engenharia econômica

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G R A D U A Ç Ã O
DR. CLAUDIO ROBERTO MAGALHÃES PESSOA
Engenharia
Econômica
Híbrido
GRADUAÇÃO
Engenharia 
Econômica
Dr. Claudio Roberto Magalhães Pessoa
DIREÇÃO UNICESUMAR
Reitor Wilson de Matos Silva, Vice-Reitor e 
Pró-Reitor de Administração, Wilson de Matos 
Silva Filho, Pró-Reitor Executivo de EAD William 
Victor Kendrick de Matos Silva, Pró-Reitor de 
Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente 
da Mantenedora Cláudio Ferdinandi.
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James 
Prestes, Tiago Stachon , Diretoria de Design 
Educacional Débora Leite, Diretoria de Graduação 
e Pós-graduação Kátia Coelho, Diretoria de 
Permanência Leonardo Spaine, Head de Produção 
de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho, 
Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros, 
Gerência de Projetos Especiais Daniel F. Hey, 
Gerência de Produção de Conteúdos Diogo 
Ribeiro Garcia, Supervisão do Núcleo de Produção 
de Materiais Nádila de Almeida Toledo, Projeto 
Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães 
Cripaldi, Fotos Shutterstock.
Coordenador de Conteúdo Crislaine Rodrigues 
Galan e Fabio Augusto Gentilin .
Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e 
Yasminn Talyta Tavares Zagonel.
Revisão Textual Cintia Prezoto Ferreira e Talita 
Dias Tomé.
Editoração Bruna Stefane Martins Marconato e 
Isabela Mezzaroba Belido.
Ilustração Bruno Pardinho e Marcelo Goto.
Realidade Aumentada Kleber Ribeiro, Leandro 
 Naldei e Thiago Surmani.
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; PESSOA, Claudio Roberto Magalhães. 
Engenharia Econômica. Claudio Roberto Magalhães Pessoa. 
Maringá-PR.: Unicesumar, 2018. Reimpresso em 2021.
208 p.
“Graduação - EAD”.
1. Engenharia 2. Econômica 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1277-4
CDD - 22 ed. 330
CIP - NBR 12899 - AACR/2
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação
CEP 87050-900 - Maringá - Paraná
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Impresso por:
PALAVRA DO REITOR
WILSON DE MATOS SILVA
REITOR
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalha-
mos com princípios éticos e profissionalismo, não 
somente para oferecer uma educação de qualida-
de, mas, acima de tudo, para gerar uma conversão 
integral das pessoas ao conhecimento. Baseamo-
-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emo-
cional e espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois 
cursos de graduação e 180 alunos. Hoje, temos 
mais de 100 mil estudantes espalhados em todo 
o Brasil: nos quatro campi presenciais (Maringá, 
Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 
300 polos EAD no país, com dezenas de cursos de 
graduação e pós-graduação. Produzimos e revi-
samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil 
exemplares por ano. Somos reconhecidos pelo 
MEC como uma instituição de excelência, com 
IGC 4 em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 
10 maiores grupos educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos 
educadores soluções inteligentes para as ne-
cessidades de todos. Para continuar relevante, a 
instituição de educação precisa ter pelo menos 
três virtudes: inovação, coragem e compromisso 
com a qualidade. Por isso, desenvolvemos, para 
os cursos de Engenharia, metodologias ativas, as 
quais visam reunir o melhor do ensino presencial 
e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é 
promover a educação de qualidade nas diferentes 
áreas do conhecimento, formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o desenvolvimento 
de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
BOAS-VINDAS
WILLIAM DE MATOS SILVA
PRÓ-REITOR DE EAD
Prezado(a) Acadêmico(a), bem-vindo(a) à Co-
munidade do Conhecimento. 
Essa é a característica principal pela qual a 
Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu-
nos, professores e pela nossa sociedade. Porém, é 
importante destacar aqui que não estamos falando 
mais daquele conhecimento estático, repetitivo, 
local e elitizado, mas de um conhecimento dinâ-
mico, renovável em minutos, atemporal, global, 
democratizado, transformado pelas tecnologias 
digitais e virtuais.
De fato, as tecnologias de informação e comu-
nicação têm nos aproximado cada vez mais de 
pessoas, lugares, informações, da educação por 
meio da conectividade via internet, do acesso 
wireless em diferentes lugares e da mobilidade 
dos celulares. 
As redes sociais, os sites, blogs e os tablets ace-
leraram a informação e a produção do conheci-
mento, que não reconhece mais fuso horário e 
atravessa oceanos em segundos.
A apropriação dessa nova forma de conhecer 
transformou-se hoje em um dos principais fatores de 
agregação de valor, de superação das desigualdades, 
propagação de trabalho qualificado e de bem-estar. 
Logo, como agente social, convido você a saber 
cada vez mais, a conhecer, entender, selecionar e 
usar a tecnologia que temos e que está disponível. 
Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg 
modificou toda uma cultura e forma de conhecer, 
as tecnologias atuais e suas novas ferramentas, 
equipamentos e aplicações estão mudando a nossa 
cultura e transformando a todos nós. Então, prio-
rizar o conhecimento hoje, por meio da Educação 
a Distância (EAD), significa possibilitar o contato 
com ambientes cativantes, ricos em informações 
e interatividade. É um processo desafiador, que 
ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores 
oportunidades. Como já disse Sócrates, “a vida 
sem desafios não vale a pena ser vivida”. É isso que 
a EAD da Unicesumar se propõe a fazer.
Janes Fidélis Tomelin
DIRETORIA 
EXECUTIVA 
DE ENSINO
Kátia Coelho
DIRETORIA 
OPERACIONAL 
DE ENSINO
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você 
está iniciando um processo de transformação, 
pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, 
consequentemente, transformamos também a so-
ciedade na qual estamos inseridos. De que forma 
o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabe-
lecendo mudanças capazes de alcançar um nível 
de desenvolvimento compatível com os desafios 
que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o 
Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompa-
nhará durante todo este processo, pois conforme 
Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na 
transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem 
dialógica e encontram-se integrados à proposta 
pedagógica, contribuindo no processo educa-
cional, complementando sua formação profis-
sional, desenvolvendo competências e habilida-
des, e aplicando conceitos teóricos em situação 
de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado 
de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como 
principal objetivo “provocar uma aproximação 
entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita 
o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação 
pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de 
crescimento e construção do conhecimento deve 
ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar 
lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o Stu-
deo, que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza-
gem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas 
ao vivo e participe das discussões. Além disso, 
lembre-se que existe uma equipe de professores e 
tutores que se encontra disponível para sanar suas 
dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de apren-
dizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranquili-
dade e segurança sua trajetória acadêmica.
APRESENTAÇÃO
Prezado Aluno,
Seja bem-vindo à disciplina de Engenharia Econômica.
Ao longo de nossa disciplina, iremos abordar um tema que, a princípio, 
pode parecer fora do contexto da engenharia, mas que, ao estudarem e 
analisarem o conteúdo, perceberão que está totalmente ligada ao dia a dia 
de nós engenheiros.
Ser engenheiro é ser um gestor nato. Não adianta um engenheiro ter somen-
te conhecimentos técnicos da área, pois estará sempre à frente de tomadas 
de decisões gerencias e, casoesteja preparado para elas, terá um grande 
diferencial como profissional da área.
É de suma importância para um engenheiro conhecer o mercado, entender 
qual a sua relação com as organizações, com outras empresas, com outros 
países, como elaborar orçamentos, análises de custos e de investimentos que 
deverão ser realizados pela organização, na busca de melhores resultados.
Ao longo das unidades, teremos a oportunidade de conhecer o conceito de 
economia e qual é o problema fundamental enfrentado por ela. Entende-
remos quais são os fatores de produção e como funciona um fluxo econô-
mico em uma sociedade e como isso afeta o mercado da engenharia. Após 
conhecer esses conceitos, entenderemos o que é a engenharia econômica e 
qual a sua importância na vida de um engenheiro. Estudaremos conceitos 
importantes, como a microeconomia e macroeconomia, que nos permitirão 
saber qual a relação entre organizações e mercados.
Após estudarmos uma parte conceitual do tema, aprenderemos ferramentas 
da matemática que nos auxiliarão em tomadas de decisão em relação à 
parte financeira de projetos, produtos e serviços da área. Serão analisados 
o funcionamento de sistemas de amortização de possíveis dívidas empresa-
riais, sistema de capitalização (juros simples e compostos) praticados pelo 
mercado. Aprenderemos como são feitas as análises de investimentos com 
prazos fixo, variado, e qual é a influência do prazo na análise. Para completar, 
conheceremos como fatores externos, como inflação e impostos, afetam o 
dia a dia das organizações.
Estou certo que, ao final da disciplina, você estará apto para analisar pos-
síveis investimentos, pagamentos de dívidas, calcular amortização de pro-
dutos vendidos a clientes, entre outras análises que devem ser feitas por 
um engenheiro que almeja alcançar melhores resultados operacionais na 
sua organização.
 Espero que aproveitem bem o conteúdo da disciplina, pois vai ajudá-lo(a) 
a ser um profissional diferenciado.
 Grande abraço!
 Prof. Cláudio Pessoa
CURRÍCULO DOS PROFESSORES
Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Doutor em Ciência da Informação pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), com 
um período de Doutorado Sanduíche na Universidade do Porto - Portugal, Mestre em Admi-
nistração de Empresas pela Universidade Fumec, MBA em Gestão de Negócios e Tecnologia 
da Informação pela Fundação Getúlio Vargas - FGV/BH e OHIO University - USA, Engenheiro 
especialista em Sistema de Telecomunicações e Redes de Computadores pelo Instituto Nacio-
nal de Telecomunicações - INATEL, Especialista em Gestão de Sistemas de Telecomunicações 
e Redes de Computadores pela Universidade Fumec e Graduado em Engenharia Civil pela 
Faculdade de Engenharia da Universidade Fumec. Professor da EMGE - Escola de Engenha-
ria, possui pesquisas nas áreas de Gestão da Informação e do Conhecimento, Segurança da 
Informação, Segurança e Infraestrutura de redes de dados e Governança em ferramentas de 
Tecnologia das Informações e Comunicação (TIC) e Internet das coisas. Conselheiro da Câmara 
Especializada de Engenharia Civil (CEEC) do CREA- MG. Atua como consultor em projetos de 
telecomunicações, na área de comunicação de dados, Governança em TIC e alinhamento 
estratégico da Gestão Estratégica com a Gestão de Informações e ferramentas TIC há mais 
de 20 anos. 
Introdução à 
Economia
13
Fundamentos 
da Engenharia 
Econômica
35
Microeconomia
55
Macroeconomia
Matemática 
Financeira
77
97
Sistema de 
Amortização
119
Série de Pagamentos
Análise de 
Investimentos
163
Análise de 
Externalidades
185
143
17 Necessidades humanas x fatores de 
produção
40 Qual o valor do seu dinheiro ao longo 
do tempo?
79 Macroeconomia
147 Fluxo de caixa
Utilize o aplicativo 
Unicesumar Experience 
para visualizar a 
Realidade Aumentada.
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
• Entender o que é economia. 
• Compreender qual é o problema fundamental enfrentado 
pela economia.
• Conhecer quais são os sistemas econômicos.
• Definir quais são os fatores de produção.
• Compreender o que é e como o fluxo econômico afeta 
uma sociedade.
Conceitos Básicos
O Problema 
Fundamental da 
Economia
Fatores de Produção
Os Fluxos EconômicosSistemas Econômicos
Introdução à Economia
Conceitos 
Básicos
Olá, prezado(a) aluno(a), é uma felicidade estar 
aqui com você e poder conversar sobre um assun-
to tão instigante e importante para todos nós – a 
economia. Nesta unidade, será possível conhecer-
mos um pouco mais sobre os conceitos básicos de 
economia, seus problemas e como ela interfere em 
nosso dia a dia. Então, vamos lá!
Todos os dias assistimos em telejornais, lemos 
notícias na internet (ou até mesmo em jornais im-
pressos) uma seção inteira dedicada à economia. 
Na correria do dia a dia, ou mesmo por falta de 
interesse, nunca nos questionamos o porquê de 
ser dada tanta importância a este tema. E você, 
alguma vez já parou para pensar sobre o tema?
Para que seja possível entender bem o conceito 
de economia, é importante analisar coisas simples 
que fazemos em nosso cotidiano. Todos os dias, 
saímos de casa para trabalhar para que possamos 
ganhar dinheiro, não é mesmo? Mas, para quê?
Precisamos sobreviver e, para tal, adquirir co-
mida, roupas, veículos, casa etc., pois essas coisas, 
além de nos dar conforto, mostram que todo o 
esforço nos levou a algum lugar. Porporcionam a 
sensação de dever cumprido.
15UNIDADE I
Ao pensarmos nisso, começamos a introduzir 
e entender um pouco de economia. Izidoro (2015) 
mostra que a palavra economia pode ter vários 
significados, a saber:
• Hábito de gastar apenas o necessário: 
geralmente é aquela pessoa que gasta 
pouco, economiza seu dinheiro e recur-
sos (como água, luz etc.) no dia a dia. São 
pessoas que planejam e evitam gastar com 
coisas que são supérfluas.
• Atividade que gera dinheiro: é uma ati-
vidade realizada por alguma pessoa visan-
do ganhar dinheiro, tal como trabalhar ou 
aplicar dinheiro.
• Economia: segundo Izidoro (2015, p. 3), é 
“ciência que estuda a atividade econômica”.
O conceito de economia poderá variar de acordo 
com o enfoque e o autor que o define. O conceito 
adotado neste livro será o defendido por Mendes 
(2012, p. 3), “o estudo da utilização dos serviços 
escassos na produção de bens e serviços para sa-
tisfação das necessidades ou desejos humanos”.
Economia é o estudo da utilização dos serviços 
escassos na produção de bens e serviços para sa-
tisfação das necessidades ou desejos humanos. 
(Judas Tadeu Grassi Mendes)
Este conceito nos permite conhecer a importância 
de se falar e entender economia, apresentando o 
que foi dito anteriormente e mostrando claramen-
te a relação da economia com o nosso dia a dia.
Outra coisa que é interessante observar no 
conceito é que ele já introduz o que estudaremos 
no próximo tópico desta unidade, qual é o pro-
blema fundamental da economia? Vamos a ele?
16 Introdução à Economia
Qual seria o problema fundamental estudado pela 
economia? Ao lermos o conceito no tópico ante-
rior, já podemos notá-lo: estudo da utilização 
dos serviços escassos na produção de bens e 
serviços para satisfação das necessidades ou 
desejos humanos.
Este é o grande problema que a economia tenta 
solucionar. Ao olharmos para o mercado perce-
bemos, de um lado, as pessoas com suas necessi-
dades pela aquisição de bens e/ou serviços que 
satisfaçam suas necessidades ou desejos. Do outro, 
as empresas que precisam utilizar os fatores de 
produção (matéria-prima, mão de obra, infraes-
trutura) com o objetivo de produzir os bens e/ou 
serviços necessários para atender a demanda das 
pessoas. Surge, portanto, um grande problema: 
os recursos limitados x necessidades ilimitadas 
das pessoas.
Mas o que seriam os bens e serviços?
O Problema 
Fundamental 
da Economia
17UNIDADE I
Figura 1 - Necessidades humanas x fatores de produção
X
X
X
BENS: são materiais tangíveis 
provenientes de atividades 
agropecuárias, industriais,construção civil etc. (MENDES, 
2012). Exemplos: automóveis, 
imóveis, alimentos, eletrodo-
mésticos etc.
SERVIÇOS: “são produtos in-
tangíveis, resultantes de al-
guma atividade terciárias de 
produção” (MENDES, 2012). 
Exemplos: Serviço de Consumo 
(alimentação, proteção), Servi-
ço de Conveniência (ônibus, 
táxi), Serviços de Especialida-
des (dentista, advogado, cabe-
leireiro) etc.
(Judas Tadeu Grassi Mendes)
18 Introdução à Economia
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
Outro conceito relevante para destaque é o dos seto-
res (atividades) de produção. É importante entender 
que, quando vemos setores distintos, como agrope-
cuária, indústria e serviços, eles estão separados para 
que possamos classificá-los quanto ao setor de pro-
dução. Segundo Mendes (2012), essa classificação é 
necessária, pois apesar de todas estarem produzindo 
bens ou serviços, não utilizam os recursos econômi-
cos e as técnicas de produção na mesma proporção. 
Assim, o autor divide os setores como: 
• Setor Primário: engloba produtos oriundos 
da agricultura, pecuária e extração vegetal. 
Exemplos: horticultura, lavouras, criação e 
abate de gado, porco, aves, reflorestamento etc.
• Setor Secundário: engloba as indústrias em 
geral. Exemplos: construção civil, extração 
mineral, produtos alimentícios, química, fia-
ção, tecelagem, calçados, telecomunicações, 
transporte, bebidas, fumo etc.
• Setor Terciário: engloba os serviços presta-
dos por pessoas e empresas. Exemplos: co-
mércio, seguradoras, corretoras, hotéis, ba-
res, lanchonetes, manutenção, cabeleireiro, 
barbeiro, assistência de saúde, educação etc.
Pare e reflita! No caso das empresas de engenha-
ria que prestam consultoria, em qual dos setores 
produtivos você encaixaria?
Pensado dessa forma, é possível perceber que a 
economia entra como fonte importante de “me-
diação” nos momentos de conflito. Por exemplo, 
imagine que você resolveu adquirir um carro. 
Hoje, temos no mercado várias marcas e mode-
los de carros que nos deixam em uma situação 
complicada para tomar a decisão. Tudo isso vem 
do desejo que existe em nós para aquisição de 
novos bens/serviços. Porém existe algo que irá 
limitar a sua capacidade de escolha: quanto você 
tem para gastar?
Surgem, então, as grandes perguntas debatidas 
por todos os autores da área da economia:
• O que e quanto produzir?
Devemos produzir mais bens de consumo 
ou bens de capital? E quanto?
• Como produzir?
Aqui já se trata de uma questão de eficiên-
cia produtiva. Deve ser refletida pelas or-
ganizações para poder atender a demanda 
ou, até mesmo, evitar desperdícios.
• Para quem produzir?
Nesse caso, é importante entender como 
será a distribuição de renda gerada pela eco-
nomia e quais serão os setores beneficiados. 
Essas perguntas são de extrema importância no mercado, pois tudo isso influencia diretamente na 
economia. Para responder essas perguntas é importante entendermos os sistemas econômicos. Vamos 
debater sobre eles a seguir.
19UNIDADE I
Muito ouvimos em conversas nos dias de hoje a 
discussão sobre o melhor sistema a ser utilizado 
pelo governo: socialista ou capitalista? Mas, e você, 
já parou para pensar qual seria a diferença entre 
os sistemas? Vamos analisá-los!
Segundo Mendes (2012, p. 12), o sistema eco-
nômico é “formado por um conjunto de organi-
zações cujo funcionamento faz com que os re-
cursos escassos sejam utilizados para satisfazer as 
necessidades humanas”. Para Vasconcelos (2015), 
os sistemas econômicos são como a sociedade se 
organiza para do ponto de vista econômico. Por-
tanto, podemos entender que sistemas econômi-
cos funcionam para definir como a sociedade fará 
para gerenciar os problemas básicos da economia. 
Sistema econômico é formado por conjunto de 
organizações, cujo funcionamento faz com que 
os recursos escassos sejam utilizados para satis-
fazer as necessidades humanas. 
(Judas Tadeu Grassi Mendes)
Sistemas 
Econômicos
20 Introdução à Economia
Segundo Vasconcelos (2015), a economia de mer-
cado poderá ser dividida, basicamente, em dois 
sistemas:
• Economia de mercado (ou descentralizada).
• Economia planificada (ou centralizada).
Ainda segundo Vasconcelos (2015), todos 
os países possuem um tipo de economia de 
mercado, pois será ela que regulará o fun-
cionamento da economia. Vamos entender 
como funciona cada uma?
Economia de Mercado - o sistema de economia 
de mercado se divide, ainda, em:
• Sistema de concorrência pura (sem in-
tervenção do governo): esse sistema se ba-
seia na ideia que o mercado deverá resolver 
as questões econômicas fundamentais. O 
estado seria responsável por outros setores 
como justiça e segurança. Segue a base do 
liberalismo econômico. Nesse caso, o pre-
ço irá promover o equilíbrio do mercado 
(Figura 2).
