Geometria - Caderno 10

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10
ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
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 GEOMETRIA ANALÍTICA: PONTO E RETA
1 Geometria analítica: ponto e reta . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sistema cartesiano ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Distância entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Ponto divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Condição de alinhamento de três pontos . . . . . . . . . . . .16
Inclinação de uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Coeficiente angular de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
Equação da reta quando são conhecidos um ponto 
A(x0, y0) e a declividade m da reta . . . . . . . . . . . . . .22
Forma reduzida da equação da reta . . . . . . . . . . . . . . .25
Forma segmentária da equação da reta. . . . . . . . . . . . .27
Equação geral da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Forma paramétrica da equação da reta . . . . . . . . . . . . .32
 Revisão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2130358 (PR)
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MÓDULO
Geometria analítica: 
ponto e reta
Busto de RenŽ Descartes, em Pavlova, Rœssia.
Geometria analítica: 
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REFLETINDO SOBRE A IMAGEM
René Descartes (1596-1650), no apêndice 
“A  Geometria” de sua obra mais famosa, o 
Discurso do método para bem conduzir a razão 
e procurar a verdade nas ciências, de 1637, es-
tabeleceu relações entre curvas no plano e 
equações algébricas em duas variáveis. Assim, 
nessa seção que continha as ideias básicas da 
Geometria analítica, as propriedades geomé-
tricas das curvas foram “traduzidas” por meio de 
equações e os resultados da Álgebra foram in-
terpretados geometricamente (mostrando a in-
tenção do autor em encontrar correspondência 
geométrica às operações algébricas).
Você sabe como calcular distância entre dois 
pontos? Sabe como checar se três pontos es-
tão alinhados? E o que é coeficiente angular?
www.ser.com.br
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4 Geometria analítica: ponto e reta
CAPÍTULO
1
Geometria analítica: 
ponto e reta
Objetivos:
c Entender o conceito de 
Geometria analítica.
c Conhecer o conceito de 
coeficiente angular.
c Conhecer e escrever 
as várias formas de 
representar equações 
da reta e saber aplicar 
cada tipo.
c Conhecer as posições 
relativas entre duas 
retas.
c Calcular a área de 
uma região triangular, 
dados os vértices do 
triângulo.
c Resolver problemas de 
Geometria euclidiana 
utilizando Geometria 
analítica.
 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares 
ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado 
(x, y) e a cada par ordenado (x, y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não 
é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado, sendo única para cada sistema.
Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x 
e eixo y) que formam o sistema cartesiano ortogonal. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, 
chamado de origem do sistema.
Exemplo:
2
A(3, 2)
B
2
D
O
C
x
y
3
4
21
21
23
22
Ao par ordenado de números reais:
 (0, 0) está associado o ponto O (origem);
 (3, 2) está associado o ponto A;
 (21, 4) está associado o ponto B;
 (22, 23) está associado o ponto C;
 (2, 21) está associado o ponto D.
Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou a abscissa do 
ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
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5Geometria analítica: ponto e reta
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Observa•›es:
 1a) Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regi›es chama-
das quadrantes, cuja identifica•‹o Ž feita conforme a figura a seguir.
2o quadrante
(2, 1)
1o quadrante
(1, 1)
3o quadrante
(2, 2)
4o quadrante
(1, 2)
O x
y
O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante.
 2a) Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas s‹o (a, 0), com a [ R, e ele n‹o pertence 
a quadrante algum.
 3a) Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas s‹o (0, b), com b [ R, e ele n‹o pertence 
a quadrante algum.
 4a) Se o ponto P pertence ˆ bissetriz dos quadrantes ’mpares, suas coordenadas t•m ordenada 
igual ˆ abscissa, ou seja, s‹o do tipo (a, a) com a [ R.
y
x
45°
(a, a)
O
 5a) Se o ponto P pertence ˆ bissetriz dos quadrantes pares, suas coordenadas t•m abscissa e 
ordenada opostas, ou seja, s‹o do tipo (a, 2a) com a [ R.
y
x
45°
O
(a, 2a)
PARA
REFLETIR
O ponto O(0, 0) pertence aos dois 
eixos.
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6 Geometria analítica: ponto e reta
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 7 Para aprimorar: 1
1 Dados os pontos P(a, b) e Q(c, d), determine em quais qua-
drantes esses pontos podem ser encontrados quando:
a) a . 0, c . 0 e b ? d , 0.
b) a , 0, c , 0 e b ? d , 0
c) a , 0, c . 0; a × b . 0 e b ? d , 0
Se a . 0, então P está no 1o ou 4o quadrantes; como b ? d , 0, 
quando b é positivo, d é negativo e vice-versa. Se c . 0, então Q 
também está no 1o ou 4o quadrantes. Portanto, quando P está 
no 1o quadrante, Q está no 4o quadrante e quando Q está no 
1o quadrante, P está no 4o quadrante.
Se a , 0, então P está no 2o ou 3o quadrantes; como b ? d , 0, 
quando b é positivo, d é negativo e vice-versa. Se c , 0, então 
Q também está no 2o ou 3o quadrantes. Portanto, quando P está 
no 2o quadrante, Q está no 3o quadrante e quando Q está no 
2o quadrante, P está no 3o quadrante.
Se a , 0, então P está no 2o ou 3o quadrantes; como a ? b . 0, 
b é negativo, então P está no 3o quadrante. Se c . 0, então Q está 
no 1o ou 4o quadrantes; como b ? d , 0 e b , 0, d é positivo, então 
Q está no 1o quadrante.
2 (UFPR) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: 2y 2 x 1 
1 2 5 0 no plano cartesiano.
y
0
P
r
3
x
As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa fi-
gura, são: c
a) (3, 6).
b) (4, 3).
c) (8, 3).
d) (6, 3).
e) (3, 8).
3 (IFSP) Um triângulo é desenhado marcando-se os pontos 
A(3, 5), B(2, 26) e C(24, 1) no plano cartesiano. O triângulo 
A'B'C' é o simétrico do triângulo ABC em relação ao eixo y. 
Um dos vértices do triângulo A'B'C' é: e
a) (3, 5).
b) (22, 6).
c) (22, 21).
d) (24, 5).
e) (4, 1).
4 (Unifor-CE) Se em determinado ponto do plano cartesiano a 
abscissa é menor que a ordenada, então o quadrante onde 
ele não pode estar é: d
a) primeiro.
b) segundo.
c) terceiro.
d) quarto.
e) primeiro ou terceiro.
O ponto P possui coordenadas (x
P
, 3), logo:
2 ? 3 2 x 1 2 5 0 ⇒ x 5 8 ⇒ P(8, 3).
Considerando que o simétrico de um ponto 
P(x, y) em relação ao eixo y é P'(2x, y), 
temos: 
A'(23, 5); B'(22, 26) e C'(4, 1).
De acordo com o enunciado, o ponto não poderá estar 
no 4o quadrante, pois nesse quadrante a ordenada é 
sempre negativa e a abscissa sempre positiva. Logo, a 
abscissa nunca será menor do que a ordenada.
PARA CONSTRUIR
As competências e habilidades do Enem estão indicadas em questões diversas ao longo do módulo. Se necessário, explique aos alunos que a utilidade 
deste “selo” é indicar o número da(s) competência(s) e habilidade(s) abordada(s) na questão, cuja área de conhecimento está diferenciada por cores (Lin-
guagens: laranja; Ciências da Natureza: verde; CiênciasHumanas: rosa; Matemática: azul). A tabela para consulta da Matriz de Referência do Enem está 
disponível no portal.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
En
em
C-5
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2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
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7Geometria anal’tica: ponto e reta
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 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles, que será indicada por d(A, B), é a medida do 
segmento de extremidades A e B.
Exemplos:
1o) 
0 x
y
1
A(1, 1) B(3, 1)
1 2 3
d(A, B) 5 3 2 1 5 2
2o) 
0 x
y
21
21
1 2 322
A(22, 21) B(3, 21)
d(A, B) 5 3 1 2 5 5
3o) 
0 1 x
y
21
1
2
22
23
24 B(1, 24)
A(1, 2)
d(A, B) 5 2 1 4 5 6
4o) 
0
2122
B(22, 4)
A(22, 1)
x
y
1
2
3
4
d(A, B) 5 4 2 1 5 3
5o) 
1
2 2
3
A(4, 1)
B(1, 3)
10 2 3
3
4 x
y
[d(A, B)]2 5 32 1 22 ⇒ d(A, B) 5 13
6o) 
0 x
y
1
1
2
3
21
52122
23 B(1, 23)
A(22, 2)
22
[d(A, B)]2 5 32 1 52 ⇒ d(A, B) 5 34
Podemos determinar uma expressão que indica a distância entre A e B, quaisquer que sejam 
A(xA , yA) e B(xB , yB).
O triângulo ABC é retângulo em C, logo podemos usar a relação de Pitágoras:
y2
y
y1
x1 x2
A(xA, yA)
xO
C(xB, yA)
B(xB, yB)
C
B
A xB 2 xA
yB 2 yA
d(A, B)
[d(A, B)]2 5 (xB 2 xA)
2 1 (yB 2 yA)
2 ⇒ d(A, B) 5 ( ) ( )x x y yB A
2
B A
2
2 1 2
PARA
REFLETIR
No 5o e no 6o exemplo foi usada 
a relação de Pitágoras.
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8 Geometria analítica: ponto e reta
Observa•ão:
A expressão obtida para a distância entre dois pontos A e B independe da localização de 
A e B, ou seja, vale para A e B quaisquer. Vejamos no 2o, 4o e 6o exemplos analisados anteriormente:
2o) A(22, 21) e B(3, 21)
d(A, B) 5 [3 ( 2)] [( 1) ( 1)]2 22 2 1 2 2 2 5 5 02 21 5 25 5 5
4o) A(22, 1) e B(22, 4)
d(A, B) 5 [ 2 ( 2)] (4 1)2 22 2 2 1 2 5 0 32 21 5 9 5 3
6o) A(22, 2) e B(1, 23)
d(A, B) 5 [1 ( 2)] [( 3) 2]2 22 2 1 2 2 5 3 ( 5)2 21 2 5 34
Concluímos, então, que a distância entre dois pontos A e B quaisquer do plano, tal que 
A(xA , yA) e B(xB , yB), é:
d(A, B) 5 ( ) ( )x x y yB A
2
B A
2
2 1 2 
PARA
REFLETIR
Verifique para os outros três 
exemplos da página anterior.
1 Um ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). 
Calcule a abscissa do ponto P.
RESOLUÇÃO:
Como P é equidistante de A e B, devemos ter:
d(P, A) 5 d(P, B) ⇒
⇒ (3 a) (1 2)2 22 1 2 5 (2 a) (4 2)2 22 1 2 ⇒
⇒ (3 a) 122 1 5 (2 a) 422 1 ⇒
⇒ (3 2 a)2 1 1 5 (2 2 a)2 1 4
⇒ 9 2 6a 1 a2 1 1 5 4 2 4a 1 a2 1 4
⇒ 26a 1 4a 5 4 1 4 2 9 2 1 ⇒
⇒ 22a 5 22 ⇒ 2a 5 2 ⇒ a 5 1
Verificando:
a 5 1 ⇒ 
d(P, A) (3 1) (1 2) 5
d(P, B) (2 1) (4 2) 5
2 2
2 2




