Exercícios de Estatística Descritiva

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CAMPUS DE BELÉM 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
________________________________________________________________ 
 
1 
 
 
Disciplina: Estatística Aplicada I – EN07048 
Professor: Jorge Teófilo Lopes 
 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
1) Um fabricante de bonés está interessado em coletar informações sobre o salário médio dos 
funcionários em três de suas filiais. A partir de uma amostra dos salários de seis funcionários de cada 
filial, ele deseja saber: 
a- Qual a média salarial de cada filial? 
b- Qual delas paga maiores salários? 
c- Faça os cálculos e descubra que medida central ele poderia utilizar em substituição à média 
salarial, a fim de obter resultados mais favoráveis para apresentar aos funcionários. 
 
FUNCIONÁRIOS Filial 1 Filial 2 Filial 3 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
9.600 
10.000 
12.000 
8.500 
7.000 
11.000 
8.000 
7.000 
8.500 
6.500 
5.000 
5.500 
8.000 
7.000 
5.000 
55.000 
7.500 
5.500 
Σ 58.100 40.500 88.000 
 
2) Determinar a média, a mediana e a moda dos seguintes conjuntos de números: (a) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 
7, 9, 7; (b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7. 
 
3) Um artigo no Transation of the Institution of Chemical Engineers (v.34, 1956, p.280-293) reportou 
dados sobre um experimento investigando o efeito de muitas variáveis de processos na oxidação, em 
fase vapor, de naftaleno. Uma amostra da conversão porcentual molar de naftaleno em anidrido 
maléico resulta em: 4,2; 4,7; 4,7; 5,0; 3,8; 3,5; 3,0; 5,1; 3,1; 3,8; 4,8; 4,0; 5,2; 4,3; 2,8; 2,0; 2,8; 3,3; 
4,8; 5,0. (a) Calcule a média da amostra; (b) Calcule a variância e o desvio-padrão da amostra; (c) 
Construa um diagrama de caixa de dados. 
 
4) As nove medidas que seguem são temperaturas de fornalha, registradas em bateladas sucessivas de 
um processo de fabricação de semicondutores (unidades em °F): 953; 950; 948; 955; 951; 949; 957; 
954; 955. (a) Calcule a média, a variância e o desvio-padrão da amostra; (b) Encontre a mediana. De 
quanto a maior medida de temperatura poderia aumentar, sem mudar o valor da mediana? (c) 
Construa um diagrama de caixa de dados. 
 
5) Os seguintes dados são as temperaturas, em dias consecutivos, dos efluentes na descarga de uma 
unidade de tratamento de esgoto: 
 
43 47 51 48 52 50 46 49 
45 52 46 51 44 49 46 51 
49 45 44 50 48 50 49 50 
 
(a) Calcule a média e a mediana da amostra; (b) Calcule a variância e o desvio-padrão da amostra; 
(c) Construa um diagrama de caixa dos dados e comente sobre a informação nesse diagrama; (d) 
Encontre os percentis 5% e 95% da temperatura. 
 
6) A tabela mostra a distribuição, em toneladas, das cargas máximas suportadas por certos cabos de aço 
fabricados por uma determinada siderúrgica. (a) Determine a média das cargas máximas; (b) 
Determine a mediana das cargas máximas; (c) Determine a moda das cargas máximas. 
 
 
 
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2 
 
 
CARGA MÁXIMA 
(ton.) 
Nº DE CABOS 
ni 
 
xi 
 
nixi 
 
Ni 
9,2 9,7 
 9,7 10,2 
10,2 10,7 
10,7 11,2 
11,2 11,7 
11,7 12,2 
12,2 12,7 
12,7 13,2 
2 
5 
12 
17 
14 
6 
3 
1 
9,45 
9,95 
10,45 
10,95 
11,45 
11,95 
12,45 
12,95 
18,90 
49,75 
125,40 
186,15 
160,30 
71,70 
37,35 
12,95 
2 
7 
19 
36 
50 
56 
59 
60 
∑ 60 662,50 
 
7) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de frequência das notas de uma avaliação final de 
matemática. (a) Determinar os quartis da distribuição; (b) Interpretar o significado da cada um. 
 