As críticas que existem sobre esse sis-
tema seriam: uma grande simplificação 
da realidade; o mercado sozinho não pro-
moverá a perfeita alocação de recursos e 
distribuição de renda; os preços poderão 
variar em função de sindicatos, poder de 
monopólios e/ou oligopólios (VASCON-
CELOS, 2015).
Um bom exemplo a ser dado para 
o sistema de concorrência pura é o 
mercado hortifrutigranjeiro, pois nele 
são os produtores e seus clientes, basi-
camente, que irão definir o preço dos 
produtos.
Figura 2 - Funcionamento da concorrência pura
Fonte: o autor.
21UNIDADE I
• Sistema de concorrência Mista: basica-
mente, a diferença das duas é exatamen-
te a participação do governo para evitar 
possíveis abusos no mercado. Segundo 
Vasconcelos (2015), depois da revolução 
industrial, perdurou por muito tempo o 
sistema muito similar ao de concorrência 
pura. Porém, no século XX, com o surgi-
mento (e crescimento) dos sindicatos, mo-
nopólios e oligopólios aliados, ainda, à crise 
financeira dos anos 30, foi possível perceber 
que o mercado sozinho não resolveria as 
questões primordiais da economia. Surge, 
então, a necessidade da atuação do setor 
público, que se dá de várias formas, a saber:
• Formação de preços (impostos etc).
• Complemento à iniciativa privada (in-
fraestrutura, energia, estradas etc).
• Fornecimento de serviços públicos (ilu-
minação, água, esgoto etc).
• Fornecimento de bens públicos não 
vendidos no mercado (educação, jus-
tiça, segurança).
• Compra de bens e serviços do setor 
privado.
• Economia Planificada (centralizada): no 
caso da economia centralizada, todo o con-
trole da economia está nas mãos do governo. 
Segundo Vasconcelos (2015), é o governo 
quem resolverá os problemas fundamen-
tais da economia. Os meios de produção 
(máquinas, residência, terra, matéria-prima, 
entidades financeiras etc.) são do estado; já 
os “meios de sobrevivência” (roupas, carros, 
televisores) pertencem aos indivíduos.
Sendo assim, a diferença básica entre os dois sistemas 
econômicos se resume em dois aspectos básicos:
• Propriedade pública x propriedade privada 
dos meios de produção.
• Como resolver os problemas fundamentais 
da economia: mercado x governo (Figura 3).
Figura 3 - Sistemas econômicos
Fonte: adaptada de Vasconcelos (2015).
22 Introdução à Economia
Vários autores costumam tratar dos sistemas 
econômicos como comunismo, capitalismo e 
socialismo. Segundo Vasconcelos (2015), é im-
portante não confundir os sistemas econômicos 
com regimes políticos, que são esses adotados pelo 
governo de todos os países. Não é objetivo desse 
livro comparar as formas de governo, o que seria 
uma boa pesquisa para o aluno.
Você pode observar, no Quadro 1, uma forma 
humorística de tratar os regimes políticos, apre-
sentada por Mendes (2012).
Socialismo Você tem duas vacas. O Estado 
lhe toma uma e a dá a alguém.
Comunismo Você tem duas vacas. O Estado 
lhe toma as duas e lhe dá o leite.
Facismo Você tem duas vacas. O Estado 
toma as duas e lhe vende o leite.
Nazismo Você tem duas vacas. O Estado 
lhe toma as duas e mata você.
Capitalismo Você tem duas vacas. Você ven-
de uma e compra um touro.
Quadro 1 - Regimespolíticos
Fonte: Mendes (2012).
23UNIDADE I
Para entendermos, agora, como funciona o fluxo 
econômico, é importante conhecermos quais são 
os fatores de produção. Segundo autores como 
Vasconcelos (2015), Mendes (2012), Silva (2014) 
e Izidoro (2015), pode-se afirmar que os fatores de 
produção são importantes para que as empresas 
possam fornecer os bens e/ou serviços necessários 
que atendam às demandas das pessoas. Basica-
mente são divididos da seguinte forma:
• Recursos naturais: são os elementos da 
natureza que poderão ser utilizados de 
alguma forma na economia. Como exem-
plos, temos a matéria-prima, rios, oceanos, 
fontes de energia (água, sol, vento) etc. 
• Mão de obra: no caso da mão de obra, 
podemos considerar aquelas pessoas que 
estão disponíveis para trabalharem. É im-
portante considerar, aqui, as populações 
economicamente ativas (PEA). A mão de 
obra poderá ser própria ou terceirizada.
Os Fatores 
de Produção
24 Introdução à Economia
PEA (População economicamente ativa) = Habi-
tantes - (crianças + idosos).
• Capital: são os bens materiais produzidos 
pelo homem e que são utilizados na pro-
dução. Para Izidoro (2015), não existe o 
fator capital sem o fator trabalho humano, 
pois esse só será possível existir se existir 
trabalho. Como exemplo, podemos citar 
edificações, instalações, máquinas e equi-
pamentos, capacidade tecnológica, geren-
cial, financeira etc.
Os fatores de produção têm uma função primordial 
na economia, pois são condição Sine qua non para 
o bom funcionamento de qualquer organização. Por 
conta disso, merecem uma atenção especial, por par-
te dos gestores, no momento de elaborarem as estra-
tégias da organização. Não adianta nada uma boa 
estratégia sem que se faça uma análise da possibilida-
de de obter todos os fatores de produção necessários 
para colocar em prática as estratégias escolhidas.
25UNIDADE I
Para que possamos fechar o nosso tópico de 
Introdução à Economia, é necessário entender 
como ela interage diretamente em nosso dia a 
dia. Assim, será possível perceber como estamos 
envolvidos com isso e nem percebemos, pois a 
coisa acontece naturalmente.
Para ilustrar essa interação, a forma mais clara 
de entendimento é analisar o fluxo que Ferreira 
(2015) chamou de fluxo de troca do sistema eco-
nômico. Nós adotaremos, neste livro, o nome de 
Fluxo econômico.
No fluxo econômico, é primordial que se avalie 
o papel de cada agente econômico e como eles se 
interagem. Os agentes econômicos são: as famí-
lias, as empresas, o mercado de bens e serviços, 
o mercado de fatores produtivos, o governo, o 
mercado financeiro etc., ou seja, todos aqueles que 
estão envolvidos de alguma forma nesse contexto, 
conforme mostrado na Figura 4.
Fluxos 
Econômicos
26 Introdução à Economia
Conforme visto no Tópico 3 (Sistemas Econômi-
cos), nós vivemos em um país que adota o capita-
lismo como regime político. Este, por sua vez, está 
enquadrado no sistema de concorrência mista, 
em que o governo tem um papel importante para 
regular o mercado, portanto a análise será feita 
sob essa óptica.
Podemos notar que temos dois fluxos na 
figura, o fluxo real e o fluxo monetário. Co-
meçaremos a análise pelo fluxo real. Segundo 
Ferreira (2015), o fluxo econômico se iniciará 
pelas famílias, que ofertam os fatores de pro-
dução (trabalho, capital, terra) ao mercado, que 
são fatores primordiais para que as empresas 
consigam produzir. As empresas demandam es-
ses fatores de produção e oferecem às famílias 
os produtos e/ou serviços que são produzidos 
por elas. Desse modo, fechar um primeiro ciclo, 
uma vez que esses produtos e/ou serviços são 
demandados pelas famílias. 
Por outro lado, para que as famílias adqui-
ram os produtos e/ou serviços das empresas, é 
necessário ter dinheiro (renda). Surge, portanto, 
a moeda (Fluxo Monetário). No momento em 
que contratam as pessoas (famílias) como mão 
de obra, torna-se possível pagá-las pelo serviço 
prestado. Assim, gera-se a renda necessária para 
sobrevivência das famílias. Portanto, as famílias, 
buscando satisfazer suas necessidades, irão até as 
empresas demandando produtos e/ou serviços; 
retornando, portanto, a moeda (despesas) às em-
presas e permitindo, desse modo, que elas tenham 
condições de pagarem as pessoas. Essa relação 
empresa/famílias funciona, portanto, como uma 
simbiose, em que um depende do outro, visando 
sua sobrevivência.
Figura 4 - Fluxo Econômico
Fonte: o autor.
27UNIDADE I
Surge, também, dentro desse fluxo, o governo 
que, além de controlar o mercado evitando pos-
síveis desajustes, tem, também, um papel central 
na relação. O governo contrata mão de obra das 
famílias e também contrata serviços e produtos das 
empresas. Com isso, é um grande contribuidor para 
aumentar a renda e receita de empresas e famílias, 
mas, por outro lado, a maior parte da receita do 
governo é oriunda dos tributos, mas os Estados e 
Municípios recebem capital financeiro do governo 
Federal. Além disso, temos as empresas públicas que 
vendem bens e serviços. Ele é obrigado a cobrar 
impostos sobre serviços e produtos, visando a sua 
própria sobrevivência. Com isso, contribui para 
diminuir a renda das famílias e receita das empre-
sas. Portanto, é de suma importância que o governo 
ajuste os valores de impostos sob pena de, ao invés 
de ajudar a controlar a economia, pode ser fonte de 
problemas ao retirar o dinheiro do mercado.
Por fim, como visto na figura, existe o mercado 
de capitais. Nesse mercado, encontram-se bancos 
e instituições que permitam que, tanto as empresas 
quanto as famílias possam aplicar o seu dinhei-
ro, buscando aumentar a renda com o mercado 
financeiro. Trata-se de um mercado em que a taxa 
de juros sobre o dinheiro aplicado fará com que o 
dinheiro renda (cresça) e gere mais receita para seu 
investidor. Como isso acontece?
Veremos com detalhes na Unidade V, na qual 
estudaremos sistemas de capitalização.
Ao analisarmos o fluxo econômico, é possível 
perceber o quanto a economia influencia nossas 
vidas e como estamos inseridos em um contexto 
importante para sobrevivência de uma socieda-
de. Sem a existência do fluxo e de seus agentes, se-
ria praticamente impossível controlar o mercado 
e fazer com que as relações aconteçam, de forma 
quase que transparente, para todos os envolvidos.
Chegamos, aqui, ao fim da nossa primeira 
unidade. Só recapitulando, nosso objetivo nesta 
unidade era conhecer um pouco mais sobre os 
conceitos básicos de economia e qual é o pro-
blema fundamental enfrentado por ela. Tam-
bém procuramos conhecer quais são e como 
funcionam os sistemas econômicos existentes; 
saber quais são os fatores de produção que irão 
movimentar a economia, com seus problemas de 
escassez e, por fim, foi possível perceber como 
funciona o fluxo econômico em uma sociedade 
e como estamos inseridos nele.
Caso não esteja seguro que tenha assimila-
do bem esses conceitos, leia novamente o texto, 
buscando assimilar bem os conceitos que serão 
importantes ao longo do curso.
28
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Os três problemas econômicos relativos a “o quê”, “como” e “para quem” pro-
duzir existem:
a) Apenas nas sociedades de planejamento centralizado.
b) Apenas nas sociedades de “livre empresa” ou capitalistas, nas quais o problema 
da escolha é mais agudo.
c) Em todas as sociedades, não importando seu grau de desenvolvimento ou sua 
forma de organização política. 
d) Apenas nas sociedades “subdesenvolvidas”, uma vez que desenvolvimento é, 
em grande parte, enfrentar esses três problemas. 
e) Todas as respostas anteriores estão corretas. 
2. Leia atentamente as afirmações a seguir e faça o que se pede:
I) No fluxo monetário da economia, as famílias demandam produtos e serviços 
das empresas que, por sua vez, demandam serviços (mão de obra das famí-
lias), fazendo com que o dinheiro circule e gire a economia.
II) O grande problema enfrentado pela economia é a produção de bens e servi-
ços, pois são eles que geramriquezas e fazem com que a sociedade sobreviva. 
III) Dentro dos fatores de capital vistos, o mais importante é o capital, pois sem 
ele a economia não teria verba e não seria possível manter o seu bom fun-
cionamento.
IV) O sistema de concorrência pura, em que a concorrência do mercado dita as 
regras, é o mais comum de ser encontrado. No Brasil, por exemplo, vivemos 
em uma democracia e esse sistema permite que as empresas concorram de 
forma livre e plena na economia local.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas I está correta.
d) Apenas II, III e IV estão corretas.
e) Nenhuma das alternativas está correta. 
29
3. Após leitura do texto e reflexão sobre os conceitos básicos da economia, pense 
em nosso país e faça uma classificação de nossa economia em relação a: sistema 
econômico adotado; principais fatores de produção e os bens/serviços ofertados 
por nós para economia mundial. Porque ainda não podemos ser considerados 
um país desenvolvido? (Responda em, no máximo, 15 linhas).
30
Economia: Micro e Macro
Autor: Marco Antônio Sandoval de Vasconcellos
Editora: Gen, Atlas
Sinopse: esse livro privilegia o aprendizado ativo do aluno com um texto com-
pacto e, ao mesmo tempo, abrangente. Todos os capítulos contêm questões de 
revisão e perguntas com alternativas para serem escolhidas, retiradas de alguns 
dos principais concursos públicos, como Receita Federal.
LIVRO
31
DA SILVA, A. O. Economia e Gestão. São Paulo: Pearson, 2014. 
FERREIRA, P. V. Análise de Cenários Econômicos. Curitiba: Intersaberes, 2015. 
IZIDORO, C. Economia e Mercado. São Paulo: Pearson, 2015. 
MENDES, J. T. G. Economia. São Paulo: Pearson, 2012. 
VASCONCELLOS, M. A. S. Economia: Micro e Macro. 6. ed. São Paulo: Gen, Atlas, 2015. 
32
1. C.
2. E.
3. Neste caso, é importante entender que, no Brasil, temos um grande problema na economia mundial por 
exportarmos matérias-primas (fator de produção) e importamos os produtos e serviços que contêm um 
maior Know-How. Esse fator nos coloca em posição desfavorável na economia mundial, pois o valor de 
exportação da matéria-prima é baixa em comparação a um produto e/ou serviço que contenha um co-
nhecimento embarcado.
No caso de nosso sistema econômico, adotamos o sistema de concorrência mista, em que existe uma 
dependência do governo para regular melhor o mercado.
33
34
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Compreender os fundamentos da engenharia econômica.
• Entender como a engenharia econômica auxiliará nas 
tomadas de decisão em análises financeiras.
• Entender como são feitas análises econômicas dentro de 
cenários diferentes.
Fundamentos da 
Engenharia Econômica
A importância da análise 
Econômica
O engenheiro e a engenharia 
econômica hoje
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Fundamentos da 
Engenharia Econômica
Fundamentos da 
Engenharia Econômica
Caro(a) aluno(a), na primeira unidade do livro, 
os conceitos básicos de economia, os problemas 
enfrentados, fatores de produção e fluxo econômi-
co permitiram perceber como estamos inseridos 
dentro da economia de uma sociedade e como ela 
nos afeta diretamente. É importante, doravante, co-
meçarmos a entender como esses conceitos serão 
importantes em nossa vida profissional e pessoal. 
Para tal, nesta unidade, vamos entender novos 
conceitos ligados à Engenharia Econômica que 
nos auxiliarão nas análises de investimentos, ta-
refa de extrema importância na vida de qualquer 
engenheiro.
Na unidade anterior, pudemos perceber que 
a principal preocupação da economia está foca-
da na escassez, ou seja, como será gerenciado o 
mercado de modo que as necessidades ilimitadas 
do seres humanos não acabem com os fatores de 
produção que são escassos. Agora, é interessante, 
uma vez que estamos em um curso de engenharia, 
entender o que seria a engenharia econômica e 
como ela irá influenciar a nossa vida profissional.
37UNIDADE II
A engenharia econômica tem um papel fun-
damental na vida de um engenheiro. Ao analisar-
mos as atividades desenvolvidas pelo engenheiro, 
é possível notar que ele é um gestor nato, pois 
trabalhará a maior parte de seu tempo tomando 
decisões que afetarão o negócio de sua empre-
sa; esteja ele na obra, departamento de projetos 
ou como executivo. É importante salientar que o 
impacto da tomada de decisão será maior (ou me-
nor) de acordo com o nível de responsabilidade 
que estiver na mão desse profissional.
Portanto é relevante conhecermos o conceito 
básico da engenharia econômica. Para Ferreira 
(2017, p. 15), a engenharia econômica é
 “
um sinônimo, ou até mesmo uma área, da 
análise de investimentos, a qual, por sua 
vez, é uma área fundamental da atividade 
empresarial. Afinal é pela execução de pro-
jetos de investimentos que as empresas e os 
empreendimentos ampliam sua capacidade 
operacional, sua capacidade de realização 
de negócios e seus resultados financeiros e 
mercadológicos, assegurando, dessa forma, 
sua continuidade. 
Em um trabalho interessante desenvolvido por 
Nakano (1967), é elaborado um raciocínio visan-
do fazer conexão entre a engenharia e a economia. 
Segundo o autor, o grande desafio no desenvolvi-
mento econômico do país é fazer com que as em-
presas entendam que, no mercado atual, a gran-
de força do mercado está nas mãos do mercado. 
Hoje, não são mais as empresas que decidem o que 
produzir e vender. Claro que todas as empresas 
possuem um foco de mercado; porém, uma vez 
escolhido o mercado, são seus clientes que irão 
definir o que e quando comprarem, uma vez que 
o mercado está muito concorrido.
Ainda segundo Nakano (1967), não se pode 
esquecer que os fatores de produção são escassos, 
como vimos na unidade anterior. Com isso, e com 
a dependência da demanda de mercado, a enge-
nharia econômica ganhará força no momento da 
tomada de decisão dos gestores para atuarem no 
mercado escolhido.
Com essa ideia, Nakano (1967, p. 90) faz uma 
conexão interessante de conceitos, ao mostrar que 
a engenharia, nesse contexto, tem a grande missão 
de desenvolver uma solução “tentando controlar 
e dirigir as forças físicas e materiais da natureza 
em benefício do Homem”. Por seu lado, a econo-
mia fará todo um estudo em relação aos aspectos 
sociais de produção e distribuição de bens e/ou 
serviços. Assim, temos a engenharia procurando 
a eficiência tecnológica e a economia procuran-
do a eficiência econômica. Desse modo, o autor 
conclui que a Engenharia Econômica terá esse 
papel fundamental de “harmonizar a eficiência 
tecnológica à eficiência econômica”. 
A Engenharia Econômica procura subordinar a 
técnica de produção, desenvolvida pela Enge-
nharia, aos fins da atividade econômica do Ho-
mem. Leva, assim, em consideração a maneira 
de satisfazer as necessidades humanas e o seu 
custo de satisfazê-la.
(Yoshiaki Nakano)
38 Fundamentos da Engenharia Econômica
Segundo Ferreira (2017), a 
Engenharia Econômica existe 
desde o século XIX, porém, no 
Brasil, só passou a ganhar força 
nos últimos 50 anos engloban-
do conhecimento de economia, 
matemática e estatística. Ela tem 
como objetivo principal dar res-
postas aos problemas de toma-
da de decisão que resultem na 
aplicação eficiente de recursos, 
trazendo consigo um retorno do 
investimento que atenda à de-
manda das organizações. Para o 
autor, a Engenharia econômica 
é tão importante nas organiza-
ções, como administração estra-
tégica, marketing, gestão de pro-
cessos, recursos humanos etc., 
pois, sem uma gestão efetiva dos 
recursos das organizações, até 
mesmo sua sobrevivência pas-
sará a ser um “evento de caráter 
aleatório”, em que não poderá 
prever quase nada.
Para o autor, todas essas funções podem ser resumidas como “o estudo da rentabilidade comparada 
das alternativas” (MACHLINE, 1966, p. 99 apud NAKANO, 1967, p. 91). Sendo assim, é importante, 
então, observarmos, nesse momento, as análises econômicas que são utilizadas nas tomadas de decisão.
A Engenharia Econômica utilizaráos raciocínios matemáticos da engenharia, aliados aos conheci-
mentos da economia, para auxiliar os gestores em suas tomadas de decisão de investimentos que 
serão realizados na busca de melhores resultados operacionais para as organizações.
Fonte: adaptada de Nakano (1967).