5 2 1 2 5
5 2 1 2 5
Então, a abscissa do ponto P é 1.
2 Demonstre que o triângulo com vértices A(22, 4), B(25, 1) e 
C(26, 5) é isósceles.
RESOLUÇÃO:
0 x
y
C
A
B
21
1
2
3
4
2223242526
5
Observa•‹o: A figura apenas ilustra o exercício. Ela é dispen-
sável na resolução.
Um triângulo é isósceles quando tem dois lados congruentes 
(medidas iguais). Vamos calcular, então, as medidas dos lados 
do triângulo ABC :
d(A, B) 5 ( 5 2) (1 4)2 22 1 1 2 5
5 9 91 5 18 5 3 2 
d(A, C) 5 ( 6 2) (5 4)
2 2
2 1 1 2 5
5 16 11 5 17 
d(B, C) 5 ( 6 5) (5 1)2 22 1 1 2 5
5 1 161 5 17
Como d(A, C) 5 d(B, C), o triângulo ABC é isósceles.
3 Considerando os vértices A(21, 23), B(6, 1) e C(2, 25), verifi-
que se o triângulo ABC é retângulo.
RESOLUÇÃO:
Para ser triângulo retângulo, o quadrado de um lado deve ser 
igual à soma dos quadrados dos outros dois. Vejamos:
d(A, B) 5 (6 1) (1 3)2 21 1 1 5 49 161 5
5 65 ⇒ (d(A, B))2 5 65
d(A, C) 5 (2 1) ( 5 3)2 21 1 2 1 5 9 41 5
5 13 ⇒ (d(A, C))2 5 13
d(B, C) 5 (2 6) ( 5 1)2 22 1 2 2 5 16 361 5
5 52 ⇒ (d(B, C))2 5 52
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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9Geometria anal’tica: ponto e reta
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Como 65 5 13 1 52, podemos afirmar que o triângulo ABC 
é retângulo em C.
C
O
A
By
x
4 Considere um ponto P(x, y) tal que a sua distância ao ponto 
A(3, 2) é sempre duas vezes a sua distância ao ponto B(24, 1). 
Nessas condições, encontre uma equação que seja satisfeita 
com as coordenadas do ponto P.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o problema, devemos ter
d(P, A) 5 2d(P, B), ou seja, [d(P, A)]2 5 4[d(P, B)]2.
Assim:
(3 2 x)2 1 (2 2 y)2 5 4[(24 2 x)2 1 (1 2 y)2] ⇒
⇒ 9 2 6x 1 x2 1 4 2 4y 1 y2 5 4[16 1 8x 1 x2 1 1 2 2y 1 y2] ⇒
⇒ 9 2 6x 1 x2 1 4 2 4y 1 y2 5 64 1 32x 1 4x2 1 4 2 8y 1
1 4y2 ⇒
⇒ 23x2 2 3y2 2 38x 1 4y 2 55 5 0 ⇒ 3x2 1 3y2 1 38x 2 4y 1 
1 55 5 0
5 A mediatriz de um segmento AB é a reta formada pelos 
pontos que equidistam de A e B. Encontre uma relação 
entre as coordenadas x e y do ponto P(x, y), sabendo que 
ele pertence à mediatriz do segmento AB, com A(3, 2) e 
B(22, 24).
RESOLUÇÃO:
Se P(x, y) pertence à mediatriz de AB, então d(P, A) 5 d(P, B), 
ou seja, [d(P, A)]2 5 [d(P, B)]2.
Assim:
(x 2 3)2 1 (y 2 2)2 5 (x 2 (22))2 1 (y 2 (24))2 ⇒
⇒ x2 2 6x 1 9 1 y2 2 4y 1 4 5 x2 1 4x 1 4 1 y2 1 8y 1 
1 16 ⇒
⇒ 22x 2 12y 2 7 5 0 ⇒ 2x 1 12y 5 27 é uma das manei-
ras de expressar a relação entre x e y.
PARA CONSTRUIR
5 Determine o ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes 
ímpares equidistantes dos pontos (4, 8) e (6, 2).
En
em
C-5
H-2
2 Se o ponto P(xP, yP) pertence ˆ bissetriz dos quadrantes ’mpares 
(b
13
), temos:
x
y
A(4, 8) b
13
P(a, a)
B(6, 2)
41
21
21 6
2
1
0
8
As coordenadas de P(xP, yP) s‹o iguais, ou seja, xP 5 yP. Assim, P(a, a) 
com a [ R. Se P Ž equidistante de A(4, 8) e B(6, 2), temos:
d(A, P) 5 d(B, P) ⇒ d2(A, P) 5 d2(B, P) ⇒
⇒ (xP 2 xA)
2 1 (yP 2 yA)
2 5 (xP 2 xB)
2 1 (yP 2 yB)
2 ⇒
⇒ (a 2 4)2 1 (a 2 8)2 5 (a 2 6)2 1 (a 2 2)2 ⇒
⇒ a2 2 8a 1 16 1 a2 2 16a 1 64 5
5 a2 2 12a 1 36 1 a2 2 4a 1 4 ⇒ 
⇒ 224a 1 16a 5 40 2 80 ⇒
⇒ 28a 5 240 ⇒ a 5 5
Logo, o ponto Ž P(5, 5).
6 (UFSM-RS) A figura mostra a localização no plano cartesiano 
de uma torre T de transmissão de energia.
y
115
T
1600 x
Duas outras torres devem ser instaladas em posições diferen-
tes sobre a reta y
3
4
x 55 2 , de modo que a distância entre 
cada uma dessas torres e a torre T seja igual a 200 metros.
Os pontos de localização dessas torres são iguais a: c
a) (20, 10) e (160, 315).
b) (0, 25) e (160, 315).
c) (0, 25) e (320, 235).
d) (240, 115) e (320, 235).
e) (240, 115) e (160, 315).
Os pontos (x
1
, y
1
) e (x
2
, y
2
) procurados devem satisfazer as 
seguintes rela•›es:
y 5 
3
4
x 2 5 e (x 2160)2 1 (y 2 115)2 5 2002
Logo:
(x 160)
3
4
x 5 155 200
25x
16
500x 0
x 320 y 235
x 0 y 5
2
2
2
2
1 1
2 2
{
( ) ⇒
⇒ ⇒
⇒
⇒
2 1 2 2 5
2 5
5 5
5 5 2
Ent‹o, os pontos s‹o (0, Ð5) e (320, 235)
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
3
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10 Geometria analítica: ponto e reta
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 14 Para aprimorar: 2 e 3
Pre•o de uma 
lapiseira
Quantidade
Pre•o de 
uma agenda
Quantidade
R$ 10,00 100 R$ 24,00 200
R$ 15,00 80 R$ 13,50 270
R$ 20,00 60 R$ 30,00 160
A loja B monta dois tipos de estojos de madeira fechados. 
Um tipo, com 24 l‡pis de cor em cada estojo, Ž uma caixa 
que tem a forma de um paralelepípedo ret‰ngulo de base 
quadrada, de 16 cm de lado e volume igual a 573 cm3.
O outro tipo, com 18 l‡pis de cor em cada estojo, tem a for-
ma de um cubo, e o seu custo de fabrica•‹o Ž 
3
4
 do custo 
de fabrica•‹o do primeiro estojo.
Para o lojista, o custo de fabrica•‹o de cada estojo, indepen-
dentemente de sua forma, Ž R$ 0,10 o centímetro quadrado.
A loja C, a menor de todas, trabalha somente com tr•s fun-
cion‡rios: Alberto, Beatriz e Carla. A soma dos sal‡rios men-
sais dos tr•s, em dezembro de 2011, era de R$ 5 000,00. 
Determine a quantos quil™metros da loja A dever‡ ser instala-
doo dep—sito da distribuidora de materiais escolares. Aproxi-
me a resposta para um nœmero inteiro de quil™metros. 
O ponto pertence ˆ reta x 5 3. Logo, P(3, k).
A dist‰ncia de P atŽ A Ž igual ˆ dist‰ncia de P atŽ C, da’ temos a 
equa•‹o:
5 1 5 2 1 2
1 5 1 2 1 5
d(P, A) d(P, B) 9 k 3 3 k 4
9 k 0 k 8k 16 k
7
8
2 2 2
2 2
( )( )⇔ ⇔
⇔ ⇔
Logo:



5 1 5 5 5d(P, A) 3
7
8
625
64
25
8
3 km2
2
7 (PUC-RJ) Se os pontos A 5 (21, 0), B 5 (1, 0) e C 5 (x, y) 
s‹o vŽrtices de um tri‰ngulo equil‡tero, ent‹o a dist‰ncia 
entre A e C Ž: b
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 2.
e) 3.
8 (FGV-SP) Um funcion‡rio do setor de planejamento de uma 
distribuidora de materiais escolares verifica que as lojas dos 
seus tr•s clientes mais importantes est‹o localizadas nos 
pontos A(0, 0), B(6, 0) e C(3, 4). Todas as unidades s‹o dadas 
em quil™metros.
O setor de planejamento decidiu instalar um dep—sito no 
ponto P(x, y), de modo que as dist‰ncias entre o dep—sito e 
as tr•s lojas sejam iguais: PA 5 PB 5 PC.
y
xA B
C
Uma pesquisa feita na loja A estima que a quantidade de 
certo tipo de lapiseiras vendidas varia linearmente, de 
acordo com o pre•o de cada uma. O mesmo ocorre com o 
pre•o unit‡rio de determinado tipo de agenda escolar e a 
quantidade vendida.
En
em
C-5
H-2
2
Como o tri‰ngulo ABC Ž equil‡tero, segue que:
5 5 2 2 1 2 5AC AB ( 1 1) (0 0) 22 2 .
En
em
C-2
H-9
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
 PONTO DIVISOR
Sejam A, B e P três pontos do plano cartesiano, tais que P divide o segmento AB numa razão r 5 
AP
PB
, 
denominada razão de seção. Observe na figura abaixo que os triângulos APC e PBD são semelhantes.
y
x
P
A C
B
D
x
B
x
P
x
A
y
A
y
P
y
B
O
Então, temos: r 5 
AP
PB
 5 
x x
x x
A P
P B
2
2
 5 
y y
y y
A P
P B
2
2
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 10 10/26/15 4:40 PM
11Geometria analítica: ponto e reta
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Coordenadas do ponto mŽdio de um segmento de reta
Dado um segmento de reta AB tal que A(xA , yA) e B(xB , yB), vamos determinar as coordenadas 
de M, o ponto médio de AB.
A (x
A
, y
A
) M (x
M
, y
M
) B (x
B
, y
B
)
O ponto médio é o ponto divisor que divide o segmento em duas partes iguais. Sendo A e B os 
pontos extremos do segmento AB, com ponto médio M, teremos 
AM
MB
 5 1. Portanto:
 ⇒ ⇒ ⇒
AM
MB
x x
x x
1
x x
x x
x x x x 2x x xA M
M B
A M
M B
M B A M M A B5
2
2
5
2
2
2 5 2 5 1 ⇒ x
x x
2
M
A B
5
1
 ⇒ ⇒ ⇒
AM
MB
y y
y y
1
y y
y y
y y y y 2y y yA M
M B
A M
M B
M B A M M A B5
2
2
5
2
2
2 5 2 5 1 ⇒ y
y y
2
M
A B
5
1
Coordenadas do baricentro de um tri‰ngulo
Dado um triângulo ABC de vértices A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC, yC), vamos determinar as coorde-
nadas de G, baricentro do triângulo ABC.
M (x
M
, y
M
)
B (x
B
, y
B
)
C (x
C
, y
C
)
G
A (x
A
, y
A
)
Seja M o ponto médio do lado BC. Então x
x x
2
M
B C
5
1
 e y
y y
2
M
B C
5
1
Seja G o baricentro do triângulo. G divide a mediana AM em duas partes, em que uma é o dobro 
da outra. Nesse caso, 
AG
GM
 5 2.
Portanto:
 
AG
GM
 5 
x x
x x
A G
G M
2
2
 ⇒ 2 5 
x x
x x
A G
G M
2
2
 ⇒ 2xG 2 2xM 5 xA 2 xG ⇒ 3xG 5 xA 1 2xM ⇒
 ⇒ ⇒3x x 2
x x
2
G A
B C
5 1 ?
1
 3xG 5 xA 1 xB 1 xC ⇒ x
x x x
3
G
A B C
5
1 1
 
AG
GM
 5 
y y
y y
A G
G M
2
2
 ⇒ 2 5 
y y
y y
A G
G M
2
2
 ⇒ 2yG 2 2yM 5 yA 2 yG ⇒ 3yG 5 yA 1 2yM ⇒
 ⇒ ⇒3y y 2
y y
2
G A
B C
5 1 ?
1
 3yG 5 yA 1 yB 1 yC ⇒ y
y y y
3
G
A B C
5
1 1
 A mediana de um triângulo 
é o segmento que tem como 
extremidades um vértice e o 
ponto médio do lado oposto.
 Todo triângulo possui três me-
dianas que se cruzam num 
pon to chamado baricentro 
do triângulo.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 11 10/26/15 4:40 PM
12 Geometria anal’tica: ponto e reta
6 Determine M, ponto médio de AB, nos seguintes casos:
a) A(3, 22) e B(21, 26)
b) A(0, 7) e B(6, 0)
c) A
1
2
,
1
3( ) e B 1, 23( )2
RESOLUÇÃO:
Considerando M(xM, yM), temos:
a) xM 5 
3 ( 1)
2
1 2
 5 
2
2
 5 1
 yM 5 
2 ( 6)
2
2 1 2
 5 
8
2
2
 5 24
 M(1, 24)
b) xM 5 
0 6
2
1
 5 
6
2
 5 3
 yM 5 
7 0
2
1
 5 
7
2
 5 3
1
2
 M 3,
7
2( ) ou M 3, 3 12( ) 
Observação: a resposta do item b pode ser M(3; 3,5).
c) xM5 
1
2
( 1)
2
1 2
 5 
1
2
2
2
 5 2
1
4
 yM5 
1
3
2
3
2
1
 5 
1
2
 M
1
4
,
1
2( )2
7 Uma das extremidades de um segmento é o ponto 
A(7, 13) e a outra é o ponto B(x
B
, y
B
). Sendo M(23, 24) o 
ponto médio, determine as coordenadas da extremidade 
B do segmento.
RESOLUÇÃO:
Como M
x x
2
,
y y
2
A B A B



