Geometria - Caderno 07

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ENSINO MÉDIO
PROFESSOR MATEMÁTICA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
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 POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES
1 Poliedros: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A noção do poliedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Poliedro convexo e poliedro não convexo . . . . . . . . . . . . . .6
A relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A ideia intuitiva de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Princípio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Volume do prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
As pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tronco de pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
MATEMÁTICA 
GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Luiz Roberto Dante
2124600 (PR)
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MÓDULO
poliedros:
prismas e pirâmides
Colmeia de abelhas. Os alvéolos nos quais o mel é 
depositado são um bom exemplo de construções geo-
métricas na natureza.
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reFLeTindo SoBre A imAGem
As abelhas usam cera para construir os alvéolos 
das colmeias, procurando uma forma geomé-
trica que otimize a economia, ou seja, que apre-
sente o maior volume para a menor porção 
de material gasto. Você sabe qual é o tipo de 
poliedro construído pelas abelhas? Sabe como 
calcular seu volume e sua área total? 
www.ser.com.br
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4 Poliedros: prismas e pirâmides
CAPÍTULO
1
Poliedros: 
prismas e pirâmides
Objetivos:
c Reconhecer os 
principais poliedros, 
incluindo prismas e 
pirâmides, e aplicá-
-los na resolução de 
situações-problema.
c Aplicar a resolução de 
Euler. 
c Identificar poliedros de 
Platão.
c Calcular área e 
volume de prismas e 
pirâmides.
c Calcular o volume do 
tronco de pirâmide.
Exemplos de formas “esteticamente harmônicas” são os poliedros de Platão, pelo fato de esses 
sólidos terem sido considerados perfeitos pelo filósofo do século IV a.C. Num de seus diálogos, o 
Timeu (350 a.C.), a construção do Universo é descrita a partir dos elementos fogo, terra, ar e água, 
representados, respectivamente, pelos poliedros tetraedro, hexaedro, octaedro e icosaedro.
Esses quatro elementos formariam o Universo, representado pelo dodecaedro – doze faces 
pentagonais –, a figura mais próxima da esfera.
Também Kepler (1571-1630) propôs um modelo cosmológico representado pelos poliedros. 
Assim como seus antecessores, acreditava que o mundo era regido por uma geometria pura e que 
havia uma forte influência da forma geométrica sobre o mundo físico.
Veja, no Guia do Professor, o quadro de competências e habilidades desenvolvidas neste módulo.
Modelo cosmológico de Kepler. 
Em seu modelo pode-se ver, de dentro para 
fora, um octaedro inscrito num icosaedro, 
inscrito num dodecaedro, inscrito num 
tetraedro, inscrito num hexaedro.
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5Poliedros: prismas e pirâmides
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Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras. 
30 cm
30 cm
30 cm
50 cm
40 cm
30 cm
40 cm
Deseja-se saber:
Em qual delas será usada maior quantidade de madeira?
Qual delas terá espaço interno maior?
A resolução desse e de outros problemas é possível com o estudo de assuntos que veremos 
neste módulo, como a noção de poliedro, o cálculo da área total e do volume de um prisma e de 
uma pirâmide, etc.
 A noÇÃo de poLiedro
As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros.
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6 Poliedros: prismas e pirâmides
Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas cha-
madas faces e a região do espaço limitada por elas. Cada lado de uma dessas regiões poligonais é 
também lado de uma única outra região poligonal. A intersecção de duas faces quaisquer ou é um 
lado comum, ou é um vértice, ou é vazia.
Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamado aresta do 
poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice do poliedro.
Vértice
Aresta
Face
 poLiedro ConVeXo e poLiedro nÃo ConVeXo
Vamos recordar o que é uma região convexa do plano.
P
a
Q
P
Q
b
P
Q
c
P
Q
d
Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer 
dessa região está inteiramente contido nela. Nas figuras acima, a e b são regiões convexas e c e d 
são regiões não convexas do plano. De modo equivalente, podemos dizer também que uma região 
plana é convexa se qualquer reta r desse plano intersecta seu contorno em, no máximo, dois pontos:
R
S
r
R
S
r
R US T
r R
US T
r
Regiões planas convexas
Regiões planas não convexas
Cada vértice do poliedro é um 
ponto comum a três ou mais 
arestas.
pArA
reFLeTir
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7Poliedros: prismas e pirâmides
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Um poliedro é convexo quando qualquer segmento que liga dois de seus pontos interiores está 
sempre contido nele.
De modo equivalente, podemos dizer que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela 
a quaisquer uma das faces as intersecta em, no máximo, dois pontos.
R
S
r
R
S
r
Poliedros convexos
r
R S
U
T
 
r
S
T
U
R
 Poliedros não convexos
 A reLAÇÃo de eULer
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o 
número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
Observe estes exemplos:
Cubo
F 5 6
V 5 8
A 5 12
Tetraedro
F 5 4
V 5 4
A 5 6
Dodecaedro
F 5 12
V 5 20
A 5 30
Prisma de
base pentagonal
F 5 7
V 5 10
A 5 15
Pirâmide de
base triangular
F 5 4
V 5 4
A 5 6
Tronco de pirâmide
de base retangular
F 5 6
V 5 8
A 5 12
Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos 
que a soma do número de faces com o número de vértices.
Pode-se dizer também que um 
poliedro é convexo quando se 
situa do mesmo lado de qual-
quer plano que contenha uma 
de suas faces.
Constate isso nos poliedros des-
ta página.
pArA
reFLeTir
 LeiA o LiVro
Aprofunde seu conhecimento 
sobre a relação de Euler lendo 
o livro Meu professor de Matem‡-
tica, de Elon Lages Lima. Rio de 
Janeiro: SBM, 1991.
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8 Poliedros: prismas e pir‰mides
Essa relação pode ser escrita assim:
V 2 A 1 F 5 2 (relação de Euler)
O valor 2 dessa expressão é uma característica de todos os poliedros convexos.
Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo:
V 5 6
F 5 5
A 5 9
 V 2 A 1 F 5 2
 ↓ ↓ ↓
 6 2 9 1 5 5 2
Observações:
1a) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos vale também a relação de Euler. Examine um 
exemplo dessa afirmação no poliedro não convexo abaixo:
 V 2 A 1 F 5 2
 7 2 12 1 7 5 2
V 5 7
F 5 7
A 5 12
2a) A expressão V – A 1 F pode assumir valores diferentes de 2 quando o poliedro não é 
convexo. Examine o poliedro abaixo, que é um exemplo dessa situação.
 V 2 A 1 F Þ 2
 ↓↓ ↓
 16 2 32 1 16 5 0
Poliedro n‹o convexo
3a) Dados três números V, A e F tal que V 2 A 1 F 5 2, nem sempre existe um poliedro que 
tenha V vértices, A arestas e F faces. Por exemplo, V 5 1, A 5 3 e F 5 4.
Todo poliedro convexo satisfaz a 
relação de Euler, mas nem todo 
poliedro que satisfaz a relação de 
Euler é convexo.
pArA
reFLeTir
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9Poliedros: prismas e pirâmides
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1 Determine o número de arestas e o número de vértices de 
um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e qua-
tro faces triangulares.
reSoLUÇÃo:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, temos:
6 ? 4 5 24 arestas
O poliedro tem 4 faces triangulares:
4 ? 3 5 12 arestas
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de 
arestas é:
A
24 12
2
185
1
5
Temos então F 5 10, A 5 18.
Aplicando a relação de Euler:
V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 18 1 10 5 2 ⇒ V 5 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
2 Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 
12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. 
Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que 
apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. 
Quantos vértices possui esse poliedro?
reSoLUÇÃo:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 ? 5 5 60 arestas
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim:
20 ? 6 5 120 arestas
Logo:
F 5 12 1 20 5 32
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos:
2A 5 60 1 120 ⇒ 2A 5 180 ⇒ A 5 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V 2 A 1 F 5 2
V 2 90 1 32 5 2 ⇒ V 5 2 1 90 2 32 ⇒ V 5 60
Assim, o número de vértices é 60.
eXerCÍCioS reSoLVidoS
pArA ConSTrUir
A
20 6 12 5
2
905
? 1 ?
5
F 5 32
V 5 2 1 A 2 F
V 5 2 1 90 2 32
V 5 60
As compet•ncias e habilidades do Enem est‹o indicadas em quest›es diversas ao longo do m—dulo. Se necess‡rio, explique aos alunos que a utilidade deste 
ÒseloÓ Ž indicar o nœmero da(s) compet•ncia(s) e habilidade(s) abordada(s) na quest‹o, cuja ‡rea de conhecimento est‡ diferenciada por cores (Linguagens: laranja; 
1 Classifique cada um dos poliedros em convexo ou não convexo.
a) 
Poliedro convexo
b) 
Poliedro n‹o convexo
c) Espaço vazado
(“furo”)
Poliedro n‹o convexo
d) 
Poliedro convexo
2 (Uece) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexágo-
nos e 12 pentágonos. O número de vértices deste polígono é: c
a) 90.
b) 72.
c) 60.
d) 56.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
Ci•ncias da Natureza: verde; Ci•ncias Humanas: rosa; 
Matem‡tica: azul). A tabela para consulta da Matriz de 
Refer•ncia do Enem est‡ dispon’vel no portal.
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10 Poliedros: prismas e pirâmides
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 1 a 7
3 (IFSP) A figura mostra uma pe•a feita em 1587 por Stefano 
Buonsignori, e est‡ exposta no Museu Galileo, em Floren•a, 
na It‡lia. Esse instrumento tem a forma de um dodecaedro 
regular e, em cada uma de suas faces pentagonais, h‡ a gra-
va•‹o de um tipo diferente de rel—gio.
Em 1758, o matem‡tico Leonhard Euler (1707-1783) des-
cobriu o teorema conhecido por rela•‹o de Euler: em todo 
poliedro convexo com V vŽrtices, A arestas e F faces, vale 
a rela•‹o V 2 A 1 F 5 2. Ao se aplicar a rela•‹o de Euler 
no poliedro da figura, o nœmero de arestas n‹o vis’veis Ž: a
a) 10.
b) 12.
c) 15.
d) 16.
e) 18.
4 Determine a soma dos ‰ngulos das faces de um poliedro que 
possui:
a) 5 vŽrtices;
S 5 (V 2 2) ? 360° 5 (5 2 2) ? 360° 5 1 080°
b) 12 arestas e 6 faces.
V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 2 5 A 2 F 5 12 2 6 5 6
S 5 (V 2 2) ? 360° 5 6 ? 360° 5 2 160°
5 A soma dos ‰ngulos das faces de um poliedro convexo Ž 
5 760¡ e as faces s‹o apenas tri‰ngulos e hept‡gonos. Quan-
tas s‹o as faces heptagonais, sabendo que h‡ um total de 
28 arestas no poliedro? c
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
6 (UPE) Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas trian-
gulares. Nessas condi•›es, assumindo que tal poliedro exista, 
o nœmero esperado de vŽrtices para este ser‡: e
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
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em
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Número de arestas: 
( )12 5
2
30
?
5
Número de arestas visíveis: 20
Número de arestas não visíveis: 30 2 20 5 10
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
S V 2 360° V 2   5 760
360
16 V 18¡
¡
5 2 ? 2 5 5 5( ) ⇒ ⇒
V 2 A 1 F 5 2 ⇒ 18 2 28 1 F 5 2 ⇒ F 5 2 1 10 ⇒ F 5 12
Sendo x as faces triangulares e y as faces heptagonais, temos:
x y 12
3x 7y 2 28
–3x 3y 36
3x 7y 56
4y 20 y 5
1 5
1 5 ?
2 5 2
1 5
5 5
{ ⇒ 

⇒
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8



A
8 3
2
12 e F 85 ? 5 5
Logo, V 2 A 1 F 5 2
V 2 12 1 8 5 2
V 5 6
Em um pol’gono, a soma dos ‰ngulos internos Ž 
Si 5 (n 2 2) ? 180¡, em que n Ž o nœmero de lados 
do pol’gono.
PARA
REFLETIR
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11Poliedros: prismas e pirâmides
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 POLIEDROS DE PLATÃO
Um poliedro é denominado poliedro de Plat‹o se, e somente se, forem verificadas as seguintes 
condições:
 Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
 Em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas.
 Vale a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2.
E, da mesma maneira que foi demonstrado que só existem cinco poliedros regulares convexos, 
podemos demonstrar que só existem cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, 
octaedros, dodecaedros e icosaedros.
Este hexaedro é poliedro de Platão, 
mas não é regular, pois não é o cubo.
O cubo é poliedro regular e 
é poliedro de Platão.
 POLIEDROS REGULARES
Entre os poliedros de Platão, existem aqueles em que todas as faces são regiões poligonais 
regulares e congruentes e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas. Estes são os 
poliedros regulares.
 
