontro de OP com t) é positivo quando P 
é do 1o ou do 3o quadrante; é negativo quando P é do 2o ou do 4o quadrante. Assim, sabemos o sinal 
da tangente em qualquer quadrante.
 VALORES NOTÁVEIS
Valores notáveis do seno
Considerando x a medida de um arco )AP, os valores de sen x são chamados valores notáveis 
quando x
6
, x
4
, x
3
, x 0, x
2
, x , x 3
2
ou x 2 .5 p 5 p 5 p 5 5 p 5 p 5 p 5 p
São iguais os valores de 

São iguais os valores de 


















p p
2
psen
6
, sen 13p p13p p
6
e sen 5
6
.
PARA
REFLETIR
O
0p
2p
1
2
P
p
2
3p
2
y
x
p
6
] [ 
sen
6
1
2
p
5
x
6
(30°)5 p
 
O
p
2p
2
P
p
2
3p
2
y
x
 2
p
4
] [ 
sen
4
2
2
p
5
x
4
(45°)5 p
p
3
] [ 
O
p
2p
2
P
p
2
3p
2
y
x
3
x
3
(60°)5 p
sen
3
3
2
p
5
O
y
x
A ; P
sen 0 5 0
x 5 0 (0°)
sen
2
1p 5
x
2
(90°)5 p
O
1
y
x
B ; P
A
O
y
x
A' ; P A
sen p 5 0
x 5 p (180°)
O
y
x
B' ; P
A
21
x 3
2
(270°)5 p
sen 3
2
1p 5 2
O
y
x
A ; P
sen 2p 5 0
x 5 2p (360°)
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Conceitos trigonométricos básicos
Valores notáveis do cosseno
y
xO 3
2
p
6
] [ P
x
6
(30°)5 p
cos
6
3
2
p
5
y
xO 2
2
p
4
] [ P
x
4
(45°)5 p
cos
4
2
2
p
5
y
xO 1
2
p
3
] [ P
x
3
(60°)5 p
cos
3
1
2
p
5
y
xO
1 P ; A
cos 0 5 1
x 5 0 (0°)
y
xO
P ; B
A
x
2
(90°)5 p
cos
2
0p 5
y
xO
21
P ; A'
A
cos p 5 21
x 5 p (180°)
y
xO
P ; B'
A
x 3
2
(270°)5 p
cos 3
2
0p 5
y
xO
P ; A1
cos 2p 5 1
x 5 2p (360°)
Valores notáveis da tangente
O
p
P
p
2
3p
2
2p
3
y
x
p
6
] [ 
t
3
x
6
(30°)5 p
p
5tg
6
3
3
O
1
p
P
p
2
3p
2
2p
y
x
p
4
] [ 
t
x
4
(45°)5 p
tg
4
1p 5
O
p
P
p
2
3p
2
2p
y
x
p
3
] [ 
t
3 x
3
(60°)5 p
tg
3
3p 5
y
xO
B
B'
A'
t
P ; A
tg 0 5 0
x 5 0 (0°)
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16 Conceitos trigonométricos básicos
y
xO
t
P ; B
A
B'
A'
x
2
(90°)5 p
Não é definida a tg
2
.p
y
xO
t
P ; B'
AA'
B x 3
2
(270°)5 p
Não é definida a tg 3
2
.p
y
xO
t
P ; A' A
B
B'
tg p 5 0
x 5 p (180°)
y
xO
t
P ; AA'
B'
B
tg 2p 5 0
x 5 2p (360°)
Tabela com valores notáveis de seno, cosseno e tangente
Valores notáveis
x sen x cos x tg x
0 0 1 0
6
p
(30°)
1
2
3
2
3
3
4
p
(45°) 2
2
2
2
1
3
p
(60°) 3
2
1
2
3
2
p
(90°) 1 0 ∃
p (180°) 0 21 0
3
2
p
 (270°) 21 0 ∃
2p (30°) 0 1 0
 REDUÇÃO AO 1o QUADRANTE DA 1a VOLTA POSITIVA
Seno e cosseno, como coordenadas de um ponto, têm sinais que dependem do quadrante em 
que se encontram, conforme o diagrama abaixo.
y
x
(1, 1)(2, 1)
(1, 2)(2, 2)
Lembre-se:
cos a: abscissa de P
sen a: ordenada de P
a 5
a
a
tg sen
cos
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Conceitos trigonométricos básicos
O A
a
p 2 a
y
x
P P'
sen a 5 sen (p 2 a)
O A
a
p 2 a
y
x
P P'
cos a 5 2cos (p 2 a)
xO A
a
p2a
y t
P'P
tg a 5 2tg (p 2 a)
 Se o arco é do 1o quadrante, o cosseno é positivo, o seno é positivo e a tangente é positiva.
 Se o arco é do 2o quadrante, o cosseno é negativo, o seno é positivo e a tangente é negativa.
 Se o arco é do 3o quadrante, o cosseno é negativo, o seno é negativo e a tangente é positiva.
 Se o arco é do 4o quadrante, o cosseno é positivo, o seno é negativo e a tangente é negativa.
Vejamos agora como é possível determinar o valor do seno e do cosseno, em qualquer quadran-
te, conhecidos seus valores no 1o quadrante. Isso se chama redução ao 1o quadrante. Examine cada 
figura considerando inicialmente apenas os valores de a da 1a volta positiva.
1
o
 caso: a está no 2
o
 quadrante
O ponto P' é simétrico de P em relação ao eixo y.
O A
a 2 pa
y
x
P
P'
sen a 5 2sen (a 2 p)
xO A
a
a 2 p
y
P
P'
cos a 5 2cos (a 2 p)
xO A
a
a2 p
y t
P'
P
tg a 5 tg (a 2 p)
O A
2p 2 a
a
y
x
P
P'
sen a 5 2sen (2p 2 a)
xO A
a
2p2a
y
P
P'
cos a 5 cos (2p 2 a)
xO A
a
2p2a
y t
P'
P
tg a 5 2tg (2p 2 a)
2
o
 caso: a está no 3
o
 quadrante
O ponto P' é simétrico de P em relação ao ponto O.
3p
2
p , a , 
3
o
 caso: a está no 4
o
 quadrante
O ponto P' é simétrico de P em relação ao eixo x.
3p
2
, a , 2p
p
2
, a , p
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18 Conceitos trigonométricos básicos
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Vamos considerar os arcos com medidas em graus para 
facilitar a compreensão inicial do processo. Lembre-se de 
que é perfeitamente adequado o uso de graus para se 
referir à medida de ângulos e de arcos na circunferência 
trigonométrica.
O melhor procedimento é esquecer as fórmulas e, em cada 
caso particular, fazer a construção que fizemos anterior-
mente.
12 Determine:
a) sen 120°, cos 120° e tg 120°;
b) sen 240°, cos 240° e tg 240°;
c) sen 315°, cos 315° e tg 315°.
RESOLUÇÃO:
a) sen 120° e cos 120°
 180° 2 120° 5 60°
xO
A180°
120°
60°
90°
270°
0°
y
P
 sen 120° 5 sen 60° 5 3
2
 cos 120° 5 2cos 60° 5 1
2
2
xO
A180°
120°
60°
90°
270°
y
P
t
 tg 120° 5 2tg 60° 5 32
b) sen 240° e cos 240°
 240° 2 180° 5 60°
x
A
P
180°
240°
60°
90°
270°
y
O
 sen 240° 5 2sen 60° 5 3
2
2
 cos 240° 5 2cos 60° 5 1
2
2
xO
P
A180°
240°
60°
90°
270°
y t
√3
 tg 240° 5 tg 60° 5 3
c) sen 315° e cos 315°
 360° 2 315° 5 45°
x
A
P
180°
45°
90°
270°
315°
360°
y
O
 sen 315° 5 2sen 45° 5 2
2
2
 cos 315° 5 cos 45° 5 2
2
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Conceitos trigonométricos básicos
x
A
P
180°
45°
90°
270°
315°
y t
O
 tg 315° 5 2tg 45° 5 21
13 Determine x tal que:
a) 0 < x , 2p e sen x 5 1
2
2
b) 0 < x , 2p e sen x 5 7
9
p
RESOLUÇÃO:
a) Sabemos que sen 
6
1
2
p
5 . Então,fazendo as simetrias ne-
cessárias, descobrimos os possíveis valores de x, que são 
7
6
p e 11
6
p .
y
xO
1
2
1
2
2
7p
6
(210°) 11p
6
(330°)
p
6
(30°)
b) Um dos valores de x é o próprio 7
9
p (140°). Outro valor é 
2
9
p (40°), descoberto ao se fazer uma simetria em relação 
ao eixo y. Logo, x 5 7
9
p ou x 5 2
9
p .
y
xO
(140°) 40°
2p
9
] [ 
7p
9
14 Simplifique:
a) cos (90° 1 x) b) sen (270° 2 x)
RESOLUÇÃO:
Para ângulos complementares, como 90° 2 x e x, temos:
sen (90° 2 x) 5 cos x e cos (90° 2 x) 5 sen x.
Vamos considerar, sem perda de generalidade, que 0 , x , 
2
p
; 
portanto: 
a) 90° 1 x pertence ao 2o quadrante:
 
