artigo_Evaldo_Abarao VERSÃO FINAL

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: 
APLICAÇÕES UTILIZANDO O 
GEOGEBRA. 
 
EVALDO JR DE AZEVEDO1 
ABRAÃO GOMES2 
 
RESUMO: Este estudo apresenta um breve histórico da trigonometria geométrica da 
antiguidade até os dias atuais, decorrente do desenvolvimento da álgebra no 
Séc. XVIII, definindo em seguida, as funções trigonométricas seno, cosseno e 
tangente, atrelada a uma extensão das mesmas, isto é, funções trigonométricas 
hiperbólicas com exponenciais. Utilizou-se o programa Geogebra para visualizar as 
principais características dessas funções, evidenciando que o conhecimento de 
trigonometria adquirido no ensino básico não se limita às funções trigonométricas 
usuais, mas se estende ao ensino superior, com aplicabilidades em áreas do 
conhecimento científico, por exemplo, medicina, física e engenharia. 
 
Palavras – Chave: Trigonometria. Funções hiperbólicas. Geogebra. 
 
 
 
 
 
 
 
1 Especializando em Matemática do Ensino Médio na Universidade Federal do Pará (UFPA – Campus 
Universitário do Baixo Tocantins). E-mail: elydaelias21@hotmail.com 
 
 
2 Especializando em Matemática do Ensino Médio na Universidade Federal do Pará (UFPA – Campus 
Universitário do Baixo Tocantins). E-mail: abraaomatematica16@gmail.com 
 
mailto:elydaelias21@hotmail.com
mailto:elydaelias21@hotmail.com
ABSTRACT: This study presents a brief history of the geometric trigonometry of 
antiquity up to the presents day, due to development of algebra in the 18th century, 
defining then the trigonometric sine, cosine and tangent functions, linked to their 
extension, that is, to the functions hyperbolic trigonometric as exponential. The 
Geogebra program was used to visualize the main characteristics of these functions, 
evidencing that the knowledge of trigonometric acquired in basic education, with 
applicability in areas of scientific knowledge, for exemple, medicine, physics and 
engineering. 
 
Word – key: Trigonometry. Functions hiperbólicas. Geogebra. 
 
 
Introdução 
 A trigonometria é considerada como uma das mais antigas áreas da 
matemática, mesmo que sua forma atual, apresentada no ensino médio, tenha sido 
desenvolvida no Séc. XVIII com o surgimento da álgebra. Sua aplicabilidade perpassa 
pelas diversas áreas do conhecimento, indo além do ensino básico. No que se refere 
às práticas docentes, é abordada de forma tradicional e a maioria dos alunos 
frequentemente fazem as também tradicionais perguntas: “Pra que serve isso?” ou 
“Onde na minha vida eu vou usar isso?” e que também ficam sem serem respondidas 
por muitos professores. Mostrar-se-á que possuir conhecimentos à cerca da sua 
história pode de forma significativa tornar a prática docente mais atrativa ao aluno. A 
utilização de programas geométricos em um ambiente computacional, em particular, 
o Geogebra, justifica-se pela busca de novas metodologias que potencializem o 
ensino-aprendizagem. De acordo com os PCN’s (Parâmetros Curriculares Nacionais) 
em relação ao uso de computadores e tecnologias nas aulas de matemática: 
[...] - evidencia para os alunos a importância do papel da 
linguagem gráfica e de novas formas de representação, 
permitindo novas estratégias de abordagem de variados 
problemas; 
[...] - permite que os alunos construam uma visão mais 
completa da verdadeira natureza das atividades matemática e 
desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo. 
 (BRASIL, 1998) 
 
No que se refere ao contexto histórico, busca-se mostrar que a história da 
matemática é extremamente importante nesse processo, pois destaca que o 
conhecimento exposto foi criado essencialmente para atender alguma necessidade 
humana em determinada época, além de mostrar ao aluno que o que foi criado na 
linguagem matemática tem uma aplicabilidade mínima, não sendo um mero enfeite 
como alguns acreditam. Além de contextualizar o conhecimento matemático, 
possibilita que o aluno visualize-o de uma forma mais completa e global. 
 
“Desvincular a matemática das outras atividades humanas é 
um dos maiores erros que se pratica particularmente na 
educação da matemática. Em toda a evolução da humanidade, 
as ideias matemáticas vêm definindo estratégia de ação para 
lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumento para 
esse fim e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos 
da natureza e para própria existência” 
 (D’AMBRÓSIO, 1999). 
 
Como exposto por D’AMBRÓSIO (1999), pode-se evidenciar que a história da 
matemática ainda tem a capacidade de destacar a questão da interdisciplinaridade 
tão discutida atualmente. Pode-se afirmar assim que a utilização tanto da história da 
matemática quanto do uso de novas tecnologias para se ensinar conteúdos 
matemáticos consiste em “desviar-se” minimamente que seja, do tradicionalismo tão 
imperioso nos dias de hoje. É fazendo uso desses ditos aqui “desvios” que se 
trabalhará a trigonometria das funções trigonométricas com aplicações. 
 