1 1
, então:
23 5 
7 x
2
B1 ⇒ 7 1 x
B
 5 26 ⇒ x
B
 5 213
24 5 
13 y
2
B1 ⇒ 13 1 y
B
 5 48 ⇒ y
B
 5 35
Logo, B(213, 35).
8 Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo de 
vértices A(2, 26), B(24, 2) e C(0, 4).
A
O
M1
M2
M3
x
C
y
B
RESOLUÇÃO:
Observando a figura, temos:
M1 é o ponto médio do lado AB;
M2 é o ponto médio do lado AC;
M3 é o ponto médio do lado BC.
Cálculo das coordenadas de M1:
x 5 
4 2
2
2 1
 5 21
y 5 
2 6
2
2
 5 22
Cálculo das coordenadas de M2:
x 5 
0 2
2
1
 5 1
y 5 
4 6
2
2
 5 21
Cálculo das coordenadas de M3:
x 5 
0 4
2
2
 5 22
y 5 
4 2
2
1
 5 3
Vamos calcular, agora, os comprimentos das medianas:
Mediana AM3 , sendo A(2, 26) e M3(22, 3):
d(A, M3) 5 2 2 1 1( 2 2) (3 6)
2 2
 5
5 16 811 5 97 
Mediana BM2, sendo B(24, 2) e M2(1, 21):
d(B, M2) 5 1 1 2 2(1 4) ( 1 2)
2 2
 5
5 125 9 5 34 
Mediana CM1, sendo C(0, 4) e M1(21, 22):
d(C, M1) 5 2 2 1 2 2( 1 0) ( 2 4)
2 2
 5
5 11 36 5 37
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 12 10/26/15 4:40 PM
13Geometria analítica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
9 Dados os pontos A(5, 12) e B(15, 23), determine o ponto P 
do segmento AB tal que a razão entre as medidas de AP e PB 
seja igual a 
2
3
.
RESOLU‚ÌO:
AP
PB
 5 
2
3
Fazendo P(x, y), temos:
 
2
3
 5 
x x
x x
A
B
2
2
 5 
5 x
x 15
2
2
2(x 2 15) 5 3(5 2 x) ⇒ 2x 2 30 5 15 2 3x ⇒
⇒ 5x 5 45 ⇒ x 5 9
 
2
3
 5 
y y
y y
A
B
2
2
 5 
12 y
y ( 3)
2
2 2
2(y 1 3) 5 3(12 2 y) ⇒ 2y 1 6 5 36 2 3y ⇒
⇒ 5y 5 30 ⇒ y 5 6
Logo, P(9, 6).
10 Se os vértices de um triângulo são os pontos A(1, 1), B(22, 3) 
e C(24, 22), determine as coordenadas do baricentro desse 
triângulo.
RESOLU‚ÌO:
O
A(1, 1)
G
B(22, 3)
C(24, 22)
x
y
G: baricentro (ponto de encontro das medianas)
Sabemos que xG5 
x x x
3
A B C1 1 e yG5 
y y y
3
A B C1 1 .
Assim:
xG 5 
1 ( 2) ( 4)
3
1 2 1 2
 5 
5
3
2
yG 5 
1 3 ( 2)
3
1 1 2
 5 
2
3
Logo, as coordenadas do baricentro são 2
5
3
 e 
2
3
.
Ou seja, G
5
3
,
2
3( )2 .
PARA CONSTRUIR
9 Considere os pontos que dividem o segmento AB em quatro partes iguais, sendo A(3, 2) e B(15, 10). Calcule a posição desses pontos.
En
em
C-5
H-2
2
A(3, 2)
B(15, 10)
C
D
E
De acordo com o problema, temos que AC 5 CD 5 DE 5 EB.
Logo, podemos concluir que 
AC
CB
 5 
1
3
.
Fazendo C x , yc c( ) , temos:
1
3
 5 
AC
CB
 ⇒ 
x x
x x
A C
C B
2
2
 5 
3 x
x 15
C
C
2
2
 5 
1
3
 ⇒ 9 2 3x
C
 5 x
C
 2 15 ⇒
⇒ 24x
C 
5 224 ⇒ x
C 
5 6
1
3
 5 
y y
y y
A C
C B
2
2
 ⇒ 
2 y
y 10
C
C
2
2
 5 
1
3
 ⇒ 6 2 3y
C
 5 y
C
 2 10 ⇒ 
⇒ 24y
C
 5 216 ⇒ y
C
 5 4
Logo, C(6, 4).
O ponto D(xD, yD) é ponto médio de AB.
Logo:
x
D 
5 
x x
2
A B1 5 
3 15
2
1
 5 
18
2
 5 9
y
D 
5 
y y
2
A B1 5 
2 10
2
1
 5 
12
2
 5 6
Portanto, D(9, 6).
Fazendo E(xE, yE) , temos: 
DE
EB
 5 1 ⇒ 
x x
x x
D E
E B
2
2
 5 1 ⇒ 
9 x
x 15
E
E
2
2
 5 1 ⇒ 9 2 y
E 
5 y
E 
2 15 ⇒
⇒ 22x
E
 5 224 ⇒ x
E
 5 12
y y
y y
D E
E B
2
2
 5 
6 y
y 10
E
E
2
2
 5 1 ⇒ 6 2 y
E 
5 y
E 
2 10 ⇒ 22y
E 
5 216 ⇒ y
E 
5 8
Logo, E(12, 8).
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 13 10/26/15 4:40 PM
14 Geometria analítica: ponto e reta
13 (UFBA) Um dos vŽrtices de um quadrado ABCD Ž A(22, 21).Uma circunfer•ncia inscrita no quadrado tem centro (1, 3). 
A medida da diagonal do quadrado Ž: e
a) 5 2.
b) 5.
c) 
5 2
2
.
d) 10.
e) 10.
14 Calcule o comprimento da mediana AM do tri‰ngulo ABC, 
cujos vŽrtices s‹o A(0, 0), B(3, 7) e C(5, 21).
x
y
3
5
21
A
C
M
B
7
A mediana relativa ao lado BC é o segmento com extremidades no 
ponto A e no ponto M(xM, yM), que é o ponto médio de BC.
As coordenadas do ponto M são:
xM 5 
5 3
2
1
 5 4
yM 5 
7 1
2
2
 5 3
Logo, M(4, 3).
A distância AM é:
d(A, M) 5 (4 0) (3 0)2 22 1 2 5 25 5 5
A distância entre o vértice do quadrado e o centro da circunferência 
é a metade da diagonal d.
d(A, O) 5 ( 2 1) ( 1 3)2 22 2 12 2 5 9 161 5 25 5 5
d 5 2d(A, O) 5 2 ? 5 5 10
10 AtŽ que ponto o segmento de extremidades A(4, 22) e 
B
2
3
, 1( )2 deve ser prolongado no sentido u ruAB para que seu 
comprimento triplique?
De acordo com o problema, temos que AB
BD
 5 1
2
.
A(4, 22) DC
B
2
3
21




,
Fazendo D(x, y), vem:
x x
x x
A B
B D
2
2
 5 1
2
 ⇒ 
2
2
4
2
3
2
3
xD
 5 1
2
 ⇒ 8 2 4
3
 5 2
3
 2 XD ⇒
⇒ xD 5 2 2 8 ⇒ xD 5 26
y y
y y
A B
B D
2
2
 5 1
2
 ⇒ 
2 1
1 yD
2 1
2 2
 5 1
2
 ⇒ 22 5 21 2 yD ⇒ yD 5 1
Logo, AB deve ser prolongado até o ponto D(26, 1).
11 (UFC-CE) Sejam P(2, 3) e Q(24, 5) dois pontos do plano. Se 
o segmento PQ Ž prolongado de seu pr—prio comprimento 
atŽ o ponto M, que se encontra ˆ esquerda de Q, ent‹o o 
ponto M Ž: a
a) (210, 7).
b) 
21
2
, 7 .( )2
c) 10,
15
2
.( )2
d) 
21
2
,
15
2
.( )2
y
3
5
M(x, y)
Q(24, 5)
P(2, 3)
24 20 x
De acordo com o enunciado, o ponto Q(24, 5) é o ponto médio do 
segmento de extremidade M(x, y) e P(2, 3).
Logo, temos:
24 5 
x 2
2
1
 ⇒ x 1 2 5 2 8 ⇒ x 5 210
5 5 
y 3
2
1
 ⇒ y 1 3 5 10 ⇒ y 5 7
12 (Uece) Se (2, 5) Ž o ponto mŽdio do segmento de extremos 
(5, y) e (x, 7), ent‹o o valor de x 1 y Ž: b
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2 De acordo com o enunciado, temos:
2 5 
5 x
2
1
 ⇒ 5 1 x 5 4 ⇒ x 5 21
5 5 
y 7
2
1
 ⇒ y 1 7 5 10 ⇒ y 5 3
Logo: x 1 y 5 21 1 3 5 2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 14 10/26/15 4:40 PM
15Geometria analítica: ponto e reta
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 15 a 22 Para aprimorar: 4 e 5
15 (UEM-PR – Adaptada) Uma chapa plana, com densidade homogênea, tem a forma de um quadrilátero cujos vértices são os pon-
tos A 5 (0, 0), B 5 (1, 1), C 5 (2, 1) e D 5 (3, 0). Suponha que essa placa foi obtida pela união de duas placas triangulares ABC e ACD. 
Considerando essas placas e os conhecimentos relativos à determinação do centro de massa de figuras planas, indique verdadeira (V) 
ou falsa (F) nas afirmações abaixo:
y
xA(0,0)
B(1,1) C(2,1)
D(3, 0)
a) ( ) Os centros de massa das placas triangulares ABC e ACD são formados pelos seus baricentros, que são, respectivamente, os 
pontos 1,
2
3



 e 
5
3
,
1
3



 .
b) ( ) A massa da chapa triangular ACD é o triplo da massa da chapa triangular ABC.
c) ( ) O centro de massa de uma chapa plana formada pela união de duas outras chapas planas é sempre o ponto médio do 
segmento de reta que une seus respectivos centros de massa.
O centro de massa foi trabalhado no m—dulo 4 de F’sica. Destaque para os alunos que o centro de massa Ž a rela•‹o entre a ‡rea e a massa e 
depende do formato da figura.
a) (V) Verdadeira.
Baricentro da placa ABC: 
0 1 2
3
,
0 1 1
3
1,
2
3








1 1 1 1
5 .
Baricentro da placa ACD: 
0 2 3
3
,
0 1 0
3
5
3
,
1
3








1 1 1 1
5 .
b) (V) Verdadeira, pois a raz‹o entre as ‡reas Ž 3.
S
S
3 1
2
1 1
2
3(ACD)
(ABC)
n
n
5
?
?
5
c) (F) Falsa. Observe a figura abaixo.
1
O
(3, 0)22(26, 0)
1
A
y
G
1
G
2
CB
(0, 3)
x
Baricentro do tri‰ngulo AOB: (22,1)
Baricentro do tri‰ngulo: AOC: (1,1)
Ponto mŽdio de G
1
G
2
: 1
2
, 1



2
 
Baricentro do tri‰ngulo ABC: 3
2
, 1



2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 15 10/26/15 4:40 PM
16 Geometria anal’tica: ponto e reta
 CONDI‚ÌO DE ALINHAMENTO DE TRæS PONTOS
Dizemos que três pontos distintos estão alinhados, ou são colineares, quando existe uma reta 
que passa pelos três.
A
B
C
A, B e C são três pontos alinhados.
Vejamos o que ocorre quando três pontos A, B e C estão alinhados:
C
x1
y1
y2
y3
x3x2O
x
y
A1 C1B1
A
B
C2
B2
A2
Pelo teorema de Tales:
AB
AC
 5 
A B
A C
1 1
1 1
 ⇒ 
AB
AC
 5 
x x
x x
2 1
3 1
2
2
 (I)
AB
AC
 5 
A B
A C
2 2
2 2
 ⇒ 
AB
AC
 5 
y y
y y
2 1
3 1
2
2
 (II)
Comparando (I) e (II), temos:
x x
x x
2 1
3 1
2
2
 5 
y y
y x
2 1
3 1
2
2
 ⇒ 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
 5 
y y
x x
3 1
3 1
2
2
 ⇒ 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
 2 
y y
x x
3 1
3 1
2
2
 5 0 ⇒
⇒ (x3 2 x1)(y2 2 y1) 2 (x2 2 x1)(y3 2 y1) 5 0 ⇒
⇒ x3y2 2 x3y1 2 x1y2 1 x y1 1 2 x2y3 1 x2y1 1 x1y3 2 x y1 1 5 0 ⇒
⇒ x1y2 2 x1y3 1 x2y3 2 x2y1 1 x3y1 2 x3y2 5 0
O primeiro termo da igualdade corresponde ao determinante 
x y 1
x y 1
x y 1
1 1
2 2
3 3
.
Daí, podemos dizer que:
Se três pontos A(x1 , y1), B(x2 , y2) e C(x3 , y3) estão alinhados, então:
D 5 
x y 1
x y 1
x y 1
1 1
2 2
3 3
 5 0
coluna das abscissas dos pontos
coluna das ordenadas dos pontos
Observa•ão:
Fazendo o caminho inverso, podemos verificar também que:
Se D 5 
x y 1
x y 1
x y 1
1 1
2 2
3 3
 5 0, então A(x1 , y1), B(x2 , y2) e C(x3 , y3) são pontos colineares (recíproca 
da propriedade anterior).
Verifique que o primeiro termo 
da igualdade realmente corres-
ponde ao determinante apre-
sentado.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 16 10/26/15 4:40 PM
17Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
11 Verifique se os pontos A(23, 5), B(1, 1) e C(3, 21) est‹o 
alinhados.
RESOLU‚ÌO:
Usando as coordenadas, calculamos o determinante:
D 5 
Ð3 5 1
1 1 1
3 Ð1 1
 5 23 1 15 2 1 2 3 2 5 2 3 5 115 2 15 5 0
Como D 5 0, os pontos dados est‹o alinhados.
Observa•‹o:
B
1
1
O x
y
3
C
5
21
23
A
A figura ilustra, geometricamente, que os pontos dados es-
t‹o numa mesma reta, ou seja, est‹o alinhados, mas Ž o pro-
cesso anal’tico que garante a propriedade.
12 Sabendo que os pontos A(a, 24), B(21, 22) e C(2, 1) est‹o 
alinhados, calcule o valor de a.
RESOLU‚ÌO:
Se os pontos est‹o alinhados, devemos ter:
a 4 1
1 2 1
2 1 1
2
2 2 5 0
Resolvendo a equa•‹o, temos:
22a 2 8 2 1 1 4 2 4 2 a 5 0 ⇒
⇒ 22a 2 a 5 8 1 1 ⇒ 3a 5 29 ⇒ a 5 23
Logo, a 5 23.
13 Determine o valor de x de modo que os pontos A(23, 1), B(x, 2) 
e C(23, 21) sejam os vŽrtices de um mesmo tri‰ngulo.
RESOLU‚ÌO:
Para que A, B e C sejam os vŽrtices de um tri‰ngulo, eles n‹o 
devem estar alinhados.
Ent‹o:
Ð3 1 1
x 2 1
Ð3 Ð1 1
 Þ 0 ⇒
⇒ 2 6 23 2 x 1 6 2 x 2 3 Þ 0 ⇒
⇒ 2x 2 x Þ 3 1 3 ⇒ 2x Þ 26 ⇒ x Þ 23
Logo, x Þ 23.
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
PARA CONSTRUIR
16 Uma reta r passa pelos pontos A(2, 0) e B(0, 4). Uma outra reta s passa pelos pontos C(24, 0) e D(0, 2). O ponto de intersec•‹o das 
duas retas Ž P(a, b). Nessas condi•›es, calcule as coordenadas a e b do ponto P.
x
y
P(a, b)
2
2
4
24
C A
D
B
O ponto P(a, b) é alinhado com A e B. Logo:
2 0 1
0 4 1
a b 1
 5 0 ⇒ 8 1 0 1 0 2 4a 2 2b 2 0 5 0 ⇒
⇒ 24a 2 2b 5 28 ⇒ 2a 1 b 5 4
O ponto P (a, b) é alinhado com os pontos C e D. Assim:
 
