Introdução à Lógica - UNIP 2020

Prévia do material em texto

Lógica
Aula 01
UNIP - 2020
Sumário
• Introdução à Lógica
• Sistemas dicotômicos
• Proposições
• Interruptores
• Conjuntos (diagramas de Venn-Euler)
ACESSE A VERSÃO DESTA AULA COM ANIMAÇÕES EM:
https://rebrand.ly/LogicaUNIP2020
Bibliografia
• DAGHLIAN, J. Lógica e Álgebra de Boole. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1995.
• ALENCAR FILHO, E. Iniciação à Lógica Matemática. 21.ed. São Paulo: Nobel, 
2002.
• BARBOSA, M. A. Introdução a Lógica para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes, 
2017. 
• LEITE, A. E; CASTANHEIRA, N. P. Raciocínio Lógico e Lógica quantitativa. 
Curitiba: Intersaberes, 2017. 
• SOUZA, J. A. L. Lógica Matemática. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2016.
• COELHO, M. O. C. Raciocínio Lógico. São Paulo: Rideel, 2016. 
• GUEDES, S. Lógica de programação algorítmica. São Paulo: Pearson, 2014. 
• SANTOS, E. C. Lógica para pedestres. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
• SILVA, F. S. C.; FINGER, M.; MELO, A. C. V. Lógica para computação. São Paulo: 
Cengage Learning Editores, 2014. 
• SOARES, E. Fundamentos de lógica. São Paulo: Atlas, 2014.
Introdução à Lógica - Definição
• Afinal, o que é Lógica?
“Lógica é a análise de métodos de raciocínio”
(Mendelson, 1987)
“Estudo da natureza do raciocínio e as formas de incrementar
sua utilização”
(Andrews, 1996)
“Regras gerais do pensamento correto e 
verdadeiro, independentemente dos conteúdos 
pensados”
(Chauí, 2002)
Introdução à Lógica – Aplicações
• Na prática, para que afinal a Lógica é utilizada?
• Áreas de estudos e aplicações da lógica se estendem à
matemática, línguas, história, direto, estatística, computação,
engenharia...
• Exemplos na área de exatas:
- Linguagens de programação (&&, ||, !)
- Circuitos digitais
- Inteligência artificial
Sistemas Dicotômicos - Introdução
•O que são sistemas dicotômicos?
São sistemas que apresentam apenas dois estados bem definidos.
Variáveis dicotômicas apresentam apenas duas respostas possíveis,
que mutuamente se excluem. Podem ser representadas por:
Verdadeiro (V) Falso (F)
1 0
Ligado Desligado
Sim Não
Dia Noite
Vivo Morto
Sistemas Dicotômicos - Introdução
•O que são sistemas dicotômicos?
Situações que apresentam valores intermediários, como tonalidades
de cores, variação de temperatura, etc, não são ditas dicotômicas:
Sistemas Dicotômicos - Proposição
• Proposição é uma sentença declarativa que pode ser interpretada
como verdadeira ou falsa. É o conjunto de palavras ou símbolos
que exprimem um pensamento de sentido completo.
Exemplos:
Madrid é a capital da Espanha.
Londres é a capital de Portugal.
Aracaju é a capital de Sergipe.
Marte é um planeta do Sistema Solar.
17+2=29
2310 
V
F
V
V
F
V
Sistemas Dicotômicos - Proposição
• Usamos frases para exprimir proposições. Mas nem toda a frase é
uma proposição: ordens, perguntas e conselhos, usualmente, não
contêm proposições.
É ou não uma proposição? Se sim, qual seu valor lógico?
Fernando de Noronha é a capital de Pernambuco.
A Terra gira em torno do Sol.
Lave a louça.
Qual é a sua música favorita?
5 x 6 = 30
V
V
SIM
NÃO
SIM
NÃO
SIM
J.R.R. Tolkien é o autor de Harry Potter. SIM
Você leu o jornal de hoje? NÃO
Saia daqui! NÃO
F
F
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores:
Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um
circuito elétrico, que pode assumir dois estados: fechado
(representado por V) ou aberto (representado por F).
Fechado (V): o interruptor permite a passagem de corrente elétrica.
Aberto (F): o interruptor impede a passagem de corrente elétrica.
a
a
Representação gráfica em circuitos:
Considerando o 
interruptor a: 
Estado aberto (F)
Estado fechado (V)
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
Em Lógica, a representação mais utilizada será esta:
Portanto, somente conheceremos o estado do interruptor se
tivermos a informação de que a = V ou a = F.
