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Resumo e Lista de 
Exercícios 
Física III 
Fuja do Nabo P1 2019.1 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Resumo 
 
1. Cargas Elétricas 
Em distribuições contínuas de cargas, achamos a carga pelas seguintes 
integrais: 
 
I. Linear 
 
𝑄 = #𝑑𝑞 = 	#𝜆 𝑑𝑙 
 
Observe que o comprimento infinitesimal, em um trecho de 
circunferência de raio 𝑅 e comprimento angular 𝑑𝜃 vale: 
 
𝑑𝑙 = 𝑅	𝑑𝜃 
 
II. Superficial 
 
𝑄 =+𝑑𝑞 =+𝜎. 𝑑𝐴 
 
O elemento de área 𝑑𝐴 de um disco de raio 𝑅 vale: 
 
𝑑𝐴 = 2𝜋𝑟	𝑑𝑟 
 
III. Volumétrica 
 
𝑄 =2𝑑𝑞 =2𝜌 . 𝑑𝑉 
 
 
 
 
 
 
2 
 
O elemento de volume 𝑑𝑉 na simetria esférica vale: 
 
𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟6𝑑𝑟 
 
E, na simetria cilíndrica: 
 
𝑑𝑉 = 2𝜋𝑟ℎ	𝑑𝑟 
 
2. Força Elétrica 
A força elétrica entre duas cargas pontuais 𝑞8 e 𝑞6 tem módulo dado por: 
 
|𝐹| =
𝑘	|𝑞8||𝑞6|	
𝑟6 =
|𝑞8||𝑞6|
4	𝜋	𝜀=	𝑟6
 
 
Note a relação entre as constantes 𝑘 e 𝜀=: 
 
𝑘 =
1
4𝜋𝜀=
 
 
A direção e o sentido da força são iguais ao do versor �̂�, tal que: 
 
�̂� =
𝑟
𝑟 
 
E 𝑟 = 	𝑟6AAA⃗ − 	𝑟8AAA⃗ , onde 𝑟6AAA⃗ é vetor da origem até a carga que sofre a força e 
𝑟8AAA⃗ é o vetor da origem até a carga que exerce a força. 
 
Assim, o vetor força elétrica é: 
 
 
 
 
 
 
3 
 
𝐹68AAAAAA⃗ =
𝑘	𝑞8𝑞6�̂�
𝑟6 = 	
𝑘	𝑞8𝑞6𝑟
𝑟C 
 
Além disso, vale o Princípio da Superposição: “A força resultante em uma 
carga é a soma vetorial das forças exercidas sobre ela”. 
 
3. Campo Elétrico 
a. Linhas de campo elétrico 
 
 
b. Definição 
O vetor campo elétrico é dado como: 
 
𝐸A⃗ =
𝑘𝑞�̂�
𝑟6 =
�⃗�
𝑞=
 
 
Onde 𝑞 é a carga que exerce a força, 𝑞= é a carga de prova (carga que sofre 
a ação da força) e 𝑟 é a distância entre o ponto em que se quer achar o 
campo e a carga. 
 
c. Princípio de Superposição 
 
 
 
 
 
 
4 
“O campo resultante em uma carga de prova ou em um ponto é dado pela 
soma vetorial dos campos gerados pelas cargas ao seu redor.” 
 
d. Cálculo do campo para distribuições contínuas de carga 
Em distribuições contínuas de carga (como em corpos extensos), o 
módulo do campo elétrico é calculado por uma integral: 
 
𝐸 = 	#
𝑘𝑑𝑞
𝑟6 = 	#
𝑑𝑞
𝑟64𝜋𝜖=
 
 
Os casos mais comuns nas provas são: 
 
I. Campo elétrico gerado por um anel 
 
Seja um anel de raio 𝑎, com simetria em torno do eixo 𝑥, e a uma distância 
𝑟 de um ponto 𝑃. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Um comprimento infinitesimal do anel, com densidade linear de carga 𝜆, 
tem carga infinitesimal 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙. Assim, o módulo do campo elétrico 
gerado por esse trecho em um ponto é: 
 
𝐸 = 	#
𝑘𝑑𝑞
𝑟6 = #
𝜆𝑑𝑙
𝑟64𝜋𝜖=
 
 
Queremos saber o campo em um ponto 𝑃 localizado no eixo de simetria 
do anel. 
 