4 0 1
0 2 1
a b 1
2
 5 0 ⇒ 28 1 0 1 0 2 2a 1 4b 1 0 5 0 ⇒
⇒ 22a 1 4b 5 8 ⇒ a 2 2b 5 24
Resolvendo o sistema 
2a b 4
a 2b 4
1 5
2 52{ , encontramos a 5 45 e b 5 
12
5
 
Logo, P
4
5
,
12
5( ).
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 17 10/26/15 4:40 PM
18 Geometria analítica: ponto e reta
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 23 a 26 Para aprimorar: 6 e 7
18 Dados A(1, 5) e B(3, 21), determine o ponto no qual a reta AB 
intersecta a bissetrizdos quadrantes ímpares.
x
y
3
3 A
P(a, a)
b13
1
21 B
Se P pertence ˆ bissetriz dos quadrantes ’mpares, ent‹o as suas 
coordenadas s‹o P(a, a). Como P(a, a) est‡ alinhado com A(1, 5) e 
B(3, 21), temos:
a a 1
1 5 1
3 Ð1 1
 5 0 ⇒ 5a 2 1 1 3a 2 15 1 a 2 a 5 0 ⇒
⇒ 8a 5 16 ⇒ a 5 2
Logo, o ponto Ž P(2, 2).
En
em
C-5
H-2
2
17 (UEA-AM) Num plano cartesiano, sabe-se que os pontos A, 
B(1, 2) e C(2, 3) pertencem a uma mesma reta, e que o ponto 
A est‡ sobre o eixo y. O valor da ordenada de A Ž: e
a) 0.
b) 3.
c) 21.
d) 2.
e) 1.
En
em
C-5
H-2
2
O ponto A Ž da forma (0, k). Como os pontos A, B e C 
est‹o alinhados, temos:
0 k 1
1 2 1
2 3 1
0 2k 3 4 k 0 k 1= ⇒ ⇒1 2 2 5 5
 INCLINA‚ÌO DE UMA RETA
y
a
r
xO
Seja a a medida do ângulo que a reta r forma com o eixo x. A medida a do ângulo é conside-
rada do eixo x para a reta r, no sentido anti-horário, e denomina-se inclinação da reta r.
Quanto à inclinação de retas não paralelas ao eixo x, podemos ter:
y
a
O
r
x
0° , a , 90°
y
xO
a
r
a 5 90°
y
a
O
r
x
90° , a , 180°
Se a reta r é paralela ao eixo x, dizemos que sua inclinação é zero, ou seja, a 5 0°.
y
O
r
x
Então, podemos dizer que, para cada reta r, o ângulo a é único e tal que 0° < a , 180°.
Entre as retas de inclina•‹o zero, 
inclui-se o eixo x.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 18 10/26/15 4:40 PM
19Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
Consideremos uma reta r de inclina•ão a em rela•ão ao eixo x.
O coeficiente angular ou a declividade dessa reta r é o nœmero real m que expressa a tangente 
trigonométrica de sua inclina•ão a, ou seja:
m 5 tg a
Vamos observar os v‡rios casos, considerando 0¡ < a , 180¡:
1o) Para a 5 0¡, temos m 5 tg a 5 tg 0¡ 5 0.
y
O
r
x
2o) Para 0¡ , a , 90¡, temos tg a . 0 ⇒ m . 0.
y
O
a
r
x
3o) Para 90¡ , a , 180¡, temos tg a , 0 ⇒ m , 0.
y
O
r
a
x
4o) Para a 5 90¡, a tg a não é definida. Dizemos então que, quando a 5 90¡, isto é, quando a 
reta é vertical, ela não tem declividade.
y
O
a
r
x
Vejamos agora que é poss’vel calcular o coeficiente angular de uma reta a partir das coordenadas 
de dois de seus pontos. 
Como para a 5 0¡ (reta horizontal) a declividade é 0 e para a 5 90¡ (reta vertical) não h‡ 
declividade, vamos analisar os casos de 0¡ , a , 90¡ e 90¡ , a , 180¡:
1o) 0¡ , a , 90¡
C
Dy
Dx
x1
y1
y2
x2O x
ry
a
B
A a
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 19 10/26/15 4:40 PM
20 Geometria anal’tica: ponto e reta
Seja r a reta determinada por A(x1, y1) e B(x2, y2) e seja C (x2, y1).
No triângulo retângulo ABC ( C é reto), temos:
tg a 5 
d(C, B)
d(A, C)
 5 
∆
∆
y
x
 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
Então:
m 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
2o) 90° , a , 180°
x2
y1
y2
x1O x
y
B
Dx
Dy
A
C
180¡ 2 a
a
r
A(x1 , y1), B(x2 , y2) e C (x2 , y1)
No triângulo retângulo ABC (C é reto), temos:
tg (180° 2 a) 5 
d(C, B)
d(A, C)
 5 
∆
∆
y
x
 5 
y y
x x
2 1
1 2
2
2
Como tg (180° 2 a) 5 2tg a, vem:
2tg a 5 
y y
x x
2 1
1 2
2
2
 ⇒ m 5 tg a 5 
∆
∆
y
x
 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
Então:
m 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
Observe que x
2
 Þ x
1
, já que r não é paralela ao eixo y.
Podemos concluir que, se A(x1, y1) e B(x2, y2) são dois pontos distintos quaisquer na reta r, que 
não é paralela ao eixo y (x
1
Þ x
2
), a declividade ou o coeficiente angular de r, que indicaremos por 
m, é dada por:
m 5 
∆
∆
y
x
 5 
2
2
y y
x x
2 1
2 1
Assim, temos duas maneiras de obter o coeficiente angular de uma reta, quando ele existir:
 conhecendo a inclinação a da reta, calculamos m 5 tg a;
 conhecendo dois pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) da reta, calculamos m 5 
2
2
y y
x x
2 1
2 1
.
Na prática, é mais difícil obter a informação sobre a inclinação da reta, por isso é importante 
nunca esquecer que m 5 
2
2
y y
x x
2 1
2 1
 ou m 5 
2
2
y y
x x
1 2
1 2
.
Observa•ão:
Agora você pode utilizar outro método para verificar o alinhamento de três pontos, compa-
rando os coeficientes angulares das retas que passam pelos pontos dois a dois. Por exemplo, na 
verificação do alinhamento de três pontos A(x1 , y1), B(x2 , y2) e C (x3 , y3), podemos verificar se ocorre 
2
2
y y
x x
2 1
2 1
 5 
2
2
y y
x x
3 2
3 2
. Fica a seu critério usar esse método ou continuar utilizando o determinante 
para verificar o alinhamento ou não de três pontos.
Dois pontos distintos determi-
nam uma œnica reta.
PARA
REFLETIR
Podemos usar y1 2 y2 no nume-
rador desde que, no denomina-
dor, usemos x1 2 x2.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 20 10/26/15 4:40 PM
21Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
14 Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2, 3) e B(4, 7).
RESOLU‚ÌO:
m 5 
2
2
7 3
4 2
 5 
4
2
 5 2 ou m 5 
2
2
3 7
2 4
 5 
2
2
4
2
 5 2
EXERCêCIO RESOLVIDO
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 27 a 30
19 Considere os pontos A(6, 2), B(22, 12) e C(4, 6) e o tri‰ngulo ABC. Determine o coeficiente angular da reta que contŽm a mediana 
obtida a partir do vŽrtice A (esboce o gr‡fico para facilitar).
xr
y
4 6
2 A
6 C
M
12
B
22
A mediana a partir do vértice A é o segmento de extremidades no ponto A(6, 2) e no ponto M(xM, yM), que é o ponto médio de BC.
As coordenadas do ponto M são:
5
2 1
x
2 4
2
M 5 1
yM 5 
1
5
12 6
2
9
Logo, M(1, 9).
O coeficiente angular m da reta r que contém a mediana é:
m 5 
y y
x x
A M
A M
2
2
 5 
2 9
6 1
2
2
 5 
7
5
2
Portanto, m 5 
7
5
2 .
En
em
C-5
H-2
2
PARA CONSTRUIR
 O ‰ngulo a Ž agudo 
(0¡ , a , 90¡), pois m . 0.
 Confirme construindo a figura 
com A e B.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 21 10/26/15 4:40 PM
22 Geometria anal’tica: ponto e reta
 EQUA‚ÌO DA RETA QUANDO SÌO CONHECIDOS UM 
PONTO A(x0, y0) E A DECLIVIDADE m DA RETA
J‡ vimos que dois pontos distintos determinam uma reta, ou seja, dados dois pontos distintos, 
existe uma œnica reta que passa pelos dois pontos.
Da mesma forma, um ponto A(x0 , y0) e a declividade m determinam uma reta r. Considerando 
P(x, y) um ponto genŽrico dessa reta, veremos que se pode chegar a uma equa•‹o, de vari‡veis x e 
y, a partir dos nœmeros x0 , y0 e m, que ser‡ chamada equa•‹o da reta r.
15 Determine a equa•‹o da reta r que passa pelo ponto A(4, 2) e 
tem inclina•‹o de 45¡.
RESOLU‚ÌO:
Vamos considerar um ponto P(x, y) que pertence ˆ reta r.
4 x
2
y
0 x
y
P r
C
A
45¡
45¡
No tri‰ngulo APC ( C Ž reto), temos:
tg 45¡ 5 
d(C, P)
d(A, C)
 ⇒ 1 5 
2
2
y 2
x 4
 ⇒
⇒ y 2 2 5 1(x 2 4) ⇒ y 2 2 5 x 2 4 ⇒
 y0 m x0
⇒ y 2 2 2 x 1 4 5 0 ⇒
⇒ 2x 1 y 1 2 5 0 ⇒
⇒ x 2 y 2 2 5 0
Logo, a equa•‹o pedida Ž x 2 y 2 2 5 0.
Os pares (x, y) que satisfazem essa 
igualdade (solu•›es da equa•‹o) 
representam os pontos da reta r :
(0, 22), (5, 3), (10, 8), (21, 23) e 
outros.
PARA
REFLETIR
16 Determine a equa•‹o da reta r que passa pelo ponto A(5, 3) e 
tem coeficiente angular m 5 22.
RESOLU‚ÌO:
5x
3
P(x, y)
A(5, 3)
y
0
r
x
180° 2 a
a
C 5 2 x
y 2 3
y
Se m 5 22, ent‹o a inclina•‹o de r Ž um ‰ngulo obtuso, ou 
seja, tg a 5 22.
No tri‰ngulo ACP, ret‰ngulo em C, em que P(x, y) Ž um ponto 
genŽrico da reta, temos:
2
y 3
x 5
y 3 2 x 5( )⇒ ⇒2 5
2
2
2 5 2 2
(y 2 y0) 5 m(x 2 x0)
⇒ y 2 3 5 22x 1 10 ⇒ 2x 2 y 2 3 2 10 5 0 ⇒
⇒ 2x 1 y 2 13 5 0
Ent‹o, a equa•‹o da reta r Ž 2x 1 y 2 13 5 0.
O ponto (7, 22) pertence ̂ reta r ?
PARA
REFLETIR
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 22 10/26/15 4:40 PM
23Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Genericamente podemos obter a equa•‹o da reta que passa por um ponto A(x0 , y0) e tem um 
coeficiente angular m. Considerando um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta, temos:
x
0
x
y
0
y
0 x
y
P
r
C
A
a
a
m 52
2
y y
x x
0
0
 ⇒ y 2 y0 5 m(x 2 x0)
Observa•›es:
A equa•‹o y 2 y0 5 m(x 2 x0) independe de m ser positivo ou negativo e da localiza•‹o do 
ponto A.
Se a reta Ž paralela ao eixo x, temos m 5 0 e a equa•‹o da reta ser‡ dada por y 5 y0.
Se a reta Ž paralela ao eixo y, todos os pontos da reta t•m a mesma abscissa e a equa•‹o ser‡ 
dada por x 5 x0.
17 Determine a equa•‹o da reta que passa pelo ponto A(21, 4) 
e tem coeficiente angular 2.
RESOLU‚ÌO:
Usando a equa•‹o y 2 y0 5 m(x 2 x0), temos:
y 2 4 5 2(x 2 (21)) ⇒ y 2 4 5 2(x 1 1) ⇒ y 2 4 5 2x 1 2 ⇒
⇒ 22x 1 y 2 6 5 0 ⇒ 2x 2 y 1 6 5 0
A equa•‹o procurada Ž 2x 2 y 1 6 5 0.
18 Determine a equa•‹o da reta que passa pelos pontos 
A(21, 22) e B(5, 2).
RESOLU‚ÌO:
J‡ sabemos como calcular o coeficiente angular da reta de-
terminada pelos pontos A(21, 22) e B(5, 2):
m 5 
2
2
y y
x x
B A
B A
 5 
1
1
2 2
5 1
 5 
4
6
 5 
2
3
Usando o ponto A(21, 22), temos:
y 2 (22) 5 
2
3
(x 2 (21)) ⇒ y 1 2 5 
2
3
(x 1 1) ⇒ 
⇒ 3y 1 6 5 2x 1 2 ⇒ 2x 2 3y 2 4 5 0
A equa•‹o da reta AB Ž 2x 2 3y 2 4 5 0.
Outra resolu•‹o:
Chamando de P(x, y) um ponto genŽrico da reta AB, pode-
mos afirmar que P, A e B est‹o alinhados. Logo:
2 2
x y 1
1 2 1
5 2 1
 5 0 ⇒ 22x 1 5y 2 2 1 10 1 y 2 2x 5 0 ⇒
⇒ 24x 1 6y 1 8 5 0 ⇒ 4x 2 6y 2 8 5 0 ⇒ 2x 2 3y 2 4 5 0
A equa•‹o da reta AB Ž 2x 2 3y 2 4 5 0.
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
5
2
2
5
2
2
5m
y y
x x
y y
x x
y
x
0
0
2 1
2 1
∆
∆
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 23 10/26/15 4:40 PM
24 Geometria anal’tica: ponto e reta
19 Determine a equa•‹o da reta nos seguintes casos:
a) r passa por (4, 7) e Ž paralela ao eixo x.
b) r passa por (4, 7) e Ž paralela ao eixo y.
RESOLU‚ÌO:
a) 
x
r
1
2
3
4
5
6
10 2 3 4
7 (4, 7)
y
Os pontos de r t•m ordenada 7, qualquer que seja a abscissa.
Logo, a equa•‹o de r Ž y 5 7.
Podemos tambŽm justificar assim: se r Ž paralela ao eixo x, 
tem coeficiente angular m 5 0.
Logo:
y 2 7 5 0(x 2 4) ⇒ y 2 7 5 0 ⇒ y 5 7
b) 
x
y
r
1
2
3
4
5
6
10 2 3 4
7 (4, 7)
Se r Ž paralela ao eixo y, seus pontos t•m abscissa 4, qual-
quer que seja a ordenada.
Logo, a equa•‹o da reta r Ž x 5 4.
PARA CONSTRUIR
20 (Vunesp) Seja r uma reta que passa pelo ponto (0, 22). Por dois 
pontos do eixo das abscissas, distantes entre si uma unidade, 
tra•am-se perpendiculares a esse eixo. Se estas perpendicula-
res intersectam r em dois pontos do primeiro quadrante cuja 
dist‰ncia Ž 10 unidades, estabele•a a equa•‹o de r.
 