Quando outro interruptor (x) está aberto sempre que a estiver
fechado e vice-versa, dizemos que x é o inverso, complemento ou
negação de a. Denota-se o complemento de a como ∼a. Então:
a
x =~a
Outras representações da negação de a:
ഥa a’ a¬
Em qualquer 
representação, 
lê-se “não a”
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em paralelo:
Numa ligação em paralelo, só passará corrente elétrica se pelo
menos um dos interruptores estiver fechado (V).
Sejam a e b dois interruptores em paralelo. Representa-se esta
ligação como a ∨ b. Temos:
a
b
= a ∨ b
Em lógica, a ∨ b é lido como “a ou b”, e também é 
comumente representado como a + b
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em paralelo:
Se considerarmos como V a chegada de corrente elétrica ao final do circuito, 
temos quatro situações possíveis para dois interruptores em paralelo. São elas:
Com a=V e b=V, temos
saída V, pois a corrente
encontra dois caminhos
viáveis pelos quais passar.
V
V
V
V
V
F
Com a=V e b=F, temos
saída V, pois a corrente
encontra o ramo superior
para passar.
F
V
V
Com a=F e b=V, temos
saída V, pois a corrente
encontra o ramo inferior
para passar.
F
F
F
Com a=F e b=F, temos
saída F, pois a corrente
não encontra caminho
pelo qual passar.
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em série:
Numa ligação em série, só passará corrente se todos os interruptores
estiverem fechados (V).
Sejam a e b dois interruptores em série. Representa-se esta ligação
como a ∧ b. Temos:
Em lógica, a ∧ b é lido como “a e b”, e também é comumente 
representado como a . b
a ⋀ ba b =
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Interruptores em série:
Se considerarmos como V a chegada de corrente elétrica ao final do circuito, 
temos quatro situações possíveis para dois interruptores em série. São elas:
Com a=V e b=V, temos
saída V, pois com a e b
fechados, a corrente
encontra o ramo pelo qual
passar.
V V
V
V F
Com a=V e b=F, temos
saída F, pois a corrente
encontra o ramo
interrompido, já que b
está aberto.
F V F F
F
Com a=F e b=F, temos
saída F, pois a corrente
não encontra caminho
pelo qual passar.
F
F
Com a=F e b=V, temos
saída F, pois a corrente
encontra o ramo
interrompido, já que a
está aberto.
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
Considerando os possíveis estados assumidos pelos interruptores
nas ligações, temos que:
Paralelo Série
F ∨ F = F F ∧ F = F
F ∨ V = V F ∧ V = F
V ∨ F = V V ∧ F = F
V ∨ V = V V ∧ V = V
a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a
a ∨ ~a = V a ∧ ~a = F
a ∨ F = a a ∧ F = F
a ∨ V = V a ∧ V = a
Nenhuma chave fechada
b fechado
a fechado
a e b fechados
Propriedade comutativa
F ∨ V = V; V ∨ F = V
a define saída
V define saída
a
b
a b
Nenhuma chave fechada
a aberto
b aberto
a e b fechados
Propriedade comutativa
F ∧ V = F; V ∧ F = F
F define saída
a define saída
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Expressões lógicas:
Todas as configurações de interruptores podem ser descritas por
meio de uma expressão lógica correspondente.
Ambas resultam em 1 caso a = V e (b = V ou c = V). Logo, suas
ligações são equivalentes (equivalência indicada pelo símbolo⇔):
a
b
c
b
c
a
a
a ∧ (b ∨ c) (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Expressões lógicas:
Todas as configurações de interruptores podem ser descritas por
meio de uma expressão lógica correspondente.
Ambas resultam em 1 caso a = V ou (b = c = V). Logo, suas ligações
são equivalentes:
a ∨ (b ∧ c) (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
a
b c
a a
b c
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exemplo:
Encontrar as expressões algébricas dos seguintes circuitos:
Respostas:
a
b
c
pn
a
~a
b
c
~c
d
Tente resolver antes de ver o próximo slide! ☺ Posicionar os
operadores no próprio desenho do circuito pode ajudar.
