AULAS ELETRICIDADE APLICADA PDF

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ELETRICIDADE APLICADA
LEI DE OHM E POTÊNCIA
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Olá!
Ao final desta aula, o aluno será capaz de:
1. Utilizar a lei de Ohm para calcular parâmetros como tensão, corrente ou resistência em um circuito elétrico de
corrente contínua.
2. Calcular a potência dissipada por um resistor em um circuito elétrico.
3. Determinar a energia elétrica consumida em um período de tempo por uma carga ligada a uma fonte de tensão.
1 Introdução
A corrente elétrica e a eletricidade propriamente ditas estão presentes ao nosso redor no dia a dia e circulam em
condutores de eletricidade que normalmente são fios de cobre, isolados por uma camada de plástico do tipo PVC.
Os fios de cobre são materiais condutores de eletricidade e o plástico é um material dito isolante.
Nesta aula, veremos o que é a corrente elétrica e sua unidade no Sistema Internacional de Unidades. Veremos
que a corrente elétrica é produzida por uma diferença de potencial elétrico entre dois pontos de um circuito que
é chamado de tensão elétrica e que é responsável pela movimentação dos elétrons no material condutor.
O outro conceito abordado nesta aula é a resistência elétrica, que é a oposição que o material, por onde o fluxo de
elétrons passa, oferece à passagem da corrente elétrica e sua unidade no Sistema Internacional de Unidades.
Veremos, também, que essas três grandezas estão relacionadas entre si pela relação conhecida como LEI de
OHM.
Estudaremos, também, a potência elétrica e sua relação com as três grandezas da LEI de OHM.
2 Corrente elétrica
Se um é conectado aos terminais de uma os elétrons do terminal negativocondutor fonte de tensão contínua 
se movem em direção ao terminal positivo, esse movimento ordenado dos elétrons é denominado corrente
elétrica.
Condutor: Material condutor de eletricidade - Devido à energia térmica, ou seja, o calor que existe no ambiente, 
os elétrons das orbitas mais externas dos átomos dos materiais podem ser facilmente ser libertados dos átomos,
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e por isso são denominados elétrons livres. Os materiais que têm uma quantidade muito grande de elétrons
livres, por exemplo, os metais, são condutores de eletricidade. Os materiais que têm uma quantidade muito
pequena de elétrons livres são considerados isolantes.
Fonte de tensão contínua Dispositivo ou equipamento que fornece entre seus terminais uma diference de: 
potencial elétrico que é medida ém volts. Esta fonte pode ser uma pilha ou bateria ou gerador acionado por uma
força mecânica ou células fotoelétricas.
A quantidade de carga elétrica ∆Q que atravessa uma seção transversal do condutor por um determinado
intervalo de tempo ∆t determina a intensidade da corrente elétrica. A intensidade da Corrente Elétrica é
representada pela letra maiúscula (I) e a unidade da corrente elétrica é o Ampère representado pela letra
maiúscula (A).
Onde:
I: intensidade de corrente elétrica
q: carga elétrica
t: tempo
1 ampère é igual a 1 coulomb por segundo
I = q / t
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A figura acima mostra um condutor com cargas negativas, que são os elétrons, em movimento, todas num
mesmo sentido, formando uma corrente elétrica.
Inicialmente, os cientistas atribuíram o sentido da corrente elétrica como sendo do terminal positivo para o
terminal negativo da fonte de tensão, pois imaginavam que as partículas que se moviam eram cargas positivas.
Posteriormente quando se descobriu que o movimento era de elétrons, definiram-se dois sentidos para a
corrente:
Sentido Real ou Sentido Eletrônico que é do negativo para o positivo e Sentido Convencional que é do positivo
para o negativo. Vamos adotar neste curso, assim como a maioria dos livros o faz, o sentido convencional da
corrente elétrica.
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3 Tensão ou diferença de potencial
Para se manter o fluxo de elétrons fluindo em um condutor é necessário ligar as extremidades do condutor a
dois pontos capazes de transferir energia para os elétrons. Se entre estes dois pontos houver um campo elétrico,
os elétrons se movimentarão entre os dois pontos. Quando isto acontece diz-se que existe uma Diferença de
 ou entre os dois pontos. Assim, a d.d.p. é o agente capaz de produzir a correntePotencial (d.d.p.) Tensão
elétrica em um circuito fechado. O equipamento ou dispositivo que produz a tensão ou d.d.p. entre dois
terminais é a fonte ou gerador de tensão contínua, que é capaz de realizar trabalho, que é a movimentação de
cargas elétricas.
A figura acima mostra um condutor com cargas negativas, que são os elétrons, em movimento, todas num
mesmo sentido, formando uma corrente elétrica.
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4 Resistência elétrica
A diferença de potencial produz a corrente elétrica através de um material condutor, entretanto esta corrente
cessa quando a é retirada.d.d.p.
Existe, então, no material algo que se opõe a esta movimentação dos elétrons, ou seja, há uma oposição a
passagem da corrente elétrica que é denominada .Resistência Elétrica
A unidade de resistência elétrica é o , representada pela letra grega (Ω).Ohm
A resistência elétrica de um material depende da natureza do material, pois cada material tem uma constituição
diferente quanto à organização dos átomos em sua estrutura.
5 Tipos de corrente elétrica
Existem dois tipos de corrente elétrica:
Corrente contínua (CC): A corrente contínua é caracterizada por ter um valor constante e ter um único sentido. 
A figura a seguir mostra um gráfico desse tipo de corrente.
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Corrente alternada (CA): Na corrente alternada, o valor da corrente e seu sentido variam periodicamente com
o tempo. A figura, abaixo, mostra a variação no tempo de um tipo desta corrente.
6 Resistência elétrica
Circuito elétrico é o caminho elétrico pelo qual circula ou pode circular uma corrente elétrica sob efeito de uma d.
d.p. em seus terminais. Na prática um circuito elétrico é composto por pelo menos uma fonte de tensão, uma
carga, condutores e instrumentos de controle. A fonte de tensão pode ser uma bateria ou gerador, os condutores
são os fios, a carga é um resistor, ou uma lâmpada ou um motor ou qualquer outro dispositivo elétrico e o
instrumento de controle é a chave que liga e desliga o circuito.
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O circuito pode ser modelado por um diagrama através de símbolos que representam cada componente do
circuito. Para o gerador ou fonte de tensão contínua os três símbolos mostrados abaixo podem ser utilizados
indistintamente. Estes três símbolos podem ser encontrados em diferentes livros, pois são utilizados por
diferentes autores. Nos dois símbolos da esquerda o traço maior é o terminal positivo da fonte de tensão.
7 Resistor
Resistor é um componente fabricado para ter entre seus terminais um determinado valor de resistência elétrica
que pode ser desde valores muito baixos como décimos de ohms até valores muito altos como milhões de ohms.
O resistor é um componente utilizado em circuitos elétricos e em circuitos eletrônicos. A seguir, vemos a imagem
de um resistor.
O símbolo gráfico de um resistor é mostrado a seguir:
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8 Lei de Ohm
O físico alemão Georg Simon Ohm descobriu a relação existente entre a tensão (d.d.p.), a intensidade de corrente
elétrica e a resistência elétrica e observou que o valor da corrente é diretamente proporcional ao valor da tensão
e inversamente proporcional ao valor da resistência.
V: Diferença de potencial, tensão ou força eletromotriz, em volts (V);
R: Resistência elétrica, em ohms (Ω).
I: Intensidade da corrente elétrica, em ampères (A).
Exemplos de aplicação da lei de Ohm:
1 - No circuito ao lado determine o valor da corrente I
I = V/R = 20/40 = 0,5 A
Resp. 0,5 Ampères
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2 - Por um resistor de 15 W circula a corrente de 2 A. Qual é o valor da diferença de potencial que existe entre
seus terminais?
V= R x I = 15 x 2 = 30 V
Resp.: 30 volts.
Da mesma forma, se conhecermos o valor da tensão e o valor da corrente, podemos calcular o valor da
resistência.
Sempre que usarmos unidades do SI (Sistema Internacional de Unidades) na fórmula, obteremos como resultadoum valor em unidades do SI.
Os valores também podem ser expressos em das unidades principais, conforme suamúltiplos e submúltiplos
magnitude, por exemplo, não é conveniente escrever 5.000.000 W, pois o mais adequado seria MW, que significa
5 x 10 W
Exemplo:
Qual é a tensão que deve ser aplicada a um resistor de 10 kW para que passe por ele uma corrente de 2 mA?
Aplicando a lei de Ohm: V = R x I = 10 x 10 x 2 x 10 = 20 V
Resp.: 20 volts
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9 Potência elétrica e energia elétrica
A definição física de trabalho é: Trabalho = Força x Deslocamento
Quando os elétrons de uma corrente elétrica estão em movimento, sob a ação de uma força eletromotriz, o
trabalho elétrico realizado sobre as cargas elétricas é dado por: (1.5)W = V . q
W: Trabalho elétrico, em Joules (J).
V: Força eletromotriz ou tensão, em volts (V).
Q: Carga elétrica, em coulombs (C).
Da definição de corrente elétrica temos: (1.6) I = q / t ou (1.7)q = I.t
Substituindo a equação (1.7) na equação (1.5): (1.8)W = V . I . t 
A potência elétrica é definida como: (1.9)P = V . I 
Portanto, a energia elétrica, que é o próprio trabalho elétrico é: (1.10)W = P . t
Substituindo a equação (1.2) na equação (1.9) temos: ou (1.11)I = V / R P = V x I P = V . V / R P = V / R2
Substituindo a equação (1.4) na equação (1.9) temos: ou (1.12)V = R . I P = V x I P = R . I . I P = R . I 2
Potência elétrica: A Potência Elétrica é representada pela letra maiúscula (P) e a unidade no SI é o Watt 
representado pela letra maiúscula (W). A potência pode ser calculada pelas fórmulas (1.9), (1.10) e (1.12),
dependendo dos dados disponíveis.
 A Energia Elétrica é representada pela letra maiúscula (W) e a unidade no SI é o JouleEnergia elétrica:
representado pela letra maiúscula (J).
