Livro Texto - Unidade I Organização de Computadores UNIP

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Autora: Profa. Larissa Rodrigues Damiani
Colaboradores: Prof. Angel Antonio Gonzalez Martinez
 Profa. Christiane Mazur Doi
Lógica
Professora conteudista: Larissa Rodrigues Damiani 
Doutora em Engenharia Elétrica (área de concentração: microeletrônica) pela Universidade de São Paulo (USP), 
em 2015. Mestre, pela mesma instituição, em 2009. Graduada em Engenharia Elétrica na Modalidade Eletrônica 
(ênfase em Telemática) pela Universidade Santa Cecília (Unisanta), em 2006. Professora dos cursos superiores em 
Análise e Desenvolvimento de Sistemas e em Gestão da Tecnologia da Informação, na Universidade Paulista (UNIP), 
lecionando também em outros cursos na modalidade presencial e a distância. Atua na área acadêmica, como 
professora e pesquisadora, há mais de 10 anos.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
D158l Damiani, Larissa Rodrigues.
Lógica / Larissa Rodrigues Damiani. – São Paulo: Editora Sol, 2023.
188 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Lógica. 2. Tabela-verdade. 3. Quantificadores. I. Título.
CDU 681.3.019
U517.14 – 23
Profa. Sandra Miessa
Reitora
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Vice-Reitora de Graduação
Profa. Dra. Marina Ancona Lopez Soligo
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
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Vice-Reitor de Planejamento
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Vice-Reitora das Unidades Universitárias
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Vice-Reitora de Relações Internacionais
Prof. Marcus Vinícius Mathias
Vice-Reitor de Assuntos da Comunidade Universitária
UNIP EaD
Profa. Elisabete Brihy
Profa. M. Isabel Cristina Satie Yoshida Tonetto
Prof. M. Ivan Daliberto Frugoli
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
 Material Didático
 Comissão editorial: 
 Profa. Dra. Christiane Mazur Doi
 Profa. Dra. Ronilda Ribeiro
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista
 Profa. M. Deise Alcantara Carreiro
 Profa. Ana Paula Tôrres de Novaes Menezes
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
 Aline Ricciardi
 Kleber Souza
Sumário
Lógica
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA .....................................................................................................9
1.1 Definição de lógica matemática .......................................................................................................9
1.2 Proposições ............................................................................................................................................. 10
1.2.1 Proposições simples e compostas .................................................................................................... 12
1.3 Revisão de teoria de conjuntos ...................................................................................................... 14
1.3.1 Pertinência ................................................................................................................................................. 16
1.3.2 Conjuntos vazio e universo................................................................................................................. 17
1.3.3 Subconjuntos e relação de inclusão ............................................................................................... 17
1.3.4 Operações entre conjuntos ................................................................................................................. 19
2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES ....................................................................................... 27
2.1 Operações lógicas ................................................................................................................................. 27
2.1.1 Negação (conectivo “não”) ................................................................................................................. 28
2.1.2 Conjunção (conectivo “e”) ................................................................................................................... 30
2.1.3 Disjunção inclusiva (conectivo “ou”)............................................................................................... 31
2.1.4 Disjunção exclusiva (conectivo “ou...ou”) ...................................................................................... 33
2.1.5 Condicional (conectivo “se...então”) ................................................................................................ 34
2.1.6 Bicondicional (conectivo “se e somente se”) ............................................................................... 38
2.2 Resumindo as operações lógicas ................................................................................................... 40
2.3 Ordem de precedência das operações lógicas .......................................................................... 40
2.4 Expressões lógicas ................................................................................................................................ 41
Unidade II
3 TABELAS-VERDADE ......................................................................................................................................... 50
3.1 Definição de tabela-verdade ........................................................................................................... 50
3.2 Construção da tabela-verdade ....................................................................................................... 50
3.3 Números binários ................................................................................................................................. 57
3.4 Tautologia, contradição e contingência ...................................................................................... 58
3.4.1 Tautologia .................................................................................................................................................. 58
3.4.2 Contradição ............................................................................................................................................... 58
3.4.3 Contingência ............................................................................................................................................ 59
4 RELAÇÕES DE IMPLICAÇÃO E DE EQUIVALÊNCIA .............................................................................. 61
4.1 Relação de implicação ........................................................................................................................ 62
4.2 Relação de equivalência .................................................................................................................... 67
4.2.1 Equivalências notáveis .......................................................................................................................... 71
Unidade III
5 ARGUMENTOS LÓGICOS ............................................................................................................................... 82
5.1 Definição de argumento lógico ...................................................................................................... 82
5.2 Formatos simbólicos............................................................................................................................83
5.3 Argumento válido ................................................................................................................................ 84
5.4 Regras de inferência ........................................................................................................................... 87
5.5 Falácias formais ..................................................................................................................................... 99
6 TÉCNICAS DE VALIDAÇÃO DE ARGUMENTOS LÓGICOS .................................................................102
6.1 Validação por tabelas-verdade .....................................................................................................102
6.2 Validação por regras de inferência ..............................................................................................104
6.2.1 Prova direta .............................................................................................................................................104
6.2.2 Prova condicional ................................................................................................................................. 110
6.2.3 Prova por redução ao absurdo ........................................................................................................ 113
6.3 Validação por fluxogramas .............................................................................................................116
Unidade IV
7 QUANTIFICADORES .......................................................................................................................................135
7.1 Revisão de conjuntos numéricos .................................................................................................135
7.2 Sentenças abertas ..............................................................................................................................138
7.2.1 Conjunto universo e conjunto verdade ...................................................................................... 139
7.3 Quantificador universal ...................................................................................................................141
7.4 Quantificador existencial ................................................................................................................143
7.5 Valores lógicos de sentenças quantificadas ............................................................................144
7.5.1 Quantificador universal ..................................................................................................................... 144
7.5.2 Quantificador existencial .................................................................................................................. 146
8 ARGUMENTOS LÓGICOS QUANTIFICADOS ..........................................................................................147
8.1 Definição de argumento quantificado ......................................................................................148
8.2 Equivalência entre quantificadores ............................................................................................149
8.3 Validade de argumentos quantificados .....................................................................................152
8.3.1 Exemplificação ...................................................................................................................................... 153
8.3.2 Generalização ........................................................................................................................................ 153
8.4 Diagramas de Venn-Euler ...............................................................................................................163
7
APRESENTAÇÃO
Olá, aluno(a)!
Ao longo deste livro-texto, vamos estudar alguns conceitos introdutórios de lógica. De forma 
concisa, a lógica pode ser definida como o estudo das leis do pensamento. Originalmente concebida 
como um ramo da filosofia, no século IV a.C., seu estudo foi iniciado por Aristóteles (384-322 a.C.), na 
Grécia. Até hoje, Aristóteles é conhecido como o “pai da lógica”. 
A partir do século XIX, a lógica passou a ser estudada também pelo ponto de vista da matemática, por 
meio dos trabalhos de cientistas como Augustus De Morgan (1806-1871), George Boole (1815-1864), 
Alfred North-Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russell (1872-1970). Houve, nesse período, uma 
adaptação dos princípios aristotélicos para a matemática, dando origem a uma nova abordagem do tema.
Nos dias de hoje, a lógica é estudada em diversas áreas, pois é considerada tanto como um ramo 
da filosofia quanto como da matemática. Por ser uma ciência tão abrangente, sua aplicabilidade 
também é vasta. O projeto dos circuitos dos processadores computacionais, por exemplo, é concebido 
de tal forma que obedeça a operações lógicas. Consequentemente, as linguagens de programação de 
alto nível também devem obedecer a essas regras. Na área das ciências humanas, um dos grandes 
interesses contemporâneos é a análise da argumentação e a identificação de falácias lógicas, que são 
erros de raciocínio. O nosso próprio idioma é constituído de acordo com regras lógicas, permitindo a 
comunicação interpessoal.
O objetivo de nossa disciplina é oferecer a você os principais temas introdutórios à lógica do ponto 
de vista formal e matemático, já que é esse o conhecimento diretamente aplicado à computação. Não 
abordaremos o estudo da lógica do ponto de vista informal, de interesse da área filosófica, porém, 
utilizaremos, ao longo de todo o conteúdo, sentenças em linguagem corrente, ou seja, sentenças escritas 
no nosso idioma, de forma que possamos avaliar suas estruturas.
Também temos a proposta de fazer com que você, por meio das estratégias elaboradas neste 
livro-texto, perceba o sentido e atribua significados às ideias transmitidas. Queremos que seja capaz de 
aprimorar seu raciocínio e o seu pensamento crítico, o que é fundamental a qualquer profissional.
Boa leitura!
8
INTRODUÇÃO
Dentro da vastidão do mundo da lógica, este livro-texto é dedicado ao estudo de conceitos 
introdutórios de lógica matemática, que estuda os conceitos de lógica do ponto de vista das ciências 
exatas. Ela é, por definição, uma lógica formal.
De forma sucinta, a lógica formal é a subdivisão da lógica dedicada ao estudo da forma de proposições 
e argumentos. Desse modo, seu interesse está no estudo da estrutura, e não do conteúdo. Esses conceitos 
serão definidos com maior profundidade na unidade I deste livro-texto.
Os tópicos da lógica matemática apresentados neste material são de extrema relevância para 
qualquer estudante de cursos relacionados à área das ciências da computação, já que consiste no 
embasamento teórico para o entendimento de outros conceitos. Isso inclui diversos temas, como 
sistemas de informação, automação, linguagens de programação, organização e arquitetura de 
computadores, sistemas operacionais, redes de computadores, inteligência artificial, robótica, banco 
de dados, entre outros.
Este livro-texto está dividido em quatro unidades, de forma que as unidades I, II e III são dedicadas 
ao estudo da lógica proposicional, enquanto a unidade IV será focada em lógica de predicados.
Na unidade I, estudaremos alguns conceitos introdutórios da lógica matemática, como o conceito 
de proposições lógicas, além de uma revisão de teoria de conjuntos, tema matemático que encontra 
grande interseção com o conteúdo de lógica. Estudaremos as operações lógicas sobre proposições, 
além de nos familiarizarmos com expressões lógicas.