 Poliedro regular Poliedro regular
Num poliedro de Platão as fa-
ces não precisam ser polígonos 
regulares.
PARA
REFLETIR
Soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo 
Em todo poliedro convexo, a soma dos ângulos das faces é dada por:
S 5 (V 2 2) ? 360°
em que V é o número de vértices do poliedro.
Demonstração:
Seja n1, n2, n3, …, nF o número de lados de cada uma das F faces do poliedro.
Assim, a soma dos ângulos das faces é:
S 5 (n1 2 2) ? 180° 1 (n2 2 2) ? 180° 1 … 1 (nF 2 2) ? 180° ⇒
1 24444444 34444444
1 24444444 34444444
⇒ ⋅ ⇒S 180° n n … n 180° 2 2 2 … 21 2 F
2A F parcelas
5 ? 1 1 1 2 1 1 1 1
⇒ S 5 180° ? 2A 2 180° ? 2F ⇒ S 5 360°(A 2 F)
Da relação de Euler, V 2 2 5 A 2 F, temos S 5 (V 2 2) ? 360°.
Uma região poligonal regular é 
limitada por um polígono regu-
lar, ou seja, por um polígono que 
tem todos os lados e ângulos in-
ternos congruentes.
PARA
REFLETIR
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12 Poliedros: prismas e pir‰mides
n > 3 e p > 3. Por quê?
PARA
REFLETIR
2A 5 nF, pois cada aresta está 
contida em 2 faces.
2A 5 pV, pois cada aresta con-
tém 2 vértices.
PARA
REFLETIR
Observe agora:
 Poliedro n‹o regular: as faces 
n‹o t•m o mesmo nœmero de lados.
A
B
 
 Poliedro n‹o regular: as faces s‹o regulares 
e congruentes, mas para o vŽrtice A convergem 
3 arestas e para o B convergem 4 arestas.
Propriedade: existem apenas cinco poliedros regulares convexos
Vamos demonstrar essa propriedade.
Consideremos um poliedro regular sendo n o número de lados de cada face e p o número de 
arestas que concorrem em cada vértice.
Assim, temos:
2A 5 nF 5 pV
o que acarreta:
A
nF
2
e V  
nF
p
5 5
Substituindo esses valores na relação de Euler, V 2 A 1 F 5 2, temos:
2 1 5
2 1
5
1 2 5
5
1 2
nF
p
 
nF
2
F 2
2nF npF 2pF
2p
4p
2p
F(2n 2p np) 4p
F
4p
2n 2p np
⇒
⇒ ⇒
⇒
Precisamos ter 2n 1 2p 2 np . 0, isto é:
. 2 . 2
2
.2n np 2p 2n p(n 2)
2n
n 2
p⇒ ⇒
Como p > 3, temos que:
⇒ ⇒
⇒ ⇒
2n
n 2
p 3 2n 3n 6
n 6 n 6
2
. > . 2
2 . 2 ,
Portanto,temos as seguintes possibilidades: n 5 3, n 5 4 e n 5 5.
 Para n 5 3:
5
2
5 5
5 5
5 5
F
4p
6 p
p 3 F 4 (tetraedro)
p 4 F 8 (octaedro)
p 5 F 20 (icosaedro)
→
→
→
→




 Para n 5 4:
5
2
5
2
5F
4p
8 2p
2p
4 p
p = 3 F 6 (cubo)→ →
 Para n 5 5:
5
2
5 5F
4p
10 3p
p 3 F 12 (dodecaedro)→ →
O cubo é um poliedro regular. 
Verifique nele que 2A 5 nF 5 pV.
PARA
REFLETIR
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13Poliedros: prismas e pirâmides
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Examine estes desenhos:
 
Tetraedro: 4 faces triangulares equil‡teras e 3 arestas que concorrem em cada vŽrtice.
 
Octaedro: 8 faces triangulares equil‡teras e 4 arestas que concorrem em cada vŽrtice.
 
Icosaedro: 20 faces triangulares equil‡teras e 5 arestas que concorrem em cada vŽrtice.
 
Cubo: 6 faces quadradas e 3 arestas que concorrem em cada vŽrtice.
 
Dodecaedro: 12 faces pentagonais regulares congruentes e 3 arestas que concorrem em cada vŽrtice.
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14 Poliedros: prismas e pir‰mides
 priSmAS
Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, que vamos estudar com mais 
detalhes. Veja alguns exemplos e procure perceber suas características.
 
Construção e definição de prisma
Considere uma região poligonal, por exemplo, ABCDE, contida em um plano a. Escolha um 
ponto A' qualquer, não pertencente a a. Por A' trace o plano b paralelo a a. Pelos demais pontos B, C, 
D, E, trace retas paralelas a AA' que cortam b nos pontos B', C', D', E'. Essas retas são paralelas entre si.
7 Complete a tabela com o nome e o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros convexos regulares. Coloque também 
a forma das faces e verifique em cada um deles a relação de Euler.
Poliedros regulares Nœmero de faces Nœmero de vŽrtices Nœmero de arestas Forma das faces Rela•‹o de Euler
tetraedro 4 4 6 triangular 4 2 6 1 4 5 2
cubo 6 8 12 quadrada 8 2 12 1 6 5 2
octaedro 8 6 12 triangular 6 2 12 1 8 5 2
dodecaedro 12 20 30 pentagonal 20 2 30 1 12 5 2
icosaedro 20 12 30 triangular 12 2 30 1 20 5 2
En
em
C-2
H-8
pArA ConSTrUir
A
E
b
a
D
R
C
B
r
A'
R
 
A
E D
Base
Base
C
B
r
Aresta da base
A'
B'
C'
Aresta lateral
Face lateral
D'E'
a
b
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15Poliedros: prismas e pir‰mides
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
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IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Tome dois segmentos consecutivos assim determinados, por exemplo, AA' e BB' . O quadril‡tero 
AA'BB' Ž plano, pois seus lados AA' e BB' s‹o paralelos. Isso acarreta que AB e A'B' tambŽm s‹o parale-
los (pois est‹o contidos em retas coplanares que n‹o se intersectam por estarem contidas em planos 
paralelos). Logo, o quadril‡tero AA'BB' Ž um paralelogramo. As regi›es limitadas por paralelogramos 
assim determinados, com as regi›es poligonais ABCDE e A'B'C'D'E', formam um poliedro chamado 
prisma de bases ABCDE e A'B'C'D'E'.
A regi‹o do espa•o ocupada por um prisma Ž formada pelos pontos dos segmentos nos quais 
cada extremidade est‡ em uma das bases.
As arestas AA', BB', CC', DD' e EE' s‹o chamadas arestas laterais. Todas as arestas laterais s‹o 
paralelas e de mesmo comprimento.
Arestas laterais consecutivas determinam regi›es que t•m a forma de paralelogramos e s‹o 
cha madas faces laterais do prisma.
As bases ABCDE e A'B'C'D'E' s‹o congruentes. A altura do prisma Ž a dist‰ncia entre as bases.
Observa•‹o:
Quando nos exerc’cios relacionados a esse assunto as bases forem pol’gonos, devemos entend•-
-las como regi›es poligonais (por exemplo, a express‹o prisma cuja base Ž um quadrado deve ser 
entendida como prisma cuja base Ž uma regi‹o quadrada).
Caso particular: o paralelepípedo
Quando a base Ž uma regi‹o em forma de paralelogramo, temos um prisma particular chamado 
paralelep’pedo.
Paralelep’pedos s‹o prismas cuja particularidade Ž que qualquer de suas faces pode ser tomada 
como base, pois duas faces opostas quaisquer est‹o situadas em planos paralelos e s‹o ligadas por 
arestas paralelas entre si.
prismas retos
O prisma Ž reto quando as arestas laterais s‹o perpendiculares ̂ s bases, e obl’quo quando n‹o o s‹o.
 
 Prisma reto Prisma obl’quo
Assim, num prisma reto, as faces laterais s‹o regi›es retangulares.
Retângulo é um caso particular 
de paralelogramo.
pArA
reFLeTir
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 15 7/8/15 11:54 AM
16 Poliedros: prismas e pir‰mides
De acordo com a regi‹o poligonal das bases, o prisma recebe nomes especiais. Veja alguns 
exemplos:
1o) Prisma reto de base triangular ou prisma reto triangular.
A
D E
F
B
C
 Planifcado Planifcado 
Bases: regi›es ABC e DEF
Faces laterais: regi›es ABED, ACFD, BCFE
Arestas laterais: AD, CF e BE
2o) Prisma reto de base pentagonal ou prisma reto pentagonal.
A D
E
B
J
F
G H
I
C
 
 Planif cado
Bases: regi›es ABCDE e FGHIJ
Faces laterais: regi›es BCHG, CDIH, DEJI, AEJF e ABGF (retangulares)
Arestas laterais: AF, BG, EJ, CH e DI
3o) Prisma reto de base retangular ou paralelep’pedo ret‰ngulo ou bloco retangular.
Quando a base Ž uma regi‹o retangular obtemos um paralelepípedo retângulo ou bloco 
retangular, no qual cada face Ž uma regi‹o retangular.
Paralelepípedo retângulo ou bloco retangular
 Paralelepípedo retângulo planif cado
4o) Cubo ou hexaedro regular.
Quando, em um prisma reto, a base Ž uma regi‹o poligonal regular, temos um prisma regular. 
Um exemplo Ž o cubo ou hexaedro regular, que Ž um caso particular de paralelep’pedo ret‰ngulo, 
no qual cada face Ž uma regi‹o quadrada. Assim:
As faces laterais são limitadas por 
paralelogramos particulares, ou 
seja, por retângulos.
pArA
reFLeTir
Um paralelepípedo retângulo é 
um prisma reto em que qualquer 
face serve de base.
pArA
reFLeTir
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17Poliedros: prismas e pir‰mides
M
A
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E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
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IA
 E
 T
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IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Prisma regular é um prisma reto cuja base é uma região poligonal regular.
Cubo ou hexaedro regular
Cubo planif cado
Examine essa classificação em um diagrama:
Para
lelepípedos
Prismas retos
Cubos
Poliedros
Cálculo da diagonal de um paralelepípedo reto retangular e de um cubo
No paralelepípedo de dimensões a, b e c, temos:
a
b
c
x
d
C
GH
E
A
B
F
D
d 5 medida da diagonal do paralelepípedo
x 5 medida da diagonal da base
Na figura, podemos localizar dois triângulos retângulos:
b
A B
x
D
a
c
D B
d
H
x
Todo cubo Ž um paralelep’pedo, 
mas nem todo paralelep’pedo Ž 
um cubo.
pArA
reFLeTir
Todo quadrado Ž um ret‰ngulo. 
Todo ret‰ngulo Ž um paralelo-
gramo. Ent‹o, todo quadrado Ž 
um paralelogramo.
pArA
reFLeTir
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 17 7/8/15 11:54 AM
18 Poliedros: prismas e pir‰mides
PARA CONSTRUIR
 Como o triângulo ABD é retângulo em A, temos, pela relação de Pitágoras:
 x2 5 a2 1 b2 (I)
 Como o triângulo DBH é retângulo em D, temos, pela relação de Pitágoras:
 d2 5 x2 1 c2 (II)
 Substituindo (I) em (II), vem:
d2 5 x2 1 c2 5 a2 1 b2 1 c2 ⇒ d a b c
2 2 2
5 1 1
 No cubo, como ele é um caso particular de paralelepípedo reto retangular, temos:
x
a
a
a
d
 
