2022 - AULA 3 - NORMAL TCL

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Distribuição de Probabilidade
Prof. Regina Meyer Branski
Escola Politécnica da USP
Departamento de Engenharia de Minas e Petróleo
Objetivos
Distribuição Normal e Distribuição Normal Padrão
Encontrando Probabilidades
Encontrando Valores
Distribuições Amostrais e Teorema Central do Limite
INTERPRETAR GRÁFICOS DE 
DISTRIBUIÇÃO DE 
PROBABILIDADE NORMAL
ENCONTRAR ÁREAS SOB A 
CURVA NORMAL PADRÃO
Variáveis Aleatórias
4
Variável Aleatória Discreta
Tem um número finito ou 
contável de possíveis 
resultados a serem listados
Variável Aleatória Contínua
Tem um número infinito de 
possíveis resultados 
representados por um 
intervalo na reta numérica
Variáveis Aleatórias Contínuas
Tempo diário (em horas) que um vendedor passa fazendo ligações
x = {qualquer número entre 0 e 24 horas}
x
1 2430 2 …
Distribuição Discreta vs. Distribuição Contínua
Distribuição de Probabilidade 
Discreta
Histograma
Distribuição de Probabilidade 
Contínua
Função Densidade de Probabilidade 
(fdp)
Distribuição Normal
Modelam grande número 
de fenômenos
Pressão sanguínea dos 
humanos
Custos domésticos
Tempo de vida de um 
equipamento
x
Propriedades da Distribuição Normal
x
μ
Área Total = 1
Média = Mediana = Moda 
Tem formato de sino e é simétrica em relação à média
Área total abaixo da curva é igual a 1
A curva se aproxima do eixo x, mas nunca toca
Propriedades da Distribuição Normal
μ − 3σ μ + σμ − 2σ μ − σ μ μ + 2σ μ + 3σ
x
Pontos de inflexão
Pontos de Inflexão: pontos onde a curva muda de trajetória
Propriedades 
da 
Distribuição 
Normal
Pontos de Inflexão: curva muda de trajetória
Entre µ - σ e µ + σ o gráfico curva para baixo
À esquerda de µ - σ e à direita de µ + σ o 
gráfico curva para cima
μ − 3σ μ + σμ − 2σ μ − σ μ μ + 2σ μ + 3σ
x
Pontos de inflexão
Média e Desvio Padrão • Média = linha de simetria
• Desvio Padrão = dispersão dos dados
Média: µ = 3,5
Desvio Padrão: σ = 1,5
Média: µ = 3,5
Desvio Padrão: σ = 0,7
Média: µ = 1,5
Desvio Padrão: σ = 0,7
Média e Desvio Padrão
Qual curva tem média maior?
Qual curva tem desvio padrão maior?
Média e Desvio Padrão
µ𝐴= 15; µ𝐵= 12 µ𝐴 > µ𝐵
σ𝐵 > σ𝐴 (mais dispersa)
Exemplo
As alturas (em pés) de árvores de carvalho adultas são
normalmente distribuídas. A curva normal apresentada mostra
essa distribuição. Qual é a média de altura de uma árvore de
carvalho adulta? Estime o desvio padrão
Distribuição Normal Padrão
A tabela mostra a média e o desvio padrão para a pontuação de dois exames
americanos: SAT e ACT. A distribuição da pontuação dos exames são
próximas do normal. Suponha que a pontuação de Ana no exame SAT foi
1.300 e do Tomás no ACT foi 24. Quem foi melhor?
SAT ACT
Média 1100 21
Desvio Padrão 200 6
Distribuição Normal Padrão
Distribuição Normal Padrão
Z = (20 – 20)/desvio padrão
−3 1−2 −1 0 2 3
z
Área = 1
Z-score
Pontuação
padrão
(z escore)
• Representa o número de desvios padrão que
um dado está a partir da média μ
Exercício
Em 2007, o ator Forest Whitaker ganhou o Oscar de melhor ator, aos
45 anos de idade, por sua atuação no filme O Último Rei da Escócia.
A atriz Helen Mirren ganhou o prêmio de melhor atriz aos 61 anos
por seu papel em A Rainha. A idade média para todos os
vencedores do prêmio de melhor ator é 43,7, com desvio padrão de
8,8. A idade média para as vencedoras do prêmio de melhor atriz é
36, com desvio padrão de 11,5. Encontre o z-escore que
corresponda à idade de cada ator ou atriz. Depois, compare os
resultados.
Comparar z escore de diferentes
conjuntos de dados
• Forest Whitaker
45 43.7
0.15
8.8
x
z


