Apostila matematica financeira 2007_

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Universidade de Caxias do Sul
Núcleo Universitário de Guaporé
Curso de Administração de Empresas
Professora: Ivanete Rocha de Miranda
 Material Organizado pelas Professoras: 
Cíntia Paese; Helena Sloczinski; Ivanete Rocha de Miranda
 
Matemática Financeira
 2007
Índice
Introdução à Matemática Financeira
4
 
11
JUROS: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
11
Sistema de Capitalização de Juros Simples
16
Problemas complementares:
19
Ex.1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juros simples durante 36 dias e 156 dias respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?
22
Obs.: Os prazos deverão ser expressos na mesma unidade de tempo. (Todos em dias, ou todos em meses ou todos em anos....).
22
Desconto simples 
23
 Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito (por exemplo, nota promissória, letra de câmbio, duplicata), que é o comprovante da dívida.
23
Desconto comercial, bancário ou Desconto “Por Fora”
23
Desconto Bancário
27
Desconto racional ou Desconto “Por Dentro”
30
 JURO COMPOSTO, OU SEJA, CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
33
Taxas proporcionais e equivalentes
36
Taxas efetivas (if)
38
2. Um banco oferece empréstimo a taxa de 72% a.a.em capitalização mensal (taxa nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? (R: 101,2196% a.a.)
39
3. Sendo 12% a.m. a taxa de juro, determinar a taxa para:(R: 0,3785% a.d.; 14,135% a.p.; 
39
 289,60% a.a.).
39
Taxa real e taxa aparente
40
Taxa acumulada
41
Desconto composto
43
Exercícios complementares. (juro composto, taxas e desconto)
45
Equivalência de capitais a juros compostos
46
7. Um banco oferece empréstimo a taxa de 48% a.a.em capitalização mensal (taxa nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? 
50
 ANALISE DE INVESTIMENTOS
52
 No estudo de um fluxo de caixa usa-se, para análise de investimento, o cálculo da Taxa Interna de Retorno (TIR) o cálculo do valor Presente Líquido.
52
Valor Presente Líquido (VPL).
52
 Renda postecipada ou imediata
58
 Renda antecipada 
62
Renda Diferida
64
 Equivalência de fluxos de caixa
66
 Planos de amortização de empréstimos
67
 Sistema Americano
68
Sistema Francês ou sistema de Amortização Progressiva ou Tabela Price
68
 Sistema de Amortização constante
71
 Sistema de Amortização Misto
73
Introdução à Matemática Financeira
Razão do número a para o número b, com b  0 é o quociente de a por b, ou seja 
b
a
.
Razão de duas grandezas dadas em uma certa ordem, é a razão entre a medida da primeira grandeza e a medida da segunda. 
3
2
3
2
=
m
m
 
h
/
km
h
km
100
2
200
=
 
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
4
20
3
15
=
. Nas proporções o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
Exercícios:
1) Verifique se as seguintes equações são ou não proporções:
a)
270
72
15
4
=
b)
16
15
4
3
=
c) 
5
,
3
4
,
2
2
,
1
5
,
0
=
2) Calcule x nas proporções: a) 
x
60
20
15
=
 b)
2
3
5
6
7
=
x
c)
1
18
0
25
0
265
0
+
=
x
,
,
,
 
 Conceitos básicos para o cálculo de porcentagem
Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
Taxa percentual ( r): é o numerador de uma fração cujo denominador é 100.
Porcentagem (p): é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa. 
 Ex.: 25% = 25/100 3,2%= 3,2/100
Principal (P): é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem. 
Obs.: Quando estamos trabalhando com Sistema monetário, podemos considerar o Valor principal por capital inicial (C) ou valor presente (PV).
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=
i
)
i
(
R
M
n
1
1
n
n
)
i
(
i
)
i
(
+
-
+
1
1
1
 Em um sistema proporcional, para cálculo da porcentagem utiliza-se a Regra de Três: P ou (C) ________ 100% 
100
Pr
Taxa
incipal
m
Porcentage
=
 P ________ r Porcentagem x 100 = Principal x Taxa 
 
100
.
r
P
p
=
 P=
r
p
100
.
 r= 
P
p
100
.
 Onde é P de principal podemos escrever C de capital.
Se dividirmos a taxa por cem, obtemos a taxa unitária (i). Ex.: 25% = 0,25
Funções de Porcentagem na HP 12 C
1- Para calcular porcentagem : C ENTER r % 
( se em seguida for clicada a tecla +, o valor será somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal)
2- Para calcular o principal: r ENTER p %T 
3- Para calcular diferença de percentual (entre a e b): a ENTER b Δ% 
4- Para calcular a taxa de porcentagem: C ENTER p %T
Resolver os problemas:
1. Em um colégio 26% dos estudantes são meninas. Quantos alunos o colégio possui, se elas são em número de 182? R: 700
2. Um automóvel foi adquirido por R$ 50.000,00 e vendido com um lucro de R$ 4.000,00. Qual a porcentagem de lucro? R: r=8%
3. Em uma liquidação uma calça que custava R$ 70,00 foi vendida com 15% de abatimento. De quanto foi o abatimento? R: R$10,50
4. Uma pessoa devia R$20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? R: r=37%
5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 80,00 e vendida por R$ 108,00. Calcular a taxa percentual do lucro? R: 35%
6. Uma mercadoria foi vendida por R$ 32,66. Sabendo-se que sofreu um aumento de 42% em relação ao preço anterior, qual era esse preço? R: R$ 23,00
7. Uma mercadoria foi vendida por R$ 36,00. Sabendo-se que foi concedido um desconto de 20% sobre o preço de tabela, qual este preço? R: R$ 45,00
8. Qual o valor líquido a ser pago por uma mercadoria que possui um preço de R$ 125,00 se é oferecido um desconto de 6%? R: R$ 117,50
9. O salário de um operário foi aumentado em 4% e passou a r$ 546,00. Qual era o salário deste operário? R: R$ 525,00
10. Numa cidade 25% são italianos, 12% são alemães, 10% são japoneses e os restantes 118.720 são brasileiros. Quantos são os alemães? R: 26.880
 ABATIMENTOS SUCESSIVOS
 No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente.
 O cálculo do valor líquido ou Valor final (VF) ou (FV) é dado pela seguinte fórmula: 
 