d a b c 3a a 32 2 2 25 5 1 5 5
 
d a 35
8 Um cubo tem 10 3 cm de aresta. Calcule a medida de sua 
diagonal.
d a 3 10 3 3 30 cm5 5 ? 5 
9 (UEG-GO)
A 3 B
C
3
7
D
A figura acima representa um paralelep’pedo ret‰ngulo. 
As medidas das arestas s‹o AB 5 3 cm, BC 5 7 cm e 
CD 5 3 cm. O per’metro do tri‰ngulo ACD mede: b
a) 6 2 cm
b) 12 cm
c) 13 cm
d) 14 cm
e) 15 cm
Do tri‰ngulo ABC, temos:
( )⇒ ⇒ ⇒AC AB BC AC 3 7 AC 16 AC 4 cm2 2 2 2 2
2
2
5 1 5 1 5 5
Do tri‰ngulo ACD, temos:
AD2 5 AC2 1 CD2 ⇒ AD2 5 42 1 32 ⇒ AD2 5 25 ⇒ AD 5 5 cm
Portanto, o per’metro do tri‰ngulo ACD mede 3 1 4 1 5 5 12 cm.
10 Uma formiga mora na superf’cie de um cubo de aresta 4 cm. 
Qual Ž o menor caminho que ela deve seguir sobre a superf’-
cie do cubo parair de um vŽrtice ao vŽrtice oposto do cubo?
4 cm
A
D C
P
B
E
F
A 4 B 4 F
4
EC
P
D
Planificado
No nAFE, temos:
⇒d 8 4 64 16 80 d 4 5 cm2 2 25 1 5 1 5 5
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 18 10/9/15 4:50 PM
19Poliedros: prismas e pir‰mides
M
A
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M
ç
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A
 
 
G
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 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 8 a 10 Para aprimorar: 1
Área da superfície de um prisma
Em todo prisma, consideramos:
 superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
 superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases;
 área lateral (A
,
): é a área da superfície lateral;
 área total (At): é a área da superfície total.
eXerCÍCioS reSoLVidoS
3 Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 cm 
e a aresta da face lateral mede 6 cm. Calcule a área total.
r
s
Montado
 
r
s
Base
Base
Plani�cado
Na figura, temos:
r 5 medida da aresta lateral 5 6 cm
s 5 medida da aresta da base 5 3 cm
reSoLUÇÃo:
Observando a figura, vemos que:
área lateral 5 A
,
 5 6(r ? s) 5 6(6 ? 3) 5 108 cm2
área da base 5 área da região limitada pelo hexágono regular
A região hexagonal é formada por 6 regiões triangulares 
equiláteras.
s
A área de uma região triangular equilátera de lado , é dada 
por A 5 
l
2 3
4
 
Nesse caso, temos:
A 6
s 3
4
6
3 3
4
27 3
2
cmb
2 2
2
5 ? 5 ? 5
 
Como são duas bases, temos:
2A 2
27 3
2
27 3 cmb
2
5 ? 5
área total 5 área lateral 1 área das bases
A área total é dada por:
,
A A 2A (108  27 3 cm )t b
2
5 1 5 1 
Como 3 1,7; , temos A
t
 . 153,9 cm2.
11 (UFRGS-RS) A figura 1 a seguir representa um prisma reto de base hexagonal regular.
Figura 1
 I) II) III) 
Considerando as planificações I, II e III, quais delas podem ser as do prisma? d
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas I e II. d) Apenas II e III. e) I, II e III.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
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20 Poliedros: prismas e pir‰mides
4 Uma indœstria precisa fabricar 10 000 caixas de sab‹o com as 
medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule, apro-
ximadamente, quantos metros quadrados de papel‹o ser‹o 
necess‡rios.
14 cm
40 cm
20 cm
reSoLUÇÃo:
A caixa tem a forma de um paralelep’pedo ret‰ngulo:
b
c
a
Montado
 
a
b c
Plani�cado
Todo paralelep’pedo ret‰ngulo Ž formado por 6 faces:
 duas regi›es retangulares de medidas a e b;
 duas regi›es retangulares de medidas a e c;
 duas regi›es retangulares de medidas b e c.
Da’, temos:
çrea total
A
t
 5 2ab 1 2ac 1 2bc 1 2(ab 1 ac 1 bc)
çrea de cada caixa:
A
t
 5 2(14 ? 20 1 20 ? 40 1 14 ? 40) 5
5 2(280 1 800 1 560) 5 3 280 cm2
Se 1 m 5 100 cm, ent‹o 1 m2 5 10 000 cm2.
pArA
reFLeTir
Como s‹o 10 000 caixas, temos:
A 5 3 280 ? 10 000 5 32 800 000 cm2 5 3 280 m2
Ser‹o necess‡rios pelo menos 3 280 m2 de papel‹o.
5 Quantos cent’metros quadrados de cartolina, aproximada-
mente, foram usados para montar uma caixa com a forma de 
um cubo com 10 cm de aresta?
10 cm
10 cm
10 cm
reSoLUÇÃo:
a
a
a
Montado
 
a
Plani�cado
a
A superf’cie total de um cubo Ž formada por 6 regi›es qua-
dradas de lado a. Ent‹o, a sua ‡rea total Ž dada por A
t
 5 6a2, 
em que a Ž a aresta do cubo.
No problema dado, a ‡rea de cada uma das 6 regi›es quadra-
das Ž 10 ? 10 5 100 cm2.
A
t
 5 6 ? 100 5 600 cm2
Foram usados 600 cm2 de cartolina.
6 Quantos cent’metros quadrados de papel‹o s‹o gastos para 
fazer uma caixa de sapatos do tipo e do tamanho abaixo?
17 cm
10 cm
32 cm
2 cm
reSoLUÇÃo:
A
t
 5 2(ab 1 ac 1 bc)
Nesse caso, a 5 32 cm, b 5 17 cm e c 5 10 cm.
Assim:
A
t
 5 2(32 ? 17 1 32 ? 10 1 17 ? 10) 5
5 2(544 1 320 1 170) 5 2(1 034) 5 2 068 cm2
Logo, A
t
 5 2 068 cm2.
A aba da tampa Ž formada por quatro regi›es 
retangulares: duas cujas medidas s‹o 2 cm por 17 cm e duas 
cujas medidas s‹o 2 cm por 32 cm.
Assim:
A 5 2 ? 2 ? 17 1 2 ? 2 ? 32 5 68 1 128 5 196 cm2
Quantidade total 5 2 068 cm2 1 196 cm2 5 2 264 cm2 de 
papel‹o.
Portanto, s‹o gastos 2 264 cm2 de papel‹o para fazer essa cai-
xa de sapatos.
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21Poliedros: prismas e pir‰mides
M
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A
 
 
G
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pArA ConSTrUir
12 A figura nos mostra uma pe•a de enfeite. A aresta do cubo mede 20 cm. A cavidade, em forma de prisma regular de base triangular 
de aresta 5 cm, estende-se da face inferior ˆ face superior do cubo. Determine a ‡rea total da pe•a.




A 6 20 3(5 20) 2
5 3
4
2400 300
25 3
2
2700
25 3
2
5400 25 3
2
cm
t
2
1
2
2
2
5 ? 1 ? 2 ? 5 1 2 5
5 2 5
2
 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
7 Dispondo de uma folha de cartolina de 50 cm de compri-
mento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa 
aberta cortando um quadrado de 8 cm de lado em cada can-
to da folha (ver figura). Quantos cent’metros quadrados de 
material s‹o necess‡rios para que seja constru’da essa caixa?
8 cm
50 cm
30 cm
Montando a caixa, temos a figura abaixo:
34 cm
14 cm
8 cm
reSoLUÇÃo:
Na caixa montada temos:
 duas regi›es retangulares de 34 cm por 8 cm
A
1
 5 34 ? 8 5 272 cm2
 duas regi›es retangulares de 14 cm por 8 cm
A
2
 5 14 ? 8 5 112 cm2
 uma regi‹o retangular de 34 cm por 14 cm (fundo da caixa)
A
3
 5 34 ? 14 5 476 cm2
Portanto, a quantidade de material usado Ž:
2A
1
 1 2A
2
 1 A
3
 5 2 ? 272 1 2 ? 112 1 476 5
5 544 1 224 1 476 5 1 244 cm2
oUTrA reSoLUÇÃo:
A regi‹o retangular de 50 cm por 30 cm tem ‡rea de
50 ? 30 5 1 500 cm2.
Cada "canto" Ž um quadrado de 8 cm de lado e, portanto, 
com ‡rea de 8 ? 8 5 64 cm2.
Como s‹o 4 cantos, temos 4 ? 64 5 256 cm2.
S‹o necess‡rios para fazer a caixa
1 500 2 256 5 1 244 cm2 de material.
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22 Poliedros: prismas e pir‰mides
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 11 a 17 Para aprimorar: 2 e 3
 A ideiA inTUiTiVA de VoLUme
Suponha que queiramos medir a quantidade de espaço ocupado por um sólido S. Para isso, 
precisamos comparar S com uma unidade de volume. O resultado dessa comparação é um número 
que exprime quantas vezes o sólido S contém a unidade de volume U. Esse número assim obtido é 
o volume de S.
Por exemplo, o volume do sólido S é de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja:
 