y
xO
90° 1 x 90° 2 x
 180° 2 (90° 1 x) 5 90° 2 x
 cos (90° 1 x) 5 2cos (90° 2 x) 5 2sen x
b) 270° 2 x pertence ao 3o quadrante:
 
y
xO
270° 2 x
90° 2 x
 (270° 2 x) 2 180° 5 90° 2 x
 sen (270° 2 x) 5 2sen (90 2 x) ⇒ sen (270° 2 x) 5 2cos x
15 Determine o valor de sen x e tg x, sabendo que x 3
2
p , ,
p 
e cos x 1
3
5 2 .
RESOLUÇÃO:
Aplicando a relação fundamental, temos:
 sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ sen2 x 1 
2( )( )1( )3( )2( ) 5 1 ⇒ sen2 x 5 
 5 1 2 
1
9
sen2 x 5 
8
9
 ⇒ sen2 x 5 8
9
± ⇒ sen x 5 2 22 2
3
±
Como p , x , 3
2
p , então sen x 2 22 2
3
.5 2
 tg x 5 
sen x
cos x
 ⇒ tg x 5 
2 22 2
3
1
3
2
 ⇒ tg x 5 2 22 2
22_2119656_SER_EM_MAT_GEOM_CAD3_C02_AL_PR.indd 19 12/19/14 10:25 AM
20 Conceitos trigonométricos básicos
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 9 a 11 Para aprimorar: 1 a 3
6 Sabendo que tg x 5 2 e que p , x , 3
2
p , determine o valor 
de sen x e de cos x.
tg x
sen x
cos x
25 5 ⇒ sen x 5 2cos x
Mas:
sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ (2cos x)2 1 cos2 x 5 1 ⇒ 5cos2 x 5 1 ⇒ 
⇒ cos x 5 
5
5
.±
Como p , x ,
p3
2
, temos cos x 5 2
5
5
.
Logo: sen x 5 2cos x ⇒ sen x 5 2
2 5
5
.
7 Determine cos x, sabendo que 
2
p , x , p e sen x 3
5
.5 
(Lembre-se de que sen2 x 1 cos2 x 5 1.)
sen2 x 1 cos2 x 5 1 ⇒ ( )35
2
1 cos2 x 5 21
9
25
 ⇒ 
⇒ cos2 x 5 
16
25
 ⇒ cos x 5 
4
5
± .
Como 
p
2
 , x , p, temos cos x 5 2
4
5
.
8 Em que quadrante temos simultaneamente:
a) sen a , 0 e cos a , 0?
3o quadrante
b) sen a . 0 e cos a . 0?
1o quadrante
c) sen a , 0 e cos a . 0?
4o quadrante
d) tg a , 0 e cos a . 0?
4o quadrante
e) sen a . 0 e tg a . 0?
1o quadrante
9 Se tg x 5 t, então tg (2x) é igual a: c
a) 0
b) t
c) 2t
d) p 2 t
e) 
2
p
tg (2x) 5 2tg x 5 2t
10 Se cos x 3
5
,5 então sen 
2
xp 1( ) é igual a: a
a) 3
5
b) 3
5
2
c) 
4
5
d) 4
5
2
e) 0
sen p 1( )2 x 5 sen p 2( )2 x 5 cos x 5 35
PARA CONSTRUIR
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Conceitos trigonométricos básicos
 TRABALHANDO COM ARCOS CÔNGRUOS
Conhecidos os valores de sen x e de cos x da 1a volta positiva e usando arcos côngruos, pode-
mos calcular sen x e cos x para qualquer x.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
16 Calcule:
a) sen 390°
b) sen 13
4
p
c) sen 21
2
p
d) sen 870°
e) sen
17
3
p
f ) sen (2120°)
RESOLUÇÃO:
a) 390° 5 360° 1 30°
y
x0
390° (Côngruo a 30°)
b) 13
4
8
4
5
4
p
5
p
1
p
Côngruo a
y
x0
13p
4
5p
4
] [ 
p
4
Então, sen 13
4
2
2
.p 5 2
c) 
21
2
20
2 2
p
5
p
1
p
 sen 21
2
1p 5
d) 870° 5 720° 1 150°
 sen 870° 5 1
2
e) 
17
3
12
3
5
3
p
5
p
1
p
 sen 17
3
3
2
p
5 2
f ) 2120° → côngruo a 240°
 sen (2120°) 5 2
3
2
17 Determine todos os valores reais de x para os quais 
sen x 5 3
2
.
RESOLUÇÃO:
Sabemos que 
3
3
2
p
5 e, pela figura, vemos também que 
sen 2
3
3
2
.p 5
y
x0
(120°)
2p
3
(60°)
p
3
Então, os valores reais de x podem ser 
3
, 2
3
p p2p p e todos 
os arcos côngruos a eles, ou seja, x 5 
3
p 1 2kp ou 
x 2
3
2 k5 p 1 p2 k1 p , com k [ Z.
↓
1 volta
sen 390° é igual a sen 30°.
Logo, sen 390° 5 1
2
.
sen 13
4
p é igual a sen 5
4
p , que 
é 2
2
2 , pois sen 
4
2
2
p
5 .
↓ ↓
1 volta 225°
↓
10p (5 voltas)
y
x0
21p
2
y
x0
870° 30°
↓
2 voltas
17p
3
p
3
y
x0
↓
4p (2 voltas)
y
x0
60°
2120°
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22 Conceitos trigonométricos básicos
PARA CONSTRUIR
11 Use a tabela trigonométrica da página 30 e calcule:
a) sen 580°
580° 5 360° 1 220°
sen 580° 5 sen 220° 5 sen (180° 1 40°) 5 2sen 40° 5 20,643
b) sen (214°)
sen (214°) 5 2sen 14° 5 20,242
c) sen 34
9
p
 