Figura 1 - Funções da Engenharia Econômica
39UNIDADE II
Ao estudarmos a primeira unidade e os conceitos 
básicos da Engenharia Econômica, ficou claro, ao 
falarmos de economia, que estamos sempre anali-
sando um problema básico que é a escassez de re-
cursos e fatores de produção. É, também, essencial 
analisar, no momento da tomada de decisão, as 
possíveis variáveis financeiras que permitirão ao 
gestor ter uma noção do impacto de sua decisão. 
Ao longo deste livro, iremos analisar vários mé-
todos e fórmulas que são utilizadas para esse fim.
Segundo Vasconcellos (2009), a Engenharia 
Econômica aplica técnicas que permitem o tra-
tamento de informações, com análises econômi-
cas e matemáticas, e permite tomar decisão entre 
alternativas de investimentos, como substituição 
de equipamentos, compra ou aluguel de um de-
terminado imóvel etc. Segundo o autor, a análise 
prévia do investimento permite a racionalização 
dos fatores de produção. Para tal, utiliza-se a ma-
temática financeira que, por sua vez, descreve a 
relação do binômio Tempo x Dinheiro.
A Importância da 
Análise Econômica
40 Fundamentos da Engenharia Econômica
A relação tempo x dinheiro é de suma importância na análise de investimentos, pois dará aos 
gestores uma noção do dinheiro ao longo do tempo. Em outras palavras, ao analisarmos um investi-
mento, principalmente de médio e longo prazo, é necessários que façamos uma análise mais profunda 
em relação às variáveis ao longo do tempo, pois, como veremos adiante, a inflação, taxa de juros etc. 
poderão depreciar o seu dinheiro, mascarando possíveis perdas futuras. Por isso é mister analisar, em 
caso de investimentos, contrair dívidas, o quanto iremos poupar e/ou gastar hoje, para fazer com o 
que o retorno desse investimento seja proveitoso no futuro (Figura 2).
Figura 2 - Qual o valor do seu dinheiro ao longo do tempo?
41UNIDADE II
Para que seja feita uma análise com qualidade, Vasconcellos (2009) propõe que sejam 
utilizados critérios para tomada de decisão, a saber:
Sem haver alternativas para análises, não faz sentido algum fazê-la. Para que busquemos um 
resultado que realmente seja significante para a organização, é preciso que se consiga algumas 
alternativas interessantes que nos permita avaliar qual seria a melhor naquele momento.
Devem Haver Alternativas de Investimentos
É importante ter esse critério em mente para evitar perda de tempo com análises que não levarão 
a nada. Foque sempre naquilo que diferencia duas alternativas. Se, por exemplo, você for ana-
lisar dois motores e, nesse caso, o consumo dos dois é o mesmo, esse critério perde o sentido 
no momento da decisão. É preciso analisar outros fatores que farão a diferenciação entre eles.
Só as diferenças entre as alternativas são válidas
No mercado financeiro não será levado em consideração os gastos passados com determina-
dos produtos ou serviços. Só será levado em consideração o valor de mercado desse bem. Por 
exemplo, não adianta nada adquirirmos um carro, investir em diversos acessórios e querer, no 
momento da venda, tentar recuperar esse valor gasto. Nem mesmo querer que o carro tenha o 
mesmo valor que foi pago no momento da compra. O carro terá o seu valor de mercado daquele 
momento. Nenhuma pessoa pagará mais por ele, mas é importante pensar, no momento de se 
realizar um investimento, qual seria a perda financeira com esse bem no futuro, pois, caso essa 
perda seja significativa, talvez não seja interessante desembolsar esse valor no momento. Talvez 
possa existir outro investimento que se justifique nesse momento, por isso é importante analisar 
todas as alternativas, como visto no primeiro critério.
Nos estudos econômicos, o passado geralmente não é considerado; interessa-nos 
o presente e o futuro
Quando falamos em dinheiro, estamos falando uma língua universal. É muito perigoso, ao se 
analisar possíveis investimentos, comparar grandezas ou coisas diferentes, como horas mensais 
de mão de obra com Kwh de energia. Sem que se tenha uma linguagem única, a análise se torna 
infrutífera, mas é, também, primordial lembrar que existem coisas que são intangíveis, impon-
deráveis. E essas serão complicadas de analisarem em uma tomada de decisão financeira, pois 
quando tratamos de matemática, analisamos números de forma fria.
As alternativas devem ser expressas em dinheiro
Todas as vezes que se emprega um dinheiro, existe a possibilidade de se ganhar mais dinheiro com 
os juros que renderão em cima desse capital inicial. Essa análise é primordial para se conhecer 
e escolher qual seria a alternativa que traria um melhor retorno. Isso vale, também, para investi-
mentos em equipamentos, produtos ou serviços. Sempre é importante, nas tomadas de decisão, 
analisar qual seria o retorno do capital caso fosse investido no mercado de capital e comparar 
com o retorno do investimento desejado. Isso poderá ser um fator crucial na tomada de decisão.
Sempre serão considerado os juros sobre o capital empregado
42 Fundamentos da Engenharia Econômica
Como visto na Figura 3, todo gestor, no momento de tomar uma decisão ficará com várias dúvidas 
que o levarão a buscar informações que os auxiliem nesse momento. É de extrema importância criar 
critérios, como os vistos anteriormente, para que, assim, possua um parâmetro que o guiará no sentido 
de buscar melhores resultados. Além desses critérios citados, Vasconcellos (2009) chama a atenção, 
também, para outros critérios de aprovação de um projeto. No caso dos projetos, o autor cita três di-
mensões que devem ser trabalhadas de forma isolada ou conjunta. São elas:
• Critérios financeiros: no caso dos recursos financeiros, é muito importante a análise dos custos 
para prestação do serviço ou fabricação de um produto. Esse é um critério que, muitas vezes, 
é esquecido e que, mais adiante, inviabiliza qualquer projeto. Se a empresa não tiver recurso 
suficiente para “bancar” os seus custos até o fim, não adiantará em nada ter uma grande receita 
a receber lá na frente, pois a empresa morrerá antes. Sua empresa poderá até contrair dívidas, 
desde que seja possível amortizá-la em seu fluxo de caixa, mas se não tiver recurso necessário 
para pagar as despesas recorrentes, não irá durar muito tempo.
Figura 3 - Critérios para tomada de decisão
43UNIDADE II
O que matará sua empresa não é uma dívida, 
mas o seu fluxo de caixa! 
• Critérios econômicos: no caso dos recur-
sos econômicos, é fundamental conhecer 
qual será a rentabilidade do negócio, ou 
seja, qual a relação entre o lucro líquido 
em relação ao investimento realizado. Essa 
análise permite conhecer, até mesmo antes 
da realização do investimento propriamen-
te dito, qual seria o seu retorno. Com isso, 
torna-se um critério muito importante na 
tomada de decisão.
Você sabe a diferença entre 
Lucratividade e 
Rentabilidade? 
Para acessar, use seu leitor 
de QR Code.
• Critério imponderáveis: os critérios im-
ponderáveis são aqueles que não temos 
como transformá-los em valor financei-
ro (dinheiro). Como exemplo, podemos 
analisar a compra de uma geladeira em 
lojas que a financiam em 36x. Utilizando 
as fórmulas da matemática financeira (que 
veremos mais adiante), é possível perceber 
que, ao comparar com o valor à vista, o va-
lor pago daria para comprar mais de uma 
geladeira. Essa análise é fria e de critério 
puramente matemático. É preciso entender 
que, muitas vezes, somente desse modo o 
cliente pode equacionar a dívida em seu 
fluxo de caixa, comprando, assim, a gela-
deira. À vista, não teria dinheiro para tal 
e ficaria sem o produto. Acho que, dessa 
forma, fica mais claro de entender o que 
seria o critério do imponderável. É pre-
ciso, muitas vezes, levar em consideração 
situações que figuramdos dois primeiros 
critérios. Às vezes, pode estar ali a resposta 
que procura para sua tomada de decisão.
Agora que já conhecemos os conceitos e a impor-
tância da engenharia econômica, é interessante 
fazermos um paralelo entre ela e outras ciências.
44 Fundamentos da Engenharia Econômica
Nos dias atuais, a profissão de engenheiro teve 
uma mudança brusca, se compararmos aos en-
genheiros do século passado. Quando estudamos 
teorias de gestão antigas, como as de Ford, Fayol 
e Taylor, vistas em Chiavenato (2014), é possí-
vel perceber que, nessa época, o engenheiro era 
responsável, única e exclusivamente, na área téc-
nica, ou seja, era o engenheiro o responsável por 
aumentar a produção da empresa, uma vez que, 
quando enfrentamos um cenário de pouca con-
corrência, produzir mais é sinônimo de vender 
mais. Desse modo, aumentado a produção, con-
sequentemente, aumenta o resultado econômico 
da organização.
Após várias décadas de evolução, Peter Druc-
ker, que também pode ser visto em Chiavenato 
(2014) como principal autor da teoria neoclássica, 
mostra-nos a inversão do mercado. O crescimento 
do mercado trouxe consigo a concorrência. Uma 
vez existindo concorrência, a inovação passa a 
ser algo primordial para sobrevivência das orga-
nizações. O cliente passa a ter em mãos um poder 
comparativo de produtos no mercado, o que fará 
com que ele escolha aquele produto que melhor 
atende às suas necessidade.
O Engenheiro e a 
Engenharia Econômica Hoje
45UNIDADE II
Surge, então, a chamada era da informação. 
Pessoa e Silva (2016) mostram, com isso, a im-
portância de se preocupar com a gestão da in-
formação, principalmente com aquela que está 
diretamente ligada à organização: a demanda de 
seus clientes. Caso os gestores, engenheiros, não 
se atentem a isso, a organização estará condenada 
ao fracasso, pois não tem mais o poder de colocar 
no mercado aquilo que ela acha que deve. É aqui 
que a Engenharia Econômica deve ter um paralelo 
bem definido, com uma relação saudável com 
todas as outras ciências. 
Qual seria, então, o perfil esperado pelas orga-
nizações em tempos modernos? 
O engenheiro deve entender, portanto, que, 
hoje, ele irá:
• Tomar decisões de negócio: eu costu-
mo dizer que o engenheiro moderno tra-
balhará 70% do seu tempo com decisões 
gerenciais (administrativas e financeiras) e 
30% utilizando os seus conhecimentos téc-
nicos. É ele quem está à frente de áreas de 
produção das empresas. Sendo assim, deve 
procurar conhecer muito bem do negócio 
da organização. Não cabe mais somente se 
preocupar com área técnica. 
• Ter uma exigência de conhecimentos, 
habilidades e competências: para po-
der tomar decisões gerenciais, é preciso 
aprender a gerenciar informações, de tal 
forma que consiga utilizá-la corretamente 
no momento oportuno.
Após essa análise crítica de informações, o en-
genheiro deve realizar um estudo de viabilidade, 
utilizando todos os conceitos e fórmulas da en-
genharia econômica que estudaremos neste livro, 
conhecendo todas as alternativas de investimen-
tos, para, assim, escolher a que adeque melhor às 
necessidades da organização.
É importante para o engenheiro ter uma boa 
base de conhecimento de economia, devendo 
levar em conta coisas como: abordagem de cus-
to-benefício, controle de custos e obtenção de 
lucro, conhecimento de informações do merca-
do consumidor (indivíduos, família, empresas) e 
acompanhamento de índices de mercado (taxas 
de juros, investimentos, poupança). Isso dará a 
ele um diferencial competitivo, pois o habilita a 
tomar decisões mais precisas.
Nesse aspecto, o engenheiro terá uma vanta-
gem, em relação aos economistas, por exemplo, 
por possuir um pensamento lógico e o costume 
de gerenciar processos. Isso permite que sua 
mente tome decisões de investimento seguin-
do um padrão lógico como o demonstrado na 
Figura 4. Claro que não há, aqui, a intenção em 
dizer que esse modelo é o ideal para tomadas de 
decisão, porém poderá auxiliar os engenheiros, 
com menor experiência em gestão, a criarem 
o seu próprio modelo que permita enxergar 
como poderá agir na busca de decisões mais 
precisas.
Como veremos na Figura 4, é importante mu-
darmos o perfil do engenheiro. Hoje, os engenhei-
ros serão cobrados a serem muito mais participa-
tivos em relação ao negócio da organização. Por 
mais que ela tenha um pensamento muito técnico, 
em que pretende trabalhar somente com projetos 
técnicos, é importante perceber que o nível de 
conhecimento existente, hoje, é muito grande. Isso 
torna impossível a qualquer engenheiro elaborar 
projetos grandes (estradas, hidroelétricas, grandes 
máquinas, sistemas de geração e distribuição de 
energia etc.) sozinhos. Isso o torna dependente 
de boas equipes. E, mais uma vez, somente os co-
nhecimentos técnicos não serão suficientes, pois 
deverá saber lidar com gestão de equipes – mas 
esse já é assunto de outra disciplina.
46 Fundamentos da Engenharia Econômica
Nesta unidade, foi possível percebermos a impor-
tância da engenharia econômica na vida profis-
sional dos engenheiros, em que conhecemos seus 
conceitos básicos, critérios e métodos, a importân-
cia da análise de situações, mercados, produtos, re-
cursos etc., no momento da tomada decisão. Ficou 
claro que, para o engenheiro ser eficaz nas organi-
zações, o seu nível de conhecimento deverá ir além 
de conhecimentos técnicos da área da engenharia. 
É claro que, para que possamos fazer essas aná-
lises, é preciso aprender também as ferramentas 
e fórmulas da matemática que nos conduzirão a 
tomadas de decisões que realmente trarão melho-
res resultados operacionais às organizações. E esse 
será o assunto das unidades de agora em diante. 
Aguardo você, caro(a) aluno(a), lá!
Figura 4 - Fluxograma de processo de tomada de decisão
Fonte: o autor.
47
1. Leia as afirmações a seguir:
I) Segundo o que aprendemos no texto, ficou claro que, hoje, é importante que 
as organizações se preocupem com a estratégia de atendimento à demanda 
do mercado. Antes de falar em tecnologia, é preciso traçar estratégias eficazes 
e somente depois adequar as tecnologias para suportar o negócio. 
II) O mercado, hoje, não busca mais aquele engenheiro que tenha conhecimen-
tos técnicos suficiente para soluções dos problemas de engenharia. Esse 
profissional será muito valorizado, pois, caso alinhe esses conhecimentos a 
outros de análise de mercado, será possível criar um diferencial que, conse-
quentemente, trará melhores resultados operacionais. 
III) A Engenharia econômica utilizará todos os conhecimentos matemáticos e 
técnicos dos engenheiros, com fórmulas e pensamento lógico, em análises 
econômicas na busca de melhores resultados operacionais.
IV) A Engenharia econômica ganhou força a partir do início do século XX, quando 
os grandes engenheiros industriais passaram a ter uma importância ímpar 
na busca de melhores resultados operacionais.
V) A grande preocupação da Engenharia econômica é fazer com que as organi-
zações busquem melhores resultados. Para tal, é preciso criar alternativas de 
cenários, análises de mercado futuro e análises de problemas imponderáveis, 
pois, somente assim, é possível tomar uma decisão de forma eficaz.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I e III estão corretas.
b) Apenas II e IV estão corretas.
c) Apenas I, II e IV estão correta.
d) Apenas II, IV e V estão corretas. 
e) Todas as afirmativas estão corretas.
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
48
2. Leia as afirmações a seguir e faça o que se pede:
I) No momento de uma análise de investimentos, é de suma importância que 
se avalie todos os pontos e os compare com outras alternativas, como pontos 
comuns, positivos, negativos, diferenças etc. Somente assim será possível 
tomar uma decisão de qualidade.
II) O critério do imponderável é um dos mais importantes na tomada de decisão. 
Ele poderá ser o critério de decisão no momento de se montar as formas de 
pagamento de um produto.
III) No caso de análise financeira,um dos critérios de análises financeiras são 
as taxas de juros. Elas podem fazer com que você perca dinheiro ao longo 
do tempo.
IV) Como estudado nesta unidade, um dos fatores que devem ser muito bem 
analisados são as dívidas. Porém uma dívida pode não ser o fator primordial 
para fazer com que uma empresa venha a ter prejuízo.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas II e III estão corretas.
c) Apenas I está correta.
d) Apenas II e IV estão corretas. 
e) Nenhuma das alternativas está correta.
3. Após leitura da unidade, faça uma pesquisa na internet sobre o tema da ren-
tabilidade e lucratividade. Qual seria, segundo os estudos realizados, a função 
de cada uma dessas variáveis em uma análise econômica financeira de um 
investimento? Qual das duas é mais importante sobre a óptica do investidor?
49
Coletânea Luso Brasileira VII: Gestão da Informação, Políticas Públicas e 
Territórios
Autor: Cláudio R. M Pessoa, Armando Malheiro da Silva.
Editora: Universidade do Porto
Sinopse: esse texto mostra claramente como os gestores devem, hoje, preocupar 
primeiro com as informações primordiais para o negócio da organização, para, 
depois, planejar as estratégias e tecnologias que irão suportar o planejamento.
Disponível em: <http://www.observatorioueg.com.br/site/luso-brasileira.php>.
LIVRO
50
CHIAVENATO, I. Teoria Geral da Administração: Abordagens, perspectivas e normativas. 7. ed. Manole, 
Barueri, São Paulo, 2014. Volume 1.
DA SILVA, A. O. Economia e Gestão. São Paulo: Pearson, 2014. 
FERREIRA, M. Engenharia Econômica Descomplicada. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
NAKANO, Y. Engenharia econômica e desenvolvimento. Rev. adm. empres., São Paulo, v. 7, n. 22, p. 89-112, 
mar. 1967. Disponível em: <http://www.scielo.br/pdf/rae/v7n22/v7n22a05.pdf>. Acesso em: 20 Jul. 2018.
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos de Engenharia Econômica. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
SILVA, A. M.; FREITAS, C. C.; ALMEIDA, F. A. S.; FRANCO, M. J. B. (Orgs.). Gestão da informação, políticas 
públicas e territórios. Porto (Portugal): Universidade do Porto, 2016.
VASCONCELLOS, M. A. S. Economia Micro e Macro. Belo Horizonte: Atlas, 2009.
51
1. D.
2. D.
3. Ambos os índices são muito importantes para o investidor, porém, no caso da rentabilidade, a análise é 
mais abrangente, pois medirá a capacidade do produto/serviço bancar os investimentos realizados. 
52
53
54
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Entender o funcionamento de uma economia em um de-
terminado mercado.
• Estudar a oferta de um determinado local.
• Estudar a demanda de um determinado local
• Compreender como essas variáveis afetam diretamente 
o mercado.
Fundamentos da 
Microeconomia
Demanda Mercado
Oferta
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Microeconomia
Fundamentos da 
Microeconomia 
Prezado(a) aluno(a), após analisarmos anterior-
mente os conceitos de economia e engenharia 
econômica, com a finalidade de criarmos um em-
basamento maior no tema, nesta unidade será 
possível analisar o funcionamento de um mer-
cado de uma determinada região. Nesse contex-
to, analisaremos, também, as curvas de demanda 
e oferta e, ainda, como elas interagem entre si e 
com o mercado. Esperamos, ao fim da unidade, 
estarmos aptos para entender o mercado e suas 
variáveis.
Vamos entender, agora, como é o funciona-
mento de um mercado em relação a assuntos tão 
difundidos: oferta e demanda. O que seriam essas 
duas variáveis dentro do contexto econômico? 
Como será que afetam o mercado? Ao final desta 
unidade, seremos capazes de responder a essas 
perguntas com facilidade. Vamos lá, então!
Ao tratarmos do tema economia, é importante 
para elucidá-lo melhor e “dividi-lo” em dois con-
ceitos importantes: microeconomia e macroe-
conomia. Estudaremos os dois em detalhes nas 
próximas duas unidades.
57UNIDADE III
Segundo Baidya et al. (2014), a microeconomia 
possui uma função importante quando estamos 
analisando o contexto de uma localidade especí-
fica (vila, cidade, estado, país). 
A microeconomia estuda as ações de indivíduos 
enquanto consumidores e de indivíduos como 
proprietários de firmas. 
(James D. Gwartney, Richard L. Stroup e José L. 