− −
= = 
61 36
2.17
11.5
x
z


− −
= = 
0,15 acima da média
2,17 acima da média
 Helen Mirren
z correspondente à idade de Helen Mirren é
mais de dois desvios padrão da média, então é
considerado incomum. Comparado a outras
vencedoras do prêmio de melhor atriz, ela é
relativamente mais velha, enquanto a idade de
Forest Whitaker é pouco acima da média dos
ganhadores do prêmio de melhor ator.
z = 0.15 z = 2.17
Exercício
A velocidade média de veículos em uma reta de
uma rodovia é de 56 milhas por hora, com
desvio padrão de 4 milhas por hora. Você mede
a velocidade de três carros que estão passando
pela reta da rodovia como 62, 47 e 56 milhas
por hora. Encontre o z-escore que corresponde
a cada velocidade. O que podemos concluir?
Propriedades da Distribuição Normal Padrão
z
−3 1−2 −1 0 2 3
Z = -3,49
Área 
próxima de 
zero
Z = 3,49
Área 
próxima de 
um
Área acumulada aumenta quando z aumenta
Quando z=0 a área acumulada é 0,5
Quando z-score próximo de 3,49, a área acumulada é próxima de 1
Encontrando a área 
Qual percentual de pessoas
tem uma pontuação SAT
menor do que Ana?
Z = (1300 – 1100)/200 = 1
0 1
Encontrar Probabilidades
μ = 500
σ = 100
x
P(x < 600) = Área
µ = 500
σ = 100
µ = 500
600
Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, para encontrar a
probabilidade de x cair em um dado intervalo, calcular a área sob a curva
normal daquele intervalo.
P(x < 600) = P(z < 1) = 0,8413
600μ =500
P(x < 600)
μ = 500 σ = 100
x
600 500
1
100
x
z