x
y
1
P(a 1 1, c)
N(a 1 1, b)
M(a, b)
22
10
r
• O triângulo MNP é retângulo. Logo:
PM2 5 MN2 1 PN2 ⇒ 10
2( ) 5 1 1 PN2 ⇒ PN 5 3
Assim, como PN 5 c 2 b, temos c 2 b 5 3 (l).
• A reta r passa por (0, 22). Logo, sua equação é:
y 1 2 5 m(x 2 0) ⇒ y 5 mx 22
• Como M(a, b) [ r, então b 5 ma 2 2.
Como P(a 1 1, c) [ r, então c 5 m(a 1 1) 2 2.
Subtraindo a primeira equação da segunda, encontramos:
c 2 b 5 m(a 1 1) 2 2 2 (ma 2 2) 5 ma 1 m 2 2 2 ma 1 2 ⇒
⇒ c 2 b 5 m (II)
Comparando a equação (I) com a equação (II), temos m 5 3.
Assim, a equação da reta r é y 5 3x 2 2.
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
21 (Insper-SP) No plano cartesiano da figura, feito fora de esca-
la, o eixo x representa uma estrada j‡ existente, os pontos 
A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de incli-
na•‹o 45¡, representa uma estrada que ser‡ constru’da.
45¡
r
C
A
B
d
d
y
x
Para que as dist‰ncias da cidade A e da cidade B atŽ a nova 
estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada inter-
cepta a existente, dever‡ ter coordenadas: c
a) 




1
2
, 0 .
b) (1, 0).
c) 




3
2
, 0 .
d) (2, 0).
e) 




5
2
, 0 .
Seja M o ponto médio do segmen-
to de reta AB.
Se d(A, r) 5 d(B, r) 5 d, então M 
pertence ˆ reta r. Logo:
M
8 3
2
,
2 6
2
11
2
, 45
1 1
5








Portanto, a equação de r é:
° 

 ⇔2 5 ? 2 5 2y 4 tg 45 x
11
2
y x
3
2
 
Em consequência, tomando y 5 0, 
segue-se que C
3
2
, 05




En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 24 10/26/15 4:40 PM
25Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 31 a 34 Para aprimorar: 8 e 9
A equa•‹o da reta r que passa pelos vŽrtices A e C Ž: d
a) y 5 2x 1 7
b) y
x
3
552 1
c) y
x
2
552 1
d) y
x
2
752 1
e) y
x
3
75 1
24 (Insper-SP) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente an-
gular 10, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. J‡ 
a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um 
ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um 
ponto de abscissa 6, ent‹o: e 
a) b 5 a.
b) b 5 a 2 9.
c) b 5 a 2 6.
d) b 5 a 1 9.
e) b 5 a 1 6.
Sabendo que a área do triângulo ABC mede 25, 
obtemos:
AB BC
2
25 5 (c 4) 25 2 c 14⇔ ⇔
?
5 ? 2 5 ? 5
A equação de r é dada por:
⇔
⇔ ⇔
2 5
2
2
? 2
2 5
2
2
? 2 5 2 1
y y
y y
x x
(x x )
y 0
0 5
14 4
(x 14) y
x
2
7
C
C A
C A
C
Destaque para os alunos que, nessa resolução, 
foi usada a relação entre os dois pontos (A e C) 
e o coeficiente angular diretamente na equação.
En
em
C-5
H-2
2
De acordo com as informações, temos 
r: y 5 10x 1 a e s: y 5 9x 1 b. Logo, se 
x 5 6 é a abscissa do ponto de interse-
ção de r e s, então:
10 ? 6 1 a 5 9 ? 6 1 b ⇔ b 5 a 1 6.
22 (PUC-RS) A equa•‹o que representa a reta na figura abaixo Ž: e
1
21
y
x
a) y 5 x.
b) y 5 2x 1 1.
c) y 5 2x 2 1.
d) y 5 x 2 1.
e) y 5 x 1 1.
23 (PUC-RJ) O tri‰ngulo ABC da figura abaixo tem ‡rea 25 e vŽr-
tices A 5 (4, 5), B 5 (4, 0) e C 5 (c, 0).
y
x
CB
A
r
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
Como a reta passa pelos pontos (0,1) e 
(21, 0) temos 
2
2 2
(1 0)
(0 ( 1))
 5 m ⇔ m 5 1. 
Substituindo o ponto (0, 1), temos:
y 2 1 5 1 ? (x 2 0).
Portanto, a equação procurada é y 5 x 1 1.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
 FORMA REDUZIDA DA EQUA‚ÌO DA RETA
Vimos que a equa•‹o da reta que passa por um ponto A(x0 , y0) com declividade m Ž dada por:
y 2 y0 5 m(x 2 x0)
Se escolhermos o ponto particular (0, n), isto Ž, o ponto em que a reta intersecta o eixo y, para 
o ponto (x0 , y0), teremos:
y 2 n 5 m(x 2 0) ⇒ y 2 n 5 mx ⇒ y 5 mx 1 n
O nœmero real n, que Ž a ordenada do ponto em que a reta intersecta o eixo y, Ž chamado 
coeficiente linear da reta.
y 5 mx 1 n
 coefi ciente linear
 coefi ciente angular
Essa forma Ž especialmente importante porque permite obter o coeficiente angular de uma reta 
a partir de uma equa•‹o, alŽm de expressar claramente a coordenada y em fun•‹o de x.
A equa•‹o reduzida de uma 
reta que passa pela origem Ž da 
forma y 5 mx.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 25 10/26/15 4:40 PM
26 Geometria anal’tica: ponto e reta
20 Determine o coeficiente angular e o coeficiente linear da reta 
de equação 2x 1 3y 5 1.
RESOLU‚ÌO:
2x 1 3y 5 1 ⇒ 3y 5 22x 1 1 ⇒ y 5 2
2
3
x 1 
1
3
Logo, o coeficiente angular é m 5 2
2
3
 e o coeficiente linear 
é n 5 
1
3
.
21 Determine a forma reduzida da equação da reta que passa 
pelos pontos A(21, 5) e B(23, 21).
RESOLU‚ÌO:
Vamos, inicialmente, calcular o coeficiente angular da reta:
m 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
 5 
2 2
2 1
1 5
3 1
 5 
6
2
2
2
 5 3
Usando o ponto A(21, 5), temos:
y 2 y1 5 m(x 2 x1) ⇒ y 2 5 5 3(x 1 1) ⇒ y 2 5 5 3x 1 3 ⇒ 
⇒ y 5 3x 1 8
Logo, a equação procurada é y 5 3x 1 8.
Outra resolu•‹o:
A equação reduzida da reta é da forma y 5 mx 1 n.
Como ela passa por (21, 5), temos:
5 5 m(21) 1 n
Como ela também passa por (23, 21), vem:
21 5 m(23) 1 n
Os valores de m e n serão calculados pela resolução do sistema:
{m n 53m n 12 5 22 5 ⇒ 

⇒
m n 5
3m n 1
2m 6 m 3
2 1 5
2 5
5 5
 
Substituindo m 5 3 
na primeira equação, 
temos:
3 2 n 5 25 ⇒
⇒ 2n 5 28 ⇒
⇒ n 5 8
Logo, a equação cor-
respondente é 
y 5 3x 1 8.
22 Determine a equação reduzida da reta que corta os eixos nos 
pontos(25, 0) e (0, 3).
RESOLU‚ÌO:
A equação é da forma y 5 mx 1 n e, como a reta corta o eixo 
y em (0, 3), temos n 5 3.
Ficamos, então, com y 5 mx 1 3. Como a reta passa também 
pelo ponto (25, 0), vem:
0 5 m(25) 1 3 ⇒ 5m 5 3 ⇒ m 5 
3
5
Logo, a equação procurada é y 5 
3
5
x 1 3.
23 Determine a equação reduzida da reta r que passa pela ori-
gem e tem inclinação de 60°.
RESOLU‚ÌO:
A equação reduzida de r é da forma y 5 mx 1 n.
Como r passa pela origem (0, 0), temos n 5 0.
Como a inclinação é de 60°, então:
m 5 tg 60° 5 3
Logo, a equação reduzida de r é y 5 3 .
EXERCêCIOS RESOLVIDOS
Faça o exercício resolvido 21 de 
uma terceira maneira, usando o 
determinante:
x y 1
1 5 1
3 1 1
2
2 2
 5 0
PARA
REFLETIR
PARA CONSTRUIR
25 (Unitau-SP – Adaptada) A equação da reta que passa pelos pontos (3, 3) e (6, 6) é: a
a) y 5 x.
b) y 5 3x.
c) y 5 6x.
d) y 5 
x
2
.
e) y 5 
x
6
.
En
em
C-5
H-2
2
Calculando o coeficiente angular:
m 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
 5 
6 3
6 3
2
2
 5 1
A equação da reta é dada por:
y 2 y1 5 m ? (x 2 x1) ⇒ y 2 3 5 1 ? (x 2 3) ⇒ y 5 x 2 3 1 3 ⇒ y 5 x
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 26 10/26/15 4:40 PM
27Geometria analítica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 35 a 39
27 (UFPE – Adaptada) A equação cartesiana da reta que passa 
pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo positivo x um ângulo 
de 60° é: c
a) y 5 2x 2 2 1 1.
b) y 5 2 3x 2 3 1 1.
c) y 5 3x 2 3 1 1.
d) y 5 2
3
2
x 2 
3
2
 1 1.
e) y 5 
3
2
x 2 
3
2
 1 1.
En
em
C-5
H-2
2
A coordenada do ponto de encontro da reta com o semieixo positivo 
x Ž (1 2 a, 0), então:
tg 60¡ 5 
1
a
 ⇒ a 5 
1
tg 60¼
 5 
1
3
 5 
3
3
 