 
1. HISTÓRIA DA TRIGONOMETRIA NO OCIDENTE 
 De acordo com BOYER (2010), os primeiros indícios do surgimento da 
trigonometria no ocidente, tem origem no Egito e na Babilônia, onde esses povos já 
desenvolviam alguns cálculos entre razões de números e medidas de triângulos 
semelhantes, alguns deles podem ser encontrados no Papiro de Rhind3, conforme 
pode-se ver no fragmento da Figura 1. No Egito a trigonometria era usada para manter 
a inclinação na construção das faces de pirâmides e também foi onde começou a se 
 
3 Papiro de Rhind – Considerado um dos mais antigos documentos matemáticos, datado de 1650 a.C, onde 
encontrasse em escrita hierática cerca de 85 problemas matemáticos escritos pelo escriba egípcio Ahmes. Está 
depositado no museu Britânico, Londres. 
usar a ideia de associar sombras projetadas no solo por varas verticais, relacionando 
assim seu comprimento com as “horas” do dia. Já os Babilônios utilizaram a 
trigonometria para desenvolver a astronomia, produzindo através dela calendários e 
tábuas de eclipses que chegam até os dias atuais. 
Figura 1 – Fragmento do Papiro Rhind 
 
Fonte – www.matematica.br 
 
 Na Grécia a trigonometria fortaleceu-se ainda mais com a contribuição de 
vários estudiosos, como Hipsícles, Eratóstenes de Cirene, Arquimedes, Aristarco e 
Hiparco de Nicéia, entre outros. Segundo BOYER (2010), o fato de dividir-se qualquer 
circunferência em 360 partes iguais, a qual cada parte chamou-se de arco de 1 grau, 
deve-se em grande parte a Hiparco, que posteriormente dividiu cada arco deste em 
60 partes iguais, dando origem ao arco de 1 minuto. Hiparco também construiu a 
primeira tabela trigonométrica e associou cordas a arcos ou ângulos, contribuindo 
enormemente para o avanço da astronomia através da trigonometria, o que lhe 
garantiu o título de “Pai da Trigonometria”. Até então a trigonometria desenvolvida 
tinha característica predominantemente geométrica. De acordo com 
GELSON IEZZI (2004), o ponto alto da trigonometria, foi o início da sua abordagem 
analítica, com François Viète, estabelecendo relações importantes como as fórmulas 
para 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) e 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜃)4 em função de 𝑠𝑒𝑛 𝜃 e 𝑐𝑜𝑠 𝜃. Com Newton, no Séc. XVII, ao 
expressar as funções circulares como séries inteiras, como por exemplo: 
 
4 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃) e cos (𝑛𝜃): Seno e Cosseno de arcos múltiplos, onde n é um número inteiro positivo, podendo ser 
obtidos a partir das fórmulas da soma de arcos 𝑠𝑒𝑛 (𝑎 ± 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎). cos(𝑏) ± 𝑠𝑒𝑛(𝑏). cos (𝑎) e 
cos(𝑎 ± 𝑏) = cos(𝑎) . cos(𝑏) ∓ 𝑠𝑒𝑛(𝑎). 𝑠𝑒𝑛(𝑏). 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑥 −
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
− ⋯ (1) 
 
 E principalmente com Euler, considerado o verdadeiro fundador da 
trigonometriamoderna, pois além de contribuir com inúmeras notações matemáticas, 
ligou a trigonometria à função exponencial através da famosa identidade de Euler: 
𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (2) 
Segundo GARBI (2010), da fórmula (2) decorre a equação (3) 
𝑒𝑖𝜋 + 1 = 0 (3) 
 Que une os números 𝑒, 𝑖, 𝜋, 1 e 0 considerados como os cinco maiores 
números de toda matemática. 
 De acordo com BOYER (2010), Euler desenvolveu uma função onde o seno 
deixou de ser uma grandeza, um simples segmento de reta e passou a ser um número 
obtido pela ordenada de um ponto de um círculo de raio unitário, além de definir, nas 
fórmulas (4) e (5) as funções seno e cosseno como: 
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
𝑒𝑖𝑥−𝑒−𝑖𝑥
2𝑖
 (4) 
e 
𝑐𝑜𝑠(𝑥) =
𝑒𝑖𝑥+𝑒−𝑖𝑥
2
 (5) 
Onde 𝑖 = √−1. 
Percebe-se nas fórmulas (4) e (5) a extensão das funções trigonométricas ao 
campo dos números Complexos. 
 Pode-se perceber então que a trigonometria percorreu um longo caminho e 
contou com a contribuição não só dos estudiosos aqui mencionados, mas de inúmeros 
outros que a trouxeram de auxiliar da agrimensura e astronomia até a forma atual que 
possui características geométricas e algébricas mais equilibradas. 
 