− −
= = =
1μ = 0
μ = 0 σ = 1
z
P(z < 1)
Mesma área
Encontrar Probabilidades
Distribuição Normal ou 
de Gauss
Valores de P(0 ≤ Z ≤ z0)
Distribuição Normal ou 
de Gauss
Valores de P(-∞ ≤ Z ≤ z0)
Encontre a área acumulada que corresponde a z-score de 1,15
P (z< 1,15) = 87,49%
Exemplo
Encontre a área acumulada que corresponde a z-score de -0,24
Exemplo
Área à esquerda de z = -0,24 é 0,4052
P(z < -0,24) = 0,4052
Áreas sob a 
Curva
Normal 
Padrão
Áreas sob a 
Curva
Normal 
Padrão
Áreas sob a Curva
Normal Padrão
P(-0,75 < z < 1,23) = ?
Exercício
Encontre a área sob a curva normal padrão
À esquerda de z = -0,99
À esquerda de z = 2,13
À direita de z = 1,06
À direita de -2,16
-1,5 < z < 1,25 
-2,16 < z < -1,35
Exercício
−0,99 0
z
0,1611
1,060
z
0,8554 1 − 0,8554 = 0,1446
1,250
z
−1,50
0,0668
0,8944 − 0,0668 = 
0,8276
P(z<2,13) = 98,34% 
Exercício
Sam foi selecionado
aleatoriamente e não
sabemos nada sobre sua
pontuação SAT. Qual a
probabilidade da pontuação
de Sam estar acima de 1190?
Exercício
Sam foi selecionado
aleatoriamente e não
sabemos nada sobre sua
pontuação SAT. Qual a
probabilidade da pontuação
de Sam estar acima de 1190?
Encontrando percentil
Eduardo obteve pontuação
1030 no seu SAT. Qual seu
percentil?
Z = (1030 – 1100)/200 = -0,35 
P(z<-0,35) = 36,32%
Encontrando percentil
Qual a pontuação de quem está
no 95º percentil da pontuação
SAT? E no 97,5º percentil?
Encontrando percentil
Quantos adultos homens estão
no 82º percentil?
Z = 0,92
0,92 = (x – 70)/3,3 = 73,04
Exercício
Você trabalha em uma publicação e está testando a afirmação de um fabricante de
lâmpadas. O fabricante afirma que a vida útil de uma lâmpada é normalmente distribuída,
com média de 2000 horas e um desvio padrão de 250 horas. Você testa 20 lâmpadas e
encontra os números abaixo para vida útil das lâmpadas
a) Desenhe um histograma de frequência para mostrar os dados. Use cinco classes. Seria razoável
dizer que a vida útil é normalmente distribuída? Por quê?
b) Encontre a média e o desvio padrão da sua amostra
c) Compare a média e o desvio padrão da sua amostra com os da declaração do fabricante. Discuta as
diferenças.
2210 2406 1930 2267 2005 2502 1106 2140 1949 1921
2217 2121 2004 1397 1659 1577 2840 1728 1209 1639
Exercício
a) É razoável assumir que a vida útil da lâmpada é
normalmente distribuída porque o histograma é
simétrico e com formato de sino
b) ഥ𝑥 = 1941,35 𝑒 𝑠 = 432,385
c) A média obtida foi menor do que a anunciada pelo
fabricante e, portanto, apresentou tempo de vida
menor. O desvio padrão de 432 horas foi maior que o
anunciado pelo fabricante e, portanto, apresentou
maior variação de sua vida útil.
Exercício
x
A B C D
Sua empresa fabrica anéis de pistão para carros. Os diâmetros internos dos anéis são
normalmente distribuídos,com média de 93,01 mm e desvio padrão de 0,005 mm. Os
diâmetros internos de quatro anéis selecionados aleatoriamente são de 93,014 mm,
93,018 mm, 93,004 mm e 92,994 mm. Indique no gráfico os valores correspondentes;
encontre o z-escore que corresponde a cada valor; e determine se algum valor é
incomum.
Exercício
Exercício
Uma pesquisa indica que para cada ida ao
supermercado, um comprador gasta uma
média de 45 minutos com um desvio padrão
de 12 minutos. O período de tempo gasto no
mercado é normalmente distribuído e
representado pela variável x. Um cliente
entra no mercado. Encontre a probabilidade
de que ele passe entre 24 e 54 minutos
dentro do mercado.
Exercício
P(24 < x < 54) = P(–1,75 < z < 0,75) = 0,7734 – 0,0401 = 0,7333
1
24 45
1 75
12
x
z


= = =
- -
- .
24 45
P(24 < x < 54)
x
Distribuição normal
μ = 45 σ = 12
0,0401
54
2
54 45
0 75
12
x
z


= = =
- -
.
–1,75
z
Distribuição normal padrão
μ = 0 σ = 1
0
P(–1,75 < z < 0,75)
0,75
0,7734
Exercício
Encontre a probabilidade de que
o cliente fique no mercado mais
de 39 minutos. (Lembre-se: μ =
45 minutos e σ = 12 minutos.)
P(x > 39) = P(z > –0,50) = 1 – 0,3085 = 0,6915
39 45
0 50
12
- -
- .
x
z