Por simetria, esse campo é a soma das componentes horizontais dos 
campos formados pelos trechos infinitesimais (componentes verticais se 
cancelam). Logo: 
 
𝐸 = 	𝐸I = #
𝜆𝑑𝑙
𝑟64𝜋𝜖=
. cos𝛼	 = #
𝜆𝑑𝑙
𝑟64𝜋𝜖=
⋅
𝑥
√𝑥6 + 𝑎6
 
 
 Substituindo 𝑟 = √𝑎6 + 𝑥6, temos: 
 
	𝐸I =
𝑥
(𝑎6 + 𝑥6)C/6
.
𝜆
4𝜋𝜖=
# 𝑑𝑠
6UV
=
=
𝑥
(𝑎6 + 𝑥6)C/6
.
𝜆𝑎
2𝜖=
 
 
⇒ 𝐸A⃗ = 	
𝑥
(𝑎6 + 𝑥6)C/6
.
𝜆𝑎
2𝜖=
𝑥X 
 
II. Campo elétrico gerado por um disco 
Basta integrar, ao longo do raio, o campo gerado pelo anel. Assim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
6 
𝐸VYZ[ =
𝑥
(𝑟6 + 𝑥6)
C
6
⋅
𝑞
4𝜋𝜖=
 
 
𝐸\]^_` = #
𝑥
(𝑟6 + 𝑥6)C/6
⋅
𝑑𝑞
4𝜋𝜖=
 
 
Temos que escrever a integral em função do raio. Note que: 
 
𝑑𝑞	 = 𝜎 ⋅ 𝑑𝐴 
 
Além disso: 
 
2𝜋𝑟 ⋅ 𝑑𝑟 = 𝑑𝐴 
 
 
 
 
Portanto, sendo 𝑎 o raio do disco: 
 
𝐸 = #
𝑥
(𝑟6 + 𝑥6)C/6
.
𝜎𝑟. 𝑑𝑟
2𝜖=
V
=
⇒ 𝐸 =
𝜎
2𝜖=
. 	 a1 −
𝑥
√𝑥6 + 𝑎6
b 
 
III. Campo elétrico gerado por uma barra no eixo que passa pelo seu 
centro 
 
Seja uma barra de comprimento 𝐿 e um elemento infinitesimal 𝑑𝑥 da 
barra, a uma distância 𝑟 do ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦): 
 
𝑑𝑟 
2𝜋𝑟 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
O elemento infinitesimal de carga é 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑥: 
 
𝐸 = 	#
𝑘𝑑𝑞
𝑟6 = #
𝜆𝑑𝑥
𝑟64𝜋𝜖=
 
 
Mas, por simetria, o campo resultante é a soma das componentes verticais 
(as horizontais se anulam), logo: 
 
𝐸 = 	𝐸f = #
𝜆𝑑𝑥
𝑟64𝜋𝜖=
⋅ cos 𝜃	 = #
𝜆𝑑𝑥
𝑟64𝜋𝜖=
⋅
𝑦
g𝑦6 + 𝑥6
 
 
Substituindo 𝑟 = g𝑦6 + 𝑥6: 
 
𝐸 =
𝜆𝑦
4𝜋𝜖=
#
𝑑𝑥
(𝑦6 + 𝑥6)
C
6
h/6
ih/6
⇒ 	𝐸A⃗ =
𝜆𝐿
2𝜋𝜖=𝑦g𝐿6 + 4𝑦6
 𝑦X 
 
4. Fluxo Elétrico 
O fluxo elétrico mede quanto do campo elétrico atravessa determinada 
área, e é calculado pela seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
8 
ΦZ = 	# 𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝐴AAAAA⃗ 	
^lmZnoí_]Z
 
 
Observe que 𝑑𝐴AAAAA⃗ é um vetor de área, e, por definição, é perpendicular à 
superfície. 
 