 
2. O GEOGEBRA 
O Geogebra é um programa matemático de distribuição gratuita, criado por 
Markus Hohenwarter, em 2001. Foi criado com o objetivo de facilitar o ensino e a 
aprendizagem da matemática nos diversos níveis de ensino. É um programa 
dinâmico que possibilita a construção de objetos geométricos, indicando a álgebra 
relacionadas a eles no mesmo ambiente de visualização. Na Figura 2, apresenta-
se o Geogebra e suas principais partes: janela de visualização, destacada com 
borda preta; janela de álgebra, destacada com borda vermelha e caixa de entrada 
destacada com borda verde. 
Figura 2 – Geogebra 
 
 
A janela de álgebra que indica a álgebra de cada construção geométrica 
realizada na janela de visualização pode ser ocultada caso seja de interesse do 
usuário. 
Ao final deste trabalho, em Anexo, pode-se verificar através de um tutorial como 
construiu-se a Figura 5 do sub - tópico 3.1. 
 
3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, COSSENO, TANGENTE. 
 As funções trigonométricas também são conhecidas como funções circulares, 
pois seus comportamentos decorrem do que ocorre no ciclo trigonométrico, cujos 
elementos e características principais encontram-se esquematizados de acordo com 
GELSON IEZZI (2004), através da Figura 3, constatando-se que trata-se de um círculo 
de raio unitário, onde cada volta completa representa um período de 2𝜋 radianos5, 
contados no sentido anti-horário que por convenção é tomado como sentido positivo. 
A ele associam-se três eixos: dos senos, dos cossenos e das tangentes, de forma que 
os dois primeiros eixos o dividem em quatro quadrantes. 
Figura 3 – Ciclo Trigonométrico 
 
 
3.1. Função Seno 
No ciclo trigonométrico, a função seno é medida no eixo vertical, 
(ver, Figura 4), que passa pelo centro do círculo. 
Pode-se observar que como o ciclo trigonométrico tem raio unitário, o valor 
máximo que o 𝑠𝑒𝑛𝛼 pode atingir será 1, quando 𝛼 = 
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 e valor mínimo −1, quando 
𝛼 =
3𝜋
2
𝑟𝑎𝑑 , (ver, Figura 3), caracterizando que o seno varia nesse intervalo. 
 
 
 
 
 
5 Radianos: É uma unidade de medida para arcos de um círculo, onde 1rad corresponde ao arco que possui a 
mesma medida do raio do círculo. 
Figura 4 - Seno de um Arco 𝛼 
 
 
Com base em YOUSSEF (2009), a função seno é definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 
seu domínio são todos os números reais, 𝐷 = ℝ, sendo limitada, apresentando 
conjunto imagem no intervalo 𝐼𝑚 = [−1, 1]. Sua representação geométrica é uma 
curva denominada senóide. De acordo com a Figura 5, a curva senóide, em azul claro, 
representa a imagem geométrica (gráfico) da função seno. Observando o 
comportamento da mesma na primeira volta no ciclo trigonométrico, destacada pela 
curva em azul escuro. Ainda como observação, destaca-se uma importante 
propriedade da função seno, no que concerne seu crescimento e decrescimento, ou 
seja, a referida função cresce no I e IV quadrantes e decresce no II e III quadrantes. 
A referida função apresenta uma característica periódica de período 2𝜋 radianos, 
sendo representado pelo distância, entre as retas verticais em cor laranja e seu 
conjunto imagem, determinado pelas retas horizontais em cor vermelha 
(ver, Figura 5). 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Senóide tendo como referência a 1ª volta do ciclo trigonométrico 
 
 
3.2. Função Cosseno 
 No ciclo trigonométrico, de raio unitário, a função medida no eixo horizontal que 
passa pelo centro do círculo (ver, Figura 3), define-se como função cosseno. Pode-se 
observar na Figura 6, que como o ciclo trigonométrico tem raio unitário, o valor máximo 
que o 𝑐𝑜𝑠𝛼 pode assumir é 1, quando 𝛼 = 0 𝑟𝑎𝑑 e valor mínimo −1, quando 
𝛼 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 . 
Figura 6 - Cosseno de um arco 𝛼 
 
Segundo YOUSSEF (2009), a função cosseno é definida como 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), 
cujo domínio são todos os números reais, 𝐷 = ℝ e conjunto imagem limitado pelo 
intervalo 𝐼𝑚 = [−1, 1]. A imagem geométrica da função cosseno é uma curva 
denominada de cossenóide. De acordo com a Figura 7, a curva cossenóide, em azul 
claro, representa o gráfico da função cosseno. Observa-se ainda, o comportamento 
da função em questão na primeira volta no ciclo trigonométrico, destacada pela curva 
em azul escuro, assim como, seu crescimento no III e IV quadrantes e decrescimento 
no I e II quadrantes. O fato da periodicidade de período 2𝜋 radianos é representada 
pela distância entre as retas verticais em cor laranja e seu conjunto imagem 
determinado pelas retas horizontais em cor vermelha (ver, Figura 7). 
Figura 7 - Cossenóide tendo como referência a 1ª volta do ciclo trigonométrico 
 
