Lista 7_ intervalo para média

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS INSTITUTO DE
CIÊNCIAS EXATAS
Lista de exercıcio - Intervalo de confiança
1. A seguir encontra-se uma amostra de 10 árvores castanheiras numa certa floresta.
O diâmetro (polegadas) das árvores foram medidos a uma altura de 3 pés:
19.4 21.4 22.3 22.1 20.1 23.8 24.6 19.9 21.5 19.1
Queremos encontrar um intervalo de confiança de 95% para o verdadeiro diâmetro
médio de todas as árvores castanheiras na floresta.
RESPOSTA: = 19,4 + 21,4+......+19.1/10 = 21,4𝑥
variância - s² = (19,4 - 21,4)² +.....+ (19,1 - 21,4)²/10-1 = 3,4
desvio padrão - S = = 1,843, 4
IC( )= t , n-1µ, γ 𝑥± α
2
𝑆
𝑛
n = 10 =21,4 S= 1,84 = 95% = 5%𝑥 γ →α
IC( ) = 21,4 t , 10-1µ, 95% ± 0,05
2
1,84
10
= 21,4 2,262 58± × 2,
= 21,4 1,3±
= 20,1 ; 22,7
Espera-se que o verdadeiro diâmetro médio de todas as árvores castanheiras na floresta
esteja entre 20,1 e 22,7 polegadas, com um nível de confiança de 95%.
2. Foi realizada uma pesquisa envolvendo uma amostra de 15 pacientes de um certo
hospital. Cada um desses pacientes foi submetido a uma série de exames clínicos
e, entre outras coisas, mediu-se o índice Cardıaco (em litros/min/m2) de todos eles.
Os valores medidos do índice Cardıaco foram: 405, 348, 365, 291, 135, 260, 300,
155, 340, 294, 758, 472, 559, 143, 172.
Com base nos valores acima, construa um Intervalo de Confiança para o valor
médio do índice Cardıaco ao nível de 99%.
RESPOSTA: = 405+348+....+172/15 = 333,1𝑥
variância - s² = (405 - 333,1)² +.....+ (172 - 333,1)²/15-1 = 28.579,7
desvio padrão - S = = 169,0528. 579, 7
IC( )= t , n-1µ, γ 𝑥± α
2
𝑆
𝑛
n = 15 =333,1 S= 169,05 = 99% = 1%𝑥 γ →α
IC( ) = 333,1 t , 15-1µ, 95% ± 0,01
2
169,05
15
= 3331 2,977 43,68± ×
= 333,1 130,03±
= 203,07 ; 463,13
Espera-se que o valor médio do índice cardíaco dos pacientes esteja entre 203,07 e 463,13
litros/min/m2, com um nível de confiança de 99%.
3. Um pesquisador está estudando a resistência de um certo material sob determinadas
condições. Ele sabe que essa variável é normalmente distribuída com variância igual a
4 unidades2. Foi extraıda uma amostra aleatória de tamanho 10 obtendo-se os seguintes
valores:
7,9 6,8 5,4 7,5 7,9 6,4 8,0 6,3 4,4 5,9
a) Calcule a estimativa pontual da média populacional, com base nesta amostra.
RESPOSTA: média - = 7,9 +.....+5,9/10 = 6,65𝑥
Com base nos dados obtidos a partir da amostra, observa-se que a estimativa pontual da
média populacional é de 6,65
b) Determine o intervalo de confiança para a resistência média com um coeficiente de
confiança de 90%.
RESPOSTA: variância - s² = 4²
desvio padrão - S = = 2IC( )= z4 µ, γ 𝑥± α
2
σ
𝑛
n = 10 =6,65 S= 2 = 90% = 10%𝑥 γ →α
IC( ) = 6,65 zµ, 95% ± 0,10
2
2
10
= 6,65 -1,64 0,63± ×
= 6,65 -1,03±
= 7,68 ; 5,62
Com os resultados obtidos a partir dos dados fornecidos pela amostra, espera-se que a
resistência média esteja entre 7,68 e 5,62, com um nível de confiança de 90%.
c) Determine o tamanho da amostra necessária para que o erro se reduza à metade.
RESPOSTA: erro = z .α2
σ
𝑛
e = z 0,10
2
2
10
e = -1,64 0,63 = -1,03/2 = -0,51×
n = ² 𝑧 α2 .
σ
𝑒( )
n = (1,64 2/0,51) ² = 40,9×
O tamanho da amostra necessária para que o erro reduza a metade é de 40,9 unidades.