Além destas unidades do SI, são utilizadas outras unidades de potência que não pertencem ao Sistema
Internacional de Unidades (SI), que são:
O cv (cavalo vapor): 1 cv = 736 W
O hp (horse power): 1 hp = 746 W
O kWh é uma unidade de energia amplamente utilizada, que também não pertence ao SI.
Obs.: Quando um resistor consome uma potência, ele consome uma energia que pelo efeito joule é transformada
em calor. Este calor é dissipado no ambiente, dizemos então que a potência consumida é uma potência dissipada.
A seguir, temos alguns exemplos de cálculos de potência e energia em circuitos elétricos:
1 - Em um resistor de 15 W circula uma corrente de 0,2 A. Determine:
a) a potência dissipada pelo resistor;
b) a energia consumida durante 20 s.
a) Como temos os valores de R e de I e queremos o valor de P usaremos a equação (1.12):
P = R . I 2 P = 15 x (0,2)2 = 15 x 0,04 = 0,6 W
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Resp. P = 0,6 W
b) Para calcular a energia consumida, usaremos a equação (1.10):
W = P . t
W = 0,6 x 20 = 12 J
Resp.: W = 12 joules
2 - Um aquecedor é ligado em 120 V e solicita uma corrente de 15 A.
Qual é a potência dissipada por este aquecedor?
Como temos os valores de V e de I e queremos o valor de P, usaremos a equação (1.9):
P = V . I P = 120 x 15 = 1800 W Resp.: P = 1800 W
3 - Um resistor ligado a uma fonte de tensão contínua de 20 V consome 80 W, determine o valor de sua
resistência.
Como temos os valores de P e de V e queremos o valor de R, usaremos a equação (1.11): P = V / R2 portanto R=
20 /802
R = 5 W Resp.: R = 5 W
4 - Um aquecedor de potência de 4 kW é utilizado durante 25 minutos por dia.
Determine a energia total consumida durante 30 dias, em kWh.
Para calcular a energia consumida, usaremos a equação (1.10) W = P. t
A potência é 4 kW e o tempo deve ser calculado em horas para obter kWh.
25 min x 30 = 750 min ou seja, em 30 dias o aquecedor foi utilizado durante 750 minutos. Se dividirmos 750 por
60, teremos o nº de horas em 30 dias.
Nº de horas = 750/60 = 12,5 h Portanto W = 4 x 12,5 = 50 kWh
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você estudará um circuito de corrente contínua com os componentes ligados em série.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu os conceitos básicos sobre eletricidade em corrente contínua, que são tensão, corrente, 
resistência, lei de Ohm e potência e energia elétrica.
•
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ELETRICIDADE APLICADA
CIRCUITO EM SÉRIE
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Calcular a resistência equivalente total de um conjunto de resistores ligados em série.
2. Reconhecer quando dois ou mais elementos de circuito estão conectados em série.
3. Calcular a diferença de potencial sobre um resistor, em um circuito com vários resistores ligados em série,
formando um divisor de tensão.
4. Calcular as potências dissipadas em cada resistor do circuito série ligado a uma fonte de tensão.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos o circuito série, que é um tipo de ligação entre os resistores de forma que a corrente
elétrica só tenha um caminho para percorrer desde que sai do terminal positivo da fonte de tensão contínua até
retornar ao terminal negativo da fonte.
Outro conceito a ser abordado nesta aula é o divisor de tensão, que é um circuito formado por resistores ligados
em série, onde as tensões são divididas proporcionalmente aos valores dos resistores.
Veremos, também, uma fórmula simplificada para o cálculo da diferença de potencial em um resistor num
divisor de tensão, conhecida como regra do divisor de tensão.
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2 O circuito elétrico em série
Os componentes de um circuito elétrico estão conectados em série quando a corrente elétrica que circula por
eles só tem um caminho para percorrer, como mostrado no circuito da figura abaixo:
A corrente I que sai do terminal positivo da Fonte de Tensão V, passa pelo resistor R1, resistor R2 e resistor R3 e
retorna à fonte através do terminal negativo. Como podemos perceber só tem um caminho para percorrer no
circuito.
Quando os resistores estão em série, o valor da resistência total equivalente é a soma de todas as resistências
que estão em série, assim no circuito acima.
RT = R1 + R2 + R3
Isto significa que estes três resistores podem ser substituídos por um de 60 Ω de forma que os dois circuitos
abaixo são equivalentes:
Voltando para o circuito do lado esquerdo, a corrente que passa em cada um dos resistores tem o valor de 2 A.
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A maneira de calcular o valor de I é aplicar a lei de Ohm no circuito da direita. Portanto,
I = V/R = 120 /60 = 2 A
Como os dois circuitos são equivalentes, as duas correntes I terão o mesmo valor.
A lei de Ohm pode agora ser aplicada separadamente em cada resistor para calcular a diferença de potencial a
que cada um deles está submetido, conforme indicado no circuito abaixo:
V1 = R1.I = 18.2 = 36V
V2 = R2.I = 12.2 = 24V
V3 = R3.I = 30.2 = 60V
Observe que a tensão total V é a soma de V1 + V2 + V3, ou seja, 120 = 36 + 24 + 30.
Em um circuito série a corrente passa através da fonte de tensão e dos resistores.
Quando a corrente passa através da fonte o valor da tensão aumenta e quando passa por um resistor o valor da
tensão é reduzido, ou seja, há uma queda de tensão e a tensão tem uma polaridade + (mais) no lado onde a
corrente entra e – (menos) onde a corrente sai, como pode ser observado no circuito da figura acima.
Um circuito com uma fonte de tensão e dois ou mais resistores em série é chamado de divisor de tensão, pois a
tensão da fonte é dividida em cada resistor proporcionalmente aos valores dos resistores. Se um resistor tem o
dobro do valor do outro, terá o dobro da tensão do outro, como pode ser visto no circuito abaixo.
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3 Diferença de potencial
Vamos ver agora uma fórmula simplificada para calcular a diferença de potencial - queda de tensão - em um
determinado resistor do divisor de tensão, por exemplo, a tensão V2 no resistor R2 no circuito abaixo:
Tivemos que usar três fórmulas para calcular V2, entretanto, podemos agrupar estas três fórmulas ,em uma só
como mostrado a seguir. Esta fórmula é chamada regra do divisor de tensão. Se quisermos calcular a tensão nos
terminais de R1 multiplicamos a tensão da fonte pelo valor do R1 e dividimos pelo valorda resistência total. Se
quisermos saber o valor da tensão em R3 multiplicamos pelo valor de R3, e assim por diante.
Na geração de energia elétrica um dos terminais do gerador é conectado a uma haste de cobre que é enterrada
no solo, que serve de referência para a tensão gerada. Esta ligação ao solo é conhecida como terra e tem o
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potencial elétrico igual a zero volt, pois o solo é eletricamente neutro não possuindo carga elétrica negativa nem
positiva.
Da mesma forma todo circuito elétrico tem um ponto escolhido como ponto de referência, que é o terra do
circuito. Este ponto de referência é o ponto do circuito onde a tensão é zero volt.
No circuito abaixo, identificamos cada conexão com uma letra e o ponto D é o ponto onde o resistor R3 e o
terminal negativo da fonte de tensão estão conectados à terra. O símbolo que aparece conectado ao ponto D é o
símbolo de terra.
Diferença de potencial ou tensão: É uma grandeza relativa entre dois pontos, sendo um deles a referência. A
tensão de uma fonte de tensão é medida entre os dois terminais da fonte. Normalmente, o terminal negativo é
usado como referência, então terá uma tensão positiva no terminal positivo em relação à referência.
4 Potência elétrica total
A potência elétrica total consumida pelos resistores ligados em série com uma fonte de tensão será a soma das
potências consumidas individualmente em cada um dos resistores.
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Relembrando
Como vimos na primeira aula, para o cálculo da potência podemos utilizar qualquer uma das três fórmulas
acima, observando que se a potência dissipada é sobre R1 a diferença de potencial utilizada no cálculo tem que
ser aquela aplicada em R1. Isto vale para R2 e para R3 e para outros resistores que existirem no circuito.
Atividade proposta
No circuito a seguir, veremos como calcular as potências dissipadas por resistor e a potência total entregue pela
fonte de tensão ao circuito:
Temos três fórmulas para calcular a potência:
• A potência P1 dissipada em R1 usando a primeira fórmula: P=V. I
• P2 dissipada em R2 usando a segunda fórmula: P= V /R2
• P3 dissipada em R3 e P4 dissipada em R4 usando a terceira fórmula: P=R.I2
Conferir
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A potência total dissipada é a soma das potências dissipadas em cada resistor, ou seja,
P = P + P + P + PT 1 2 3 4
PT = 18 mW + 10,8 mW + 16,2 mW + 135 mW = 180 mW
Podemos calcular a potência fornecida pela fonte multiplicando o valor da tensão da fonte pelo valor da corrente
fornecida pela fonte, que deve dar o mesmo valor da potência total consumida pelo circuito.
Potência fornecida pela fonte.
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você estudará um circuito de corrente contínua com os componentes ligados em paralelo.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Compreendeu o comportamento de um circuito com fonte de tensão contínua e resistores ligados em 
série.
• Aprendeu a calcular a resistência equivalente ao total do circuito e à corrente que passa pelo circuito.
• Aprendeu a calcular a diferença de potencial em cada resistor do circuito.
• Aprendeu como é formado um divisor de tensão.
• Aprendeu que a potência total consumida pelo circuito é igual à potência fornecida pela fonte de tensão.
Saiba mais
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, pesquise na internet sites, vídeos e
artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu professor
online utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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ELETRICIDADE APLICADA
CIRCUITO PARALELO
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Calcular a resistência equivalente total de um conjunto de resistores ligados em paralelo.
2. Reconhecer quando dois ou mais elementos de circuito estão conectados em paralelo.
3. Calcular a corrente que circula por um resistor, em um circuito com vários resistores ligados em paralelo,
formando um divisor de corrente.
4. Calcular as potências dissipadas em cada resistor do circuito paralelo ligado a uma fonte de tensão.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos o circuito paralelo, que é um tipo de ligação entre os resistores de forma que a corrente
elétrica tenha vários caminhos para percorrer desde que sai do terminal negativo da fonte.