 
3.3. Função Tangente 
A função tangente no ciclo trigonométrico (ver, Figura 3), de raio unitário, é a 
função medida no eixo que tangencia o círculo. Na Figura 8, pode-se observar que 
diferente das funções seno e cosseno, a função tangente não está limitada no intervalo 
[−1, 1], seu conjunto imagem são todos os reais (ℝ). 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Tangente de um arco 𝛼 
 
 
De acordo com YOUSSEF (2009), a função tangente é definida como 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥), cujo domínio é o conjunto 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍}, sendo o 
conjunto imagem 𝐼𝑚 = ℝ. A forma geométrica da função tangente é uma curva 
denominada de tangentóide. De acordo com a Figura 8, a curva tangentóide, em azul 
claro, representa o gráfico da função tangente. De forma análoga as funções seno e 
cosseno, observou-se o comportamento da função tangente também na primeira volta 
no ciclo trigonométrico, representada pelas curvas em azul escuro (ver, Figura 9), com 
crescimento nos quatro quadrantes. A característica periódica da função tangente de 
período 𝜋 radianos, está representada pelo “espaço” entre as retas verticais em cor 
laranja e seu conjunto imagem todos os reais, apresentando restrições em seu 
domínio, destacadas por assíntotas6 em laranja (ver, Figura 9). 
 
 
 
 
 
 
6 Assíntotas: Reta que é tangente de uma curva no infinito, ou seja, que, prolongada indefinidamente, 
aproxima-se cada vez mais do ponto de tangencia de uma curva, mas sem jamais encontrá-lo. 
Figura 9 - Tangentóide tendo como referência a 1ª volta do ciclo trigonométrico 
 
 
Como constatação, observa-se que as funções trigonométricas principais, 
seno, cosseno e tangente são todas periódicas de período 2𝜋, 2𝜋 e 𝜋, nestaordem. 
Sendo as demais funções trigonométricas, funções secundárias ou advindas de 
alterações algébricas das mesmas. 
 
4. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS COMO FUNÇÕES 
EXPONENCIAIS 
 
4.1. Função exponencial 
De acordo com GELSON IEZZI (2013), define-se função exponencial qualquer 
função 𝑓: ℝ ⟶ ℝ+
∗ , dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , em que 𝑎 é um número 
real dado, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
 
4.2. Gráfico de uma função exponencial 
Representa-se o gráfico de uma função exponencial, fazendo uma análise ao 
valor de 𝑎. Nas Figuras 10 e 11, quando se tem 𝑎 > 1 a função é crescente, isto é, 
dados 𝑥1 e 𝑥2 reais temos 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑎
𝑥1 < 𝑎𝑥2 e se 0 < 𝑎 < 1 a função é decrescente 
e para qualquer 𝑥1 e 𝑥2 reais tem-se 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑎
𝑥1 > 𝑎𝑥2. . 
Figura 10 – Função exponencial crescente 
 
 
Figura 11 – Função exponencial decrescente 
 
 
Nas funções exponenciais das Figuras 10 e 11, o eixo das abscissas (horinzontal) 
funciona como uma assíntota , ver nota de rodapé 5, subtópico 3.3. 
 
4.3. Função exponencial de base (𝒆) 
O número 𝑒 é conhecido como constante de Euler, mas também chamado de 
número de Napier7 , é um número irracional que serve como base dos logaritmos 
 
7 John Napier: Matemático, físico, astrônomo, astrólogo e teólogo escocês que se consagrou profissionalmente 
por ter popularizado o ponto decimal e principalmente pelo estudo dos logaritmos naturais, suas ideias deram 
base para a criação do número 𝑒. 
naturais, seu valor numérico com as dez primeiras casas decimais é 2,7182818284. 
As fórmulas (6) e (7) apresentam duas funções exponenciais com base 𝑒. 
𝑦 =
1
2
𝑒𝑥 (6) e 𝑦1 =
1
2
𝑒−𝑥 (7) 
Caracterizando, respectivamente, funções exponenciais crescente e 
decrescente, a Figura 12 traz suas representações gráficas. 
Figura 12 - Gráfico das funções exponenciais de base 𝑒 
 
Como essas funções estão definidas em ℝ usa-se as operações usuais de 
adição e subtração. Assim, subtraindo-se (7) de (6) e somando-se (6) e (7) tem-se 
duas novas funções, isto é, seno hiperbólico, representada por (8) e cosseno 
hiperbólico, por (9), conforme LEITHOLD (1994): 
 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥) =
1
2
𝑒𝑥 −
1
2
𝑒−𝑥 (8) 
e 
𝑐𝑜𝑠 (𝑥) =
1
2
𝑒𝑥 +
1
2
𝑒−𝑥 (9) 
 