 S—lido S Unidade de volume: U
Volume de S 5 12 U
13 (Udesc) Um bloco s—lido de pedra com forma de paralelep’pedo ret‰ngulo de 12 metros de altura, 10 metros de largura e 4 metros 
de profundidade Ž demarcado de forma a ser dividido em 30 paralelep’pedos iguais e numerados, conforme mostra a figura.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
Se forem extra’dos os paralelep’pedos de nœmeros 7, 9, 12 e 20, ent‹o a nova ‡rea superficial do bloco ser‡ de: a
a) 480 m2. 
b) 104 m2. 
c) 376 m2. 
d) 488 m2. 
e) 416 m2. 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
Sendo a 5 10 m, b 5 4 m e c 5 12 m as dimens›es do bloco, tem-se que sua ‡rea total é:
( )
( )
A 2 a b a c b c
2 10 4 10 12 4 12
416 m
t
2
5 ? ? 1 ? 1 ?
5 ? ? 1 ? 1 ?
5 
Cada um dos 30 paralelep’pedos obtidos a partir do bloco tem dimens›es iguais: 
10
5
2 m5 , 4 m, 
12
6
2 m5 
conforme a figura a seguir.
x
y
y
2
2
4
Chamando as ‡reas das faces de x e de y, segue-se que x 5 22 5 4 m2 e y 5 2 ? 4 5 8 m2.
Portanto, extraindo-se os paralelep’pedos 7, 9, 12 e 20, tem-se que a nova ‡rea superficial do bloco ser‡ igual a:
416 1 13y 2 (8x 1 y) 5 416 1 12y 2 8x 5 416 1 12 ? 8 2 8 ? 4 5 480 m2
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23Poliedros: prismas e pirâmides
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Cubo unit‡rio
Vamos estabelecer como unidade de volume um cubo cuja aresta mede uma unidade de 
comprimento. Ele ser‡ chamado cubo unit‡rio.
Qualquer cubo cuja aresta me•a 1 ter‡, por defini•‹o, volume igual a 1.
1
1
1
Cubo unit‡rio
Volume do paralelep’pedo ret‰nguloou bloco retangular
O bloco retangular Ž um poliedro formado por 6 faces retangulares. Ele fica determinado por 
tr•s medidas: o seu comprimento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c). Indicaremos o volume desse 
bloco retangular por V(a, b, c) e o do cubo unit‡rio por V(1, 1, 1) 5 1.
a
b
c
O volume do bloco retangular Ž proporcional a cada uma de suas dimens›es, ou seja, se manti-
vermos constantes duas das dimens›es e multiplicarmos a terceira dimens‹o por um nœmero natural 
qualquer, o volume tambŽm ser‡ multiplicado pelo mesmo nœmero natural. Isso pode ser observado 
no exemplo a seguir:
V(a, b, 3c) 5 V(a, 3b, c) 5 V(3a, b, c) 5 3V(a, b, c)
ccc
b
a
c
b
b
b
a
c
b
a
a
a
c
b
a
ƒ poss’vel provar que esse fato, constatado com um nœmero natural, vale para qualquer nœ-
mero real positivo. Ou seja, mantidas constantes duas dimens›es do bloco retangular, seu volume Ž 
proporcional ˆ terceira dimens‹o. Assim, temos:
V(a, b, c) 5 a ? V(1, b, c) 5 ab ? V(1, 1, c) 5 abc ? V(1, 1, 1) 5 abc ? 1 5 abc 
Logo:
V(a, b, c) 5 abc
c
b
a
1
1
1
Portanto, o volume de um paralelep’pedo ret‰ngulo Ž dado pelo produto de suas dimens›es.
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 23 7/8/15 11:54 AM
24 Poliedros: prismas e pir‰mides
Observa•›es:
1a) Como ab indica a área da base e c indica a altura, é possível também indicar o volume do 
paralelepípedo retângulo assim:
V 5 Abh
a
b
c
em que Ab 5 ab (área da base); h 5 c (altura correspondente).
Assim, pode-se dizer que o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da 
base pela altura.
2a) Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo com todas as arestas de 
medidas iguais, seu volume é dado por:
V 5 a ? a ? a ou V 5 a3
a
a
a
3a) Agora podemos provar o fato de figuras geométricas semelhantes de razão k entre suas 
grandezas lineares terem volumes com razão k3. De fato, se V(x, y, z) é o volume de um sólido qual-
quer e V(kx, ky, kz) é o volume do sólido semelhante, então:
V(kx, ky, kz) 5 kV(x, ky, kz) 5 k2V(x, y, kz) 5
5 k3V(x, y, z)
Ou seja:
V(kx, ky, kz) 5 k3V(x, y, z)
eXerCÍCioS reSoLVidoS
8 Calcule o volume de um paralelep’pedo ret‰ngulo cujas di-
mens›es s‹o: 3 cm; 2,8 cm e 3 2 cm.
Dado: 2 1,41. .
reSoLUÇÃo:
V abc 3 2,8 3 2 25,2 2 35,532 cm35 5 ? ? 5 ? .
O volume Ž de aproximadamente 35,532 cm3.
9 Qual Ž o volume de concreto necess‡rio para construir uma 
laje de 20 cm de espessura em uma sala de 3 m por 4 m?
4 m 3 m20 cm 5 0,20 m
reSoLUÇÃo:
çrea da base 5 Ab 5 3 ? 4 5 12 m
2
V 5 ‡rea da base ? altura 5 Abh 5
5 12 m2 ? 0,20 m 5 2,40 m3 
S‹o necess‡rios 2,40 m3 de concreto.
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25Poliedros: prismas e pirâmides
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PARA CONSTRUIR
10 Calcule os volumes dos cubos cujas arestas medem:
a) 4 cm;
b) 5,5 cm;
c) 2 2 cm.
RESOLUÇÃO:
a) V 5 a3 5 4 ? 4 ? 4 5 64 cm3 (ou seja, em um cubo cuja 
medida da aresta é 4 cm cabem 64 cubinhos cuja medida 
da aresta é 1 cm).
b) V 5 a3 5 (5,5 cm)3 5 166,375 cm3
c) V a 2 2 cm 2 2 cm
2 2 2 cm 16 2 cm
3
3
3 3 3
3 3 3
5 5 5 5
5 ? 5
( ) 
11 Determine as medidas das arestas dos cubos cujos volumes 
são:
a) 125 dm3;
b) 3 3 cm3.
RESOLUÇÃO:
a) V 5 125 dm3 ⇒ a3 5 125 ⇒ a 5 1253 5 5
33 5 5 dm
b) V 5 3 3 cm3 ⇒ a3 5 3 3 ⇒
 ⇒ a 5 3 33 5 3 3
23
? 5 336 5 3
12 Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para montar 
uma caixa cúbica, calcule o volume dessa caixa.
RESOLUÇÃO:
A área total do cubo é: 
0,96 m2 5 96 dm2 5 9 600 cm2
Sabendo que At 5 6a
2, temos:
9 600 5 6a2 ⇒ a2 5 1 600 ⇒ a 5 40 cm
Como V 5 a3, temos:
V 5 (40 cm)3 5 64 000 cm3 5 64 dm3 5 0,064 m3
13 Na caixa cúbica da figura, a ripa transversal mede 8 dm. 
Qual é o volume da caixa?
RESOLUÇÃO:
Vamos, inicialmente, estabelecer o modelo matemático:
a
a
d
Precisamos determinar a aresta a, conhecendo a diagonal d 
de uma face:
d2 5 a2 1 a2 ⇒ d a 25 
Como d 5 8 dm, temos:
⇒5 5 5 58 a 2 a
8
2
8 2
2
4 2
 
Vamos calcular o volume:
V a 4 2 dm 4 2 dm 128 2 dm3
3
3 3 3 3
5 5 5 5( )
 
O volume da caixa é 128 2 dm3.
14 A diagonal de um cubo mede 10 3 cm. Qual é o volume 
desse cubo?
⇒5 5 5d a 3 10 3 a 10 cm
 
V 5 103 5 1 000 cm3
15 (Unicamp-SP) Ao serem retirados 128 L de água de uma cai-
xa-d'água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 cm.
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
 2 dm
a
128 L 5 128 dm3
a ? a ? 2 5 128 ⇒ a2 5 64 ⇒ a 5 8 dm
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
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26 Poliedros: prismas e pir‰mides
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 18 a 24 Para aprimorar: 4 e 5
 prinCÍpio de CAVALieri
Imagine tr•s pilhas com o mesmo nœmero de folhas de papel, arrumadas de formas diferentes, 
como indicam as figuras:
 
Note que qualquer plano horizontal que seccione as tr•s pilhas ter‡ intersec•›es de mesma ‡rea 
(uma folha); note tambŽm que as tr•s pilhas t•m volumes iguais (s— mudam as formas).
Essa situa•‹o serve para ilustrar o princ’pio de Cavalieri, que veremos em seguida.
S
1
A
1
S
2
a
b
A
2
Vamos considerar os s—lidos S1 e S2 apoiados em um plano horizontal a. Consideremos tambŽm 
o plano b, paralelo a a, que, ao seccionar S1, tambŽm secciona S2, determinando duas regi›es planas 
de ‡reas A1 e A2.
Nessas condi•›es, podemos afirmar que, se para todo plano b temos A1 5 A2, ent‹o:
volume S1 5 volume S2
ƒ poss’vel demonstrar o princ’pio de Cavalieri, mas aqui vamos consider‡-lo verdadeiro sem 
fazer sua demonstra•‹o. Veremos que esse princ’pio simplifica muito o c‡lculo de volumes.
b) Calcule a sua capacidade em litros (1 L equivale a 1 dm3).
V 5 83 5 512 dm3 5 512 L
16 (PUC-RJ) O que acontece com o volume de um paralelep’pe-
do quando aumentamos a largura e a altura em 10% e dimi-
nu’mos a profundidade em 20%? c
a) Não se altera.
b) Aumenta aproximadamente 3%.
c) Diminui aproximadamente 3%.
d) Aumenta aproximadamente 8%.
e) Diminui aproximadamente 8%.
Volume inicial
a
b
c
Volume final
1,1a
1,1b
0,8c
V(inicial) 5 a ? b ? c V(final) 5 1,1a ? 1,1b ? 0,8c 5 0,968 ? V(inicial)
V(final) 2 V(inicial) 5 2 0,032V(inicial), portanto, houve uma redução de 
aproximadamente 3%. 
17 (Acafe-SC) Num reservatório com a forma de um paralelep’-
pedo reto retângulo, de 1 metro de comprimento, 2 metros 
de largura e 5 metros de altura, solta-se um bloco de concre-
to. O n’vel da ‡gua que estava com 60% da altura do reserva-
tório eleva-se até 
3
4
 da altura.
O volume de ‡gua deslocado (em litros) foi de: b
a) 4 500.
b) 1 500.
c) 5 500.
d) 6 000.
Como 5
3
4
0,75, segue-se que o resultado pedido é:
1 ? 2 ? 5 ? (0,75 2 0,6) 5 1,5 m3 5 1 500 L.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
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27Poliedros: prismas e pirâmides
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IA
 VoLUme do priSmA
Para calcular o volume de um prisma qualquer, aplicamos o princ’pio de Cavalieri.
Inicialmente, observamos que, num prisma qualquer com a base contida num plano a, se p Ž 
paralelo a a, a sec•‹o determinada por p no prisma ser‡ sempre congruente ˆ base, e por isso essa 
sec•‹o e a base ter‹o sempre ‡reas iguais.
a
p
Podemos agora calcular o volume de um prisma qualquer utilizando o paralelep’pedo retângulo 
como aux’lio.
a
p
h
h
p > S
1
p > S
2
S
1
S
2
A
b
A
b
Vamos considerar um prisma S1, cuja ‡rea da base Ž Ab e a altura Ž h, e tambŽm um pa-
ralelep’pedo retângulo S2 cuja ‡rea da base Ž Ab e a altura h. O plano a que contŽm as bases 
Ž horizontal. Qualquer plano horizontal p que secciona os dois s—lidos determina no prisma 
S1 a sec•‹o p > S1, cuja ‡rea Ž igual a Ab, e no paralelep’pedo retângulo S2 determina a sec•‹o 
p > S2, cuja ‡rea Ž igual a Ab.
Como ‡rea (p > S1) 5 Ab e ‡rea (p > S2) 5 Ab, para qualquer plano horizontal p temos:
‡rea (p > S1) 5 ‡rea (p> S2)
Pelo princ’pio de Cavalieri, conclu’mos que:
volume do prisma 5 volume do paralelep’pedo retângulo
Como volume do paralelep’pedo retângulo 5 ‡rea da base ? altura, segue:
Volume do prisma 5 ‡rea da base ? altura
V 5 Abh
Em todo prisma, uma sec•‹o 
paralela ˆ base Ž congruente a 
essa base.
pArA
reFLeTir
www.ser.com.br
Acesse o portal e visualize os ele-
mentos e as planifica•›es deste 
e de outros s—lidos no simulador 
Figuras geométricas espaciais 
em 3D.
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28 Poliedros: prismas e pirâmides
eXerCÍCioS reSoLVidoS
14 Calcule o volume do prisma reto indicado na figura.
25 cm
15 cm 12 cm
20 cm
reSoLUÇÃo:
A base desse prisma Ž um tri‰ngulo do qual s‹o conhecidos 
os tr•s lados. 
Pode-se obter a ‡rea usando a f—rmula de Heron:
Ab 5 ? ? ?30 5 10 15 5 22 500 5 150
A altura do prisma Ž de 12 cm. Seu volume Ž: 
V 5 Abh 5 150 ? 12 5 1 800 cm
3
Logo, o volume do prisma Ž de 1 800 cm3.
15 Queremos encher de areia a caixa indicada na figura. Qual Ž 
o volume de areia que cabe nessa caixa?
.Dado : 3 1,7.
Realidade
35 cm
11 cm
 