É importante saber que o fluxo positivo é aquele que sai da superfície, 
enquanto o negativo entra na superfície. 
 
5. Lei de Gauss 
A Lei de Gauss é a lei que relaciona o fluxo elétrico em uma superfície 
fechada com a carga dentro dela, pela relação: 
 
ΦZ = q𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝐴AAAAA⃗ =
𝑞]Yr
𝜀=
 
 
Esta lei é essencial no cálculo do campo elétrico gerado por simetrias 
cilíndricas e esféricas. 
 
Para aplicar essa lei, é preciso escolher uma superfície fechada (como 
esfera ou cilindro), mais conhecida como superfície Gaussiana, que 
envolva total ou parcialmente (geometrias infinitas) a geometria que está 
gerando o campo elétrico. 
 
As geometrias mais frequentes em prova são: 
 
I. Esfera, Casca Esférica: Gaussiana Esférica 
 
 
 
 
 
 
 
9 
II. Plano Infinito, Fio Infinito: Gaussiana Cilíndrica 
 
a. Caso específico: Condutores em equilíbrio 
Nos condutores, a carga se concentra na superfície do material. Ou seja, 
se quisermos calcular o campo elétrico através de uma superfície contida 
nesse condutor, a carga interna será nula e, portanto, pela Lei de Gauss, o 
campo também. 
 
 
Entretanto, em superfície fora do condutor, a carga interna será a carga 
total e o campo não será nulo. 
 
b. Observação para a maioria das questões de Lei de Gauss 
Para facilitar os cálculos, as seguintes regras costumam valer para os 
casos estudados: 
 
I. 𝐸A⃗ 	será constante na superfície Gaussiana utilizada. Por isso, o vetor 
pode multiplicar a integral, visto que é constante; 
 
II. 𝐸A⃗ 	será paralelo ao vetor área. Neste caso, vale que 𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝐴AAAAA⃗ = 𝐸 ⋅ 𝑑𝐴, 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
10 
q𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝐴AAAAA⃗ = 	q𝐸 ⋅ 𝑑𝐴 = 𝐸q𝑑𝐴 = 𝐸 ⋅ 𝐴 
 
6. Energia Potencial Eletrostática 
a. Força eletrostática 
A força eletrostática é uma força conservativa, logo: 
 
I. O trabalho por ela exercido independe do caminho; 
 
II. Em um caminho fechado, o trabalho é nulo. 
 
b. Definição 
O trabalho que a força eletrostática exerce sobre uma carga para levá-
la de um ponto A para um ponto B é dado por: 
 
∆𝑈 = 	𝑈u − 	𝑈V = −𝑊Vu 
 
Outra forma de calcular este trabalho é: 
 
𝑊Vu = # �⃗� ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
w
x
= 𝑞= # 𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
w
x
 
 
Para calcular a energia potencial em um único ponto, utiliza-se: 
𝑈u = 𝑈y = 0. Assim, a energia potencial em um único ponto é dada por: 
 
𝑈V =
𝑞=𝑄
4𝜋𝜀=
.
1
𝑟V
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
c. Cálculo da energia eletrostática 
A energia eletrostática de uma configuração de cargas é o trabalho 
necessário para formar a configuração, isto é, para trazer as cargas do 
infinito até suas posições finais. 
 
Para trazer a primeira carga, não é necessário nenhum trabalho, já que ela 
não está submetida a um campo ou a um potencial. 
 