4.4. Gráfico da função seno hiperbólico 
 Na Figura 13, tem-se a representação geométrica da função 
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥 −
1
2
𝑒−𝑥. Analisando a Figura 12, fazendo 𝑥 → +∞ obtem-se 
1
2
𝑒𝑥 → +∞ 
e −
1
2
𝑒−𝑥 → 0, portanto 
1
2
𝑒𝑥 − 
1
2
𝑒−𝑥 → +∞ de forma análoga quando 𝑥 → −∞ obtem-
se 
1
2
𝑒𝑥 → 0 e −
1
2
𝑒−𝑥 → −∞, logo 
1
2
𝑒𝑥 −
1
2
𝑒−𝑥 → −∞. Por outro lado, 𝑠𝑒𝑛ℎ (𝑥) é uma 
função ímpar, pois 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 pertencente ao seu domínio. , Portanto, 
simétrico em relação a origem (ver, Figura 13). 
Figura 13 – Gráfico da função 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥 −
1
2
𝑒−𝑥 
 
 
4.5. Gráfico da função cosseno hiperbólico 
Na Figura 14, tem-se a representação geométrica da função 
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
1
2
𝑒𝑥 +
1
2
𝑒−𝑥. De maneira similar à função seno hiperbólico, fazendo 
𝑥 → +∞ tem-se 
1
2
𝑒𝑥 → +∞ e 
1
2
𝑒−𝑥 → 0, portanto 
1
2
𝑒𝑥 +
1
2
𝑒−𝑥 → +∞, analogamente 
quando 𝑥 → −∞, 
1
2
𝑒𝑥 → 0 e 
1
2
𝑒−𝑥 → +∞, logo 
1
2
𝑒𝑥 +
1
2
𝑒−𝑥 → +∞. Contudo, a função 
cosseno hiperbólico caracteriza-se como uma função par, ou seja, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀ 𝑥 
pertencente ao seu domínio, assim a mesma é simétrica em relação ao eixo 𝑌 
(ver, Figura 14). 
Figura 14 – Gráfico do 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥) 
 
 É valido salientar, que a imagem geométrica representada na Figura 14, na cor 
vermelha chama-se caternária, apresentando aplicações em áreas do conhecimento 
científico, por exemplo, na engenharia (ver, subtópico 5.3). 
 
4.6. Análise do comportamento gráfico das funções seno hiperbólico e 
cosseno hiperbólico utilizando o programa Geogebra 
 
Na função 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
𝑎
2
(𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥), quando 𝑎 = 0 tem-se 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) = 0, na 
Figura 15, pode–se verificar o que acontece ao aumentar-se o valor de 𝑎 . 
Figura 15 – 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) para diferentes valores de 𝑎 
 
E na Figura 16, percebe-se que o gráfico aproxima-se do eixo das ordenadas à 
medida que o valor de 𝑎 aumenta e representa variações da função 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑥) para 
qualquer valor real 𝑎 no intervalo 0 ≤ 𝑎 ≤ 5. 
Figura 16 - 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) e variações de 𝑎 no intervalo [0, 5] 
 
Considere a função 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
𝑎
2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥), onde 𝑎 é uma constante real. Neste 
sentido, para analisar o comportamento da imagem geométrica da referida função, 
aumentar-se-á o valor de 𝑎, tal procedimento é visualizado na Figura 17. Percebe-se 
que o gráfico em questão desloca-se para cima, apresentando uma abertura 
convergente para o eixo das ordenadas. 
Figura 17 – Imagem geométrica da função 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
𝑎
2
(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) para diferentes valores de 𝑎 
 
 
Já o gráfico da Figura 18 mostra a representação para qualquer valor de 
0 ≤ 𝑎 ≤ 5 pertencente ao conjunto dos números reais. 
 Figura 18 – 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) e variações de 𝑎 no intervalo [0, 5] 
 
 
 
 
5. APLICAÇÕES 
5.1. Função trigonométrica na Medicina 
Na medicina a trigonometria é apresentada no monitoramento da frequência 
cardíaca, ou seja, no número de batimentos cardíacos em um período de tempo, 
usualmente designado por bpm (batimentos cardíacos por minuto). A partir do 
monitoramento, é possível medir a pressão sanguínea ou arterial de uma pessoa. 
Essa medida da pressão sanguínea é dada por dois valores: a pressão sistólica, que 
é o valor máximo atingido quando o coração se contrai e bombeia o sangue, e a 
pressão diastólica, que é o valor mínimo atingido quando o coração está em repouso, 
ambas em um intervalo de tempo de um batimento cardíaco. Normalmente, a pressão 
é representada da seguinte maneira: 120/80 mm Hg (milímetros de mercúrio), onde 
o primeiro valor é a pressão sistólica e o segundo valor é a pressão diastólica. A 
variação da pressão sanguínea (em mm Hg) de uma pessoa, em função do tempo (𝑡) 
em segundos (𝑠), é uma função trigonométrica (cíclica ou periódica), que depende do 
𝑐𝑜𝑠𝑥, com 𝑥 = 𝑡 (ver, subtópico 3.2), cuja lei é dada por: 𝑃(𝑡) = 100 − 20 cos (
8𝜋
3
𝑡), 
onde o valor do argumento (
8𝜋
3
𝑡) é dado em radianos. 
Fonte: REIS, Fabiana dos (2016). 
Utilizando o programa Geogebra plota-se o gráfico da função 𝑃(𝑡) na escala de 
eixos 1:20 (ver, Figura 19). 
Figura 19 - Gráfico da função 𝑃(𝑡) = 100 − 20 cos (
8𝜋
3
𝑡) 
 