= = =
3945
P(x > 39)
x
Distribuição normal 
μ = 45 σ = 12
Distribuição normal padrão
μ = 0 σ = 1
0,3085
0
P(z > –0,50)
z
–0,50
Exercício
Exercício
Se 200 clientes entram no
mercado, quantos deles você
esperaria que permanecessem
por mais de 39 minutos?
Exercício
Se 200 clientes entram no mercado,
quantos deles você esperaria que
permanecessem por mais de 39 minutos?
P(x > 39) = 0,6915
200(0,6915) =138,3 (ou cerca de 138 clientes)
Encontrar um z-escore dada a área sob a curva normal
Transformar um z-escore em um valor x
Encontrar o valor de um dado específico
Encontrar 
valores para 
distribuições 
normais
Encontrar valores dada uma
probabilidade
Antes: dada uma variável aleatória x
normalmente distribuída, foi pedido para
encontrar a probabilidade
Agora: dada uma probabilidade, será pedido
o valor da variável aleatória x
z Probabilidadex
Encontrar valores
dada uma
probabilidade
Universidade quer saber qual a pontuação mais 
baixa que um aluno pode tirar em uma prova e 
ainda estar entre os 10% melhores
Pesquisa médica quer saber valores de corte para 
selecionar os 90% dos pacientes 
Encontrar um z-
escore dada 
uma área
Encontre o z-escore que corresponda à área
cumulativa de 0,3632.
Encontrar um z-escore dada uma área
z-escore = –0,35.
Encontrar um z-escore dada uma área
Encontre o escore z correspondente a 10,75% da área da distribuição à direita
P(z > ?) = 0,1075
z0
z
0,1075
1 – 0,1075 =0,8925
Encontrar um z-escore dada uma área
z-escore é 1,24
Sofia obteve na prova de português pontuação 160 e 157 na de matemática. A pontuação
média para português de todos os que prestaram a prova foi 151 com desvio padrão 7 e, de
matemática, 153 com desvio padrão 7,67. Suponha que as distribuições são
aproximadamente normais.
a) Escreva as representações das duas distribuições normais.
b) Qual o z-score da Sofia em português? E em matemática? Desenhe uma curva normal e
marque os dois z-score.
c) Que conclusões você pode tirar a partir dos z-scores?
d) Em relação aos demais alunos, em qual prova ela foi melhor?
e) Encontre o percentil para os dois exames. P. 89,97%. M. 69,85%
f) Qual porcentagem dos alunos foi melhor que ela em português? E em matemática?
g) Explique porque uma comparação simples das pontuações poderia levar a conclusões
incorretas
h) Se as distribuições das pontuações não fossem próximas do normal, suas respostas para
as questões de b – f mudaria? Explique
3x s− x s+ 2x s+ 3x s+x s− x2x s−
68% dentro de um 
desvio padrão
34% 34%
99,7% dentro de três desvios padrão
2.35% 2.35%
95% dentro de dois desvios padrão
13.5% 13.5%
Interpretar desvio Padrão
Regra Empírica (Regra 68 – 95 – 99.7)
Interpretar desvio
Padrão
Regra Empírica
(Regra 68 – 95 – 99.7)
Cerca de 68% dos dados estão dentro de um desvio padrão
da média
Cerca de 95% dos dados estão dentro de dois desvios
padrão da média
Cerca de 99,7% dos dados estão dentro de três desvios
padrão da média
Exercício
Em uma pesquisa conduzida pelo National Center for Health
Statistics, a amostragem média da altura de mulheres nos
Estados Unidos (20-29 anos) era de 64 polegadas, com um
desvio padrão da amostragem de 2,71 polegadas. Estime a
porcentagem de mulheres que estão entre 64 e 69,42
polegadas. E entre 61,29 e 64 polegadas?
Usar a Regra Empírica
3x s− x s+ 2x s+ 3x s+x s− x2x s−
55,87 58,58 61,29 64 66,71 69,42 72,13
34%
13.5
%
34% + 13,5% = 47,5% das mulheres estão entre 64 e 69,42 polegadas.
Usar a Regra Empírica
3x s− x s+ 2x s+ 3x s+x s− x2x s−
55,87 58,58 61,29 64 66,71 69,42 72,13