p
5
p
2
p
5 p 2
p
2 p
5
2 ?
52
p
5 2 52 52
°
°
° °
°
34
9
36
9
2
9
4
2
9
2
9
2 180
9
40
sen
34
9
sen ( 40 ) sen 40 0,643
20
1
d) sen
24
5
p
 
p
5
p
1
p
5 p 1
p
p
5
?
5
p
5 5 2 5 5
°
°
° ° ° °
°
24
5
20
5
4
5
4
4
5
4
5
4 180
5
144
sen
24
5
sen 144 sen (180 36 ) sen 36 0,588
36
1
e) cos 7
9
p
 
p
5
?
5
°
°
°
7
9
7 180
9
140
36
1
cos 140° 5 cos (180° 2 40°) 5 2cos 40° 5 20,766
f ) cos 730°
730° 5 720° 1 10° 5 2 ? 360° 1 10°
cos 730° 5 cos 10° 5 0,985
g) cos (283°)
cos (283°) 5 cos 83° 5 0,122
h) cos 1125°
1125° 5 3 ? 360° 1 45°
cos 1125° 5 cos 45° 5 0,707
12 Determine x nos casos seguintes:
a) 0° < x , 360°, tal que cos x 2
2
5
45
315
x
y
0
2
2
°
°
x 5 45° ou x 5 315°
b) 0° < x , 2p, tal que cos x 5 0
x
y
0
3p
2
p
2
5
p
5
p
x
2
ou x
3
2
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Conceitos trigonométricos básicos
c) x [ R, tal que cos x 3
2
5 2
 
x
y
0
7p
6
5p
6
2
3
2
 5
p
1 p 5
p
1 px
5
6
2k ou x
7
6
2k , c com k [ Z
d) x [ R, tal que cos x 5 21.
x
y
0
p
 x 5 p 1 2kp ou x 5 (2k 1 1)p, com k [ Z
13 (Unifor-CE) O número real m (m Þ 2) que satisfaz a sentença 
m 1
m 2
1
2
 5 cos 3 015° é: c
a) 3 2 41
b) 4 3 22
c) 3 2 42
d) 3 4 22
e) 4 2 31
° ° °
⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
5 52 52
1
2
2 1 52 2
1 52 1 1 5 2
5
2
1
?
2
2
5
2 2 1
2
5
2
5 2
cos 3015 cos 135 cos 45
2
2
Então :
m 1
m 2
2
2
2(m 1) 2(m 2)
2m 2 2m 2 2 2m 2m 2 2 2
m
2 2 2
2 2
2 2
2 2
m
4 2 4 4 2 2
4 2
m
6 2 8
2
m 3 2 4
14 Calcule usando arcos côngruos:
a) tg 870°
870° 5 2 ? 360° 1 150°
tg 870° 5 tg 150° 5 tg (180° 1 30°) 5 2tg 30°
3
3
5 2
b) tg 2160°
2160° 5 6 ? 360°
tg 2160° 5 tg 360° 5 0°
c) tg (260°) 
tg (260°) 5 2tg 60° 5 2 3
d) tg (–1200°)
21 200° 5 23 ? 360° 2 120°
tg (21 200°) 5 tg (2120°) 5 tg 60° 5 3
e) tg 17
3
p
 
p
5 ? p 1
p
p
5
p
52
p
52
17
3
2 2
5
3
tg
17
3
tg
5
3
tg
3
3
f ) tg 31
6
p
 
p
5 ? p 1
p
p
5
p
5
p
5
31
6
2 2
7
6
tg
31
6
tg
7
6
tg
6
3
3
g) tg 7
4
2
p( )
 
2
p
5
p
5( )tg 74 tg 4 1
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24 Conceitos trigonométricos básicos
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 12 a 16 Para aprimorar: 4 a 6
15 (CFTMG) A figura abaixo representa uma circunferência tri-
gonométrica em que MN é diâmetro e o ângulo a mede 
5
6
p  radianos.
y
xA
M C
B
N
α
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é: b
a) 26 3.
b) 3.
c) 3
2
.
d) 3
3
.
y
xA
M C
sen
cos
B
N
a
5p
6
5p
6
5p
6
16 (FEI-SP) Se f(x) 5 (Ax 1 B) cos 2x, f(0) 5 1 e f ( )2 1p 5 , então os valores de A e B são: e
a) A 1 , B 152
p
5
b) A
2
, B 052p 5
c) A 5 2p, B 5 21
d) A 1 , B 052
p
5
e) A 4 , B 152
p
5
5 1
5 5 5
p
5 ?
p
1 p 5
?
p
1 52 52
p
( ) ( )
⇒