 
Ainda como visualização, o gráfico da Figura 20 representa a mesma função 
𝑃(𝑡), com zoom de 400% com uma escala de eixos 1:200 plotada no programa 
Geogebra. Observa-se que o intervalo de tempo de um batimento cardíaco dessa 
pessoa é 0,75 s, que corresponde a um ciclo completo, ou seja, o período dessa 
função é 
3
4
 𝑟𝑎𝑑. Esta pessoa possui a frequência cardíaca igual a 80 bpm 
(60 s: 0,75 s). 
Figura 20 – Gráfico da função 𝑃(𝑡) = 100 − 20 cos (
8𝜋
3
𝑡) com zoom de 400% 
 
Assim, mostra-se que a pressão na parede dos vasos sanguíneos é medida a 
partir de relações trigonométricas, evidenciando que a matemática está diretamente 
vinculada a situações rotineiras que indicam a saúde ou enfermidade de uma 
determinada pessoa. 
 
5.2. Função Trigonométrica na Física 
 A gravitação é ramo importante da Física, a qual apresenta inúmeras 
aplicabilidades, entre elas pode-se citar a gravitação de satélites de 
telecomunicações. A aplicação a seguir, retirada de HOFFMANN (1999), apresenta 
uma situação de cálculo da posição de um satélite orbitando a Terra, como segue. 
Descrição doproblema 
Um satélite de telecomunicações está localizado na posição 𝑟(𝑡) dada pela 
fórmula (10) que depende do 𝑐𝑜𝑠𝑥, com 𝑥 = 𝑡 (ver, subtópico 3.2). 
𝑟(𝑡) =
4,831
1+0,15 𝐶𝑜𝑠(0,06𝑡)
 (10) 
 milhas8 acima do centro da Terra, 𝑡 minutos após atingir a órbita. 
 
a) Esboce um gráfico de 𝑟(𝑡); 
b) Quais são os pontos máximo e mínimo da órbita do satélite? (Estes pontos são 
chamados de apogeu e perigeu). 
Utilizando-se o Geogebra, faz-se o esboço solicitado no item (a) da aplicação 
em questão, com eixo das ordenadas (distância em milhas) na escala 5:1 e eixo das 
abscissas (tempo em minutos), nos primeiros 200 minutos (ver, Figura 21). Ainda 
extraindo informações da Figura 20, pode-se responder o solicitado no item (b), isto 
é, os pontos máximo e mínimo atingidos pelo satélite estão representados pelos 
pontos 𝐴(52,36 ; 5684), que indica a posição de apogeu à 5684 milhas de altitude, o 
que ocorre aproximadamente após 52 minutos e 𝑃(104,72; 4201), indicando a posição 
de perigeu à 4201 milhas de altitude, o que ocorre aproximadamente após 104 
minutos. 
Figura 21 – Esboço da função 𝑟(𝑡). 
 
 
8 Milhas: unidade de medida de comprimento que equivale a aproximadamente 1609,3 metros. 
 Matematicamente, esses valores 𝑟𝐴 e 𝑟𝑃 são determinados tomando-se 
𝑐𝑜𝑠 (0,06𝑡) = 1 e 𝑐𝑜𝑠 (0,06𝑡) = −1, respectivamente, onde 𝑟𝐴. é o raio do apogeu e 𝑟𝑃 
é o raio do perigeu. 
 