Entretanto, uma vez em sua posição final, a primeira carga gera um 
campo e um potencial. Assim, para trazer as demais cargas, será 
necessário um trabalho e haverá uma contribuição na energia 
eletrostática total: 
 
𝑈 =
1
2 {
𝑞]𝑞|
4𝜋𝜀=𝑟]|
}
],	|~]
 
 
7. Potencial Eletrostático 
O potencial é definido como: 
 
𝑉 =
𝑈
𝑞=
 
 
Partindo da definição, podemos deduzir que o potencial gerado por uma 
carga pontual é: 
 
𝑉n =
𝑄
4𝜋𝜀=
.
1
𝑟 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Para potenciais elétricos, também vale o princípio da superposição. 
 
a. Diferença de potencial elétrico 
A diferença de potencial entre dois pontos 𝐴 e 𝐵 é: 
 
𝑉w − 	𝑉x =
𝑈u − 	𝑈V
𝑞=
= −	#𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
u
x
 
 
b. Potencial emum único ponto 
Para achar o potencial em um ponto 𝐵, utilizamos o potencial no infinito 
(no caso em que este é nulo): 
 
𝑉w − 	𝑉y = −	 #𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
u
y
= 	# 𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
y
u
= 	𝑉w 
 
c. Caso especial: Condutores Equilibrados 
Já vimos que, num condutor equilibrado, 𝐸A⃗ = 0A⃗ . Assim: 
 
𝑉w − 	𝑉x = −#0A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
u
x
= 0 ⇒ 𝑽𝑩 = 	𝑽𝑨		 
 
d. Potencial gerado por uma distribuição contínua de cargas em um 
ponto 𝑃 
 
 
 
 
 
 
 
13 
𝑉� = 	#
𝑑𝑞
4𝜋𝜀=𝑟
 
 
Na prova, os casos mais comuns são: 
I. Anel 
Seja um ponto 𝑃, no eixo de simetria do anel (no caso abaixo, em 𝑧). O raio 
do anel é 𝑅: 
 
 
 
Sabemos que 𝑟 = 	√𝑅6 + 𝑧6, e que, no anel, 𝑟 é constante. Assim: 
 
𝑉� =
	1
𝑟4𝜋𝜀=
#𝑑𝑞 = 	
	1
√𝑅6 + 𝑧64𝜋𝜀=
#𝑑𝑞 =
𝑄
√𝑅6 + 𝑧64𝜋𝜀=
 
 
II. Disco 
Um disco é um anel de raio variável. Ou seja, basta integrar ao longo do 
raio a expressão que achamos para o anel: 
 
𝑉� =
	1
4𝜋𝜀=
#
𝑑𝑞
√𝑟6 + 𝑧6
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Sabemos que: 
 
𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 e 2𝜋𝑟	𝑑𝑟 = 𝑑𝐴 ⟹ 𝒅𝒒 = 𝝈𝟐𝝅𝒓𝒅𝒓 
 
Assim, sendo 𝑅 o raio do disco: 
 
𝑉� =
1
4𝜋𝜀=
	#
𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟
√𝑟6 + 𝑧6
�
=
=
𝜎
2𝜀=
⋅ �g𝑧6 + 𝑅6 − 𝑧	� 
 
III. Barra 
Seja uma barra de comprimento 2𝑎, distante 𝑟 de um ponto 𝑃 = (𝑥, 𝑦): 
 
 
 
Da figura percebemos que: 𝑟 = 	g𝑥6 + 𝑦6 e 𝑦 varia conforme o elemento 
infinitesimal escolhido. Assim: 
 
𝑉� =
1
4𝜋𝜀=
#
𝑑𝑞
g𝑥6 + 𝑦6
 
 
Também sabemos que 𝑑𝑞 = 	𝜆𝑑𝑦, então: 
 
 
 
 
 
 
15 
 
𝑉� =
1
4𝜋𝜀=
#
𝜆𝑑𝑦 
g𝑥6 + 𝑦6
V
iV
=
𝜆
4𝜋𝜀=
log
√𝑥6 + 𝑎6 + 𝑎
√𝑥6 + 𝑎6 − 𝑎
 
 
e. Cálculo de 𝐸A⃗ 	partindo da fórmula de 𝑉: 
 
 
𝐸A⃗ = −𝛻A⃗ 𝑉 = −�
𝜕𝑉
𝜕𝑥 �̂� +
𝜕𝑉
𝜕𝑦 �̂� +
𝜕𝑉
𝜕𝑧 𝑘
�� = −
𝑑𝑉
𝑑𝑟 �̂� 
 
8. Capacitância 
Um capacitor é um componente eletrônico que serve principalmente para 
armazenar energia elétrica em um circuito. 
 