Na unidade II, veremos os conceitos de tabela-verdade, muito importantes para a área devido a 
sua versatilidade. Aprenderemos o significado dos termos tautologia, contradição e contingência. 
Em seguida, abordaremos as relações de implicação e equivalência entre expressões lógicas, além de 
aprendermos algumas equivalências notáveis.
Na unidade III, nos dedicaremos ao estudo dos argumentoslógicos, que é um dos principais 
interesses de estudo dos cursos de lógica. Entenderemos o que é um argumento e quais os requisitos 
para termos um argumento válido. Na sequência, aprenderemos algumas técnicas de validação de 
argumento, que incluem tabelas-verdade, regras de inferência e fluxogramas.
Na unidade IV, focaremos no estudo de quantificadores. Aprenderemos a respeito de sentenças 
abertas e dos tipos de quantificadores – universal e existencial. Em seguida, aplicaremos as 
sentenças quantificadas à argumentação lógica, abordando técnicas de validação desse tipo 
de argumento.
Vamos abordar todos esses conceitos mostrando exemplos tanto em linguagem corrente (sentenças 
escritas em português) quanto em linguagem simbólica (representação algébrica das mesmas sentenças). 
Sempre que possível, associaremos as ideias introduzidas com exemplos do cotidiano, para facilitar e 
consolidar o seu entendimento.
Bom estudo!
9
LÓGICA
Unidade I
Iniciaremos nossos estudos de lógica proposicional, que integra a lógica matemática. Para 
começar, precisamos fazer algumas definições, além de revisar alguns conceitos vistos no Ensino 
Médio. Vamos ao trabalho.
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA
1.1 Definição de lógica matemática
A lógica matemática estuda os conceitos de lógica do ponto de vista das ciências exatas. Ela é, por 
definição, uma lógica formal. Isso significa que o nosso objeto de estudo será a forma de sentenças e 
argumentos, e não seu conteúdo ou contexto.
Para exemplificar o que queremos dizer, leia os argumentos seguintes.
Argumento 1:
Todo homem é mortal.
Sócrates é um homem.
Portanto, Sócrates é mortal.
Argumento 2:
Todo gato é mamífero.
Tommy é um gato.
Portanto, Tommy é mamífero.
Perceba que do ponto de vista do conteúdo, os argumentos nos trazem informações diferentes. 
Porém, se analisarmos suas formas, chegaremos à conclusão de que se trata de estruturas iguais. Ambos 
apresentam o formato seguinte.
Todo X é Y.
Z é X.
Portanto, Z é Y.
10
Unidade I
Estudaremos, a partir da unidade III, os argumentos lógicos. Por enquanto, basta que você 
compreenda o que dizemos quando afirmamos que a lógica matemática é formal. Basicamente, 
para a lógica matemática, ambos os argumentos apresentados são iguais, já que apresentam a 
mesma estrutura.
O estudo da lógica matemática abrange o estudo da lógica proposicional, que lida com proposições, 
e será estudada nas unidades I, II e III. Também é objeto de seu estudo a lógica de predicados, que lida 
com quantificadores, que abordaremos na unidade IV. Portanto, a lógica proposicional e a lógica de 
predicados podem ser consideradas como subáreas da lógica matemática.
Vamos, então, começar nossos estudos de lógica proposicional.
1.2 Proposições
O conceito mais básico da lógica proposicional é, evidentemente, o significado de proposição. Uma 
proposição é uma sentença declarativa que assume um e apenas um entre dois valores lógicos, aqui 
classificados como verdadeiro (V) ou falso (F). Uma proposição deve expressar uma ideia completa, de 
forma a ser possível atribuir a ela um valor lógico.
Vejamos alguns exemplos de proposições com seus respectivos valores lógicos.
• A Terra é um planeta do Sistema Solar. (V)
• Marte é o satélite natural da Terra. (F)
• Luís de Camões escreveu ‘Os Lusíadas’. (V)
• Machado de Assis escreveu ‘O Cortiço’. (F)
• 2 + 3 = 5 (V)
• 3 -7 = 2 (F)
Quando nos referimos a proposições, falamos de uma estrutura dicotômica, ou seja, uma estrutura 
cujo valor lógico está restrito a apenas duas alternativas, que classificaremos nesse conteúdo como 
V ou F. Observe que podemos expressar proposições em linguagem matemática (como fizemos nos dois 
últimos exemplos), não apenas em uma linguagem cotidiana. No entanto, é necessário nos atentarmos 
para o fato de que a ideia expressa precisa ser completa, de forma a conseguirmos atribuir um valor 
lógico a ela. Desse modo, as sentenças apresentadas a seguir não são consideradas proposições.
• A Terra.
No caso, não foi transmitida uma ideia completa. Assim, não é possível classificarmos a frase como 
verdadeira ou falsa.
11
LÓGICA
• Qual é o seu nome?
Trata-se de uma sentença interrogativa, ou seja, de uma pergunta. Não é possível atribuir um valor 
lógico a perguntas.
• Saia daqui!
Trata-se de uma sentença imperativa, ou seja, de uma ordem. Não é possível atribuir um valor 
lógico a ordens.
• x + y = 3
Trata-se de uma sentença aberta, ou seja, de uma sentença cujo valor lógico não pode ser determinado 
até que suas variáveis sejam substituídas por “números específicos”. Não sabemos, a princípio, se a 
sentença é verdadeira ou falsa.
Exemplo de aplicação
Verifique se cada um dos itens seguintes é uma proposição lógica. Caso seja, identifique o seu 
valor lógico.
A) Brasília é a capital do Brasil.
B) Aracaju é a capital de Alagoas.
C) A espécie Homo sapiens pertence à ordem carnívora.
D) Ele descobriu o Brasil.
E) 2 ∈ ℕ
F) π ∈ Z
G) Abacaxi.
Resolução
A) Trata-se de uma proposição de valor lógico verdadeiro.
B) Trata-se de uma proposição de valor lógico falso, já que Aracaju é a capital do Estado de Sergipe.
C) Trata-se de uma proposição de valor lógico falso, já que, de acordo com a classificação dada pela 
biologia, a espécie Homo sapiens pertence à ordem dos primatas.
12
Unidade I
D) Temos, nesse caso, uma sentença aberta, pois não sabemos quem é “ele”. Desse modo, não temos 
uma proposição lógica.
E) Trata-se de uma proposição de valor lógico verdadeiro. A sentença, escrita em linguagem 
matemática, é lida como “o número dois pertence ao conjunto dos números naturais”.
F) Trata-se de uma proposição de valor lógico verdadeiro. A sentença, escrita em linguagem 
matemática, é lida como “o número “pi” pertence ao conjunto dos números inteiros”. π é uma 
constante matemática cuja parte decimal é infinita e não periódica, o que faz com que seja 
classificada como um número irracional, e não como um número inteiro.
G) Não temos uma proposição, pois não há uma sentença declarativa que pode ser classificada como 
verdadeira ou falsa. A ideia transmitida está incompleta, nesse caso.
 Observação
Na lógica proposicional, costumamos utilizar como valores lógicos as 
identificações verdadeiro (V) ou falso (F), já que lidamos com sentenças 
declarativas. No entanto, poderíamos utilizar qualquer outra simbologia 
dicotômica. Na área da computação, é muito comum utilizarmos 0 para 
identificar o valor falso e 1 para indicar o valor verdadeiro, por exemplo.
1.2.1 Proposições simples e compostas
Os exemplos de proposições que vimos no tópico passado são denominados proposições 
simples, pois cada sentença apresenta uma única ideia, que não pode ser subdividida. É possível 
unirmos proposições simples utilizando conectivos lógicos. Esses conectivos, também chamados de 
operadores, são palavras que empregamos na nossa linguagem cotidiana, que ganham destaque no 
estudo da lógica por serem capazes de formar proposições compostas. Observe o exemplo a seguir.
• A Terra é um planeta do Sistema Solar e Marte é uma estrela.
No caso, temos duas proposições simples formando uma proposição composta. Podemos separá-las, 
conforme exposto a seguir, observando que cada uma delas assume seu próprio valor lógico.
Proposição simples 1. A Terra é um planeta do Sistema Solar. (V)
Proposição simples 2. Marte é uma estrela. (F)
Voltemos à sentença completa do exemplo. Perceba que as proposições simples estão unidas por 
um conectivo, representado pela palavra e. Esse conectivo indica uma operação entre as proposições 
simples, de forma que a proposição composta será verdadeira apenas se ambas as proposições simples 
13
LÓGICA
componentes forem também verdadeiras. Porém, como a 2ª proposição é falsa, temos uma proposição 
composta de valor lógico F. Vejamos.
• A Terra é um planeta do Sistema Solar e Marte é uma estrela. (F)
Note que a proposição composta assume, também, um valor lógico. Esse valor depende tanto do valor 
lógico das proposiçõessimples componentes quanto do conectivo utilizado entre elas. Vamos estudar 
as principais operações lógicas ainda nesta unidade. Por enquanto, basta entendermos o conceito de 
proposição composta.
Exemplo de aplicação
Cada item a seguir representa uma proposição lógica. Classifique cada uma delas como simples 
ou composta.
A) Carlos é engenheiro.
B) Ana é cientista.
C) Carlos é engenheiro e Ana é cientista.
D) José ganhou a eleição para prefeito.
E) Maria mora em São Paulo ou na Bahia.
Resolução
A) Proposição simples.
B) Proposição simples.
C) Proposição composta, cujas componentes são demonstradas a seguir.
Proposição simples 1: Carlos é engenheiro.
Proposição simples 2: Ana é cientista.
D) Proposição simples.
E) Proposição composta, cujas componentes são demonstradas a seguir.
Proposição simples 1: Maria mora em São Paulo.
Proposição simples 2: Maria mora na Bahia.