5.3. A catenária 
Segundo STEWART (2013), a catenária descreve uma família de curvas planas 
semelhantes às que seriam geradas por uma corda ou corrente suspensa pelas suas 
extremidades e sujeitas a ação da gravidade. 
A equação da catenária é dada pela função hiperbólica da fórmula (11), onde 𝑎 
é uma constante real. Sua representação geométrica encontra-se na Figura 14. 
(ver, subtópico 4.5) 
𝑓(𝑥) = 𝑎. cosh (
𝑥
𝑎
) =
𝑎
2
(𝑒
𝑥
𝑎 + 𝑒−
𝑥
𝑎
 ) (11) 
 Uma de suas aplicações encontra-se na engenharia em construções de pontes 
pênsil9, (ver, Figura 22), bem como nos cabos esticados entre torres de transmissão 
de energia (ver, Figura 23). 
Figura 22 – Ponte Pênsil de Aizhai na China 
 
Fonte – https://noticias.uol.com.br/album/2012/04/04/ponte-na-china.htm 
 
9 Pontes pênsil: São pontes onde o peso da plataforma é transformado em tensão nos cabos principais. 
https://noticias.uol.com.br/album/2012/04/04/ponte-na-china.htm
 Galileu conjecturou que essa curva formada pelos cabos de uma ponte pênsil 
era uma parábola, mas em 1646 o matemático holandês Christiaan Huygens, 
constatou que essa afirmação era falsa, apesar da semelhança com a referida curva 
(parábola). Etimologicamente, o termo catenária decorre da palavra latina “catena” 
que significa corrente. 
A Figura 23 destaca os cabos de energia das torres gigantes, com 305 metros de 
altura, na selva Amazônica, num trajeto de 1.750 quilômetros, levando energia da 
hidrelétrica de Tucuruí para as capitais de Manaus-AM e Macapá-PA 
Figura 23 – Torres gigantes 
 
Fonte –http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-a-
macap%C3%A1-mas-sem-energia/ 
 
Conclusão 
 A trigonometria é uma das áreas mais importantes da matemática, onde o uso 
de ferramentas tecnológicas pode facilitar a aprendizagem de conceitos e 
propriedades referentes às funções circulares, assim com sua introdução através da 
história da matemática pode-se transformar seu ensino, tornando-o mais dinâmico e 
atraente, principalmente nos ensinos fundamental e médio. Suas inúmeras aplicações 
evidenciam que mesmo em outros níveis de ensino como o superior, pode ser 
aprofundada com um entendimento claro e consistente. 
http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-a-macap%C3%A1-mas-sem-energia/
http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-a-macap%C3%A1-mas-sem-energia/
Sua evolução do âmbito geométrico ao analítico conta com a contribuição de 
vários estudiosos, que desde a antiguidade até a modernidade dedicaram parte de 
suas vidas para que tivéssemos o conhecimento e a aplicabilidade nos dias de hoje. 
No que se refere ao programa, deixa-se claro que deve ser usado como 
ferramenta de auxílio do processo, não podendo este ser utilizado como única forma 
de resolver problemas e aplicações de qualquer ramo da matemática. 
Portanto, como a matemática, que está em constante evolução, espera-se com 
este trabalho, ter-se contribuído para que o uso da história e da informática no ensino 
de matemática possa ser uma atraente alternativa de ensino de aprendizagem de uma 
forma geral. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas 
BOYER, Carl B.; História da Matemática, prefácio de Isaac Asimov; revista por Uta 
C. Merzbach; tradução de Elza F. Gomide; 3ª ed. – São Paulo: Ed. Blucher,2010. 
BRASIL, Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação 
Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Introdução. Brasília: MEC/SEF, 
1998. 
D´AMBROSIO, Ubiratam; A história da matemática: questões historiográficas e 
políticas e reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V.(org.). Pesquisa 
em Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: UNESP, 1999. 
GARBI, Gilberto G.; O Romance das Equações Algébricas; 4ª ed. ver. e amp. – São 
Paulo: Ed. Livraria da Física, 2010. 
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.; Cálculo um curso moderno e suas 
aplicações; 6ª ed. – Rio de Janeiro: Ed. LTC, 1999. 
IEZZI, Gelson; Fundamentos de matemática Elementar 3: trigonometria; 8ª ed. – 
São Paulo: Ed. Atual, 2004. 
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; 
ALMEIDA, Nilze de; Matemática ciência e aplicações, vol.1; 7ª ed. – São Paulo: Ed. 
Saraiva, 2013. 
LEITHOLD, Louis; O Cálculo com geometria analítica, vol.1; 3ª ed. - : Ed. Harbra 
Ltda 
Linha de Transmissão chega a Macapá, mas sem energia; Murillo Camarotto, 2014. 
Disponível em:< http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-
a-macap%C3%A1-mas-sem-energia/>; Acessado em: 12/12/2016 
Papiro Rhind; Valéria Ostete Jannis Luchetta, 2008. Disponível em: 
< http://www.matematica.br/historia/prhind.html>; Acessado em: 05/05/2016. 
Ponte suspensa é aberta para veículos na China, Uol noticias,2012. Disponível em: 
<https://noticias.uol.com.br/album/2012/04/04/ponte-na-china.htm>; Acessado em: 
06/12/2016. 
REIS, Fabiana dos; Uma visão geral da Trigonometria: história, conceitos e 
aplicações/Fabiana dos reis; Ponta Grossa, 2016. 82f. Dissertação (Mestrado 
http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-a-macap%C3%A1-mas-sem-energia/
http://amazonia.org.br/2014/04/linha-de-transmiss%C3%A3o-chega-a-macap%C3%A1-mas-sem-energia/
http://www.matematica.br/historia/prhind.html
https://noticias.uol.com.br/album/2012/04/04/ponte-na-china.htm
Profissional) em matemática em rede nacional – área de concentração: Matemática 
Universidade estadual de ponta Grossa. 
STEWART, James; Cálculo, vol. I / James Stewart; [tradução EZZ Translate]; São 
Paulo: Ed. Cengage Learning, 2013. 
YOUSSEF, Antônio Nicolau; SOARES, Elizabeth; FERNANDEZ, Vicente Paz. 
MATEMÁTICA Ensino Médio Volume Único; 1ª ed. – São Paulo: Ed. Scipione, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO 
1. Tutorial 
O tutorial a seguir, mostrará a construção da Figura 5 do subtópico 3.1 conforme 
mencionado no tópico 2. 
Digitando-se “sin(x)” na caixa de entrada, imediatamente aparecerá a curva 
chamada de senóide que representa o gráfico da função seno. 
 