Outro conceito a ser abordado nesta aula é o divisor de corrente, que é um circuito formado por resistores
ligados em paralelo, onde a tensão é a mesma, mas a corrente é dividida inversamente proporcional aos valores
dos resistores.
Veremos também, uma fórmula simplificada para o cálculo do divisor de corrente, para o caso em que se tenham
dois resistores em paralelo.
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2 Circuito paralelo
Dois componentes de um circuito elétrico estão conectados em paralelo quando têm dois pontos em comum.
Vejamos o exemplo de dois resistores em paralelo:
Agora, observe três resistores, R1, R2 e R3 conectados em paralelo com uma fonte de tensão contínua de valor V.
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Quando os resistores estão conectados em paralelo a diferença de potencial é a mesma em todos os resistores.
Na figura acima, podemos observar que V = V1 = V2 = V3 por que os terminais dos resistores estão
interligados e a tensão da fonte é aplicada simultaneamente em todos os resistores.
A corrente IT que sai da fonte de tensão ao percorrer o circuito se divide em três parcelas, I1, I2 e I3, através de
R1, R2 e R3.
Aplicando a lei de Ohm em cada resistor, teremos:
Podemos concluir que IT = I1 + I2 + I3
Exemplo
Três resistores estão ligados em paralelo a uma fonte de tensão contínua, conforme circuito da fig. 3. O valor de
I1 é 15 mA, o valor de I2 é 25 mA e o valor de I3 é 30 mA. Determinando o valor da corrente total fornecida pela
fonte, temos:
IT = 15 + 25 +30 = 70 mA
A resistência total equivalente dos resistores em paralelo pode se calculada aplicando a lei de Ohm, dividindo o
valor da tensão da fonte pelo valor da corrente total, como se segue:
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Esta fórmula pode ser aplicada quando os resistores estão ligados a uma fonte de tensão de valor conhecido e
conhecemos o valor da corrente total.
Quando só conhecemos os valores dos resistores, calculamos o valor da resistência total equivalente através da
fórmula:
Exemplo:
No circuito da figura abaixo, temos três resistores em paralelo. Determinemos o valor da resistência total
equivalente:
Se incluirmos mais um resistor em paralelo com os três resistores do circuito anterior, teremos o circuito abaixo:
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A resistência total equivalente será:
Sempre que se adiciona mais um resistor em paralelo a resistência equivalente diminui.
Uma outra propriedade dos resistores em paralelo é que a resistência equivalente total é menor do que o menor
resistor do conjunto que estiver em paralelo.
3 Fórmula para dois resistores em paralelo
Quando têm somente dois resistores em paralelo a fórmula
trabalhada algebricamente resulta em
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Então, quando temos dois resistores em paralelo a resistência equivalente é o produto dividido pela soma dos
valores dos resistores.
Exemplo:
Determine o valor da resistência equivalente dos resistores de 360 Ω em paralelo com 180 Ω.
Quando temos dois resistores de valores iguais, a resistência equivalente será metade do valor do resistor. Veja
no exemplo a seguir:
Da mesma forma quando tivermos três resistores de valores iguais à resistência equivalente será o valor da
resistência dividido por três, e no caso de (n) resistores de valores iguais será o valor da resistência dividido por
(n).
Em um circuito com vários resistores em paralelo, quando se conhece o valor da tensão da fonte, como no
exemplo a seguir, calcula-se a corrente em cada resistor, aplicando a lei de Ohm, dividindo o valor da tensão pelo
valor de cada resistor.
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4 Diferença de potencial
Pode-se então calcular a corrente total somando-se as correntes que passam em cada resistor, como mostrado a
seguir:
I = I + I + I + I = 0,5+0,9+0,6 = 2mAT 1 2 2 3 
A resistência total equivalente do circuito pode agora ser obtida aplicando a lei deOhm, dividindo o valor da
tensão da fonte pelo valor da corrente total, sendo assim:
Outra maneira de calcular a resistência equivalente de resistores em paralelo é utilizar a fórmula simplificada do
produto dividido pela soma, simplificar o circuito e utilizar novamente a fórmula quantas vezes for necessário.
Como exemplo, vamos calcular novamente a resistência total equivalente do circuito do exemplo anterior, que
está apresentado novamente a seguir:
A resistência equivalente do resistor R2 em paralelo com R3 é:
Na fórmula foram colocados os valores em kΩ e em consequência foi obtido o resultado em kΩ.
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O circuito então pode ser simplificado e ficar com o resistor de 18 kΩ em paralelo com o resistor equivalente de
6 kΩ, calculado, como mostrado no circuito da figura ao lado:
Agora, novamente aplicamos a fórmula de dois resistores em paralelo e finalmente obtemos o resultado final:
Da mesma forma que no cálculo anterior os valores da fórmula estão em kΩ e o resultado obtido está em kΩ.
5 Divisor de corrente
Observe o circuito a seguir, a corrente IT que chega aos resistores R1 e R2 que estão ligados em paralelo se
divide em I1 e I2. Podemos calcular a corrente I1 e I2 usando as seguintes fórmulas:
Esta fórmula é conhecida como regra do divisor de corrente.
Exemplo:
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Determine os valores das correntes I1 e I2 no circuito abaixo:
6 Potência
Para o cálculo da potência dissipada pelos resistores, não há diferença se os resistores estão ligados em série ou
em paralelo. Calcula-se da mesma maneira, utilizando as mesmas fórmulas e a potência total consumida será a
soma das potências dissipadas por resistor.
Exemplo:
Determine a potência dissipada pelo resistor de 10 kΩ no circuito abaixo e a potência total fornecida pela fonte.
Como conhecemos o valor de V e o valor de R podemos aplicar a fórmula: P=V /R2
Então, teremos:
A corrente IT fornecida pela fonte já foi calculada para este circuito em um exemplo anterior, quando se calculou
a resistência total equivalente e resultou em IT = 2 mA, portanto:
Para este cálculo, podemos aplicar a fórmula: P=V.I
Então:
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O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você estudará sobre baterias, que é um tipo de fonte de tensão contínua.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Compreendeu o comportamento de um circuito com fonte de tensão contínua e resistores ligados em 
paralelo.
• Aprendeu a calcular a resistência equivalente total do circuito e a corrente total fornecida ao circuito.
• Aprendeu a calcular a corrente que circula em cada resistor do circuito.
• Aprendeu como a corrente se divide em um divisor de corrente.
• Aprendeu que a potência total consumida pelo circuito é igual à potência fornecida pela fonte de tensão.
Saiba mais
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, pesquise na internet sites, vídeos e
artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu professor
online utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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ELETRICIDADE APLICADA
BATERIAS
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Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Calcular o tempo que uma bateria pode funcionar com uma determinada carga, conhecendo sua capacidade.
2. Associar baterias em série ou em paralelo para obter valores maiores de tensão ou maior capacidade de
corrente.
3. Calcular a resistência interna de uma bateria.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos a fonte de tensão contínua que utiliza a conversão de energia química em energia
elétrica, que é conhecida como a pilha ou a bateria.
O conceito principal que será abordado é de como a pilha ou célula química é constituída.
Estudaremos a associação de baterias para a obtenção de capacidades maiores de tensão e de corrente.
Uma bateria é a fonte de tensão contínua mais comum entre as fontes existentes.
O nome bateria é derivado da expressão “bateria de células” que consiste na combinação de duas ou mais células
de geração de energia pela conversão de energia química em energia elétrica.
As células são classificadas em:
Primárias – não carregáveis 
Secundárias – recarregáveis
A célula primária também é conhecida como pilha voltaica. Desta forma várias células ou várias pilhas
interligadas formam uma bateria de pilhas ou uma bateria de células.
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Para o leigo a pilha é aquela que não pode ser recarregada e a bateria é aquela que pode ser recarregada.
2 Tipos de pilhas e baterias
Pilhas:
Pilha de zinco carbono
Pilha alcalina
Pilha de Edson
Baterias:
Bateria de níquel-cádmo
Bateria de chumbo –ácido
Bateria de mercúrio
Bateria de ionlítio
2.1 Pilha de zinco
É o tipo mais antigo.
É construída com uma haste de carbono dentro de um invólucro de zinco preenchido com uma mistura química
pastosa.
É uma célula primária e produz uma tensão de cerca de 1,5V.
Veja na figura como é a estrutura interna.
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2.2 Pilha alcalina
A pilha alcalina é uma célula primária, portanto não recarregável, e consegue armazenar mais carga que a célula
de zinco carbono, tendo em consequência uma duração bem maior. A tensão produzida pela célula alcalina
também é 1,5V.
2.3 Bateria de níquel-cádmio
A bateria de níquel-cádmio é uma célula secundária, recarregável, com eletrólito de hidróxido de potássio, o
eletrodo negativo é hidróxido de níquel e o eletrodo positivo é o óxido de cádmio.
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Esta célula produz uma tensão de 1,25V e é fabricada em diversos tamanhos, inclusive em forma de pastilhas.
Costuma ser utilizada em rádios de comunicação.
2.4 Bateria de chumbo-ácido
É a bateria utilizada em automóveis. É composta de seis células de 2,1V. É uma bateria grande, em tamanho e de
grande capacidade de armazenamento de energia. Sua tensão nominal é 12,6V, apesar de ser conhecida como
bateria de 12V. A figura ao lado mostra uma bateria de chumbo-ácido.
Todas as pilhas e baterias descritas anteriormente são pilhas e baterias secas, ou seja, o eletrólito é pastoso, mas
a bateria de chumbo-ácido é uma bateria úmida, pois tem um eletrólito líquido.
- -6
2.5 Pilha de Edson
Pilha alcalina de níquel e ferro. É uma célula secundária mais resistente e mais leve que a célula da bateria
chumbo-ácido. Tem uma tensão de 1,4V.
Quando a tensão chega a 1V, ela precisa ser recarregada. A placa positiva é formada por níquel e hidrato de
níquel e a placa negativa é formada por ferro.
É uma bateria úmida, pois o eletrólito é líquido.
É uma bateria que precisa de manutenção, pois com a evaporação o nível do eletrólito diminui e é preciso
manter o nível correto adicionando água destilada.
Usada para aplicações industriais.
2.6 Bateria de mercúrio
É encontrada em dois formatos:
• pastilha
• ou cilíndrica, que parece com as pilhas convencionais.