É formado por dois condutores com um isolante entre eles. Os condutores 
possuem cargas de sinais opostos e módulos iguais, o que gera uma 
diferença de potencial 𝑉. A capacitância vale: 
 
𝐶 =
|𝑄|
|𝑉| 
 
a. Cálculo da capacitância: 
Podemos seguir os seguintes passos: 
 
I. Calcular o campo 𝐸A⃗ entre as superfícies, em geral pela Lei de Gauss; 
 
II. Calcular o potencial 𝑉 utilizando a expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
16 
𝑉w − 	𝑉x = −	#𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
u
x
 
 
III. Calcular a capacitância 𝐶 pela fórmula: 
𝐶 =
|𝑄|
|𝑉| 
 
b. Exemplos mais comuns em prova 
Abaixo estão os principais tipos de capacitores estudados: 
 
I. Capacitor de placas planas 
Pela Lei de Gauss, sabemos que o campo elétrico 𝐸 gerado por uma placa 
infinita é dado por: 
 
|𝐸| =
𝜎
2𝜀=
 
 
O capacitor é formado por duas placas, e, na região entre as placas, as 
linhas de campo têm o mesmo sentido, de forma que: 
 
𝐸A⃗ =
𝜎
𝜀=
𝑘� 
 
Observe que fora do capacitor, o campo gerado pelas placas se anula. 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
Calculando o potencial, temos: 
 
𝑉u − 	𝑉V = −	#𝐸A⃗ ∙ 𝑑𝑙AAA⃗
u
V
⇒ 	𝑉\ − 𝑉= = − #
𝜎
𝜀=
𝑘� ∙ 𝑑𝑙 𝑘�
\
=
 = −
 𝑑𝜎
𝜀=
 
 
Aplicando a fórmula da capacitância com 𝑄 = 	𝜎𝐴: 
 
𝐶 =
|𝑄|
|𝑉| =
𝑄𝜀=
𝑑𝜎 =
𝜎𝐴𝜀=
𝑑𝜎 =
𝐴𝜀=
𝑑 
 
II. Capacitor Esférico 
Um capacitor esférico é formado por uma esfera maciça de raio 𝑎 e uma 
casca esférica de raio 𝑏, tal que 𝑏 > 𝑎 e as cargas dos corpos têm sinais 
opostos: 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
Pela Lei de Gauss, temos que: 
 
𝐸A⃗ =
𝑄�̂�
4𝜋𝑟6𝜀=
 
 
Calculando a diferença de potencial: 
 
𝑉V − 	𝑉u = 	#
𝑄�̂�
4𝜋𝑟6𝜀=
∙ 𝑑𝑟	�̂�
u
V
	 =
𝑄(𝑏 − 𝑎)
4𝜋𝜀=𝑎𝑏
 
 
Falta só aplicar a fórmula da capacitância: 
 
𝐶 =
|𝑄|
|𝑉| =
𝑄
𝑄(𝑏 − 𝑎)
4𝜋𝜀=𝑎𝑏
=
4𝜋𝜀=𝑎𝑏
𝑏 − 𝑎 
 
III. Capacitor Cilíndrico 
Este capacitor é composto de um cilindro interno e uma casca cilíndrica 
externa, ambos com cargas opostas: 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Pela Lei de Gauss, temos: 
 
𝐸A⃗ =
Q
𝜀=2𝜋𝑟𝐿
�̂� 
 
Calculando a diferença de potencial, temos que: 
 
𝑉u − 	𝑉V = −	#
Q
𝜀=2𝜋𝑟𝐿
�̂� ∙ 𝑑𝑟	�̂�
u
V
	 = −
Q
𝜀=2𝜋𝐿
ln
𝑏
𝑎 
 
Por fim, aplicando a fórmula da capacitância: 
 