14
Unidade I
 Observação
As proposições compostas podem ser expressas com a omissão de alguns 
termos de suas componentes, como aconteceu com o item “e” do exemplo 
anterior. Contanto que a ideia seja integralmente transmitida, as proposições 
simples componentes estarão presentes. Desse modo, ao invés de dizermos 
“Maria mora em São Paulo ou Maria mora na Bahia”, podemos dizer 
simplesmente “Maria mora em São Paulo ou na Bahia”. Isso evita a repetição 
desnecessária de termos na sentença composta.
 Saiba mais
Você pode encontrar mais exemplos de proposições no primeiro 
capítulo do livro A cartilha da lógica, de Maria do Carmo Nicoletti. A leitura 
é recomendada.
NICOLETTI, M. C. A cartilha da lógica. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
1.3 Revisão de teoria de conjuntos
Antes de sermos apresentados às operações lógicas sobre proposições, vamos fazer uma breve 
revisão de teoria de conjuntos, uma poderosa ferramenta matemática. A partir de seus conceitos, 
ficará mais fácil compreender as operações lógicas, já que elas têm grande relação com as operações 
sobre conjuntos.
Para entendermos esse conceito, precisamos fazer duas definições básicas, mas muito importantes. 
Conjunto é uma coleção de elementos que possuem alguma característica em comum. Elemento é o 
nome dado a cada item que faz parte de um conjunto.
Geralmente, o nome de um conjunto é representado por uma letra maiúscula, mas isso pode 
variar dependendo da aplicação. Podemos citar os exemplos a seguir.
• Conjunto A das faces de uma moeda: A = {cara, coroa}
• Conjunto B das regiões do Brasil: B = {Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste, Sul}
• Conjunto das cores da bandeira brasileira: C = {verde, amarelo, azul, branco}
O conjunto A tem 2 elementos (cara e coroa), sendo que ambos representam faces de uma moeda. 
O conjunto B tem 5 elementos, sendo que cada um deles representa uma região do Brasil. O conjunto C 
15
LÓGICA
tem quatro elementos, onde cada um representa uma cor da bandeira brasileira. Note que os elementos 
estão envolvidos por um par de chaves e separados por vírgulas, porém, essa não é a única forma 
possível de representação de conjuntos.
Existem diversas formas de representar um conjunto e seus elementos. As principais formas são as 
apresentadas a seguir.
• Entre chaves por extenso: listamos os elementos entre chaves separados por vírgula.
• Entre chaves por propriedade: temos a apresentação de uma propriedade que determina que 
tipo de elemento pertence àquele conjunto. A utilização de propriedades é útil para descrever 
conjuntos com número elevado de elementos.
• Graficamente: utilizamos diagramas de Venn-Euler. Tais diagramas dispõem os conjuntos como 
figuras geométricas fechadas, e pode haver a lista de seus elementos dentro da área da figura.
 Saiba mais
Os autores Luiz Roberto Dante e Fernando Viana, em seu livro 
Matemática: contexto e aplicações, trazem explicações detalhadas e 
diversos exemplos envolvendo teoria de conjuntos. A leitura é recomendada.
DANTE, L. R.; VIANA, F. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: 
Ática, 2019. (volume único).
Para esclarecermos mais sobre tópicos da teoria dos conjuntos, vamos representar um conjunto de 
diferentes formas no exemplo a seguir.
Exemplo de aplicação
A região Sudeste do Brasil é composta de quatro estados. Represente o conjunto S, que reúne 
esses estados:
A) Por extenso.
B) Utilizando uma propriedade.
C) Graficamente.
Resolução
A) Por extenso, temos o que segue.
S = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo}
16
Unidade I
Indicamos o nome do conjunto e a lista de elementos separados por vírgula. A ordem na qual os 
elementos aparecem é irrelevante.
B) Utilizando uma propriedade, temos o que segue.
S = {x | x é um Estado da região Sudeste do Brasil}
Expressamos, dessa vez, a propriedade em comum aos elementos do conjunto. Costumamos chamar 
de x uma variável que assume elementos correspondentes à propriedade. Devemos ler a barra | como “tal 
que”, ou seja: “o conjunto S é formado por elementos x tal que x é um Estado da região Sudeste do Brasil”.
C) Graficamente, temos o que se mostra na figura a seguir.
S
Espírito Santo
Minas Gerais
Rio de Janeiro
São Paulo
Figura 1 – Representação gráfica dos Estados da região Sudeste do Brasil
Indicamos o nome do conjunto próximo a uma figura geométrica fechada, seja um círculo, seja um 
polígono fechado qualquer. A lista de elementos é posicionada dentro da área da figura geométrica.
Muitas vezes, os diagramas de Venn-Euler apenas expressam a relação entre diferentes conjuntos 
dentro de uma situação, não havendo listagem de elementos. É essa a notação que usaremos para 
ilustrar as operações lógicas nos próximos tópicos do livro-texto. Por enquanto, vamos continuar a 
nossa revisão.
1.3.1 Pertinência
A pertinência é um tipo de relação entre um elemento e um conjunto. Ela indica a existência 
ou a ausência de um elemento dentro de um conjunto. Para isso, são utilizados dois símbolos de 
operadores relacionais:
• ∈, que significa “pertence”;
• ∉, que significa “não pertence”.
17
LÓGICA
No caso das relações de pertinência, quando queremos afirmar que um elemento x pertence 
a um conjunto A qualquer, utilizamos o símbolo ∈, ou seja, x ∈ A. Porém, se o elemento x não 
pertence ao conjunto A, utilizamos o símbolo ∉, ou seja, x ∉ A.
Vejamos um exemplo: consideremos o conjunto V das vogais do nosso alfabeto.
V = {a, e, i, o, u}
Dizemos que a vogal “a” pertence ao conjunto V formado pelas vogais do alfabeto, ou seja, a ∈ V.
Vejamos, a seguir, mais alguns exemplos e suas interpretações.
• 1 ∈ A. Lê-se: “1 pertence a A”, ou seja, o elemento 1 pertence ao conjunto A.
• 3 ∉ A. Lê-se: “3 não pertence a A”, ou seja, o elemento 3 não pertence ao conjunto A.
• 2 ∈ {1,2,3}. O elemento 2 pertence ao conjunto formado pelos elementos 1, 2 e 3.
• 4 ∉ {1,2,3}. O elemento 4 não pertence ao conjunto formado pelos elementos 1, 2 e 3.
• 6 ∈ {x | x é número par}. O elemento 6 pertence ao conjunto dos números pares.
1.3.2 Conjuntos vazio e universo
Um conjunto vazio, cuja representação é Ø ou { }, é um conjunto que não tem elementos. Preste 
atenção no conjunto A mostrado a seguir.
A = {x ∈ ℕ | x < 0}
Não existem números naturais menores do que 0. Logo, o conjunto A não tem elementos. Nesse 
caso, o conjunto A é um conjunto vazio, ou seja, A = Ø.
O conjunto universo, geralmente denominado 𝑈, é aquele que tem todos os elementos de um 
contexto. Definido o universo, todos os conjuntos do contexto seriam conjuntos integrantes de 𝑈, e 
todos seus elementos pertencem a 𝑈.
1.3.3 Subconjuntos e relação de inclusão
Um subconjunto é um conjunto que integra outro. O diagrama da figura seguinte mostra o 
relacionamento entre um conjunto universo 𝑈 com seus dois subconjuntos: A e B.
18
Unidade I
BA
U
Figura 2 – Um conjunto universo 𝑈 que tem dois subconjuntos (A e B)
Nesse caso, costumamos dizer que “A está contido em 𝑈” assim como “B está contido em 𝑈”. 
Essa relação entre os conjuntos é o que chamamos de relação de inclusão. Existem dois principais 
símbolos de operadoresrelacionais que podemos utilizar nesse contexto:
• ⊂, que significa “está contido em”.
• ⊄, que significa “não está contido em”.
Sobre a disposição da figura anterior, podemos fazer diversas relações verdadeiras, como as 
indicadas a seguir.
• A ⊂ 𝑈. Lê-se: “A está contido em 𝑈”, ou seja, A é subconjunto de 𝑈.
• B ⊂ 𝑈. Lê-se: “B está contido em 𝑈”, ou seja, B é subconjunto de 𝑈.
• A ⊄ B. “A não está contido em B”. A não é subconjunto de B nesse contexto.
• B ⊄ A. “B não está contido em A”.
 Observação
Para qualquer conjunto A, é correto afirmar o que se segue.
• Ø ⊂ A: o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• A ⊂ A: um conjunto é considerado subconjunto dele mesmo.
 Lembrete
A relação de pertinência é uma relação entre elemento e conjunto. 
A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos.
19
LÓGICA
1.3.4 Operações entre conjuntos
As operações entre conjuntos diferem das relações de igualdade e de inclusão que vimos 
anteriormente. Em uma relação, apenas fazemos comparações entre conjuntos. Agora, veremos 
operações capazes de resultar em um novo conjunto a partir de outros já existentes. Estudaremos as 
seguintes operações: união, interseção, diferença e complementar.
União
Se A e B são conjuntos, a união de A com B é denotada AՍB que representa o conjunto formado por 
todos os elementos de A e por todos os elementos de B.
Graficamente, AՍB será composto dos elementos que pertencem às regiões destacadas no diagrama 
da figura seguinte.
A U B
BA
U
Figura 3 – União entre os conjuntos A e B
Vejamos os exemplos a seguir.
• Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1,3}; então, AUB = {1, 3, 2, 4, 6, 8}.
• {1, 2, 3} U {4, 5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• {1, 2, 3} U {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
• {2, 3} U {2, 3} = {2, 3}
• {2} U {2, 3, 4} = {2, 3, 4}
Interseção
A interseção de dois conjuntos A e B é descrita por A∩B, e é formada pelos elementos que pertencem 
tanto a A quanto a B, simultaneamente.
20
Unidade I
Graficamente, A∩B será composto dos elementos que pertencem à região destacada no diagrama 
da figura seguinte. Note que existe uma sobreposição entre os conjuntos A e B, sendo que a região 
destacada pertence tanto a A quanto a B.
