Aula 02 Estatística

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Teoria e exercícios comentados
Prof. Jeronymo Marcondes - Aula 02
AULA 02: Tópicos de análise combinatória
SUMÁRIO PÁGINA
Conceitos Básicos 2
Arranjo 4
Combinação 7
Permutação 10
Lista de Exercícios resolvidos em aula 22
Gabarito 27
Pessoal, a aula de hoje será curta e com poucos exercícios.
-"Está com preguiça, professor”?
Não! O que acontece é que esta matéria não faz parte do conteúdo de estatística e 
não necessita muito aprofundamento.
-"Então, por que estamos estudando isso”?
Porque tais conhecimentos serão úteis em outras partes de estatística, tal como no 
estudo de probabilidades.
Diante da impossibilidade de colocar isso em alguma aula de forma que o 
conhecimento seguisse uma sequência lógica, decidi fazer uma aula dividida em 
duas partes, sendo que uma delas tratará deste assunto!
Então, chega de papo!
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1. Conceitos básicos
Pessoal, toda a ideia desta aula se concentra na pergunta: dado 1 (hum) ou mais 
conjuntos, quantas combinações são possíveis de serem feitas a partir deles?
Quer um exemplo? Suponha que você queira formar casais de gatos, dada uma 
amostra de 4 fêmeas e 4 machos. Quantos casais diferentes são possíveis?
Ora, basta olhar o seguinte diagrama:
Perceba que cada uma das fêmeas pode ser combinada com cada um dos 4 
machos de forma que há 4 combinações possíveis para cada fêmea.
Agora pense, quantos casais são possíveis? Simples:
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4 -4 = 16
Entendeu? Cada fêmea pode combinada com 4 possibilidades de macho, 
portanto há 16 combinações possíveis.
Este exercício deriva do princípio fundamental da contagem.
O princípio fundamental da contagem afirma que, 
quando uma tarefa puder ser dividida em n etapas, e cada etapa puder ser realizada 
de mi formas diferentes, o número de formas pelas quais podemos concluir a tarefa 
é igual à:
m 1 • m2 • m 3 ■ ...mn
Sendo que i variaria de 1 a n.
Não entendeu? Vamos a nosso exemplo!
A primeira etapa seria a escolha da fêmea. No caso, há 4 fêmeas possíveis. A 
segunda etapa seria a escolha do macho, sendo que há 4 machos possíveis. Assim:
m 1 - m2 = 4 ■ 4 = 1 6
Isso é bem fácil não? Saiba que você pode resolver a maior parte dos exercícios 
somente raciocinando sobre tal conceito! Mas, a fim de darmos uma abordagem 
mais didática iremos abordar as peculiaridades do uso do princípio fundamental da 
contagem em alguns casos específicos, o que permite o uso de fórmulas!
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2. Arranjo
Está bem, vamos complicar um pouco. No caso do exemplo anterior tudo ficou 
muito fácil porque estávamos lidando com dois conjuntos distintos. Ou seja, fica 
fácil visualizar o resultado porque basta combinar dois grupos distintos, no caso, 
machos e fêmeas.
Entretanto, se você tiver que fazer combinações dentro de um mesmo grupo a coisa 
complica.
Veja um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você queira 
escolher 2 deste bichanos, um para vacina e outro para tomar banho. Quantas 
formas diferentes há de se fazer isso, sabendo-se que o gato que toma vacina não 
toma banho?
Ora, primeiro eu quero que vocês tentem resolver este problema usando lógica! 
Suponha que nossos gatos sejam chamados de "A”, "B”, "C”, "D” e "E”, neste caso 
nós sabemos que há 5 possibilidades para a escolha de quem vai tomar a 
vacina:
Vacina Banho
5 possibilidades
Opa! Já temos o primeiro passo de nosk o exercício! E agora, quantas possibilidades 
temos para o banho?
Vacina Banho
5 possibilidades 4 possibilidades
Assim, quantas combinações possíveis são possíveis?
5-4 = 20
Exatamente, 20! Simples, não?
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Na verdade, o que estamos fazendo é combinar elementos de um mesmo grupo, de 
forma que a ordem de escolha seja importante e não haja reposição dos 
elementos escolhidos.
Não entendeu? Veja, quando que digo que não há reposição dos elementos é 
porque, escolhido um elemento, ele não volta a ser considerado para a próxima 
etapa. Fizemos isso quando eu disse que o gato que toma vacina não toma banho, 
ou seja, o bichano infeliz de levar uma picada tem a tortura do banho adiada.