150,00 
32,40 
 
 Sendo: VF= valor real a ser pago.
 C= valor principal (sempre corresponde a 100%)
 i1, i2, ......., in: taxas unitárias sucessivas. 
 Ex. 1: Sobre uma fatura de R$ 124 000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 
20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago?
Solução: HP 12C 
 124 ENTER 20% - 10% - 5% -
 Resultado: 84,816
 Ex. 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobro o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30% + 20%, qual o preço da tabela?
Solução:HP 12C
 70 ENTER 0,7 ENTER 0,8 X :
 Resultado: 125,00
 Ex. 3: Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50% + 30% + 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?
n
i
N
A
r
×
+
=
1
 Solução: HP 12C
 100 ENTER 50% - 30% - 20% - 100 - CHS 
 Resposta 72%
Obs.: Sempre que apresentar resultado negativo, representa percentual de desconto.
 Nos cálculos desprezamos o sinal e escrevemos a interpretação, na calculadora HP, trocamos o sinal clicando CHS.
Resolver
1. Na compra de um produto cujo valor inicial era de R$ 565,00, foram obtidos os seguintes descontos sucessivos: 15% e 2%. Pergunta-se:
a) Qual o valor líquido da compra? R:(470,00) 
 b) Qual a taxa total de abatimento? R: (16,7%)
 ACRESCIMOS SUCESSIVOS:
 Para acréscimos sucessivos valem as seguintes fórmulas:
i
C
-
1
Cálculo do valor final (VF) 
Ex.1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Pergunta-se:
a) Qual o preço dessa mercadoria no final do mês?
Solução: HP 12C
 8 ENTER 2,5% + 5% + 
 Resposta: 8,61
b) Qual foi percentual de aumento? HP 12C
k
f
k
i
i
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
+
1
1
 100 E 100 ENTER 2,5% + 5% + 100 -
 Resposta: 7,625%
Ex. 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%. Sabendo-se que na venda foi concedido um desconto de 25%, pagando o comprador R$144,90, qual era o valor da mercadoria?
Solução: HP 12C
 144,9 ENTER 1,2 ENTER 1,15 ENTER 0,75 x x : 
 Resposta: R$ 140,00 ou
 100 E 20% + 15% + 25% - 144,9 %T 
DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES
Para calcular a diferença percentual entre dois valores (do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte fórmula: 
1
-
=
C
VF
i
 HP 12C 
 Valor inicial ENTER 
 Valor final % 
Ex.1: O preço de uma mercadoria era R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o percentual total do aumento.
Solução:
Exercícios propostos 
1. Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% + 20% + 10%. Pergunta-se:
a) Por quanto foi vendida a mercadoria? R: R$ 12,10
b) Qual o percentual total do abatimento? R: 49,6%
2. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 20% + 10% + 5%. Se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: 
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? R: R$ 400,00
b) Qual o percentual total dos abatimentos? R: r=31,6%
3. Um produto cujo preço era R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30% + 25%. Pergunta-se:
a) Qual o preço atual? R: R$ 58,50.
b) qual foi o percentual do aumento? R: r= 62,5%
4. O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial? R: R$ 310,00
5. Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial dessa mercadoria? R: R$20,00
6. Uma categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste salarial de 36% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 25% de antecipação e está ganhando R$ 525,00, quanto passará a ganhar de salário? R: R$ 571,20
7. Na compra de uma mercadoria foram obtidos abatimentos sucessivos de 10% + 2%. Se o valor pago foi R$ 110,25, Pergunta-se:
a) Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? R: R$ 125,00
b) Qual o percentual total do abatimento? R: r=11,8%
8. Um produto cujo preço era R$ 712,00, sofreu aumentos sucessivos de 6% + 3%. Pergunta-se:
a) A que preço será vendida? R: R$ 777,36
b) Qual foi o percentual total de aumento? R: r=9,18%
 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIA
 Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou lucro sobre o preço de venda.
Lucro sobre o preço de custo:
 Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço do custo, considera-se sempre o preço de custo (C) como valor correspondente a 100% ou (1). O preço de venda (V) será sempre equivalente a (100% + r) ou (1 + i), sendo (r) a taxa percentual do lucro.
Cálculo do preço de venda(v) com lucro sobre o preço d custo(C):
 Para calcular o preço de venda, com lucro sobre o preço de custo, multiplica-se o preço de custo pelo valor de (1 + i). 
 HP 12C 
 C ENTER r % +
Ex.: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra? (R$ 168,00)
Lucro sobre o preço de venda:
 Neste caso considera-se a venda(V) como sendo o valor correspondente a 100% ou (1). O custo correspondente a (100% - r) ou (1 – i).
Cálculo do preço de venda(V) com lucro sobre o preço de venda(V):
 Para calcular o preço de venda, com lucro sobre o preço de venda, divide-se o preço de custo (C) por (1 – i). 
 HP 12C
 100 ENTER r % - C %T 
Ex. 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$ 20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda? (R$ 25,00)
Solução:
Ex.2: Um comerciante compra uma mercadoria por R$ 15,60 e pretende vendê-la com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Por quanto deve vende-la? (R$26,00)
Solução:
Problemas de aplicação
1. Uma mercadoria foi comprada por r$ 24,00. por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preço de compra? R: R$ 31,20
2. Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75 com lucro de 45% sobre o preço de compra. Quanto custou esta mercadoria? R: R$ 35,00
3. Uma casa foi vendida por R$ 54 000,00, com um lucro de R$ 6 000,00, sobre o preçode compra. Quanto por cento corresponde este lucro? R: 12,5%;
4. Um terreno foi vendido por R$ 135 000,00 com lucro de 25% sobre o valor total despedido na compra do mesmo. Qual o valor de compra do terreno se foi gasto R$ 8 000, de escrituras e impostos de transmissão R: R$ 100 000,00
5. Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda? R: R$ 400,00; 
6. Um terreno foi comprado por R$ 4 750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido? R: R$ 5 000,00; 
7. Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto custou esta mercadoria? R: R$ 7,50
8. Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00 e vendida por R$ 150,00. Pergunta-se: 
 a) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de compra? R: r= 25%
 b) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de venda? R: r= 20%
9. Um terreno foi vendido por R$ 165 000,00 com lucro de 10%. Em seguida foi revendido por R$ 207 000,00. O lucro total das duas operações representa, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de quanto? R: r=38% 
10. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 150,00 e colocou a venda com uma margem de lucro de 40% sobre o preço de compra. Ao vende-la concedeu um desconto de 20%. Pede-se: a) Por quanto foi vendido essa mercadoria? R: R$ 168,00
 b) Qual a taxa de lucro? R: r= 12%
Problemas complementares
1. Uma certa categoria profissional, por ocasião do dissídio coletivo, deverá ter um reajuste salarial de 18% sobre o salário base do ano anterior. Se um funcionário já recebeu 15% de antecipação, e está ganhando R$ 552,00, pede-se: 
a) Quanto passará a ganhar de salário? R: R$566,40 b) Qual será o percentual de aumento sobre o salário atual? R: 2,6087 %
2. Um funcionário de uma determinada empresa recebe o salário, já descontado o valor do INSS, de R$ 1.350,00.Sabendo-se que sobre este valor incide IRF (imposto retido na fonte) de 15% diminuído de R$ 135,00, qual o valor líquido recebido pelo funcionário? R: R$ 1.282,50
 3. Uma empresa precisa efetuar um pagamento líquido, no valor de R$ 3.200,00, a um prestador de serviços. Sabendo-se que o valor bruto incide IRF, no percentual de 27,5%, porem com um investimento de R$ 360,00 sobre o valor do IRF, calcular o valor bruto a ser pago pelo serviço? R: R$ 3.917,24
 4) Uma pessoa ao fazer um passe bancário desembolsou R$ 32.764,00. Sabendo-se que o banco cobrou uma comissão de 2% e mais outras despesas no valor de R$ 124,00. Qual o valor líquido recebido pelo destinatário? R: R$32.000,00
 5) Um cliente obteve de um certo comerciante um desconto de 10% sobre o preço de venda de uma mercadoria. Sabendo-se que está mercadoria estava sendo vendida com um lucro de 20% sobre o preço de venda, qual a taxa do lucro sobre o preço de compra? R: 12,5% 
6) Uma mercadoria foi comprada por R$ 250,00 e vendida por R$ 290,50. Pergunta-se: a) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de compra? R: r=16,20%
 b) Qual a taxa percentual de lucro sobre o preço de venda? R: r=13,94%
7) Um comerciante comprou uma mercadoria por R 150,00 e colocou-a a venda com uma margem de lucro de 40% sobre o preço de compra. Ao vendê-la concedeu um desconto de 20%. Pede-se: 
a) Por quanto foi vendida está mercadoria? R$ 168,00 
b) b) Qual a taxa de lucro? R: r=12% 
JUROS: SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
Fluxo de caixa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro do caixa de uma empresa ou de uma pessoa física relativas a um certo período de tempo. 
 O fluxo de caixa pode ser esquematizado por um diagrama, no qual aparece uma linha horizontal, chamada linha do tempo e setas perpendiculares e esta linha apontando para cima quando existe recebimento (retorno) de valores e apontadas para baixo quando existe pagamento (investimento).
Exemplo 1:
Data
Valor
07/08
+3.200
14/08
-760
21/08
-546
28/08
+1.112
Exemplo 2:
Um rádio custa R$ 150,00 à vista ou R$ 194,40 em seis prestações de R$ 32,40. O fluxo de caixa sob o ponto de vista do vendedor é:
 Toda a aplicação de um capital (valor monetário) deverá proporcionar, no final de um certo tempo, o direito de resgate.
 A diferença entre o valor dos retornos e o valor da aplicação é a remuneração (juro) recebida no investimento.
 O mais simples dos fluxos de caixa é aquele que possui somente dois fluxos. Um de saída e outro de entrada ou vice-versa.
Ex.3: supondo o seguinte fluxo de caixa: 121,00 (capital e juro)
 0 
 2 meses
 100,00 
 A taxa de juro (i) é o quociente entre o juro e o capital aplicado. A taxa será referente ao período da aplicação. 
 