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exemplo (resolução):
Encontrar as expressões algébricas dos seguintes circuitos:
Respostas:
a
b
c
pn
((a ∨ b) ∧ c) ∨ (n ∧ p)
(a ∨ b) ∧ c
(n ∧ p)
a
b
c
d
~a
~c
a ∧ (b ∨ c)
~a ∧ (~c ∨ d)
(a ∧ (b ∨ c)) ∨ (~a ∧ (~c ∨ d))
∨ ∧
∨
∧
∧ ∨
∧ ∨
∨
Sistemas Dicotômicos- Interruptores
• Exemplo:
Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são:
Respostas:
p ∧ (~p ∨ (q ∧ p)) (x ∨ ~y) ∧ (~x ∨ y)
Tente resolver antes de ver o próximo slide! ☺ Lembre-se que o
operador ou (∨) sempre “abre uma caixinha”, ou seja, separa o
circuito em um ramo superior e um inferior. Não se esqueça de
respeitar os parênteses, assim como fazemos na álgebra
convencional.
Sistemas Dicotômicos - Interruptores
• Exemplo (resolução):
Desenhar os circuitos de interruptores cujas ligações são:
Respostas:
p ∧ (~p ∨ (q ∧ p)) (x ∨ ~y) ∧ (~x ∨ y)
x
~y
~x
y
p
~p
q p
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
•Conjuntos:
Definição: reunião de elementos que possuem algo em comum.
Representação: entre chaves ou gráfica (diagramas de Venn-Euler).
Exemplo:
Representação do conjunto A, que contém os elementos 1, 2, 3 e 4:
A = {1,2,3,4} 
A
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
U = Conjunto Universo: contém todos os elementos que se deseja
considerar em dada situação.
a, b, c, d = subconjuntos do universo U
Região verde: interseção entre os conjuntos a e b
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Vamos considerar o conjunto a e o conjunto b:
Denotaremos por a ∨ b o conjunto de todos os
elementos que pertencem só a a, ou só a b ou aos
dois. Portanto, a ∨ b é a união de a com b:
Denotaremos por a ∧ b o conjunto de todos os
pontos que pertencem a a e b, (pontos comuns).
Portanto, a ∧ b é a interseção de a com b:
a b
a ∨ b
a ∧ b
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Seja ~a o conjunto de todos os elementos do espaço considerado
que não pertencem a a. Dizemos que ~a é o complemento de a.
Chamaremos de conjunto vazio e o denotaremos por F o conjunto
que não contém elementos.
Denotaremos por V o conjunto de todos os elementos, que é o
próprio conjunto universo.
a ~a F V
Complemento 
de a
Conjunto 
vazio
Conjunto 
universo
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo V, valem as
seguintes igualdades:
Note que vimos estas mesmas
propriedades para as configurações
paralelo / série de interruptores.
Portanto, temos representações
diferentes do mesmo sistema lógico,
que atua tanto em interruptores
(sistema de hardware), conjuntos
(sistema gráfico matemático) e
proposições (declarações da nossa
linguagem).
União Interseção
F ∨ F = F F ∧ F = F
F ∨ V = V F ∧ V = F
V ∨ F = V V ∧ F = F
V ∨ V = V V ∧ V = V
a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a
a ∨ ~a = V a ∧ ~a = F
a ∨ F = a a ∧ F = F
a ∨ V = V a ∧ V = a
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas de Venn-Euler, ilustrar as expressões lógicas:
a ∧ b
Soluções: 
a b
a ∧ b 
a ∨ b
a e b são os dois conjuntos que devem ser representados e, como fazem operações lógicas entre si, devem
ser desenhados sobrepostos de forma a haver uma região de interseção entre eles. O retângulo exterior
expressa o universo do qual fazem parte. A região destacada deve corresponder à expressão lógica que se
quer representar.
a b
a ∨ b 
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas de Venn-Euler, ilustrar a expressão lógica:
~a ∧ b
Solução: 
a b
~a
Primeiro, representamos apenas ~a (1º quadro), seguido da representação de b (2º quadro). Ainda há uma
operação lógica (∧) a ser realizada. A realização desta operação aparece no 3º quadro. Este 3º quadro representa
a resposta, onde ficou destacada apenas a região que era comum entre o 1º e 2º quadros. Note que é possível ir
direto ao diagrama final, se fizermos o seguinte: pense em representar todo o b, mas exclua as partes em comum
com a (no caso, a interseção). Isso é: “b e não a”, equivalente ao “não a e b”, dito pela expressão lógica.