34%
13.5
%
34% + 13,5% = 47,5% das mulheres estão entre 64 e 69,42 polegadas.
Usar a Regra Empírica
3x s− x s+ 2x s+ 3x s+x s− x2x s−
55,87 58,58 61,29 64 66,71 69,42 72,13
34%
13.5
%
34% + 13,5% = 47,5% das mulheres estão entre 64 e 69,42 polegadas.
Usar a Regra Empírica
3x s− x s+ 2x s+ 3x s+x s− x2x s−
55,87 58,58 61,29 64 66,71 69,42 72,13
34%
13.5
%
34% + 13,5% = 47,5% das mulheres estão entre 64 e 69,42 polegadas.
Teorema Central 
do Limite
Distribuições
Amostrais
Distribuição de probabilidade da amostra
Formada quando amostras de tamanho n são
repetidamente colhidas de uma população
Se a estatística da amostra é a média, temos uma
distribuição de médias da amostra
Distribuições de Probabilidade de Médias Amostrais
A distribuição da amostra consiste dos valores das médias amostrais
1 2 3 4 5
, , , , ,...x x x x x
Exemplo 1
1x Exemplo 2
2
x
Exemplo 3
3x
Exemplo 4 
4x
População com μ, σ
Exemplo 5
5x
Distribuições das 
Médias das Amostras
Os valores populacionais {1, 3, 5, 7} são
escritos em pedaços de papel e postos em
uma caixa. Dois pedaços de papel são
selecionados aleatoriamente, sendo
recolocados na caixa após cada seleção.
Encontre a média, a variancia e o desvio
padrão da população.
Distribuições das Médias
das Amostras
Os valores populacionais {1, 3, 5, 7} são
escritos em pedaços de papel e postos
em uma caixa. Dois pedaços de papel
são selecionados aleatoriamente, sendo
recolocados na caixa após cada seleção.
Encontre a média, a variancia e o desvio
padrão da população.
Distribuições
das Médias das 
Amostras
Faça o histograma de probabilidade dos
valores populacionais
Distribuições das Médias das Amostras
Valores populacionais
P
ro
b
ab
il
id
ad
e
0.25
1 3 5 7
x
P(x)
Todos os valores têm a 
mesma probabilidade
de serem selecionados
(distribuição uniforme)
Distribuições
das Médias das 
Amostras
Liste todas as amostras possíveis de tamanho
n = 2 da população e calcule a média de cada
amostra
Distribuições das Médias das Amostras
Solução:
Amostras Média da 
Amostra
1, 1 1
1, 3 2
1, 5 3
1, 7 4
3, 1 2
3, 3 3
3, 5 4
3, 7 5
Amostras Média da 
Amostra
5, 1 3
5, 3 4
5, 5 5
5, 7 6
7, 1 4
7, 3 5
7, 5 6
7, 7 7
As médias
formam a 
distribuição
amostral das 
médias amostrais
Distribuições das 
Médias das Amostras
Construa a distribuição de probabilidade das
médias das amostras
Distribuições das Médias das Amostras
Encontre a média, variância e o desvio padrão
das médias das amostras
Distribuições das Médias das Amostras
Média das 
Amostras
Frequência Probabilidades
1 1 0,0625
2 2 0,1250
3 3 0,1875
4 4 0,2500
5 3 0,1875
6 2 0,1250
7 1 0,0625
Construa a distribuição de probabilidade das médias das amostras
Distribuições
das Médias das 
Amostras
Faça um histograma de probabilidade das 
médias amostrais.
P(x)
6 7
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
2
Média amostral
P
ro
b
ab
il
id
ad
e
Histograma de probabilidade da
distribuição amostral de
543
x
x
Distribuições das Médias das Amostras
O gráfico é simétrico e em formato de sino. Aproxima-se de uma distribuição normal
Distribuições de 
Probabilidade das 
médias amostraisA média das médias amostrais é igual à
média populacional μ
Desvio padrão das médias amostrais =
desvio padrão da população dividido
pela raiz quadrada do tamanho da
amostra n (erro padrão da média)
Teorema Central do Limite
Teorema Central do Limite
Se a população é normalmente distribuída, a distribuição das médias da amostra é
normalmente distribuída para qualquer tamanho de n.