Carvalho)
Para os autores, a microeconomia é responsável 
pelo estudo do comportamento dos “tomadores” 
de decisão como “células unitárias”, sejam eles em-
presários, gerentes, engenheiros ou, até mesmo, 
como indivíduos (como pessoa física) na compra 
de produtos ou serviços. Segundo Vasconcellos 
(2009) e Baidya et al. (2014), a microeconomia 
terá, ainda, como objetivo analisar a composição 
de preços e a utilização dos recursos disponíveis 
para o processo produtivo. A microeconomia, a 
quem Vasconcellos (2009) denomina teoria dos 
preços, é a parte da teoria econômica que estuda 
o comportamento das famílias e das empresas e 
os mercados na qual operam.
Para Vasconcellos (2009), é de suma impor-
tância salientar que a microeconomia não tem 
por seu foco principal o estudo das empresas em 
si, pois senão seria fatalmente comparada à ad-
ministração de empresas. No entanto, terá como 
objetivo, portanto, analisar o mercado no qual 
as empresas e pessoas interagem, os fatores eco-
nômicos que determinam o comportamento do 
consumidor e o comportamento das empresas.
Basicamente, a microeconomia estuda, portan-
to, a forma como os indivíduos e as famílias bus-
cam os bens e serviços, a forma como as empresas 
definem o que e quando produzir bens e serviços 
e, por fim, a forma como o mercado relaciona a 
busca e a produção.
Vasconcellos (2009) chama atenção para a 
condição Coeteris Paribus, expressão que vem 
do Latim e quer dizer “e tudo o mais constante”. 
Lembra-se de quando estudava física na escola 
e em todas as demonstrações o professor falava: 
“Isso acontecerá em condições normais de tem-
peratura e pressão”. A condição Coeteris Pasi-
bus é similar para a análise da economia. É uma 
condição fundamental para realização de análi-
ses de mercado, pois ela define que o mercado 
analisado não interfere e nem é interferido pelos 
demais. Segundo o autor, servirá, também, para 
analisarmos variáveis de forma isolada, tal como 
o preço de um bem em relação à sua procura, 
independentemente de outras variáveis, como 
renda, gastos etc.
É importante, aqui, definirmos mercado. 
Segundo Baidya et al. (2014), mercado é um 
bem abstrato, entretanto, pode-se afirmar que 
ele engloba todas as possibilidades de trocas e 
negociações entre indivíduos, firmas e países. 
Segundo os autores, as partes que negociam são 
denominadas agentes de mercado. Podemos dar 
como exemplos de mercado diversas áreas, como 
mercado imobiliário, mercado de automóveis, 
mercado de hortifrutigranjeiros etc.
Segundo Mendes (2012), baseado nos ele-
mentos essenciais da estrutura do mercado, o nú-
mero de empresas e a diferenciação dos produtos, 
é possível classificar o mercado em: competitivo, 
pouco competitivo e sem competitividade, con-
forme Quadro 1.
58 Microeconomia
Número de 
Empresas Tipo de produto Atividade da Empresa
Venda Compra
Muitas Homogêneo Competição Pura Competição Pura
Muitas Diferenciado Competição Monopolística Competição Monopsonística
Poucas Homogêneo ou não Oligopólio Ologopsônio
Uma Único Monopólio Monopsônio
Quadro 1 - Classificação dos mercados
Fonte: Mendes (2012, p. 62).
Enfim, após conhecer os conceitos básicos da microeconomia, ficou claro que é preciso analisar as três 
áreas citadas de forma isolada, a saber: demanda, oferta e mercado. Vamos a elas, então.
59UNIDADE III
O conceito de demanda é um consenso entre os 
autores da área, tais como Vasconcellos (2009), 
Mendes (2012), Baidya et al. (2014) e Ferreira 
(2017). A demanda definirá a quantidade de bem 
ou serviço que um indivíduo deseja comprar, em 
um determinado período, dada a sua renda, seus 
gastos e em relação ao preço do mercado. É im-
portante salientar que demanda não expressa a 
compra em si do bem ou serviço, mas a manifes-
tação do desejoda compra. Assim, pode-se definir 
o que Vasconcellos (2009, p.38) denominou de lei 
da demanda como “a quantidade de demanda de 
um bem e/ou serviço diminui à medida que seu 
preço aumenta na condição Coeteris Paribus”. 
Para entender melhor esse conceito, é interes-
sante pensarmos em um exemplo prático. Mendes 
(2012) traz um exemplo simples de se entender. 
Imagine que você esteja querendo comprar uma 
TV com tecnologias modernas (LED, LCD etc.), 
quando essas televisões chegaram ao mercado, o 
seu custo era muito alto devido à novidade e às 
tecnologias que ela traz embarcada. Era possível 
encontrar televisores custando algo em torno de 
R$ 15.000,00. Devido a esse preço, poucas pessoas 
eram capazes de adquirir esse bem, pois o preço 
Demanda
60 Microeconomia
é considerado alto em relação à 
renda e gastos das pessoas. Por-
tanto, a demanda por esse bem 
era baixa. Com o passar dos 
anos, com domínio da tecnolo-
gia e barateamento dos fatores 
de produção, foi possível, para as 
empresas, conseguirem abaixar 
o preço de venda de seus televi-
sores. Hoje, é possível encontrar 
os mesmos produtos nas lojas 
por valores como R$ 1.500,00 e, 
dependendo do tamanho e tec-
nologia, até mais baratos. Com 
a queda dos preços, aumentou 
consideravelmente a quantidade 
de pessoas que possuem condi-
ções de comprar, aumentando, 
consequentemente, a demanda 
pelo produto. O exemplo mostra 
o contrário do dito na lei da de-
manda. Quanto menor o preço, 
maior a demanda. No entanto, se 
analisarmos o oposto, é possível 
notar que é verdadeira a afirma-
ção, ou seja, quanto mais cara a 
empresa colocar o custo de uma 
TV, menos pessoas terão con-
dições de comprá-la, definindo, 
assim, uma demanda menor.
Tudo isso que foi dito pode 
ser representado graficamente 
pela curva de demanda (Figura 
1). Essa curva, segundo Mendes 
(2012, p. 29), define “a relação 
que descreve a quantidade de 
um bem que os consumidores 
estão dispostos a comprar, a di-
ferentes níveis de preço, em um 
determinado período de tempo, 
dado um conjunto de condições”. 
É fundamental perceber que a curva de demanda será determinada 
por todos os fatores que foram citados, ou seja, a curva será uma 
função definida por: 
Cd = ƒ (Pb, Pbs, Pbc, R, G) (1)
Sendo: 
Cd= curva de demanda.
Pb= preço do Bem.
Pbs= preço de bem substituto.
Pbc= preço do bem complementar.
R= renda.
G= gostos, hábitos, preferências.
Analisando as variáveis anteriores:
• Curva de demanda: curva definida no gráfico em função 
de todas as variáveis analisadas.
• Preço do Bem: preço determinado pelas empresas para 
venda dos bens produzidos.
• Preço do bem substituto: um bem substituto é aquele que 
poderá substituir o bem analisado por algum motivo, ou 
seja, o consumo deste elimina o consumo do outro. Exemplo: 
manteiga e margarina.
Figura 1 - Curva Hipotética de demanda para compra de um televisor
Fonte: o autor.
61UNIDADE III
• Preço do bem complementar: bem complementar é aquele que só será consumido caso seja 
comprado um bem principal, ou seja, a sua compra depende da compra de outro. Exemplo: 
cartucho de impressoras.
• Renda: é a renda das famílias que dará a elas o poder de compra.
• G: é o imponderável que já foi explicado anteriormente. Algo que é complicado de se medir, 
mas que interfere na decisão de compra.
A curva de demanda, segundo Vasconcellos (2009), 
poderá ser representada por uma reta (linear) ou 
assumir a figura mostrada no gráfico da Figura 1 
(função potência). O que determinará o formato 
serão as variáveis analisadas.
A curva poderá, também, sofrer deslocamentos 
positivos/negativos de acordo com as condições de 
mercado, por exemplo variação da renda, dos pre-
ços, preferências, aumento do número de consumi-
dores etc. O fato do aumento de preços, relacionado 
aos bens substitutos e complementares, também 
faz com que a curva se desloque para esquerda ou 
direta (expansão ou retração, respectivamente). No 
caso da expansão, segundo Vasconcellos (2009), por 
exemplo, podemos analisar a demanda de compra 
de um refrigerante 1 em relação ao refrigerante 2. 
Caso o preço do refrigerante 1 aumente, fará com 
que a demanda pelo refrigerante 2 aumente. A re-
tração também será possível perceber nessa rela-
ção, por exemplo, o aumento do preço de carros 
no mercado fará com que a demanda por gasolina 
diminua, como visto na Figura 2.
Figura 2 - Deslocamentos da curva de demanda
Fonte: o autor.
62 Microeconomia
No caso do conceito de oferta, assim como no caso 
da demanda, também há um consenso entre os 
autores da área, como os que estamos utilizando 
como referência neste livro, Vasconcellos (2009), 
Mendes (2012), Baidya et al.(2014) e Ferreira 
(2017).
No caso da demanda, foi possível perceber que 
é feita uma análise da intenção de compra por 
parte das famílias (indivíduo). Já no caso da oferta, 
a análise passará a ser feita do lado da empresa. A 
oferta, a grosso modo, é quantidade de bem/servi-
ço que a empresa deseja vender em um determi-
nado período de tempo. Assim como a demanda, 
não representa a venda efetiva, mas a intenção da 
venda de bens e produtos. Vasconcellos (2009) diz, 
na lei da oferta, que a quantidade ofertada de um 
bem aumenta à medida que seu preço aumenta 
na condição Coeteris Paribus.
Você pode ter estranhado, ao ler a lei da oferta, 
o fato de que ao se aumentar o preço, aumenta a 
oferta, mas é que estamos acostumados a pensar 
Oferta
63UNIDADE III
sob a óptica do consumidor. Lembre-se que estamos aqui analisando o lado das empresas. Portanto, se 
eu tenho um produto que eu quero vender, e seu preço aumentou no mercado por algum motivo, eu 
quero ofertá-lo ao máximo, pois isso aumentará a receita, consequentemente, poderá aumentar o lucro.
É importante, também, analisarmos a curva de oferta. Segundo Mendes (2012), a curva da oferta é 
uma relação que descreve quanto de um bem os produtores de todas as empresas estão dispostos a ofe-
recer, a diferentes níveis de preço, em determinado período de tempo, dado a um conjunto de condições.
A curva de oferta pode ser definida como (Figura 3):
(Kg)
Figura 3 - Curva Hipotética de Oferta
Fonte: o autor.
Co = ƒ (Pb, Pƒp, Pbs, T, A) (2)
Onde:
Co = curva de oferta.
Pb = preço do bem.
Pfp = preço dos fatores e produção.
Pbs = preço de bem substituto
T = tecnologia.
A = condições Ambientais.
Analisado as variáveis anteriores:
• Curva de oferta: curva que será definida pelo gráfico em relação a todas as variáveis.
• Preço do bem: preço em que o bem/serviço é ofertado no mercado.
• Preço dos fatores de produção: o preço dos fatores de produção é uma variável primordial, 
pois ele estará diretamente ligado ao preço final do produto. 
• Tecnologia: hoje, também é uma variável importante na produção e composição de um pro-
duto/serviço. Ela poderá contribuir e, em alguns casos, encarecer o valor da solução final. A 
melhoria da tecnologia, por exemplo, pode mudar o modelo de produção, afetando diretamente 
na produção final de bens/serviços.
64 Microeconomia
• Condições Ambientais: essa variável, em toda a bibliografia sobre o tema, está diretamente 
ligada às condições climáticas, mas eu ousarei, aqui, ir além e dizer que o ambiente (mercado) 
também afetará a oferta. Algumas externalidades, que analisaremos em breve, podem fazer com 
o que o preço altere, fazendo, com isso, que a curva também se altere.
(Kg)
Figura 4 - Deslocamento da curva de oferta
Fonte: o autor.
Para dar um exemplo prático e entender as variáveis, podemos pensar em algum produto agrícola, como 
a cana. Imagine que, em um determinado período, o país sofreu com a safra da cana. O produto fica 
escasso e o preço aumenta. No caso dos produtores, eles devem fazer escolha de, por exemplo, atender 
o mercado de açúcar ou de combustível. Ele irá escolher aquele que lhe pagar melhor, assim, o aumento 
do preço do produto, em fator de um problema climático, faz com que a oferta do produto aumente.
A curva de oferta também sofrerá variações com as mudançasde suas variáveis. A curva, assim 
como a curva de demanda, poderá sofrer retração ou expansão. Por exemplo, no caso do aumento do 
preço do açúcar, como visto anteriormente, fará com que a curva de oferta se expanda, ou seja, au-
mentará a oferta em função do aumento do preço. Em contrapartida, imaginemos que por um fator 
favorável de mercado, como o uso de uma tecnologia nova, faça com que o preço caia no mercado. 
Consequentemente, a curva de oferta irá retrair, pois as empresas terão seu faturamento reduzido com 
a queda dos preços (Figura 4).
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. Para acessar, use 
seu leitor de QR Code.
65UNIDADE III
Após estudar as curvas de demanda e de oferta, 
em que um lado tínhamos as intenções de com-
pra das famílias e do outro os produtos ofertados 
pelas empresas, é primordial entendermos como 
funciona o mercado quando essas duas curvas 
funcionam em conjunto. Em outras palavras, é 
preciso entender como funcionará o equilíbrio 
do mercado. Esse conceito é o que define o que 
sempre escutamos em relação ao mercado quando 
dito popularmente em lei da oferta x procura.
Para Mendes (2012), mercado é o locus em que 
a demanda e a oferta se unem para formar os pre-
ços do produtos e serviços. Isto é, para o autor, a 
formação do preço dependerá do resultado direto 
das condições das ofertas e da demanda. 
Vasconcellos (2009) corrobora com esse pensa-
mento e diz que o preço de mercado é determinado 
pela oferta e procura; e, segundo ele, ao colocarmos 
essas duas curvas em um gráfico, será determinado 
um ponto de equilíbrio, que define o preço ideal 
para atender a demanda de mercado (Figura 5).
Mercado
66 Microeconomia
A curva de demanda x oferta nos faz refletir e permite que façamos diversas análises em relação ao 
mercado. Por exemplo, é possível notar quando temos um excesso de demanda ou escassez de ofertas. 
Vejamos a Figura 6.
Figura 5 - Equilíbrio de Mercado
Fonte: o autor.
Figura 6 - Excesso de oferta
Fonte: o autor.
67UNIDADE III
Ao analisarmos o gráfico, é possível notar que o preço para o ponto de equilíbrio seria o de R$ 6,00, 
em que teríamos uma demanda de 40 produtos. Porém, ao olharmos para os pontos A e B, é possível 
ver que se o preço do produto fosse de R$ 10,00, teríamos uma demanda de 20 produtos, uma oferta 
de 60. O que nos daria um excedente de oferta de 40 produtos. 
Já na Figura 7, será possível notar que teremos uma escassez de oferta, pois, ao abaixarmos o preço 
do produto para R$ 4,00, fez com que tivéssemos uma demanda para 70 produtos; porém, a empresa 
conseguiria produzir somente 10 produtos nesse preço. Assim, para essa nova realidade, teríamos uma 
escassez de produção de 60 produtos. 
Essa decisão de quanto deve ser produzido é, possivelmente, respondida quando se analisa o gráfico 
da Figura 7, de oferta x demanda. 
Figura 7 - Escassez de oferta
Fonte: o autor.
Vamos analisar um exemplo prático para entender como funciona a relação da curva de oferta e de-
manda. Imagine que tenhamos a curva de oferta e demanda construídas com as funções dadas a seguir. 
Quais seriam o preço e quantidade necessária de produção para equilibrar o mercado?
Funções:
Curva de Demanda: D= 70 - 3P
Curva de Oferta: O = 20 + 2P
Onde: D=demanda; O=oferta; P=preço.
68 Microeconomia
O equilíbrio existirá quando tivermos uma oferta 
igual a demanda. Portanto, uma forma de calcular 
seria igualar O e D. Assim, teremos:
D=O, assim: 70-3P=20+2P 
Portanto: 5P=50; então P=R$ 10,00. Este seria o 
preço de equilíbrio. 
Jogando o preço de equilíbrio em uma das 
duas funções, encontraremos a quantidade pro-
duzida necessária para o equilíbrio.
O=20+2P = 20+ 20 = 40
Portanto, teríamos que ter uma oferta de 40 
produtos para equilibrar o mercado a um preço 
de R$ 10,00.
É importante lembrar que os fatores que afe-
tam as curvas de demanda e oferta irão variar, 
também, o ponto de equilíbrio do mercado. Por 
exemplo, foi visto nas variáveis da demanda que, 
caso a renda do consumidor cresça, haverá uma 
expansão da curva de demanda, pois teremos, 
nesse caso, mais pessoas interessadas no produ-
to, pois terão mais capacidade de compra. Isso 
afeta diretamente o ponto de equilíbrio. Ao ana-
lisarmos a Figura 8, fica clara a expansão da cur-
va com o aumento da renda. O gráfico mostra 
que, mesmo que o preço do produto tenha um 
aumento de R$ 6,00 para R$ 8,00, o ponto de 
equilíbrio teria um aumento da demanda de 40 
para em torno de 53 produtos. Com isso, a em-
presa é capaz de visualizar, graficamente, quanto 
deveria aumentar sua produção para continuar 
em equilíbrio. É claro que, como analisamos o 
fato da expansão, a retração também traz conse-
quências para a curva de equilíbrio de mercado. 
Porém, a análise seria realizada da mesma forma, 
obviamente com uma redução da demanda e do 
ponto de equilíbrio.
Figura 8 - Mudança do ponto de equilíbrio
Fonte: o autor.
69UNIDADE III
Prezado(a) aluno(a), o objetivo desta unidade era 
de compreendermos como funciona a economia 
em um mercado local. Acredito que, com os con-
ceitos de microeconomia, já é possível realizarmos 
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
algumas análises iniciais para tomada de decisão 
nas organizações. Principalmente os conceitos 
de demanda, oferta e de equilíbrio de mercado 
já nos dão uma noção de como é possível iniciar 
uma análise para um futura tomada de decisão de 
investimentos, consequentemente de melhoria de 
resultados operacionais das empresas.
Claro que ainda nos faltam ferramentas e 
análises mais apuradas de externalidades, como 
inflação, juros e fluxos de caixas, que iremos ana-
lisar nas unidades seguintes. Em breve já estare-
mos aptos para tal.
Vamos em frente!
70
1. As curvas de oferta e demanda serão construídas devido às seguintes funções:
Curva de Demanda: D= 30 - 2P
Curva de Oferta: O = 15 + P
1.1 Qual é o preço de equilíbrio para essa realidade do mercado?
a) R$ 3,00.
b) R$ 4,00.
c) R$ 5,00.
d) R$ 6,00.
e) R$ 7,00.
1.2 Na mesma realidade do mercado, qual seria a quantidade necessária de 
produção para equilibrar o mercado?
a) 15.
b) 20.
c) 25.
d) 30.
e) 35.
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
71
2. Lembrando do que foi dito para a condição Coeteris paribus, é possível afirmar que:
I) O aumento da oferta de um produto diminui o seu preço e aumentará, con-
sequentemente, a sua demanda.
II) Se a demanda aumentar, o preço do bem cairá, consequentemente aumenta 
a sua oferta.
III) O aumento da demanda, aumenta o preço e, consequentemente, aumentará 
a sua oferta.
IV) O aumento da oferta aumenta a demanda, consequentemente faz com que 
o preço caia.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I está correta.
b) Apenas I e II estão corretas.
c) Apenas I, III e IV estão corretas.
d) Apenas I e III estão corretas. 
e) Nenhuma das alternativas está correta.
72
Micro Economia e Comportamento
Autor: Robert H. Frank
Editora: Bookman
Sinopse: Microeconomia e Comportamento apresenta um conteúdo que vai além 
das ferramentas técnicas essenciais para a análise da economia comportamental, 
e lança aos estudantes uma provocação crítica de como desenvolver “o pensar 
como um economista”, com base em fatos cotidianos. Com essa metodologia 
desafiadora e a abordagem dos tópicos com grau de dificuldade crescente, Frank 
propõe uma série de exercícios recolhidos de contextos conhecidos para que 
a aplicação dos conceitos seja concreta.
LIVRO
73
BAIDYA, T. K. N.; AIUBE, F. A. L.; MENDES, M. R. C.; BATISTA, F. R. S. Fundamentos de Microeconomia. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2014. 