⇒
Se f(x) (Ax B) cos 2x, então:
f(0) Bcos 0 1 B 1
f
2
A
2
B cos 1
Logo :
A
2
1 1 A
4
52
p
52
5
p
5
5 5
AB cos
5
6
3
2
AC sen
5
6
1
2
Portanto:
AB
AC
3
2
1
2
3
TAREFA PARA CASA
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Converta em radianos:
a) 75°
b) 105°
c) 150°
d) 210°
e) 300°
f ) 100°
g) 67°30'
h) 41°15'
2 Expresse em graus:
a) 
10
radp
b) 
5
radp
c) 2
9
radp
d) 8
15
radp
e) 5
6
radp
f ) 11
6
radp
g) 3
8
radp
h) 
16
radp
3 (IFSP) Considere uma circunferência de centro O e raio 6 cm. 
Sendo A e B pontos distintos dessa circunferência, sabe-se queo comprimento de um arco AB é 5p cm. A medida do ângulo 
central ABOB, correspondente ao arco AB considerado, é: 
a) 120°. 
b) 150°. 
c) 180°. 
d) 210°. 
e) 240°. 
4 Na figura ao lado, temos 5 arcos de 
circunferência espaçados 1  cm um do 
outro. Sabendo que o arco menor tem 
1 cm de raio e o ângulo central comum 
a todos os arcos mede 60°, qual é o valor 
da soma dos comprimentos de todos 
os arcos?
Veja, no Guia do Professor, as respostas da "Tarefa para casa". As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
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N
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Conceitos trigonométricos básicos
5 A roda de um carro tem aproximadamente 60 cm de diâme-
tro. Uma viagem é feita nesse carro, percorrendo-se a distân-
cia de 120 km em 2 horas. Encontre o número de voltas da-
das por roda e o número médio de rotações por minuto de 
cada uma.
6 Divida, a partir da origem em A, a circunferência unitária 
em 12 partes iguais. Em seguida, determine, em radianos, 
a medida do menor arco não negativo associado a cada 
ponto de divisão.
7 Encontre a 1a determinação e o quadrante em que se localiza 
cada arco abaixo:
a) 780°
b) 1 140°
c) 850°
d) 15
2
radp
e) 10
3
radp
f ) 23
6
radp
g) 9
2
radp
h) 17
4
radp
8 Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremida-
des nos pontos indicados, considerando a origem em A:
a) y
x0 A
P
30°
b) y
x0 A
P
1
P
2
45°
c) y
x0 AP ; A'
d) y
x0 A
120°
P
e) y
x0 A
P
260°
f ) 
y
x0 A
150°
P
1
P
2
9 A que quadrante pode pertencer a se:
a) sen 1
4
a 52 ?
b) cos 3
3
a 52 ?
c) cos 2
5
a 5 ?
d) sen 5
3
a 5 ?
e) tg a 5 23?
10 Calcule o valor:
a) sen 5
6
p
b) sen
4
3
p
c) sen 330°
d) cos 315°
e) cos 5
4
p
f ) cos 2
3
p
g) tg 210°
h) tg 3
4
p
i) tg
4
3
p
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26 Conceitos trigonométricos básicos
11 Determine x nos seguintes casos:
a) 0° < x , 360° e sen x 5 21
b) 0 < x , 2p e sen x 5 1
2
c) 0 < x , 
2
p e sen x 5 3
2
d) 0° < x , 360° e cos x 5 1
2
e) 0 < x , 2p e cos x 5 2
2
2
f ) 0 , x , p e tg x 5 21
12 Use os valores notáveis do seno e calcule:
a) sen 37
6
p
b) sen (2225°)
c) sen 6p
d) sen
19
4
p
e) sen 630°
f ) ( )sen 32p
g) sen 13
2
p
h) sen 930°
13 Calcule usando arcos côngruos:
a) cos 9
4
p
b) cos (2330°)
c) cos 9
2
p
d) cos 1 140°
e) cos 25
6
p
f ) ( )cos 1542 p
g) cos 11p
h) cos 570°
14 Quaal é maior, cos 2 ou cos 2°? Justifique.
15 Dado M
sen 2 460 cos 1110
tg 2205
5
?° °
°
, pode-se dizer que:
a) M 5 23
b) M 3
4
52
c) M 3
8
52
d) M 1
8
52
e) M 3
4
5
16 Para todo x real, a expressão ( )cos 2 xp 1 ? sen (3p 2 x) é equi-
valente a:
a) 2sen x ? cos x
b) sen x ? cos x
c) 2 ? sen2 x
d) 2sen2 x
e) sen2 x
PARA PRATICARPARA APRIMORAR
1 Sabendo que ( ) ( )tg x tg 3 x tg 3 x tg 3x? p 2 ? p 1 5 , qual é o 
valor de tg 10° ? tg 50° ? tg 110°?
2 Qual é o valor da expressão
A 5 cos 12° 1 cos 25° 1 ... 1 cos 142° 1 cos 155° 1 cos 168°?
3 (PUC-RS) O limite da soma 
sen2 a 1 sen4 a 1 ... 1 sen2n a 1 ..., em que a Þ kp 1 
2
p, 
k [ Z, é:
a) cos2 a
b) n ? sen2 a
c) 2n ? sen a
d) tg a
e) tg2 a 
4 Qual é o sinal de sen 3?
5 Para que valores de a, 0 < a , 2p, tem-se cos a 5 2?
6 Calcule:
a) x, tal que 0 < x < 2p e sen x 1 cos x 5 21.
b) sen x, sendo cos x 5 1
2
 e 3
2
p < x < 2p.
c) cos x, sendo sen x 5 3
4
2 e 180° < x < 270°.
d) sen x e tg x, sendo cos x 5 3 2
5
2 e 
2
p < x < p.
e) cos x, sendo tg x 5 1
2
2 e sen x 5 
5
5
.
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27
M
A
T
E
M
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A
 
 
G
E
O
M
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IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Conceitos trigonométricos básicos
As resoluções dos exercícios encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.REVISÃO
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Revisão”. As resoluções 
encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
1 (FGV-SP) O relógio indicado na figura marca 6 horas e
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
α
α
a) 55 7
13
minutos. 
b) 55
5
11
minutos. 
c) 55
5
13
minutos. 
d) 54 3
11
minutos. 
e) 54 2
11
minutos. 
2 (UEL-PR) Uma família viaja para Belém (PA) em seu auto-
móvel. Em um dado instante, o GPS do veículo indica que 
ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 21°20' 
Sul e longitude 48°30' Oeste. O motorista solicita a um dos 
passageiros que acesse a internet em seu celular e obtenha 
o raio médio da Terra, que é de 6 730 km, e as coordenadas 
geográficas de Belém, que são latitude 1°20' Sul e longi-
tude 48°30' Oeste. A partir desses dados, supondo que a 
superfície da Terra seja esférica, o motorista calcula a distân-
cia D, do veículo a Belém, sobre o meridiano 48°30' Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o va-
lor da distância D, em km. 
a) D
9
6 7305 p
b) D
18
(6 730)25 p
c) D
9
6 7305 p
d) D
36
6 7305 p
e) ( )( )( )D ( )3( )( )3( ) 6 730
2
5( )p( )
3 (Uerj) A extremidade A de uma planta aquática encontra-
-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig. 1). 
Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a su-
perfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local 
em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encon-
trava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmen-
tos de retas e o arco qAB uma trajetória do movimento da 
planta.
10√3 cm
A
B
A
C
0
10 cm
Fig. 1 Fig. 2
Determine:
a) a profundidade do lago no ponto O em que se encon-
tra a raiz da planta;
b) o comprimento, em cm, do arco qAB. 
4 (PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os engenhei-
ros devem ter em mente o movimento de oscilação, que 
é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais 
alto de um edifício de 400 m descreve um arco de ( )( )( )1( )( )2( )°, a 
medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é:
a) p
b) 
3
4
p
c) 
4
3
p
d) 
10
9
p
e) 
11
10
p
5 (EEAR-SP) O sen 122
9
p é igual a:
a) sen 5
9
p
b) sen
4
9
p
c) cos 5
9
2
p
d) sen 4
9
2
p
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28 Conceitos trigonométricos básicos
6 (Aman-RJ) Seja x um número real, tal que x 5 cos 2° 1 
1 cos 4° 1 cos 6° 1 ... 1 cos 176° 1 cos 178° 1 cos 180°. 
Então, (0,125)x é igual a:
a) 
1
8
b) 8
c) 
1
125
d) 125
e) 1
7 (Ufscar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a partir do 
seu centro, em setores circulares. Se o arco de cada se-
tor mede 0,8 radiano, obtém-se um número máximo N 
de fatias idênticas, sobrando, no final, uma fatia menor, 
que é indicada na figura por fatia N 1 1. Considerando 
p 5 3,14, o arco da fatia N 1 1, em radiano, é:
Fatia 2
Fatia 1
Fatia N 1 1
Fatia N
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
8 (UFF-RJ) Considere os ângulos a, b e g conforme repre-
sentados no círculo.
y
xO
1
a
b
g
Pode-se afirmar que:
a) cos a , cos b
b) cos g . cos a
c) sen a . sen b
d) sen b , cos g
e) cos b , cos g
9 (PUCC-SP) Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, 
um entendido a ele referiu: “Era como se seus dedos dos 
pés descrevessem no espaço um arco de circunferência 
de 124 cm de comprimento”. Considerando que cada 
perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, es-
teja em linha reta e perfaça 60 cm, o cosseno do ângulo 
de abertura de suas pernas é: (Use: p 5 3,1.)
a) 21
b) 3
2
2
c) 2
2
2
d) 1
2
2
e) 1
2
10 (UFPR) Maria e seus colegas trabalham em uma empresa 
localizada em uma praça circular. Essa praça é circundada 
por uma calçada e dividida em partes iguais a 12 cami-
nhos retos que vão da borda ao centro da praça, conforme 
o esquema.
E
R
C
L
A empresa fica no ponto E, há um restaurante no pon-
to R, uma agência de correio no ponto C e uma lan-
chonete no ponto L. Quando saem para almoçar, as 
pessoas fazem caminhos diferentes: Maria sempre se 
desloca pela calçada que circunda a praça; Carmen 
sempre passa pelo centro da praça, vai olhar o cardá-
pio dorestaurante e, se este não estiver do seu agrado, 
vai almoçar na lanchonete, caminhando pela calçada; 
Sérgio sempre passa pelo centro da praça e pelo cor-
reio, daí seguindo pela calçada para a lanchonete ou 
para o restaurante.
Sabendo que as pessoas sempre percorrem o menor arco 
possível quando caminham na calçada que circunda a 
praça, avalie as afirmativas a seguir:
 I. Quando Carmen e Sérgio vão almoçar na lanchonete, 
ambos percorrem a mesma distância.
 II. Quando Maria e Sérgio vão almoçar na lanchonete, 
quem percorre a menor distância é Maria.
 III. Quando todos os três vão almoçar no restaurante, Car-
men percorre a menor distância.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
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29
M
A
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M
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A
 