A ∩ B
BA
U
Figura 4 – Interseção entre os conjuntos A e B
Vejamos os exemplos a seguir.
• Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A∩B = {2, 4}.
• {1, 2, 3} ∩ {4, 5, 6} = Ø
• {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}
• {2, 3} ∩ {2, 3} = {2, 3}
• {2} ∩ {2, 3, 4} = {2}
Diferença entre dois conjuntos
Se A e B são dois conjuntos, então a diferença entre A e B, expressa como A – B (lê-se: 
“A menos B”), é o conjunto de elementos que estão em A, mas não em B. Vejamos os exemplos a seguir.
Graficamente, A – B será composto dos elementos que pertencem à região destacada no diagrama 
da figura seguinte.
21
LÓGICA
A - B
BA
U
Figura 5 – Diferença entre A e B
• Sejam os conjuntos A = {2, 4, 6, 8} e B = {2,4}; então, A – B = {6, 8}
• {1, 2, 3} – {4, 5, 6} = {1, 2, 3}
• {1, 2, 3} – {3, 4, 5} = {1, 2}
• {2, 3} – {2, 3} = Ø
• {2} – {2, 3, 4} = Ø
Complementar de B em A
Para a operação complementar ocorrer, é necessário que haja uma relação de inclusão entre dois 
conjuntos. Se tivermos B como subconjunto de A, ou seja, B⊂A, podemos achar o complementar de B 
em relação a A, expresso como BA . Nesse caso, 
B
A será o conjunto de elementos de A que não 
pertencem a B. Trata-se de uma diferença entre conjuntos (A – B), mas com a restrição da necessidade de 
inclusão entre eles. Podemos pensar na operação complementar como um caso particular da operação 
de diferença.
Graficamente, BA será composto dos elementos que pertencem à região destacada no diagrama da 
figura seguinte.
22
Unidade I
B
A = A - B
A
U
B
Figura 6 – Complementar do conjunto B em relação ao conjunto A
A operação complementar costuma ser utilizada em relação ao próprio universo do contexto. 
Utilizando a mesma disposição de conjuntos da figura seguinte, temos que o complementar de B em 
relação ao universo 𝑈 é dado por B
UB U B= = −
  .
A notação B é uma forma reduzida de expressar o complementar de B em relação ao seu universo. 
A expressão gráfica dessa operação pode ser vista na figura seguinte.
A
U
B
B
UB U B= = −
  
Figura 7 – Complementar do conjunto B em relação ao seu universo
Nesse mesmo contexto, podemos encontrar também o complementar de A em relação ao 
universo 𝑈, afinal, A⊂𝑈. Podemos expressar essa operação como A , que resulta nos elementos 
existentes na região destacada na figura seguinte.
23
LÓGICA
A
U
B
A
UAC = C =U-A
Figura 8 – Complementar do conjunto A em relação ao seu universo
A operação complementar costuma ser utilizada em relação ao próprio universo do contexto. 
Utilizando a mesma disposição de conjuntos da figura seguinte, temos que o complementar de B em 
relação ao universo 𝑈 é dado por BUB U B= = −  . A notação B
 é uma forma reduzida de expressar o 
complementar de B em relação ao seu universo.
Nos exemplos a seguir, trabalharemos com todas as operações entre conjuntos para fixarmos o 
entendimento desse tópico.
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 2, 6, 9}. Encontre o conjunto resultante 
das operações mostradas a seguir.
A) AUB
B) A∩B
C) A – B
D) B – A
E) A
Resolução
É interessante representarmos graficamente os conjuntos, pois, apesar de isso não ser imprescindível, 
a representação gráfica ajuda a enxergar o relacionamento entre os conjuntos. Considerando que os 
conjuntos fazem parte do mesmo universo 𝑈, temos o diagrama de Venn-Euler ilustrado a seguir, que 
mostra o relacionamento entre os conjuntos e a lista de elementos.
24
Unidade I
BA
5 61
7 9
3 2
U
Figura 9 – Conjuntos A e B
Repare que os conjuntos foram desenhados de forma sobreposta, considerando a interseção entre 
eles. Os elementos foram distribuídos de maneira a ocupar a região adequada. O elemento 1, que pertence 
tanto a A quanto a B, foi posicionado na área comum entre esses dois conjuntos, que representa a 
região de interseção entre eles. Os elementos 3, 5 e 7, que pertencem somente ao conjunto A, foram 
posicionados na área exclusiva de A. Os elementos 2, 6 e 9, que pertencem somente ao conjunto B, 
foram posicionados na área exclusiva de B. Agora, vamos à resolução dos itens.
A) AUB = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}
Consideramos todos os elementos de A, assim como todos os elementos de B.
B) A∩B = {1}
Pegamos apenas o elemento comum entre A e B.
C) A – B = {3, 5, 7}
Consideramos todos os elementos de A. Depois, descartamos aqueles que também pertencem a B.
D) B – A = {2, 6, 9}
Consideramos todos os elementos de B. Depois, descartamos aqueles que também pertencem a A.
E) A = 𝑈 – A = {2, 6, 9}
Nesse caso, consideramos todo o universo. Depois, descartamos os elementos que pertencem a A. 
Essa operação equivale a 𝑈 – A.
25
LÓGICA
Exemplo 2. Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 6, 9, 10} e C = {2, 4, 5, 8, 9}. Encontre 
o conjunto resultante das operações mostradas a seguir.
A) AUB
B) A∩B
C) AUBUC
D) A∩B∩C
E) (A∩B) U (B∩C)
F) A – B
G) B – C
H) (A – B) U (B – C)
I) A
J) C
Resolução
Considerando que os conjuntos fazem parte do mesmo universo U, temos o diagrama de Venn-Euler 
ilustrado a seguir, que mostra o relacionamento entre os conjuntos e a lista de elementos.
BA
5
4
8
6
10
1
7 9
3
2
U C
Figura 10 – Conjuntos A, B e C
Repare que os conjuntos foram desenhados de forma sobreposta, considerando as interseções entre 
eles. Os elementos foram distribuídos de maneira a ocupar a região adequada. O elemento 9, que pertence 
a A, B e C, foi posicionado na área central. O elemento 1, que pertence a A e B, mas não pertence a C, 
foi posicionado na área de interseção entre A e B, mas fora da região central. Os elementos 3 e 7, que 
pertencem somente ao conjunto A, foram posicionados na área exclusiva de A. O mesmo raciocínio foi 
adotado para os outros elementos. Agora, vamos à resolução dositens.
26
Unidade I
A) AUB = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}
Consideramos todos os elementos de A, assim como todos os elementos de B.
B) A∩B = {1, 9}
Pegamos apenas os elementos comuns entre A e B.
C) AUBUC = 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Consideramos todos os elementos de A, todos os elementos de B e também todos os elementos 
de C. Nesse contexto, isso corresponde ao próprio conjunto universo.
D) A∩B∩C = {9}
Temos um conjunto unitário que contém o elemento que pertence tanto a A quanto a B e C.
E) (A∩B) U (B∩C) = {1, 2, 9}
Aqui, podemos resolver a expressão por partes:
A∩B = {1, 9}
B∩C = {2, 9}
{1, 9} U {2, 9} = {1, 2, 9}
F) A – B = {3, 5, 7}
Consideramos todos os elementos de A. Depois, descartamos aqueles que também pertencem a B.
G) B – C = {1, 6, 10}
Consideramos todos os elementos de B. Depois, descartamos aqueles que também pertencem a C.
H) (A – B) U (B – C) = {1, 3, 5, 6, 7, 10}
A resolução por partes fica:
A – B = {3, 5, 7}
B – C = {1, 6, 10}
{3, 5, 7} U {1, 6, 10} = {1, 3, 5, 6, 7, 10}
27
LÓGICA
I) A = 𝑈 – A = {2, 4, 6, 8, 10}
Nesse caso, consideramos todo o universo. Depois, descartamos os elementos que pertencem a A. 
Essa operação equivale a 𝑈 – A.
J) Cc = 𝑈 – C = {1, 3, 6, 7, 10}
Consideramos todo o universo. Depois, descartamos os elementos que pertencem a C. Essa operação 
equivale a 𝑈 – C.
Exemplo 3. Uma plataforma de streaming de filmes e séries classifica seus títulos de acordo com 
categorias. Considere que o conjunto D reúne os filmes de drama da plataforma e que o conjunto M 
reúne os títulos com a atriz Meryl Streep. Escreva uma operação entre esses conjuntos que reúna todos 
os filmes dramáticos com Meryl Streep disponíveis na plataforma.
Resolução
Para reunirmos os filmes dramáticos com Meryl Streep, precisamos de títulos que pertençam ao 
conjunto D e que também pertençam ao conjunto M. Logo, esses títulos devem pertencer à interseção 
entre esses dois conjuntos, ou seja, D∩M.
 Lembrete
No caso dos conjuntos, a ordem dos elementos que pertencem a eles 
não tem importância. O mesmo ocorre se os elementos se repetirem. A 
repetição é totalmente irrelevante, pois cada elemento é considerado 
somente uma vez.
2 OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
Nesse segundo tópico do nosso livro-texto, estudaremos as operações lógicas. Assim como os 
conjuntos matemáticos podem realizar operações entre si, as proposições lógicas também. É por meio 
dessas operações que conseguimos construir proposições compostas. Vamos conhecer as principais 
operações da lógica proposicional, estabelecendo associações com as operações entre conjuntos, que 
acabamos de relembrar. Na sequência, aprenderemos a ordem de precedência de seus operadores, bem 
como trabalharemos com expressões lógicas mais complexas, que combinam operadores entre si.
2.1 Operações lógicas
As operações da lógica proposicional que aprenderemos a seguir são negação, conjunção, disjunção 
inclusiva, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Conheceremos, também, seus respectivos 
conectivos (operadores).