𝐶 =
|𝑄|
|𝑉| =
𝑄
Q
𝜀=2𝜋𝐿
ln 𝑏𝑎
=
𝜀=2𝜋𝐿
ln 𝑏𝑎
 
 
d. Energia armazenada em um capacitor 
 
𝑈 =
𝑄6
2𝐶 =
𝐶𝑉6
2 =
𝑄𝑉
2 
 
 
 
 
 
 
 
20 
e. Densidade de energia em um capacitor de placas paralelas 
 
𝑢 =
1
2 𝜖=𝐸
6 
 
f. Associação de capacitores 
I. Em paralelo 
 
 
 
𝑄Z� = 	𝑄8 + 𝑄6	 + 	…+ 𝑄Y 
 
𝐶Z� = 	𝐶8 + 𝐶6	 + 	…+ 𝐶Y 
 
II. Em série 
 
 
 
𝑄Z� = 𝑄 
 
1
𝐶Z�
=
1
𝐶8
+
1
𝐶6
+ 	…+
1
𝐶Y
 
 
g. Materiais dielétricos 
 
 
 
 
 
 
21 
Materiais dielétricos são materiais isolantes que podem estar entre as 
placas do capacitor. 
 
Nos cálculos, a presença desse material altera a constante 𝜺𝟎 para	𝑲𝜺𝟎, 
sendo 𝐾 a constante dielétrica do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
Lista de Exercícios 
 
1. Força e Campo Elétrico 
P1 2017, Física III Poli USP, Exercício 1 
 
O campo elétrico sobre o eixo de simetria (eixo 𝑧) de um anel de raio 𝑟 e 
carga total 𝑄 > 0 é dado por: 
 
𝐸A⃗VYZ[ =
1
4𝜋𝜀=
⋅
𝑄𝑧
(𝑟6 + 𝑧6)C/6	
𝑘A⃗ 
 
 
 
a. Calcule a força elétrica que o anel exerce sobre um fio retilíneo de 
comprimento 𝐿 e densidade linear de carga 𝜆 > 0, posicionado sobre o 
eixo 𝑧, conforme a figura 1. 
b. Calcule o campo elétrico sobre o eixo de simetria (eixo 𝑧) de um disco 
vazado com raio interno 𝑐 e raio externo 𝑑, carregado com uma densidade 
superficial de carga uniforme 𝜎 > 0, conforme a figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
2. Campo Elétrico 
P1 2013, Física III Poli USP, Exercício 1a e P1 2014, Física III Poli USP, Exercício 1a 
 
a. Considere um bastão de comprimento ℎ e carregado com densidade 
linear uniforme de carga 𝜆 disposto conforme a figura. Calcule o vetor 
campo elétrico no ponto 𝑃8 de coordenadas (0, 𝑦, 0), para 𝑦 > 0. 
 
 
 
b. Uma barra semi-infinita, mostrada na figura ao longo do lado positivo 
do eixo horizontal 𝑥, possui carga positiva homogeneamente distribuída 
com densidade linear 𝜆. Determine o vetor campo elétrico num ponto 
𝑃 = (0, 𝑦) sobre o lado positivo do eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
3. Lei de Gauss 
P1 2016, Física III Poli USP, Exercício 2 
 
Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme −𝜆 < 0, 
é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial 
de carga uniforme 𝜎 > 0. Utiliza-se um sistema de coordenadas 
cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo 𝑧 e a placa se estende no 
plano 𝑦𝑧, conforme a figura. 
 
