3. Dinâmica. 3.3. Força elática e Força de atrito

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Aula 03 – Dinâmica – Força elástica e forças de atrito
Força elástica
Força elástica é a força exercida por uma mola ou elástico quando deformado. A força elástica é definida pela seguinte fórmula:
 |el| = k . |x| 
(ou de forma mais simplificada F = kx)
Sendo k a constante elástica da mola, e x a deformação dessa mola. 
Note que quando maior a deformação, maior a força exercida pela mola sobre o corpo e maior a força que o corpo exerce sobre a mola. Não há segredos, é fácil comprender a fórmula. 
A fórmula está em módulo, porque as vezes é conveniente atribuir um sinal a força. 
Note que o sistema massa-mola representado acima possui um eixo orientado. Se aplico uma força, no sentido do eixo, que deforme a mola (aumentando seu comprimento), a força elástica será contra o sentido do eixo. Se aplico uma força, contra o sentido do eixo (diminuindo o comprimento da mola) a força elástica será a favor do sentido do eixo. Ou seja, F e x possuem sinais opostos. Nesse caso a fórmula Fel = -kx também é válida. 
Exercício 01
Um corpo está preso nas extreminadades de duas molas idênticas, não deformadas, de constante elástica 100 N/m, como ilustra a figura. Quando o corpo é afastado, horizontalmente 1 cm do ponto central, qual a intensidade da resultante das forças que as molas exercem sobre ele?
Resolução:
Quando eu avanço o bloco 1 cm, seja para direita ou para a esquerda, uma das molas exerce uma força elástica que tende a puxar o bloco, enquanto a outra exerce uma força de mesma intensidade, que tende a empurrar o bloco. 
A força exercida por cada uma das molas é:
F = k . x
F = 100 . 0,01
F = 1 N
Como as forças exercidas pelas molas possuem a mesma direção, a força resultante sobre o bloco, será a soma das duas forças, ou seja, 1N + 1N = 2 N.
Exercício 02
(Fuvest-SP) Um corpo de massa igual a 3 kg está em equilíbrio estático sobre um plano inclinado, suspenso por um fio de massa desprezível preso a uma mola fixa no solo, como mostra a figura. 
O comprimento natural da mola (sem carga) é 1,2 m e, ao sustentar estaticamente o corpo, ela se distende, atingindo o comprimento 1,5 m. Despreze os atritos e adote g = 10 m/s2. A constante elástica da mola, em N/m, vale então:
a) 10 b) 30 c) 50 d) 90 e) 100
Resolução:
A componente Px da força peso, é equivalente força elástica, pois é ela (Px) a resposável pelo estiramento da mola. Então fica:
F = kx
Px = kx 
P . sen 30° = k x
30 . ½ = k . 0,3
15 = k . 0,3
K = 15/0,3
K = 50 N/m
Exercício 03
(FEI-SP) Os corpos A e B representados na figura possuem, respectivamente, massa mA = 2,0 kg e mB = 4,0 kg. A mola é ideal e tem constante elástica k = 50 N/m. Despreze os atritos. Aplicando-se ao conjunto a força F constante e horizontal, verifica-se que a mola experimenta deformação de 20 cm. Calcule as intensidades
a) da aceleração do conjunto;
A força elástica é kx FEL = kx FEL = 0,2 . 50 = 10 N
A força elástica atua apenas sobre o bloco A
10 = mA . a 10 = 2 . a a = 5 m/s2
b) da força F.
FR = (m1 + m2) . a
FR = 6 . 5
FR = 30 N
Exercício 04
Um conjunto de duas bolas, de massas m1 e m2, ligados por uma mola ideal de constante elástica k está em repouso, preso ao teto, conforme o esquema ao lado. No instante t = 0 é cortado o fio que prende a bola (1) ao teto. Determine, no instante t = 0:
a) a aceleração da bola (1);
FEL = P2
Kx = m2g
FR1 = m . a
FEL + m1g = m1 . a
m2g + m1g = m1 . a
 = a
b) a aceleração da bola (2).