 
G
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O
N
O
M
E
T
R
IA
Conceitos trigonométricos básicos
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
 BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12 ed. São Paulo: Ática, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. v. 1-2. (Coleção do Professor de 
Matemática)
 MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Atual, 1981.
 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1986.
 . Mathematical discovery. New York: John Wiley & Sons, 1981. 2 v.
 REVISTA do professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
11 (Insper-SP) O professor de Matemática de Artur e Bia pe-
diu aos alunos que colocassem suas calculadoras cientí-
ficas no modo “radianos” e calculassem o valor de sen
 2
p.
Tomando um valor aproximado, Artur digitou em sua 
calculadora o número 1,6 e, em seguida, calculou o seu 
seno, encontrando o valor A. Já Bia calculou o seno de 1,5 
obtendo o valor B. Considerando que 
2
p vale aproxima-
damente 1,5708, assinale a alternativa que traz a correta 
ordenação dos valores A, B e sen 
2
p . 
a) sen 
2
p , A , B
b) A , sen
2
p , B
c) A , B , sen
2
p
d) B , sen
2
p , A
e) B , A , sen
2
p
12 (Vunesp) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de 
um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte 
que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de aber-
tura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é:
a) p 2 1
b) p 1 1
c) 2p 2 1
d) 2p
e) 2p 1 1
13 (Furg-RS – Adaptada) Na figura a seguir está sombreada 
a região compreendida entre o segmento zOP, a circunfe-
rência de raio 1, centrada na origem, e o quadrado cir-
cunscrito a essa circunferência. Os lados do quadrado são 
paralelos aos eixos x e y. Considere que o segmento zOP 
forma um ângulo u com o eixo x. Quando 0 < u < 
4
p , a 
área A (u) está representada na figura a seguir. A área A (u) 
da região sombreada em função do ângulo u é dada por:
x0
u
y
P
a) A ( )
tg
2 2
u 5)u 5
u
2
u
b) A ( ) 1
2
u 5) 1u 5) 12 u
c) A ( )
tg
2
u 5)u 5
u
2 u
d) A ( ) 2u 5)u 5 u
p
( )( )1( )2( )2( )u( )
e) A (u) 5 u(4 2 p)
1 cm
1 rad
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30 Conceitos trigonométricos básicos
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
1°
2°
3°
4°
5°
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
46°
47°
48°
49°
50°
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
6°
7°
8°
9°
10°
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
51°
52°
53°
54°
55°
0,777
0,788
0,799
0,809
0,819
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
11°
12°
13°
14°
15°
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
56°
57°
58°
59°
60°
0,829
0,839
0,848
0,857
0,866
0,559
0,545
0,530
0,515
0,500
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
16°
17°
18°
19°
20°
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
61°
62°
63°
64°
65°
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
21°
22°
23°
24°
25°
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
66°
67°
68°
69°
70°
0,914
0,921
0,927
0,934
0,940
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
26°
27°
28°
29°
30°
0,438
0,454
0,469
0,485
0,500
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
71°
72°
73°
74°
75°
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
31°
32°
33°
34°
35°
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
76°
77°
78°
79°
80°
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,242
0,225
0,208
0,191
0,174
4,011
4,332
4,705
5,145
5,671
36°
37°
38°
39°
40°
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
81°
82°
83°
84°
85°
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,156
0,139
0,122
0,105
0,087
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
41°
42°
43°
44°
45°
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
86°
87°
88°
89°
0,998
0,999
0,999
1,000
0,070
0,052
0,035
0,017
14,301
19,081
28,636
57,290
22_2119656_SER_EM_MAT_GEOM_CAD3_C02_AL_PR.indd 30 12/19/14 10:26 AM
 Ciências Humanas e suas Tecnologias
 Ciências da Natureza e suas Tecnologias
 Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
 Matemática e suas TecnologiasENEMMAIS
31
MOVIMENTOS DA TERRA
Como você já deve ter estudado em Geografia, a Terra tem 
dois movimentos, que acontecem ao mesmo tempo: rotação e 
translação.
A rotação consiste no movimento giratório da Terra em torno 
do seu eixo, uma linha imaginária que passa pelo centro da Terra e 
que atravessa sua superfície nos chamados polo Norte e polo Sul.
A Terra demora um dia, isto é, 24 horas, para completar 
uma volta em torno de si própria. Dizemos, então, que o perío-
do de rotação da Terra é de um dia. 
Já o vaivém de uma nave espacial reutilizável da Nasa em 
órbita em volta da Terra gira mais rapidamente do que a Terra, 
tanto é que os astronautas a bordo veem, durante 24 horas, o 
Sol nascer e se pôr várias vezes.
Um plano perpendicular ao eixo de rotação da Terra e que a 
divide em duas metades, chamadas hemisfério Norte e hemisfério 
Sul, marca na superfície terrestre uma linha chamada Equador.
Polo Sul
Polo Norte
Equador
Representação artística e 
fora de escala do movimento 
de rotação da Terra, com 
o eixo da Terra, os polos 
Norte e Sul e o Equador. A 
metade de cima, na figura, é 
o hemisfério Norte e metade 
de baixo é o hemisfério Sul.
A translação consiste no avanço do centro da Terra ao longo 
de uma curva fechada em redor do Sol. Dizemos que a Terra 
descreve uma órbita (ou trajetória) ao redor do Sol. Essa órbita, 
que parece circular, é na verdade uma curva chamada elipse. 
O movimento dá-se com a velocidade de 30 kilometros por 
segundo e, durante a translação, o eixo de rotação da Terra faz 
um ângulo de 23° com o plano da órbita da Terra.
O tempo que a Terra demora a dar uma volta completa em 
torno do Sol não é exatamente de 365 dias, mas sim 365 dias e 
6 horas, pelo que, de quatro em quatroanos, existe um ano com 
um dia a mais no calendário, sempre o último de fevereiro. Esses 
anos são chamados bissextos.
Fazendo aproximações, podemos considerar que a órbita da 
Terra em volta do Sol seja circular. O raio da órbita da Terra em 
torno do Sol mediria, então, cerca de 150 milhões de kilometros 
(150 ? 106 km 5 1,5 ? 1011 m).
Essa distância é muito grande quando comparada com o 
raio do Sol, 700 000 km 5 7,0 ? 105 km 5 7,0 ? 108 m, ou ain-
da com o raio da Terra (6 400 km 5 6,4 ? 106 m). 
Terra
Sol
Representação artística e fora 
de escala do movimento de 
translação da Terra.
FONTE: Disponível em: <http://nautilus.fis.uc.pt/astro/hu/movi/corpo.html>. 
Publicado em: 14 out. 2012. Acesso em: 20 out. 2014. Adaptado.
1 Em Física, estudamos o movimento circular, cuja trajetória 
pode ser uma circunferência ou um arco de circunferência. 
Em movimento circular uniforme, que pode ser chamado 
de movimento periódico, um corpo se move sempre a uma 
mesma velocidade. Nos movimentos periódicos, há dois 
conceitos muito importantes, que são: frequência e período. 
Frequência (ƒ ) é o número de voltas que o corpo efetua em 
um determinado tempo (T), ƒ  5  1
T
. Assim, podemos afirmar 
que a frequência da rotação da Terra, em hertz (s21 5 (segun-
do)21), é igual a: a
a) (8,64 ? 104)21 Hz.
b) (2,4 ? 10)21 Hz.
c) (1,44 ? 103)21 Hz.
d) (8,64 ? 103)21 Hz.
e) (2,4 ? 102)21 Hz.
2 Conforme o texto apresenta, há uma inclinação no eixo da 
Terra. Se definirmos na área ao norte da Terra os pontos A e 
B a partir dos cruzamentos dos eixos com a superfície da Ter-
ra, conforme mostra a figura, poderemos afirmar que, se uma 
pessoa pretente se deslocar do ponto A até o ponto B, ela terá 
de percorrer, no mínimo: c
 Dado: comprimento da circunferência 5 2pr.
a) 5,75 ? 1011 m.
b) 9 ? 108 km.
c) 5,75 ? 107 km. 
d) 9 ? 1011 m. 
e) 6,75 ? 107 km. 
3 Sabe-se que os movimentos apresentados no texto são cons-
tantes, ou seja, em nenhum momento a Terra para de se deslo-
car. Em relação à rotação, podemos afirmar que, no período de 
1 dia e 8 horas, a rotação realizada e seu ângulo côngruo são, 
respectivamente: d
a) 
5
2
,
2
p p .
b) 
8
5
, 3
5
p p3p p .
c) 3p, p.
d) 
8
3
, 2
3
p p2p p .
e) 
6
5
, 3
5
p p3p p .
23°
A
B
C
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QUADRO DE IDEIAS
Arcos e ângulos
A
B
rO
Quadrantes
y
x
A
B
O
B'
A'
360°180°
270°
90°
0°
2º- 1º-
3º- 4º-
(p)
(2p)
3p
2
p
2
VALORES NOTÁVEIS
x sen x cos x tg x
0 0 1 0
6
p
(30°)
1
2
3
2
3
3
4
p
(45°) 2
2
2
2
1
3
p
(60°) 3
2
1
2
3
2
p
(90°) 1 0 ∃∃
p (180°) 0 21 0
3
2
p
 (270°) 21 0 ∃∃
2p (30°) 0 1 0
B
A
Côngruos Simétricos
180° – x
180° + x 360° – x
x
x 1 k ? 2p â ngulos associados 
no mesmo ponto.
Sendo k o número de voltas.
t
x
y
(1, 0)(1, 0)Cosseno
Tangente
Seno
(21, 0)
(0, 1)
(0, 21)
180º 5 p rad
Presidência: Mário Ghio Júnior
Direção: Carlos Roberto Piatto
Direção de inovação em conteúdo: René Agostinho
Direção editorial: Lidiane Vivaldini Olo
Conselho editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves, 
Carlos Roberto Piatto, Daniel Augusto Ferraz Leite, 
Eduardo dos Santos, Eliane Vilela, Helena Serebrinic, 
Lidiane Vivaldini Olo, Luís Ricardo Arruda de Andrade, 
Marcelo Mirabelli, Marcus Bruno Moura Fahel, 
Marisa Sodero, Ricardo Leite, Ricardo de Gan Braga, 
Tania Fontolan
Gerência editorial: Bárbara Muneratti de Souza Alves
Edição: Tatiana Leite Nunes (coord.),
Pietro Ferrari
Organização didática: Maitê Fracassi
Revisão: Adriana Gabriel Cerello (coord.), Danielle Modesto, 
Edilson Moura, Letícia Pieroni, Marília Lima, Tatiane Godoy, 
Tayra Alfonso, Vanessa Lucena;
Colaboração: Ria Sam; Thaise Rodrigues
Coordenação de produção: Fabiana Manna (coord.),
Adjane Oliveira, Solange Pereira
Supervisão de arte e produção: Ricardo de Gan Braga
Edição de arte: Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: Antonio Cesar Decarli,
Claudio Alves dos Santos, Fernando Afonso do Carmo,
Flávio Gomes Duarte, Kleber de Messas
Iconografia: Sílvio Kligin (supervisão), Marcella Doratioto;
Colaboração: Fábio Matsuura, Fernanda Siwiec,
Fernando Vivaldini
Licenças e autorizações: Edson Carnevale
Capa: Daniel Hisashi Aoki
Foto de capa: Fábio Colombini
Projeto gráfico de miolo: Daniel Hisashi Aoki
Editoração eletrônica: Casa de Tipos
 