Conceito:
 O conceito de juro pode ser fixado através das expressões:
Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado a nossa disposição.
Remuneração do capital emprestado em atividades produtivas, ou ainda remuneração recebida sobre capital aplicado.
Unidade de medida:
 O juro é fixado através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês, etc.
 Exs.: 12% a. a. = doze por cento ao ano.
 3% a. t. = três% por cento ao trimestre.
 1% a. m. = um% por cento ao mês.
 É importante observar que no cálculo de juro a taxa unitária, corresponde a centésima parte da taxa percentual.
Ex.: 12% a. a. = 12/100 = 0,12 
 3% a. t. = 3/100 = 0,03 
 1% a. m. = 1/100 = 0,01
 A representação percentual é comumente usada, entretanto todos os cálculos e desenvolvimento de fórmulas serão feitos através da notação em fração decimal (taxa unitária).
Regime de capitalização:
 Entende-se por regime de capitalização o processo de formação do juro. 
 Há dois tipos de regimes de capitalização: a juro simples e a juro composto.
 No regime de capitalização a juro simples, apenas o capital inicial rende juro, isto é, o juro formado no fim de cada período a que se refere a taxa não é incorporado ao capital, para também render juro no período seguinte, ou seja, os juros não são capitalizados. 
 No regime de capitalização a juro composto, o juro formado no fim de cada período é incorporado ao capital que tínhamos no início do período, passando esse montante a render juro no período seguinte, ou seja, os juros são capitalizados.
Juro simples
J1=J2=...=Jn
Juro composto
J1J2...Jn
Exemplo:
 A empresta “B” a empresa “A” emprestou R$ 10.000,00 para serem pagos no final de quatro meses, à taxa de 25% a.m. 
Juro Simples
Juro Composto
Mês
Juro do mês
Montante
Mês
Juro do mês
Montante
1
2.500,00
12.500,00
1
2.500,00
12.500,00
2
2.500,00
15.000,00
2
3.125,00
15.625,00
3
2.500,00
17.500,00
3
3.906,25
19.531,25
4
2.500,00
20.000,00
4
4.882,81
24.414,06
1234
Meses
Crescimento linear (gráfico 1)
1234
Meses
Crescimento exponencial (gráfico 2)
Em relação ao gráfico um (juro simples) pode observar-se que:
a) O crescimento do dinheiro se dá de forma linear no decorrer do tempo.
b) No sistema de capitalização simples à juro simples o dinheiro cresce em progressão aritmética. 
c) Os juros sempre são calculados sobre o valor do capital inicial, período por período.
Em relação ao gráfico dois (juros compostos) pode ser observado que:
a) O crescimento do dinheiro cresce de forma exponencial ao longo do tempo.
b) No sistema de capitalização composta, àjuro composto o dinheiro cresce em progressão geométrica.
c) Os juros são capitalizados período por período; a cada período o juro vai sendo acumulado no capital inicial.
 Quem possui recursos pode utilizá-lo na compra de bens de consumo, ou de serviços, na aquisição de bens de produção, na compra de imóveis para uso próprio ou venda futura; pode emprestá-lo a terceiros ou adquirir títulos de renda fixa ou variável, deixá-lo depositado para atender a “eventualidades”, ou guardá-lo na expectativa de uma oportunidade melhor para sua utilização, ou ainda pela simples satisfação de ter dinheiro.
 Ao se dispor a emprestar, o possuidor de dinheiro, para avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos, deve atentar para os seguintes fatores:
a) Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o dinheiro.
b) Despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança.
c) Inflação: Índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo.
d) Ganho (ou Lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos (“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do capital.
 Portanto, a receita de juros deve ser suficiente para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital emprestado, além de proporcionar certo lucro ao seu aplicador.
 Do ponto de vista do tomador do empréstimo, a taxa de juros é influenciada pelo uso que fará dos recursos emprestados. A taxa de juros poderá ser tanto maior, quanto maior for o grau de premência desses recursos. Se o tomador pretende utilizar o empréstimo em um negócio qualquer, com objetivo de lucro, sua despesa de juros deverá ser menor do que a receita prevista.
No caso específico dos Bancos e das Financeiras, as taxas de remuneração dos recursos captados devem ser menores que as taxas cobradas nas operações de empréstimos ou financiamentos, sendo que a diferença deve ser suficiente para cobrir as despesas proporcionar lucro; o aspecto inflacionário, neste caso, não será relevante se as operações estiverem “casadas”, isto é, se os valores e os prazos das operações de captação (obtenção de recursos) estiverem compatíveis com os valores e os prazos das operações de empréstimo (aplicação de recursos).
Capital (C): qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. Também, é conhecido como “Principal” ou Valor Presente (Pv).
Tempo (n): Período durante o qual o capital fica aplicado.
Taxa (i): Valor do juro por unidade de capital/tempo. Refere-se sempre a um dado período financeiro, por exemplo, ao dia (a.d), ao mês (a.m), ao semestre (a.s), ao ano (a.a), etc. Pode estar sob forma porcentual (2% a.m, 0,1% a.d, etc.) ou sob forma unitária (0,02 a.m, 0,001 a.d, etc.). Como já dissemos, trabalharemos com taxa unitária.
Juro (J): remuneração resultante da aplicação de um capital em determinado tempo, com um taxa definida. Os juros são normalmente classificados em juros simples e juros compostos.
Montante (M): Valor resultante da soma dos juros ao capital, ou valor futuro (Fv).
Período de capitalização: Período de tempo ao fim do qual os juros são somados ao capital.
No exemplo inicial, temos que:
R$100,00  capital inicial, principal (C) ou valor presente(Pv)  Dinheiro ou bem sobre os quais recaem os juros. 
R$ 25,00  juro (J)  Remuneração deste capital durante um intervalo de tempo que denominamos período financeiro ou período de capitalização. Em outras palavras, juro é a quantia que se paga, a título de compensação, pelo uso de um dinheiro emprestado. 
R$ 125,00  montante (M) ou valor Futuro (Fv)  Soma do valor de uma aplicação com os juros computados sobre essa mesma aplicação. M=C+J ou Fv = Pv + j
Um ano  período (n)
Taxa de juro (i) é 
100
25
 ao ano, ou seja, 25% ao ano ou ainda 0,25 a.a. 
C
J
i
=
Taxa unitária (simbolizada por i): Valor referencial a unidade  
25
,
0
%
25
100
25
=
=
=
i
1. Qual a taxa unitária correspondente a 45%?...................
2. Qual a taxa percentual correspondente a 0,05?...............
Sistema de Capitalização de Juros Simples
No regime de capitalização a juro simples apenas o capital inicial rende juro, e os juros não são capitalizados.
Período
Juro do período
Juro acumulado
1
C x i
(C x i)
2
C x i
 (C x i) + (C x i)
3
C x i
 (C x i) + (C x i) + (C x i)
...
n
C x i
n x (C x i)
 ou
 Atividade: Partindo da Fórmula geral, encontrar uma fórmula para encontrar uma das outras grandezas.
OBS: O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade. Ex. Mês, Ano, Trimestre. 
 Quem estiver usando calculadora financeira, por exemplo, HP 12C ou equivalente, no cálculo de juros simples, não diferencia muito de outras calculadoras, mas pode se usar algumas teclas especiais para facilitar o processo. No Brasil, utilizamos o ponto para separar as classes, portanto, para introduzir esse sistema, basta desligar a calculadora e pressionando a tecla do ponto . e ligá-la, novamente.
Exemplos:
1. Tomou-se emprestada a importância de R$ 12.000,00 pelo prazo de dois anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago? E, qual o valor a ser pago (montante)?
C=12.000
n=2 anos
i = 30% a.a = 0,3 a.a.
Como J = C x i x n  J = 12.000 x 0,30 x 2 = 7.200
O juro a ser pago é R$ 7.200,00
M = C + J  12.000 + 7.200  O valor a ser pago é de R$ 19.200,00
Uso da HP 12C  12.000 ENTER  12.000  Valor do empréstimo
30 %  3.600  Valor anual dos juros
 2 X  7.200 Valor total dos juros
12.000 +  19.200  Valor a ser pago (montante).
Ou ainda pela Hp 12C: 720 n ; 30 i ; 12000 CHS PV f INT + 
2. Uma aplicação de R$ 50.000,00, pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
Pv = C= 50.000
n=180 dias ou 180 ÷ 360 = 0,5 anos 
J = 8.250
i = ? a.a 
Como J = C x i x n  8.250 = 50.000 x i x 0,5 
5
,
0
000
.
50
250
.
8
x
i
=
  i = 0,33 ou 33% ao ano. Logo, a taxa anual é de 33%.
Usando a HP 12C  50.000 ENTER  50.000  Valor da aplicação
180 X  9.000.000 Valor da aplicação x prazo
8250 xy ÷  0,001  Taxa diária (forma unitária).
360 X  0,33  0,33  Taxa anual (forma unitária).
100 X  33%  Taxa anual (forma porcentual).
Ou ainda, utilizando a HP 12C: 8.250 ENTER 
 50.000 ENTER 
 0,5 X ÷ 
 100 X  Resposta em taxa percentual, 33% 
3. Sabendo-se que os juros de R$ 600,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00 à taxa de 0,8% ao trimestre, calcular o prazo dessa aplicação.
C= 7.500
J = 600
i = 0,008 a.t. (unitária)
n = ?
Como J = C x i x n  600 = 7.500 x 0,08 x n 
 
008
,
0
500
.
7
600
x
n
=
  n = 10 trimestres. Logo, o período de aplicação foi de 10 trimestres.
Usando a HP 12C  600 ENTER 
 7.500 ENTER 
 0,008 X ÷  10  Prazo em número de trimestre
 Taxa Efetiva:
 Para calcular a taxa efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor do resgate (Montante) pelo valor aplicado (Capital), diminuindo 1 (um) do quociente, ou seja, calcular a diferença percentual entre o capital e o montante.
 