x

x
x
x
x
x
x
xxx x
x
x
x
Teorema Central do Limite
Se amostras de tamanho n  30 são tiradas de qualquer população de média =  e desvio
padrão = , a distribuição da média amostral aproxima-se de uma distribuição normal.
Quanto maior o tamanho da amostragem, melhor aproximação.
x
 
x
x
x
x
x
xxx x
x
x
x x
Distribuição populacional qualquer Distribuição populacional normal
Distribuição das médias amostrais
(n ≥ 30)
Distribuição das médias amostrais
(n qualquer) 
Teorema Central do Limite
Condições para o TCL: (ഥ𝑥 ~𝑁(µ ҧ𝑥 = µ, σ ҧ𝑥 = 
σ
𝑛
)
3. Se a distribuição da população é distorcida ou desconhecida, n > 30
2. Se a distribuição da população é Normal, distribuição da amostra também é Normal 
(independente de n)
1. Independência das amostras
Selecionar amostras aleatórias Se amostra sem reposição, n < 10% da população
Exercício
As contas dos telefones dos habitantes de uma cidade têm uma média
de $64 e um desvio padrão de $9. Amostragens aleatórias de 36 contas
de telefone são tiradas dessa população e a média de cada amostragem
é determinada. Encontre a média e o erro padrão da média da
distribuição amostral. Então esboce um gráfico da distribuição das
médias amostrais.
Exercício
Exercício
Já que o tamanho da amostra é maior que 30, a distribuição das amostras pode ser aproximada por
uma distribuição normal 64x = 1.5x =
Exercício
As alturas das árvores de carvalho branco adultas são normalmente
distribuídas, com uma média de 90 pés e um desvio padrão de 3,5 pés.
Amostras aleatórias de tamanho 4 são tiradas dessa população, e a
média de cada amostra é determinada. Encontre a média e o erro
padrão da média da distribuição amostral. Então esboce um gráfico da
distribuição amostral das médias amostrais
Exercício
População é normalmente distribuída, a distribuição da média amostral também é normalmente distribuída
Probabilidade e 
Teorema Central do Limite
Exercício
O gráfico mostra o tempo gasto pelas
pessoas dirigindo a cada dia. Você
seleciona aleatoriamente 50
motoristas de 15 até 19 anos. Qual é
a probabilidade de que o tempo
médio que eles gastem dirigindo
diariamente esteja entre 24,7 e 25,5
minutos? Assuma que σ = 1,5
minutos. 0,9116
Exercício
1
24 7 25
1 41
1 5
50
x
z
n


= = =
- . -
- .
.
24,7 25
P(-24,7 < x < 25,5)
x
Distribuição normal
μ = 25 e σ = 0,21213
2
25 5 25
2 36
1 5
50
x
z
n


= = =
- . -
.
.
25,5 –1,41
z
Distribuição normal padrão
μ = 0 e σ = 1
0
P(–1,41 < z < 2,36)
2,36
0,9909
0,0793
P(24,7 < x < 25,5) = P(–1,41 < z < 2,36) = 0,9909 – 0,0793 = 0,9116
Exercício
Exercício
Os gastos médios com quarto e refeição por ano de faculdades de quatro
anos são de $ 6.803. Você seleciona aleatoriamente 9 faculdades de
quatro anos. Qual é a probabilidade de que a média de quarto e refeição
seja menor que $ 7.088? Suponha que os gastos com quarto e refeição
sejam normalmente distribuidos com um desvio padrão de $ 1.125.
Exercício
Exercício
Um auditor de um banco afirma que os balanços dos cartões de crédito são
normalmente distribuídos com uma média de $ 2.870 e um desvio padrão de
$ 900. Qual a probabilidade de um portador de cartão de crédito
aleatoriamente selecionado tenha um balanço menor que $ 2.500
P( x < 2.500) = P(z < –0,41) = 0,3409
2500 2870
0 41
900
x
z