Graficamente, fazemos um b−a, pois pegamos o conjunto b e subtraímos tudo o que também faz parte do a.
a b
b 
∧ =
a b
~a ∧ b 
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas de Venn-Euler, ilustrar a expressão lógica:
~a ∨ b
Solução: 
a b
~a
Desta vez, a expressão pede “não a ou b”. O 1º e 2º quadros se mantiveram iguais ao do exemplo anterior, mas
será realizada uma outra operação entre eles (∨), realizada no 3º quadro (resposta). Desta vez, realizamos uma
união gráfica de todas as partes destacadas no 1º e 2º quadros. Novamente, o quadro de resposta pode ser dado
diretamente.
a b
b 
∨ =
a b
~a ∨ b 
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas de Venn-Euler, ilustrar a expressão lógica:
~a ∧ ~ b
Solução: 
a b
~a
Primeiro, representamos apenas ~a (1º quadro), seguido da representação de ~b (2º quadro). Ainda há uma
operação lógica (∧) a ser realizada. A interseção entre estes diagramas é mostrada no 3º quadro. Note que a
região comum entre eles resulta na região periférica do universo destacada. Temos, nesta situação, “não a e não
b”, dito simbolicamente pela expressão lógica.
a b
~b 
∧ =
a b
~a ∧ ~b 
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas, ilustrar a expressão lógica:
~p ∧ q ∧ r
Solução: 
p
q r
~p
∧
p
q r
q ∧ r
=
p
q r
~p ∧ q ∧ r
Graficamente, 
fazemos direto:
(q ∧ r) – p 
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Com diagramas, ilustrar a expressão:
(p ∧ ~r) ∨ (~p ∧ q ∧ r)
Solução: 
∨
p
q r
p ∧ ~r
rq
p
~p ∧ q ∧ r
=
p
q r
(p ∧ ~r) ∨ (~p ∧ q ∧ r)
p – r (q ∧ r) – p 
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
• Exemplos:
Mostrar, com diagramas, que:
a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Solução: 
a
b c
a
b
a
c
b ∧ c
∨ ⇔
c
a ∨ b
b
a
∧
a
cb
a ∨ c
a
b c
a ∨ (b ∧ c)
a
b c
(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
⇔
Testes de equivalências
podem ser feitos por meio
de diagramas. Se o padrão
gráfico de duas expressões
lógicas for igual, temos
expressões logicamente
equivalentes! Já lidamos
com esta equivalência
quando tratamos de
interruptores.
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Mostrar, com diagramas, que:
a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
Solução: 
a
b c
a
b
a
c
b ∨ c
∧ ⇔
c
a ∧ b
b
a
∨
a
cb
a ∧ c
a
b c
a ∧ (b ∨ c)
a
b c
(a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
⇔
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Escrever uma expressão correspondente à representação gráfica:
Solução: 
x
y z
x ∧ y ∧ ~z
Graficamente: (x ∧ y) – z
~x ∧ ~y ∧ z
Graficamente: z – x – y
(x ∧ y ∧ ~z) ∨ (~x ∧ ~y ∧ z)
Existem infinitas expressões lógicas que resultam no mesmo padrão
gráfico. O mostrado na solução é apenas uma delas, que adotou a
estratégia de extrair uma expressão para cada região destacada do
diagrama e, em sequência, uni-las pelo conectivo ou (∨). Estaria
também correto, por exemplo, inverter a ordem de aparecimento das
regiões gráficas, assim:
(~x ∧ ~y ∧ z) ∨ (x ∧ y ∧ ~z)
• Exemplos:
Sistemas Dicotômicos - Conjuntos
Escrever uma expressão correspondente à representação gráfica:
Solução: 
x
y z
~x ∧ ~y ∧ ~z
x ∧ y ∧ z
(x ∧ y ∧ z) ∨ (~x ∧ ~y ∧ ~z)
DESAFIO – Raciocínio lógico
Uma prova de Matemática com três questões (A, B e C) foi resolvida por 
todos os alunos de uma turma segundo a tabela abaixo, que indica os acertos:
Pergunta-se:
a) quantos alunos fizeram a prova? 
b) quantos alunos acertaram somente A e B?
c) quantos alunos não acertaram A e C?
Solução: A
B C
3
5
2
1 3
6
7 2
R: 29
R: 1
R: 21
Este desafio utiliza teoria de conjuntos para listar a contagem de
elementos em cada região. Esta abordagem é muito utilizada
pela Estatística. É interessante percebermos qual é o papel da
região “vazia” do universo: neste contexto, contempla os alunos
que fizeram a prova, mas não acertaram nenhuma questão. Este
tipo de conteúdo costuma cair em provas de concurso público ou
provas de raciocínio lógico em processos seletivos diversos.