1
-
=
C
M
i
 HP 12C C ENTER M Δ% 
Ex.: Uma empresa aplicou R$ 32.000. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação? 
 35.072,00 A taxa 9,6%a.p. representa
 0 48 a taxa de juro Efetiva
 32.000,00 no período de 48 dias. 
Solução:
A taxa anual de juro simples será: r= (9,6 / 48) x 360 = 72% a.a.
Exercícios:
1. Aplicou-se a importância de R$ 30.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% a.m. Qual o valor do juro a receber? R: R$1.080,00
2. Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 92.000,00, à taxa de 5% a.t., durante 3 meses. R: R$4.600,00
3. Um capital de R$ 56.000,00 foi empregado à taxa de 0,75% a.m., durante 4 meses. Calcule o juro produzido. R: R$ 1.680,00
4. Calcular o montante de uma aplicação de U$ 80.000,00 a 0,9% a.m., pelo prazo de 9 meses. R: R$ 86.480,00
5. Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% a.a., no regime de juros simples? R: R$86.046,51
6. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, pra obtermos o montante de R$ 832.000,00? R: 3 meses
7. Uma loja vende um carro por R$ 15.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual a taxa de juro mensal cobrada? R: 3,5% a.m
8. Uma empresa aplicou R$ 50.000,00 no dia 18/04/2006 e resgatou R$ 53.000,00 no dia 24/05/ 2006. Qual a taxa efetiva de juro recebida na aplicação? R: r = 7,2% a.p. de 36 dias.
Problemas complementares:
1. Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% a. a. para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias? (ano comercial, 360 dias mê). (R: R$ 2000,00) 
2. Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06/95 é liquidado em 08/08/95, foi penalizado com juros de R$1.650,00. Qual a taxa mensal de juro simples cobrada? (obs.: os dias são contados data a data, através do ano civil ) (R: 5% a.m.)
3. Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a texa de 4,5% a.m.. Na época do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicação? (R: 66 dias)
4. Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juro simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 7,2% a.a.. Qual o valor do resgate? (R: R$ 20.360,00)
5. Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m. para resgatar no final desse tempo R$ 12.672,00? (R$ 12.000,00)
6. O senhor José aplicou R$ 32.000,00 em 19/07/05 e resgatou em 05/09/05 R$ 35.072,00. Qual a taxa anual de juro simples obtida na aplicação? (R: 6% a. m. ou 72% a.a.)
7. U ma empresa aplicou R$ 50.000,00 no dia 18/04/05 e resgatou R$ 53.600,00 no dia 24/05/05. Qual a taxa efetiva de juro recebida na aplicação? (7,2% após 36 dias)
 Taxas proporcionais e equivalentes
 Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
 Tratando-se de juros simples, 
k
i
i
k
=
, onde ik é a taxa proporcional ao período e k é o número de períodos “menores” existentes no período “maior”.
Por exemplo, uma taxa de 30% a.a. equivale a 2,5% a.m.
k
i
i
k
=
 então, sendo i=0,30 e o ano contendo 12 meses, a taxa mensal é 
025
0
12
30
0
,
,
i
k
=
=
a.m. ou 2,5% a.m.
Duas taxas são equivalentes se aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, geram o mesmo juro.
Juro produzido ao capital de 20.000 à taxa de 4% a.m. durante 6 meses
J = 20.000 x 0,04 x 6
J = 4.800
Juro produzido ao capital de 20.000 à taxa de 12% a.t. durante 2 trimestres
J = 20.000 x 0,12 x 2
J = 4.800
Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a.m. e 12% a.t. são taxas equivalentes.
No regime de capitalização a juros simples as taxas proporcionais são também equivalentes.
Exercícios:
1. Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre. R: 32%
2. Calcule a taxa mensal e anual proporcional a 0,08% ao dia. R: 2,4% a.m R: 28,8%
3. Calcule a taxa mensal proporcional a 24% ao semestre. R: 4 a.m
4. Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determinar o juro obtido. R: R$ 499,80
5. Calcular o juro correspondente a um capital de R$18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias à taxa de 30% ao ano. R: R$ 13.098,00
6. Calcular o juro de um capital de R$1.500,00, aplicado a um taxa mensal de 1,2%, durante 3 anos. R: R$648,00
7. Um capital de R$630,00 foi aplicado durante 3 meses e 10 dias e rendeu um juro de R$37,80. Qual foi a taxa mensal empregada? R: 1,8% a.m
8. Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.000,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. (R: 5,15% a m.)
9 Qual o prazo que uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? (R: 1,75 ano, ou 21 meses).
Juro comercial e Juro exato
A técnica que considera 1 ano com 360 dias é utilizada para juro comercial simples. Entretanto, podemos obter o juro fazendo uso do número exato de dias do ano (365 dias ou 366, se bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato. No Brasil contamos apenas uma das datas extremas.
Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de 4 maneiras diferentes:
· Contando os dias num calendário, lembrando que apenas um dos dias extremos deve ser incluído.
· Adicionando períodos como, por exemplo, de um mês a outro e entre períodos do mesmo mês. Exemplo: de 11 de março até 18 de maio: 11 de março a 11 de abril = 31 dias, 11 de abril até 11 de maio = 30 dias e de 11 a 18 de maio = 7 dias. Logo teremos 68 dias.
· Usando a Tabela para Contagem de Dias (ver anexo). No exemplo anterior, 18 de maio na tabela corresponde a 138 dias e 11 de março, a 70 dias. Fazendo a subtração, obteremos 68 dias.
Obs.: Utilizando as teclas da calculadora HP 12C: Digita a data mais antiga e aperta a tecla enter, digita a data mais recente e aperta as teclas g ΔDYS
Como digitar datas? 
Se estiver trabalhando no formato dia-mês-ano, aperta as teclas g do D.MY digita o dia com um ou dois dígitos e aperta a tecla do . , digita o mês com dois dígitos e o ano com 4 dígitos. 
Você pode trabalhar com a calculadora HP 12C programada no formato mês-dia-ano, clicando antes das datas as teclas g M.DY .
 Exercícios:
1. Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07/05 e pago em 25/11/05 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 45% ao ano, qual o juro total a ser pago? Qual o montante a ser devolvido? R: ano civil R$ 9.841,37 e ano comercial R$ 9.860,00.
2. Qual o valor do capital que, aplicado durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$19.008,00? R: R$ 88.000,00
3. Uma aplicação de R$ 8.000,00, pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 840,00. Qual a taxa anual correspondente? Qual o valor resgatado? R: i= 21% a.a.
4. Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00, à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juro? n= 0,2097 anos, ou 2,52 meses, ou ainda 75,5 dias
5. Um capital inicial de R$16.000,00, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$2.192,00 de juro. Sabendo que a aplicação foi feita no dia 15/05/1988, qual foi a data de vencimento do contrato, considerando ano comercial? R: 29/09/1988
Prazo Médio
 Sejam os capitais C1, C2, C3, ......,cm, todos empregados em juro simples, a uma mesma taxa i durante os tempos t1, t2, .....tm, respectivamente. Chama-se prazo médio aquele no qual se deve empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.SE: C1 = C2 = C3 = ...= Cm
Então: 
Ex.1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juros simples durante 36 dias e 156 dias respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?
Solução: 
Obs.: Os prazos deverão ser expressos na mesma unidade de tempo. (Todos em dias, ou todos em meses ou todos em anos....).
Ex. 2: Uma pessoa deposita R$ 2.000,00 no início de cada mês, a taxa de 5% a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de um ano. 
Solução: sendo C1 = C2 = C3 =......C12= R$2.000,00
 t1 = 12 meses t2= 11 meses t12 = 1 mês
 