Por outro lado, quando eu digo que a ordem deve ser importante é porque cada 
escolha diferente gera um resultado diferente. Perceba que se o gato "A” é o 
primeiro escolhido e "B” o segundo, "A” toma vacina e "B” toma banho, o que é 
totalmente diferente de "B” ter sido escolhido antes de "A”. Sumariamente, em 
termos de realização:
combinando elementos de um determinado conjunto de forma que a ordem seja 
importante e que não haja reposição!
Uma forma de encontrar este resultado é por meio da fórmula de arranjo:
Sendo que a mesma refere-se a um arranjo de n elementos em combinações de p 
unidades.
(A, B ) * ( B ,A)
Sendo que: (X, Y) = ( 1 ã escolha, 2 ã escolha) para todo X e Y.
Isso é um exemplo de arranjo! No arranjo estamos
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-"Professor, o que é aquele ponto de exclamação na fórmula”?
Aquilo é o símbolo de fatorial!
Ífr" INDOmais fundo
Fatorial de um determinado número x qualquer é
equivalente à:
x\ = x - ( x ~ l ) - ( x ~ 2 ) ... ■ ( 3 ) • ( 2 ) ■ ( 1)
Entendeu? Basta ir multiplicando o número pelos valores inferiores ao mesmo até o 
número 1. Por exemplo:
4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24
E se estivermos sob o caso da divisão de dois números em fatoriais? Por
exemplo:
5! 5 - 4 - 3 - 2 - 1
4! 4 - 3 - 2 - 1
Agora é só cancelar:
5! 5-1
= 5
4! 1
Entendeu? Então vamos retornar à nossa fórmula de arranjo:
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Dica de um concurseiro
Pessoal, muitas vezes decorar fórmulas pode ser uma ótima 
estratégia? Por que? Porque você tem de fazer uma prova em 
muito pouco tempo. Portanto, fórmula podem te ajudar a ir mais 
rápido!
Se você aplicar a fórmula ao problema do nosso exemplo:
5! 5!
An'v ( n -p ) ! ( 5 - 2 ) ! 3!
Ora, é o mesmo resultado! Claro, pois esta é a fórmula que simplifica aquele 
raciocínio.
-"E se a ordem dos elementos não for importante”?
Aí nós vamos para o próximo tópico.
3. Combinação
Se nós estivermos lidando com um problema semelhante ao anterior, mas no qual a 
ordem não importa, o raciocínio será diferente. Neste caso,estamos diante de um 
problema de Combinação.
Vamos a um exemplo: suponha que você tenha um conjunto de 5 gatos e você 
queira escolher 2 deste bichanos, ambos para vacina, sabendo-se que todo gato 
só pode tomar uma vacina. Quantas formas diferentes há de se fazer isso?
Agora a coisa mudou. Perceba que a ordem de escolha dos gatos não irá afetar o 
resultado final, pois ambos os gatos tomarão vacina, independentemente da ordem 
em que foram selecionados. A título de ilustração, suponha que tenhamos escolhido 
os gatos "A” e "B”, assim, em termos de realização:
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(A, B ) = ( B ,A)
Sendo que: (X, Y) = ( 1 - escolha, 2 - escolha) para todo X e Y. Ou seja, se 
selecionarmos os gatos "A” e "B”, não importa a ordem de escolha, pois o resultado 
será o mesmo (ambos tomam vacina).
Portanto, as nossas possibilidades de escolha são:
Vacina Vacina
5 possibilidades 4 possibilidades
Que nos dá um total de ( 5 • 4 = 2 0 ) escolhas.
"-Mas, isso é o mesmo que no caso do arranjo”?
Falta uma coisinha, precisamos excluir os casos repetidos, ou seja, realizações de 
conjuntos equivalentes. Por exemplo, pode-se considerar que (A, B) equivale à 
( B,A), dado que a ordem dos fatores não é importante no caso concreto.