Uma célula de mercúrio produz 1,35V. Uma bateria típica é formada por três células chatas. As pilhas e baterias
de mercúrio têm vida útil longa e são resistentes, produzem uma tensão de saída constante, para diferentes
valores de corrente de carga.
São utilizadas em muitos produtos diferentes, como relógios, aparelhos de surdez, instrumentos de testes,
sistemas de alarme entre outros.
•
•
- -7
2.7 Bateria de níquel hidreto-metálico
É um híbrido de células de níquel-cádmio e níquel-hidrogênio que combina as características positivas de cada
uma, resultando em uma bateria de alta capacidade de armazenamento de energia em um espaço pequeno, com
vida útil elevada.
O número de células e consequentemente a tensão varia em função do local onde vai ser utilizada.
É uma bateria mais cara e é utilizada em computadores portáteis.
2.8 Bateria de ion-lítio
Tipo de bateria recarregável muito utilizada em equipamentos eletrônicos portáteis.
Armazenam o dobro da energia de uma bateria de hidreto metálico de níquel (ou NiMH) e três vezes mais de
uma bateria de níquel cádmio (ou NiCd).
- -8
Em relação a outras, são as baterias recarregáveis com maior capacidade de armazenamento de energia,
atualmente existentes. Por isso são tão populares, estando em laptops,PDAs, telefones celulares e iPods.
Simbologia
Nos diagramas elétricos o símbolo de uma bateria é o mesmo símbolo de uma fonte de tensão contínua:
3 Capacidade de uma bateria
A capacidade de uma bateria determina o tempo que ela funcionará com uma determinada corrente de descarga.
- -9
A especificação da capacidade de uma pilha ou de uma bateria é dada em ampères-horas (Ah) ou miliampères-
horas (mAh). Uma bateria de 40Ah é capaz de pelo menos teoricamente manter a corrente de 1A sobre uma
carga durante 40 horas.
Exemplo:
Uma lanterna utiliza duas pilhas grandes de zinco-carbono, conhecida como tipo D, cada uma com 1,5V,
conectadas em série, fornecendo 3V para uma lâmpada de 1,5W que drena uma corrente de 0,5A. A pilha tipo D
tem uma capacidade de aproximadamente 6 Ah.
Se a lanterna ficar acesa continuamente com as pilhas inicialmente com toda a carga, quanto tempo em horas
decorrerá até que as pilhas estejam totalmente descarregadas?
Solução: A capacidade é 6Ah e a corrente é 0,5A, portanto o tempo é 6 / 0,5 = 12 horas.
4 Resistência interna de uma bateria
A bateria é uma fonte de tensão contínua e como toda fonte de tensão tem uma resistência interna, representada
por Ri. A resistência interna da bateria é a resistência do eletrólito entre os eletrodos.
Quando não está fluindo corrente da bateria não passa corrente através da resistência interna e a tensão nos
terminais é a própria tensão da bateria (VB).
Quando uma carga RL é ligada na bateria e drena uma corrente IL, esta corrente passa através da Ri diminuindo
o valor da tensão nos terminais.
Sendo o valor da tensão da bateria igual a VB e o valor da tensão na carga igual a VL.
Exemplo:
Uma bateria tem uma tensão sem carga de 12V, ou seja, a tensão de circuito aberto é de 12V.
Sua resistência interna é 10Ω. Determine qual será a tensão VL aplicada sobre um resistor de 150Ω.
- -10
O circuito a seguir ilustra o problema:
5 Ligação em série
Quando várias pilhas ou baterias são ligadas em série a tensão total resultante será a soma das tensões,
conforme ilustrado nas figuras a seguir, mas a capacidade em Ah não aumenta, pois a corrente não aumenta:
Ligação em série:
Tensão total = soma das tensões
Capacidade não muda.
- -11
As pilhas ou baterias podem ser ligadas em paralelo, desde que sejam do mesmo tipo e tenham a mesma tensão.
Este tipo de ligação é feito quando se deseja aumentar a capacidade de fornecimento de corrente para a carga.
Neste caso, a tensão contínua a mesma, mas a capacidade em Ah é multiplicada pelo número de pilhas ou
baterias. As figuras, abaixo, ilustram este tipo de ligação:
Ligação em paralelo
Tensão não muda
Capacidade = número de pilhas ou baterias X Ah
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, conheceremos: As leis de Kirchhoff para as tensões e para as correntes.
Saiba mais
Para saber mais sobre os tópicos estudados nesta aula, pesquise na internet sites, vídeos e
artigos relacionados ao conteúdo visto. Se ainda tiver alguma dúvida, fale com seu professor
online utilizando os recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
- -12
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Compreendeu o funcionamento de uma pilha ou bateria.
• Aprendeu a calcular a resistência interna de uma bateria.
• Aprendeu a associar várias baterias para obter uma tensão maior ou uma capacidade de corrente maior.
•
•
•
- -1
ELETRICIDADE APLICADA
LEIS DE KIRCHHOFF PARA A TENSÃO E 
PARA A CORRENTE
- -2
Olá!
1. Calcular o valor desconhecido de uma tensão em um componente de circuito em uma malha fechada, quando
se conhece os outros valores de tensão.
2. Calcular o valor desconhecido de uma corrente em um nó de circuito, quando se conhece os outros valores de
corrente que chegam e saem do nó.
3. Aplicar a lei de Kirchhoff para as tensões para auxiliar no cálculo das tensões e correntes em um circuito
elétrico.
4. Aplicar a lei de Kirchhoff para as correntes para auxiliar no cálculo das tensões e correntes em um circuito
elétrico.
1 Introdução
Nesta aula estudaremos as leis de Kirchhoff para a tensão e para a corrente.
A lei de Kirchhoff para a tensão é também conhecida como lei das malhas.
A lei de Kirchhoff para a corrente é também conhecida como lei dos nós.
As leis de Kirchhoff facilitam a resolução de circuitos que contenham de resistores, mas antesassociação mista
é necessário estabelecer os conceitos de nó, ramo e malha que serão os conceitos iniciais a serem abordados. Em
seguida veremos as aplicações das leis em circuitos.
- -3
2 Nó, ramo e malha
Nó: É qualquer ponto do circuito onde estão ligados três ou mais condutores. No circuito ao lado há dois nós,
indicados pelas letras: b e e.
Ramo: É qualquer trecho do circuito compreendido entre dois nós consecutivos. No circuito ao lado há três 
ramos, indicados pelas letras: b-e, b-c-d-e e b-a-f-e.
Malha: É qualquer circuito fechado, formado por ramos. No circuito considerado, há três malhas: a-b-e-f-a, b-c-d- 
e-b e a-b-c-d-e-f-a.
3 Lei de Kirchhoff para corrente ou lei dos nós
A lei de Kirchhoff para corrente ou lei dos nós, também é conhecida como .1ª lei de Kirchhoff
Ela afirma que a soma algébrica das correntes que chegam a um nó é igual a soma algébrica das correntes que
saem deste nó.
Neste circuito duas correntes entram no nó e sai uma corrente que é a soma das duas.
- -4
Neste circuito uma corrente entra no nó e se divide em três que saem do nó.
Veja esse exemplo:
No circuito abaixo I2 = 5 mA e I3 = 8 mA, determine I1.
Resposta:
I1+ I2 = I3
I1+5 = 8
Portanto I1 = 8 – 5 = 3 mA
Lei de Kirchhoff para a tensão ou lei das malhas
A lei de Kirchhoff para a tensão ou lei das malhas, também conhecida como .2ª lei de Kirchhoff
Ela afirma que a soma algébrica das tensões em uma malha fechada é igual a zero.
Em um circuito elétrico de corrente contínua a corrente convencional sai do terminal positivo da fonte de tensão,
percorre o circuito e retorna ao terminal negativo da fonte de tensão.
- -5
A corrente ao percorrer o circuito polariza com sinal positivo o lado do resistor onde entra e com sinal negativo
o lado do resistor onde sai, de maneira que estabelece uma diferença de potencial ou queda de tensão nos
terminais de cada resistor por onde a corrente passa.
Observe a polaridade das tensões em cada resistor nos dois circuitos abaixo.
Usando esses circuitos e aplicando a lei de Ohm cada tensão foi calculada através das fórmulas:
V =R .I1 1
V =R .I2 2
V =R .I3 3
De acordo com a lei de Kirchhoff para a tensão, aplicada no segundo circuito acima, temos a seguinte equação:
V-V -V -V =01 2 3
Lei de Kirchhoff para a tensão ou lei das malhas – EXEMPLOS
Exemplo 1
No circuito, determine V1, V2 e V3 e verifique se o somatório das tensões na malha é igual a zero.
- -6
Equação da lei de Kirchhoff das tensões:
V-V -V -V =01 2 3
Ou
120-36-24-60-0
Exemplo 2
No circuito abaixo, determine o valor da tensão V2, utilizando a lei de Kirchhoff para a tensão.
Escrevendo a equação da lei de Kirchhoff para a tensão, temos:
+28-4-V -16=0
2
28-20=V
2
V -8v
2
Exemplo 3
Vamos ver agora um exemplo de um circuito com duas malhas onde temos um somatório de tensões e a corrente
se dividindo em um nó. Observe o circuito da figura apresentada a seguir:
- -7
Para aplicar a lei de Kirchhoff para a tensão escolhe-se um nó qualquer da malha em questão e percorre-se a
malha no sentido horário anotando a variação da tensão em cada componente do circuito. Se a tensão aumenta, o
valor desta tensão é somado, se a tensão diminui, o valor é subtraído. A soma das elevações e das diminuições
das tensões é zero.
No circuito acima, na malha b-c-d-e a soma algébrica das tensões é: +V2 – V4 – V5 = 0.
Na malha a-b-e-f a soma algébrica das tensões é: +V –V1 –V2-V3 = 0
A corrente I1 ao chegar ao nó b se divide, sendo igual à soma de I2 com I4. I4 é igual a I5. E no nó e I3 é soma de
I5 com I2.
Exemplo 4
Veremos agora um exemplo numérico utilizando o mesmo circuito mostrado acima. Determine V4:A equação da lei de Kirchhoff para tensão, da malha do lado esquerdo é:
V-V -V -V =0 ou 36-18-6-12=0
1 2 3
Exemplo 5
Exemplo de aplicação da lei de Kirchhoff para corrente.