Então: 
 Obs.: Quando os capitais forem iguais e os tempos (prazos) estiverem em progressão aritmética, pode-se determinar o prazo médio através da média aritmética dos tempos extremos. t = (1 + 2)/ 2= 6,5 meses
 M = 24.000 (1 + 0,05 X 6,5)=r$ 31.800,00
 Obs.: Sempre que for utilizado o prazo médio deve-se considerar, no cálculo, a soma dos capitais.
Desconto simples 
 Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credor um título de crédito (por exemplo, nota promissória, letra de câmbio, duplicata), que é o comprovante da dívida.
 O título de crédito tem uma data de vencimento. Para os títulos resgatados antecipadamente, pode-se obter um abatimento, que é denominado desconto.
 O desconto pode ser feito de duas formas :
- considerando-se como capital o valor nominal (valor futuro - Fv) - desconto comercial, também chamado desconto por fora.
- Considerando-se como capital o valor atual (valor presente - Pv) - desconto racional, também chamado desconto por dentro.
Desconto comercial, bancário ou Desconto “Por Fora”
 Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada.
 Ou Se N = Fv e A = Pv, temos:
 
dc = valor do desconto comercial  quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
N = valor nominal do título  valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento). Pode ser chamada de Fv (Valor futuro)
A = valor atual comercial ou valor descontado comercial  valor líquido pago ou recebido antes do vencimento. Pode ser chamado Pv (valor presente)
n = tempo  período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último)
i = taxa de desconto
OBS: o desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título.
Exemplos:
1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% a.m. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor do desconto comercial e o valor atual comercial.
N= 60.000 
n= 45 d = 1,5 m
i = 0,021 a.m.
Sendo dc=N x i x n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = 1.890
O valor do desconto comercial é R$ 1.890,00
A = N – dc = 60.000 – 1.890 = 58.110 Usando a HP 12C
 Ou A = N (1 – i x n)  60000 E
 A = 60.000 (1 – 0,021 x 1,5) 1 E 
 A = 58.110 0,021 E
 1,5 X - ÷
 (O valor atual comercial do título é R$ 58.110,00)
 OU ainda, usando a HP 12C  60000 ENTER 60.000  Valor do título
 
 2,1 % 30 ÷  42 Valor do desconto diário
 45 X  1.890  Valor total do desconto.
 60000 - CHS  58.110  Valor atual.
2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 6 meses, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?
 N= 1.000 
n= 6 m
A = 880
i = ? a.m.
Sendo A = N (1 – i x n) 
· 880 = 1000 (1 – i x 6) 
· 
i
6
1
1000
880
-
=
 
 6i = 1 – 0,88
  i = 0,12 ÷ 6 = 0,02 ou seja 2% ao mês 
 Com HP 12C  1000 ENTER 
 880 -  120  Valor do desconto 
 1000 ÷ 100 X  12 Taxa de desconto (em%) para 6 meses
 6 ÷  2  Valor da taxa mensal de desconto.
Ou ainda com HP 12C 
 1 E; 880 E; 1000 ÷ -; 6 ÷; 100 x
Exercícios:
1. Uma duplicata, cujo valor nominal é de R$ 20.000,00 foi resgatada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 30% a.a. De quanto foi o desconto comercial? R: R$ 1.000,00
2. Um título de R$ 4.500,00 foi resgatado antes do vencimento por R$ 3.950,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% a.a., calcule o tempo de antecipação do resgate. R: 0,37722 anos, ou 4,53 meses ou 135,8 dias
3. Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial (por fora) 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6% a.m.. Calcular desconto e o valor atual a ser pago. R: R$ 21.840,00; R$ 258.160,00.
4. Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes de seu vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal (valor futuro) qual o valor líquido recebido pelo portador? R:R$ 223.680,00
5. Uma empresa desconta 5 títulos no valor total no valor de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, num banco que opera com a taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão antecipada de 0,5% sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa? 
 R: R$ 16.891,43
 Taxa de juro efetiva (ver pág. 16 e 17)
 Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor nominal dos títulos (N), o prazo médio destes títulos (n) e o valor líquido (VL) recebido pelo portador. 
 É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula:
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizados tanto para juro comercial, quanto bancário.
Ex.: Um título de R$ 3.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,4% ao mês. Faltando 50 dias para o vencimento do título, determine:
(a) O valor do desconto comercial (b) O valor atual comercial (c) A taxa efetiva de juros
Exercícios:
1. Um título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a.
a) Qual o valor do desconto comercial? (R: R$ 412,50)
b) Quanto recebeu o proprietário do título? (R: R$ 5.087,50)
c) Qual a taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r= 32,43%a. a. ou 8,1% ao período
2. Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00? (R: 3% ao mês).
3. Uma empresa descontou um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? (R: 8,46% ao período ou 6,5% a.m.)
4. Se no exercício “3” fosse cobrada uma comissão de 0,4% sobre o valor nominal do título, qual seria a taxa efetiva de juro do período? (R: 8,93% ao periodp ou 6,87% a.m.)
Desconto Bancário
Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa pré-fixada, cobrada sobre o valor nominal.
Essa taxa de despesas bancárias é referida freqüentemente como sendo as despesas administrativas (h) do banco ou instituição que faz a operação. O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do desconto comercial.
Dessa forma, temos:
 valor do desconto bancário. 
 valor atual bancário.
Ex.: Um título de R$ 1.500,00 foi descontado no Banco A, que cobra 1,5% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 24% a.a.
Qual o valor do desconto bancário?
 R$ 82,50
Quanto recebeu o proprietário do título?
R$ 1.417,50
Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual?  34,92% ao ano
Dados: 
N = 1.500 
n = 2 meses
i = 24% ao ano ou 0,24 ao ano  corresponde a 0,02 ao mês.
h = 1,5% ou 0,015 sobre o valor.
Db = N(i.n + h) Db = 1.500 (0,02 x 2 + 0,015)  Db = 82,50
Ab = N – Db Ab = 1.500 – 82,50 = 1.417,50
n
A
D
i
f
.
=
2
50
,
417
.
1
50
,
82
x
i
f
=
 if = 0,0291 ou 2,91% ao mês e 34,92% ao ano
Obs.: A taxa efetiva pode ser calculada por: 
Exercícios:
1. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no Banco X, que cobra 2% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 3 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 30% a.a.
a) Qual o valor do desconto bancário? R: R$522,50
b) Quanto recebeu o proprietário do título? R: R$4.977,50
c) Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r=10,49% nos 3 meses.
2. Um título de R$ 4.800,00 foi descontado no Banco Y, que cobra 1,8% como despesa administrativa. Sabendo-se que o título foi descontado 2 meses antes de seu vencimento e que a taxa corrente em desconto comercial é de 30% a.a.
a) Qual o valor do desconto bancário? R: R$326,40
b) Quanto recebeu o proprietário do título? R: R$ 4.473,60
c) Qual taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? R: r= 43,78% no ano ou 7,2% no período.
3. Uma duplicata de R$ 23.000,00 foi resgatada 112 dias antes de seu vencimento por R$ 21.068,00. Determine a taxa de desconto e a taxa efetiva. (R: r=2,25a.m.% e 9,17% ao período ou 2,46%a.m.) 
Equivalência de Capitais (ou de títulos) no Desconto Comercial.
Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos
.
Dizemos que dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são iguais.
Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valores atuais dos títulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a data zero (data de contração da dívida).
Ex.1: Uma pessoa que substituir um título de R$5.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual o valor nominal comercial do novo título? (R$ 5.424,24).
Dados: 
N1 = 5.000
i1 = i = 3,5% a. m. = 0,035 a. m.
n1 = 3 meses
n = 5 meses
A = A1 
N(1 – i x n) = N1(1 – i1 x n1)
 A = N(1 – 0,035 x 5)  A = 0,825 N
 A1 = 5.000(1 – 0,035 x 3)  A1 = 4.475
donde vem: 0,825N = 4.475  logo o valor do novo título é de R$5.424,24
Ex. 2: Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$3.000 e o outro de R$ 3.600, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3% ao mês. Qual será o valor do novo título? (R$6.559,09)
Dados: 
N1 = 3.000
N2 = 3.600
i1 = i2 = i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n1 = 2 meses
n2 = 6 meses
n = 4 meses
A = A1 + A2  N(1 – i x n) = N1(1 – i1 x n1) + N2(1 – i2 x n2)
 A = N(1 – 0,03 x 4)  A = 0,88 N
 A1 = 3.000(1 – 0,03 x 2)  A1 = 2.820
 A2 = 3.600(1 – 0,03 x 6)  A2 = 2.952
Daí: 
0,88 N = 2.820 + 2.952  0,88 N = 5.772  N = 6.559,09
Logo o valor do novo título é de R$ 6.559,09
Ex. 3: Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro de R$ 12.000 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencível, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% ao mês. (R$ 5.613,47).
Dados: 
N1 = 5.000
N2 = 12.000
i1 = i2 = i = 3% a. m. = 0,03 a. m.
n1 = 3 meses
n2 = 2 meses
n1’ = 1 mês n2’ = 2 meses e n3’ = 3 meses
Para essa equivalência, devemos ter: 
A1’ + A2’ + A3’ = A1 + A2  N1’ = N2’ = N3’ = N
N1’ (1 – i x n1’) + N2’ (1 – i x n2’) + N3’ (1 – i x n3’)= N1(1 – i1 x n1) + N2(1 – i2 x n2)
 A1’ = N(1 – 0,03 x 1)  A1’ = 0,97 N
 A2’ = N(1 – 0,03 x 2)  A2’ = 0,94 N
 A3’ = N(1 – 0,03 x 3)  A3’ = 0,91 N
 A1 = 5.000(1 – 0,03 x 3)  A1 = 4.550
 A2 = 12.000(1 – 0,03 x 2)  A2 = 11.280
Daí: 
0,97N + 0,94N + 0,91 N = 4.550 + 11.280  2,82N = 15.830  N = 5.613,47
Logo, o valor nominal de cada um dos novos títulos será de R$ 5.613,47.
Exercícios:
1. Um título de valor nominal igual a R$ 6.300 para 90 dias deverá ser substituído por outro
 para 150 dias. Calcule o valor nominal do novo título, à taxa de 2,5% ao mês. (R: R$6.660)
2. Um industrial deve pagar dois títulos: um de R$ 14.400 para 2 meses e outro de R$ 19.200 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgata-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um novo título para 4 meses. Qual o valor nominal do novo título, sendo a taxa igual a 3,8% ao mês. (R: R$35.751)
3. Substitua 3 títulos, um de R$ 4.000 para 30 dias, outro de R$ 10.000 para 60 dias e outro de R$ 16.000 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, vencíveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3,5% ao mês? (R: R$ 15.658,00).
Desconto racional ou Desconto “Por Dentro”
 Chamamos de desconto racional ou por dentro o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo correspondente.
 Na prática somente o desconto comercial é utilizado, entretanto os conceitos de desconto racional são utilizados no desconto composto.
 