Quando há o corte do fio a segunda bola continua sob ação do peso e da força elástica e a resultante dessas forças é nula.
Associação de molas
Em uma associação de molas, podemos substituir as molas associadas por uma única, que produzindo o mesmo efeito, é chamada de mola equivalente de constante elástica ke.
Associação de molas: associação em paralelo
	Nesse tipo de associação a deformação sofrida por todas as molas incluindo a mola equivalenete, é a mesma.
F = F1 + F2
kx = k1x + k2x
kx = x (k1 + k2)
 k = k1 + k2
Associação de molas: associação em série
Neste tipo de associação, as forças exercidas sobre as molas têm a mesma intensidade e sofrem deformações diferentes x1 e x2.
x = x1 + x2
 = + 
 = + 
Exercício 05
(Cesesp-SP) Duas molas têm o mesmo comprimento de 10 cm quando em equilíbrio e com constantes elásticas k1 e k2, respectivamente. Elas são usadas para fixar um pequeno cubo de aresta igual a 3 cm no fundo de uma caixa de largura igual a 20 cm, conforme indicado na figura. 
Se k1 = 2k2 , os comprimentos das molas 1 e 2, após a montagem do sistema, são, em centímetros, respectivamente:
a) 9 e 8
b) 5,7 e 11,3
c) 10,3 e 6,7
d) 6,3 e 10,7 
e) 7,3 e 9,7
Resolução:
Como as molas estão ligadas em série, a constante “k” equivalente vale:
 = + 
keq = 
A força elástica nas duas é a mesma, o enunciado diz que elas relaxadas tem 10 cm, pela geometria da figura cada comprimento preenchido por elas tem 8,5 cm, ou seja, as duas estão comprimidas em um total de 3 cm ou 3 . 10-2 m. A força elástica que está submetido as duas vale:
FEl = keq . x
FEl = . 3 . 10-2 m
FEl = 2k2 . 10-2 N
Mola 01:
FEl = k . x
2k2 . 10-2 = 2k2 . x1 
x1 = 0,01 m = 1 cm
Mola 02:
Se o deslocamento da mola um foi 1 cm, a mola dois se deslocou 2 cm. 
Forças de atrito
O atrito pode ser cinético ou estático. Se aplico uma força (empurrando ou puxando) sobre um objeto apoiado numa superfície, entre o objeto e a superfície existirá uma força de origem eletromagnética, chamada de força de atrito. Se o objeto possui aceleração o atrito é cinético, se não possui o atrito é estático. 
Lei do atrito cinético
A força de atrito é cinético quando há um deslizamento entre as superfícies de contato. É determinada pela seguinte fórmula:
 FA = μC . FN
A intensidade da força de atrito (A) é proporcional à intensidade da força normal (N) entre os corpos em contato. μC é o coeficiente de atrito cinético, e varia dependendo dos materiais que estão em contato. 
Exercício 06
Um bloco de massa m = 4 kg é lançado sobre uma superfície horizontal S, numa região em que g = 10 m/s2. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é μ = 0,25. Calcule o módulo da aceleração do bloco até parar.
Resolução
Depois que o bloco é lançado a única força que passa a atuar sobre seu movimento é a força de atrito. 
FRESULTANTE = FAT
FAT = μ . FN = m . a μ . m . g = m . a 0,25 . 10 = a
a = 2,5 m/s2
Exercício 07
(Mackenzie-SP) Um corpo é lançado sobre uma superfície plana, horizontal e rugosa, com velocidade 10 m/s. A velocidade desse corpo varia com o tempo de acordo com o gráfico abaixo.
 
Sendo g = 10 m/s2, o coeficiente de atrito entre o corpo e a superfície de apoio é:
a) 0,2 b) 0,4 c) 0,5 d) 0,6 e) 0,8
Resolução
Após o lançamento apenas a força de atrito atuará sobre o corpo, logo FR = FAT = m . a.
Entrentanto, também sei que que FAT = μ . FN.
m . a = μ . FN
m . a = μ . m . g
 μ = μ = = 0,2
Exercício 08
(UF-SC) Um bloco de massa 5 kg desliza para baixo sobre um plano inclinado, como ilustra a figura. Sabe-se que g = 10 m/s2 e que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,4. Calcule a aceleração do bloco. 