No circuito abaixo determine I3 e I5.
- -8
No nó a chegam I1 = 4 A e I2 = 3 A e sai I3.
Portanto: I3 = I1 + I2 = 4 + 3
I3 = 7A
No nó b chegam I3 = 7 A, sai I4 = 1 A e sai I5.
Portanto I5 = I3 – I4 = 7 – 1
I5 = 6 A
O que vem na próxima aula
Método das Correntes de Malha para análise de circuitos.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Reconheceu que existem duas leis de Kirchhoff: Lei de Kirchhoff para a tensão e Lei de Kirchhoff para a 
corrente.
• Compreendeu que a aplicação destas leis é essencial para o cálculo e a resolução dos circuitos elétricos.
• Aprendeu a calcular uma tensão desconhecida em uma malha fechada e uma corrente desconhecida em 
um nó de um circuito elétrico.
•
•
•
- -1
ELETRICIDADE APLICADA
MÉTODO DAS CORRENTES DE MALHA 
PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Equacionar as correntes de malha de um circuito de corrente contínua.
2. Calcular o valor das correntes de malha de um circuito de corrente contínua.
3. Utilizar o método das correntes de malha para determinar o valor de uma corrente ou tensão em qualquer
componente de um circuito de corrente contínua.
1 Introdução
Nesta aula estudaremos o Método das Correntes de Malha para análise de circuitos. Alguns circuitos possuem
mais de uma malha e mais de uma fonte que estão situadas em malhas diferentes. Torna-se então muito difícil
simplificar o circuito e reduzi-lo a uma única fonte e um único resistor para se calcular a corrente total e retornar
passo a passo, como se faz no caso de um circuito com uma fonte.
Para resolver estes circuitos, diversos métodos de análise de circuitos podem ser empregados, sendo que um
destes métodos é o das correntes de malha.
O método das correntes de malha para análise de circuitos é baseado na lei de Kirchhoff para a tensão.
A cada malha do circuito é associada uma corrente de malha e aplicada a lei de Kirchhoff, resultando em uma
equação, como será visto mais a frente.
Se o circuito tiver duas malhas terá duas equações, se tiver três malhas terá três equações e assim por diante.
2 Método das correntes de malha para análise de circuitos
Quando um circuito tem mais de uma malha e mais de uma fonte, como por exemplo, o circuito da figura abaixo,
é necessário utilizar algum método específico para resolução de circuitos. Nesta aula o método a ser utilizado
será o método das correntes das malhas.
- -3
Por exemplo, no circuito acima se deseja calcular a corrente que passa pelo resistor R2 e a tensão em seus
terminais. Para atingir este objetivo utilizamos o método das correntes das malhas.
Para aplicar o método a seguinte sistemática deve ser seguida:
Associe uma corrente no sentido horário a cada malha fechada do circuito. Não é absolutamente necessário
escolher o sentido horário para todas as correntes de malha, mas usaremos o sentido horário como padrão, para
uniformizar o processo.
Indique as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente da malha.
Um resistor que seja comum a duas malhas receberá duas polaridades de acordo com as correntes de cada
malha. Observe as polaridades do resistor R2 no circuito abaixo, pode-se ver do lado esquerdo a polaridade
devido à corrente e do lado direito a polaridade devido à corrente :I
1
I
2
Aplique a lei de Kirchhoff para tensão em todas as malhas, no sentido horário. Aplicar a lei de Kirchhoff significa
partir de um ponto da malha e no sentido horário somar a tensão quando a tensão aumenta e subtrair a tensão
quando a tensão diminui, em cada resistor e nas fontes, até chegar ao ponto de partida e igualar o somatório a
zero.
Se um resistor é percorrido por duas ou mais correntes de malha a corrente total que o atravessa será a soma
das correntes de malha que tenham o mesmo sentido menos as correntes que tenham sentido oposto.
A polaridade de uma fonte não é afetada pelo sentido da corrente de malha.
- -4
Se o circuito tem duas malhas, será obtido um sistema com duas equações e duas incógnitas.
Resolva as equações lineares resultantes para obter os valores das correntes de malha.
No circuito acima as equações são:
V - I R - I R + I R - 0
A 1 1 1. 2 2 2 
-V - I R - I R - I R = 0
B 2. 2 1. 2 2. 3 
As duas equações ficam:
(R1+R2) I - R I = V
1 2. 2 A
R I – (R +R ) I = V
3. 1 2 3 2 B
Temos um sistema com duas equações e duas incógnitas onde as duas incógnitas são: I1 e I2.
Vamos repetir a análise acima para um circuito com valores numéricos.
Vamos considerar o circuito a seguir:
Primeiro passo
Associar uma corrente no sentido horário a cada malha fechada do circuito, conforme mostrado no circuito
abaixo:
- -5
Segundo passo
Indicar as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente da malha,
conforme mostrado no circuito abaixo.
Terceiro passo
Escrever a equação da lei de Kirchhoff para cada malha, conforme mostrado a seguir:
Malha 1 10 - 2. - 4. + 4. = 0 I
1
I
1
I
2
Malha 2 -2 -4. + 4. - 1. = 0 I
2
I
1
I
2
Simplificando, as equações ficam:
Malha 1 -6. + 4. = -10 I
1
I
2
Malha 2 4. - 5./ = 2 I
1 2
Este sistema com duas equações e duas incógnitas pode ser resolvido pelo método da adição ou pelo método da
substituição ou ainda por determinantes. As incógnitas são: e I
1
I
2
Se você não se recorda destes métodos faça uma revisão destes tópicos nos livros de matemática.
Vamos resolver este sistema de equações pelo método da adição, que consiste em somar as duas equações de
forma a anular uma das incógnitas e calcular a outra incógnita.
- -6
Para anular a incógnita I1 multiplica-se a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. As
equações ficam:
Malha 1 -6. + 4. = -10 x(2)= -12 + 8 = -20 I
1
I
2
I
1 
I
2
Malha 2 4. - 5./ = 2 x(3)= 12 - 15. I = 6 I
1 2
I
1 2
Somando a primeira equação com a segunda a parcela de I1 é anulada e a equação fica:
Agora o valor de I2 pode ser substituído em qualquer uma das duas equações para calcular o valor de I1.
Vamos substituir I2 na primeira equação.
As correntes de malha são:
I
1 
= 3 e = 2A I
2
A
No resistor R2 de 4 a corrente passa de cima para baixo e a corrente passa de baixo para cima.Ω I
1
I
2
A corrente resultante é - = 3 - 2 = 1A que flui de cima para baixo produzindo uma queda de tensão coml
1
I
2
polaridade positiva no lado superior onde a corrente entra e negativa no lado inferior onde a corrente sai.
Aplicando a lei de Ohm esta d.d.p. será:
V = R . = 4.1 = 
R2 2
I 4V
Vamos ver agora um exemplo de um circuito com três malhas:
- -7
Primeiro passo
Associar uma corrente no sentido horário a cada malha fechada do circuito, conforme mostrado no circuito
abaixo:
Segundo passo
Indicar as polaridades de cada resistor dentro de cada malha, de acordo com o sentido da corrente da malha,
conforme mostrado no circuito abaixo:
- -8
Terceiro passo
Escrever a equação da lei de Kirchhoff para cada malha, conforme mostrado a seguir:
Malha 1 15 - 3. - 6. + 6. = 0I
1
I
1 
I
2
Malha 2 -6. - 6. - 10. - 4. + 4. = 0 I
1
I
2
I
1
I
2
I
3
Malha 3 -4. + 4. - 2. - 8 = 0I
3
I
2
I
3
Simplificando, as equações ficam:
Malha 1 -9. + 6. = -15 I
1
I
2
Malha 2 6. - 20. + 4. = 2 I
1
I
2
I
3
Malha 3 4. - 6. = 8 I
2
I
3
A resolução deste sistema de equações pode ser feita por determinantes ou pelo método da substituição.
Se na equação da malha 1 nós calcularmos o valor de I em função de I e substituirmos nas duas outras
1 2
equações, a incógnita I desaparece e fica um sistema com duas equações e duas incógnitas I e I , que já
1 2 3
sabemos resolver.
Da equação da malha 1 temos: -9. = -15 - 6. portanto:I
1
I
2
A equação da malha 3 não tem I , de forma que basta substituir I na equação da malha 2:
1 1
- -9
As duas equações então ficam:
Malha2 -16. + 4. = -10 I
2
I
3
Malha 3 4. - 6. = 8I
2
I
3
Dividindo a primeira equação por 4, temos:
Tenha em mente que as correntes de malha são correntes utilizadas no processo de cálculo e são sempre
arbitradas no sentido horário, independente do sentido real das correntes no circuito. Quando um resistor é
percorrido por mais de uma corrente de malha, a corrente real que passa por ele é a soma das correntes de
malha se tiverem o mesmo sentido ou a diferença das correntes se tiverem sentidos opostos e o sentido da
corrente real é o sentido da corrente que tiver o maior valor.
Quando uma corrente de malha tem valor com sinal negativo significa que a corrente real tem sentido oposto ao
sentido arbitrado.
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você:
Estudará o Método das Tensões nos nós para análise de circuitos.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que existem circuitos que precisam de métodos específicos de análise de circuitos para serem •
- -10
• Aprendeu que existem circuitos que precisam de métodos específicos de análise de circuitos para serem 
resolvidos.
• Aprendeu como equacionar cada malha para chegar ao sistema de equações do circuito.
• Compreendeu como utilizar o método das correntes das malhas para resolução de circuitos.
•
•
•
- -1
ELETRICIDADE APLICADA
MÉTODO DAS TENSÕES NOS NÓS PARA 
ANÁLISE DE CIRCUITO
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Determinar o número de nós do circuito.
2. Aplicar a lei de Kirchhoff para a corrente aos nós essenciais ou principais.
3. Resolver o sistema de equações resultante e calcular as tensões nos nós.
1 Introdução
Nesta aula estudaremos o Método das Tensões nos Nós para análise de circuitos.