Precisamos dividir o resultado total obtido por meio de um arranjo pela quantidade 
total de "casos repetidos”. O cálculo da quantidade de casos repetidos pode ser 
detido da análise dos conjuntos que estamos formando, que é composto por dois 
elementos, a saber:
( 1 - escolha = x, 2- escolha = y)
Sabendo-se que cada um destes grupos de escolha contem dois elementos, a 
quantidade máxima de repetições que cada um pode ter é de duas. Isso pode ser 
detido da análise da expressão acima, pois, como só há dois elementos em cada 
conjunto, a única possibilidade de repetição é invertendo a ordem original, tal como:
( 1 - escolha = y, 2 - escolha = x)
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Uma forma analítica de você saber qual o número máximo de repetições é:
p!
Sendo p a quantidade de unidades que cada grupo combinado contem.
Neste caso, o número de formas diferentes que podemos combinar os gatos que 
vão tomas vacina é:
20
- = 1 0
Assim, não fica difícil perceber que a fórmula para combinações é:
n!
n̂,p (n —p)!-p!
Quer testar? Vamos aplicar a fórmula no nosso exemplo:
n! 5! 5! 5 - 4 - 3 - 2 - 1 5-4
C = = = = = = 1 0
n’p ( n - p ) i - p ! ( 5 - 2 )!-2! 3! • 2! ( 3 -2 -1 ) • (2-1) 2
Viram? Este procedimento permite que realizemos uma combinação de um 
determinado conjunto de forma que a ordem não seja importante e que não haja 
reposição!
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4. Permutação
Este é o mais fácil de todos! Pode-se visualizar a permutação como um caso 
específico da permutação, no qual:
n = p
Assim, o número de elementos a ser combinado é igual à quantidade de 
observações em cada conjunto, ou seja, só há um conjunto e nós queremos saber 
quantas são as possibilidades de reordenação das observações em seu 
interior.
Nós já estudamos isso, certo? Quando nós vimos quantas repetições são 
possíveis em um conjunto de um determinado número de elementos. No caso, nós 
vimos que este número é dado por p!. Quer a prova?
Sabendo que a permutação é um caso específico de arranjo quando (n = p), então:
n! n!
An'p = ( n - p ) ! = (Õ)!
Sabendo-se que ( Õ! = 1 ):
^n,p
Esta é a fórmula da permutação.
Um exemplo de uso é no caso de anagramas. Anagrama é uma espécie de jogo na 
qual, a partir do rearranjamento das letras de uma palavra, são formadas novas 
palavras. A permutação nos permite visualizar a quantidade de anagramas 
possíveis a partir de uma palavra qualquer.
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A título de ilustração, vamos calcular a quantidade de anagramas que podem ser 
detidos da palavra "CHÁ”. Ora, basta aplicar nossa fórmula, como há 3 letras na 
palavra:
Ou seja, podemos reescrever 6 palavras.
Mas, este não é o caso genérico, pois, muitas vezes, precisaremos fazer a 
permutação com elementos repetidos. Não entendeu? Suponha a palavra "DADO”, 
neste caso tanto faz se colocarmos o 1° "D” no lugar do segundo, pois a palavra 
continuará exatamente igual. Assim, para levarmos em conta elementos repetidos, 
nos basearemos na fórmula:
Beleza pessoal? Vamos fazer alguns exercícios para treinar um pouco.
3! = 3 ■ 2 ■ 1 = 6
(■número de vezes em que o elemento repetido aparece)\
Veja, no caso de DADO:
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Exercício 1
(ANEEL - ESAF/2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com 
a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a 
classificação dos 3 primeiros lugares é:
a) 24360
b) 25240
c) 24460
d) 4060
e) 4650
Resolução
Neste primeiro exercício vamos tentar fazer sem fórmulas.
Olhe, há 30 duplas e 3 lugares diferentes disputados, portanto a ordem importa. 
Além disso, não há repetição, pois cada dupla só pode ter uma colocação.
Pensando em uma tabela:
1° lugar 2° lugar 3° lugar
30 possibilidades 29 possibilidades 28 possibilidades
Assim, as possibilidades são:
30-29-28 = 24360
Letra (a).
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Exercício 2
(ANEEL - ESAF/2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e 
somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de 
diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 
25 pontos é igual a:
a) 2180
b) 1180
c) 2350
d) 2250
e) 3280
Resolução
Este exercício é mais difícil. Veja um esqueminha do que está ocorrendo:
Perceba que os pontos que estão em linha reta não podem ser combinados entre si 
de forma a gerarem um triângulo, pois estes só formariam uma reta.