Ao teclar-se “Enter”, a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) aparecerá na janela de álgebra, com 
mesma cor do gráfico da janela de visualização. 
Para dar-se ênfase à função em sua primeira volta nocírculo trigonométrico clica-
se no pontode interrogação que aparece no canto inferior direito, ao final da caixa de 
entrada, abrindo-se assim uma janela de ajuda. 
 
Seleciona-se o commando “Função” em “Funções e Cálculo”, aprecerá várias 
opções na parte inferior da janela de ajuda. Clica-se em “Colar” e segue-se o indicado 
na segunda opção: 
Função[<Função>,<Valor de x Inicial>, <Valor de x Final>], que aparecerá na 
caixa de entrada Função[ ], para escrever-se: 
Função[f, 0, 2pi] 
 
As retas horizontais que caracterizam o conjunto imagem da função são 
construídas digitando-se "𝑦 = 1" e "𝑦 = −1" na caixa de entrada. De forma análoga, 
constrói-se as assíntotas verticais, digitando-se "𝑥 = 𝑝𝑖/2", "𝑥 = 𝑝𝑖", "𝑥 = 3𝑝𝑖/2" e 
"𝑥 = 2𝑝𝑖". 
 
Para diferenciá-las por cor e por estilo de traço, seleciona-se a construção e 
com o botão direito e seleciona-se a opção “Propriedades” 
 
Em seguida, aparecerá uma janela para selecionar-se a cor e o estilo 
desejados. 
 
Para obter-se retas tracejadas, procede-se de forma análoga, selecionando se 
o ícone “Estilo”. 
 
Para efeito de padronização do trabalho, os eixos cartesianos foraam 
substituídos por vetores, mas pode-se mantê-los e modificá-los para apresentar 
medidas em radianos. 
Clica-se com o botão direito sobre um dos eixos e seleciona-se a opção “janela 
de visualização”. 
 
Em seguida, clica-se sobre o ícone “Eixo x”, ativa-se a caixa “Distância” e 
escolhe-se a unidade desejada. 
 
 
 
Para as indicações dos quadrantes, usou-se a ferramenta “texto”. 
 
 
 
O texto aparecerá na janela de visualização e poderá ser modificada sua fonte 
e tamanho, clicando-se com o botão direito e selecionando-se a opção “Propriedades”. 
 
 
 
 
Assim chega-se ao resultado desejado. 
 
 
As construções feitas neste mini tutorial são feitas e podem ser modificadas de 
forma muito dinâmica. 
Ao longo do trabalho algumas figuras não apresentam as características das 
apresentadas aqui no anexo. Isso deve-se ao fato de terem sido exportadas através 
de um recorte possibilitado pelo programa. Para tal deve-se seguir os passos 
indicados adiante: 
Ativar o ícone “Copiar Estilo Visual” 
 
Selecionar a parte que gostaria de ser exportada. 
 
Clicar em “Arquivo”, selecionar “Exportar” e em seguida “Janela de 
Visualização como Imagem” 
 
 
Clicar no ícone “Área de Transferência e depois “Colar” no documento 
desejado. 
 
Observe que a figura a seguir foi exportada para este tutorial após ter sido 
recortada da tela do programa para ser colada aqui. 
 
 
Esta é só uma amostra de como o programa pode ser muito útil na elaboração 
de trabalhos acadêmicos, produção de materiais como apostilas, entre outros, pois a 
grande maioria das ferramentas disponibilizadas nele não foram utilizadas aqui. 
Na internet também podem ser encontrados inúmeros tutoriais como o 
“Ensinando Geometria com auxilio do software Geogebra” e vídeos ensinando a 
utilização do programa em relação a assuntos específicos, como o vídeo “Funções 
Trigonométricas”. Agora é só aprender cada vez mais sobre o Geogebra e contribuir 
para a melhoria da ciência fascinante que é a matemática.