FERREIRA, M. Engenharia Econômica Descomplicada. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
MENDES, J. T. G. Economia. São Paulo: Pearson, 2012. 
VASCONCELLOS, M. A. S. Economia Micro e Macro. Belo Horizonte: Atlas, 2009. 
74
1. 
1.1. C.
1.2. B.
No caso da questão 1 dos exercícios, a resolução é:
Função demanda: D= 30-2P
Funçãooferta: O=15 + P
Como a curva é construída para o gráfico preço x quantidade, o que temos na fórmula como D e O são 
o número de produtos demandados e ofertados respectivamente. P é o preço do produto. 
Portanto para achar o equilíbrio de mercado é quando temos o número de produtos demandados igual 
ao de produtos ofertados. 
Assim, igualando as fórmulas, teremos como variável o preço de equilíbrio.
Portanto:
30-2P = 15 + P
Assim: P + 2P = 3-15
Portanto: 3P = 15 - Consequentemente P=R$ 5,00 (reais)
Ao jogarmos o valor em qualquer uma das fórmulas, teremos o número de produto para o preço de 
equilíbrio.
O = 15 + P ou seja O= 15+5= 20 produtos.
2. D.
75
76
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Entender os Fundamentos da Macroeconomia.
• Conhecer os conceitos de Política Fiscal.
• Conhecer os conceitos de Política Monetária.
• Conhecer os conceitos de Política Cambial.
Fundamentos de 
Macroeconomia
Política Fiscal
Política Cambial 
(comercial)
Política Monetária
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Macroeconomia
Fundamentos da 
Macroeconomia
Olá, aluno(a)! Estudamos, na unidade anterior, 
os conceitos básicos de microeconomia, ou seja, 
como funciona uma economia em relação a um 
local específico (vila, cidade, estado). No caso des-
ta unidade, analisaremos como funciona a econo-
mia de modo global, isto é, como é a economia de 
um país e sua relação com os demais países do 
mundo. Para isso, será muito importante conhe-
cermos os conceitos de macroeconomia e suas 
políticas. Vamos a elas!
Após analisarmos o funcionamento de econo-
mias mais regionais, chegou a hora de entendermos 
como funciona a economia de uma forma mais 
ampla, ou seja, como podemos analisar a economia 
de um país e sua relação com os demais países. 
Você já se questionou, alguma vez, qual é a 
relação entre as políticas econômicas de nosso 
país com os demais? Já procurou saber o porquê 
de as bolsas de valores de outros países afetarem 
a nossa economia?
79UNIDADE IV
Na unidade anterior, nós estudamos a microeconomia e verificamos o comportamento de mercados, 
empresas e famílias em relação à demanda, oferta etc., mas, se buscar pela memória, lembrará que lá 
utilizamos uma condição coeteris paribus, isto é, tudo mais constante. Na microeconomia, o estudo é 
feito de forma isolada, não levando em consideração variações de mercado, políticas (cambiais, fiscais, 
de países etc.).
Agora, vamos tratar de um conceito de economia de forma mais ampla, a macroeconomia. Segundo 
Vasconcellos (2009, p. 187), macroeconomia:
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. Para acessar, use 
seu leitor de QR Code.
 “
é o ramo da teoria econômica que trata da evolução da econo-
mia como um todo, analisando a determinação e o comporta-
mento dos grandes agregados, como renda e produto nacionais, 
investimento, poupança e consumo agregados, nível geral de 
preços, emprego e desemprego, estoque de moeda e taxas de 
juros, balanço de pagamentos e taxa de câmbio.
O conceito do autor é bem completo e demonstra a importância de 
uma análise mais ampla, pois, hoje em dia, com o mundo globalizado, 
os efeitos de mudanças em outros países e regiões afetam, de forma 
significativa e rápida, a economia de um determinado local. Ainda se-
gundo Vasconcellos (2009), a macroeconomia preocupa em analisar 
questões conjunturais de curto prazo, como desemprego e inflação.
Para Mendes (2012), é interessante o estudo da macroeconomia, 
pois ela dará parâmetros e critérios que auxiliam na análise da eco-
nomia do país. Toda análise traz consigo a necessidade de se utilizar 
critérios que permitam saber se o país, empresa, família, seja lá o que 
for analisado, está bem ou mal. No entanto, para isso, é necessário 
ter um parâmetro para comparação. O autor cita como exemplo 
dois critérios de análises muito importantes para se conhecer o 
nível de produção de um país e utilizados por todos os países do 
mundo - o PIB e o PNB.
Macroeconomia
80 Macroeconomia
Segundo Mendes (2012), conhecer e distinguir 
os conceitos é de fundamental importância pois, 
apesar de ambos medirem o nível de produção de 
um país, países como o Brasil, cujo o PIB é maior 
que o PNB, envia uma parcela de rendimentos 
muito maior para fora do país. Em países como os 
Estados Unidos, essa realidade é invertida, ou seja, 
o PNB é maior que o PIB, ficando, assim, maior 
parte do que é arrecadado dentro do próprio país. 
Isso representa uma parcela muito importante na 
balança comercial e na economia do país. 
Porém a maioria dos países do mundo utiliza 
o PIB como critério de análise. É ele que permite 
analisar o crescimento, ou não, de uma econo-
mia do país e comparar esse resultado aos demais 
países do mundo. Assim, as análises econômicas 
se tornam mais eficazes, pois analisam critérios 
semelhantes.
PIB (Produto Interno Bruto): o PIB de um país é a soma de tudo que é produzido no país. Dentro 
dessa produção, encontra-se o que foi produzido por empresa nacional e estrangeira.
PNB (Produto Nacional Bruto): o PNB (Produto Nacional Bruto) de um país é a semana de tudo que 
é produzido por empresas nacionais, estejam elas atuando no próprio país ou no exterior.
81UNIDADE IV
Segundo Vasconcellos (2009) e Mendes (2012), as metas de estudo da macroeconomia são: 
A política de empregos cresceu a partir dos anos 30, logo após a crise da bolsa dos Estados Unidos, 
quando o produto nacional caiu em torno de 30% e a taxa de desemprego chegou a 25%. Foi ba-
seado nos estudos de John Maynard Keynes, considerado, inclusive, o pai da macroeconomia por 
muitos autores.
Segundo o autor, essa meta está muito relacionada à análise da inflação e seu impacto na economia. 
Para ele, um pouco de inflação é inerente aos ajustes de uma sociedade dinâmica em crescimento. 
Porém, a inflação irá acarretar distorções sobre as expectativas empresariais, mercado de capitais 
e, sobretudo, na distribuição de renda. Por isso tudo, é importante que se desenvolva uma política 
econômica que tenha por objetivo a estabilidade de preços para se conseguir um crescimento eco-
nômico contínuo e estável.
Para o autor, inclusive utilizando de justificativas de economistas da época do milagre econômico 
brasileiro (60/70), o aumento da concentração de renda é inerente ao desenvolvimento capitalista. 
Os autores afirmam que o problema disso é que, com o crescimento econômico, faz-se necessário 
criar mão de obra cada vez mais qualificada. E por ser qualificada ela custa mais. Isso faz com que o 
distanciamento dos mais qualificados para os menos cresça ainda mais, fazendo com que a distribui-
ção de renda não aconteça de forma considerada justa. 
Nessa meta, o autor chama atenção para uma curiosidade de crescimento. Como exemplo ele cita 
um país com uma taxa de desemprego alto, portanto, capacidade produtiva ociosa. Como solução 
imediata, bastaria o governo incentivar a atividade produtiva, pois isso geraria emprego e renda. Po-
rém, para aumentar a atividade produtiva, é necessário investir em avanço tecnológico e utilização de 
recursos produtivos que, como vimos, são escassos e limitarão a produção. 
Alto nível de empregos: 
Estabilidade de preços:
Distribuição de renda socialmente justa: 
Crescimento econômico: 
1
2
3
4
82 Macroeconomia
Outro aspecto que deve ser levado em consideração para o desenvolvimento econômico de um país, 
segundo o autor, é a renda per capita. Não adianta o país crescer o seu PIB com produção de produtos 
e/ou serviços, sem que a renda da população cresça. É importante medir o crescimento econômico 
de um país utilizando, também, outros critérios de crescimento social, como: pobreza, desemprego, 
meio ambiente, moradia etc.
Ainda segundo Vasconcellos (2009), a macroeconomia divide a economia em duas áreas, a parte 
real e a monetária, e, ainda, essas duas são divididas conforme mostrado no Quadro 1:
Mercados Variáveis determinadas
Parte real de economia Mercado de bens e serviços
Produto Nacional
Nível geralde preços
Mercado de trabalho
Nível de emprego
Salários Nominais
Parte monetária de economia Mercado Financeiro
Taxa de Juros
Estoque de moedas
Mercado de Divisas Taxa de Câmbio
Quadro 1 - Estrutura da análise Macroeconômica
Fonte: Vasconcellos (2009, p. 192).
No mercado de bens e serviços, ao agregar tudo 
que foi produzido (bens e serviços), forma o pro-
duto nacional. Seu preço é representado por uma 
média de todos os preços, gerando, assim, o cha-
mado nível geral de preços.
O mercado de trabalho, também ao ser anali-
sado em nível geral, permite criar a taxa salarial 
e o nível de emprego (ou desemprego) do país.
Em paralelo a tudo isso, o autor chama atenção 
do mercado monetário, pois se faz necessário fazer 
trocas utilizando um elemento em comum para 
critério de comparação, a moeda. O mercado mo-
netário, portanto, determinará as taxas de juro, que 
estudaremos mais adiante, e a quantidade de moeda 
necessárias para efetivar as transações econômicas.
Por fim, os países do mundo visando reali-
zarem transações entre eles necessitam de uma 
taxa que faça um comparativo entre suas moedas. 
Surge, então, as taxas cambiais que permitirão 
relacionar moedas distintas.
83UNIDADE IV
Segundo Mendes (2012), há uma relação importante entre essas variáveis, e existem três formas de 
se analisar as atividades econômicas de um país: PIB, óptica da despesa (dispêndio) e a renda. Sendo 
que o PIB, segundo o autor, que é um dos principais índices como visto anteriormente, poderá ser 
medido pela seguinte identidade macroeconômica:
DEMANDA = OFERTA AGREGADA (PIB) = RENDA
DEMANDA
OFERTA 
AGREGADA
RENDA
Corresponde aos gastos de um país em um determinado 
ano. É composto por: consumo agregado, investimento 
privado, gasto público e exportações.
Formada pela produção nacional mais as importações.
Composta pelos salários, lucros, juros e aluguéis.
A política macroeconômica, visando atender as metas que foram citadas anteriormente, precisa lançar 
mão de instrumentos de controle que auxiliem o governo a atingir seus objetivos. Segundo os autores 
da economia, os principais são: política fiscal, política monetária e política cambial. Que analisaremos 
separadamente a seguir.
84 Macroeconomia
Para falarmos da política fiscal, veremos, em pri-
meiro lugar, o seu conceito. Para Vasconcellos 
(2009), a política fiscal se refere a todos os instru-
mentos de que o governo dispõe para a arrecadação 
de tributos (política tributária) e controle de suas 
despesas (política de gastos). Para Mendes (2012), 
política fiscal é a atuação do governo em relação 
a arrecadação de impostos e aos gastos públicos.
É interessante tratar do assunto imposto, no 
Brasil. Ao falar nessa palavra, todo mundo já 
pensa em problemas e começa a falar mal, mas 
é importante analisar o contexto dos impostos e 
sua importância na Macroeconomia.
Visando conhecer mais a fundo a política, é 
importante analisarmos os gastos e receitas do 
governo. É mister salientar a obrigação que qual-
quer governo público tem em investir para dar ao 
povo saúde, educação, moradia e locomoção em 
alto nível. No entanto, todo mundo esquece que, 
para conseguir tudo isso, é necessário ter dinheiro 
para investimentos e, no caso do governo, de onde 
viria esse dinheiro? De impostos. 
Política Fiscal
85UNIDADE IV
Mendes (2012) chama atenção que os gastos 
do governo são, geralmente, conhecidos. É com-
posto por despesas correntes, como funcionários, 
pagamentos a empresas privadas na prestação de 
serviços aos órgãos governamentais, juros de dí-
vidas (interna e externa) e subsídios a produtores 
e consumidores.
No entanto, no caso das receitas, não existe um 
interesse da maioria em conhecer. O autor eviden-
cia, então, as principais fontes de recursos, a saber:
• Impostos diretos: incidem diretamente 
sobre renda e propriedade (IPVA, IPTU, 
Imposto de Renda, ITR (Imposto Territo-
rial Rural)).
• Impostos Indiretos: gerados na produ-
ção, consumo e venda de mercadoria (IPI, 
ICMS, ISSQN, Finsocial, PIS.
Vasconcellos (2009) ressalta a importância da 
política fiscal, não somente no momento da ar-
recadação de impostos que geram receitas para 
o governo. Ela tem outro papel importante na 
economia, que foi visto na primeira unidade, 
quanto tratamos da concorrência mista, quando 
o governo manipula as estruturas de alíquotas 
dos impostos para controle da economia, por 
exemplo estimular produção, permitindo, assim, 
um controle do desemprego, e também com a 
possibilidade de inibir gastos do setor privado e 
consumidores para controle de inflação. Caso o 
governo pense, também, na meta de melhoria da 
distribuição de renda, poderia criar uma política 
de cobrança de impostos variáveis, de acordo com 
o nível de renda, ou seja, quem fatura mais paga 
mais impostos.
É importante, inclusive para estudos que fa-
remos mais adiante, entender a diferença entre a 
taxa nominal e taxa real de juros. Segundo Men-
des (2012), a taxa nominal de juros, conhecida 
pelo símbolo “i”, é aquela que representa o ganho 
monetário de uma determinada aplicação finan-
ceira, ou o custo monetário de um empréstimo. Já 
o juros real, conhecido pelo símbolo “r”, é o juro 
nominal descontado o valor da inflação. Veremos 
mais adiante que esse conceito se fará importante 
para entendimento de análises de investimentos.
86 Macroeconomia
Na política monetária, como vimos, é quando 
a economia fala em moeda. É interessante pen-
sarmos que o funcionamento da economia não 
dependeria de se utilizar moedas, poderia ser fei-
to como em outras épocas, locais ou ocasiões, a 
utilização de troca de mercadorias e/ou serviços. 
Porém, a política monetária vai tratar o assunto, 
pois é a forma como o governo controlará a quan-
tidade de moeda existente no mercado (liquidez).
Para Vasconcellos (2009), a política monetária 
se refere à atuação do governo sobre a quantidade 
de moeda, de crédito e das taxas de juros. 
Política Monetária
87UNIDADE IV
Segundo o autor, o governo, por meio do banco central, utilizará das seguintes fer-
ramentas para realizar esse controle:
Essa autonomia é única e 
exclusiva do banco central, 
que controlará a quantida-
de de moeda no mercado, 
emitindo moedas quando 
for necessário. 
Essa ferramenta consiste em empréstimos realizados pelo Banco Central aos bancos 
comerciais. Podem ser realizados por motivos de liquidez, para, por exemplo, uma 
eventual compensação de cheques, ou podem ser realizados os chamados redescon-
tos especiais ou seletivos, que possuem como objetivo beneficiar setores específicos, 
tais como financiamento de compra de máquinas agrícolas.
Também conhecido como depósito 
compulsório, refere-se à quantia 
que todos os bancos comerciais 
são obrigados a fazer no banco 
central. É uma espécie de seguro 
para caso o banco tenha problema.
Consiste na compra e venda de títulos públicos pelo governo. Pode ser realizado em 
dois momentos e com finalidades diferentes. No caso de venda de títulos públicos, 
o interesse do governo é diminuir um pouco a liquidez, ou seja, parte do dinheiro 
que está nas mãos da população em geral volta para os cofres do governo com o 
pagamento desse títulos. Já no caso de compra dos títulos, o governo terá a intenção 
inversa, isto é, ao comprar os títulos, o dinheiro irá para o mercado, aumentando a 
liquidez e capacidade de compra dos consumidores. Podemos ver que essa é uma 
ferramenta direta da quantidade de moeda no mercado.
EMISSÃO DE MOEDAS
REDESCONTOS
RESERVAS COMPULSÓRIAS
OPEN MARKET
Outra ferramenta da política monetária importante, segundo Mendes (2012), são as taxas de juros. É 
um assunto muito debatido e todas as vezes que assistimos, ou lemos, algo a respeito, ela aparece. No 
Brasil, é a chamada Selic. Para Mendes (2012), essa é uma taxa básica da economia e referência para 
toda as demais aplicações.
88 Macroeconomia
Mas o que seriam as taxas de juros? Basica-
mente, seria um valor pago pelo empréstimo 
do dinheiro realizado. De acordo com Mendes 
(2012),a taxa de juros se forma na interação da 
demanda e oferta de moeda. É como se pensásse-
mos da seguinte forma: uma pessoa (ou empresa) 
precisa de dinheiro em espécie (liquidez) para 
realização de algum investimento ou compra de 
algum bem, porém ele não possui esse dinheiro. 
Ele poderá recorrer a um banco comercial (ou 
agente financeiro) que fornecerá esse dinheiro 
de imediato. Porém, será cobrada uma espécie de 
taxa de aluguel desse dinheiro, ou seja, no período 
em que houver a dívida, é pago um valor do em-
préstimo, mais um pedaço de amortização dessa 
dívida. Estudaremos isso com mais detalhes na 
Unidade 6 desse livro. Outra forma de pagamento 
de juros seria na modalidade de investimentos. De 
forma contrária ao que falamos, nos investimen-
tos, as pessoas (empresas) possuem um dinheiro 
que não utilizarão de imediato. Assim, podem 
ganhar mais no mercado financeiro. Procuram 
bancos comerciais (ou agentes financeiros) e “em-
prestam” o seu dinheiro para que seja aplicado no 
mercado de capitais. Nesse momento, será pago 
ao proprietário do dinheiro um valor de juros 
durante o período em que o dinheiro ficou “em-
prestado”. Vale salientar que nem sempre os valo-
res pagos em investimentos são os mesmos pagos 
em empréstimos. Geralmente, as taxas cobradas 
pelos bancos para que eles emprestem dinheiro 
são maiores que as taxas pagas em investimentos. 
Segundo Mendes (2012), isso pode ser explicado 
por fatores como Impostos, altos custos operacio-
nais de bancos, inadimplência (risco) e os altos 
percentuais de recolhimentos compulsórios.
É importante salientar que os sistema bancário 
comercial é formado por agentes que estão auto-
rizados, pelo BACEN, a receberem depósitos à 
vista: Banco do Brasil, Caixa Econômica Federal 
e os Bancos Comerciais. Estes serão regulamen-
tados e fiscalizados pelo governo. É preciso tomar 
cuidado com agentes financeiros que aparecem 
oferecendo empréstimos e taxas, a princípio, con-
vidativas, mas que poderão causar uma dor de 
cabeça no futuro. 
As taxas de Juros definidas pelo Governo são:
• Sistema Especial de Liquidação e de Cus-
tódia (SELIC): taxa de negociação dos títulos 
públicos que vimos anteriormente. Seu valor 
em Julho de 2017 era de 10,15% ao ano, se-
gundo o Banco Central.
• Taxa referencial de Juros (TR): utilizada na 
remuneração de caderneta de poupança, 
FGTS. A taxa teve um rendimento acumulado 
no ano de 2016 de 2,0125, segundo o Banco 
Central.
• Taxa de Juros a Longo Prazo (TJLP): essa é 
a taxa utilizada pelo Banco Nacional de De-
senvolvimento e Social (BNDES). A taxa, em 
julho de 2017, estava em 0,5833% ao mês, 
segundo o site da receita Federal.
Fonte: Mendes (2012).
89UNIDADE IV
A política cambial terá uma função um pouco 
diferente das políticas fiscal e monetária. As duas 
vistas anteriormentes têm uma função de contro-
le da economia interna do país. A política cam-
bial terá uma função importante de controlar 
relações comerciais existentes entre agentes de 
países diferentes.
A política cambial está fundamentada na admi-
nistração da taxa de câmbio e no controle das 
operações cambiais. 
Fonte: Mendes (2012).
Vasconcellos (2009) divide o conceito em política 
Cambial e Política Comercial. A política cambial 
se refere ao controle do Governo sobre a taxa de 
câmbio (câmbio fixo, flutuante etc.). A política 
comercial diz respeito aos instrumentos de incen-
tivo às exportações e/ou estímulo/desestímulo às 
importações, sejam fiscais, creditícios, seja esta-
belecimento de cotas etc. 