CLASSES 
(Notas) 
Nº ESTUDANTES 
ni 
 
Ni 
3 4 
4 5 
5 6 
6 7 
7 8 
8 9 
 9 10 
1 
3 
11 
21 
43 
32 
9 
1 
4 
15 
36 
79 
111 
120 
∑ 120 
 
8) As notas de um estudante nas três avaliações da disciplina Estatística Aplicada, do Curso de 
Engenharia Mecânica, foram: 7,1; 7,8 e 8,9. (a) Se os pesos atribuídos a essas avaliações são 2, 4 e 5, 
respectivamente, qual a nota média apropriada? (b) Qual será a nota média se fossem adotados pesos 
iguais? 
 
9) A partir da amostra de 60 rendas (em milhares) de uma dada região geográfica: 
 
10 
3 
10 
2 
8 
5 
7 
15 
11 
1 
9 
6 
8 
1 
12 
3 
5 
7 
5 
13 
13 
8 
3 
8 
4 
14 
14 
10 
2 
9 
3 
4 
12 
11 
3 
1 
2 
3 
15 
13 
3 
12 
9 
6 
5 
14 
4 
14 
9 
6 
4 
15 
4 
14 
6 
8 
10 
16 
4 
16 
 
a- Agrupar os elementos em classe, sendo k = 6 e a = 3; 
b- Construir o histograma e o polígono de frequências; 
c- Construir o gráfico de frequência acumulada; 
d- Calcular a média; 
e- Calcular a mediana; 
f- Calcular o 3º quartil 
g- Calcular o 4º decil; 
h- Calcular o 47º percentil; 
i- Determinar a média que deixa 25% das rendas; 
j- Calcular o desvio médio; 
k- Determinar a variância; 
l- Determinar o desvio-padrão; 
m- Calcular o coeficiente de variação; 
n- Verificar se a distribuição é simétrica; 
 
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3 
 
 
o- Verificar se a distribuição é mesocúrtica; 
p- Usando o gráfico da frequência acumulada, calcular o 1º quartil, o 7º decil e o 80º percentil. 
 
10) Cronometrando o tempo para várias provas de uma gincana automobilística, encontrou-se o seguinte: 
Equipe 1- 40 provas; tempo médio = 45 segundos; variância = 400 segundos ao quadrado. 
Equipe 2- Tempo.........: 20 40 50 80 
 nº de provas: 10 15 30 5 
a- Qual o coeficiente de variação relativo à equipe 1? 
b- Qual a média da equipe 2? 
c- Qual o desvio-padrão relativo à equipe 2? 
d- Qual a média aritmética referente às duas equipes consideradas em conjunto? 
e- Qual a equipe que apresentou resultados mais homogêneos? Justifique. 
 
11) Em uma oficina metal-mecânica onde a fabricação de peças é feita em série, foram fabricados 50 
lotes com 20 peças. Contou-se o número de peças que apresentavam defeitos em cada um dos lotes, 
obtendo-se os seguintes resultados: 
 
1 
2 
1 
5 
4 
0 
2 
4 
9 
7 
2 
3 
2 
2 
2 
6 
2 
1 
8 
11 
2 
10 
3 
12 
5 
0 
0 
3 
3 
0 
2 
1 
1 
7 
2 
1 
1 
4 
1 
3 
9 
1 
4 
1 
3 
0 
1 
2 
11 
2 
 
a- Identifique e classifique a variável apresentada; 
b- Construa a tabela de frequências e apresente o diagrama das freqüências absolutas; 
c- Calcule as medidas de posição (média aritmética, mediana e moda); 
d- Calcule as medidas de dispersão (variância e desvio padrão). 
 
12) Uma empresa de saneamento básico capta, trata e distribui água potável para diversos municípios. A 
cada nova proposta de fornecimento, a empresa realiza um estudo para calcular o volume a ser 
consumido anualmente pela população nos próximos 10 anos, e com isso dimensionar seus 
investimentos e o preço do metro cúbico de água a ser cobrado dos consumidores. As variáveis 
explicativas escolhidas para projetar o volume de água a ser planejado são: renda média, rede de 
esgoto instalada e nível de escolaridade da população. A empresa possui um levantamento para 
diversos níveis dessas variáveis. 
 