Portanto, a coordenada Ž 



21
3
3
, 0 , ou seja, 
3 3
3
,0
2


 .
Calculando o coeficiente angular:
m 5 
y y
x x
2 1
2 1
2
2
 5 
1 0
1
3 3
3
2
2
2
 5 
1
3
3
 5 3 
A equação da reta Ž dada por:
y 2 y
1
 5 m ? (x 2 x
1
) ⇒ y 2 1 5 3 ? (x 2 1) ⇒
⇒ y 5 3x 2 3 1 1
26 (Cefet-MG) A tabela seguinte mostra o número de ovos pos-
tos, por semana, pelas galinhas de um sítio:
Semana Nœmero de galinhas (x) Nœmero de ovos (y)
1a 2 11
2a 3 18
3a 4 25
4a 5 32
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que os pares 
ordenados (x, y) satisfazem a relação: c
a) y 5 4x 1 3.
b) y 5 6x 2 1.
c) y 5 7x 2 3.
d) y 5 5x 1 7.
En
em
C-1
H-2
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-6
H-2
5
A relação pedida Ž tal que:
y 11
18 11
3 2
(x 2) y 7x 32 5
2
2
? 2 5 2⇔
 FORMA SEGMENTÁRIA DA EQUAÇÃO DA RETA
Consideremos uma reta r que n‹o passa por (0, 0), intersecta o eixo x no ponto A(a, 0) e inter-
secta o eixo y no ponto B(0, b).
x
y
r
O
B(0, b)
A(a, 0)
Calculando o coeficiente angular, temos:
m 5 
0 b
a 0
2
2
 ⇒ m 5 2
b
a
Usando a forma reduzida y 5 mx 1 n, em que m 5 2
b
a
 e n 5 b, vem:
y 5 2
b
a
 x 1 b ⇒ ay 5 2bx 1 ab ⇒ bx 1 ay 5 ab
Dividindo os dois membros por ab (a Þ 0 e b Þ 0), temos:
bx
ab
 1 
ay
ab
 5 
ab
ab
 ⇒ 
x
a
 1 
y
b
 5 1
Podemos chegar ao mesmo re-
sultado considerando um pon-
to genérico P(x, y) e fazendo 
x y 1
a 0 1
0 b 1
 5 0.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 27 10/26/15 4:40 PM
28 Geometria anal’tica: ponto e reta
Esta Ž a forma segment‡ria da equação da reta que não passa por (0, 0) e intersecta os eixos 
nos pontos (a, 0) e (0, b).
Exemplos:
1o) A forma segmentária da equação da reta que corta os eixos em (5, 0) e (0, 22) Ž 
x
5
 1 
y
22
 5 1.
2o) A reta cuja equação na forma segmentária Ž 
x
5
 1 
y
2
 5 1 corta os eixos em (5, 0) e (0, 2).
3o) Se y 5 2x 2 5 Ž a equação de uma reta na forma reduzida, podemos chegar ̂ forma segmentária:
y 5 2x 2 5 ⇒ 2x 2 y 5 5 ⇒ 
2x
5
 2 
y
5
 5 1 ⇒ 
x
5
2
 1 
y
52
 5 1
Essa reta corta os eixos em 


5
2
, 0 e (0, 25).
24 Escreva na forma segment‡ria a equa•‹o da reta que passa 
pelos pontos (3, 21) e (22, 24).
RESOLUÇÃO:
Determinamos o coeficiente angular:
m 5 
4 1
2 3
2 1
2 2
 5 
3
5
2
2
 5 
3
5
 
Usando o ponto (3, 21), temos:
y 1 1 5 
3
5
 (x 2 3)
Agora vamos obter a equa•‹o na forma segment‡ria:
y 1 1 5 
3
5
 (x 2 3) ⇒ 5y 1 5 5 3x 2 9 ⇒
⇒ 3x 2 5y 5 14 ⇒ 
3x
14
 2 
5y
14
 5 1 ⇒
⇒ 
x
14
3
 1 
2
y
14
5
 5 1
Outra resolu•‹o:
Consideramos o ponto genŽrico P(x, y) e fazemos:
2
2 2
x y 1
3 1 1
2 4 1
 5 0 ⇒ 2x 2 2y 2 12 2 2 2 3y 1 4x 5 0 ⇒
⇒ 3x 2 5y 5 14 ⇒ 
x
14
3
 1 
2
y
14
5
 5 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 40 a 43
28 Dadas as equa•›es das retas a seguir, determine as formas segment‡rias.
a) x 1 2y 2 6 5 0
x
6
 1 y
3
 5 1
b) x 2 y 2 2 5 0
x
2
 1 y
( 2)2
 5 1
c) 3x 2 2y 2 5 5 0
( )
x
5
3
 1 
( )
y
5
2
2
 5 1
d) ax 1 by 1 c 5 0
( )
x
c
a
2
 1 
( )
y
c
b
2
 5 1
En
em
C-5
H-2
2
PARA CONSTRUIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 28 10/26/15 4:41 PM
29Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Toda reta do plano possui uma equa•‹o de forma:
ax 1 by 1 c 5 0
na qual a, b e c s‹o constantes e a e b n‹o s‹o simultaneamente nulos. Essa equa•‹o Ž denominada 
equa•ão geral da reta.
Exemplo:
A reta:
 y 5 2
3
4
x 1 1 pode ser escrita na forma geral por 3x 1 4y 2 4 5 0.
 
x
2
 1 
y
5
 5 1 pode ser dada na forma geral por 5x 1 2y 2 10 5 0.
 y 5 5, que Ž paralela ao eixo x, pode ser dada por 0x 1 1y 2 5 5 0.
 x 5 2, que Ž uma reta vertical, pode ser dada por 1x 1 0y 2 2 5 0.
 y 2 3 5 5(x 2 1) pode ser dada por 5x 2 1y 2 2 5 0.
Observa•›es:
1a) Vimos que a equa•‹o da reta pode ser escrita de v‡rias formas. Na resolu•‹o de exerc’cios 
devemos escolher a mais conveniente em rela•‹o aos dados e ˆ proposta do problema.
Assim:
 na forma y 2 y0 5 m(x 2 x0), identificamos a inclina•‹o a da reta (m 5 tg a) e um ponto 
da reta (x0 , y0);
 na forma reduzida y 5 mx 1 n, identificamos a inclina•‹o a da reta (m 5 tg a), o ponto 
de intersec•‹o da reta com o eixo y (0, n) e ainda o ponto (1, m 1 n);
 na forma segment‡ria 
x
a
1
y
b
5 1 identificamos os pontos de intersec•‹o da reta com 
os eixos: (a, 0) e (0, b);
 quando fazemos 
x y 1
x y 1
x y 1
1 1
2 2
 5 0, identificamos sem fazer c‡lculos dois pontos da 
reta: (x1 , y1)e (x2 , y2);
 a forma geral ax 1 by 1 c 5 0 pode ser obtida a partir de qualquer uma das anteriores.
2a) A mesma reta pode ter diversas representa•›es na forma geral, ou seja, x 1 2y 2 1 5 0, 
2x 1 4y 2 2 5 0, 2x 2 2y 1 1 5 0 e infinitas equa•›es equivalentes a essas. Por essa raz‹o, 
Ž prefer’vel escrever Òobter uma equa•‹o geral da retaÓ a Òobter a equa•‹o geral da retaÓ, 
como no exerc’cio resolvido 26, por exemplo.
3a) Dada uma equa•‹o geral de uma reta r:
ax 1 by 1 c 5 0, seu coeficiente angular pode ser obtido rapidamente usando m 5 
2a
b
.
4a) A reta r tal que ax 1 by 1 c 5 0 intersecta os eixos nos pontos 2


c
a
, 0 e 2

0,
c
b
.
Justifique a 3a e a 4a observações.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 29 10/26/15 4:41 PM
30 Geometria anal’tica: ponto e reta
25 Escreva nas formas reduzida, segmentária e geral a equação da 
reta que passa pelo ponto (1, 26) e tem inclinação de 135°.
RESOLUÇÃO:
Pelos dados do problema, é mais conveniente escrever ini-
cialmente a equação na forma (y 2 y1) 5 m(x 2 x1).
Como a 5 135°, então:
m 5 tg a 5 tg 135° 5 21
E, como a reta passa por (1, 26), temos:
y 1 6 5 21(x 2 1)
Daí vem:
 forma reduzida: 
y 1 6 5 2x 1 1 ⇒ y 5 2x 1 
1 1 2 6 ⇒ y 5 2x 2 5
 forma segmentária:
y 1 6 5 2x 1 1 ⇒ x 1 y 5 
5 25 ⇒ 
2
x
5
 1 
2
y
5
 5 1
 forma geral:
y 1 6 5 2x 1 1 ⇒ x 1 y 2 
21 1 6 5 0 ⇒ x 1 y 1 5 5 0
26 Determine uma equação geral da reta que passa pelos pon-
tos A(1, 4) e B(3, 23).
RESOLUÇÃO:
Vamos calcular a declividade da reta:
m 5 
2 2
2
3 4
3 1
 5 
27
2
Considerando o ponto A(1, 4), temos:
(y 2 y1) 5 m(x 2 x1) ⇒ y 2 4 5 2
7
2
(x 2 1) ⇒
⇒ y 2 4 5 2
7
2x 1 
7
2
 ⇒
⇒ 2y 2 8 5 27x 1 7 ⇒ 7x 1 2y 2 15 5 0
Outra resolu•‹o:
Consideramos um pon to P(x, y) qualquer da reta que passa 
pelos pontos A e B.
Como A, B e P estão alinhados, devemos ter:
2
x y 1
1 4 1
3 3 1
 5 0 ⇒
⇒ 4x 1 3y 2 3 2 12 2 y 1 3x 5 0 ⇒
⇒ 7x 1 2y 2 15 5 0
27 Na figura dada, o ponto O é a origem do sistema de coordena-
das ortogonais e ABCD é um quadrado de lado 3 2 . Escreva 
uma equação geral da reta determinada pelos pontos A e D.
y
xO
D
C
B
A
RESOLUÇÃO:
Se a figura é um quadrado, temos OA 5 OD.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 
AOD, temos:
(AD)2 5 (AO)2 1 (OD)2 ⇒ ( )3 2
2
 5 (OA)2 1 (OA)2 ⇒
⇒ 2(OA)2 5 18 ⇒ (OA)2 5 9 ⇒ OA 5 3
Sendo assim, no sistema de coordenadas ortogonais temos 
A(23, 0), B(0, 23), C(3, 0), D(0, 3).
Uma equação geral da reta determinada pelos pontos A e D 
é dada por:
2
x y 1
3 0 1
0 3 1
 5 0 ⇒ 29 1 3y 2 3x 5 0 ⇒
⇒ 3x 2 3y 1 9 5 0 ⇒ x 2 y 1 3 5 0
Logo, uma equação geral da reta é x 2 y 1 3 5 0.
28 Determine os pontos de intersecção da reta de equação 
3x 2 2y 2 12 5 0 com os eixos x e y.
RESOLUÇÃO:
O ponto de intersecção com o eixo x tem ordenada 0. Logo, 
fazendo y 5 0, temos:
3x 2 2 ? 0 2 12 5 0 ⇒ 3x 2 12 5 0 ⇒ 3x 5 12 ⇒ x 5 4
Então, a reta corta o eixo x no ponto (4, 0).
O ponto de intersecção com o eixo y tem abscissa 0. Logo, 
fazendo x 5 0, temos:
3 ? 0 2 2y 2 12 5 0 ⇒ 22y 5 12 ⇒ y 5 26
Então, ela corta o eixo y no ponto (0, 26).
Outra resolu•‹o:
Podemos passar a equação da forma geral para a segmentária:
3x 2 2y 2 12 5 0 ⇒ 3x 2 2y 5 12 ⇒
⇒ 
3x
12
 2 
2y
12
 5 
12
12
 ⇒ 
x
4
 1 
2
y
6
 5 1
Da equação segmentária obtemos os pontos procurados 
(4, 0) e (0, 26).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Essa reta tem inclinação 
de 135°, passa pelo ponto 
(1, 26) e corta eixos em 
(25, 0) e (0, 25).
O triângulo que ela deter-
mina com os eixos é um 
triângulo retângulo isós-
celes. Calcule a medida da 
hipotenusa.
PARA
REFLETIR
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31Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
29 Se um triângulo tem como vértices os pontos A(1, 1), 
B(22, 22) e C(23, 4), determine a forma geral das equações 
das retas suporte dos lados desse triângulo.
RESOLU‚ÌO:
Equação geral da reta suporte do lado AB:
2 2
x y 1
1 1 1
2 2 1
 5 0 ⇒
x 2 2y 2 2 1 2 2 y 1 2x 5 0 ⇒
⇒ 3x 2 3y 5 0 ⇒ x 2 y 5 0
Equação geral da reta suporte do lado AC:
2
x y 1
1 1 1
3 4 1
 5 0 ⇒ x 2 3y 1 4 1 3 2 y 2 4x 5 0 ⇒
⇒ 23x 2 4y 1 7 5 0 ⇒ 3x 1 4y 2 7 5 0
Equação geral da reta suporte do lado BC:
2 2
2
x y 1
2 2 1
3 4 1
 5 0 ⇒ 22x 2 3y 2 8 2 6 1 2y 2 4x 5 0 ⇒
⇒ 26x 2 y 2 14 5 0 ⇒ 6x 1 y 1 14 5 0
PARA CONSTRUIR
29 (UFSM-RS) O uso de fontes de energias limpas e renováveis, 
como as energias eólica, geotérmica e hidráulica, é uma das 
ações relacionadas com a sustentabilidade que visam a dimi-
nuir o consumo de combustíveis fósseis, além de preservar 
os recursos minerais e diminuir a poluição do ar. Em uma es-
tação de energia eólica, os cata-ventos C1, C2 e C3 estão dis-
postos conforme o gráfico a seguir.
y
x
50
C
3
C
1
C
2
50
100 200
30
10
Para que um cata-vento de coordenadas (x, y) esteja alinha-
do com o cata-vento C
1
 e com o ponto médio do segmento 
C C ,2 3 é necessário e suficiente que: e
a) 2x 1 15y 5 850.
b) 5y 2 x 1 50 5 0.
c) 55y 2 26x 1 2 050 5 0.
d) 4x 1 5y 5 450.
e) 5y 2 6x 1 550 5 0.
En
em
C-5
H-2
1
En
em
C-6
H-2
5
Seja M o ponto mŽdio do segmento de extremidades C2 5 (200, 30) 
e C3 5 (50, 50).
Temos:



M
200 50
2
,
30 50
2
(125, 40)5
1 1
5
Portanto, a condi•‹o de alinhamento dos pontos P 5 (x, y),
C1 5 (100, 10) e M Ž:
x y 1
100 10 1
125 40 1
0 15 1 ⇔ 10x 1 4 000 1 125y 2 100y 2 1 250 2 
2 40x 5 0 ⇔ 5y 2 6x 1 550 5 0
30 Se a reta cuja equação geral é 5x 2 y 2 5 5 0 passa pelo 
ponto A(k, k 1 3), calcule as coordenadas do ponto A.
Se A(k, k 1 3) pertence ˆ reta 5x 2 y 2 5 5 0, ent‹o:
5k 2 (k 1 3) 2 5 5 0 ⇒ 5k 2 k 2 3 2 5 5 0 ⇒ 4k 5 8 ⇒ k 5 2
Logo, o ponto A tem coordenadas:
A(2, 2 1 3) ⇒ A(2, 5)
31 Na figura, o ponto O é origem do sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, OAB é um triângulo equilátero de 
lado 8 e BCDE é um quadrado de lado 8. Se M é ponto médio 
de OB e N é ponto médio de DE, determine uma equação 
geral da reta que passa por M e N.
O M x
y
A
B C
E N D
Os pontos O e B t•m coordenadas O(0, 0) e B(8, 0).
Os pontos D e E t•m coordenadas D(16, 8) e E(8, 8), conforme a 
figura.
M Ž o ponto mŽdio de OB. Ent‹o, M(4, 0).
N Ž o ponto mŽdio de DE. Ent‹o, N(12, 8).
A equa•‹o geral da reta suporte de MN Ž:
x y 1
4 0 1
12 8 1
 5 0 ⇒ 32 1 12y 2 8x 2 4y 5 0 ⇒ 
⇒ 8y 2 8x 1 32 5 0 ⇒ x 2 y 2 4 5 0
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-5
H-2
2
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 31 10/26/15 4:41 PM
32 Geometria anal’tica: ponto e reta
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 44 a 48
32 (Uerj) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos centros A e B de dois municípios. 
Em seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilômetros, em que A 5 (1, 2) e B 5 (7, 14). 
Observe o gráfico:
1 7 x (km)
2
14
0
y (km)
A
B
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte desse trecho retilíneo da ferrovia.
A reta cujos pontos s‹o equidistantes de A e B Ž exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equa•‹o 
da reta que passa pelo ponto mŽdio de AB e Ž perpendicular a ele.
C‡lculo do ponto mŽdio de AB: 
1 1
5( ) ( )( ) ⇔1 72 ,
2 14
2
4, 8 x , y0 0
Coeficiente angular da reta que passa por A e B: 
2
2
5
14 2
7 1
2
Portanto, o coeficiente angular da mediatriz r Ž: 5 2m
1
2
r
A equa•‹o da mediatriz r Ž dada por: ( ) ⇒ ⇒2 5 2 2 2 5 2 1 1 2 5y 8
1
2
x 4 2y 16 x 4 x 2y 20 0
En
em
C-5
H-2
2
 FORMA PARAMƒTRICA DA EQUA‚ÌO DA RETA
Vimos que a equação de uma reta pode aparecer nas formas geral, reduzida e segmentária.
Existe mais uma, conhecida como forma paramŽtrica. Nesse caso, as coordenadas x e y dos 
pontos da reta são dadas em função de uma terceira variável, t, por meio de expressões do 1o grau. 
A variável t é chamada de par‰metro.
Exemplo:
A reta r é definida na forma paramétrica por { 5 15
x t 1
y 2t
Para t 5 5, temos: {x 5 1 6y 2 5 10
5 1 5
5 ? 5
Logo, (6, 10) é um ponto dessa reta. Mais que isso, qualquer ponto P da forma (t 1 1, 2t) será 
um ponto dessa reta r.
Observa•ão:
Para determinar uma equação geral de r, podemos obter t em uma das equações paramétricas 
e substituí-lo na outra:
x 5 t 1 1 ⇒ t 5 x 2 1
y 5 2(x 2 1) ⇒ y 5 2x 2 2 ⇒ 2x 2 y 2 2 5 0 (equação geral de r)
Substitua (6, 10) na equação 
geral de r.
PARA
REFLETIR
SER1_CAD10_MAT_GEOM_C01.indd 32 10/26/15 4:41 PM
33Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
30 Dadas as equa•›es de r na forma paramŽtrica { 5 25 1
x 2t 1
y t 2
, 
determine:
a) a equa•‹o reduzida de r;
b) a intersec•‹o de r com o eixo x.
RESOLU‚ÌO:
a) Determinamos t na segunda equa•‹o:
y 5 t 1 2 ⇒ t 5 y 2 2
Substituindo na outra equa•‹o:
x 5 2t 2 1 ⇒ x 5 2(y 2 2) 2 1 ⇒ 2y 2 4 2 1 5 x ⇒ 
⇒ y 5 
1
2
x 1 
5
2
 (equa•‹o reduzida de r)
b) Fazendo y 5 0, temos:
1
2
x 1 
5
2
 5 0 ⇒ x 1 5 5 0 ⇒ x 5 25
Logo, r corta o eixo x em (25, 0).
EXERCêCIO RESOLVIDO
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 49 a 52
PARA CONSTRUIR
33 Passe a equa•‹o da reta de uma das formas conhecidas para 
outra:
a) 
x
3
 1 
y
2
 5 1, para a forma reduzida;
x
3
 1 
y
2
 5 1 ⇒ 2x 1 3y 5 6 ⇒ 3y 5 22x 1 6 ⇒ y 5 2
2x
3
 1 2
b) y 2 6 5 
1
2
(x 2 4) para a forma geral;
y 2 6 5 1
2
(x 2 4) ⇒ 2y 2 12 5 x 2 4 ⇒ 2y 2 x 2 8 5 0 ⇒ 
⇒ x 2 2y 1 8 5 0
c) 3x 1 9y 2 36 5 0, para a forma segment‡ria;
3x 1 9y 2 36 5 0 ⇒ 3x 1 9y 5 36 ⇒ 3x
36
 1 9y
36
 5 1 ⇒
⇒ 
x
12
 1 y
4
 5 1
En
em
C-5
H-2
2
d) { 5 25 1x 3 t
y t 2
 para a forma geral.
{x 3 ty t 2
5 2
5 1
 ⇒ {t 3 xt y 2
5 2
5 2
 ⇒ y 2 2 5 3 2 x ⇒ x 1 y 2 5 5 0
34 As coordenadas dos pontos de um segmento de reta r s‹o 
dadas por x 5 
12t 1
3
 e y 5 t 1 2, em que 0 < t < 7. Deter-
mine a maior dist‰ncia poss’vel entre dois pontos dessa reta.
Fazendo:
• t 5 0: x 5 
1
3
 e y 5 2 → ( )13 , 2
• t 5 7: x 5 5 e y 5 7 1 2 5 9 → (5, 9)
A distância entre os pontos ( )13 , 2 e (5, 9) é:
d 5 ( )5 13 (9 2)
2
2
2 1 2 5 ( )143 7
2
2
1 5 
196
9
491
Logo, a maior distância possível é 8, 4.
En
em
C-5
H-2
2
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34 Geometria anal’tica: ponto e reta
TAREFA PARA CASA
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Tarefa para casa”. As resoluções encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
PARA PRATICARPARA PRATICAR
1 Observe a figura e determine as coordenadas dos pontos:
2
B
2
D
E
O x
y
3
5
5 A
3
C
21
21
24
24
26
a) A.
b) B.
c) C.
d) D.
e) E.
2 Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais 
os pontos:
a) A(1, 22).
b) D(0, 3).
c) Q(3, 22).
d) B(23, 3).
e) P(21, 25).
f ) N(0, 24).
g) C(4, 4).
h) M(24, 0).
i) R(3, 0).
3 No ret‰ngulo da figura, AB 5 2a e BC 5 a. D• as coordenadas 
dos vŽrtices do ret‰ngulo.
A B
D C
x
y
4 O valor de k2, sabendo que o ponto P(k 2 1, 2k) pertence ˆ 
bissetriz dos quadrantes ’mpares, Ž:
a) 21.
b) 1.
c) 2
1
3
.
d) 
1
3
.
e) 
1
9
5 O raio da circunfer•ncia da figura mede 2 unidades. Quais s‹o 
as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
AC
B
D
O x
y
6 Sabendo que P(a, b), com ab . 0, em que quadrante se en-
contra o ponto P?
7 Sabendo que P(2m 1 1, 23m 2 4) pertence ao terceiro qua-
drante, determine os poss’veis valores reais de m.
8 Calcule a dist‰ncia entre os pontos dados:
a) A(3, 7) e B(1, 4)
b) E(3, 21) e F(3, 5)
c) H(22, 25) e O(0, 0)
d) M(0, 22) e N( )25, 2
e) P(3, 23) e Q(23, 3)
f ) C(24, 0) e D(0, 3)
9 A dist‰ncia do ponto A(a, 1) ao ponto B(0, 2) Ž igual a 3. 
Calcule o valor da abscissa a.
10 Qual Ž a dist‰ncia do ponto A(cos a, sen a) ao ponto B(sen a, 
2cos a)?
11 Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e Ž equidistante 
dos pontos A(21, 2) e B(1, 4). Quais s‹o as coordenadas do 
ponto P?
12 A abscissa de um ponto P Ž 26 e sua dist‰ncia ao ponto Q(1, 3) 
Ž 74 . Determine a ordenada do ponto.
13 Considere um ponto P(x, y) cuja dist‰ncia ao ponto A(5, 3) 
Ž sempre duas vezes a dist‰ncia de P ao ponto B(24, 22). 
Nessas condi•›es, escreva uma equa•‹o que deve ser satis-
feita com as coordenadas do ponto P.
14 Demonstre que um tri‰ngulo com vŽrtices A(0, 5), B(3, 22) e 
C(23, 22) Ž is—sceles e calcule o seu per’metro.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
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35Geometria analítica: ponto e reta
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
15 Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A(21, 6) e B(25, 4).
b) A(1, 27) e B(3, 25).
c) A(21, 5) e B(5, 22).
d) A(24, 22) e B(22, 24).
16 Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(22, 22). 
Sabendo que M(3, 22) é o ponto médio desse segmento, 
calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extre-
midade do segmento.
17 Calcule os comprimentos das medianas do triângulo cujos 
vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 2) e C(2, 4).
18 Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base 
são segmentos coincidentes. Calcule a medida da altura re-
lativa à base BC de um triângulo isósceles de vértices A(5, 8), 
B(2, 2) e C(8, 2).
19 Num paralelogramo ABCD, M(1, 22) é o ponto de encontro 
das diagonais AC e BD. Sabe-se que A(2, 3) e B(6, 4) são dois 
vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam 
mutuamente ao meio, determine as coordenadas dos vérti-
ces C e D.
20 Determine as coordenadas do ponto P(x, y) que divide o seg-
mento A(2, 0) e B(17, 20) na razão 
AP
PB
 5 
1
4
.
21 Determine as coordenadas dos pontos que dividem o 
segmento de extremidades (3, 1) e (18, 7) em três partes 
iguais.
22 Determine o baricentro do triângulo de vértices (2, 3), (4, 5) e 
(6, 10).
23 Verifique se os pontos:
a) A(0, 2), B(23, 1) e C(4, 5) estão alinhados;
b) A(21, 3), B(2, 4) e C(24, 10) podem ser os vértices de um 
mesmo triângulo.
24 Determine x de maneira que os pontos A(3, 5), B(1, 3) e C(x, 1) 
sejam os vértices de um triângulo.
25 Considerando uma reta r que passa pelos pontos A(21, 22) 
e B(4, 2) e intersecta o eixo y no ponto P, determine as coor-
denadas do ponto P.
26 Dados os pontos A(2, 6), B(8, 3) e um ponto P pertencente ao 
eixo x. Determine as coordenadas do ponto P de modo que 
a soma AP 1 PB seja mínima.
27 Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que 
passa pelos pontos:
a) A(3, 2) e B(23, 21).
b) A(2, 23) e B(24, 3).
c) P1(3, 2) e P2(3, 22).
d) P1(21, 4) e P2(3, 2).
e) P(5, 2) e Q(22, 23).
f ) A(200, 100) e B(300, 80).
28 Se a é a medida da inclinação de uma reta e m é a sua decli-
vidade (ou coeficiente angular), complete a tabela:
a m
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
29 Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
P(a, 2b) e Q(b, 2a) sabendo que a Þ b.
30 Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos 
P(a, a2) e Q(b, b2), sabendo que a2 2 2ab 1 b2 5 49 e que a ? b.
31 Determine a equação das retas que satisfazem as seguintes 
condições:
a) A declividade é 4 e passa pelo ponto A(2, 23).
b) A inclinação é de 45° e passa pelo ponto P(4, 1).
c) Passa pelo ponto M(22, 25) e tem coeficiente angular 0.
d) Passa pelos pontos A(3, 1) e B(25, 4).
e) Passa pelo ponto P(23, 24) e é paralela ao eixo y.
32 Verifique se o ponto P(2, 3) pertence à reta r que passa pelos 
pontos A(1, 1) e B(0, 23).
33 Determine a equação das retas que satisfazem as seguintes 
condições:
a) Tem coeficiente angular 
1
2
 e passa pelo ponto A(2, 23).
b) Passa pelo ponto P(1, 27) e é paralela ao eixo x.
c) Passa pelos pontos A(1, 1) e B(22, 22).
d) A inclinação é de 150° e passa pela origem.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
vértices consecutivos. Uma vez que as diagonais se cortam 
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
Use régua e transferidor 
para traçar a reta r que 
passa por (0, 5) e tem 
coeficiente angular 2 3.
PARA
REFLETIR
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
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36 Geometria analítica: ponto e reta
Resolva o exerc’cio 38 de 
tr•s formas diferentes.
PARA
REFLETIR
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
34 O ponto O Ž a origem do sistema de coordenadas ortogonais 
e OABC Ž um ret‰ngulo. Nessas condi•›es, escreva a equa-
•‹o da reta suporte da diagonal AC.
x
y
O A
B(8, 4)
C
35 Dada a reta que tem a equa•‹o 3x 1 4y 5 7, determine sua 
declividade.
36 Determine a equa•‹o da reta que tem coeficiente angular 
m 5 22 e que intersecta o eixo y no ponto A(0, 23).
37 Uma reta passa pelo ponto P(21, 25) e tem coeficiente an-
gular m 5 
1
2
. Escreva a equa•‹o da reta na forma reduzida.
38 Escreva na forma reduzida 
a equa•‹o da reta que pas-
sa pelos pontos P1(2, 7) e 
P2(21, 25).
39 Escreva a equa•‹o:
a) da reta bissetriz dos quadrantes ’mpares;
b) da reta bissetriz dos quadrantes pares;
c) do eixo x ;
d) do eixo y.
40 Escreva na forma segment‡ria a equa•‹o das retas que satis-
fazem as seguintes condi•›es:
a) Passa pelos pontos A(3, 0) e B(0, 2);
b) Passa pelos pontos A(5, 0) e tem declividade 2;
c) Passa pelos pontos P
1
(4, 23) e P
2
(22, 6);
d) Sua equa•‹o reduzida Ž y 5 2x 1 5.
41 Na figuradada, o ponto O Ž a origem do sistema de coordenadas 
ortogonais e OABC Ž um quadrado de lado 3. Escreva a equa•‹o 
da reta suporte da diagonal AC em sua forma paramŽtrica.
x
y
O A
B
C
42 Na figura dada, o ponto O Ž a origem do sistema de coorde-
nadas ortogonais e OABC Ž um quadrado de lado 4. Sabendo 
que M Ž o ponto mŽdio de OA e N, o ponto mŽdio de OC, 
escreva a equa•‹o da reta que passa por C e M e a equa•‹o 
da reta que passa por A e N.
x
y
O M A
B
C
N
43 Uma circunfer•ncia de centro no primeiro quadrante no sis-
tema cartesiano ortogonal e raio 3 2 , passa pela origem e 
pelo ponto A(0, 6).
a) Determine as coordenadas do ponto B pertencente ˆ 
circunfer•ncia e ao eixo das abscissas.
b) Determine as coordenadas do centro dessa circunfe-
r•ncia.
c) Determine a equa•‹o segment‡ria da reta AB.
44 Em cada caso, escreva uma equa•‹o geral da reta definida 
pelos pontos A e B:
a) A(21, 6) e B(2, 23)
b) A(21, 8) e B(25, 21)
c) A(5, 0) e B(21, 24)
d) A(3, 3) e B(1, 25)
45 Se os pontos A(3, 5) e B(23, 8) determinam uma reta, calcule 
o valor de a para que o ponto C(4, a) perten•a a essa reta.
46 Se um tri‰ngulo tem como vŽrtices os pontos A(2, 3), B(4, 1) 
e C(6, 7), determine uma equa•‹o geral da reta suporte da 
mediana relativa ao lado BC.
47 Sabendo que os pontos A(2, 0), B(0, 4) e C(4, 2) s‹o os vŽr-
tices de um tri‰ngulo, determine uma equa•‹o geral das 
retas suporte dos lados desse tri‰ngulo.
48 Sabendo que o ponto P(2, 1) pertence ˆ reta de equa•‹o 
3kx 1 (k 2 3)y 5 4, determine o valor de k e escreva, a seguir, 
uma forma geral da equa•‹o dessa reta.
49 Obtenha as equa•›es reduzidas das retas sabendo que t as-
sume todos os valores reais.
a) { 5 15 2
x t 1
y 1 t
b) { 5 15 1
x t 2
y 2t 5
c) { 5 15 2
x 3t 1
y 2t 4
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
4
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
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37Geometria anal’tica: ponto e reta
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
50 (UFRGS-RS – Adaptada) Um ponto P(x, y) descreve uma traje-
tória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante t 
(t > 0) dada pelas equações { 55x 2ty 3t . Calcule a distância per-
corrida pelo ponto P(x, y) para 0 < t < 3.
51 Dada a equação paramétrica do segmento de reta 
x 2 sen t
y 3 cos t
2
2