Política Cambial 
(Comercial)
90 Macroeconomia
A política cambial é interessante para enten-
dermos algumas coisas importantes na economia. 
Cada país, praticamente, possui sua moeda própria. 
É preciso criar um critério para se realizar rela-
ções comerciais com agentes cujas moedas não 
são as mesmas, pois, caso contrário, não teremos 
como chegar a um consenso de valores. Mendes 
(2012) chama atenção para um fato interessante: 
seria fácil para o Brasil, por exemplo, ao obter uma 
dívida com países credores, emitir moeda (Real) 
para saldar a dívida. Porém não é bem assim que 
funciona. O Real não é uma moeda aceita interna-
cionalmente como, por exemplo, acontece com o 
Dólar e o Euro, que são moedas fortes em todos os 
países do mundo. Para conseguir, então, saldar as 
dívidas externas, é necessário que sejam incorpo-
radas ao mercado brasileiro moedas estrangeiras. E 
como fazer isso? As duas melhores formas seriam 
a exportação de produtos brasileiros e captação de 
investidores estrangeiros no mercado local.
O Brasil, em relação ao mercado mundial, 
encontra-se numa posição desconfortável. Se-
gundo o site Comex do Brasil1, a nossa partição 
no mercado mundial ficou, pela primeira vez, em 
2016, abaixo de 1%. Isso deve-se a vários fatores 
importantes de se analisar. Dentre eles, segundo 
Mendes (2012), somente algo em torno de 0,7 % 
das empresas brasileiras exportam seus produtos. 
Outro fator importante, que afeta diretamente na 
produção e exportação de produtos, é a política 
cambial. Segundo diversos sites especializados 
no assunto, 7 entre 10 produtos mais exportados 
pelo Brasil vêm do agronegócio. E ainda existe 
a exportação de matéria prima para indústria, 
como o minério. Isto é, exportamos muita ma-
téria-prima e produtos do agronegócio e impor-
tamos produtos manufaturados, que geralmente 
são mais caros por estarem embutidos no preço 
todo do Know How de produção.
E quais seriam as ferramentas para o mercado cambial? Segundo Mendes (2012), elas são:
• Intervenção no mercado cambial: nada mais do que um controle sobre a taxa de câmbio, 
em que é possível valorizá-la ou desvalorizá-la, de acordo com as necessidades do mercado. A 
taxa de câmbio é o valor correspondente da moeda estrangeira no país naquele momento. Pela 
taxa de câmbio, é possível estimular a exportação e desestimular a importação de produtos, ou 
o contrário. Segundo o autor, existem três regimes cambiais:
a) Taxas Fixas: predefinidas pelas autoridades monetárias.
b) Taxas Variáveis: taxas flutuantes formadas livremente pelo mercado.
c) Taxas administrativas: que seriam um meio-termo entre as duas primeiras.
• Políticas comerciais: neste caso, seria uma forma de proteção com imposição de tarifas, em 
que é possível fixar uma cota de importação (ou exportação).
• Tratamento ao capital Estrangeiro: visa interferir no fluxo de mercadoria e serviços.
91UNIDADE IV
Todas as políticas analisadas são importantes e não funcionam de forma isolada. O conjunto de regras 
criadas pelo governo é que fará o controle da economia, fazendo com que ela cresça ou não. É funda-
mental pensar que o excesso de moeda estrangeira na economia local faz com que a moeda nacional se 
desvalorize, pois permite que as negociações estrangeiras se tornem frequentes, levando todo o capital 
para o exterior. Assim, é necessário emitir mais moeda local. 
Portanto, por tudo isso, faz-se necessário uma política governamental séria, muito bem planejada 
para evitar uma derrocada da economia do país. Uma economia fraca gera consequências graves para 
a população, como é possível perceber nos países do chamado terceiro mundo, onde não existe uma 
infraestrutura básica para atender a população.
Nesta unidade, tivemos como objetivo principal conhecer os conceitos e ferramentas da macroe-
conomia. É importante entender a relação da nossa economia com os demais países do mundo, bem 
como as ferramentas e políticas (fiscal, monetária e cambial) e que podem ser utilizadas pelo governo 
na realização de fiscalização e controle da economia.
Com tudo isso, aliado ao que aprendemos na Unidade 3 (Microeconomia), é possível perceber 
como funciona a economia do país. Apesar de se dizer que microeconomia e a macroeconomia são 
coisas distintas, uma não funcionaria sem a outra, pois foi possível perceber que ambas possuem mé-
tricas, critérios e ferramentas que nos permitem entender como será possível gerar regras e fiscalizar 
o funcionamento das relações econômicase financeiras entre os agentes econômicos e entre países.
92
1. Assinale qual é a alternativa errada: 
a) O PNB é constituído de tudo que é produzido no país. 
b) A Política Monetária tem por função controlar o dinheiro do país.
c) A Política Tributária é um tipo de ferramenta da Política Fiscal. Por meio dela é 
possível gerenciar os impostos que serão praticados no país.
d) Uma das ferramentas utilizadas pela Política Cambial se refere às alterações 
na taxa de câmbio.
e) Todas as alternativas anteriores estão erradas. 
2. Leias as alternativas a seguir e assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F):
 )( A Política Monetária trata dos recursos totais arrecadados, enquanto a Política 
Fiscal trata dos impostos.
 )( O desconto é uma ferramenta que é utilizada para controle de liquidez no 
mercado.
 )( As taxas de câmbio podem ser utilizadas para o controle comercial entre agen-
tes estrangeiros. Isso permitirá incentivar, ou não, as transações comerciais.
 )( Os impostos são a única forma de arrecadação do governo de verbas para 
custear suas despesas. 
Assinale a alternativa correta:
a) V-V-V-V.
b) V-F-F-V.
c) F-F-F-V.
d) F-V-V-F.
e) V-F-V-F.
3. Faça um resumo de quais serão os instrumentos do governos para controlar a 
economia no país. Explique cada um deles.
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
93
O Monge e o Executivo
Autor: Cristiane A. J. Schimidt; Fábio Giambiagi
Editora: Campus
Sinopse: esse livro supre a lacuna entre a relevância do tema e o ensino da 
macroeconomia conformada à nossa realidade e se destina a gestores e exe-
cutivos com interesses mais imediatos. Quais os determinantes das variáveis 
macroeconômicas? Quais as escolhas possíveis dos instrumentos da política 
econômica e seus impactos na gestão dos negócios? Quais as restrições à gestão 
pública e as possibilidades e consequências de curto e longo prazo das escolhas 
adotadas? Quais os seus impactos sobre a produção e a procura pelos produtos 
produzidos domesticamente? Quais suas implicações sobre o nosso ambiente 
de negócios? A opção por um tratamento acessível do tema e os exemplos 
retirados da nossa realidade, aliados à análise cuidadosa e à interpretação dos 
fatores e evidências disponíveis, tornam esse livro um instrumento útil para o 
ensino dos fatos e restrições da macroeconomia para um público mais amplo.
LIVRO
94
BAIDYA, T. K. N.; AIUBE, F. A. L.; MENDES, M. R. C.; BATISTA, F. R. S. Fundamentos de Microeconomia. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2014.
MENDES, J. T. G. Economia. São Paulo: Pearson, 2012.
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos de Engenharia Econômica. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
VASCONCELLOS, M. A. S. Economia Micro e Macro. Belo Horizonte: Atlas, 2009.
REFERÊNCIAS ONLINE
1Em <http://www.comexdobrasil.com/participacao-do-brasil-no-comercio-mundial-devera-ficar-pela-primei-
ra-vez-abaixo-de-1/>. Acesso em: 23 jul. 2018
95
1. A.
2. B.
3. Nesta questão, é esperado que o aluno leia, analise e escreva, de forma resumida, as políticas fiscal, mo-
netária e cambial, com todas as suas ferramentas de controle. 
96
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Ver os fundamentos da Matemática Financeira e entender 
os principais conceitos.
• Mostrar como funciona o sistema de capitalização simples.
• Mostrar como funciona o sistema de capitalização com-
posta.
• Entender como são tratados os descontos em caso de 
antecipação de pagamento de uma possível dívida.
Fundamentos da 
Matemática Financeira
Capitalização Simples Desconto
Capitalização Composta
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Matemática Financeira
Fundamentos da 
Matemática Financeira
Até nesse momento do nosso material, aprende-
mos conceitos que nos ajudaram a entender o que 
é e como funciona a economia. A partir de agora, 
com a ajuda da matemática, nós poderemos fazer 
análises que nos auxiliarão em tomadas de deci-
são, sejam elas pessoais, como na aquisição de car-
ros, imóveis, investimentos no mercado financeiro 
etc., e também profissionais, em que teremos as 
decisões de investimentos dos negócios em nos-
sas mãos, como comprar um novo equipamento, 
investir em um novo produto, pagar aluguel ou 
comprar uma sede própria, dentre outras. Para tal, 
é importante conhecer o conceito da matemática 
financeira.
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
99UNIDADE V
É interessante, ao tratar do assunto, chamar a aten-
ção para um fato citado por Wakamatsu (2012). 
Ao falarmos de Matemática Financeira, tratamos 
de dois assuntos temidos por muitos, matemática 
e economia. É muito importante aprendermos a 
matemática financeira, pois por meio dela é pos-
sível enxergar melhor as alternativas de investi-
mentos e, com isso, tomar melhores decisões.
É importante salientar que, ao tomarmos de-
cisões, precisamos lembrar que o dinheiro não 
terá o mesmo valor ao considerarmos a variável 
tempo. Vimos, nas unidades anteriores, vários mo-
delos econômicos nos quais o governo age para 
tentar regulamentar o mercado, mas temos ain-
da fatores que irão interferir no valor da moeda, 
como os juros, inflação etc. 
Para ficar claro, é interessante pensar na com-
pra de um bem no mercado, hoje. Vamos pensar 
em lojas como Ricardo Eletro, Ponto Frio, Maga-
zine Luíza etc. Todas as vezes que entramos para 
comprar uma geladeira, por exemplo, podemos 
ver que temos o preço a vista (R$ 2.000,00) ou 
parcelado com juros (24 vezes de R$ 120,00). Se 
somarmos as 24 prestações de R$ 120,00 teremos 
R$ 2.880,00. Esse valor cobrado a mais é exata-
mente o mercado financeiro funcionando. Por-
tanto, é preciso entendermos alguns conceitos:
Matemática financeira é o ramo da matemática 
que estuda as variações do dinheiro ao longo 
do tempo e as operações financeiras que se es-
truturam por meio dessas variações, sendo de 
fundamental importância para o estudo da en-
genharia econômica. 
(Marcelo Ferreira)
Além do conceito da matemática financeira, é 
fundamental conhecermos outros que analisa-
remos ao longo do capítulo:
Quadro 1 - Conceitos Fundamentais
Valor Presente ou Principal (VP)
Valor de um fluxo futuro de recurso ou custos, em termo de valor 
atual.
Isto é, quanto seria o seu investimento no momento zero de sua 
análise. 
Valor Futuro ou montante (VF)
É o valor pactuado para os fluxos de capital, em determinada data, 
resultante da aplicação de certa taxa de juros, durante um deter-
minado período de tempo.
Isto é, quanto será o montante do investimento realizado no mo-
mento zero em uma data futura. 
Taxa de Juros (i) ou (J)
É a taxa de remuneração de capital emprestado ou financiado 
por seu proprietário a alguém que não tinha recursos e o tomou 
emprestado durante um determinado tempo.
Isto é, quanto uma pessoa, ou instituição financeira, cobra de “alu-
guel” de um montante de dinheiro durante o tempo em que ele 
ficar com o devedor. 
Tempo (n)
É o número de períodos em que a operação financeira irá perdurar.
Em outras palavras, é o tempo em que a movimentação financeira 
irá acontecer (1 ano, 1 mês, 10 anos etc.).
Fonte: adaptado de Ferreira (2017).
100 Matemática Financeira
de caixa de alguma pessoa, ou empresa, que em-
prestou dinheiro. Isto é, no momento zero, houve 
uma saída de capital; portanto, no período 8, o 
dinheiro volta ao caixa com os juros cobrados pela 
operação. Se fossemos analisar o mesmo fluxo na 
óptica do devedor, ele estaria invertido, ou seja, 
no momento zero, temos uma entrada de capital 
(valor que foi pego emprestado) e, no período 8, 
uma saída de capital para que, quitada a dívida, 
conforme mostrado na Figura 2.
0 1 2 3 4 5 6 7
 
Figura 2 - Diagrama de Fluxo de caixa sob a óptica de um 
devedor
Fonte: Wakamatsu (2012).
Vistos esses princípios básicos, já é possível co-
meçarmos analisar as formas de capitalizações 
existentes no mercado.
As operações financeiras são representadas por 
um fluxo de caixa (receitas e despesas) ao longo 
deum tempo predefinido. A matemática finan-
ceira permite analisar esse fluxo para auxiliar nas 
tomadas de decisão. A representação de um fluxo 
de caixa é feita conforme mostrado na Figura 1.
0
1 2 3 4 5 6 7
Figura 1 - Diagrama de Fluxo de caixa sob a óptica de um 
financiador
Fonte: Wakamatsu (2012).
Podemos notar que o diagrama representa o fluxo 
ao longo de períodos (0, 1, 2...8), que podem ser 
meses ou anos, dependendo da análise realizada. 
No caso das setas para baixo, representam uma 
saída de capital do caixa; as setas para cima en-
tradas. Portanto, a Figura 1 representa um fluxo 
101UNIDADE V
O processo de Capitalização é aquele em que um 
montante de dinheiro aumenta durante um es-
paço de tempo em consequência da aplicação de 
uma taxa de juros (FERREIRA, 2017).
Existem dois tipos de capitalização, simples e 
composta. Nesse tópico, analisaremos a capitali-
zação simples, fundamentados em autores como 
Samanez (2007), Wakamatsu (2012), Ferreira 
(2017) entre outros.
Capitalização simples é aquela cuja taxa de juros 
de cada período será sempre aplicada em cima 
do valor inicial ou principal (VP). 
Para entendermos melhor, vamos analisar a se-
guinte situação: imagine que você tenha aplicado 
um valor de R$ 1.000,00 e o banco pagaria a você 
uma taxa de juros de 5% ao mês, durante um pe-
ríodo de 6 meses. Quanto de dinheiro você teria 
ao final desse período?
Capitalização 
Simples
102 Matemática Financeira
Para resolver essa situação, podemos lembrar o que foi dito no tópico anterior. Os juros de 5% são 
o valor do “aluguel” que o banco está pagando para que você aplique o dinheiro que é seu com 
eles. A representação gráfica da análise ficará conforme a Figura 3. 
Na Figura 3, podemos notar que, a cada período que passa, é aplicada a taxa de juros do período em 
cima do valor presente. Poderíamos calcular da seguinte forma:
VP = R$ 1.000,00; i = 5% a.m (ao mês); n = 6 meses.
Portanto: R$ 1000,00 x 5% a.m. (que pode ser representado em valor decimal por 0,05) = R$ 50,00 
ao mês. Como na capitalização simples os juros são aplicados sempre em cima do valor presente 
j1=j2=j3=j4=j5=j6 = R$ 50,00. Assim basta somarmos 6 x R$ 50,00 = R$ 300,00 ao final dos seis meses.
Portanto o valor Futuro:
Vf = 1000,00 + 300,00 = R$ 1.300,00
0 1
J1 J1 J1 J1 J1 J1
2 3 4 5 6
J2 J2 J2 J2 J2
J3 J3 J3 J3
J4 J4 J4
J5 J5
J6
VF
VP
 
Figura 3 - Capitalização Simples
Fonte: o autor.
103UNIDADE V
Visando facilitar os cálculos, apresentaremos as fórmulas para cálculo de VP e J em capitalização 
simples (Quadro 2): 
Quadro 2 - Fórmulas para cálculos em capitalização simples
Valor Futuro VF = VPx (1 + ixn)
Juros J = VPxixn
Fonte: o autor.
Usando a fórmula para cálculo do exemplo dado, temos:
Cálculo do Montante ao final de 6 meses. 
VF = VP. (1+ i x n) = 1000,00. (1+ 0,05 x 6) = R$ 1.300,00
Se quisermos saber qual o valor de juros embutido na operação financeira, temos:
J= VP x n x i = R$ 1.000,00 x 6 x 0,05 = R$ 300,00.
Por meio das fórmulas, é possível chegar às respostas de forma mais rápida. É importante salientar 
que, no caso da capitalização simples, a visualização da resposta é mais fácil, pois os juros são aplica-
dos sobre o mesmo valor. O que não é verdade na capitalização composta, que veremos adiante. Para 
elucidar melhor, vamos analisar outro exemplo. 
Exemplo 1 
Um investidor aplicou uma importância de R$ 150.000,00, em que o sistema de capitalização utilizado 
é o simples. Ao final do período de um ano, ele recebeu uma remuneração de R$ 54.000,00. Qual foi 
a taxa de juros ao mês aplicada nessa operação?
Analisando os dados, temos:
VP = R$ 150.000,00; n = 1 ano (12 meses); J = R$ 54.000,00; i=?
Usando a Fórmula de juros:
J = VP x i x n
Portanto:
i = J / VP x n
Assim, teremos:
i= 54.000,00 / 150.000 x 12 ⇒ i= 0,03, ou seja, 3% ao mês.
104 Matemática Financeira
Importante lembrar de colocar as unidades de 
medidas iguais. Isto é, o período foi dado em 
ano, mas foi pedida a taxa de juros em meses.
Devemos sempre ficar atentos à proporção de 
taxa de juros, pois o período analisado poderá 
ser diferente dos dados. No caso de capitalização 
simples, a proporção é direta, ou seja:
i a.m = i. a. t / 3 = i a. s. / 6 = i a. a. / 12
Sendo:
i.a.t. = taxa de juros trimestral
i a.m. = taxa de juros mensal.
i a.s. = taxa de juros semestral.
i a.a. = taxa de juros anual.
105UNIDADE V
Seria uma beleza para todos nós se o mercado só 
utilizasse o sistema de capitalização simples, pois 
é fácil para fazermos contas e verificar os valores 
das operações financeiras. Porém, o sistema ado-
tado é o de capitalização composta. Assim como 
no sistema de capitalização simples, existe um 
consenso entre autores como Samanez (2007), 
Wakamatsu (2012) e Ferreira (2017) em relação 
a esse conceito.
Capitalização Composta é aquela cuja taxa de 
juros será aplicada, a cada período, no montante 
do final do período, acumulando, assim, ao longo 
do período total.
No mercado, é comum escutarmos, quando é 
adotado o sistema de capitalização composta 
que é cobrado juros sobre juros. Isto é, ao final de 
cada período, o juros será acrescido do valor do 
principal mais o juros do período anterior. Para 
entender melhor, vamos analisar a dedução da 
fórmula de juros composto (SOBRINHO, 2001).
Capitalização 
Composta
106 Matemática Financeira
Período 1
VF1 = VP + VP x i = VP (1 +i)
Período 2
VF2 = VF1 + VF1 x n = VF1 x (1 x i) = VP (1 + i) (1 + i) = VP (1 + i)2 
Período 3
VF3 = VF2 + VF2 x i = VF2 x (1 +i) = VP (1 + i)2 (1 + i) = VP (1+ i)3
Portanto, se quisermos generalizar para um período igual a “n”, teremos a seguinte fórmula:
VF=VP . (1 + i)n
Dessa fórmula, será possível deduzir todas as outras para cálculo no sistema de capitalização 
composta, como podemos ver no Quadro 3.
Quadro 3 - Fórmulas para cálculos em capitalização composta
Valor Futuro VF = VP x (1+i)n
Juros J = VF - VP
Valor Presente VP = VF / (1 + i)n
Prazo (n) n = Log (VF/VP) / Log (1 + i)
Taxa de Juros (i) i = (VF/VP)1/n -1
Fonte: o autor.