Consumo (menor = 100%) 100 105 110 118 125 138 160 
Renda média (menor = 100%) 
Rede de esgoto (em % dos domicílios) 
106 
55 
100 
60 
108 
65 
110 
70 
115 
75 
116 
80 
120 
82 
Nível de escolaridade (maior = 100%) 62 58 64 70 100 70 72 
 
a- Construa um diagrama de dispersão do consumo contra cada uma das possíveis variáveis 
explicativas; 
b- Calcule o coeficiente de correlação nos três casos. O coeficiente de correlação confirma as 
informações da leitura visual dos diagramas? Comente; 
c- Calcule a regressão do consumo sobre a variável que apresenta com ele a melhor correlação 
linear. Construa o gráfico dessa reta sobre o diagrama de dispersão correspondente; 
d-Das funções linearizáveis escolha uma que lhe pareça mais apropriada para ajustar os pontos do 
diagrama de dispersão escolhido no item anterior. Calcule a função ajustada correspondente; 
e- Calcule o coeficiente de explicação para as duas regressões efetuadas. Qual a conclusão? Parece 
confiável uma projeção para um valor 120 da variável explicativa? Justifique a sua resposta. Se 
parecer confiável faça a projeção. 
 
 
 
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 TEORIA DAS PROBABILIDADES 
 
13) Uma urna, u1, contém seis bolas brancas e quatro pretas. Outra urna, u2, contém três bolas brancas e 
cinco pretas. Transferem-se três bolas de u1 para u2 e se tira uma bola de u2. Qual a probabilidade de 
que esta seja branca? 
 
14) Uma urna, u1, contém três bolas brancas e duas pretas. Outra urna, u2, contém três brancas e seis 
pretas e outra, u3, contém quatro brancas e quatro pretas. Tira-se uma bola de cada urna. Calcular a 
probabilidade de que saiam uma branca e duas pretas. 
 
15) Comprou-se uma partida de cem parafusos, dos quais é sabido que dez têm defeitos. Também foi 
adquirida uma partida de cem porcas, das quais vinte têm defeitos. Ao acaso, extraem-se um parafuso 
e uma porca de cada um dos respectivos lotes. Determinar a probabilidade de que ambos estejam em 
perfeitas condições. 
 
16) Em um depósito há 3.000 caixas de parafusos das marcas A, B, C, D e E, e dessas, 500 são de 
parafusos defeituosos, conforme distribuídas abaixo. 
 
MARCA TOTAL DEFEITUOSAS 
A 
B 
C 
D 
E 
200 
300 
1.000 
800 
700 
50 
40 
300 
80 
30 
Total 3.000 500 
 
Escolhe-se uma caixa ao acaso, e esta contém parafusos defeituosos. Calcular a probabilidade de a 
mesma pertencer à marca E. 
 
17) Em uma partida de futebol, as probabilidades de três jogadores (A, B e C) converterem em gol uma 
penalidade máxima são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um chutar uma única vez, calcule a 
probabilidade de: (a) Todos acertarem; (b) Apenas um acertar; (c) Todos errarem. 
 
18) A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado abaixo é dada por p. Se todos os 
relés funcionarem independentemente, qual a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L 
e R? 
 
 
 
19) Uma urna contém cinco bolas vermelhas e três brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da 
urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada 
da urna. Calcule: (a) A probabilidade da segunda bola seja vermelha; (b) A probabilidade de ambas 
serem da mesma cor; (c) Se a segunda bola é vermelha, a probabilidade de que a primeira também 
seja vermelha; (d) Se ambas são da mesma cor, a probabilidade de serem brancas. 
 
20) Seja o experimento aleatório E: Lançar dois dados, e os eventos: 
A = {(x1, x2)|(x1 + x2) = 8}; 
B = {(x1, x2)|(x1 = x2)}; 
C = {(x1, x2)|(x1 + x2) = 10}; 
D = {(x1, x2)|(x1 > x2)}; 
L R 
1 2 
3 4 
 
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5 
 
 
E = {(x1, x2)|(x1 = 2x2)}. 
Calcular: (a) P(A/B); (b) P(C/D); (c) P(D/E); (d) P(A/C); (e) P(C/E); (f) P(C/A); (g) P(A/D); (h) 
P(B/C); (i) P(A/E); (j) P(B/E); (k) P(A/B ∩ C); (l) P(A ∩ B/C ∩ D). 
 
21) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui há 30 anos é de 3/4, e de seu marido é 3/5. Calcular a 
probabilidade de: (a) Apenas o homem estar vivo; (b) Apenas a mulher estar viva; (c) Pelo menos um 
estar vivo; (d) Ambos estarem vivos; (e) Ambos estarem mortos. 
 
22) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: 
 
 HOMENS MULHERES TOTAL 
MENORES 
ADULTOS 
5 
5 
3 
2 
8 
7 
TOTAL 10 5 15 
 
Um elemento é escolhido ao acaso. Calcule a probabilidade de ser: (a) Homem; (b) Adulto; (c) Menor 
e mulher; (d) Homem, sabendo-se a priori que é adulto; (e) Menor, sabendo-se a priori que é mulher. 
 
23) A probabilidade de um aluno X resolver um determinado problema é 3/5 e a do aluno Y é 4/7. 
Calcular a probabilidade de que o problema seja resolvido. 
 
24) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e filiação partidária, a seguinte 
composição: 
 
 PARTIDO X PARTIDO Y TOTAL 
HOMENS 
MULHERES 
21 
14 
39 
26 
60 
40 
TOTAL 35 65 100 
 
Calcular: (a) A probabilidade de um escolhido ser homem; (b) A probabilidade de um escolhido ser 
mulher do partido Y; (c) A porcentagem dos partidários de Y; (d) A porcentagem dos homens filiados 
a X; (e) Se o sorteado for do partido X, a probabilidade de ser mulher; (f) Se o sorteado for homem, a 
probabilidade de ser do partido Y. 
 
25) Três máquinas (A, B e C) produzem, respectivamente, 40%, 50% e 10% de todas as peças de uma 
fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%. Uma peça 
é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que essa peça tenha sido 
confeccionada na máquina B? 
 
26) Em certa universidade 5% de homens e 2% das mulheres têm altura superior a 1,80 m. Por outro lado, 
60% dos alunos são homens. Se um aluno é selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,80 m de 
altura, qual a probabilidade de que esse aluno seja mulher? 
 
27) Apenas uma em cada 10 pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que têm tuberculose 
80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não têm tuberculose reagem 
positivamente. Uma pessoa da população é escolhida ao acaso e o teste Y é aplicado na mesma. Qual 
a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? 
 
28) A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um carro é ¾, da B é 1/6 e da C é 1/20. A 
probabilidade do indivíduo da classe A comprar um carro da Volkswagen é 1/10, da classe B é 3/5 e 
da C é 3/10. Em certa loja comprou-se um carro da Volkswagen, qual a probabilidade de que tenha 
sido um indivíduo da classe B? 
 
 
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29) Dois jogadores A e B jogam doze partidas de xadrez, das quais seis são vencidas por A, quatro por B 
e duas terminam empatadas. Eles combinam a disputa de um torneio constante de três partidas. 
Determinar a probabilidade de: (a) A vencer as três partidas; (b) Duas partidas terminarem 
empatadas; (c) A e B vencerem alternadamente; (d) B vencer pelo menos duas partidas. 
 
30) Seja E1 a representação do evento em que um componente estrutural falhe durante um teste e E2 a 
representação de um evento em que o componente mostre alguma deformação, porém não falhe. 
Dado que P(E1) = 0,15 e P(E2) = 0,30. Calcule a probabilidade de que um componente estrutural: (a) 
Não falhe durante um teste; (b) Falhe ou mostre deformação durante um teste; (c) Nem falhe nem 
mostre deformação durante um teste. 
 
31) Sejam P(X ≤ 15) = 0,3, P(15 < X ≤ 24) = 0,6 e P(X > 20) = 0,5. (a) Encontre P(X > 15); (b) Encontre 
P(X ≤ 24); (c) Encontre P(15 < X ≤ 20); (d) Se P(18 < X ≤ 24) = 0,4, encontre P(X) ≤ 18. 
 
32) Seja X a representação da vida (em horas) de um laser semicondutor, com as seguintes 
probabilidades: P(X ≤ 5.000) = 0,05; P(X > 7.000) = 0,45. Calcule a probabilidade de que a vida do 
semicondutor: (a) Seja menor do que ou igual a 7.000 horas; (b) Seja maior do que 5.000 horas; (c) 
Esteja entre 5.000 e 7.000 inclusive, P(5.000 < X ≤ 7.000). 
 