Todos os direitos reservados por Sistemas de 
Ensino Abril Educação S.A.
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CEP: 05425-902 – São Paulo – SP
(0xx11) 4383-8000
© Sistemas de Ensino Abril Educação S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
 Sistema de ensino ser : ensino médio, caderno 3 :
geometria : PR / Luiz Roberto Dante. 
-- 2. ed. -- São Paulo : Ática, 2015.
 1. Geometria (Ensino médio) 2. Matemática
(Ensino médio) I. Título.
14–12034 CDD–510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática : Geometria : Ensino médio 510.7
2015
ISBN 978 85 08 17143-9 (AL)
ISBN 978 85 08 17149-1 (PR)
2ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
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Conceitos trigonométricos básicos
MATEMÁTICA 
GUIA DO PROFESSOR
geometriA e trigonometriA
 LUIZ RO BERTO DANTE
Livre-docente em Educação Matemática pela Unesp – Rio Claro/SP.
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática pela 
PUC/São Paulo.
Mestre em Matemática pela USP.
Ex-presidente da Sociedade Brasileira de Educação Matemática 
(Sbem).
Ex-secretário executivo do Comitê Interamericano de Educação 
Matemática (Ciaem).
Pesquisador em ensino e aprendizagem da Matemática pela Unesp 
– Rio Claro/SP.
Autor de vários livros: Didática da resolução de problemas de 
Matemática; Didática da Matemática na pré-escola; Coleção 
Aprendendo Sempre – Matemática (1o ao 5o ano); Tudo é Mate-
mática (6o ao 9o ano); Matemática – Contexto & Aplicações – 
 Volume único (Ensino Médio); Matemática – Contexto & Aplica-
ções – 3 volumes (Ensino Médio).
MÓDULO
 Conceitos trigonométricos básicos (8 aulas)
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2 GUIA DO PROFESSOR
MÓDULO
Conceitos trigonométricos
básicos
Plano de aulas sugerido
Carga semanal de aulas: 2
Número total de aulas do módulo: 8
Competências
 c Utilizar o conhecimento 
geométrico para realizar a 
leitura e a representação da 
realidade e agir sobre ela.
 c Construir noções de 
grandezas e medidas para a 
compreensão da realidade e 
a solução de problemas do 
cotidiano.
Habilidades
 c Identificar características de 
figuras planas ou espaciais.
 c Resolver situações- 
-problema que envolvam 
conhecimentos geométricos 
de espaço e forma. 
 c Identificar relações entre 
grandezas e unidades de 
medida.
 c Resolver situações-problema 
que envolvam medidas de 
grandezas.
 1. ConCeitos trigonométriCos 
básiCos
Objeto do conhecimento
Conhecimentos geométricos.
Objeto específico
Características das figuras geométricas, planas e espaciais. Grandeza, 
unidades de medida e escalas. Comprimentos, área e volumes. 
Ângulos. Circunferências. Trigonometria do ângulo agudo.
AulAs 1 e 2
 Páginas: 4 a 8
Arcos e ângulos; unidades para medir 
arcos de circunferência (ou ângulos)
objetivos
 Identificar arcos e ângulos.
 Medir ângulos utilizando as unidades de medida grau e radiano.
 Transformar graus em radianos e vice-versa.
estratégias
Conceitue arco geométrico, ângulo central e comprimento de 
circunferência e estabeleça a relação entre comprimento e medida 
de arco em graus.
Discuta o “Para refletir” da página 4 e, para finalizar, desenhe as 
circunferências na lousa com um compasso.
Conceitue as unidades para medir arcos de circunferência (ou ân-
gulos): grau e radiano.
Divida a turma em grupos e peça a cada grupo que estude, e 
depois apresente aos demais, um dos exercícios resolvidos de 1 a 
7 (páginas 6 e 7). Faça intervençõesnas apresentações quando ne-
cessário e questione os demais alunos quanto a outras formas de 
resolução.
tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 1 a 5 do “Para pra-
ticar” (páginas 24 e 25).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulAs 3 e 4
 Páginas: 8 a 12
Circunferência unitária ou circunferência 
trigonométrica; arcos côngruos (ou 
congruentes); determinação de quadrantes
objetivos
 Conhecer a circunferência unitária ou circunferência trigonométrica.
 Identificar arcos côngruos.
 Determinar em que quadrante se encontra um arco.
 Representar na circunferência trigonométrica as extremidades 
de arcos.
estratégias
Conceitue circunferência unitária ou circunferência trigono-
métrica.
Conceitue arcos côngruos e explique aos alunos alguns exemplos.
Mostre a divisão da circunferência trigonométrica em quadrantes.
Explique os exercícios resolvidos 8 a 11 (página 11) e peça aos alu-
nos que, em duplas, resolvam os exercícios 4 e 5 do “Para construir” 
(página 12), corrigindo-os em seguida.
Se possível, peça que resolvam os exercícios extras presentes na 
página 4 deste guia.
tarefa para casa
Leia, com a turma, o texto “Por que a circunferência trigonométrica 
tem raio 1?” (página 9).
Solicite à turma que faça em casa as atividades 6 a 8 do “Para pra-
ticar” (página 25).
Resolva as questões do “Para refletir” (páginas 8 a 10).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
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3
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A
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Conceitos trigonométricos básicos
AulA 5 Páginas: 13 a 16
A ideia de seno, cosseno e tangente de um 
número real; valores notáveis do seno, do 
cosseno e da tangente
objetivos
 Estender a noção de sen a, cos a e tg a para todos os valores reais de a.
 Montar uma tabela com os valores notáveis de seno, cosseno e tangente.
estratégias
Explique a ideia de seno, cosseno e tangente de um número real 
fazendo o desenho na lousa ou utilizando slides com circunferências 