 
dr = valor do desconto racional Ar = valor atual ou valor descontado racional
Ex.: Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% a.m. Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor do desconto racional e o valor atual racional.
N= 60.000
n= 45 d = 1,5 m
i = 0,021 a.m.
28
832
1
5
1
021
0
1
5
1
021
0
000
60
1
,
.
,
x
,
,
x
,
x
.
in
Nin
d
r
=
+
=
+
=
O valor do desconto racional é R$ 1.832,28
Ar = N – dr = 60.000 – 1.832,28 = 58.167,72
O valor atual racional do título é R$ 58.167,72
OBS: comparando os valores obtidos com o desconto racional e com o comercial percebe-se que o desconto racional é menor que o comercial.
Exercício:
1. Sabe-se que o desconto racional de uma operação financeira é de R$ 149,60, que o valor atual é de R$ 680,00 e que a taxa de juro de 2% a.m. 
a) Calcule o tempo de antecipação. R: 11 meses 
b) b) Qual o valor nominal do título. R: R$829,60
2. Uma pessoa pretende saldar um título de R$ 5.500,00, 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a.
a) Qual o desconto racional que vai obter? R: R$383,72
b) Qual o valor a ser pago pelo título? R: R$ 5.1116,28 
c) Qual a taxa efetiva? R: i= 29,99% a.a. ou 30%ª.ª., 7,5% no período)
3. Determinar o valor do desconto o valor atual racionais de um título de R$ 50.000,00, disponíveldentro de 40 dias, à taxa de 3% ao mês. R: R$ 1.923,00 e R$ 48.077,00 
4. Uma dívida de R$ 12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% ao ano? R: $ 990,83
5. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for de $ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% ao ano? R: $ 17.391,30.
6. Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível ao final de 60 dias, sendo 10% a.m., a taxa de juros simples? R$ 100.000,00
7. No exercício “6”, qual é o valor do desconto racional? R: R$ 20.000,00
 8. Um título de valor nominal R$ 5.3000,00 foi descontado racionalmente a taxa de 18% a.a.. Sabendo-se que o desconto sofrido foi de R$ 300,00, quantos dias antes do vencimento efetuou-se a operação? R: 4 meses
9. Uma nota promissória de valor nominal igual a R$ 8.856,00, com vencimento para 4 meses, foi comprada por R$ 8.000,00. Qual a taxa do desconto racional exigida pelo comprador? R: 2,675% a.m.
10. Qual é o valor futuro, que uma pessoa deverá receber se colocou o valor de R$ 5.600,00, a juro simples, sob uma taxa de 15% a.a.durante o período de 05/03/2005 a 28/09/2005? R: R$ 6.083,00 (não comercial; ou R$6.076,38 se for ano civil) 
Exercícios complementares
1. Calcule o valor futuro de um capital de R$ 3.600,00, colocado a juro à uma taxa de 12% a.a. de 2 de janeiro de 2004 a 28 de maio de 2005; (512 dias)? R: R$ 4.214,40
2. Sabendo que um capital foi duplicado em 8 anos a juros simples, a que taxa foi i empregado esse capital? R: 12,5%
3. Uma empresa pagou um título de R$ 16.240,00 com atraso de 18 dias. Se a empresa credora cobra juro simples à taxa de 5% a.m.. Qual o juro pago pela empresa devedora? R: R$ 487,20
4. Um equipamento é importado e seu valor é financiado em 12 parcelas mensais iguais, acrescidas de juros simples de 12% ao ano, no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento é de R$ 19.500,00, qual é o valor do financiamento? R$ 300.000,00.
5. Uma mercadoria é vendida a prazo nas seguintes condições: R$ 100,00 de entrada, R$ 100,00 em 36 dias, e R$ 100,00 em 66 dias. Sendo 3,3% a.m. a taxa linear de juros até que preço é interessante comprar a mercadoria à vista? R: R$ 289,42
6. O desconto por fora, incide sobre uma letra de vencível em três meses e quinze dias, é de R$ 560,00. Se a taxa cobrada pelo banco é de 1,6% a m., calcule o valor nominal. R:R$10.000,00
7. Um título cujo valor nominal é R$ 12.400,00, foi descontado, num banco que opera com uma taxa de desconto de 5% a.m. 27 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que o banco cobra, ainda, uma taxa de IOF de 0,0041% a.d. e mais uma taxa de despesas administrativas de 0,8% sobre o valor nominal do título, determine: a) O valor do desconto. b) O valor das despesas administrativas. c) O valor do IOF. d) O valor líquido do título. e) A taxa de juros efetiva para o período paga pelo cliente. f) A taxa de juros simples mensal paga pelo cliente.
 JURO COMPOSTO, OU SEJA, CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
 Dizemos que um capital está empregado em juros compostos se no final de cada período financeiro, previamente estipulado, o juro simples produzido é somado ao capital passando a render juros no período seguinte. 
Período
Juro do período
Montante
1
J1 = C x i
M1 = C +J1 = C + (C x i) = C(1+i)
2
J2 = M1 x i
M2 = M1 + J2 = M1 + M1 x i = M1 (1+i) =
 C (1+i)(1+i) = C (1+i)2
3
J3 = M2 x i
M3 = M2 + J3 = M2 + M2 x i = M2 (1+i) =
 C (1+i)2 (1+i) = C (1+i)3
...
n
Jn = Mn-1 x i
Mn = C (1+i)n
 O mesmo que: O mesmo que: 
OBS: (1+i)n corresponde ao fator de capitalização.
Exemplos:
1. Considere uma aplicação inicial de R$1.000,00, à taxa de 20% ao ano, durante o período de 4 anos.
· Se você for usar uma calculadora eletrônica que possui a tecla xy, então o processo de cálculo pode ser assim verificado, usando o exemplo:
Fator de capitalização é 1,24  1,2 xy 4 = 2,074 que multiplica com o capital inicial e resulta o Montante  1,2 xy 4 = 2,0736 x 1.000 = 2.073,60, ou seja, Fv =1.000 (1 + 0,2)4 =............
· Se você usa a calculadora HP 12C, então:
Limpa os valores financeiros anteriores, se porventura existirem: f CLEAR FIN
1000 CHS PV 4 n 20 i FV = 2.073,60
Se você não usar a tecla CHS, o valor aparecerá no visor como sendo negativo. Teste.
PV  Valor Presente – ou valor atual
FV  Valor futuro ou Montante
n  número de períodos (tempo)
i  taxa em porcentagem
· Quando não se tem calculadora apropriada, pode se usar uma tábua financeira.
· Nos exemplos seguintes, analise os dados apresentados para inserir na calculadora.
2. Calcule o montante produzido por R$ 20.000,00, aplicados no regime de juro composto a 5% ao mês, durante três meses.
C= 20.000
n= 3 meses
i = 0,05 a.m.
50
152
23
05
0
1
000
20
1
3
3
,
.
)
,
(
.
M
)
i
(
C
M
n
n
=
+
=
®
+
=
 