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Pensar em quantos triângulos podem ser formados é fácil, pois trata-se de uma 
combinação (a ordem de ligação dos pontos não importa, pois formariam o mesmo 
triângulo) de 25 elementos em grupos de 3. Entretanto, devemos desconsiderar as 
combinações resultantes da ligação dos 10 pontos que estão em linha reta. Assim:
triângulos = C25 3 - C10,3
Portanto:
25-24-2310-9-8
tri ângulos = C253 - C10,3 = 3 ^ . 1 “ 3 2 . 1 = 2 300 - 120 = 2180
Letra (a)
(ANAC - CESPE\2009) Julgue os itens a seguir 
Exercício 3
O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou 
Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife 
ou Aracaju, fazendo escala em São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte ou 
Brasília é múltiplo de 12.
Resolução
A melhor forma de resolver este exercício é usando uma tabela e dividindo o mesmo 
em etapas:
Lugar de saída Escala Lugar de chegada
3 opções 4 opções 7 opções
Então, temos ( 3 -4-7 = 84) opções. Este resultado é múltiplo de 12.
Gabarito: certo.
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(Ministério da Saúde - CESPE/2007) Julgue os itens a seguir:
Exercício 4
Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando um deles com um ingresso para o cinema, outro com um 
ingresso para o teatro e o terceiro com um ingresso para um show, ele terá 
mais de 100 maneiras diferentes de fazê-lo.
Resolução
Esta questão é muito parecida com nosso exemplo de aula.
No caso, trata-se de um arranjo, pois a ordem de sorteio dos indivíduos irá 
diferenciar seus prêmios. Assim, estamos tentando realizar um arranjo de 6 
elementos em grupos de 3:
A6,3 = § = 6 • 5 • 4 = 120
Gabarito: certo
Exercício 5
Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando um deles com um ingresso para o teatro, ele terá mais de 24 
maneiras diferentes de fazê-lo.
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Resolução
No caso, agora a ordem não mais afeta o prêmio a ser obtido, tratando-se de um 
caso de combinação. Assim, teríamos de fazer uma combinação de 6 elementos em 
grupos de 3:
Gabarito: errado.
Exercício 6
(Elaborada pelo autor) Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra 
“TATÚ”?
a) 12
b) 15
c) 17
d) 18
e) 20
Resolução
A questão deve ser analisada por meio de uma permutação, tal como devemos 
fazer nos casos de anagramas. Entretanto, atente-se que há duas letras repetidas, 
portanto:
6 ! 6 - 5 - 4
(■número de vezes em que o elemento repetido aparece)\
Ou seja, há 12 combinações possíveis. Letra (a).
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Exercício 7
(AFRE-MG - ESAF/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, 
vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que 
as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por 
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá 
ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser 
a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas 
é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
Resolução
Vamos raciocinar para pensar na melhor forma de abordar a questão. Vamos 
pensar no total de combinações que podem ser feitas:
7!
A74 = — = 7- 6 - 5- 4 = 840
Entretanto, há algumas restrições! Devemos excluir os casos em que as filas não 
são finalizadas com Ana, Beatriz, Carla ou Denise, além das filas em que a Denise é 
a primeira. Vamos aos casos em que as a última da fila não é uma das quatro:
1ã da fila 2ã da fila 3ã da fila 4ã da fila
6 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades 4 possibilidades
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Neste caso, há 3 possibilidades para a última posição da fila (7-4), assim, 
descontando esta do total de modelos temos:
6 - 5 -4- 3 = 360
Agora, a quantidade de casos em que a Denise é a primeira:
1ã da fila 2ã da fila 32 da fila 4ã da fila
Denise x y
3 possibilidades (Ana, 
Beatriz ou Carla)
Ora, qual o valor de x e y?
Você já escolheu duas modelos, portanto só sobram 5 para a segunda posição da 
fila e 4 para a terceira:
1ã da fila 2ã da fila 32 da fila 4ã da fila
Denise 5 4 3 possibilidades (Ana, Beatriz ou Carla)
Portanto, a quantidade de combinações em que a Denise é a primeira é:
5-4 -3 = 60
Assim, o total de combinações que queremos é o total possível menos os 
casos de restrições, sendo:
840 - (60 + 3 60) = 420
Portanto, letra (a).
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Exercício 8
(TFC - ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. 
Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. 
O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:
a) 128
b) 495
c) 545
d) 1485
e) 11880
Resolução
Exercício bem simples, pois é só aplicar a fórmula de combinação de forma a 
encontrar todos quadriláteros possíveis.