 
 
a. Calcule o vetor campo elétrico produzido pela placa em todo o espaço. 
b. Calcule o vetor campo elétrico produzido pelo fio em todo o espaço. 
c. Determine os pontos 𝑃 ≡ (𝑥, 𝑦, 𝑧) do espaço onde a força que atua 
sobre uma partícula de carga 𝑄 é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
4. Lei de Gauss 
P1 2018, Física III Poli USP, Exercício 1 
 
Um arranjo é formado por uma esfera condutora sólida de raio 𝑎, 
centrada no ponto 𝑂 na origem, eletrizada com carga −𝑄 envolvida por 
uma casca esférica condutora de raio interno 𝑏 e externo 𝑐 também 
eletrizada com carga −𝑄, conforme ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
a. Sendo 𝑟 a distância até a origem 𝑂, determine o vetor campo elétrico 
nas regiões 𝑟 < 𝑎, 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, 𝑏 < 𝑟 < 𝑐 e 𝑟 > 𝑐. 
b. Determine a carga em cada uma das superfícies 𝑟 = 𝑎, 𝑟 = 𝑏 e 𝑟 = 𝑐 na 
situação de equilíbrio eletrostático. Justifique sua resposta. 
c. Determine as densidades superficiais de carga 𝜎V, 𝜎u e 𝜎_. 
 
5. Lei de Gauss e Diferença de Potencial Elétrico 
P1 2018, Física III Poli USP, Exercício 3 
 
Considere uma casca esférica (não condutora) que está centrada na 
origem 𝑃=. Ela é uniformemente carregada com carga 𝑄 > 0 e possui raio 
𝑅, cujo centro situa-se a uma distância 𝑅 + 𝑑 de um plano infinito, 
 
 
 
 
 
 
26 
uniformemente carregado com uma densidade superficial 𝜎 > 0, 
conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
a. Determine ovetor campo elétrico em todo o espaço devido à casca 
esférica. 
b. Determine o vetor campo elétrico em todo o espaço devido à carga na 
superfície plana. 
c. Determine o vetor campo elétrico resultante ao longo do eixo 𝑦 > 0. 
d. Calcule a diferença de potencial 𝑉6 − 𝑉= entre os pontos 𝑃6 e 𝑃= 
localizados na superfície plana e no centro da casca, respectivamente. 
 
6. Potencial Elétrico e Trabalho 
P1 2017, Física III Poli USP, Exercício 3 
 
Considere um fio retilíneo de comprimento 𝐿, com densidade linear de 
carga 𝜆, posicionado conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
a. Calcule o potencial elétrico em um ponto 𝑃 sobre a parte positiva do 
eixo 𝑋 de coordenadas (𝑥, 0, 0), com 𝑥 > 𝐿. Assuma o potencial nulo no 
infinito. 
b. Calcule a componente 𝐸I do campo elétrico no ponto 𝑃. 
c. Qual é o trabalho de uma força externa para trazer uma carga de prova 
𝑄 do infinito até o ponto 𝑃? 
 
7. Capacitores 
P1 2017, Física III Poli USP, Exercício 4 
 
Um capacitor é constituído de cilindro com raio 𝑎 e carga 𝑞 > 0 coaxial 
com uma casca cilíndrica fina de raio 𝑏 e carga −𝑞. O cilindro e a casca 
cilíndrica têm ambos altura 𝐿, conforme a figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
a. Calcule o vetor campo elétrico dentro do capacitor, na região 𝑎 < 𝑟 <
𝑏. Despreze efeitos de borda. 
b. Calcule a capacitância do capacitor. 
c. Calcule a energia contida no interior de um cilindro de raio 𝑟 
(𝑎 < 𝑟 < 𝑏) e altura 𝐿, coaxial com o capacitor, conforme a figura 2. 
 