É sempre importante fazermos uma comparação entre os dois sistemas visando entender o que seria a 
aplicação de juros sobre juros. Conforme visto em Sobrinho (2001), podemos acompanhar a diferença 
no exemplo a seguir:
Exemplo 3 
R$ 1.000,00 aplicados em um período de 4 meses, com uma taxa de juros de 10% a.m., renderão:
Capitalização Simples
VP Juros Simples VF
1 R$ 1000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 1000,00 R$ 100,00 R$ 1.200,00
3 R$ 1000,00 R$ 100,00 R$ 1.300,00
4 R$ 1000,00 R$ 100,00 R$ 1.400,00
107UNIDADE V
Capitalização Composta
VP Juros Compostos VF
1 R$ 1000,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00
2 R$ 1.100,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00
3 R$ 1.210,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00
4 R$ 1.331,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10
Ao compararmos os dois sistemas, é possível perceber que o valor rendido no sistema de capitalização 
simples foi de R$ 400,00; já o valor rendido no sistema de capitalização composta foi de R$ 464,10. Pode 
parecer pequeno o valor, mas é importante lembrar que estamos analisando um período de 4 meses. 
Quanto maior o período, maior seria a diferença. Podemos ver isso analisando para um período de 2 anos.
Utilizando as fórmulas dadas:
Simples: J = VP x n x i = R$ 1.000,00 x 24 (meses) x 10% (0,1) = R$ 2.400,00
Composta: J = VF - VP
VF = VP (1 +i)n = R$ 1000,00 (1 + 0,1)24 = R$ 9.849,73
Portanto: J = VF-VP = R$ 9.849,73 - R$ 1.000,00 = R$ 8.849,73
Nessa análise, é possível verificar perfeitamente a diferença dos dois sistemas. Enquanto no sistema de 
capitalização simples rendeu R$ 2.400,00, o de capitalização composta rendeu R$ 8.849,73.
Vamos analisar outros exemplos:
Exemplo 4
Um investidor aplicou uma quantia de R$ 200.000,00, gerando uma remuneração de R$ 20.000,00 no 
período de um ano. Qual a taxa de juros anual para a operação? 
Solução: VP = R$ 200.000,00; n= 1 ano. J= R$ 20.000,00 ; i=?; 
VF = VP + J = R$ 200.000,00 + R$ 20.000,00 = R$ 220.000,00
Como visto nas fórmulas: i = (VF/VP)1/n -1 = (220.000/200.000)1/1 -1 = 0,1Portanto: i = 0,1 ou 10% ao ano. 
108 Matemática Financeira
Exemplo 5 
Imagine que você queira adquirir um carro cujo valor de mercado é de R$ 60.000,00 e você quer fazer 
isso em, no máximo, 2 anos. Quanto deverá poupar, hoje, em uma aplicação, se o banco paga uma taxa 
de 1,3% ao mês?
Solução: VF = R$ 60.000,00; n=2 anos (24 meses); i=1,3% a.m.; VP=?
Conforme visto nas fórmulas: VP = VF / (1 + i)n = R$ 60.000,00 / (1 + 0,013)24
VP = R$ 44.007,28
Exemplo 6 
Um capital de R$ 10.000,00 foi emprestado à uma taxa de juros composta de 10% ao ano, pelo prazo de 
5 anos e 6 meses. Se pegarmos por base a capitalização anual, qual será o montante ao final do período?
É importante lembrar de colocar as unidades de medidas iguais. Isto é, o período foi dado em ano e 
meses e a taxa de juros ao ano. E foi pedido uma análise para analisar sob a óptica da taxa anual.
No caso da capitalização composta, não existe proporção de taxa de juros; existe, sim, equivalência da 
taxa de juros. Vamos analisar, então, como calcular essa equivalência analisando o exemplo visto em 
Sobrinho (2001).
Sejam duas taxas efetivas:
1. Taxa ao mês analisada em 1 ano (12 meses) : VF=VP (1 + i mensal)
12
2. Taxa ao ano analisada em 1 ano: VF = VP (1 + ianual)
1
Para se fazer a equivalência das taxas, é necessário colocá-las em um mesmo período. Por esse motivo, 
ambas devem ser analisadas ao ano. Assim, podemos compará-las e teremos:
(1 + imensal)
12 = (1+ianual)
1
109UNIDADE V
Consequentemente, podemos fazer a equivalência de taxa sempre usando a taxa e o período 
como referência. Teremos, dessa forma:
(1+ianual)
1 =(1 + isemestral)
2 =(1 + iquadrimestral)
3=(1 + itrimestral)
4= (1 + ibimestral)
6 =(1 + imensal)
12 
Uma vez visto isso, vamos à solução do Exemplo 6.
Solução: VP: R$ 10.000,00; i=10% a. a. ; n= 5 anos e seis meses; VF=?
Para resolver, podemos calcular o montante ao final de 5 anos (uma vez que a taxa é anual); com esse 
montante VF1, calculamos o valor de VFt usando equivalência de taxa para 6 meses. Assim, teremos, 
então:
VF1= VP (1 + i)n = 10.000 (1+0,1)5 = R$ 16.105,10
Cálculo da taxa para o semestre:
(1+0,1)1 = (1+is)2 ⇒ (1+is)2 = 1,1 
is = (1,1)½ - 1 ⇒ is = 0,0488 = 4,88% a.s.
Portanto:
VFt = VF1 (1+ ia.s.)n = 16.105,10 (1 + 0,0488)1 = VFt = R$ 16.891,03
110 Matemática Financeira
A análise de desconto é de suma importância para 
uma tomada de decisão nos negócios, pois pode 
ser que uma organização (ou até mesmo a pes-
soa física) possa diminuir o valor de uma dívida 
quitando-a ou minimizando o seu valor. Vamos 
entender, então, o que seria. 
Sobrinho (2001) chama atenção para o fato 
de que toda dívida gera, por parte do credor, um 
título de crédito, uma nota promissória, uma letra 
de câmbio ou uma duplicata.
Nota Promissória: comprovante de aplicação 
de um capital com vencimento predeterminado. 
Usado entre pessoas físicas ou instituição finan-
ceira com pessoa física.
Duplicata: título emitido de uma pessoa jurídica 
contra uma pessoa, seu cliente (física ou jurídica).
Letra de Câmbio: é um comprovante de uma 
aplicação de capital com vencimento predeter-
minado, porém é um título ao portador, emitido 
exclusivamente por uma instituição financeira. 
(Jose Dutra Vieira Sobrinho)
Descontos
111UNIDADE V
Todas as vezes que se quer descontar um título desses, ou até mesmo quitar (ou minimizar) uma dívida 
antecipadamente, geralmente, para que valha a pena, deve-se negociar um desconto. Basicamente, para 
haver um desconto deve conhecer o Valor Futuro (VF - aqui também conhecido como valor nominal), 
no qual será incidido o valor dos juros a serem descontados. No mercado existem 2 tipos de desconto: 
Simples (ou bancário, ou comercial) e Composto.
Desconto Simples (Bancário; Comercial): 
No caso do desconto simples, a taxa de desconto 
será aplicada no valor futuro diretamente.
D = VF x n x d Lembrando que D = VF-VP
onde 
D = Valor do desconto e moeda
VF = Valor Futuro (Valor nominal)
n = Período
d = Taxa de desconto (juros)
Desconto Composto: 
A taxa de desconto é sempre aplicada no valor do 
montante do período anterior.
VP = VF (1 - d)n Lembrando que D = VF-VP
onde 
VP = Valor presente
VF = Valor Futuro (Valor nominal)
n = Período
d = Taxa de desconto (juros)
Exemplo 7 
Imagina uma empresa que possua uma duplicata no valor de R$ 15.000,00, mas resolveu resgatá-las 
antes do período final porque precisava de dinheiro. Uma instituição financeira ofereceu para realizar 
a operação cobrando uma taxa de desconto do título de 2,5% ao mês. O vencimento final da duplicata 
é de 120 dias. Qual será o valor que a empresa terá em mãos ao fim do processo?
Solução: d=2,5% a.m.; n= 4 meses; VF = R$ 15.000,00; VP=?
Caso seja utilizado para instituição desconto simples, teremos:
D = VF x n x d = 15.000,00 x 4 x 0,025 = R$ 1.500,00
Como D = VF-VP, teremos que:
VP= VF - D = R$ 15.000,00 - R$ 1.500,00 = R$ 13.500,00
Caso seja utilizado para instituição desconto composto, teremos:
VP = VF (1- d)n = 15.000,00 x (1 - 0,025)4 = VP = R$ 13.555.32
112 Matemática Financeira
Como foi possível perceber, assim como no sis-
tema de capitalização, quanto maior o tempo no 
sistema desconto composto, o valor monetário do 
desconto será menor, pois incidirá sempre em um 
montante menor. Por isso, as instituições finan-
ceiras geralmente utilizam o sistema de desconto 
simples, que incidirá sempre sobre o montante e 
o desconto será maior, o que beneficia o credor.
Para finalizar esse capítulo, é interessante en-
tender qual a relação entre a taxa de juros nos 
sistemas de capitalização e de desconto. Em outras 
palavras, é importante entender qual a taxa de 
desconto que seria correspondente aos juros em-
butidos no momento da aquisição de uma “dívida”.
Segundo Sobrinho (2001), a diferença que faz é 
que os juros são acrescentados no valor presente, 
já os descontos são aplicados no valor futuro ou 
montante (Figura 4).
Valor
Futuro
Períodos
Valor
Presente
1 2 3 4
i
d
5 6
Figura 4 – Relação entre taxa de juros e descontos
Fonte: Sobrinho (2001).
Para mostrar a relação entre elas, basta recorrer-
mos às fórmulas:
Em juros simples: VF = VP (1 + in); em Desconto 
simples: VP = VF (1 – dn)
Sendo: VP/VF = 1/(1 + in) e VP/VF = 1- dn
Portanto: (1 – dn) = 1/(1 + in)
Dessa forma, teremos: 
d = i / (1 + in) e i = d / (1 - dn)
Exemplo 8 
Seja um banco que realiza descontos de nota Pro-
missórias nos critérios (SOBRINHO, 2001):
a. Prazo de operação 3 meses.
b. Taxa cobrada: 2% a.m.
c. Juros pagos antecipadamente.
Caso o cliente deseje uma operação de R$ 
100.000,00, qual a taxa efetiva de juros?
Solução: n = 3 meses; d = 2% a.m, com é desconto 
simples 6% a. t.; VF = R$ 100.000,00
VP = VF (1 – dn) = 100.000,00 (1- 0,02 x 3) = 
R$ 94.000,00
Portanto D = R$ 6.000,00
Para achar a taxa de rentabilidade efetiva, po-
demos usar a fórmula de capitalização simples 
com o valor recebido como valor presente, assim 
teremos:
VF =VP (1 + in) = 100.000,00 = 94.000,00 (1 + 
3i) i = 0,02128 ou 2,128% a. m.
Para conferir, usamos a fórmula de relação entre 
as taxas:
d = i/(1 + in) = 0,02128 / (1+ 0,02128 x 3) = 0,02 
ou 2,0% a.m.
113
1. Uma empresa possui uma duplicata no valor de R$ 170.000,00 e quer descon-
tá-la. Ela precisa receber, em mãos, no mínimo R$ 146.000,00 para um inves-
timento interno. Sabendo que a instituição financeira cobra uma taxa de 3,5% 
ao mês na operação, com quantos meses antes ele deve realizar a operação?
Marque a opção correta:
a) 4 meses.
b) 5 meses.
c) 6 meses.
d) 7 meses.
e) 8 meses.
2. Qual é o valor a ser pago em um investimento de R$ 130.000,00, cujo prazo é de 
7 meses e 20 dias, e taxa de juros no período é de 15% ao ano, no sistema de 
capitalização simples? OBS.: Considerar o mês com 30 dias e o ano com 365 dias.
3. Uma empresa deseja adquirir um terreno para construção de um galpão. Anali-
sando o mercado, encontrou um terreno que possui um custo a vista no valor de 
R$ 370.000,00. Foi oferecido comopossibilidade de pagamento uma entrada de 
R$ 80.000,00 e mais uma parcela de R$ 320.000,00 ao final de 5 meses. Sabendo 
que, no mercado, a taxa de uma aplicação pré-fixada é de 2,8% ao mês, analise 
qual seria a melhor opção para aquisição do terreno. Justifique a resposta.
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
114
Matemática Financeira
Autor: José Dutra Vieira Sobrinho
Editora: Atlas
Sinopse: o conteúdo desse livro foi desenvolvido de acordo com uma sequên-
cia lógica, ou seja, do mais simples para o mais complexo, abrangendo Juros e 
Capitalização Simples, Capitalização Composta, Descontos, Séries de Pagamen-
to, Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa, Classificação das Taxas de Juros, 
Taxa Média e Prazo Médio, Sistema de Amortização, Operações Realizadas no 
Sistema Financeiro Brasileiro, Diferimento de Receitas e Despesas Financeiras 
e Utilização de Calculadoras Financeiras.
LIVRO
115
FERREIRA, M. Engenharia Econômica Descomplicada. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos de Engenharia Econômica. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de Investimentos. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 7. ed. Belo Horizonte: Atlas, 2001.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
116
1. A.
2. Solução: R$ 142.287,67.
3. Solução: A melhor opção é comprar a prazo, pois, caso pague os R$ 80.000,00 à vista, sobram R$ 290.000,00. 
Aplicado no mercado em 5 meses a taxa de 2,8% ao mês, renderá R$ 332.938,16, ou seja, pagará os R$ 
320.000,00 restantes e ainda sobrarão R$ 12.938,16.
117
118
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Apresentar quais são os sistemas de amortização de dívidas.
• Apresentar os conceitos básicos de sistemas de amor-
tização. 
• Conhecer os sistemas mais utilizados pelo mercado.
• Compreender o conceito e aplicação dos sistemas Price, 
Sac, sistema de amortização Americano (SAA).
Sistema PRICE: Método de 
Amortização Francês
Sistema de Amortização 
Constante (SAC)
Sistema de Amortização 
Americano (SAA)
Sistema de Amortização 
Misto (SAM)
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Sistema de 
Amortização
Sistema Price: 
Método de 
Amortização Francês
É muito comum em nossas vidas, seja pessoal ou 
nas organizações, precisar contrair uma dívida 
para que possamos realizar algum tipo de inves-
timento, tais como comprar um automóvel, casa, 
equipamentos, terrenos, reformas etc. É muito 
importante entender que o problema não é a dívi-
da, mas sim não sabermos planejar o pagamento 
dessa dívida de forma que as prestações caibam 
em nosso orçamento. Caso isso seja planejado e 
consigamos pagá-las, não será problema nenhum 
dever. Porém, caso esse planejamento não seja 
bem feito, a dívida crescerá de forma exponen-
cial (conforme visto no sistema de capitalização 
composta da unidade anterior) e poderá atingir 
patamares que não será mais possível pagá-la. 
Neste unidade, apresentaremos os sistemas de 
amortização mais utilizados pelo mercado.
121UNIDADE VI
Para Ferreira (2017, p. 33),
 “
amortizar uma dívida é o ato de honrar com 
os compromissos financeiros assumidos, e 
realizar reembolsos de um calor concedido 
por empréstimo ou financiamento, dentro 
de certo espaço de tempo, a uma determi-
nada taxa de juros. 
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
Em outras palavras, os sistema de amortização 
permitem saber como a pessoa (ou empresa) que 
adquiriu uma dívida pagará o valor devido (prin-
cipal) e os juros que foram embutidos no ato do 
empréstimo pelo credor.
Segundo Sobrinho (2001), os sistemas de 
amortização nos permitem conhecer também o 
quanto (em valores monetários) de determinada 
dívida ainda é devido, a qualquer tempo.
Segundo o autor, toda parcela para pagamen-
to de uma dívida será composta das seguintes 
variáveis:
 PMT + A + J (1)
onde:
PMT (pagamento)= Valor da parcela paga no 
período estipulado no momento da aquisição da 
dívida (mês, bimestre, semestre, ano etc.).
A = Valor amortizado naquele período.
J = Parcela de pagamento dos juros.
Para que possamos clarear, é simples entender 
se utilizarmos como exemplo a aquisição de um 
produto em um loja. Imagine que deseja com-
prar uma televisão nova com tecnologia avan-
çada. Suponha que ela custe, na loja, à vista, R$ 
7.000,00. A loja, para te vender, diz que divide o 
pagamento em 24 prestações de R$ 350,00. Até 
aqui ok, sabemos que foi embutido nessa parcela 
um percentual de juros e a dívida será quitada 
em 24 meses. Mas quanto foi acrescido? Quanto 
em cada parcela é de juros e quanto eu amortizo 
a dívida existente? E se você quiser quitar a dívida 
antes de seu fim?
Para responder a essas perguntas, é preciso 
analisar os sistemas e amortização. Cada um deles 
terá uma particularidade e, por isso, é de suma im-
portância saber qual será utilizado no momento 
de adquirir a dívida. Começaremos, portanto, pelo 
sistema Francês (Price).
122 Sistema de Amortização
Esse sistema, segundo autores da área, como Sobrinho (2001), Ferreira (2017), é muito conhecido 
como Tabela Price. No sistema Price, as parcelas possuem sempre o mesmo valor do início ao fim do 
período. Com isso, o valor de pagamento dos juros irá decrescer e o valor do principal (dívida) aumenta 
a cada parcela paga, conforme é possível perceber na Figura 1.
Amortização
Juros
Empréstimo
0
1 n
Prestação
(PMT)
 
Figura 1 - Evolução do pagamento do sistema PRICE
Fonte: Sobrinho (2001).
Segundo Sobrinho (2001), para o cálculo do valor 
das prestações, é utilizado o fator de recuperação 
de capital (FRC), a parcela de juros multiplicando 
a taxa definida pelo saldo devedor (a cada pe-
ríodo), e a amortização será a diferença entre a 
parcela e o juros do período. As fórmulas para 
cálculo são mostradas no Quadro 1.
Quadro 1 - Fórmulas para elaborar tabela Price
Variável Fórmula
PMT
(Prestação)
PMT P.
i i
i
n
=
+( )
+( )

 





1
1 -1( )n
Juros J = i x P
Amortização A = PMT - J
Fonte: Sobrinho (2001).
Exemplo 1 
Calcular o valor da parcela e da amortização referente à primeira prestação de um empréstimo de R$ 
9.000,00, a uma taxa de juros de 2% ao mês, que será liquidado em um ano, utilizando a Tabela Price.
Solução:
P= R$ 9.000,00; i= 2% a.m.; n= 12 meses
PMT= 9.000,00 x [(1+0,02)12 x 0,02 / (1+0,02) 12 -1] = R$ 851,04
J= 0,02 x 9.000,00 = R$ 180,00
Portanto: A = PMT - J = 851,04 - 180,00 = R$ 671,40
123UNIDADE VI
Exemplo 2 
Calcular o valor da parcela e da amortização referente à segunda prestação de um empréstimo de R$ 
9.000,00, a uma taxa de juros de 2% ao mês, que será liquidado em um ano, utilizando a Tabela Price.
Solução: i=2%; n=12; P=R$ 9.000,
Porém, para cálculo do segundo período, teremos:
PMT=851,04 (não muda, pois, no sistema Price, a parcela é sempre igual em todos os períodos).
Cálculo do Principal: no segundo período, o Principal já será abatido do valor amortizado na pri-
meira prestação. Então, teremos:
P2 = P - A1 = 9.000,00 - 671,40 = R$ 8.328,60
Assim: J=0,02 x 8328,60 = R$166,57
Portanto A2 = 851,04 - 166,57 = R$ 684,47
A melhor forma de se trabalhar a Tabela Price e conhecer os valores de PMT, A e J é por meio de um 
planilha, conforme mostrado na planilha da Tabela 1:
Tabela 1 - Sistema Price
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$9.000,00
1 R$180,00 R$671,04 R$851,04 R$8.328,96
2 R$166,58 R$684,46 R$851,04 R$7.644,51
3 R$152,89 R$698,15 R$851,04 R$6.946,36
4 R$138,93 R$712,11 R$851,04 R$6.234,25
5 R$124,69 R$726,35 R$851,04 R$5.507,90
6 R$110,16 R$740,88 R$851,04 R$4.767,02
7 R$95,34 R$755,70 R$851,04 R$4.011,33
8 R$80,23 R$770,81 R$851,04 R$3.240,52
9 R$64,81 R$786,23 R$851,04 R$2.454,29
10 R$49,09 R$801,95 R$851,04 R$1.652,34
11 R$33,05 R$817,99 R$851,04 R$834,35
12 R$16,69 R$834,35 R$851,04 R$0,00
Totais R$1.212,44 R$9.000,00 R$10.212,44
Fonte:o autor.