Alguns circuitos possuem mais de uma malha e mais de uma fonte que estão situadas em malhas diferentes e
consequentemente têm vários nós. Torna-se então muito difícil simplificar o circuito e reduzi-lo a uma única
fonte e um único resistor para se calcular a corrente total e retornar passo a passo, como se faz no caso de um
circuito com uma fonte, para calcular as tensões nos diversos pontos do circuito.
Para resolver estes circuitos, diversos métodos de análise de circuitos podem ser empregados, sendo que um
destes métodos é o das tensões nos nós.
Um nó simples é uma junção de dois ou mais ramos, um nó essencial ou principal é uma junção de três ou mais
ramos. Em todo circuito haverá um nó de referência em que a tensão será zero volt.
O método das tensões nos nós para análise de circuitos é baseado na lei de Kirchhoff para a corrente. A cada nó
do circuito é associada a uma tensão e aplicada à lei de Kirchhoff para corrente, resultando em uma equação,
como será visto mais à frente. Portanto para um circuito de N nós, existirão (N – 1) nós com uma tensão fixa em
relação ao nó de referência e (N – 1 ) equações nodais.
- -3
Quando um circuito tem mais de uma malha e mais de uma fonte, como por exemplo, o circuito da figura abaixo,
é necessário utilizar algum método específico para resolução de circuitos. Nesta aula, o método a ser utilizado
será o método das tensões nos nós.
Nó simples é uma junção de dois ou mais ramos ou ainda a junção de dois componentes. No circuito acima a
junção da fonte de tensão VA com o resistor R1 é um nó simples, a junção da fonte de tensão VB com o resistor
R3 é um nó simples. Um nó essencial ou principal é uma junção de três ou mais ramos ou três ou mais
componentes. No circuito acima a junção dos resistores R1 com R2 e R3 é um nó essencial. O nó conectado à
terra também é um nó essencial. Em todo circuito haverá um nó de referência em que a tensão será zero volt e
neste circuito é o nó conectado à terra.
2 Método das tensões nos nós para análise de circuitos
O método dos nós segue o seguinte processo:
- -4
1. Identifique os nós essenciais do circuito.
2. Escolha um nó de referência. Se o circuito já tiver um ponto de terra, este será o nó de referência.
3. Rotule cada nó restante com um valor de tensão, V1, V2, V3 e assim por diante.
4. Aplique a lei de Kirchhoff para a corrente a todos os nós, exceto ao de referência. Suponha que todas as
correntes desconhecidas saiam do nó cada vez que aplicar a lei de Kirchhoff para a corrente a cada nó. Cada nó
deve ser tratado como uma entidade isolada. Quando uma determinada corrente for previamente conhecida ela
será positiva se estiver saindo do nó e será negativa se estiver chegando ao nó.
5. Resolva as equações resultantes, em que as incógnitas serão as tensões nos nós.
- -5
No circuito acima foram identificados dois nós essenciais, o nó inferior que está ligado à terra, é o nó de
referência e o nó superior identificado pelo nº 1 tem a tensão V1. Do nó 1 saem três correntes, I1, I2 e I3,
conforme pode ser visto no circuito abaixo.
Como temos dois nós essenciais, um será o nó de referência e teremos uma equação que será a soma das três
correntes:
A equação então fica:
Substituindo os valores de R , R , R , V e V obtêm-se o valor de V .
1 2 3 A B 1
Faremos alguns exemplos para tornar mais claro este processo.
Exemplo 1
No circuito abaixo, determinar o valor da tensão V
1
 utilizando o método das tensões nos nós.
- -6
Até agora utilizamos nos circuitos fontes de tensão contínua, mas nos circuitos elétricos existem também fontes
de corrente. No exemplo 2 temos um circuito com uma fonte de tensão e uma fonte de corrente. No ramo onde
está localizada a fonte de corrente o valor e o sentido da corrente estão definidos pela fonte de corrente.
Exemplo 2
No circuito a seguir utilize o método das tensões nos nós para determinar o valor de V1 e da corrente em R2.
Observe no exemplo acima, quando a corrente é desconhecida assumimos que ela sempre sai do nó que está
sendo considerado. I1 é calculada pela primeira fração da equação, I2 é calculada pela segunda fração da
equação. As duas saem do nó. I3 é conhecida por que é o valor da fonte de corrente. Então não é calculada, sabe-
se o valor e o sentido. Quando a corrente entra no nó recebe o sinal negativo.
Exemplo 3
No circuito abaixo determine V1 e V2 utilizando o método das tensões nos nós.
- -7
Considere três correntes saindo do nó 1 e três correntes saindo do nó 2, como indicado no circuito a seguir, e
escreva uma equação para o nó 1 e uma equação para o nó 2.
Nó 1 Multiplicando por (12) para eliminar o denominador fica: Nó 1 6.V - 144 + V - 3.V - 3.V = 0
1 1 1 2 
Nó 2 Multiplicando por (10) para eliminar o denominador fica: Nó 2 2,5V. – 2,5.V + V + 5.V - 45 = 0
2 1 2 2 
Simplificando fica:
Para resolver pelo método da soma multiplicamos a segunda equação por (4) e somamos as equações.
- -8
Somando as duas equações fica: 31.V =324
2
Exemplo 4
Aplique o método dos nós ao circuito mostrado a seguir para descobrir as tensões V1 e V2.
O terra está sendo tomado como nó de referência. O circuito tem mais dois nós e de cada nó saem ou chegam três
correntes, como podemos ver no circuito abaixo. Teremos então duas equações:
- -9
Multiplicando a primeira equação por (8) e a segunda equação por (10) para eliminar os denominadores
teremos:
Nó 1 V -12+16+2V -2.V =O1 1 2
Nó 2 V2 -20+2,5V - 2,5.V = O2 1
Simplificando fica:
Nó 1 3V - 2.V = -41 2
Nó 2 -2,5V 3,5 V = 201 2 
Para resolver pelo método da soma multiplicamos a primeira equação por (3,5) e a segunda equação por (2) e
somamos as equações.
Nó 1 3V - 2V = - 4 x 3,5 10,5V - 7V = -141 2 1 2
Nó 2 -2,5V +3,5 V = 20 x 2 -5V + 7 V = 401 2 2
Somando as equações temos: 5,5 V = 26
1
De onde
- -10
Substituindo V1 na primeira equação temos: 3.4,727 – 2.V = -4
2
Portanto: -2. V = -4 -14,181
2
Portanto:
3 Fonte de corrente
A diferença entre fonte de tensão e fonte de corrente é que na fonte de tensão ideal o valor da tensão não varia
enquanto que o valor da corrente que sai da fonte depende dos valores dos resistores do circuito onde a fonte
está ligada. Na fonte de corrente ideal o valor da corrente é constante (não varia)e o valor da tensão é que varia
dependendo do circuito onde a fonte está ligada. O símbolo da fonte de corrente é mostrado abaixo:
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você:
Estudará circuitos com a configuração em Y e em delta.
- -11
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que existem circuitos que precisam de métodos específicos de análise de circuitos para serem 
resolvidos.
• Descobriu como equacionar as correntes em cada nó para chegar ao sistema de equações do circuito.
• Compreendeu como utilizar o método das tensões nos nós para resolução de circuitos.
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ELETRICIDADE APLICADA
CIRCUITOS LIGADOS NA CONFIGURAÇÃO Y 
E ∆
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Identificar os resistores que estão na configuração ∆ e na configuração Y.
2. Fazer a conversão de um circuito com resistores ligados na configuração ∆ para a configuração Y e vice-versa.
3. Resolver circuitos que tenham resistores ligados na configuração ∆ e na configuração Y.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos a configuração Y-∆ em circuitos elétricos.
Em alguns circuitos frequentemente encontrados, nas malhas que não tem fontes de tensão nem de corrente
alguns resistores não estão nem em série nem em paralelo. Torna-se então muito difícil simplificar o circuito.
Existem duas formas básicas de conexão encontradas nestes circuitos. Em uma delas a ligação dos resistores
forma um Y e é também conhecida como estrela. Na outra forma de conexão a ligação dos resistores forma um ∆
e é também conhecida como triângulo. Veremos como transformar uma configuração de resistores de Y para ∆ e
de ∆ para Y.
- -3
2 Circuitos ligados na configuração y e ∆
Em alguns circuitos são encontradas certas configurações em que os resistores não estão em série e também não
estão em paralelo. Nestas condições pode ser interessante simplificar o circuito para uma configuração mais
conveniente sem ter que utilizar o método das correntes de malhas ou o método das tensões dos nós.
Duas configurações que normalmente apresentam este tipo de dificuldade são chamadas de configuração Y ou
estrela e configuração ∆ (delta) ou triângulo.
A configuração Y também é conhecida como T e a delta também é conhecida como π (letra grega PI).
Para ilustrar o que estamos querendo mostrar observe o circuito abaixo:
Para calcular a resistência total equivalente entre os pontos d e c não tem como simplificar o circuito por que
nenhum dos resistores está em paralelo nem em série com outro resistor. Entretanto se observarmos entre os
pontos a, d e b os resistores R4, R5 e R1 formam um triângulo, que é a configuração ∆ ou ainda entre os pontos a,
b, e c os resistores R1, R2 e R3 também formam outro triângulo.
Os três resistores R1, R2 e R3 podem ser substituídos por outros três resistores RA, RB e RC com outra
configuração denominada Y (estrela) ligados entre os pontos a, b e c com valores tais que os circuitos sejam
equivalentes. O circuito então ficaria como mostrado a seguir:
- -4
Com esta configuração fica fácil reduzir o circuito a uma resistência total equivalente.
A figura abaixo apresenta simultaneamente as duas configurações Y e ∆ entre os pontos a, b e c.
As equações desenvolvidas para o cálculo de R1, R2 e R3 em função dos valores de RA, RB e RC e as equações
utilizadas para o cálculo de RA, RB e RC em função de R1, R2 e R3 são apresentadas a seguir:
Exemplo 1
Converta o circuito ∆ abaixo em um circuito Y equivalente.
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O circuito Y terá a seguinte configuração:
Utilizando as equações apresentadas acima temos:
O circuito ∆ terá a seguinte configuração:
- -6
Utilizando as equações apresentadas acima temos:
Exemplo 2
Converta o circuito Y abaixo em um circuito ∆ equivalente.