-"Por que combinação, professor”?
Ora, a ordem de ligação dos lados do quadrilátero não altera o formato resultante. 
Veja:
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Ligar "A” a "B” dá na mesma do que ligar "B” a "A”, sendo a figura resultante a 
mesma.
Letra (b).
Exercício 9
(SERPRO - ESAF/2001 - alterada) Em uma sala de aula estão 10 alunos. A 
professora quer formar quadrilhas entre os alunos, quantas combinações são 
possíveis?
a) 5040
b) 5050
c) 200
d) 250
e) 210
Resolução
Bom, na combinação de uma quadrilha é fácil perceber que a ordem não importa. 
Veja, se você tiver uma quadrilha com João, Maria, Pedro e Juliana esse conjunto 
será o mesmo independentemente da ordem de seleção. Assim:
Então:
1 2! 1 2-1 1-1 0-9
° 12-4 (8)!-4! 4 - 3 - 2 - 1 = 495
1 0! 1 0 ■ 9 - 8 - 7
= 210
Letra (e).
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Exercício 10
(Elaborada pelo autor) Quantos anagramas podem ser gerados a partir da 
palavra “AEROPORTO”?
a) 20612
b) 26000
c) 27550
d) 30240
e) 32340
Resolução
Essa eu só fiz para vocês treinarem permutação, o que não é comum de ser 
cobrado em prova. Perceba que, neste caso, você tem 2 letras que se repetem "o” e 
“r”. O que você deve fazer é o seguinte:
p! 9! 9 - 8 - 7 - 6 - 5- 4
= = = 3 0240p (o )!xp (r)! 3! x 2! 2-1
Letra (d).
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Teoria e exercícios comentados
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Lista de exercícios resolvidos 
Exercício 1
(ANEEL - ESAF/2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com 
a mesma probabilidade de vencer. O número de diferentes maneiras para a 
classificação dos 3 primeiros lugares é:
a) 24360
b) 25240
c) 24460
d) 4060
e) 4650
Exercício 2
(ANEEL - ESAF/2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e 
somente 10 desses pontos são marcados em linha reta. O número de 
diferentes triângulos que podem ser formados com vértices em quaisquer dos 
25 pontos é igual a:
a) 2180
b) 1180
c) 2350
d) 2250
e) 3280
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Teoria e exercícios comentados
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(ANAC - CESPE\2009) Julgue os itens a seguir 
Exercício 3
O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou 
Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife 
ou Aracaju, fazendo escala em São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte ou 
Brasília é múltiplo de 12.
(Ministério da Saúde - CESPE/2007) Julgue os itens a seguir:
Exercício 4
Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando um deles com um ingresso para o cinema, outro com um 
ingresso para o teatro e o terceiro com um ingresso para um show, ele terá
Exercício 5
Se o diretor de uma secretária do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores 
presenteando um deles com um ingresso para o teatro, ele terá mais de 24 
maneiras diferentes de fazê-lo.
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Exercício 6
(Elaborada pelo autor) Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra 
“TATÚ”?
a) 12
b) 15
c) 17
d) 18
e) 20
Exercício 7
(AFRE-MG - ESAF/2005) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, 
vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que 
as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por 
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá 
ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser 
a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas 
é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
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Exercício 8
(TFC - ESAF/2000) Em uma circunferência são escolhidos 12 pontos distintos. 
Ligam-se quatro quaisquer destes pontos, de modo a formar um quadrilátero. 
O número total de diferentes quadriláteros que podem ser formados é:
a) 128
b) 495
c) 545
d) 1485
e) 11880
Exercício 9
(SERPRO - ESAF/2001 - alterada) Em uma sala de aula estão 10 alunos. A 
professora quer formar quadrilhas entre os alunos, quantas combinações são 
possíveis?
a) 5040
b) 5050
c) 200
d) 250
e) 210
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Exercício 10
(Elaborada pelo autor) Quantos anagramas podem ser gerados a partir da 
palavra “AEROPORTO”?
a) 20612
b) 26000
c) 27550
d) 30240
e) 32340
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Gabarito
1- a
2- a
3- C
4- C
5- E
6- a
7- a
8- b
9- e
10- d
Essa aula foi muito rápida! Mas, aproveitem o descanso porque a próxima aula cai 
em, praticamente, todo concurso.
Um abraço e bons estudos
jeronymo@estrategiaconcursos.com.br
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