 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
33) Suponha que f(x) = e- (x-6) para x > 6 e f(x) = 0 para x ≤ 6. Determine as seguintes probabilidades: (a) 
P(X > 6); (b) P(6 ≤ X < 8); (c) P(X < 8); (d) P(X > 8). (e) Determine x tal que P(X < x) = 0,95. 
 
34) A função densidade de probabilidade para o diâmetro, em mm, de um orifício é 10-10(x-5) para x > 5 
mm e zero para x ≤ 5 mm.Embora o diâmetro alvo seja 5 mm, vibrações, desgastes da ferramenta e 
outros fatores produzem diâmetros maiores que 5 mm. (a) Determine a média e a variância do 
diâmetro dos orifícios; (b) Determine a probabilidade de o diâmetro exceder 5 mm. 
 
35) A função densidade de probabilidade do tempo (em horas) de falha de um componente eletrônico de 
uma copiadora é: 
 
𝑓(𝑥) = {
0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 0
𝑒(−𝑥 3.000⁄ )
3.000
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 0
 
 
(a) Determine a probabilidade de que um componente dure mais de 1.000 horas; 
(b) Determine a probabilidade de que um componente falhe no intervalo de 1.000 a 3.000 horas; 
(c) Determine a probabilidade de que um componente falhe antes de 3.000 horas; 
(d) Determine o número de horas em que 10% de todos os componentes falharão; 
(e) Determine a média e a variância. 
 
36) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias: 
X = número de pontos obtidos no 1º dado; 
Y = número de pontos obtidos no 2º dado. 
(f) Construir a distribuição de probabilidade por meio de tabela e gráfico das seguintes variáveis: W 
= X + Y; A = 2Y; Z = X.Y; B = máximo de (X,Y). 
(g) Construir a função cumulativa das variáveis W, Z e B, e fazer os respectivos gráficos. 
(h) Aplicando as propriedades da função cumulativa, calcular as seguintes probabilidades: P(-3 < W 
≤ 3); P(0 ≤ W ≤ 4,5); P(A > 6); P(Z ≤ 5,5); P(1 ≤ B ≤ 4); P(W ≤ -8); P(A ≥ 11); P(20 ≤ Z ≤ 35); 
P(B = 8); P(-1 < A < 8); P(3,5 < Z < 34). 
 
37) Uma V.A discreta tem a seguinte distribuição de probabilidade: P(X) = k/X, para x = 1, 3, 5, 7. (a) 
Calcular o valor de k; (b) Calcular P(X = 5). 
 
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7 
 
 
38) Seja Z a V.A correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó. (a) Construir a tabela de 
distribuição de probabilidades e traçar o gráfico P(Z); (b) Determinar F(Z) e traçar o gráfico; (c) 
Calcular P(2 ≤ Z < 6). 
 
39) Em uma sala tem-se 5 rapazes e 4 moças. São retiradas aleatoriamente 3 pessoas. Faça X a V.A 
número de rapazes. (a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. Construa uma tabela; 
(b) Determine a função cumulativa de X; (c) Construa o gráfico de F(X); Calcule as probabilidades: 
P(X ≤ 2); P(X ≤ 0); P(1 < X ≤ 3); P(2 < X < 3); P(X > 2); P(X > -1); P(X < 5). 
 
40) Seja 







valoresoutrosquaisquerpara,0
1x0para),x1(
2
3
)x(f
2
. Ache a função cumulativa e esboce o gráfico. 
 
41) Seja 







valoresoutrosquaisquerpara,0
2x0para,x
2
1
)x(f . Ache a função cumulativa e esboce o gráfico. 
 
42) Seja 







valoresoutrosquaisquerpara,0
2x0se,
2
x
)x(f . Ache a função cumulativa e esboce o gráfico 
 
43) Seja X uma V.A contínua, tal que: 
f(x) = 0 para x < 0 
f(x) = A.x para 0 ≤ x < 500 
f(x) = A(100 – x) para 500 ≤ x < 1000 
f(x) = 0 para x ≥ 1000. 
Determinar: (a) O valor da constante A; (b) P(250 ≤ x ≤ 750) 
 
44) Dada a função de distribuição cumulativa 












1xpara1
1x1para
2
1x
1xpara0
)x(F . Calcule: 
(a) P(-½ X ≤ ½); (b) P(X = 0); (c) P(2 < X ≤3). 
 