O circuito ∆ terá a seguinte configuração:
- -7
Utilizando as equações apresentadas acima temos:
Exemplo 3
Usando a conversão ∆ Y, determine a corrente I no circuito abaixo:
- -8
Para calcularmos a corrente I temos que simplificar o circuito e calcular a resistência total equivalente. No
circuito os dois resistores de 2 Ω junto com o de 1 Ω formam uma configuração ∆. Mas os resistores de 3 Ω, 4 Ω e
1 Ω também formam outra configuração ∆. Podemos escolher uma delas e transformar para configuração Y e
simplificar o circuito.
Vamos escolher o ∆ inferior para transformá-lo em Y então o circuito vai ficar assim:
Aplicando as equações para cálculo de RA, RB e RC obtemos:
- -9
O circuito então fica como o mostrado acima.
A resistência total equivalente é 2,718 Ω
Aplicando a lei de Ohm temos:
Configuração Y ou estrela.
Também conhecida como T.
- -10
Configuração ∆ (delta) ou triângulo.
Também conhecida como π.
- -11
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você:
Estudará o Teorema da Superposição.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que existem circuitos cujos resistores não estão ligados nem em série nem em paralelo, e que 
isto dificulta sua simplificação para sua resolução.
• Compreendeu como identificar ligações em Y (estrela) e ligações em ∆ (triângulo).
• Entendeu como transformar um circuito com configuração em ∆ para configuração em Y e vice-versa, 
para resolução de circuitos.
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ELETRICIDADE APLICADA
MÉTODO DAS TENSÕES NOS NÓS PARA 
ANÁLISE DE CIRCUITO
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Entender o processo de aplicação do teorema da superposição.
2. Utilizar o teorema da superposição para resolução de circuitos com mais de uma malha e mais de uma fonte
em malhas diferentes.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos o teorema da superposição.
Alguns circuitos possuem mais de uma malha e mais de uma fonte de tensão ou de corrente, que estão situadas
em malhas diferentes. Torna-se então muito difícil simplificar o circuito e reduzi-lo a uma única fonte e com um
único resistor para se calcular a corrente total e retornar passo a passo, como se faz no caso de um circuito com
uma fonte.
Para resolver estes circuitos, diversos métodos de análise de circuitos podem ser empregados, sendo que um
destes métodos é a aplicação do teorema da superposição.
O teorema da superposição baseia-se no fato de que a corrente ou a tensão em qualquer resistor em um circuito
que tenha mais de uma fonte de tensão ou de corrente, tem uma parcela de contribuição de cada fonte do
circuito.
2 Teorema da superposição
Quando um circuito tem mais de uma malha e mais de uma fonte, como por exemplo, o circuito da figura abaixo,
é necessário utilizar algum método específico para resolução de circuitos. Nesta aula, o método a ser utilizado
será a aplicação do teorema da superposição.
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O teorema da superposição diz o seguinte:
A corrente através de um elemento de circuito ou a tensão entre seus terminais, em um circuito com mais de
uma fonte, com componentes lineares e bilaterais, é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões
produzidas independentemente por cada uma das fontes do circuito.
Entende-se por componente linear quando a corrente é proporcional à tensão aplicada e bilateral quando ao se
inverter a posição do componente no circuito a corrente não muda de valor.
Pelo teorema da superposição a corrente que passa pelo resistor R1 é composta pela soma de duas parcelas, uma
devido à fonte de tensão VA e outra devido à fonte de tensão VB. Da mesma forma a corrente que passa em R2 e
em R3 são compostas por duas parcelas cada uma devido as fontes de tensão VA e VB.
No exemplo acima temos duas fontes de tensão, mas poderíamos ter uma fonte de tensão e uma de corrente ou
duas fontes de corrente.
Para considerar o efeito de uma fonte isoladamente no circuito é necessário retirar as demais fontes.
- -4
Para retirar uma fonte de tensão, substitui-se a mesma por um curto circuito.
Para retirar uma fonte de corrente substitui-se a mesma por um circuito aberto.
A figura abaixo ilustra as substituições, com um curto circuito ao lado da fonte de tensão e um circuito aberto ao
lado da fonte de corrente:
Nocircuito mostrado acima, para calcular a contribuição da fonte de tensão VA nas correntes do circuito, vamos
retirar a fonte VB e o circuito vai ficar como mostrado a seguir:
Pode-se então simplificar o circuito que agora só tem uma fonte e calcular as correntes em cada um dos
resistores, que será a contribuição da fonte VA. Podemos adotar a seguinte nomenclatura para as correntes em
R1, R2 e R3:
I’R1, I’R2 e I’R3
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Para calcular a contribuição da fonte VB nas correntes do circuito, retira-se a fonte VA e o circuito fica como
mostrado a seguir:
Pode-se então novamente simplificar o circuito que agora só tem uma fonte e calcular as correntes em cada um
dos resistores, que será a contribuição da fonte VB. Podemos adotar a seguinte nomenclatura para as correntes
em R1, R2 e R3:
I’’R1, I’’R2 e I’’R3
O valor da corrente em cada resistor será:
IR1 = I’R1+I’’R1
IR2 = I’R2+I’’R2
IR3 = I’R3+I’’R3
Esta soma das correntes é uma soma algébrica, ou seja, deve-se levar em conta o sinal, no caso das correntes
deve-se levar em conta o sentido das correntes.
Uma fonte pode produzir em um resistor uma corrente em um sentido e outra fonte pode produzir no mesmo
resistor uma corrente no sentido oposto.
Se duas correntes têm sentidos opostos elas se subtraem e o sentido que prevalece é o sentido da corrente que
tem o maior valor.
Se o sentido é o mesmo elas simplesmente se somam.
Observação 1:
A potência total fornecida a um resistor deve ser determinada usando a corrente total que o atravessa ou a
tensão total entre seus terminais, e não simplesmente somando as potências fornecidas pelas fontes
separadamente.
Observação 2:
- -6
De acordo com esta nomenclatura a corrente total em um resistor é I, a corrente neste resistor devido à
contribuição de uma primeira fonte considerada é I(índice linha), a corrente neste resistor devido à contribuição
de uma segunda fonte considerada é I(índice duas linhas), a corrente neste resistor devido à contribuição de
uma terceira fonte considerada é I(índice três linhas) e assim por diante.
Vamos ilustrar o que foi dito, com um exemplo.
Exemplo 1
No circuito abaixo, determine a tensão no resistor R2 e a potência consumida por ele aplicando o teorema da
superposição.
Retirando a fonte de 21 V e substituindo por um curto o circuito fica:
Neste circuito R2 e R3 estão em paralelo resultando em uma resistência equivalente de 2 Ω que fica em série com
R1 resultando em uma resistência de 14 Ω.
A resistência total equivalente para este circuito é: RT = 14 Ω.
A corrente que sai da fonte é:
- -7
Temos agora um divisor de corrente, que nós vimos na aula 3. Como neste divisor de corrente os dois resistores
têm valores iguais, a corrente se divide igualmente pelos dois resistores. Portanto a corrente que passa no
resistor R2 devido a fonte de tensão de 28 V é 1 A. O sentido desta corrente é de cima para baixo.
Portanto temos: I’R2 = 1 A
Agora recolocamos a fonte de 21 V e retiramos a fonte de 28 V substituindo por um curto e o circuito fica:
Neste circuito R1 e R2 estão em paralelo, resultando em uma resistência equivalente de 3 Ω que fica em série
com R3, resultando em uma resistência de 7 Ω.
A resistência total equivalente para este circuito é: RT = 7 Ω.
A corrente que sai da fonte é:
A corrente de 3 A se divide pelos resistores R1 e R2. Aplicando a regra do divisor de corrente vista na aula 3,
temos:
- -8
Esta corrente também circula de cima para baixo no resistor R2.
Portanto temos: I’’R2 = 2,25 A
A corrente total em R2. é: IR2 = I’R2 + I’’R2 IR2 = 1 + 2,25 = 3,25 A
Aplicando a lei de Ohm temos: VR2 = R2 + IR2 = 4 . 3,25 = 13V VR2 = 13V
PR2 = VR2 . IR2 = 13 . 3,25 = 42,25W PR2 =42,25W
O que vem na próxima aula
Na próxima aula, você estudará:
• Os Teoremas de Thevenin e de Norton.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Aprendeu que existem circuitos que precisam de métodos específicos de análise de circuitos para serem 
resolvidos.
• Aprendeu que um dos métodos utilizados aplica o teorema da superposição para calcular as tensões e 
correntes em um circuito com mais de uma fonte em malhas diferentes.
• Compreendeu como utilizar o teorema da superposição para resolução de circuitos.
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ELETRICIDADE APLICADA
TEOREMA DE THEVENIN E TEOREMA DE 
NORTON
- -2
Olá!
Ao final desta aula, você será capaz de:
1. Calcular o circuito equivalente Thevenin de um circuito.
2. Calcular o circuito equivalente Norton de um circuito.
3. Utilizar o Teorema de Thevenin para calcular a tensão e a corrente em um resistor.
4. Utilizar o Teorema de Norton para calcular a tensão e a corrente em um resistor.
1 Introdução
Nesta aula, estudaremos o teorema de Thevenin e o Teorema de Norton.
O teorema de Thevenin assim como o teorema de Norton permite encontrar um circuito simples com dois
terminais, equivalente a um circuito mais complexo entre dois pontos distintos deste circuito.
O circuito equivalente Thevenin é composto por uma fonte de tensão contínua em série com um resistor e nesta
aula calcularemos o valor da tensão da fonte de tensão e o valor da resistência do resistor, para que este circuito
seja equivalente a um determinado circuito entre dois pontos previamente escolhidos.
O circuito equivalente Norton é composto por uma fonte de corrente contínua em paralelo com um resistor e
nesta aula calcularemos o valor da corrente da fonte de corrente e o valor da resistência do resistor, para que
este circuito seja equivalente a um determinado circuito entre dois pontos previamente escolhidos.
2 Teoremas
O Teorema de Thevenin afirma que qualquer circuito linear, bilateral com fontes de tensão e/ou fontes de
corrente e resistências, se considerarmos dois pontos quaisquer do circuito, pode ser substituído por uma fonte
de tensão em série com um resistor. Este circuito com uma fonte de tensão em série com um resistor é chamado
de circuito equivalente Thevenin.