28
Unidade I
 Observação
Na aritmética, a operação de adição é realizada utilizando o conectivo +, 
que lemos como “mais”. Então, uma operação de adição entre os operandos 
2 e 3, por exemplo, é descrita simbolicamente como “2 + 3” e lida como “dois 
mais três”. Do mesmo modo, a operação de subtração é realizada utilizando 
o conectivo –, que lemos como “menos”. Então, uma operação de subtração 
entre os operandos 5 e 1, por exemplo, é descrita simbolicamente como 
“5 – 1” e lida como “cinco menos um”. Na lógica, ocorre algo parecido: temos 
diversas operações que utilizam seus respectivos conectivos (ou operadores) 
em suas construções.
2.1.1 Negação (conectivo “não”)
A operação de negação é aquela realizada sobre uma proposição simples por meio do conectivo 
“não”. Simbolicamente, podemos expressar esse conectivo pelo símbolo de til, ~.
E por que estamos falando de símbolos, se até então utilizamos palavras para expressar proposições e 
conectivos? Ora, porque podemos expressar proposições e seus conectivos, também, de forma simbólica. 
A maneira mais usual de expressar simbolicamente uma proposição simples é chamando-a como uma 
letra minúscula.
Vejamos o exemplo: considere a seguinte proposição, de nome 𝑎, com valor lógico verdadeiro.
𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)
Realizar uma operação de negação sobre a proposição 𝑎 seria incluir em sua sentença o conectivo 
“não”, de forma a trocar o seu valor lógico. Observe.
~𝑎: Luís de Camões não escreveu Os Lusíadas. (F)
Quando partimos de uma proposição falsa, a operação de negação torna a proposição verdadeira. 
Vejamos o exemplo: considere a seguinte proposição 𝑏 com valor lógico falso.
𝑏: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)
Realizar uma operação de negação sobre a proposição 𝑏 seria incluir em sua sentença o conectivo 
‘não’, de forma a trocar o seu valor lógico. Observe.
~𝑏: Machado de Assis não escreveu O Cortiço. (V)
29
LÓGICA
Logo, podemos resumir que uma operação de negação simplesmente inverte o valor lógico da 
proposição sobre a qual atua. Esse comportamento pode ser expresso por meio de uma tabela-verdade, 
que é uma tabela que lista entradas e saídas lógicas: a entrada, no caso, será uma proposição simples 
qualquer 𝑎, e a saída será sua negação, ~𝑎.
Tabela 1 – Tabela‑verdade da negação
𝑎 ~𝑎
V F
F V
A tabela indica que, se 𝑎 é uma proposição verdadeira, sua negação, ~𝑎, deve ser falsa. Mas, se 
𝑎 é falsa, sua negação, ~𝑎, deve ser verdadeira.
 Observação
Aprenderemos a montar tabelas-verdade na unidade II deste livro-texto. 
Por enquanto, vamos nos ater a analisá-las, pois nosso intuito agora é 
entender as operações lógicas.
A operação de negação é análoga à operação complementar, da teoria de conjuntos. De fato, podemos 
utilizar diagramas de Venn-Euler para ilustrar, também, operações lógicas, já que elas carregam muitas 
semelhanças com as operações entre conjuntos.
Observe a figura a seguir. À esquerda, temos a representação gráfica da proposição 𝑎. Nesse caso, 
temos o conjunto que representa 𝑎 destacado visualmente, com o universo representado em branco. À 
direita, vemos a representação gráfica de ~𝑎. Note que essa figura representa o complemento da outra: 
todo o universo ganhou destaque, menos o conjunto 𝑎. Isso ilustra, justamente, a inversão do valor 
lógico causada pelo operador de negação.
𝑎 ~𝑎
Figura 11 – Diagramas de Venn-Euler representando 𝑎 (à esquerda) e ~𝑎 (à direita)
30
Unidade I
2.1.2 Conjunção (conectivo “e”)
A operação de conjunção é aquela capaz de unir duas (ou mais) proposições simples por meio do 
conectivo “e”. Simbolicamente, podemos expressar esse conectivo pelo símbolo ∧.
Considere as duas proposições simples a seguir.
𝑎: Luís de Camões escreveu ‘Os Lusíadas’. (V)
𝑏: Machado de Assis escreveu ‘O Cortiço’. (F)
Se realizarmos uma conjunção entre 𝑎 e 𝑏, teremos a proposição composta que segue.
𝑎 ∧ 𝑏: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, e Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)
A operação de conjunção entre duas proposições simples exige que ambas sejam verdadeiras para 
que o resultado seja uma proposição composta verdadeira. Desse modo, a proposição composta será 
verdadeira somente se ambas as proposições simples componentes também o forem.
A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. No caso, temos duas 
entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é justamente a operação de conjunção entre elas, 𝑎 ∧ 𝑏.
Tabela 2 – Tabela‑verdade da conjunção
𝑎 𝑏 𝑎 ∧ 𝑏
V V V
V F F
F V F
F F F
Perceba que, dessa vez, precisamos de 4 linhas de estados na tabela-verdade. Isso foi feito porque 
devemos listar todas as possíveis combinações entre as entradas, ou seja, entre as proposições 
simples. Para duas entradas dicotômicas, temos quatro possíveis combinações de estados.
A tabela indica que, se 𝑎 é uma proposição verdadeira e 𝑏 também é uma proposição verdadeira,a conjunção entre elas deve ser verdadeira. Se pelo menos uma delas for falsa – o que ocorre nas 
outras três linhas de estados – o valor lógico da proposição composta é falso.
 Lembrete
Não se preocupe se você ainda não sabe montar a lista de estados da 
tabela-verdade. Aprenderemos a montar tabelas na unidade II.
31
LÓGICA
 Observação
Na linguagem corrente, outros termos podem substituir os termos usuais 
dos conectivos lógicos. É muito comum, por exemplo, encontrarmos  o 
termo “mas” agindo com o conectivo “e”. Ele é aplicado, principalmente, 
para indicar que existe algum contraste entre as proposições simples que 
se relacionam por meio da conjunção. Na sentença, temos o formato 𝑎 ∧ 𝑏, 
usamos o termo “mas” ao invés de “e”.
𝑎 ∧ 𝑏: O aluno estudou, mas não passou no concurso.
A operação de conjunção é análoga à operação de interseção, da teoria de conjuntos. Observe a 
figura a seguir, onde há a representação gráfica da operação 𝑎 ∧ 𝑏. É dado destaque visual à região 
que pertence ao conjunto 𝑎 e ao conjunto 𝑏. Essa região é, justamente, a região de interseção entre 
esses conjuntos. Essa região destacada corresponde ao estado verdadeiro da tabela-verdade.
𝑎 ∧ 𝑏
𝑎 𝑏
Figura 12 – Diagrama de Venn-Euler representando a operação 𝑎 ∧ 𝑏
2.1.3 Disjunção inclusiva (conectivo “ou”)
A operação de disjunção inclusiva é aquela capaz de unir proposições simples por meio do 
conectivo “ou”. Simbolicamente, podemos expressar esse conectivo pelo símbolo ∨.
Considere as duas proposições simples a seguir.
𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)
𝑏: Machado de Assis escreveu O Cortiço. (F)
32
Unidade I
Se realizarmos uma disjunção inclusiva entre 𝑎 e 𝑏, teremos a proposição composta que segue.
𝑎 ∨ 𝑏: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, ou Machado de Assis escreveu O Cortiço. (V)
A operação de disjunção inclusiva entre duas proposições simples pede que pelo menos uma delas 
seja verdadeira para que o resultado seja uma proposição composta verdadeira. Desse modo, a proposição 
composta será falsa somente quando ambas as componentes também forem.
A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. No caso, temos duas 
entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é justamente a operação de disjunção inclusiva entre elas, 𝑎 ∨ 𝑏.
Tabela 3 – Tabela‑verdade da disjunção inclusiva
𝑎 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏
V V V
V F V
F V V
F F F
A tabela indica que a proposição composta será falsa apenas na última linha, ou seja, quando 
tanto 𝑎 quanto 𝑏 são proposições falsas. Sempre que pelo menos uma delas for verdadeira – o que 
ocorre nas três primeiras linhas de estados – o valor lógico da proposição composta é verdadeiro.
 Observação
As operações de negação, conjunção e disjunção inclusiva são consideradas 
as operações fundamentais da Lógica. Na área da computação, todas as 
linguagens de programação de alto nível disponibilizam, pelo menos, esses 
três operadores lógicos aos seus desenvolvedores. No caso da linguagem C, 
por exemplo, temos as seguintes simbologias:
! (não)
&& (e)
|| (ou)
A operação de disjunção inclusiva é análoga à operação de união, da teoria de conjuntos. Nesse 
caso, destacamos as regiões que pertencem a ambos os conjuntos (interseção), a região exclusiva 
do conjunto 𝑎 e a região exclusiva do conjunto 𝑏. Essas três regiões correspondem aos três estados 
verdadeiros da tabela-verdade.
33
LÓGICA
𝑎 ∨ 𝑏
𝑎 𝑏
Figura 13 – Diagrama de Venn-Euler representando a operação 𝑎 ∨ 𝑏
2.1.4 Disjunção exclusiva (conectivo “ou...ou”)
Existe um outro tipo de operação de disjunção, chamada de exclusiva. A operação de disjunção 
exclusiva é aquela capaz de unir proposições simples por meio do conectivo “ou...ou”. Simbolicamente, 
podemos expressar esse conectivo por meio do símbolo ⊻.
Considere as duas proposições simples a seguir.
𝑎: Luís de Camões escreveu Os Lusíadas. (V)
𝑏: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. (V)
Se realizarmos uma disjunção inclusiva entre 𝑎 e 𝑏, teremos a proposição composta que segue.
𝑎 ⊻ 𝑏: Ou Luís de Camões escreveu Os Lusíadas, ou Machado de Assis escreveu Dom Casmurro. (F)
Note que o operador “ou...ou” traz o sentido de “ou uma, ou outra, mas não ambas”. Desse modo, 
a operação de disjunção exclusiva entre duas proposições simples exige que apenas uma delas seja 
verdadeira para que o resultado seja uma proposição composta verdadeira.