45) Suponha que a função de distribuição cumulativa do comprimento (em milímetros) de cabos de 
computadores seja 









1210x0
1210x1200120x1,0
1200x0
)x(F 
(a) Determine P(X < 1208); (b) Se as especificações do comprimento forem 1195 < x < 1205 
milímetros, qual é a probabilidade de que um cabo de computador, selecionado aleatoriamente, 
encontre a especificação? 
 
46) Considere a distribuição conjunta de X e Y representada abaixo: 
 
 
 
 
X \ Y -2 -1 4 5 
1 0,1 0,2 0 0.3 
2 0,2 0,1 0,1 0 
 
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8 
 
 
(a) Achar as distribuições marginais de X e Y; (b) Calcular E[X], E[Y] e E[XY]; (c) Calcular a 
covariância entre X e Y; (d) Calcular σx e σy; (e) Calcular ρxy; (f) As variáveis são independentes? Por 
quê? 
 
47) Dada a seguinte função densidade conjunta de (X, Y): 
 












valoresoutrospara0
1y0
1x0
paraxy3yx3
)y,x(f
22
 
 
(a) Determinar as funções densidades marginais de X e Y; (b) Calcular E[X] e E[Y]; (c) Calcular σx
2
 
e σy
2
; (d) Calcular P(0,5 ≤ X ≤ 0,75); (e) Calcular o coeficiente de correlação entre X e Y 
 
48) Determinar a média e o desvio-padrão do peso líquido de um produto, sabendo-se que a média do 
peso bruto é 800 g com desvio de 20 g, e o peso da embalagem tem média de 100 g com desvio de 10 
g. 
 
49) Um jogo consiste em se jogar um dado. Se der as faces dois ou cinco, a pessoa ganha $50,00 por 
ponto obtido; se der as faces um ou seis, a pessoa ganha $100,00 por ponto obtido; se der as faces três 
ou quatro, a pessoa paga $150,00 por ponto obtido. O jogo é honesto? Calcule o desvio-padrão da 
distribuição. 
 
50) Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 30 g com desvio-padrão de 0,7 g. Essas 
peças são acondicionadas em pacotes com dez unidades cada. A embalagem pesa em média 40 g com 
variância de 2,25 g
2
. Calcule a média e o desvio-padrão do pacote. 
 
51) O conteúdo de cinzas (em porcentagem) em certo tipo de carvão é uma V.A contínua com a seguinte 
função densidade de probabilidade: 
25x10
875.4
x
)x(f
2
 
(a) Qual o conteúdo de cinzas esperado neste particular espécime de carvão? (b) Calcule o desvio-
padrão e a variância. 
 
 DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS 
 
52) Bateladas que consistem de 50 molas provenientes de um processo de produção são verificadas em 
relação à conformidade com as exigências dos consumidores. O número médio de molas não-
conformes em uma batelada é igual a 5. Supondo que o número de molas não-conformes em uma 
batelada, denominado como X, seja uma variável aleatória binomial, responda: (a) Quais os valores 
de n e p ? (b) Qual é P (X ≤ 2)? (C) Qual é P(X ≥ 49)? 
 
53) O número de chamadas telefônicas que chegam a uma central é freqüentemente modelada como uma 
V.A de Poisson. Considere que, em média, há 20 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que: (a) 
Haja exatamente 18 chamadas em 1 hora; (b) 3 ou menos chamadas em 30 minutos; (c) Exatamente 
30 chamadas em 2 horas; ((d) Exatamente 10 chamadas em 30 minutos. 
 
54) Um robô completa uma operação de soldagem em um automóvel, com uma taxa média de 12 por 
hora. O tempo para completar uma operação de soldagem é definido a partir do tempo de início do 
procedimento da soldagem até o tempo de início do próximo procedimento de soldagem. A variável 
aleatória X representa o tempo para completar uma operação de soldagem, sendo modelado por uma 
distribuição exponencial. Calcule: (a) A probabilidade de uma operação completa de soldagem 
requerer mais de 6 minutos para se completar; (b) A probabilidade de uma operação de soldagem ser 
 
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9 
 
 
completada em menos de 8 minutos; (c) O número esperado de operações completas de soldagem 
realizadas por um robô, em um intervalo de 10 minutos; (d) A probabilidade do número de operações 
completas de soldagem ser igual a 1, em um intervalo de 10 minutos. 
 