Resolução
O atrito tem sentido oposto a componente PX. A força resultante sobre o bloco será PX - FAT.
PX – FAT = m . a P . sen 30° - μ . FN = m . a 
50 . - . PY = 5 . a 25 - . 50 . = 5 . a 
25 – 0,4 . 25 = 5 . a 25 – 10 = 5a 15 = 5a
a = 3 m/s2
Lei do atrito estático
No atrito estático, a força aplicada sobre o corpo não é suficiente para deslocá-lo. 
Mas se aumento a f.orça progressivamente a partir de determinado momento o bloco passa a se deslocar o a força de atrito não é mais estática, é cinética. A força máxima do atrito estático é determinada pela fórmula:
 FA,M = μE . FN
A partir do momento que o corpo passa a se deslocar, a força de atrito estático máxima (FA,M) se transforma em força de atrito cinético. 
A força de atrito adquirida após ocorrer o movimento do corpo, é menor que a FA,M que o corpo tinha antes do movimento. O gráficoabaixo explica esse processo:
Nas quatro primeiras figuras abaixo, o atrito é estático. Se aplico uma força a partir de 4 N, o bloco se move e o atrito passa a ser cinético (última imagem):
Nota: O coeficiente de atrito estático entre duas superfícies é sempre maior que o dinâmico.
Freios ABS
Quando o indivíduo freia um carro o atrito pode ser estático ou dinâmico. Quando a roda não trava, não haverá deslizamento, então o atrito será estático. Quando a roda trava, haverá deslizamento, então o atrito será dinâmico.
A vantagem dos freios ABS é que o atrito é estático, consequentemente ocorrerá uma força de atrito máxima entre os pneus e o solo, garantindo uma maior frenagem. 
Ângulo de atrito
Para um corpo que está parado sobre uma superfície inclinada, como na imagem abaixo, o coeficiente de atrito estático é igual a tangente de ϴ.
Veja a dedução:
FA = PX = P . sen ϴ
FA = μ . FN
P . sen ϴ = μ . FN
P . sen ϴ = μ . PY
P . sen ϴ = μ . P . cos ϴ
 μ = = tg ϴ
Exercício
A tabela a seguir apresenta valões para a força aplicada pelo homem sobre a caixa inicialmente em repouso. Sabendo que o μestático = 0,8, μdinâmico = 0,6 e que a força normal vale 100 N complete na tabela o valor da força de atrito para cada valor de força aplicada.
	Força aplicada
	Força de atrito
	20 N
	20 N
	40 N
	40 N
	80 N
	80 N
	100 N
	60 N
Resolução
A força de atrito estático máxima será:
FA.M. = μe . N
FA.M. = 0,8 . 100
FA.M. = 80 N
Portanto até 80 N de força aplicada, a força de atrito será estática. 
Na situação de repouso a força de atrito será estática, então se eu aplicado uma força de 20 N a reação será também uma forma de atrito de 20 N. Se eu aplico 40 N a força de atrito também será 40 N.
Com 100 N o atrito é dinâmico:
FA. = 0,6 . 100 = 60 N
Exercício
A figura a seguir apresenta um bloco A de massa 5 kg que está apoiado em repouso sobre uma superfície plana e horizontal. A corda passa por uma polia ideal na sua extremidade final existe um gancho de massa desprezível.
Uma pessoa pendura um bloco B de massa 15 kg no gancho, sabendo que µestático = 0,5 e µdinâmico = 0,4, determine a aceleração do sistema de blocos.
Resolução
O peso do bloco B é 150 N, e o atrito estático máximo do bloco A seria 25 N. Como 150 é maior que 25, o atrito não será estático, será dinâmico, pois os blocos ganharão aceleração. 
Com base nisso podemos aplicar a segunda lei de Newton aos blocos.