ou utilizando a HP 12C f CLEAR FIN
 20.000 CHS PV; 3 n; 5 i; 
 FV = 23.152,50
Na calculadora HP 12C, podemos utilizar as 5 primeiras teclas da parte de cima lado esquerdo: n; i; PV; CHS; FV, na ordem que desejar, observando que a grandeza que está sendo calculada deverá ser clicada por último.
 No exemplo acima, temos: 3 n; 5 i; 20.000 CHS PV; FV
3. Uma pessoa toma R$ 30.000,00 emprestados, a juro de 3% a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
C= 30.000
n= 10 meses
i = 0,03 a.m. (R$ 40.317,49).
4. Calcule o capital inicial que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês produziu o montante de R$ 40.575,00.
C= ?
M5=40.575
n= 5 meses
i = 0,03 a.m. (R: capital inicial é de R$ 35.000,35).
· Pela fórmula:
· Com HP 12C: 5 n; 3 i; 40.575,00 CHS FV; PV 
5. Uma loja financia um bem de consumo durável no valor de R$ 320.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 404.900,00 no final de 6 meses. Qual a taxa cobrada pela loja?
C= 320.000
M6=404.900
n= 6 meses
i = ? a.m
%
,
,
i
,
i
,
)
i
(
)
i
(
,
)
i
(
,
)
i
(
.
.
)
i
(
.
.
)
i
(
C
M
n
n
4
04
0
1
0400
1
0400
1
1
2653
1
1
1
2653
1
1
2653
1
1
000
320
900
404
1
000
320
900
404
1
6
6
6
6
6
6
6
=
=
-
=
®
=
+
®
=
+
®
+
=
+
=
®
+
=
®
+
=
®
+
=
Pode ser calculado utilizando as propriedades operatórias dos log (Logaritmo decimal) ou ln (logaritmo natural), aplicados na fórmula:
Podemos ainda utilizar a HP 12C: 6 n; 404.900 FV; 320.000 CHS PV; i 
6. Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000,00 pode ser quitado em único pagamento de R$ 22.125,00, sabendo que a taxa de juro contratada é de 15% ao semestre, em regime de juro composto.
C= 11.000
Mn=22.125
n= ? semestres
i = 0,15 a.t.
· Utilizando a fórmula e as propriedades dos logaritmos: (R: 5 semestres, ou 2 anos e 6 meses).
· Utilizando HP 12C: 15 i; 22125 FV; 11000 CHS PV; n
Atividades de fixação
1. Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juros compostos? R: 3%
2. O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo s R$ 114.536,00. Calcule este tempo. R: 8 meses
3. Que capital deve ser empregado a juro composto a taxa de 12% a.t., para que em dois anos, em capitalização composta trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? (Obs. passar o tempo para trimestre). R: R$ 338.626.13
4. No finalde quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de R$ 120.000,00 à uma taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? R: 15 meses
5. Um capital empregado a juro composto com capitalização mensal, constitui, no final de 10 meses, um montante de R$ 44.407,33. Se tivesse sido colocado durante dois anos, nas mesmas condições, teria constituído um montante de R$76.899,13. Determine o capital aplicado. R: R$ 30.000,00
6.Uma empresa tomou emprestado R$ 98.000,00 e comprometeu-se pagá-la no final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo que a capitalização é mensal. R: 6,2%
7. O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m. Qual o montante constituído no final dos seis meses? R$ 66.876,12
 8. Uma divida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 132 dias de atraso, sob uma taxa de 12% ao mês. Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção exponencial. R$ 164.649,08.
Taxas proporcionais e equivalentes
 Taxas proporcionais: quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade.
 Assim, 12% ao ano é proporcional a 1% ao mês  
mês
meses
ano
1
%
1
12
%
12
1
%
12
=
=
 Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo é o mesmo. Por exemplo:
 taxa anual taxa trimestral
 capitalização anual capitalização trimestral 
 Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.
Exemplo:
 Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule o montante nas duas situações:
Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a.
=
+
=
+
=
1
)
24
,
0
1
(
000
.
1
)
1
(
n
n
i
C
M
....................
Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m.
=
+
=
+
=
12
)
02
,
0
1
(
000
.
1
)
1
(
n
n
i
C
M
...............
 Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não são equivalentes, mas são proporcionais.
Taxas equivalentes: Duas, ou mais taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos e capitalizações diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de determinado tempo, montante igual.
Para as frações do ano, no regime de capitalização a juros compostos, as relações são:
 (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia)
Exemplo:
Qual a taxa trimestral equivalente a 30% ao ano?
ia=30% a.a = 0,30 a.a
Como (1 + it)4 = (1+ ia) então (1 + it)4 = (1+ 0,30) 
%
,
,
i
,
)
i
(
,
)
i
(
78
6
0678
0
0678
1
1
3
1
1
4
4
4
=
=
®
=
+
®
=
+
 A taxa trim. É de 6,78% a.t.
 Fórmula: C (1 + i) = C (1 + im)m
 (1 + i) = (1 + im)m
 i = (1 + im)m - 1 (fórmula 1) ou im = (1 + i)1/m - 1 (fórmula 1) 
 