55) Suponha que Z tenha uma distribuição normal padrão. Use a tabela correspondente para determinar o 
valor de Z que resolve cada um dos seguintes itens: (a) P(Z < z) = 0,50000; (b) P(Z < z) = 0,001001; 
(C) P(Z > z) = 0,881000; (d) P(Z > z) = 0,866500; (P(-1,3 < Z < z) = 0,863140. 
 
56) Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 10 e um desvio-padrão de 2. 
Determine: (a) P(X < 14); (b) P(X > 8); (c) P(8 < X < 12); (d) P(4 <X < 16); (e) P(6 < X < 10); (f) 
P(10 < X < 16). 
 
57) A resistência à compressão de amostras de concreto pode ser modelada por uma distribuição normal, 
com uma média de 6.000 kg/cm
2
 e um desvio-padrão de 100 kg/cm
2
. Determinar: (a) A probabilidade 
da resistência da amostra ser menor que 6.250 kg/cm
2
; (b) A probabilidade da resistência da amostra 
estar entre 5.800 e 5.900 kg/cm
2
; (c) Que resistência é excedida por 95% das amostras? 
 
58) O comprimento de uma capa plástica, moldada por injeção, que reveste uma fita magnética é 
normalmente distribuída, com um comprimento de 90,2 mm e um desvio-padrão de 0,1 mm. (a) Qual 
a probabilidade de uma peça ser maior que 90,3 mm ou menor que 89,7 mm? (b) Qual deveria ser a 
média do processo para se usar de modo a se obter o maior número de peças entre 89,7 e 90,3 mm? 
(c) Se as peças que não estejam entre 89,7 e 90,3 mm forem rejeitadas, qual será o rendimento se for 
usada a média do processo que foi selecionada no item (b)? 
 
59) O diâmetro de um ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído, com uma média 
de 0,002 polegada e um desvio-padrão de 0,0004 polegada. (a) Qual é a probabilidade de um 
diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegada? (b) Qual é a probabilidade de um diâmetro de um 
ponto estar entre 0,0014 e 0,0026 polegada? (c) Que desvio-padrão do diâmetro é necessário para que 
a probabilidade do item (b) seja 0,995? 
 
60) O período de falta ao trabalho em um mês por causa de doenças dos empregados é normalmente 
distribuído, com uma média de 60 horas e desvio-padrão de 10 horas. (a) Determine a probabilidade 
desse período no próximo mês estar entre 50 e 80 horas; (b) Quanto tempo deveria ser orçado para 
esse período se a quantidade orçada devesse ser excedida com uma probabilidade de somente 10%? 
 
 INTERVALO DE CONFIANÇA E TESTE DE HIPÓTESES 
 
61) Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma medida a 
média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio-padrão 
populacional 1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média, aos níveis de confiança de 90%, 
95% e 99%. 
 
62) Dados n = 10, x = 110 e s = 10, determinar os intervalos de confiança para µ, ao níveis de 90% e 
95%. 
 
63) Suponha que uma amostra de n = 10 fornecesse s2 = 2,25. Quais os limites de confiança a 80% para a 
verdadeira variância? 
 
64) Um artigo no periódico Materials Engineering (1989, v. 2, n. 4, pp. 275-281) descreve os resultados 
de testes de tração em 22 corpos de prova da liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova 
é dada a seguir (em MPA): 
 
 
 
 
 
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10 
 
 
19,8 18,5 17,6 16,7 15,8 
15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 
11,4 8,8 7,5 15,4 15,4 
19,5 14,9 12,7 11,9 11,4 
10,1 7,9 
 
(a) Calcule a média e o desvio-padrão da amostra; (b) Os dados sugerem que a carga média na falha 
excede 10MPa? Considere que a carga na falha tenha uma distribuição normal e use α = 5%; (c) 
Encontre um intervalo de confiança bilateral de 95% para a resistência média das tensões. 
 
65) O valor p para um teste “t” é apenas o menor nível de significância no qual a hipótese nula seria 
rejeitada. Ou seja, é a área da extremidade além do valor da estatística de teste (to ou tcal) para um 
teste unilateral ou duas vezes essa área para um teste bilateral. Calcule o valo p para o teste do 
exemplo (65). 
 