8. Capacitores e Dielétrico 
P1 2015, Física III Poli USP, Exercício 4 
 
Três placas condutoras de área 𝐴 são espaçadas de 𝑑 por vácuo (região 1) 
e de 𝑑 por um material de constante dielétrica 𝑘 (região 3), como indicado 
na figura. A carga total na placa superior é igual a 𝑄 > 0, na placa do meio 
é igual a zero e na placa inferior é igual a −𝑄. Desconsidere a não 
uniformidade do campo elétrico perto das bordas. 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
a. Indique numa figura e calcule as densidades de carga nas superfícies 
das placas condutores. Calcule o vetor campo elétrico 𝐸A⃗ nas regiões 1, 2 
e 3. Expresse suas respostas em termos de 𝜀=, 𝑄, 𝐴 e 𝜅. 
b. Calcule a capacitância do sistema de três placas. 
c. Calcule a densidade de carga de polarização no dielétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
Gabarito 
 
1. 
a. �⃗� = «¬
­U®¯
°8
n
− 8
√n±²h±
³ 𝑘� 
b. 𝐸A⃗\]^_` =
´µ
6®¯
° 8
√n±²_±
− 8
√n±²\±
³ 𝑘A⃗ 
 
2. 
a. 𝐸A⃗ = ¬¶
6U®¯f
⋅ 8
g¶±²­f±
�̂� 
b. 𝐸A⃗ = ¬
­U®¯f
(−�̂� + �̂�) 
 
3. 
a. 𝐸A⃗ = ´I
6®¯|I|
�̂� 
b. 𝐸A⃗ = i¬
6Un®¯
�̂� 
c. 𝑃 = °± ¬
U´
, 0, 𝑧³ 
 
4. 
a. Para 𝑟 < 𝑎, 𝐸A⃗ = 0A⃗ ; para 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, 𝐸A⃗ = i«
­Un±®¯
�̂�; para 𝑏 < 𝑟 < 𝑐, 𝐸A⃗ = 0A⃗ ; 
e para 𝑟 > 𝑐, 𝐸A⃗ = i«
6Un±®¯
�̂�. 
b. Em 𝑟 = 𝑎, Carga = −𝑄; em 𝑟 = 𝑏, Carga = 𝑄; e em 𝑟 = 𝑐, Carga = −2𝑄. 
c. 𝜎V =
i«
­UV±
, 𝜎u =
«
­Uu±
, 𝜎_ =
i«
6U_±
. 
 
5. 
a. Em 𝑟 < 𝑅, 𝐸A⃗ = 0A⃗ , e em 𝑟 > 𝑅, 𝐸A⃗ = «
­Un±®¯
�̂� 
 
 
 
 
 
 
31 
b. 𝐸A⃗ = − ´
6®¯
�̂�, para 𝑦 < 𝑑 + 𝑅, e 𝐸A⃗ = ´
6®¯
�̂�, para 𝑦 > 𝑑 + 𝑅. 
c. Para 𝑦 < 𝑅, 𝐸A⃗ = − ´
6®¯
�̂�; para 𝑅 < 𝑦 < 𝑅 + 𝑑, 𝐸A⃗ = °− ´
6®¯
+ «
­Uf±®¯
³ �̂�; 
para 𝑦 > 𝑅, 𝐸A⃗ = ° ´
6®¯
+ «
­Uf±®¯
³ �̂�. 
d. 𝑉6 − 𝑉= =
´
6®¯
(𝑅 + 𝑑) + «
­U®¯
° 8
�²\
− 8
�
³ 
 
6. 
a. 𝑉 = − ¬
­U®¯
ln °Iih
I
³ 
b. 𝐸A⃗ I =
¬h
­U®¯I(Iih)
 
c. 𝑊 = − «¬
­U®¯
ln °Iih
I
³ 
 
7. 
a. 𝐸A⃗ = �
6Un®¯h
𝑟 
b. 𝐶 = 6U®¯h
¸¹°º»³
 
c. 𝑈(𝑟) = �
±
­U®¯h
ln °n
V
³ 
 
8. 
a. 𝜎^lm =
«
x
, 𝜎]Yo = −
«
x
, 𝜎¼Z]` = ±
«
x
, 𝐸A⃗8 = −
«
x®¯
𝑘�, 𝐸A⃗ 6 = 0A⃗ e 𝐸A⃗ C = −
«
½x®¯
𝑘� 
b. 𝐶 = ®¯x
\
° ¾
¾²8
³ 
c. 𝜎] =
«
x
°½i8
½
³