35 cm
Modelo matem‡tico
11 cm
reSoLUÇÃo:
11 cm
A ‡rea da base Ž a ‡rea de um hex‡gono regular cujo lado 
mede 11 cm.
Sabemos que o hex‡gono regular Ž formado por 6 tri‰ngulos 
equil‡teros e que a ‡rea de um tri‰ngulo equil‡tero de lado 
, Ž dada por 
l
2 3
4
.
Logo, a ‡rea da base Ž dada por:
Ab 5 6
11 3
4
2
? . 308,6 cm2
O volume do prisma Ž dado por V 5 Abh, sendo 
Ab . 308,6 cm
2 e h 5 35 cm.
V 5 308,6 cm2 ? 35 cm 5 10 801 cm3 5 10,801 dm3
O volume de areia que cabe nessa caixa Ž de aproximada-
mente 11 dm3.
16 Calcule o volume de uma porca de parafuso cuja forma e me-
didas est‹o na figura abaixo.
5 mm
6 mm
8 mm
reSoLUÇÃo:
Vamos indicar por:
V1: o volume do prisma maior
V2: o volume do prisma menor
V 5 V1 2 V2: volume da porca
 Vamos calcular V1:
 Ab1 5 6
3
4
2
<
? 5 6
8 3
4
2
? . 163,2 mm2
 V1 5 A hb1 5 163,2 mm
2 ? 5 mm 5 816 mm3
 Vamos calcular V2:
 
A 6
3
4
6
6 3
4
91,8 mmb2
2 2
2
.
,
5 ? 5 ?
 V2 5 A hb1 5 91,8 mm
2 ? 5 mm 5 459 mm3
 Vamos calcular V:
 V 5 V1 2 V2 5 816 2 459 5 357 mm
3
 O volume da porca de parafuso Ž 357 mm3.
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29Poliedros: prismas e pir‰mides
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PARA CONSTRUIR
18 (ESPCEX-SP) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é 3
3
. 
Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. 
O volume do prisma original é: b
a) 18 cm3.
b) 36 cm3.
c) 18 3 cm3.
d) 36 3 cm3.
e) 40 cm3.
Volume do prisma 1: 
6 a 3 h
4
2
? ?
Volume do prisma 2: 6 (a 2) 3 h
4
2
? 1 ?
Aumento do volume: 2 5 ? 1 ? 5V V 6 3 (a 1) h 108 (I)2 1
a
h
3
3
h a 3 (II)5 5⇒
Substituindo (II) em (I), temos:
6 3 (a 1) a 3 108
18 (a a) 108
a a 6
2
2
? 1 ? 5
1 5
1 5
Resolvendo a equa•‹o do segundo grau, temos a 5 2 3 (n‹o convŽm) ou a 5 2.
⇒5 5a 2 cm h 2 3 cm, portanto, o volume do prisma 1 ser‡ dado por:
V
6 a 3 h
4
6 2 3 2 3
4
36 cm1
2 2
3
5
? ?
5
? ?
5
 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
a
Prisma 1 Prisma 2
h h
a 1 2
17 A área total de um prisma hexagonal regular é 1(96 12 3) m2. 
A aresta da base do prisma mede 2 m. Calcule a altura e o volu-
me do prisma.
RESOLU‚ÌO:
Calculamos primeiro a área da base, em que a 5 2:
Ab 5 6
a 3
4
2
? 5 6
4 3
4
? 5 6 3
Vamos agora calcular a área lateral, sabendo que cada face é 
uma região retangular de dimensões 2 e h:
A
,
 5 6 ? 2h 5 12h
Como A
t
 5 A
,
 1 2Ab, temos:
96 12 3 12h 12 3
12h 96 h 8
1 5 1
5 5
⇒
⇒ ⇒ 
Vamos calcular o volume do prisma:
V 5 Abh 5 6 3 8? 5 48 3 m
3
Portanto, a altura mede 8 m e o volume é 48 3 m3.
18 Aumentando em 1 cm a aresta de um cubo, sua área lateral 
aumenta em 164 cm2. Qual é o volume do cubo original?
RESOLU‚ÌO:
Seja a a aresta do cubo original e (a 1 1) a aresta do novo 
cubo.
a
Cubo 1
A
,
 5 4a2
a
a
 
a 1 1
a 1 1
a 1 1
Cubo 2
A
,
 5 4(a 1 1)2
Pelos dados do problema, temos:
4(a 1 1)2 5 4a2 1 164 ⇒
⇒ 4a 8a 4 4a2 21 1 2 5 164 ⇒ 8a 5 160 ⇒
⇒ a 5 20
Portanto, a aresta do cubo original é a 5 20 cm e seu volume é:
V 5 a3 5 (20 cm)3 5 8 000 cm3
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30 Poliedros: prismas e pir‰mides
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 25 a 29 Para aprimorar: 6 a 8
 AS pirâmideS
Construção e definição
Considere uma regi‹o poligonal, por exemplo, ABCDE, contida em um plano a e um ponto V 
exterior ao plano da regi‹o poligonal. Tra•amos os segmentos VA, VB, VC, VD e VE. Cada dois vŽrtices 
consecutivos de ABCDE determinam com V uma regi‹o triangular. Essas regi›es triangulares, com a 
regi‹o poligonal ABCDE, determinam um poliedro chamado pirâmide de base ABCDE e vŽrtice V.
19 (Enem) Na alimenta•‹o de gado de corte, o processo de cortar a forragem, coloc‡-la no solo, compact‡-la e proteg•-la com 
uma veda•‹o denomina-se silagem. Os silos mais comuns s‹o os horizontais, cuja forma Ž a de um prisma reto trapezoidal, 
conforme mostrado na figura.
b
Legenda:
b Ð largura do fundo
B Ð largura do topo
C Ð comprimento do silo
h Ð altura do silo
h
C
B
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, 
a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Ap—s a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse 
tipo de silo.
Embrapa. Gado de corte. Dispon’vel em: <www.cnpgc.embrapa.br>. 
Acesso em: 1o ago. 2012. Adaptado.
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é: a
a) 110.
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
Como h 5 2 m, segue-se que b 5 6 2 2 ? 0,5 5 5 m. Logo, segue que o volume total do silo Ž igual a 
6 5
2
20 220 m .3
1
? 5( ) . 
Em consequ•ncia, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3, podemos concluir que o resultado pedido Ž 5
220
2
110 toneladas. 
V
E C
D
A Ba
 
V
E
C
A B
h
a
D
A regi‹o do espa•o ocupada pela pir‰mide Ž formada pelos pontos dos segmentos de reta que 
ligam o vŽrtice V aos pontos da regi‹o poligonal (base).
A dist‰ncia do vŽrtice ao plano da base, que indicamos por h, Ž chamada altura da pirâmide.
Os segmentos VA, VB, VC, VD e VE s‹o chamados arestas laterais, e as regi›es triangulares 
VAB, VBC, VCD, VDE e VEA, faces laterais da pir‰mide.
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31Poliedros: prismas e pir‰mides
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G
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IG
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O
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IA
Veja a seguir alguns exemplos de pirâmides: 
1o) 
B
C
DE
A
2o) 
Polígono regular Ž o que tem 
todos os lados e todos os ‰n-
gulos internos congruentes. Ele 
pode sempre ser inscrito numa 
circunfer•ncia, cujo centro Ž 
considerado tambŽm centro 
do polígono regular.
pArA
reFLeTir
A 1a pirâmide, ABCDE, tem base quadrada (ou pirâmide quadrada); a região poligonal BCDE é sua 
base, AC é uma aresta lateral, BC é uma aresta da base e a região triangular ACD é uma das faces laterais.
A 2a pirâmide tem base pentagonal (ou pirâmide pentagonal) e a 3a tem base triangular (tetraedro).
Observa•‹o:
Se todas as arestas laterais são congruentes, a pirâmide é reta; caso contrário, ela é oblíqua. Nos 
exemplos dados a 1a e a 2a são pirâmides retas e a 3a é oblíqua.
pirâmide regular
Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polí-
gono regular.
Vamos considerar uma pirâmide cuja base é uma região quadrada e com arestas laterais congruentes:
P
A
D
B
G
C
 
C
A
a
B
P
D
 Pirâmide planif cada
Essa pirâmide é regular, pois sua base é uma região poligonal regular (quadrada) e suas arestas 
são congruentes (pirâmide reta).
Nesse caso, podemos ainda afirmar que:
 o segmento (PG), que liga o vértice ao centro da base, é aaltura da pirâmide;
 as faces laterais são regiões triangulares isósceles e congruentes;
 a altura de cada face lateral é conhecida por apótema da pirâmide regular (a).
Observa•‹o:
Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos, nos quais 
aparecem: a aresta da base (,), a aresta lateral (,1), o raio da base (r), o apótema da pirâmide (a), o 
apótema da base (a1) e a altura da pirâmide (h).
3o) 
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32 Poliedros: prismas e pir‰mides
Veja, em uma pir‰mide regular pentagonal, a aplica•‹o da rela•‹o de Pit‡goras nestes tri‰ngulos:
M
A
O a
1
,
r
 
M
A
V
a
,
,
1
 nOMA nVMA
 r2 5 a2
1
 1 ( )<2
2
 ,2
1
 5 a2 1 ( )<2
2
 
A
V
O
,
1
h
r
 
M
V
O
a
1
a
h
 nVOA nVOM
 ,2
1
 5 h2 1 r2 a2 5 h2 1 a2
1
Área da superfície de uma pirâmide
Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pir‰mides tambŽm temos:
 superfície lateral: Ž formada pelas faces laterais (triangulares);
 área lateral: Ž a ‡rea da superf’cie lateral;
 superfície total: Ž formada pelas faces laterais e pela base;
 área total: Ž a ‡rea da superf’cie total.
Caso particular importante: o tetraedro regular
Uma pir‰mide particular formada por quatro regi›es triangulares congruentes e equil‡teras Ž o 
tetraedro regular (tetra: quatro; edro: face).
 
 Tetraedro regular Planifcado
Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro regular Ž um caso parti-
cular de pir‰mide regular.
www.ser.com.br
Para saber mais, acesse o portal e 
veja a anima•‹o Poliedros, pris-
mas e pirâmides.
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33Poliedros: prismas e pirâmides
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19 Uma pir‰mide regular hexagonal tem 8 cm de altura e a ares-
ta da sua base mede 3 3 . Calcule a ‡rea total.
reSoLUÇÃo:
Sabemos que:
P,
a
1
,1
a
O
r 5 ,
h
 
A A A (A A A )
a
3
2
A 6
3
4
r
r a
2
a h a
3 3
h 8
total base lateral t b
1
b
2
2 2
1
2
2
2 2
1
2
,
,
,
,
,
,
,
5 1 5 1
5
5 ?
5
5 5
5 1
5
5
( )















 C‡lculo de Ab (‡rea da base):
 Ab 5 6
3 3 3
4
2
?
?( )
 5 
6 9 3 3
4
? ?
 5 
162 3
4
 . 68,85
 C‡lculo de a1 (ap—tema da base):
a1 5 
?3 3 3
2
 5
9
2
ou
3 3
2
( ) 5 a 3 3
2
1
2
2
1