A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. No caso, temos duas 
entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação de disjunção exclusiva entre elas, 𝑎 ⊻ 𝑏.
Tabela 4 – Tabela‑verdade da disjunção exclusiva
𝑎 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏
V V F
V F V
F V V
F F F
34
Unidade I
A tabela indica que a proposição composta será verdadeira se 𝑎 e 𝑏 tiverem valores lógicos diferentes. 
Consequentemente, ela será falsa se 𝑎 e 𝑏 tiverem valores lógicos iguais.
Podemos utilizar diagramas de Venn-Euler para ilustrar a operação de disjunção exclusiva, mesmo 
que ela não seja diretamente análoga a uma operação da teoria de conjuntos. Nesse caso, destacamos 
apenas a região exclusiva do conjunto 𝑎 e a região exclusiva do conjunto 𝑏. Essas duas regiões 
correspondem aos dois estados verdadeiros da tabela-verdade.
𝑏
𝑎 ⊻ 𝑏
𝑎
Figura 14 – Diagrama de Venn-Euler representando a operação 𝑎 ⊻ 𝑏
2.1.5 Condicional (conectivo “se...então”)
A operação condicional é aquela capaz de unir proposições simples por meio do conectivo 
“se... então”. Simbolicamente, podemos expressar esse conectivo por meio do símbolo →.
Considere as duas proposições simples a seguir.
𝑎: Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro. (V)
𝑏: Machado de Assis é brasileiro. (V)
Se realizarmos uma operação condicional entre 𝑎 e 𝑏, teremos a proposição composta que segue.
𝑎 → 𝑏: Se Machado de Assis nasceu no Rio de Janeiro, então ele é brasileiro. (V)
No caso, a primeira proposição, 𝑎, é chamada de antecedente, e a segunda, 𝑏, é chamada de 
consequente. Podemos pensar nessa operação como o estabelecimento de uma relação de causa e 
consequência entre duas proposições: se 𝑎 acontece, 𝑏 deve acontecer também. A proposição composta 
será falsa somente quando tivermos antecedente verdadeiro com consequente falso.
A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. No caso, temos duas 
entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação condicional entre elas, 𝑎 → 𝑏.
35
LÓGICA
Tabela 5 – Tabela‑verdade da operação condicional
𝑎 𝑏 𝑎 → 𝑏
V V V
V F F
F V V
F F V
A tabela indica que a proposição composta será falsa apenas na linha em que 𝑎 é verdadeiro 
e 𝑏 é falso.
 Observação
Se você já teve contato com linguagens de programação, saiba que a 
operação condicional é análoga ao comando if das linguagens. Observe 
a sintaxe a seguir.
if (condição) {
comandos;
}
O bloco de comandos será executado sempre que a condição for 
verdadeira. Desse modo, a condição representa o antecedente e o bloco 
de comandos representa o consequente. Mas será possível conseguir 
consequente verdadeiro com antecedente falso, como indica a 3ª linha 
da tabela-verdade? Para ilustrar essa situação, vamos trazer um trecho de 
código, escrito em linguagem C.
#include <stdio.h>
int main()
{
int a = 1;
int b = 10;
if(a == 2){
b = 10;
36
Unidade I
}
printf(“O valor de b é %d.”, b);
}
Quando executado, esse código resulta na impressão “O valor de b é 10.”, 
indicando que o consequente é verdadeiro, já que o valor 10 foi atribuído à 
variável b. Porém, fica claro que o bloco if nem mesmo foi executado, pois a 
condição a == 2 era falsa, já que a apresenta valor 1. Acontece que, desde 
a declaração das variáveis, esse consequente é verdadeiro. Logo, diversas 
causas podem levar a um mesmo consequente. Por isso, 𝑎 ser falso e 𝑏 ser 
verdadeiro não invalida a relação 𝑎 → 𝑏.
Se você não conhece linguagens de programação e não foi capaz de 
acompanhar a explicação, não se preocupe: esse foi apenas um exemplo 
onde a operação condicional é aplicada.Para expressar a operação condicional 𝑎 → 𝑏 por diagramas de Venn-Euler, optamos por, ao invés de 
destacar regiões, trazer a relação existente entre as proposições 𝑎 e 𝑏. Se 𝑎 acontece, 𝑏 deve acontecer 
também. Graficamente, isso corresponde a uma relação de inclusão entre conjuntos: 𝑎 está contido em 𝑏. 
Desse modo, se um elemento pertence a 𝑎, ele deve pertencer também a 𝑏.
𝑎 → 𝑏
𝑏
𝑎
Figura 15 – Diagrama de Venn-Euler representando a operação 𝑎 → 𝑏
2.1.5.1 Condicional: exemplo ilustrado das linhas da tabela‑verdade
A operação condicional, geralmente, é a mais difícil de ser entendida por quem nunca teve contato 
com operações lógicas. Talvez, até agora, você esteja se perguntando o motivo pelo qual apenas uma 
das linhas da tabela resulta em F.
Por isso, vamos adotar um exemplo ilustrado. Vamos considerar uma operação condicional válida 
entre duas proposições, do tipo 𝑎 → 𝑏. Essa operação é mostrada a seguir.
37
LÓGICA
𝑎 → 𝑏: Se Maria nasceu em SP, então ela nasceu no Brasil.
A tabela-verdade da operação é descrita a seguir, com o significado de cada linha, considerando a 
combinação de valores lógicos das entradas.
Tabela 6 – Tabela‑verdade da operação condicional proposta, 
com o significado de cada linha
𝑎 𝑏 𝑎 → 𝑏 Significado
1 V V V Maria nasceu em SP e no Brasil. ✔
2 V F F Maria nasceu em SP, mas não no Brasil. ✖ 
3 F V V Maria não nasceu em SP, mas nasceu no Brasil. ✔
4 F F V Maria não nasceu em SP, nem no Brasil.✔
Na linha 1, temos antecedente verdadeiro e consequente também verdadeiro. Ora, se a relação 
condicional é válida e a causa aconteceu, a consequência deve acontecer também. No nosso exemplo, 
temos que Maria nasceu em SP, e consequentemente, nasceu no Brasil. O diagrama da figura a seguir 
ilustra essa situação. Consideramos que 𝑎 é um conjunto que abriga as pessoas que nasceram em São 
Paulo, enquanto 𝑏 é um conjunto que abriga as pessoas que nasceram no Brasil. Naturalmente, 𝑎 está 
contido em 𝑏. Nesse caso, Maria é um elemento que participa de ambos os conjuntos.
Maria
a (SP)
b (BRA)
Figura 16 – Diagrama representando a linha 1 da tabela-verdade da operação condicional
Na linha 3, temos antecedente falso com consequente verdadeiro. Nesse caso, Maria não nasceu em 
São Paulo (SP), mas nasceu no Brasil. Isso pode acontecer, por exemplo, se Maria for mineira. A relação 
condicional continua válida, e essa situação pode perfeitamente acontecer. Nesse caso, Maria é um 
elemento do conjunto 𝑏, mas não do conjunto 𝑎, conforme exposto na figura a seguir.
38
Unidade I
Maria
a (SP)
b (BRA)
Figura 17 – Diagrama representando a linha 3 da tabela-verdade da operação condicional
Na linha 4, temos antecedente falso e consequente também falso. Podemos pensar, por exemplo, 
que Maria nasceu em Portugal. Essa situação ainda é possível de acontecer. Nesse caso, Maria faz 
parte do universo do problema, mas não participa nem do conjunto 𝑎, nem do conjunto 𝑏, conforme 
ilustramos na figura a seguir.
Maria
a (SP)
b (BRA)
Figura 18 – Diagrama representando a linha 4 da tabela-verdade da operação condicional
A única situação impossível de acontecer é, justamente, a descrita pela linha 2. Nesse caso, temos 
antecedente verdadeiro e consequente falso, o que invalidaria a operação condicional. Não é possível 
nascer em SP sem ter nascido no Brasil. Logo, essa é a única combinação de estados que leva valor 
lógico F. Não é possível ilustrar essa situação, considerando que 𝑎 é um subconjunto de 𝑏.
2.1.6 Bicondicional (conectivo “se e somente se”)
A operação bicondicional é capaz de unir proposições simples por meio do conectivo “se e somente 
se”. Simbolicamente, podemos expressar esse conectivo pelo símbolo ↔.
Considere as duas proposições simples a seguir.
𝑎: O número 11 é par. (F)
39
LÓGICA
𝑏: O número 11 é divisível por 2. (F)
Se realizarmos uma operação bicondicional entre 𝑎 e 𝑏, teremos a proposição composta que segue.
𝑎 ↔ 𝑏: O número 11 é par se e somente se ele for divisível por 2. (V)
Podemos pensar nessa operação como o estabelecimento de uma relação de dependência mútua 
entre duas proposições: 𝑎 só acontece se 𝑏 acontecer também, assim como 𝑏 só acontece se 𝑎 acontecer 
também. Para um número ser par, ele deve ser divisível por 2. Para um número ser divisível por 2, ele 
deve ser par. Logo, mesmo com ambas as proposições falsas, conforme vimos no exemplo, temos uma 
relação bicondicional verdadeira.
A proposição composta será verdadeira quando tivermos valores lógicos iguais entre as proposições 
simples. Consequentemente, a proposição composta será falsa quando tivermos valores lógicos diferentes 
entre as proposições simples.
A tabela-verdade que expressa esse comportamento pode ser vista a seguir. No caso, temos duas 
entradas quaisquer, 𝑎 e 𝑏, e a saída é a operação bicondicional entre elas, 𝑎 ↔ 𝑏.
Tabela 7 – Tabela‑verdade da operação bicondicional
𝑎 𝑏 𝑎 ↔ 𝑏
V V V
V F F
F V F
F F V
Quando demonstrada por meio de um diagrama de Venn-Euler, a operação condicional 𝑎 ↔ 𝑏 
resulta no destaque da região onde tanto 𝑎 quanto 𝑏 ocorrem (que é a região de interseção) e no 
destaque da região onde nem 𝑎 e nem 𝑏 ocorrem (que é a região do universo ao redor desses conjuntos). 