66) Uma amostra de 25 elementos resultou média 13,5 com desvio-padrão 4,4. Efetuar o teste de 
significância ao nível de 5% para a hipótese que µ = 16 contra µ ≠ 16 e µ = 16, 
 
67) Um laboratório fez 8 determinações da quantidade de impurezas em porções de certo composto. Os 
valores eram: 12,4; 12,6; 12,0; 12,0; 12,1; 12,3; 12,5 e 12,7 mg. (a) Estimar a variância de impurezas 
entre porções; (b) Testar a hipótese de que a variância é 1, ao nível de α = 0,10, contra H1: σ
2
 < 1. 
 
68) Um engenheiro de desenvolvimento de um fabricante de pneus está investigando a vida do pneu em 
relação a um novo componente da borracha. Ele fabricou 10 pneus e testou-os na estrada até o final 
da vida. A média e o desvio-padrão da amostra são 61.492 e 3.035 km, respectivamente. (a) O 
engenheiro gostaria de demonstrar que a vida média desse novo pneu está em excesso em relação a 
60.000 km. Formule e teste as hipóteses apropriadas, estando certo de estabelecer (teste, se possível) 
as suposições , e tire conclusões, usando α = 0,05; (b) Suponha que, se a vida média fosse tão longa 
quanto 61.000 km, o engenheiro gostaria de detectar essa diferença com probabilidade de no mínimo 
0,90. O tamanho da amostra de n = 10, usado No item (a), foi adequado? Use o desvio-padrão s da 
amostra como uma estimativa de σ para obter a sua decisão; (c) Encontre um intervalo de confiança 
de 95% para a vida média do pneu. 
 
69) Um teste de impacto Izod foi feito em 20 corpos de prova de tubo de PVC. O padrão ASTM para esse 
material requer que a resistência ao impacto Izod tem de ser maior do que 1,0 ft.lb/in. A média e o 
desvio-padrão obtidos da amostra foram x = 1,121 e s = 0,328, respectivamente. Teste Ho:µ = 1,0 
versus H1:µ > 1,0, usando α = 0,01, e tire conclusões. Estabeleça qualquer suposição necessária sobre 
a distribuição dos dados sob consideração. 
 
70) A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 
corpos de prova e obtém os seguintes dados: 
 
2256 2257 2243 2199 
2227 2230 2238 2248 
2332 2230 2264 2243 
 
(a) Verifique a suposição de normalidade para esses dados de resistência à compressão; (b) Teste a 
hipótese Ho:µ = 2250 contra H1:µ ≠ 2250, usando α = 0,01. Tire conclusões, baseando-se no 
resultado desse teste; (c) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95% para a resistência 
média; (d) Construa um intervalo de confiança unilateral inferior de 95% para a resistência média. 
 
71) A espessura da parede de 25 garrafas de 2 litros foi medida por um engenheiro do controle da 
qualidade. A média da amostra foi x = 4,058 mm e o desvio-padrão foi s = 0,081 mm. (a) Suponha 
ser importante demonstrar que a espessura da parede excede 4,00 mm. Formule e teste uma hipótese 
apropriada, usando esses dados. Obtenha conclusões com α = 0,05. Calcule o valor P para esse teste; 
 
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11 
 
 
(b) Encontre um intervalo de confiança de 95% para a espessura média da parede. Interprete o 
intervalo que você obteve. 
 
72) Um fabricante de fibra têxtil está pesquisando um novo fio, que a empresa afirma ter uma resistência 
média de 14 N, com um desvio-padrão de 0,3 N. A empresa deseja testar a hipótese Ho: µ = 14 contra 
H1: µ < 14, usando uma amostra aleatória de 4 corpos de prova. Qual será a probabilidade do erro tipo 
I, se a região crítica for definida com x < 13,7 N? 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma F. Estatística Aplicada à 
engenharia. LTC: Rio de Janeiro, 2004. 
 
FONSECA, J. S. da e MARTINS, G. de A.: Curso de estatística. Atlas: São Paulo, 1996. 
 
SPIEGEL, Murray R. Estatística: resumo e teoria. Makron: São Paulo, 1994. 
 
FARHAT, Cecília A. V. Introdução à Estatística Aplicada. FTD: São Paulo, 1998. 
 
SILVA, Elio Medeiros da. Matemática e Estatística Aplicada. Atlas: São Paulo, 1999.