 ⇒
⇒ a1
2 5 27
27
4
2 5 
81
4
 ⇒ a1 5 
9
2
 
 C‡lculo de a (ap—tema da pir‰mide):
a2 5 8
9
2
2
2
1( ) 5 164 814 5 
337
4
 5 84,25 ⇒
⇒ a 5 84,25 . 9,1
 C‡lculo de A
,
 (‡rea lateral):
A
,
 5 6
a
2
,
? 5 ? ?3 3 3 9,1 . 139,23
 C‡lculo de At (‡rea total):
At 5 Ab 1 A, 5 68,85 1 139,23 5 208,08 cm
2
eXerCÍCio reSoLVido
pArA ConSTrUir
20 A base de uma pir‰mide Ž uma das faces 
de um cubo de aresta 2 cm. Sendo a ares-
ta lateral da pir‰mide igual ˆ diagonal do 
cubo e supondo que a pir‰mide e o cubo 
est‹o em semiespa•os opostos em rela-
•‹o ao plano da base da pir‰mide (figura 
ao lado), calcule a ‡rea total do s—lido for-
mado pela uni‹o da pir‰mide com o cubo.
21 (UPE) Para a premia•‹o dos melhores administradores de uma 
galeria comercial, um designer projetou um peso de papel com 
a forma de um tetraedro regular reto, de aresta 20 cm que ser‡ 
entregue aos vencedores. Esse peso de papel ser‡ recoberto 
com placas de platina, nas faces laterais e com uma placa de 
prata na base. Se o pre•o da platina Ž de 30 reais por cent’metro 
quadrado, e o da prata Ž de 50 reais por cent’metro quadrado, 
assinale a alternativa que apresenta o valor mais pr—ximo, em 
reais, do custo desse recobrimento. a
Considere =3 1,7.
a) 24 000
b) 18 000
c) 16 000
d) 14 000
e) 12 000
Como as faces de um tetraedro regular são tri‰ngulos equil‡teros, 
segue que o custo pedido é dado por:
20 3
4
(3 30 50) 100 1,7 140
R$ 23800
2
?
? ? 1 5 ? ? 5
5
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
• Base da pirâmide:
1 1
2 cm
• Diagonal do cubo:
5 5,d 3 2 3 cm
• Aresta lateral da pirâmide:
,1 5 d ⇒ ,1 5 2 3 cm
• Face lateral da pirâmide:
2 cm
) 1
a
1
2√3
a2 1 12 5 2 3
2
( ) ⇒ a2 5 4 ? 3 2 1 5 11 ⇒ a 5 11 cm
• Área do sólido formado:
A
t
 5 4A
n
 1 5A
h
 5 ?
?
1 ?4
2 11
2
5 2
1
1
2 5 14 11 20 5
5 ( )14 5 11 cm2
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 33 7/8/15 11:55 AM
34 Poliedros: prismas e pirâmides
Volume da pirâmide
Observe a figura abaixo:
a
p
x
h
V
p
P
OB
A
O'
A'
B'
A pirâmide tem a base P contida no plano a e está sendo seccionada pelo plano horizontal p, 
paralelo a a.
A secção da pirâmide pelo plano p é uma região poligonal p semelhante à base P. É interessante 
notar que a secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base destaca uma pirâmide menor que é 
semelhante à original. A pirâmide miniatura tem base p e altura x (distâncias do ponto V ao plano p), 
e a pirâmide original tem base P e altura h.
Se duas figuras geométricas são semelhantes, com razão k entre suas dimensões lineares, então 
suas áreas têm razão k2. No caso, k é a razão entre as alturas h e x das pirâmides semelhantes.
k 5 
h
x
 ⇒ k2 5 




h
x
2
Assim, se p e P são semelhantes, então:
área de P
área de p 5 




h
x
2
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 30 a 33 Para aprimorar: 9
22 (Insper-SP) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular, com uma 
tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa também 
vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são revestidas com um 
adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para calcular o custo de fabrica-
•ão do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a: e
a) 72 3 3( ).1
b) 36 (6 5).1
c) 108 2 5( ).1
d) 27 (8 7 ).1
e) 54 (4 7 )1 .
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-9
V
O
A
M
B
Regiões poligonais semelhantes 
t•m ângulos congruentes e seg-
mentos correspondentes pro por-
cionais. Se 
a
b
 é a razão constan te 
entre seus segmentos cor res pon-
dentes, então a
b
2
( ) é a razão 
entre suas áreas.
PARA
REFLETIR
Considere a figura, em que V Ž o vŽrtice da pir‰mide, O Ž o 
centro da base e M Ž o ponto mŽdio da aresta AB. 
Desse modo, como AB 5 6 cm, vem:
⇔5 5
?
5OM
AB
2tg 30¡
OM
6
2
3
3
3 3 cm
Aplicando o teorema de Pit‡goras no tri‰ngulo OVM, encon-
tramos:
VM OV OM VM 6 (3 3)
VM 3 7 cm
2 2 2 2 2 2
5 1 5 1
5
⇒ ⇒
⇒
 
Portanto, o resultado pedido Ž dado por:
6 AB
AB VM
2
6 6 3 3 7
54 4 7 cm
2 2
2
? 1
?
5 ? 1 ? 5
5 1
( )
( )




SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 34 10/9/15 4:54 PM
35Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Vamos agora considerar duas pirâmides cujas áreas das bases são iguais e têm a mesma altura. 
Vejamos o que acontece com as áreas das secções transversais situadas a uma mesma distância 
do vértice da pirâmide.
a
p
p
1
P
1
p
2
P
2
x
h
Já vimos que 
área de P
área de p
1
1
 5 




h
x
2
 e 
área de P
área de p
2
2
 5 




h
x
2
.
Daí tiramos 
área de P
área de p
1
1
 5 
área de P
área de p
2
2
.
Como consideramos inicialmente que área de P
1
 5 área de P
2
, concluímos que:
área de p
1
 5 área de p
2
para qualquer plano horizontal p.
Então, pelo princípio de Cavalieri, temos que os volumes das pirâmides são iguais, ou seja:
Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais.
C‡lculo do volume da pir‰mide triangular
Vamos agora decompor um prisma triangular em três pirâmides, como indicam as figuras:
D
A
E F
B C
D
I
A
B C
D
E F
C
II
D
E
B C
III
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 35 7/8/15 11:55 AM
36 Poliedros: prismas e pir‰mides
Observa•›es:
1a) As pirâmides I e II têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, os triângulos ABC e DEF 
são congruentes e a distânciade D ao plano (ABC) é igual à distância de C ao plano (DEF) – altura 
do prisma original. Logo, I e II têm mesmo volume.
2a) As pirâmides II e III também têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, o triângulo CEF 
é congruente ao triângulo BCE, pois cada um deles é a metade do paralelogramo BCFE, e a altura de 
cada uma dessas pirâmides é a distância de D ao plano (BCFE). Logo, II e III têm o mesmo volume. 
Assim, VI 5 VII e VII 5 VIII e, portanto, os três volumes são iguais.
Lembrando que Vprisma 5 VI 1 VII 1 VIII e fazendo VI 5 VII 5 VIII 5 V, temos:
Vprisma 5 3V ⇒ V 5 
V
3
prisma
Como Vprisma 5 área da base ? altura, temos:
V ou Vpirâmide triangular 5 
⋅área da base altura
3
Observa•‹o:
Essa propriedade citada pode ser verificada experimentalmente. Se quiséssemos encher de água 
uma vasilha em forma de prisma usando um recipiente em forma de pirâmide, com mesma base e 
mesma altura, seria necessário usá-lo três vezes para encher a vasilha.
C‡lculo do volume de uma pirâmide qualquer
Agora, para determinarmos o volume de uma pir‰mide qualquer, usamos a conclusão anterior 
e o princípio de Cavalieri. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide triangular 
que tenha a mesma área da base e a mesma altura que uma pirâmide qualquer.
a
B
h
B
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 36 7/8/15 11:55 AM
37Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
O princ’pio de Cavalieri garante que duas pir‰mides com ‡reas das bases iguais e com a mesma 
altura t•m volumes iguais. Ent‹o:
B
h 
volume da pir‰mide triangular 5 volume de uma pir‰mide qualquer
(de mesma ‡rea da base e mesma altura)
Como o volume da pir‰mide triangular 5 
⋅‡rea da base altura
3
 conclu’mos que: 
volume de uma pir‰mide qualquer 5 
⋅‡rea da base altura
3
ou seja:
V 5 
A h
3
b
eXerCÍCioS reSoLVidoS
20 A ‡rea da base de uma pir‰mide Ž 36 cm2. Uma sec•‹o trans-
versal feita a 3 cm da base tem 9 cm2 de ‡rea. Calcule a altura 
da pir‰mide.
reSoLUÇÃo:
p1
P1
h
x
Na figura, temos:
P1 5 36 cm
2 e p1 5 9 cm
2
h 2 x 5 3 cm ⇒ x 5 h 2 3
P
p
1
1
 5 
h
x
2
2 ⇒ 
36
9
 5 h
(h 3)
2
2
2
 ⇒ 4 5 
h
(h 3)
2
2
2
 ⇒ 2 5 
h
h 32
 ⇒
⇒ 2h 2 6 5 h ⇒ h 5 6
A altura da pir‰mide Ž 6 cm.
21 Calcule o volume de uma pir‰mide quadrada cuja aresta da 
base mede 4 cm e a altura, 7 cm.
reSoLUÇÃo:
7 cm
4 cm
Ab 5 4 cm ? 4 cm 5 16 cm
2
h 5 7 cm
V 5 
A h
3
b 5 
?16 cm 7 cm
3
2
 5
5 
112 cm
3
3
 . 37,3 cm3
O volume da pir‰mide Ž de aproximadamente 37,3 cm3.
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 37 7/8/15 11:55 AM
38 Poliedros: prismas e pirâmides
22 Qual Ž o volume de um tetraedro regular de aresta a?
reSoLUÇÃo:
Sabemos que, num tetraedro regular, as quatro faces s‹o 
tri‰ngulos equil‡teros.
a
a
 Vamos calcular a ‡rea da base: Ab 5 
a 3
4
2
 (‡rea de um 
tri‰ngulo equil‡tero de lado a).
 Calculamos agora a altura do tetraedro:
V
h
A C
B
D
O
 O Ž o centro do tri‰ngulo equil‡tero ABC
 AD Ž a mediana relativa do lado BC 
 AO 5 
2
3
AD
 AD Ž a altura do nABC relativa ao lado BC
 AD 5 
a 3
2
 
Das observa•›es feitas, podemos tirar que:
AO 5 
2
3
 ? 
a 3
2
 5 
a 3
3
Considerando o tri‰ngulo ret‰ngulo AOV (BO Ž reto), temos:
AV2 5 AO2 1 OV2 ⇒ a2 5 




a 3
3
2
 1 h2 ⇒
⇒ h2 5 a2 2 
a
3
2
 5 
2a
3
2
 ⇒ h 5 
a 2
3
 5 
a 6
3
 Vamos agora calcular o volume:
V 5 
A h
3
b 5 
?
a 3
4
a 6
3
3
2
 5 
3a 2
36
3
 5 
a 2
12
3
Ent‹o, o volume do tetraedro regular Ž 
a 2
12
3
.
23 Quando duas pir‰mides regulares de bases quadradas e 
cujas faces laterais s‹o tri‰ngulos equil‡teros s‹o colocadas 
base a base, o s—lido resultante Ž chamado octaedro regular. 
Calcule o volume do octaedro regular de aresta 5 cm.
V
D
C
B
A
V
h
5
C
B5
5
O
D
A
reSoLUÇÃo:
Vamos calcular a altura de cada pir‰mide:
 AC 5 diagonal do quadrado 5 5 2 
 VO 5 altura da pir‰mide (h)
 OC 5 metade da diagonal do quadrado 5 
5 2
2
 