5 1
5 1
,
a) calcule as coordenadas das extremidades deste segmento.
b) calcule a medida deste segmento.
c) obtenha a equação reduzida da reta suporte deste 
segmento.
52 O consumo x, em litros de gasolina, de um automóvel em fun-
ção do tempo t, em horas, é descrito pela equação x 5 8t; 
e a distância y, em quilômetros, percorrida por esse automó-
vel, em função do tempo t, em horas, é descrita pela equa-
ção y 5 80t. Obtenha uma equação reduzida da reta, que 
relacione o consumo, em litros, e a distância percorrida, em 
quilômetros, que satisfaça essas duas equações, sendo t um 
parâmetro real.
PARA PRATICARPARA APRIMORAR
1 (Unifesp) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas 
coordenadas (x 1 3y, 2x 2 y) e também por (4 1 y, 2x 1 y), em 
relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nessas condi-
ções, xy é igual a:
a) 28.
b) 26.
c) 1.
d) 8.
e) 9.
2 Demonstre que os pontos A(6, 213), B(22, 2), C(13, 10) e 
D(21, 25) são os vértices consecutivos de um quadrado. (Su-
gestão: verifique que os lados são congruentes e que os ân-
gulos são retos.)
3 Dados os vértices B(2, 3) e C(24, 1), determine o terceiro vér-
tice A sobre o eixo das ordenadas, sabendo que o triângulo 
ABC é retângulo em Â.
4 O ponto P(x0 , y0) divide o segmento AB, com A(1, 5) e 
B(16, 25), na razão AP
PB
 5 3
7
. O valor de ?x y0 0 é igual a:
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
5 (Vunesp) Dados dois pontos, A e B, com coordenadas cartesianas 
(22, 1) e (1, 22), respectivamente, conforme a figura a seguir:
x
y
B
A
C
a) Calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricen-
tro do triângulo ABC são x , yG G( ) 5 23 , 1( ), calcule as 
coordenadas x , yC C( ) do vértice C do triângulo.
6 (ESPM-SP) Os pontos O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x 1 1) do plano 
cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de 
diagonal PQ vale:
a) 12.
b) 16.
c) 25.
d) 4.
e) 9.
7 (Ibmec-SP) Para que os pontos do plano cartesiano de coor-
denadas (1, 1), (a, 2) e (2, b) estejam sobre uma mesma reta, é 
necessário e suficiente que:
a) ab 5 a 2 b.
b) ab 5 a 1 b.
c) ab 5 b 2 a.
d) ab 5 a2 2 b2.
e) ab 5 a2 1 b2.
8 (Uece) Uma reta passa pelo ponto (1, 2) e intercepta os se-
mieixos positivos formando um triângulo retângulo. Se a área 
desse triângulo é 4 unidades de área, então o coeficiente an-
gular da reta é:
a) 24.
b) 23.
c) 22.
d) 21.
9 (UFMG) Sejam A e B dois pontos da reta de equação y 5 2x 1 2, 
que distam duas unidades da origem. Nesse caso, a soma das 
abscissas de A e B é:
a) 
5
8
.
b) 2
8
5
.
c) 2
5
8
.
d) 
8
5
.
tória no plano cartesiano, tendo sua posição a cada instante 
En
em
C-5
H-2
2

En
em
C-5
H-2
2
vel, em função do tempo 
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
tice A sobre o eixo das ordenadas, sabendo que o triângulo 
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
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2
En
em
C-6
H-2
5
En
em
C-5
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2
En
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C-5
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2
En
em
C-5
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2
En
em
C-5
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2
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38 Geometria analítica: ponto e reta
REVISÃO
1 Dados os pontos A(1, 2) e B(22, 7),
a) calcule o ponto médio M entre esses dois pontos.
b) calcule a distância entre os dois pontos.
c) determine a equação reduzida da reta que passa pelos 
dois pontos.
d) determine a equação geral da reta.
e) determine a equação segmentária da reta.
f ) determine o coeficiente angular e coeficiente linear 
da reta.
g) determine as coordenadas dos pontos de cruzamento 
com os eixos x e y.
2 (Udesc) Considere num sistema de coordenadas cartesia-
nas o polígono com vértices nos pontos A(23, 23), B(3, 1), 
C(23, 3) e D(21, 21). O quadrilátero determinado pelos 
pontos médios dos segmentos AB, BC, CD e DA, nessa or-
dem, é um:
a) losango.
b) retângulo.
c) trapézio.
d) quadrado.
e) paralelogramo.
3 Dada a equação paramétrica, determine o que se pede a 
seguir.
{ 5 15 2x t 3y 2t 1
a) A equação reduzida da reta.
b) A equação geral da reta.
c) A equação segmentária da reta.
4 (UFPE) Os pontos P1 5 (1, t); P2 5 ( )12 , 12 e P3 5 (0, 22) 
são colineares se t for igual a:
a) 
1
2
. b) 2. c) 
5
2
. d) 3. e) 
3
2
.
5 (UEPB) Um quadrilátero cujos vértices dados por E(21, 0), 
F(22, 22), G(21, 24) e H(0, 22), possui área igual a:
a) 8 u.a.
b) 4 u.a.
c) 6 u.a.
d) 10 u.a.
e) 2 u.a.
6 (UFPI) Se a reta de equação (k 1 5)x 2 (4 2 k2)y 1 k2 2 6k 1
1 9 5 0 passa pela origem, então seu coeficiente angular 
é igual a:
a) 0. b) 
5
4
. c) 21. d) 2
8
5
. e) 
1
2
.
7 (UEM-PR) Sobre a reta r de equação 2 1 53x 2y 5 0, dê 
a soma da(s) proposição(ões) correta(s).
 (01) O ponto 2, 5( ) pertence a r.
 (02) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser 
ambos racionais.
 (04) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das abs-
cissas é superior a 45°.
 (08) A reta de equação 2 1 56x 3y 3 5 0 é paralela à reta r. 
 (16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto 



0,
5
2
.
En
em
C-5
H-2
2
En
em
C-5
H-2
2
Veja, no Guia do Professor, as respostas da “Revisão”. As resoluções 
encontram-se no portal, em Resoluções e Gabaritos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 ÁVILA, G. Cálculo 1: fun•›es de uma vari‡vel. Rio de Janeiro: Livros TŽcnicos e Cient’ficos, 1982.
 BOYER, C. B. História da Matemática. S‹o Paulo: Edgard BlŸcher/Edusp, 1974.
 COLE‚ÌO do Professor de Matem‡tica. Rio de Janeiro: SBM, 1993. 14 v.
 DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. S‹o Paulo: Ática,