trigonométricas disponíveis no portal (“Conceitos trigonométricos 
básicos”).
Monte, com os alunos, as tabelas com os valores notáveis do seno, 
do cosseno e da tangente.
tarefa para casa
Solicite à turma que faça a justificativa pedida no “Para refletir” da 
página 13.
AulA 6 Páginas: 16 a 20
redução ao 1o quadrante da 1a volta positiva
objetivo
 Determinar o valor do seno e do cosseno, em qualquer quadran-
te, conhecidos seus valores no 1o quadrante (redução ao 1o qua-
drante).
estratégias
Conceitue redução ao 1o quadrante.
Explique aos alunos os três casos de redução ao 1o quadrante. Se 
possível utilize os mesmos slides da aula anterior.
Explique os exercícios resolvidos 12 a 15 (páginas 18 e 19).
tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 9 a 11 do “Para 
praticar” (páginas 25 e 26) e as atividades 1 a 3 do “Para aprimorar” 
(página 26).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
AulA 7 Páginas: 21 a 24
trabalhando com arcos côngruos
objetivo
 Calcular sen x e cos x para qualquer x.
estratégias
Explique os exercícios resolvidos 16 e 17 (página 21). 
Divida os alunos em grupos para que resolvam os exercícios 11 a 
16 do “Para construir” (páginas 22 a 24).
Circule entre os grupos esclarecendo dúvidas e incentivando os 
alunos a fazer as atividades.
tarefa para casa
Solicite à turma que faça em casa as atividades 12 a 16 do “Para pra-
ticar” (página 26) e as atividades 4 a 6 do “Para aprimorar” (página 26).
Se achar oportuno, no início da próxima aula, corrija as questões 
juntamente com a classe.
 reVisÃo e mAis enem
AulA 8 Páginas: 27 a 31
objetivos
 Revisar o conteúdo apresentado no módulo.
 Desenvolver habilidades e competências.
 Apresentar conteúdos interdisciplinares.
estratégias
Selecione alguns exercícios da Revisão e resolva-os com os alunos. 
Identifique os conteúdos em que ainda há dúvidas e resolva os exer-
cícios correspondentes na lousa.
Leia o texto do “Mais Enem”. Proponha à classe a leitura e o desen-
volvimento da atividade. Peça aos alunos, com objetos utilizados em 
aula, que demonstrem os movimentos de rotação e de translação da 
Terra. Feito isso, inicie a leitura e resgate alguns temas apresentados 
durante o módulo, por exemplo: uma volta completa equivale a 360°. 
Em seguida, discuta as perguntas e faça a correção das ques-
tões 1, 2 e 3.
ANOTAÇÕES
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4 GUIA DO PROFESSOR
AulAs 3 e 4
1 No skate, muitas manobras do vert (rampa em forma de U) 
têm no nome números que indicam a rotação do skate ou do 
atleta. Uma manobra como “180 ollie frontside” consiste num 
giro de meia -volta do skate (e do atleta) no ar quando o atleta 
sai da rampa, voltando para ela com o skate já na nova posi-
ção. Considerando apenas o nome das manobras de skate 
abaixo:
 I. Fakie 360
 II. 540 McTwist 
 III. 720 McHawk
 IV. 900
a) descreva a rotação (giro) do skate em cada manobra.
b) quais das quatro manobras citadas no item a têm giros 
que tornam a posição do skate na reentrada da rampa 
igual à posição de reentrada de um “stall 180”? Justifique 
com base em seus conhecimentos matemáticos.
resoluÇÃo:
a) I. Giro de 1 volta completa.
 II. Giro de 1 volta completa e mais meia-volta.
 III. Giro de 2 voltas completas.
 IV. Giro de 2 voltas completas e mais meia-volta.
b) 540 McTwist e 900, pois 900° e 540° são arcos côngruos a 
180°.
2 (Efei-MG) O dispositivo de segurança de um cofre (segredo) 
tem o formato da figura abaixo, onde as posições A, B, ..., L es-
tão igualmente espaçadas e a posição inicial da seta, quando 
o cofre está fechado, é a indicada.
G A
BF
LH
C
D
J
E
KI
Para abrir esse cofre são necessárias cinco operações, girando 
o dispositivo de modo que a seta seja colocada nos seguintes 
ângulos:
 I. 
p2
3
 no sentido anti-horário;
 II. 
p3
2
 no sentido horário;
 III. 
p5
3
 no sentido anti-horário;
 IV. 
p3
4
 no sentido horário;
 V. 
p
3
 no sentido anti-horário.
Pode-se então afirmar que o cofre será aberto quando a seta 
estiver indicando:
a) o ponto médio entre G e H.
b) algum ponto entre J e K.
c) o ponto médio entre C e D.
d) a posição I.
e) a posição A.
resoluÇÃo:
Na operação I, a seta indicará a posição E. 
Na operação II, a seta indicará a posição H. 
Na operação III, a seta indicará a posição F.
Na operação IV, a seta indicará o ponto médio entre A e B.
Na operação V, a seta indicará o ponto médio entre C e D.
Alternativa d.
eXerCÍCios eXtrAs
ANOTAÇÕES
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5
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Conceitos trigonométricos básicos
resPostAs
 CAPÍtulo 1 – ConCeitos 
trigonométriCos básiCos
 PArA PrAtiCAr – páginas 24 a 26
 1. a) 5
12
rad
p 
b) 7
12
rad
p
c) 5
6
rad
p
d) p7
6
rad
e) 5
3
rad
p
f ) 5
9
rad
p
g) 3
8
rad
p
h) 11
48
rad
p
 2. a) 18°
b) 36°
c) 40°
d) 96°
e) 150°
f ) 330°
g) 67°30’
h) 11°15’
 3. b.
 4. 5p cm
 5. Aproximadamente 63 662 voltas; aproximadamente 530 rpm.
 6. p
2 p
3
2p
3
4p
3
5p
33p
2
5p
6
7p
6
11p
6
p
6
Ap
 7. a) a 5 60°; 1o quadrante.
b) a 5 60°; 1o quadrante.
c) a 5 130°; 2o quadrante.
d) a 5
p3
2
rad; eixo .y
e) 
4
3
rad; 3 quadrante.oa 5
p
f ) 
11
6
rad; 4 quadrante.oa 5
p
g) a 5
p
2
rad; eixo .y
h) 
4
rad; 1 quadrante.oa 5
p
 8. a) x
6
5
p
1 2kp, com k [ Z. 
b) x
4
5
p
1 kp, com k [ Z.
c) x 5 p 1 2kp, com k [ Z ou x 5 (2k 1 1)p, com k [ Z.
d) x
2
3
2k , com k .[Z5
p
1 p
e) x
3
2k , com k .[Z52
p
1 p
f ) x
5
6
k , com k .[Z5
p
1 p
 9. a) 3o ou 4o quadrante.
b) 2o ou 3o quadrante.
c) 1o ou 4o quadrante.
d) 1o ou 2o quadrante.
e) 2o ou 4o quadrante.
 10. a) 1
2
 