No tri‰ngulo ret‰ngulo VOC (BO Ž reto), temos:
52 5 h
5 2
2
2
2
1



 ⇒ h
2 5 25
50
4
2 ⇒
⇒ h2 5 
50
4
 ⇒ h 5 5 2
2
 
Vamos calcular o volume:
Ab 5 5 ? 5 5 25
V 5 
A h
3
b 5 
25
5 2
2
3
?
 . 
?125 1,4
6
 . 29,1
Como s‹o duas pir‰mides, temos:
V 5 2 ? 29,1 5 58,2 cm3
Portanto, o volume do octaedro regular Ž de aproximada-
mente 58,2 cm3.
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 38 7/8/15 11:55 AM
39Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 34 a 37 Para aprimorar: 10 e 11
PARA CONSTRUIR
23 (Fuvest-SP) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD 
sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que S perten-
ce à reta determinada por A e E e que AE 5 2 cm, AD 5 4 cm 
e AB 5 5 cm.
S
A
E F
G
C
H
B
D
A medida do segmento SA que faz com que o volume do 
sólido seja igual a 
4
3
 do volume da pirâmide SEFGH é: e
a) 2 cm. 
b) 4 cm. 
c) 6 cm.
d) 8 cm.
e) 10 cm. 
24 (UEL-PR) Na molécula do metano (CH4) o átomo de carbono 
ocupa o centro de um tetraedro regular em cujos vértices 
estão os átomos de hidrogênio.
C
H H
H
H
Tetraedro
MolŽcula do metano
Considerando que as arestas , do tetraedro regular medem 
6 cm e que a altura mede h =
1
3
6 ,, assinale a alternativa 
que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro. b
a) 3 3 cm3
b) 18 2 cm3
c) 18 3 cm
3
d) 36 2 cm3
e) 54 2 cm3
25 A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande Pirâmide 
do Egito. Sua base tem aproximadamente 230 m de aresta e 
sua altura é de 137 m. Qual é o volume dessa pirâmide? 
V 5 ?230 137
3
2
 ⇒ V . 2 415 766,7 m3
26 (Fuvest-SP) No cubo de aresta a, X e Y são pontos médios das 
arestas AB e GH, respectivamente. Considere a pirâmide de 
vértice F cuja base é o quadrilátero XCYE.
H G
E F
A X
D
B
C
Y
Calcule, em função de a:
a) o comprimento do segmento XY;
XY 5 BG 5 a 2 (diagonal do quadrado)
b) a área da base da pirâmide;
XCYE, base da pirâmide, tem os quatro lados de mesma medi-
da, pois são hipotenusas de triângulos retângulos cujos catetos 
medem a e 
a
2
. Portanto, XCYE é um losango, cujas diagonais 
medem a 2 e a 3 (diagonal do cubo). Logo, a área da base da 
pirâmide é dada por:
Ab 5 
a 2 a 3
2
=
a 6
2
2
?
c) o volume da pirâmide.
A pirâmide de vértice D e base XCYE é equivalente à pirâmide 
de vértice F e base XCYE. Juntas, essas pirâmides formam um 
octaedro.
Além desse octaedro, o cubo contém 4 vezes a pirâmide FXBC, 
cujo volume é dado por:
VFXBC 5 
1
3
a
2
a
2
a
1
3
a
4
a
a
12
2 3
?
?
? 5 ? ? 5
Portanto, o volume da pirâmide FXCYE é:
V 5 1
2
(Vcubo 2 4VFXBC) 5 
1
2
a
4 a
12
3
1
3
3








? 2
?
 5
5 1
2
a
a
3
3
3
⋅ 

2
 5 1
2
2a
3
3
? 5 
a
3
3
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-5
H-1
7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos 
EF 5 AB e EH 5 AD. Portanto, segue que o resultado 
pedido é dado por:
( )
( )
⇒
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
[SABCD] [ABCDHEFG]
4
3
[SEFGH]
1
3
SA AE
4
3
1
3
AE SA
3 SA 9 2 = 4 2 SA
SA 10 cm
1 5 ?
? 1 5 ? 1
? 1 ? ? 1
5
O volume do tetraedro regular de aresta , 5 6 cm 
é dado por:
2
12
6 2
12
18 2 cm
3 3
3,
5 5
 
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 39 10/9/15 4:55 PM
40 Poliedros: prismas e pirâmides
 TronCo de pirâmide
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h. Traçando um plano p paralelo à 
base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros: uma pirâ-
mide de vértice V e altura d e um poliedro que é chamado tronco da pirâmide inicial.
p
d
h
V
No tronco da pirâmide, destacamos:
 duas bases: a base da pirâmide inicial (base maior do tronco) e a secção determinada por p (base 
menor do tronco);
 as faces laterais, que são regiões limitadas por trapézios;
 a distância entre as bases do tronco, que se chamaaltura do tronco; sua medida é expressa por 
h1 5 h 2 d.
Base menor
Face lateral
Altura (h
1
 5 h 2 d)
Base maior
Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide é chamado regular e, nesse caso:
 as bases são regiões poligonais regulares e semelhantes;
 as faces laterais são regiões limitadas por trapézios isósceles;
 a altura de um desses trapézios é chamada apótema do tronco.
a
,
2
,
1
h
2
 ,1 5 aresta da base maior do tronco
 ,2 5 aresta da base menor do tronco
 a 5 aresta lateral do tronco
 h2 5 apótema do tronco (ou altura da face lateral)
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 40 7/8/15 11:55 AM
41Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
Volume do tronco de pir‰mide
d
h
h
1
V
A'
D C
B'
D' C'
A
b
A
B
Consideremos o tronco de pirâmide representado pela figura.
AB 5 ‡rea da base maior
Ab 5 ‡rea da base menor
h 5 altura da pirâmide VABCD
d 5 altura da pirâmide VA'B'C'D'
h1 5 altura do tronco
V 5 volume do tronco
Pela figura, podemos observar que:
volume do tronco 5 volume da pirâmide VABCD 2 volume da pirâmide VA'B'C'D'
 volume da pirâmide VABCD 5 
1
3
ABh
 volume da pirâmide VA'B'C'D' 5 
1
3
Abd 5 
1
3
Ab(h 2 h1)
Ent‹o:
V 5 
1
3
 ABh 2 
1
3
 Ab(h 2 h1) 5 
1
3
[ABh 2 Abh 1 Abh1] 5 
1
3
[(AB 2 Ab)h 1 Abh1]
Como o volume deve ser dado em fun•‹o dos elementos AB, Ab e h1 do tronco de pirâmide, va-
mos calcular h em fun•‹o desses elementos. Para isso, usaremos a propriedade da sec•‹o transversal:
5 5
2A
A
d
h
A
A
(h h )
h
b
B
2
2
b
B
1
2
2
⇒ ⇒
⇒
A
A
h h
h
, pois A , A ,
b
B
1
b B5
2
h 2 h1 e h s‹o todos positivos.
( )⇒ ⇒h A h A h A h A A h A h
h A
A A
b B 1 B B b 1 B
1 B
B b
2 5 2 2 5 5
2
Substituindo na f—rmula do volume, obtemos:
( )













V
1
3
A A
h A
A A
A h
1
3
h A
A A
A A
A hB b
1 B
B b
b 1 1 B
B b
B b
b 15 2 ?
2
1 5 ?
2
2
1
Observamos que:
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )
A A
A A
A A A A
A A A A
A A A A
A A
A AB b
B b
B b B b
B b B b
B b B b
B b
B b
2
2
5
2 1
2 1
5
2 1
2
5 1
Da’ temos:
5 1 1 5 1 1V
1
3
h A A A h A
1
3
h A h A A h A1 B B b 1 b 1 B 1 B b 1 b( )    ⇒
⇒ ( )V
h
3
A A A A
1
B B b b
5 1 1
Observação:
Na pr‡tica, em geral Ž mais 
adequado obter o volume do 
tronco pela subtra•‹o dos volu-
mes das pirâmides semelhantes 
(a original e a miniatura), em vez 
de memorizar a f—rmula.
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 41 9/23/15 11:55 AM
42 Poliedros: prismas e pirâmides
eXerCÍCioS reSoLVidoS
24 Um tronco de pirâmide tem como bases duas regiões qua-
dradas de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é 8 cm. 
Calcule o volume desse tronco.
5 cm
12 cm
8 cm
reSoLUÇÃo:
1a maneira: usando a f—rmula
AB 5 12 cm ? 12 cm 5 144 cm
2
Ab 5 5 cm ? 5 cm 5 25 cm
2
h1 5 8 cm
5 ? 1 1 5 1 1 5V
h
3
A A A A
8
3
(144 60 25)1 B B b b( )
5 
8
3
  229? 5 
1 832
3
 . 610,6 cm3
O volume do tronco é de 610,6 cm3, aproximadamente.
2a maneira: sem usar a f—rmula
A partir do tronco, consideremos as pirâmides original e 
miniatura, com suas alturas h e x. Temos que h 5 x 1 8 e 
que a razão de semelhança entre as duas pirâmides seme-
lhantes é:
k 5 
5
12
 5 
x
h
 ⇒ 5h 5 12x ⇒ 5(x 1 8) 5 12x ⇒
⇒ x 5 
40
7
 cm e h 5 
96
7
 cm
12
5
8
h
x
O volume da pirâmide original é: 
1
3
12
96
7
2
? ? 5 
4608
7
 cm3
O volume da pirâmide miniatura é: ? ?
1
3
5
40
7
2 5 
1000
21
 cm3
Então, o volume do tronco é: 
4608
7
1000
21
2 5 
5 
1832
3
 . 610,6 cm3
25 Um obelisco de granito tem a forma de um tronco de pirâ-
mide de base triangular regular. Os lados das bases têm 3 m 
e 1 m. A altura do obelisco é de 15 m. Calcule o volume de 
granito usado para a construção do obelisco.
reSoLUÇÃo:
1a maneira: usando a f—rmula
Sendo 3 m o lado da base maior, temos:
AB 5 
3 3
4
9 3
4
2
5 m2
Sendo 1 m o lado da base menor, temos:
Ab 5 
1 3
4
2
 5 
3
4
 m2
Sendo h 5 15 m, temos:
V 5 ( )
h
3
A A A A1 B B b b1 1 5




15
3
9 3
4
27
16
3
4
5 1 1 5



5
9 3
4
3 3
4
3
4
5 1 1 5
5 5
13 3
4
? . 
65 1,7
4
?
 5 27,6 m3
O volume de granito usado é 27,6 m3, aproximadamente.
2a maneira: sem usar a f—rmula
15
3
h
1
x
A partir do tronco, consideremos as pirâmides original e 
miniatura, com suas alturas h e x. Temos que h 5 x 1 15 
e que a razão de semelhança entre as duas pirâmides se-
melhantes é:
k 5 
1
3
 5 
x
h
 ⇒ h 5 3x ⇒ x 1 15 5 3x ⇒
⇒ x 5 
15
2
 5 7,5 m e h 5 
45
2
 5 22,5 m
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 42 7/8/15 11:55 AM
43Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
O volume da pirâmide original é:
1
3
3 3
4
45
2
2
? ? 5 
135 3
8
 m3
O volume da pirâmide miniatura é:
1
3
1 3
4
15
2
2
? ? 5 
5 3
8
 m3
Então, o volume do granito é: 
135 3
8
5 3
8
2 5 
65 3
4
 . 27,6 m3
26 As bases de um tronco de pirâmide regular são regiões qua-
dradas de lados 8 m e 2 m, respectivamente. A aresta lateral 
do tronco mede 5 m. Calcule o volume do tronco.
Aresta lateral (g)
Apótema do 
tronco (a')
Altura
Aresta da base menor (,')
Aresta da base maior (,)
reSoLUÇÃo:
1a maneira: usando a f—rmula
A face lateral desse tronco de pirâmide determina um trapé-
zio isósceles.
2 m
8 m
3 m 3 m
2 m
5 m5 m a'
Pela figura, temos:
52 5 a'2 1 32 ⇒ a'2 5 16 ⇒ a' 5 4 m
Vamos calcular a altura do tronco:
42 5 32 1 h2 ⇒ h2 5 7 ⇒ h 5 7 m
Vamos calcular o volume do tronco no qual temos:
AB 5 64 m
2, Ab 5 4 m
2, h 5 7 m
V 5 ( )h
3
A A A AB B b b1 1 5 
5 ( ) ( )7
3
64 64 4 4
7
3
64 16 41 ? 1 5 1 1 5
5 
84 7
3
 5 28 7 m3
Logo, o volume do tronco é 28 7 m3.
2a maneira: sem usar a f—rmula
Mesmo procedimento até obter h 5 7 ; depois, a partir do 
tronco, consideremos as pirâmides original e miniatura, com 
suas alturas h e x.
Temos que h 5 x 1 7 e que a razão de semelhança entre 
as duas pirâmides semelhantes é:
k 5 
2
8
 5 
x
h
 ⇒ 2h 5 8x ⇒ 1x 7 5 4x ⇒ x 5 
7
3
 
8
2
h
x
√7
Não calcularemos h.
O volume da pirâmide miniatura é:
1
3
2
7
3
4 7
9
2
? ? 5 m3
A razão entre os volumes da pirâmide miniatura e da original 
é k3 5 