O circuito equivalente Thevenin entre os pontos a e b está representado a seguir:
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O Teorema de Norton afirma que qualquer circuito linear, bilateral com fontes de tensão e/ou fontes de corrente
e resistências, se considerarmos dois pontos quaisquer do circuito, pode ser substituído por uma fonte de
corrente em paralelo com um resistor. Este circuito com uma fonte de corrente em paralelo com um resistor é
chamado de circuito equivalente Norton.
O circuito equivalente Norton entre os pontos a e b está representado a seguir:
O Teorema de Norton afirma que qualquer circuito linear, bilateral com fontes de tensão e/ou fontes de corrente
e resistências, se considerarmos dois pontos quaisquer do circuito, pode ser substituído por uma fonte de
corrente em paralelo com um resistor. Este circuito com uma fonte de corrente em paralelo com um resistor é
chamado de circuito equivalente Norton.
O circuito equivalente Thevenin e o circuito equivalente Norton fornecem uma equivalência apenas nos
terminais considerados.
As características do circuito original comparadas com as características do circuito equivalente Thevenin ou
com o circuito equivalente Norton são em geral bem diferentes.
Observe a figura mostrada a seguir:
Primeira caixa: Dentro da primeira caixa tem um circuito e fora da caixa só tem os terminais e .a b
- -4
Segunda caixa: Dentro da segunda caixa tem o circuito equivalente Thevenin do primeiro circuito, e fora da
caixa tem somente os terminais e .a b
Se medirmos o valor da tensão entre os pontos e na saída de cada uma das duas caixas o valor será o mesmo.a b
Se colocarmos um resistor de um determinado valor entre os pontos a e b na saída de cada uma das duas caixas,
mediremos uma tensão de valor diferente do valor anterior, quando não tinha resistor conectado, mas o valor
será o mesmo na saída da primeira caixa e na saída da segunda caixa.
Em consequência o valor da corrente nos dois resistores também será igual.
Isso significa que os dois circuitos são equivalentes a partir dos pontos e .a b
Esta mesma situaçãoocorre com o circuito equivalente Norton, como mostrado a seguir:
A aplicação deste teorema possibilita determinar a tensão e a corrente em qualquer parte do circuito e
possibilita também que nos concentremos numa parte específica do circuito, substituindo o restante dele por
outro circuito equivalente mais simples.
Observação:
Para calcular o circuito equivalente Thevenin ou Norton entre dois pontos específicos de um circuito em que
entre estes dois pontos exista um ou mais componentes de circuito, estes componentes devem ser retirados, de
maneira que entre os dois pontos fique um circuito aberto.
- -5
Depois estes elementos são recolocados no circuito equivalente entre os dois pontos correspondentes.
Determinar o circuito equivalente Thevenin ou circuito equivalente Norton significa calcular os valores de Vth e
Rth e de IN e RN que façam com que os circuitos das caixas da direita sejam equivalentes aos circuitos das caixas
da esquerda nas figuras acima.
A seguir vemos a sequência de passos para determinação de e :Vth Rth
• Assinale os terminais a partir dos quais vai ser determinado o circuito equivalente Thevenin.
• Remova a parte do circuito que existir entre estes dois terminais, de maneira que fique um circuito 
aberto.
• Calcule a tensão que passa a existir entre os dois pontos terminais. Esta tensão será a tensão Vth.
• Retire todas as fontes do circuito, substituindo as fontes de tensão por um curto circuito e as fontes de 
corrente por um circuito aberto.
• Calcule o valor da resistência que passa a existir entre os dois pontos terminais. Esta resistência será o 
Rth.
• Desenhe o circuito equivalente Thevenin e recoloque a parte do circuito que foi previamente removida.
A seguir vemos a sequência de passos para determinação de e :IN RN
• Assinale os terminais a partir dos quais vai ser determinado o circuito equivalente Norton.
• Remova a parte do circuito que existir entre estes dois terminais, de maneira que fique um circuito 
aberto.
• Coloque um curto-circuito entre os dois pontos terminais e calcule a corrente que passa pelo condutor 
que liga os dois pontos (este condutor é o responsável pelo curto-circuito).
• O valor da corrente que passa pelo curto-circuito é o IN.
• ·Remova o curto-circuito e calcule o valor da resistência que passa a existir entre os dois pontos 
terminais. Esta resistência será o RN.
• Desenhe o circuito equivalente Norton e recoloque a parte do circuito que foi previamente removida.
Exemplo 1
Determine o circuito equivalente Thevenin para o lado esquerdo do circuito abaixo a partir dos pontos a e b. Em
seguida calcule o valor da corrente que passa no resistor R3 considerando R3 que tenha valores de 4 Ω, 8 Ω e 18
Ω.
Primeiro retiramos o resistor R3.
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Em seguida calculamos a tensão entre os pontos a e b.
O circuito sem o resistor R3 é um divisor de tensão. E a tensão entre os pontos a e b é a tensão nos terminais do
resistor R2.
Aplicando a regra do divisor de tensão vista na aula 2, temos:
Portanto Vab = Vth = 8 V
Para calcular eliminamos a fonte de tensão, substituindo-a por um curto circuito.Rth
O circuito então fica como mostrado a seguir:
Rth é a resistência entre os pontos a e b. Com o curto-circuito os resistores R1 e R2 ficaram em paralelo e a
resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo é igual a 2 Ω.
Portanto Rth = 2 Ω
O circuito equivalente Thevenin então fica como mostrado abaixo à esquerda.
Recolocando o resistor R3 entre os pontos a e b o circuito fica como mostrado abaixo à direita:
- -7
Temos agora um circuito com dois resistores em série e a corrente em R3 é a corrente do circuito.
Exemplo 2
Determine o circuito equivalente Norton para o lado esquerdo do circuito abaixo a partir dos pontos a e b. Em
seguida calcule o valor da corrente que passa no resistor R3 considerando R3 que tenha valores de 2 Ω, 3 Ω e 6 Ω.
Primeiro retiramos o resistor R3.
Em seguida colocamos um curto-circuito entre os pontos a e b.
- -8
O circuito fica como mostrado abaixo:
Agora calculamos a corrente que passa pelo curto-circuito.
Como o curto está nos terminais de R2, a corrente do circuito não passa pelo resistor R2 e sim pelo curto-
circuito. Portanto a resistência total do circuito se resume ao valor de R1.
R3 é um divisor de tensão. E a tensão entre os pontos a e b é a tensão nos terminais do resistor R2.
Aplicando a lei de Ohm obtemos a corrente do circuito que é a corrente IN:
Para calcular RN retiramos o curto-circuito e retiramos a fonte de tensão, substituindo-a por um curto-circuito. O
processo é o mesmo do cálculo do Rth. O circuito então fica como mostrado abaixo:
Podemos ver que entre os pontos a e b os resistores R1 e R2 estão em paralelo, que resulta em uma resistência
equivalente de 2 Ω.
Portanto RN = 2 Ω
- -9
O circuito equivalente Norton então fica como mostrado abaixo à esquerda.
Recolocando o resistor R3 entre os pontos a e b o circuito fica como mostrado abaixo à direita:
Temos agora um circuito com dois resistores em paralelo e utilizamos a regra do divisor de corrente, vista na
aula 3, para calcular a corrente no resistor R3.
Para temos dois resistores de valores iguais em paralelo e nesse caso a corrente de 4 A se divideR3 = 2 Ω
passando metade por cada resistor.
Portanto I = 2A
R3
Para R3 = 3 Ω aplicando a regra do divisor de corrente temos:
I = 1,6 A
R3
Para R3 = 4 Ω aplicando a regra do divisor de corrente temos:
I = 1A
R3
Observe que determinamos os circuitos equivalentes Thevenin e Norton para um mesmo circuito e quando
colocamos o resistor R3 com o valor de 2 Ω nos terminais a e b do circuito equivalente Thevenin e nos terminais
- -10
a e b do circuito equivalente Norton, encontramos o mesmo valor de corrente IR3. Isto mostra que os dois
circuitos são equivalentes ao circuito original e são também equivalentes entre si.
Exemplo 3
Determine o circuito equivalente Thevenin para todo o circuito entre os pontos a e b, excluindo o resistor R3.
Solução:
O primeiro passo é retirar o resistor R3 que não vai fazer parte do circuito cujo equivalente se deseja
determinar. Então o circuito fica como mostrado abaixo:
Agora calculamos a tensão Vth que é a tensão entre os pontos a e b, que é a tensão sobre o resistor R4. Aplicamos
então a regra do divisor de tensão vista na aula 2.
Portanto Vth = -8V
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A tensão é negativa por que a fonte de tensão tem o terminal positivo conectado ao ponto de referência que é o
terra, que tem potencial elétrico igual a zero volt, portanto na parte superior do circuito a tensão é negativa em
relação à referência.
Para calcularmos a resistência Rth retiramos a fonte de tensão, substituímo-la por um curto-circuito e
calculamos a resistência entre os pontos a e b. Com um curto no lugar da fonte de tensão os resistores R2 e R4
ficaram em paralelo, resultando em uma resistência equivalente de 4 Ω.
Portanto Rth = 4Ω
O circuito equivalente Thevenin então fica como mostrado abaixo à esquerda.
Recolocando o resistor R3 entre os pontos a e b o circuito fica como mostrado abaixo à direita:
Exemplo 4
Determine o circuito equivalente Norton para o circuito externo ao resistor de 15 Ω, mostrado a seguir:
Solução:
- -12
O primeiro passo é retirar o resistor de 15 Ω, que não vai fazer parte do circuito cujo equivalente se deseja
determinar. Então o circuito fica como mostrado abaixo do lado esquerdo. Em seguida colocamos um curto-
circuito entre os pontos a e b e o circuito fica como mostrado abaixo do lado direito.
Com o curto-circuito entre os pontos a e b os resistores de 4 e 6 Ω ficaram em paralelo como pode ser visto no
circuito redesenhado abaixo:
A corrente da fonte de corrente se divide pelos dois resistores e a parcela de corrente que passa pelo resistor de
6 Ω é a corrente IN.
Aplicando a regra do divisor de corrente, vista na aula 3, calculamos o valor da corrente IN.
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Para calcularmos RN retiramos a fonte de corrente, substituindo-a por