Essas duas regiões destacadas representam os dois estados verdadeiros da tabela-verdade da operação.
𝑏
𝑎 ↔ 𝑏
𝑎
Figura 19 – Diagrama de Venn-Euler representando a operação 𝑎 ↔ 𝑏
40
Unidade I
2.2 Resumindo as operações lógicas
Vamos, agora, trazer todas as operações lógicas que vimos em uma única tabela, que resume os nomes 
dos operadores, das operações e o comportamento de suas saídas, considerando duas entradas, 𝑎 e 𝑏.
Tabela 8 – Resumo das operações lógicas
Conectivo “Não” “E” “Ou” “Ou...ou” “Se...então” “Se e somente se”
Operação Negação Conjunção Disjunção inclusiva
Disjunção 
exclusiva Condicional Bicondicional
𝑎 𝑏 ~𝑎 𝑎 ∧ 𝑏 𝑎 ∨ 𝑏 𝑎 ⊻ 𝑏 𝑎 → 𝑏 𝑎 ↔ 𝑏
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Você pode usar a tabela anterior sempre que precisar de uma consulta rápida à tabela-verdade 
de uma operação lógica. No entanto, é importante destacar que o ideal é não fazer essa consulta 
“cegamente”, ou mesmo tentar “decorar” essa tabela. Em vez disso, você deve focar em compreender 
a definição de cada uma das operações lógicas, que já estudamos. Quando, de fato, entendemos cada 
uma delas, conseguimos, inclusive, deduzir a tabela.
2.3 Ordem de precedência das operações lógicas
Começamos estudando a operação de negação e terminamos estudando a operação bicondicional. 
A ordem que utilizamos para estudá-las é justamente a ordem de precedência entre os operadores 
lógicos que adotaremos nesse conteúdo. Como assim, ordem de precedência? Bom, se considerarmos 
as expressões algébricas da matemática, sabemos que se não houver parênteses indicando o contrário, 
devemos resolver uma multiplicação antes de uma adição. Desse modo, a multiplicação vem antes 
da adição na ordem de precedência, sendo, portanto, prioritária. Essa regra faz parte da ordem de 
precedência dos operadores aritméticos.
Entendido o que é ordem de precedência, voltemos à lógica. Em uma expressão lógica qualquer, 
a operação de negação será a prioridade, seguida da conjunção, da disjunção inclusiva, da disjunção 
exclusiva, do condicional e, finalmente, do bicondicional. Se um mesmo operador aparecer na mesma 
expressão, associaremos os operandos da esquerda para a direita (como os operadores aritméticos).
41
LÓGICA
 Observação
Na aritmética, a ordem de precedência dos operadores é universal. Na 
lógica, isso não acontece. Cada linguagem de programação, por exemplo, 
adota uma ordem de precedência para seus operadores lógicos, devemos 
estar atentos às regras do sistema lógico com o qual trabalhamos. Na 
linguagem C, temos a seguinte ordem para os operadores lógicos, sendo 1 
o de maior prioridade e 3 o de menor prioridade:
1. ! (não)
2. && (e)
3. || (ou)
2.4 Expressões lógicasPodemos utilizar os operadores lógicos para trabalhar com quantas proposições simplesprecisarmos, 
podemos, inclusive, utilizar vários deles na mesma expressão. Assim como utilizamos expressões algébricas 
a fim de traduzir situações cotidianas para a linguagem matemática, podemos também usar expressões 
lógicas para modelar comportamentos de sistemas dicotômicos, como os circuitos dos processadores de 
nossos computadores.
Essas expressões são utilizadas tanto na programação de alto nível quanto em nível de hardware, 
em que projetistas utilizam tabelas-verdade para extrair expressões que representam circuitos que se 
comportam da forma esperada. Conforme já mostrado, essas regras também são aplicadas à nossa 
linguagem corrente, porém, de uma forma mais restrita do que aplicamos cotidianamente, já que a 
lógica trabalha apenas com sentenças declarativas.
 Observação
Simbolicamente, é convenção identificarmos proposições simples com 
letras minúsculas, como 𝑎, 𝑏, 𝑝 ou 𝑞. Por sua vez, os símbolos utilizados 
para identificar proposições compostas são, geralmente, letras maiúsculas, 
como 𝐴, 𝐵, 𝑃 ou 𝑄.
Vamos, agora, acompanhar alguns exemplos de exercícios que lidam com expressões lógicas.
42
Unidade I
Exemplo de aplicação
Exemplo 1. Considere as seguintes proposições simples.
𝑝: Ana é dentista.
𝑞: Ana joga vôlei.
Traduza para linguagem corrente as proposições seguintes.
A) 𝑝 ∨ ~𝑞
B) ~𝑝 → 𝑞
C) 𝑝 ↔ ~𝑞
D) ~𝑝 ∧ ~𝑞
Resolução
Em cada item deste exemplo, vemos uma expressão lógica dada em linguagem simbólica. Nossa 
tarefa será traduzi-la para a linguagem corrente, ou seja, para a linguagem cotidiana. Devemos, então, 
observar a ordem de precedência dos operadores lógicos e reescrever a sentença, considerando as 
sentenças simples apresentadas no enunciado. Vamos à resolução de cada um dos itens.
A) Neste item A, primeiro, devemos negar a proposição 𝑞, já que a operação de negação é prioritária 
em relação à operação de disjunção inclusiva. Temos o que segue.
~𝑞: Ana não joga vôlei.
Agora, vamos colocar a sentença que representa ~𝑞 em disjunção com a sentença que representa 𝑝. 
Finalizamos, portanto, com a expressão que segue.
𝑝 ∨ ~𝑞: Ana é dentista ou não joga vôlei.
Seguiremos o mesmo raciocínio para resolver os itens seguintes.
B) ~𝑝 → 𝑞: Se Ana não é dentista, então ela joga vôlei.
C) 𝑝 ↔ ~𝑞: Ana é dentista se e somente se ela não jogar vôlei.
D) ~𝑝 ∧ ~𝑞: Ana não é dentista e não joga vôlei.
43
LÓGICA
Exemplo 2. Considere a expressão lógica 𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏, que representa o circuito digital que será 
desenvolvido por um projetista. Se tivermos 𝑎 verdadeiro e 𝑏 falso, qual será o valor da saída 𝑆 ?
Resolução
A expressão lógica 𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏 indica que temos uma saída, chamada de 𝑆 , que é a proposição 
composta. Essa proposição é composta de duas entradas, que são as proposições simples 𝑎 e 𝑏. 
Elas relacionam-se por meio dos operadores “não” e “e”. Para sabermos o valor lógico de 𝑆 quando 
𝑎 é verdadeiro e 𝑏 é falso, devemos resolver a expressão, de maneira semelhante ao que faríamos 
com expressões algébricas. Porém devemos lembrar que não estamos lidando com operações 
algébricas convencionais, mas com operações lógicas, e temos de respeitar o comportamento das 
operações estudadas.
Podemos pensar em 𝑎 e 𝑏 como variáveis. Porém, diferentemente das variáveis que estudamos na 
álgebra, as variáveis lógicas só podem assumir um entre dois valores, que, aqui, chamamos de V ou F.
O enunciado diz que 𝑎 = V e que 𝑏 = F. Vamos, então, substituir as variáveis por esses valores na 
expressão lógica.
𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏 = ~V ∧ F
Devemos priorizar o operador “não” em relação ao operador “e”. Portanto, a operação de negação 
é a primeira que vamos fazer, a seguir. Como a negação nos pede para inverter o nível lógico do qual 
partimos, temos que ~V = F. Vamos fazer essa substituição na expressão.
𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏 = ~V ∧ F = F ∧ F
Finalmente, vamos resolver a operação de conjunção. Ela pede que ambos os operandos sejam 
verdadeiros para que o resultado seja verdadeiro. No entanto, há dois operandos falsos. Logo, 
F ∧ F = F. Desse modo, temos o que segue.
𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏 = ~V ∧ F = F ∧ F = F
Portanto, para 𝑎 = V e 𝑏 = F, a expressão lógica 𝑆 = ~𝑎 ∧ 𝑏 tem valor lógico falso. No contexto, 
que trata de circuitos lógicos, tanto as entradas 𝑎 e 𝑏 quanto a saída 𝑆 representam sinais de um 
circuito, não sentenças declarativas, conforme estudamos no conteúdo de lógica formal. Contudo, a 
forma de lidar com esses sinais é exatamente a mesma como lidamos com a nossa linguagem. Por isso, 
as expressões lógicas podem representar qualquer sistema dicotômico. Ainda no contexto de circuitos, 
ao invés de utilizar V e F, é mais comum utilizarmos 0 e 1 para distinguir entre os dois valores lógicos.
44
Unidade I
Exemplo 3. Considere a expressão lógica 𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐. Se tivermos 𝑎 verdadeiro, 𝑏 falso e 𝑐 
verdadeiro, qual será o valor da proposição composta 𝑆 ?
Resolução
A expressão lógica 𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 indica que temos uma saída, chamada de 𝑆 , que é a proposição 
composta. Essa proposição é composta de três entradas, que são as proposições simples 𝑎, 𝑏 e 𝑐. Elas 
relacionam-se por meio dos operadores “não”, “ou...ou” e “se...então”.
O enunciado diz que 𝑎 = V, 𝑏 = F e 𝑐 = V. Vamos, então, substituir as variáveis por esses valores na 
expressão lógica.
𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 = (~V ⊻ F) → V
Assim como nas expressões algébricas, devemos respeitar tanto a ordem de precedência dos 
operadores lógicos quanto os parênteses, que são capazes de quebrar a ordem natural entre eles. Pela 
ordem de precedência adotada, a existência dos parênteses nessa expressão não modifica a ordem 
na qual resolveríamos as operações: primeiro a negação, depois a disjunção exclusiva e, por último, 
a condicional. Vamos, então, começar pela negação ~V = F. Logo, fazemos a substituição a seguir.
𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 = (~V ⊻ F) → V = (F ⊻ F) → V
Agora, partimos para a disjunção exclusiva. Essa operação exige exclusividade no valor lógico 
verdadeiro para que seu resultado seja verdadeiro. No entanto, temos dois operandos falsos. Logo, 
F ⊻ F = F. Vamos à substituição na expressão.
𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 = (~V ⊻ F) → V = (F ⊻ F) → V = F → V
Por último, resolvemos a operação condicional. A única forma de termos saída falsa na operação 
é com antecedente verdadeiro e consequente falso. Porém, temos antecedente falso e consequente 
verdadeiro, o que não descaracteriza a operação condicional. Portanto, F → V = V. Substituindo, temos 
o que segue.
𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 = (~V ⊻ F) → V = (F ⊻ F) → V = F → V = V
Portanto, para 𝑎 = V, 𝑏 = F e 𝑐 = V, a expressão lógica 𝑆 = (~𝑎 ⊻ 𝑏) → 𝑐 tem valor lógico verdadeiro.
Exemplo 4. Considere a expressão lógica 𝑆 = ((~𝑎 ↔ ~𝑏 ) ∨ 𝑐) ∧ 𝑎. Se tivermos 𝑎 falso, 𝑏 falso e 
𝑐 verdadeiro, qual será o valor da proposição composta 𝑆 ?
Resolução
A expressão lógica 𝑆 = ((~𝑎 ↔ ~𝑏 ) ∨ 𝑐) ∧ 𝑎 indica que temos uma saída, chamada de 𝑆 , que é 
a proposição composta. Essa proposição é composta de três entradas, que são as proposições simples 
𝑎, 𝑏 e 𝑐. Elas se relacionam por meio dos operadores “não”, “e”, “ou” e “se e somente se”.
45
LÓGICA
O enunciado diz que 𝑎 = F, e . Vamos, então, substituir as variáveis por esses valores na expressão 
lógica.
S = ((~a ⟷ ~b) ∨ c) ∧ a = ((~F⟷~F) ∨ V) ∧ F
Assim como nas expressões algébricas, devemos respeitar tanto a ordem de precedência dos 
operadores lógicos quanto os parênteses, que são capazes de quebrar a ordem natural entre eles. Pela 
ordem de precedência adotada, a existência dos parênteses nessa expressão modifica a ordem na qual 
vamos resolver as operações: primeiro as duas operações de negação, depois o bicondicional, depois a 
disjunção inclusiva e, por último, a conjunção. Vamos, então, começar pela negação ~F = V. Logo, fazemos 
as substituições a seguir.
S = ((~a ⟷ ~b) ∨ c) ∧ a = ((~F ⟷ ~F) ∨ V) ∧ F = ((V ⟷ V) ∨ V) ∧ FPassemos à operação dos parênteses internos. Resolveremos, ali, um bicondicional, entre dois 
operandos verdadeiros. A operação bicondicional exige operandos de valores lógicos iguais para que 
sua saída seja verdadeira. Logo:
V ⟷ V = V
Substituindo essa igualdade na expressão, temos o seguinte:
S = ((V ⟷ V) ∨ V) ∧ F = (V ∨ V) ∧ F
Continuando com a operação dos parênteses, vamos resolver a disjunção inclusiva entre dois 
operandos verdadeiros. A disjunção inclusiva pede que pelo menos um deles seja verdadeiro para que o 
resultado seja verdadeiro. Logo:
V ∨ V = V
S = ((V ⟷ V) ∨ V) ∧ F = (V ∨ V) ∧ F = V ∧ F
Finalmente, vamos à última operação. A conjunção exige que ambos os operandos sejam verdadeiros 
para que seu resultado seja verdadeiro. Porém, temos que o segundo operando é falso. Logo:
V ∧ F = F
S = ((V ⟷ V) ∨ V) ∧ F = (V ∨ V) ∧ F = V ∧ F = F
Portanto, para a = F, b = F e c = V, a expressão lógica
S = ((~a ⟷ ~b) ∨ c) ∧ a tem valor lógico falso.
46
Unidade I
 Resumo
Vimos que a lógica matemática estuda os conceitos de lógica do 
ponto de vista das ciências exatas. O conceito mais básico da lógica 
proposicional é o significado de proposição, que é uma sentença 
declarativa que assume um e apenas um entre dois valores lógicos, aqui 
classificados como verdadeiro (V) ou falso (F). Denominados proposições 
simples sentenças que apresentam uma única ideia. É possível 
unirmos proposições simples utilizando conectivos lógicos, formando 
proposições compostas.
Fizemos uma breve revisão de teoria de conjuntos, cujas operações 
guardam semelhanças com as operações lógicas sobre proposições. 
Relembramos as operações entre conjuntos de união, interseção, diferença 
e complementar.
As operações da lógica proposicional que aprendemos foram 
negação, conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, condicional 
e bicondicional. A operação de negação é aquela realizada sobre uma 
proposição simples por meio do conectivo “não”, invertendo o valor lógico 
original da proposição. A conjunção é capaz de unir duas proposições 
simples por meio do conectivo “e”, e exige que ambas sejam verdadeiras 
para que o resultado seja uma proposição composta verdadeira. A operação 
de disjunção inclusiva é aquela capaz de unir proposições simples por 
meio do conectivo “ou”, e pede que pelo menos uma delas seja verdadeira 
para que o resultado seja uma proposição composta verdadeira.
A operação condicional é aquela capaz de unir proposições simples 
por meio do conectivo “se...então”, e estabelece uma relação de causa e 
consequência entre duas proposições: se 𝑎 acontece, 𝑏 deve acontecer 
também. Por fim, a operação bicondicional une proposições simples por 
meio do conectivo “se e somente se”, pedindo para que o valor lógico de 
ambas seja igual para que a saída seja verdadeira.
Em relação à ordem de precedência dos operadores, em uma expressão 
lógica qualquer, a operação de negação será a prioridade, seguida da 
conjunção, da disjunção inclusiva, da disjunção exclusiva, do condicional e, 
finalmente, do bicondicional. Se um mesmo operador aparecer na mesma 
expressão, associaremos os operandos da esquerda para a direita.
47
LÓGICA
 Exercícios
Questão 1. Definimos proposição como uma sentença para a qual podemos atribuir um dos valores 
lógicos a seguir:
• verdadeiro, em geral representado por V;
• falso, em geral representado por F.
Nesse contexto, analise os exemplos E1, E2 e E3 a seguir.
E1. A soma de dois números ímpares resulta em um número par.
E2. Que dia lindo!
E3. A multiplicação de um número real A por um número real B resulta em um número real C maior 
do que A e maior do que B.
Com base no exposto e nos seus conhecimentos, assinale a alternativa certa.
A) O exemplo E1 é uma proposição verdadeira, o exemplo E2 é uma proposição verdadeira, e o 
exemplo E3 é uma proposição falsa.
B) O exemplo E1 é uma proposição verdadeira, o exemplo E2 é uma proposição falsa, e o exemplo 
E3 é uma proposição verdadeira.
C) O exemplo E1 é uma proposição verdadeira, o exemplo E2 não é uma proposição, e o exemplo E3 
é uma proposição verdadeira.
D) O exemplo E1 é uma proposição falsa, o exemplo E2 não é uma proposição, e o exemplo E3 é uma 
proposição verdadeira.
E) O exemplo E1 é uma proposição verdadeira, o exemplo E2 não é uma proposição, e o exemplo E3 
é uma proposição falsa.
Resposta correta: alternativa E.
48
Unidade I
Análise da questão
Vamos analisar cada um dos exemplos do enunciado.
E1. A soma de dois números ímpares resulta em um número par.
O exemplo E1 é uma proposição verdadeira, pois um número ímpar é a soma de um número par 
com 1. Se somarmos dois números ímpares, temos a soma de dois números pares com 2, o que resulta 
em um número par.
E2. Que dia lindo!
O exemplo E2 não é uma proposição: trata-se de uma exclamação para a qual não podemos atribuir 
valor lógico.
E3. A multiplicação de um número real A por um número real B resulta em um número real C maior 
do que A e maior do que B.
O exemplo E3 é uma proposição falsa. Por exemplo, se A for 0,1 e B for 0,2, a multiplicação de 
A por B resulta em C igual a 0,02, menor do que A e do que B.
Questão 2. Considere as proposições simples P e Q apresentadas a seguir.
• P: Júlia trabalha na área de tecnologia.
• Q: Júlia gosta de ir ao cinema.
Para essas proposições, assinale a alternativa que traduz corretamente, para a linguagem corrente, a 
seguinte expressão lógica: P ↔ ~Q.
A) Júlia trabalha na área de tecnologia se e somente se ela gostar de ir ao cinema.
B) Júlia gosta de ir ao cinema se e somente se ela trabalhar na área de tecnologia.
C) Júlia trabalha na área de tecnologia se e somente se ela não gostar de ir ao cinema.
D) Se Júlia trabalha na área de tecnologia, então ela não gosta de ir ao cinema.
E) Se Júlia não trabalha na área de tecnologia, então ela gosta de ir ao cinema.
Resposta correta: alternativa C.
49
LÓGICA
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: a expressão lógica para “Júlia trabalha na área de tecnologia se e somente se ela gostar 
de ir ao cinema” é: P ↔ Q.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a expressão lógica para “Júlia gosta de ir ao cinema se e somente se ela trabalhar na 
área de tecnologia” é: Q ↔ P.
C) Alternativa correta.
Justificativa: a expressão lógica para “Júlia trabalha na área de tecnologia se e somente se ela não 
gostar de ir ao cinema” é: P ↔ ~Q.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a expressão lógica para “Se Júlia trabalha na área de tecnologia, então ela não gosta 
de ir ao cinema” é: P → ~Q.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a expressão lógica para “Se Júlia não trabalha na área de tecnologia, então ela gosta 
de ir ao cinema” é: ~P → Q.