2
8
1
64
3
5 . Assim:
V
V
1
64
mini
orig
5 ⇒ Vorig 5 Vmini ? 64 5 
256 7
9
 m3
Então, o volume do tronco é:
256 7
9
4 7
9
28 7 m32 5
27 Um tetraedro trirretângulo é um tetraedro em que 3 das 
4 faces são triângulos retângulos, cujos ângulos retos têm o 
mesmo vértice. Calcule o volume de um tetraedro trirretân-
gulo cujas 3 arestas perpendiculares sejam a, b e c.
b
a
c
1
4
4
3
h h
Localize a figura acima no desenho do 
tronco e justifique os valores 4, 1, 4 e 3.
pArA
reFLeTir
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 43 7/8/15 11:55 AM
44 Poliedros: prismas e pir‰mides
reSoLUÇÃo:
A base é um triângulo retângulo de catetos b e c, portanto a 
área da base é 
bc
2
. A altura é a aresta a, portanto o volume do 
tetraedro trirretângulo é:
V
1
3
a
b
c
abc
6
5 ? ? 5 
28 (PUC-MG) Cortando-se uma pirâmide de 30 dm de altura por 
um plano paralelo à base e distante 24 dm do vértice, obtém-
-se uma secção cuja área mede 144 dm2. A medida da área da 
base de tal pirâmide, em decímetros quadrados, é:
a) 180. b) 200. c) 212. d) 225. e) 288.
reSoLUÇÃo:
As pirâmides semelhantes com razão de semelhança k têm 
suas áreas na proporção k2. Assim, se
k 5 
24
30
 5 
4
5
, então k2 5 
16
25
. Logo:
144
A
 5 
16
25
 ⇒ A 5 225 dm2
Alternativa d.
 TAREFA PARA CASA: Para praticar: 38 a 41 Para aprimorar: 12 e 13
pArA ConSTrUir
27 Em São Paulo, no Parque do Ibirapuera, há um monumen-
to de concreto chamado Obelisco aos Heróis de 1932, uma 
homenagem aos que morreram na Revolução Constitucio-
nalista de 1932. Esse monumento tem a forma de um tronco 
de pirâmide e tem 72 m de altura. Suas bases são quadrados 
de arestas 9 m e 7 m. Qual é o volume de concreto usado na 
construçãodesse monumento?
AB 5 9
2 5 81 m2
Ab 5 7
2 5 49 m2
h1 5 72 m
Ent‹o:
V 5 
72
3
81 81 49 49( )? 1 ? 1 ⇒ V 5 24 ? (130 1 63) ⇒
⇒ V 5 4 632 m3
28 Uma peça maciça de vidro é feita jun-
tando-se dois troncos de pirâmides, con-
gruentes, de bases quadradas, conforme 
a figura. As bases têm 20 cm e 8 cm de 
arestas e a altura da peça é de 30 cm. Cal-
cule o volume de vidro usado para fazer 
essa peça.
29 (Fuvest-SP) Considere uma caixa 
sem tampa, com a forma de um 
paralelepípedo reto de altura 
8 m e base quadrada de lado 
6 m. Apoiada na base, encon-
tra-se uma pirâmide só lida reta 
de altura 8 m e base quadrada 
com lado 6 m. O espaço interior 
à caixa e exterior à pirâmide é 
preenchido com água, até uma altura h, a partir da base 
(h < 8). Determine o volume da água para um valor arbi-
trário de h, 0 < h < 8.
Sendo:
V: volume da pir‰mide maior
v: volume da pir‰mide menor
VT : volume do tronco de pi-
r‰mide
VP: volume do paralelep’pedo 
de altura h dos s—lidos desta-
cados na figura
V
A
 5 Volume da ‡gua
Da semelhan•a dos tri‰ngu-
los AMP e ANR, temos:
x
3
 5 8 h
8
2 ⇒ x 5 3(8 h)
8
2
Assim:
V 5 1
3
6 82? ? 5 96
v 5 1
3
2x 8 h
2
( )( )? ? 2 5 
3(8 h)
16
3
2
V
T
 5 V 2 v 5 96 2 3(8 h)
16
3
2
V
P
 5 36h
Logo, o volume da ‡gua Ž V
A
 5 V
P
 2 V
T
 5 36h 2 96
3(8 h)
16
3
2
2



 5
5 36h 96
3(8 h)
16
3
2 1
1



 m3
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
tra-se uma pirâmide só lida reta 
En
em
C-2
H-8
A 20 400 cm
A 8 64 cm
h 15 cm
B
2 2
b
2 2
1




5 5
5 5
5
V 5 15
3
400 400 64 64( )1 ? 1 5 5(464 1 160) 5 3 120 cm3
Como a pe•a Ž formada por dois troncos de pir‰mide, temos: 
2 ? 3 120 5 6 240 cm3
N
M
6
A
h
8 Ð h
8
h
R
3
P
x
8
6
6
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 44 7/8/15 11:55 AM
45Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
ç
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
TAreFA pArA CASA
Veja, no Guia do Professor, as respostas da ÒTarefa para casaÓ. As resolu•›es encontram-se no portal, em Resolu•›es e Gabaritos.
PARA PRATICARpArA prATiCAr
1 Analise o poliedro da figura e res-
ponda:
a) Qual Ž o nœmero de faces, de 
arestas e de vŽrtices?
b) Qual Ž a forma de cada face?
c) O vŽrtice C Ž comum a quantas 
arestas?
d) O vŽrtice A Ž comum a quantas 
arestas?
e) Qual Ž a posi•‹o relativa das re-
tas determinadas pelas arestas 
AE e BC?
2 Num poliedro convexo, o nœmero de vŽrtices Ž 5 e o de ares-
tas Ž 10. Qual Ž o nœmero de faces?
3 Em um poliedro convexo de 20 arestas, o nœmero de faces Ž 
igual ao nœmero de vŽrtices. Quantas faces tem esse poliedro?
4 Um poliedro convexo apresenta uma face hexagonal e seis 
faces triangulares. Quantos vŽrtices tem esse poliedro?
5 Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 4 faces hexa-
gonais. Quantas arestas e quantos vŽrtices tem esse poliedro?
6 Determine o nœmero de vŽrtices de um poliedro convexo 
que tem tr•s faces triangulares, uma face quadrangular, uma 
face pentagonal e duas faces hexagonais.
7 Em um poliedro convexo o nœmero de vŽrtices corresponde 
a 
2
3
 do nœmero de arestas e o nœmero de faces Ž tr•s unida-
des menos que o de vŽrtices. Descubra quantas s‹o as faces, 
os vŽrtices e as arestas desse poliedro.
8 Quanto mede a diagonal de um paralelep’pedo reto retan-
gular no qual as dimens›es s‹o 10 cm, 6 cm e 8 cm?
9 Num cubo, a soma das medidas de todas as arestas Ž 48 cm. 
Calcule a medida da diagonal do cubo.
10 A diagonal de um paralelep’pedo reto retangular mede 
20 2 . As dimens›es desse paralelep’pedo s‹o proporcionais 
aos nœmeros 5, 4 e 3, respectivamente. Calcule as dimens›es 
desse paralelep’pedo.
(Fa•a 
a
5
b
4
c
3
5 5 5 k ⇒ a 5 5k, b 5 4k, c 5 3k.)
11 Um cubo tem ‡rea total de 96 m2. Qual Ž a medida da aresta 
do cubo?
12 Quantos metros quadrados de madeira s‹o necess‡rios para 
fazer a prateleira a seguir, que apresenta fundo de madeira?
0,50 m
0,30 m
1,20 m
13 As bases de um prisma s‹o tri‰ngulos equil‡teros e as faces 
laterais s‹o regi›es retangulares. Determine a ‡rea total do 
prisma sendo 6 cm a medida da aresta da base e 10 cm a 
medida da aresta lateral.
14 Quantos metros quadrados de madeira s‹o gastos, aproxi-
madamente, para fabricar 100 caixas para transportar gela-
deiras? (A forma e as medidas da caixa est‹o na figura.)
1,80 m
90 cm
90 cm
15 Escreva a ‡rea total de um cubo em fun•‹o da medida d da 
sua diagonal.
16 Quantos metros quadrados de azulejo s‹o necess‡rios para 
revestir atŽ o teto as quatro paredes de uma cozinha com 
as dimens›es da figura abaixo? Sabe-se tambŽm que cada 
porta tem 1,60 m2 de ‡rea e a janela tem uma ‡rea de 2 m2.
4 m
3 m
2,70 m
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
C D
EB
A
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 45 7/8/15 11:55 AM
46 Poliedros: prismas e pir‰mides
17 Qual Ž a ‡rea total do s—lido representado pela figura abaixo?
1
2
2
2
3
3
18 (IFSP) A figura a seguir representa uma piscina em forma de 
bloco retangular.
5 m3
3 m2
2 m
De acordo com as dimens›es indicadas, podemos afirmar 
corretamente que o volume dessa piscina Ž, em m3, igual a: 
a) 5 10. 
b) 6 10. 
c) 6 15.
d) 5 30.
e) 6 30. 
19 Quantos litros de ‡gua s‹o necess‡rios para encher uma cai-
xa-d'‡gua cujas dimens›es s‹o: 1,20 m por 0,90 m por 1 m? 
(Lembre-se: 1 dm3 corresponde a 1 L.)
1 dm3
1 dm
1 dm
1 dm
1 L
20 Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d'‡gua cœbica 
para que ela possa conter 8 000 L de ‡gua?
21 Qual Ž o volume de um s—lido cuja forma e medidas est‹o na 
figura abaixo?
1,5 cm
1 cm
3 cm
10 cm
8 cm
22 (FGV-SP) Uma piscina vazia, com formato de paralelep’-
pedo reto ret‰ngulo, tem comprimento de 10 m, largura 
igual a 5 m e altura de 2 m. Ela Ž preenchida com ‡gua a 
uma vaz‹o de 5 000 litros por hora.
Ap—s tr•s horas e meia do in’cio do preenchimento, a altura 
da ‡gua na piscina atingiu: 
a) 25 cm.
b) 27,5 cm.
c) 30 cm.
d) 32,5 cm.
e) 35 cm.
23 (PUC-RJ) O diagrama abaixo mostra uma pilha de caixas cœbi-
cas iguais, encostadas no canto de um dep—sito.
Se a aresta de cada caixa Ž de 30 cm, ent‹o o volume total 
dessa pilha, em metros cœbicos, Ž de: 
a) 0,513.
b) 0,729.
c) 0,810.
d) 0,837.
e) 0,864.
24 Uma piscina tem o formato e as medidas da figura abaixo. Qual 
Ž o volume m‡ximo de ‡gua que essa piscina pode conter?
6 m
2 m
4 m
9 m
0,80 m
25 (Uerj) Um cubo de aresta EF medindo 8 dm contŽm ‡gua e 
est‡ apoiado sobre um plano a de modo que apenas a aresta 
EF esteja contida nesse plano. A figura abaixo representa o 
cubo com a ‡gua.
A
E
D
C
F
B
a
Considere que a superf’cie livre do l’quido no interior do 
cubo seja um ret‰ngulo ABCD com ‡rea igual a 32 5dm .2
Determine o volume total, em dm3, de ‡gua contida nesse 
cubo. 
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
En
em
C-2
H-7
En
em
C-2
H-8
SER1_CAD7_MAT_GEOM_C01.indd 46 7/8/15 11:55 AM
47Poliedros: prismas e pirâmides
M
A
T
E
M
Á
T
IC
A
 
 
G
E
O
M
E
T
R
IA
 E
 T
R
IG
O
N
O
M
E
T
R
IA
26 Uma barra de ouro é fundida na forma de um prisma cuja 
base é um trapézio (figura abaixo). As bases desse trapézio 
medem 8 cm e 12 cm e a altura da barra é 5 cm. O compri-
mento da barra é 30 cm; qual é seu volume?
27 Consideremos dois prismas regulares de mesma altura, o pri-
meiro de base triangular e o segundo de base hexagonal. Em 
ambos os prismas, a aresta da base mede 4 cm. Qual é a razão 
entre seus volumes?
28 As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 9 m, 6 m 
e 4 m. Calcule a medida da aresta