= = 
- -
- .
2.500 2.870
P(x < 2.500)
x
Distribuição normal 
μ = 2.870 σ = 900
-0.41
z
Distribuição normal padrão
μ = 0 σ = 1
0
P(z < –0,41)
0,3409
Exercício
Exercício
Você seleciona aleatoriamente 25 portadores de cartão de crédito. Qual é a
probabilidade de que a média dos balanços dos seus cartões de crédito seja
menor que $ 2.500?
0
P(z < –2,06)
–2,06
z
Distribuição normal padrão
μ = 0 σ = 1
0,0197
2500 2870
2 06
900
25
x
z
n


= = 
- -
- .Distribuição normal
μ = 2.870 σ = 900
2.500 2.870
P(x < -2.500)
x
P( x < 2.500) = P(z < –2,06) = 0,0197
Exercício
2870x = =
900
180
25
x
n

 = = =
Desvio Padrão (população) e Erro Padrão
(amostra)
Erro da estimativa: diferença entre o
parâmetro (população) e o valor
observado (estatística)
Decorre de:
• Erros da amostra: dados variam de
uma amostra para outra
• Viés da amostra: tendência
sistemática de super ou subestimar o
valor verdadeiro da população.
Teorema Central do Limite 
(para proporção) 
Quando as observações são independentes e o tamanho da amostra é
suficientemente grande, a proporção da amostra Ƹ𝑝 tenderá a seguir uma
distribuição normal com as seguintes média e erro padrão:
µ ො𝑝 = 𝑝 e 𝑆𝐸 ො𝑝 = σ ො𝑝 =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
Amostras são consideradas suficientemente grandes quando:
n * p ⩾ 10 e n * (1 - p) ⩾ 10
Condições para o TCL: ( Ƹ𝑝~𝑁(µ ො𝑝 = µ ; 𝑆𝐸 ො𝑝= σ ҧො𝑝 =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
)
2. Condição de sucesso-falha: n*p ⩾ 10 e n * (1 - p) ⩾ 10
1. Independência das amostras
Selecionar amostras aleatórias
Se amostra sem reposição, n < 10% da 
população
Uma amostra aleatória simples com 1000 americanos mostrou que 88,7%
dos entrevistados apoiava a expansão da energia solar. Podemos considerar
que a amostra segue uma distribuição aproximadamente normal?
Independência? 
Condições de sucesso-falha?
Uma amostra aleatória simples com 1000 americanos mostrou que 88,7% dos
entrevistados apoiava a expansão da energia solar. Podemos considerar que a amostra
segue uma distribuição aproximadamente normal?
Independência: amostra aleatória
Condições de sucesso-falha: 
n* Ƹ𝑝 = 1000*0,887 = 887 > 10
n*(1 - Ƹ𝑝) = 1000*(1 – 0,887) = 113 > 10
Uma pesquisa quer saber a fração de casas com níveis elevados de cloro na água potável.
Eles esperam encontrar entre 5% - 30% com níveis elevados de cloro. Uma amostra de 800
casas é selecionada aleatoriamente e é coletada amostra da água e computado os níveis de
cloro presentes. O experimento foi repetido 1000 vezes e foi construída uma distribuição de
probabilidade
a) Como é chamada a distribuição?
b) Você espera que essa distribuição seja simétrica? Explique?
c) Se as proporções estão distribuídas em torno de 8%, qual é a variabilidade da
distribuição?
d) Qual o nome formal do valor (c)
e) Suponha que os pesquisadores reduzam o orçamento e o tamanho da amostra cai para
250 casas, mas ainda repetindo 1000 vezes o experimento. Constroem uma nova
distribuição das proporções da amostra. Como será a variabilidade da nova distribuição
comparada com a variabilidade quando cada amostra