Bloco A: T – FAT = mA . a
Bloco B: PB – T = mB . a
PB - FAT = (mA + mB) . a
150 – 20 = 20 . a
a = 6,5 m/s2
Exercício 09
Um bloco de massa 20 kg está em repouso sobre uma superfície horizontal S, numa região em que g = 10 m/s2, como ilustra a figura. 
Existe atrito entre o bloco e a superfície, sendo os coeficientes estático e cinético iguais a 0,25 e 0,20 respectivamente. A partir de certo instante aplica-se ao bloco uma força horizontal F de modo que surge uma força de atrito FA atuando no bloco. 
a) Qual o valor máximo de FA. 
FA possui valor máximo quando o atrito é estático.
FA = μE . FN FA = 0,25 . 200 = 50 N
b) Calcule FA e a aceleração do bloco se F = 30 N.
Como o valor máximo de FA é 50 N, antes e aplicar essa força, o bloco permanecerá estático. Enqunto o corpo está estático, a força de atrito terá o mesmo valor que a força F aplicada. Então FA = 30 N e a aceleração será zero. 
c) Calcule FA e a aceleração do bloco se F = 60N. 
Como a força é maior que 50 N, o a atrito é cinético. Sendo assim a força resultante no bloco é F - FA.
F - FA = m . a
60 – μC . FN = m . a
60 – 0,2 . 200 = 20 . a
60 – 40 = 20 . a
20 = 20 . a
a = 1 m/s2
Exercício 10
A fígura representa um homem puxando um carrinho sobre o qual está apoiada uma caixa de massa igual a 5 kg. A aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e o coeficiente de atrito estático entre a caixa e o carrinho é 0,4. Calcule o valor máximo para a aceleração do carrinho, de modo que a caixa acompanhe o movimento do carrinho sem escorregar.
Resolução:
A única força que atua entre o bloco e o carrinho é a força de atrito (ela será então a força resultante).
FA = μE . FN
FR = FA = m . a
μE . FN = m . a 0,4 . 50 = 5 . a a = 4 m/s2
Exercício 11
(PUC-SP) No sistema representado na figura, as polias e os fios são ideais, o peso de A é 20 N e o peso de B é 10 N. 
O coeficiente de atrito entre A e a superfície horizontal é igual a 0,2. Para que o sistema fique em equilíbrio, o peso de C deve ficar no intervalo:
a) 3 N a 5 N
b) 6 N a 8 N
c) 8,5 N a 11 N
d) 12 N a 28 N
e) 30 N a 45 N
Resolução
TB + FA = 
10 + 4 = 
TC = 28 N
Note que se Tc fosse maior do que 28 N (TB + FA < ) o sistema se deslocaria para a direita. Analogamente O sistema só se deslocaria para a esquerda caso TB fosse maior que + FA.
 + FA = TB
 + 4 = 10
 = 6
TC = 12 N
Exercício 12
Na situação representada abaixo, uma força horizontal F é aplicada ao bloco B, o qual, por sua vez, "empurra" o bloco A de modo que A não cai. A massa de A é 8 kg, o coeficiente de atrito estático entre A e B é igual a 0,25 e a aceleração da gravidade é 10 m/s². Determine os valores possíveis para a aceleração do conjunto, de modo que A acompanhe o movimento de B sem cair.
Resolução
FAT = PA
μ . FN = mA . g
0,25 . FN = 80
FN = = 320 N
a 
a 
a 40 m/s2
Exercício 13
O sistema esquematizado abaixo foi abandonado em repouso, num local em que g = 10 m/s². 
Os fios e as polias são ideais e o coeficiente de atrito entre o bloco B e a superfície S é 0,10. Sabendo que as massas de A, B e C são respectivamente iguais a 5,0 kg, 2,0 kg e 3,0 kg, calcule:
a) o módulo da aceleração do bloco B.
PA - TA = mA . a 
TA - TC - FAT = mB . a 
TC - PC = mC . a 
Somando as três equações:
Pa - Fat - Pc = (mA+mB+mC). a
a = 18/10 = 1,8 m/s2 
b) o módulo da tração no fio ligado ao bloco A.
PA - TA = mA . a 
50 - TA = 5 . 1,8 
Ta = 50 - 9 = 41N