Podemos utilizar também o modelo matemático: 
 Onde: i = taxa conhecida
 ik = taxa a ser calculada
 k = tempo do período da taxa a ser calculada.
 m = tempo da taxa conhecida, em relação a k
Exemplos: Sendo 18% a.m. a taxa efetiva de juro, determine a taxa efetiva para:
a) Um dia. i(1) = (1 + 0,18)1/30 –1 = ......... 
b) Quarenta dias. i(40) = (1 + 0,18)40/30 –1 = .........
c) Um ano i(18)= (1 + 0,18)12/1 –1 = ..........
Exercício:
1. Empreguei um capital de R$ 25.000,00 em regime de juros compostos, à taxa de 36% a.a. durante 6 meses. Calcular a taxa equivalente ao mês e o montante no final do tempo. R: R$ 29.153,94; R: 2,595% a.a.m
Taxas nominais
 Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal.
 Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, adotamos, por convenção, que a taxa por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal. 
 Se, por exemplo, a taxa de capitalização é de 10% a.m., a taxa nominal será de: 10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente.
Exemplo:
Qual o montante de um capital de R$ 50.000,00, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano, capitalizado trimestralmente?
C= 50.000
 M2= ? n= 2 anos = 8 trimestres
i = 24% a.a. = 6% a.t. = 0,06 a.t.
=
+
=
®
+
=
8
8
)
06
,
0
1
(
000
.
50
)
1
(
M
i
C
M
n
n
............ (O montante é de R$ 79.692,40)
Taxas efetivas (if)
 No caso das taxas nominais, o valor final pago não é igual ao oferecido, é maior. A taxa realmente utilizada é a taxa efetiva (if).
 Logo a taxa efetiva é obtida através do modelo matemático: 
Exemplos:
1. Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.
i = 18% a.a. = 0,18 a.a.
1 ano = 2 semestres  k=2
18810
0
1
18810
1
2
18
0
1
1
2
,
i
,
i
)
,
(
i
f
f
f
=
®
-
=
®
+
=
+
 (A taxa efetiva é de 18,81% ao ano).
2. Encontre a taxa anual, equivalente a 2% a.m.
i= (1 + im)12 – 1
i=.............. x 100 (R: 26,8241795% a.a.)
3. Determine a taxa efetiva em 93 dias de 15,5% a.a.
i= (1 + 0,155)93/360 – 1 (R: 3,7927485% a.p. (93dias)
Exercício.
1. Um banco emprestou a importância de R$ 35.000,00 por 2 anos. Sabendo que o banco cobra a taxa de 36% ao ano, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva anual e qual o montante a ser devolvido ao final dos dois anos? (R: 41,%; R$ 69.739,53)
2. Um banco oferece empréstimo a taxa de 72% a.a.em capitalização mensal (taxa nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? (R: 101,2196% a.a.)
3. Sendo 12% a.m. a taxa de juro, determinar a taxa para:(R: 0,3785% a.d.; 14,135% a.p.; 
 289,60% a.a.).
 a) um dia. b) trinta e cinco dias. c) um ano.
4. Um CDB (certificado de crédito Bancário) paga uma taxa de 25,2% a.a. Determine a taxa bruta equivalente para 32 dias. (R: 2,018% a.p.)
 5. Um banco está pagando uma taxa de 2,14% para as capitalizações realizadas pelo período de 35 dias. Calcule a taxa equivalente anual desta operação. (R: 24,3328595% a.a.) 
Taxa real e taxa aparente
 Denominamos taxa aparente aquela que vigora nas operações correntes.
Quando não há inflação, a taxa aparente é igual à taxa real, porém, quando há inflação, a taxa aparente é formada por dois componentes: um correspondente à inflação e outro correspondente ao juro real.
Sendo:
 C o capital inicial ir a taxa real
 ia a taxa aparente
 ii a taxa da inflação
Podem acontecer os seguintes casos:
· Com uma inflação igual a zero, e uma taxa de juros ir, o capital inicial se transformará ao final do período em C (1+ir).
· Com uma taxa de inflação ii, o capital inicial, ao final de um período, equivalerá a C(1 + ii).
· Com uma taxa de juros ir e uma taxa de inflação I, simultaneamente, o capital inicial equivalerá a C (1+ ir) (1+ii).
· Com uma taxa aparente ia, o capital inicial se transformará, ao final de um período em C (1+ ia). 
Daí temos
Exemplo:
Qual deve ser a taxa aparente correspondente a uma taxa real de 0,8% a.m. e uma inflação de 20% no período?
ir = 0,8% a.m. = 0,008 a.m.
ii = 20% = 0,2
Logo, 1 + ia = (1+0,008)(1+0,2)= 1,2096 
Daí, i=1,2096 – 1= 0,209 Assim A taxa aparente deveser de 20,96%
Exercícios:
1. Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período foi de 15%. (8,7%)
2. Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. + TR? (considere TR do mês 0,45%). (R: 0,95225% a.m.)
3. Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. (9,09% a. a.).
4. Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano. Qual a taxa da inflação? (11,9%)
3. Um banco cobra a taxa nominal de 10% ao mês, mas exige que o pagamento dos juros seja feito no ato do empréstimo. Qual a taxa efetiva cobrada pelo banco para pagamento em 30 dias? (10,50% a.p. de 30dias)
Taxa acumulada
Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos. Se a taxa for constante em todos os períodos, então a taxa acumulada será iacumulada=(1+ido período)n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros acumulada quando ela não é constante.
 iacumulada = [(1 + i1) x (1 + i2) x ... x (1 + in)- 1] x 100 
Exemplos:
1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período?
i1=0,12 e i2=0,10
iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2%
2. Em três anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no período? 
i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05
iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1 = 
= 1,2134 - 1 = 0,2134 = .........................
Exercícios:
1. A inflação nos últimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao mês, respectivamente. Determine a taxa acumulada no período. R: 18,6361126%
2. Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre? (R:18,72%)
3. Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 1,17 no segundo e 1,23% no terceiro mês do ano. (3,64 %)
 4. Com bases em uma taxa de 18,6% ao trimestre, calcule as taxas equivalentes para 28 dias e 116 dias, respectivamente. (R: 5,45% a.p.; 24,59% a.p.)
5. Em suas operações financeira, certa instituição está cobrando juros de 2,5% a.m. + variação da TR. Suponha que uma empresa necessite recursos pelo prazo de 145 dias e que a variação da TR nesse período seja de 8,32%, calcule a taxa conjunta desta operação. (R: 22,051% a.p)
6. Uma empresa aplicou R$ 100.000, durante um período em que a inflação foi de 15%. Resgatou R$ 120.750,00. Qual a taxa de ganho real? (obs.: A taxa real é calculado sobre o capital corrigido). (R: 5% a.p)
 7. S e a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m e a TR do mês foi de 1,2%, qual a taxa de ganho real? (R: 2% a.m.)
Desconto composto
 O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar o pagamento de um vencimento.
 Emprega-se o desconto composto para operações a longo prazo, já que a utilização do desconto simples em períodos longos pode resultar em valores sem nexo.
 Assim como no caso de descontos simples, em descontos compostos temos dois tipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente não é utilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional.
A = N (1+i)-n
n
i
N
A
)
1
(
+
=
d = N – A
d = N [ 1 – (1 + i)-n ]
n
n
i
i
N
d
)
1
(
]
1
)
1
[(
+
-
+
=
d= A [(1 + i)n – 1]
A = valor atual racional ou valor descontado racional  valor líquido pago ou recebido antes do vencimento
N = valor nominal do título  valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento)
i = taxa de desconto
n = tempo  período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último)
Exemplos:
1. Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.
N = 80.000
n = 4 meses
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
A = N (1+i)-n  80.000 (1+0,02)-4  73.907,63
Usando a HP 12C  80000 FV 4 n 2 i PV CHS 
O valor atual do título é de R$ 73.907,63
2. Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?
d =?
N = 50.000
n = 3 meses
i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
Como d = N – A, 
 A = N (1+i)-n = 50.000 (1+0,025)-3 = 46.429,97
d = 50.000 - 46.429,97 = 3.570,03
Usando a HP 12C  50000 FV 3 n 2,5 i PV 50000 + 
O valor do desconto é de R$ 3.570,03
Exercícios:
1. Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 112.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente. R$ 48.956,23
2. Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 84% a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro? R: R$ 6.663,42
3. Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? R$ 10.710,15
3. Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 39.954 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046, qual foi a taxa de juro mensal adotada? 1,85 %
4. Um título no valor nominal de R$ 75.000 com vencimento para 5 meses é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? R$ 70.694,69
5. Um comerciante, devedor de um título de R$ 400.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. R$ 119.047,62
 7. Uma empresa devedora de dois títulos, um de valor R$ 30.000,00 vencível no final de 129 dias e outro de valor de R$ 42.000,00 vencível no final de 171 dias, pretende liquidá-los imediatamente. Se o credor concorda com a transação a uma taxa de 48% a.a.capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois títulos? R$ 58.930,23
Exercícios complementares. (juro composto, taxas e desconto)
1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 1.000,00, aplicado pelos prazos e taxas: 
a) 1% a.m; 12 meses (R$ 1.126,83) b) 1,5% a.m.; 3 anos (R$ 1.709,14)
c) 3% a.t.; 18 meses (R$ 1.194,05) d) 10% a.a.; 120 meses (R$2 593,74)
2. certa pessoa pretende comprar uma casa por R$ 500.000,00, daqui a 6 anos. Quanto deve aplicar esta pessoa hoje para que possa comprar a casa no valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for a) 3% a.t. (R$ 245.966,88) b) 5% a.s. (R$278.418,71)
3. Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 50.000,00 a taxa de juros compostos de 23%a.m., para elevar-se a R$ 75.645,00? (R: 2meses)
4. Uma pessoa investiu em um banco R$ 150.000,00, à taxa efetiva de 10% a.m., por 4 meses e 10 dias. Qual o montante dessa aplicação (capitalização mensal composta, com período fracionário)? R: R$226.704,20 
5. Qual a taxa mensal de juro que é recebida por um investidor que aplicou R$ 5.325,00 e resgatou após 3 meses e 24 dias a quantia de R$ 5.736,89? (capitalização mensal) (1,98%)
6. Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R$ 42.076,56. Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 30.000,00 em um banco que paga 7% a.m. de juro composto.