b) 3
2
2
c) 1
2
2
d) 2
2
e) 2
2
2
f )1
2
2
g) 3
3
h) 21
i) 3
 11. a) x 5 270°
b) x
6
rad ou x
5
6
rad5
p
5
p
 
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6 GUIA DO PROFESSOR
c) x
3
rad5
p
d) x 5 60° ou x 5 300°
e) x
3
4
rad ou x
5
4
rad5
p
5
p
f ) x
3
4
rad5
p
 12. a) 
1
2
 
b) 
2
2
c) 0
d) 
2
2
e) 21
f ) 
3
2
2
g) 1
h) 2
1
2
 13. a) 
2
2
b) 
3
2
c) 0
d) 
1
2
e) 
3
2
f ) 
2
2
g) 21
h) 
3
2
2
 14. cos 2° pertence ao 1o quadrante, portanto cos 2° é positivo.
 2 rad pertence ao 2o quadrante, portanto cos 2 é negativo.
 Assim, cos 2° é maior que cos 2.
 15. b.
 16. d.
 PArA APrimorAr – página 26
 1. 3
3
2 
 2. A 5 0
 3. e.
 4. Negativo.
 5. Nenhum.
 6. a) x rad ou x 3
2
rad5 p 5
p
b) sen x
3
2
5 2
c) cos x
7
4
5 2
d) sen x
7
5
e tg x
14
6
5 5 2
e) cos x
2 5
5
5 2
 PArA reFletir
página 4
Terão a mesma medida, mas não terão o mesmo comprimento.
página 5
57°
página 8
 Porque os arcos são considerados com medidas positivas, nega-
tivas ou nulas.
 B(0, 1), A'(21, 0) e B'(0, 21).
página 9
Estamos percorrendo a circunferência no sentido horário (há mu-
dança de sentido).
página 10
Do 2o exemplo, são côngruos 45° e 765° ou 
4
rad e
17
4
rad.
p p
 
Do 3o exemplo, são côngruos 60° e 21 020° ou 
p
2
p
3
rad e
17
3
rad.
página 13
OBRP > OBAT (retos)
PBOR > TBOR (comum ou oposto pelo vértice) 
 reVisÃo
páginas 27 a 29
 1. c.
 2. a.
 3. a) 10 cm
b) 
10
3
cm
p
 4. d.
 5. d.
 6. b.
 7. c.
 8. e.
 9. d.
 10. b.
 11. e.
 12. e.
 13. a.
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Conceitos trigonométricos básicos
reFerÊnCiAs bibliográFiCAs
 ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974.
 COLEÇÃO do professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Atica, 1997.
 DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1989.
 LIMA, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1997. v. 1-2. (Coleção do Professor de Matemática)
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 REVISTA do professor de Matemática. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1-36.
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8 GUIA DO PROFESSOR
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O sistema de ensino SER quer conscientizar seus alunos sobre os problemas da 
atualidade. Pensando nisso, apresentamos, no Ensino Médio, capas com animais da 
fauna brasileira em extinção. Esperamos que as imagens e as informações fornecidas 
motivem os estudantes a agir em favor da preservação do meio ambiente.
A jararaca-ilhoa, cujo nome cientí� co é Bothrops insularis, é uma espécie endêmica da ilha 
da Queimada Grande, no litoral de São Paulo. Essa serpente diferencia-se das demais por seu 
tamanho reduzido – não ultrapassa um metro de comprimento –, pelos hábitos diurnos, por 
ser arborícola – só vai ao solo para digestão e acasalamento e possui cauda adaptada à � xação 
nas árvores – e por se alimentar de aves, não de roedores. 
Seu veneno é cinco vezes mais potente do que o das demais espécies de jararacas. Ela está 
ameaçada de extinção devido ao ambiente restrito, aos indícios de caça ilegal e às queimadas.
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