Exemplo 3 
Você resolveu adquirir um carro, cujo valor à vista é R$ 60.000,00. Para que possa comprá-lo, preci-
sará fazer um financiamento em 24 meses. A financiadora cobra uma taxa de juros de 1,05% ao mês. 
Montar uma planilha para conhecer os valores de parcela, amortização e juros ao longo do período. 
124 Sistema de Amortização
Caso queira quitar a dívida no décimo quarto mês e tenha pago tudo em dia até lá, qual o valor que 
possibilitaria a quitação da dívida?
Solução: i=1,05% a. m. ; n=24 meses; P=R$ 60.000,00.
Montar a planilha:
 Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$60.000,00
1 R$630,00 R$2.211,25 R$2.841,25 R$57.788,75
2 R$606,78 R$2.234,47 R$2.841,25 R$55.554,28
3 R$583,32 R$2.257,93 R$2.841,25 R$53.296,35
4 R$559,61 R$2.281,64 R$2.841,25 R$51.014,72
5 R$535,65 R$2.305,59 R$2.841,25 R$48.709,12
6 R$511,45 R$2.329,80 R$2.841,25 R$46.379,32
7 R$486,98 R$2.354,27 R$2.841,25 R$44.025,05
8 R$462,26 R$2.378,99 R$2.841,25 R$41.646,06
9 R$437,28 R$2.403,97 R$2.841,25 R$39.242,10
10 R$412,04 R$2.429,21 R$2.841,25 R$36.812,89
11 R$386,54 R$2.454,71 R$2.841,25 R$34.358,18
12 R$360,76 R$2.480,49 R$2.841,25 R$31.877,69
13 R$334,72 R$2.506,53 R$2.841,25 R$29.371,16
14 R$308,40 R$2.532,85 R$2.841,25 R$26.838,30
15 R$281,80 R$2.559,45 R$2.841,25 R$24.278,86
16 R$254,93 R$2.586,32 R$2.841,25 R$21.692,53
17 R$227,77 R$2.613,48 R$2.841,25 R$19.079,06
18 R$200,33 R$2.640,92 R$2.841,25 R$16.438,14
19 R$172,60 R$2.668,65 R$2.841,25 R$13.769,49
20 R$144,58 R$2.696,67 R$2.841,25 R$11.072,82
21 R$116,26 R$2.724,98 R$2.841,25 R$8.347,83
22 R$87,65 R$2.753,60 R$2.841,25 R$5.594,24
23 R$58,74 R$2.782,51 R$2.841,25 R$2.811,73
24 R$29,52 R$2.811,73 R$2.841,25 R$0,00
Totais R$8.189,99 R$60.000,00 R$68.189,99
Analisando a planilha, temos:
PMT = R$ 2,841,24 fixa. 
No 14º mês, para quitar, basta analisarmos o saldo devedor: R$ 26.838,30. 
125UNIDADE VI
Para entendermos como funciona o sistema SAC, 
basta analisar o que diz a sigla: SAC - Sistema de 
Amortização Constante. Como visto no sistema 
Price, toda parcela paga periodicamente tem, na 
sua composição, uma parte dos juros cobrados e 
uma parte da amortização da dívida (principal). 
No sistema Price, vimos que a parcela é fixa. Ago-
ra, no sistema SAC, como o próprio nome já diz, 
o valor da amortização é constante.
O sistema SAC é um sistema que consiste em 
uma sequência de prestações cujo valor dimi-
nui a cada pagamento realizado, pois o valor do 
principal pago é sempre igual, ao passo que os 
juros diminuem conforme o saldo devedor vai 
diminuindo. 
(Marcelo Ferreira)
Sistema de Amortização 
Constante (SAC)
126 Sistema de Amortização
Portanto, no caso da SAC, segundo Sobrinho (2001), cada parcela será calculada com o valor da 
amortização constante, mas acrescida dos juros sobre o saldo do principal no período, conforme 
pode ser visto na Figura 2.
Amortização
Juros
Empréstimo
0
1 n
Prestação
(PMT)
Figura 2 - Evolução do pagamento do sistema SAC
Fonte: Sobrinho (2001).
Segundo Sobrinho (2001), no caso do sistema 
SAC, para calcular o valor da amortização, divide-
-se o valor do principal pelo número de parcelas 
do período acordado. A parcela de juros é calcu-
lada multiplicando a taxa da operação pelo saldo 
devedor do período anterior. Já para calcular a 
prestação, basta somar a amortização ao valor dos 
juros. As fórmulas são mostradas no Quadro 2.
Quadro 2 - Fórmulas para elaborar tabela Price
Variável Fórmula
PMT (Prestação) PMT = A + Jn
Juros J = i x Pn-1
Amortização A
P
n
=
Fonte: Sobrinho (2001).
Exemplo 4 
Calcular os valores de prestação e das parcelas de juros de um empréstimo de R$ 30.000,00, a uma 
taxa de 1,5% ao mês, que será liquidado em 6 meses.
Solução: P=R$ 30.000,00; i=1,5%; n= 6 meses.
A = P / n = 30.000,00 / 6 = R$ 5.000,00
Parcela do período 1:
J1 = 0,015 * 30.000 = R$ 450,00
PMT1 = A + J1 = 5.000,00 + 450,00 = R$ 5.450,00
Parcela do período 2:
J2= 0,015.(R$ 30.000,00-R$ 5.000,00)=R$ 375
PMT2= A+J2=R$ 5.000,00+R$ 375,00=R$ 5.375,00
127UNIDADE VI
Assim como no sistema Price, a melhor forma de trabalhar o sistema SAC é utilizar uma planilha, 
conforme mostrado na Tabela 2:
Tabela 2 - Sistema SAC
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - -
1 R$ 450,00 R$ 5.000,00 R$ 5.450,00 R$25.000,00
2 R$ 375,00 R$ 5.000,00 R$ 5.375,00 R$20.000,00
3 R$ 300,00 R$ 5.000,00 R$ 5.300,00 R$15.000,00
4 R$ 225,00 R$ 5.000,00 R$ 5.225,00 R$10.000,00
5 R$ 150,00 R$ 5.000,00 R$ 5.150,00 R$5.000,00
6 R$ 75,00 R$ 5.000,00 R$ 5.075,00 R$0,00
Totais R$1.575,00 R$30.000,00 R$31.575,00
Fonte: o autor.
Exemplo 5 
Para a compra de um apartamento, o seu valor 
à vista seria de R$ 350.000,00. Imagine que você 
tenha, em mãos, R$ 150.000,00 e precisa fazer um 
empréstimo do restante do dinheiro para comprá-
-lo. Para tal, será necessário que o credor financie 
o valor restante em período de 10 anos. Ele cobra-
rá uma taxa de juros de 13% ao ano para realizar a 
operação. Montar uma planilha que demonstre o 
plano de amortização da dívida no período citado. 
Qual seria o valor necessário a ser pago caso você 
resolva pagar a dívida após 6 anos e meio do início 
do período?
Solução: n = 10 anos (120 meses), i =13% a.a.; 
P = R$ 350.000,00 - R$ 150.000,00 = R$ 200.000,00
Como para a amortização as parcela são men-
sais, é necessário fazer a equivalência de taxa de 
juros, que foi dado ao ano, com a taxa mensal.
(1 +ia)
1 = (1+im)
12 = (1+0,13)1 = (1+im)
12 com 
isso i.m. = 0,010 ou 1,0%
Analisando a Tabela 3, é possível perceber que o 
valor dos juros pago pelo financiamento em 10 
anos é alto: R$ 122.210,00. Porém, seria a única 
forma de pagar o apartamento. Tecnicamente, 
analisando somente os números, poderíamos 
chegar à conclusão que não compensaria, mas, 
caso não fosse dessa maneira, você ficaria sem o 
apartamento. Portanto, isso mostra que, no caso 
de compras para quem não tem o dinheiro à vis-
ta, existe a possibilidade do imponderável, que 
não será avaliado pela matemática financeira.
Outra informação que tiramos da planilha é o 
saldo devedor após 6 anos e meio. Para isso, basta 
olhar ao final do período 78. P78 = R$70.000,00
128 Sistema de Amortização
Tabela 3 - Planilha do exercício 5
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$200.000,00
1 R$2.020,00 R$1.666,67 R$3.686,67 R$198.333,33
2 R$2.003,17 R$1.666,67 R$3.669,83 R$196.666,67
3 R$1.986,33 R$1.666,67 R$3.653,00 R$195.000,00
4 R$1.969,50 R$1.666,67 R$3.636,17 R$193.333,33
5 R$1.952,67 R$1.666,67 R$3.619,33 R$191.666,67
6 R$1.935,83 R$1.666,67 R$3.602,50 R$190.000,00
7 R$1.919,00 R$1.666,67 R$3.585,67 R$188.333,33
8 R$1.902,17 R$1.666,67 R$3.568,83 R$186.666,67
9 R$1.885,33 R$1.666,67 R$3.552,00 R$185.000,00
10 R$1.868,50 R$1.666,67 R$3.535,17 R$183.333,33
11 R$1.851,67 R$1.666,67 R$3.518,33 R$181.666,67
12 R$1.834,83 R$1.666,67 R$3.501,50 R$180.000,00
13 R$1.818,00 R$1.666,67 R$3.484,67 R$178.333,33
14 R$1.801,17 R$1.666,67 R$3.467,83 R$176.666,67
15 R$1.784,33 R$1.666,67 R$3.451,00 R$175.000,00
16 R$1.767,50 R$1.666,67 R$3.434,17 R$173.333,33
17 R$1.750,67 R$1.666,67 R$3.417,33 R$171.666,67
18 R$1.733,83 R$1.666,67 R$3.400,50 R$170.000,00
19 R$1.717,00 R$1.666,67 R$3.383,67 R$168.333,33
20 R$1.700,17 R$1.666,67 R$3.366,83 R$166.666,67
21 R$1.683,33 R$1.666,67 R$3.350,00 R$165.000,00
22 R$1.666,50 R$1.666,67 R$3.333,17 R$163.333,33
23 R$1.649,67 R$1.666,67 R$3.316,33 R$161.666,67
24 R$1.632,83 R$1.666,67 R$3.299,50 R$160.000,00
25 R$1.616,00 R$1.666,67 R$3.282,67 R$158.333,33
26 R$1.599,17 R$1.666,67 R$3.265,83 R$156.666,67
27 R$1.582,33 R$1.666,67 R$3.249,00 R$155.000,00
28 R$1.565,50 R$1.666,67 R$3.232,17 R$153.333,33
29 R$1.548,67 R$1.666,67 R$3.215,33 R$151.666,67
30 R$1.531,83 R$1.666,67 R$3.198,50 R$150.000,00
31 R$1.515,00 R$1.666,67 R$3.181,67 R$148.333,33
129UNIDADE VI
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
32 R$1.498,17 R$1.666,67 R$3.164,83 R$146.666,67
33 R$1.481,33 R$1.666,67 R$3.148,00R$145.000,00
34 R$1.464,50 R$1.666,67 R$3.131,17 R$143.333,33
35 R$1.447,67 R$1.666,67 R$3.114,33 R$141.666,67
36 R$1.430,83 R$1.666,67 R$3.097,50 R$140.000,00
37 R$1.414,00 R$1.666,67 R$3.080,67 R$138.333,33
38 R$1.397,17 R$1.666,67 R$3.063,83 R$136.666,67
39 R$1.380,33 R$1.666,67 R$3.047,00 R$135.000,00
40 R$1.363,50 R$1.666,67 R$3.030,17 R$133.333,33
41 R$1.346,67 R$1.666,67 R$3.013,33 R$131.666,67
42 R$1.329,83 R$1.666,67 R$2.996,50 R$130.000,00
43 R$1.313,00 R$1.666,67 R$2.979,67 R$128.333,33
44 R$1.296,17 R$1.666,67 R$2.962,83 R$126.666,67
45 R$1.279,33 R$1.666,67 R$2.946,00 R$125.000,00
46 R$1.262,50 R$1.666,67 R$2.929,17 R$123.333,33
47 R$1.245,67 R$1.666,67 R$2.912,33 R$121.666,67
48 R$1.228,83 R$1.666,67 R$2.895,50 R$120.000,00
49 R$1.212,00 R$1.666,67 R$2.878,67 R$118.333,33
50 R$1.195,17 R$1.666,67 R$2.861,83 R$116.666,67
51 R$1.178,33 R$1.666,67 R$2.845,00 R$115.000,00
52 R$1.161,50 R$1.666,67 R$2.828,17 R$113.333,33
53 R$1.144,67 R$1.666,67 R$2.811,33 R$111.666,67
54 R$1.127,83 R$1.666,67 R$2.794,50 R$110.000,00
55 R$1.111,00 R$1.666,67 R$2.777,67 R$108.333,33
56 R$1.094,17 R$1.666,67 R$2.760,83 R$106.666,67
57 R$1.077,33 R$1.666,67 R$2.744,00 R$105.000,00
58 R$1.060,50 R$1.666,67 R$2.727,17 R$103.333,33
59 R$1.043,67 R$1.666,67 R$2.710,33 R$101.666,67
60 R$1.026,83 R$1.666,67 R$2.693,50 R$100.000,00
61 R$1.010,00 R$1.666,67 R$2.676,67 R$98.333,33
62 R$993,17 R$1.666,67 R$2.659,83 R$96.666,67
63 R$976,33 R$1.666,67 R$2.643,00 R$95.000,00
64 R$959,50 R$1.666,67 R$2.626,17 R$93.333,33
130 Sistema de Amortização
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
65 R$942,67 R$1.666,67 R$2.609,33 R$91.666,67
66 R$925,83 R$1.666,67 R$2.592,50 R$90.000,00
67 R$909,00 R$1.666,67 R$2.575,67 R$88.333,33
68 R$892,17 R$1.666,67 R$2.558,83 R$86.666,67
69 R$875,33 R$1.666,67 R$2.542,00 R$85.000,00
70 R$858,50 R$1.666,67 R$2.525,17 R$83.333,33
71 R$841,67 R$1.666,67 R$2.508,33 R$81.666,67
72 R$824,83 R$1.666,67 R$2.491,50 R$80.000,00
73 R$808,00 R$1.666,67 R$2.474,67 R$78.333,33
74 R$791,17 R$1.666,67 R$2.457,83 R$76.666,67
75 R$774,33 R$1.666,67 R$2.441,00 R$75.000,00
76 R$757,50 R$1.666,67 R$2.424,17 R$73.333,33
77 R$740,67 R$1.666,67 R$2.407,33 R$71.666,67
78 R$723,83 R$1.666,67 R$2.390,50 R$70.000,00
79 R$707,00 R$1.666,67 R$2.373,67 R$68.333,33
80 R$690,17 R$1.666,67 R$2.356,83 R$66.666,67
81 R$673,33 R$1.666,67 R$2.340,00 R$65.000,00
82 R$656,50 R$1.666,67 R$2.323,17 R$63.333,33
83 R$639,67 R$1.666,67 R$2.306,33 R$61.666,67
84 R$622,83 R$1.666,67 R$2.289,50 R$60.000,00
85 R$606,00 R$1.666,67 R$2.272,67 R$58.333,33
86 R$589,17 R$1.666,67 R$2.255,83 R$56.666,67
87 R$572,33 R$1.666,67 R$2.239,00 R$55.000,00
88 R$555,50 R$1.666,67 R$2.222,17 R$53.333,33
89 R$538,67 R$1.666,67 R$2.205,33 R$51.666,67
90 R$521,83 R$1.666,67 R$2.188,50 R$50.000,00
91 R$505,00 R$1.666,67 R$2.171,67 R$48.333,33
92 R$488,17 R$1.666,67 R$2.154,83 R$46.666,67
93 R$471,33 R$1.666,67 R$2.138,00 R$45.000,00
131UNIDADE VI
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
94 R$454,50 R$1.666,67 R$2.121,17 R$43.333,33
95 R$437,67 R$1.666,67 R$2.104,33 R$41.666,67
96 R$420,83 R$1.666,67 R$2.087,50 R$40.000,00
97 R$404,00 R$1.666,67 R$2.070,67 R$38.333,33
98 R$387,17 R$1.666,67 R$2.053,83 R$36.666,67
99 R$370,33 R$1.666,67 R$2.037,00 R$35.000,00
100 R$353,50 R$1.666,67 R$2.020,17 R$33.333,33
101 R$336,67 R$1.666,67 R$2.003,33 R$31.666,67
102 R$319,83 R$1.666,67 R$1.986,50 R$30.000,00
103 R$303,00 R$1.666,67 R$1.969,67 R$28.333,33
104 R$286,17 R$1.666,67 R$1.952,83 R$26.666,67
105 R$269,33 R$1.666,67 R$1.936,00 R$25.000,00
106 R$252,50 R$1.666,67 R$1.919,17 R$23.333,33
107 R$235,67 R$1.666,67 R$1.902,33 R$21.666,67
108 R$218,83 R$1.666,67 R$1.885,50 R$20.000,00
109 R$202,00 R$1.666,67 R$1.868,67 R$18.333,33
110 R$185,17 R$1.666,67 R$1.851,83 R$16.666,67
111 R$168,33 R$1.666,67 R$1.835,00 R$15.000,00
112 R$151,50 R$1.666,67 R$1.818,17 R$13.333,33
113 R$134,67 R$1.666,67 R$1.801,33 R$11.666,67
114 R$117,83 R$1.666,67 R$1.784,50 R$10.000,00
115 R$101,00 R$1.666,67 R$1.767,67 R$8.333,33
116 R$84,17 R$1.666,67 R$1.750,83 R$6.666,67
117 R$67,33 R$1.666,67 R$1.734,00 R$5.000,00
118 R$50,50 R$1.666,67 R$1.717,17 R$3.333,33
119 R$33,67 R$1.666,67 R$1.700,33 R$1.666,67
120 R$16,83 R$1.666,67 R$1.683,50 R$0,00
R$122.210,00 R$200.000,00 R$322.210,00
Fonte: o autor.
132 Sistema de Amortização
O sistema de amortização misto, segundo Sobri-
nho (2001), foi criado em 1979, pelo antigo BNH, 
que fazia financiamento de imóveis na época. O 
sistema é um misto entre o sistema Price e o sis-
tema SAC, ou seja, para calcular o valor de PMT, 
juros e amortização, é necessário calcular como 
seriam os dois modelos citados (SAC e PRICE) 
e tirar uma média entre eles. Assim, teremos as 
fórmulas como mostrado no Quadro 3:
Quadro 3 - Fórmulas do sistema SAM
Variável Fórmula
PMT 
(Prestação)
PMT PMT price PMT sac= +
2
Juros
J J price Juros sac= +
2
Amortização A A price A sac= +
2
Fonte: o autor.
Sistema de Amortização 
Misto (SAM)
133UNIDADE VI
Para ilustrar o sistema SAM, analisaremos o exemplo 6:
Exemplo 6 
Para um empréstimo de R$ 15.000,00, em um período de 10 meses, com uma taxa de juros de 2% 
ao mês, calcular a primeira prestação, o valor dos juros e amortização para a primeira parcela no 
sistema de capitalização SAM.
Solução: i=2% a.m.; n= 10 meses; P=R$ 15.000,00
1) CÁLCULO NO SISTEMA PRICE:
PMT Px i xi
i
n
n=
+
+







−
( )1
1 1 = 15.000 x [(1+0,02)
10 x 0,02 / (1+0,02)10 -1] = R$ 1.669,90
J = i x P = 0,02 x 15.000,00 = R$ 300,00
A = PMT - J = 1.669,90 - 300,00 = R$ 1.369,90
2) CÁLCULO NO SISTEMA SAC: 
A = P/n = 15.000,00 / 10 = R$ 1.500,00
J = i x P = 15.000,00 x 0,02 = R$ 300,00
PMT = A + J = R$ 1.800,00
3) CÁLCULO NO SISTEMA SAM: 
A = A price + A sac / 2 = 1.369,90 + 1.500,00 / 2 = R$ 1.434,95
J = Jprice + Jsac / 2 = 300,00 + 300,00 / 2 = R$ 300,00
PMT = PMT price + PMT sac / 2 = 1.669,90 + 1.800,00 = R$ 1.734, 95
Para melhor visualização de todas as parcelas e da operação de forma integral, assim como visto nos 
dois sistemas anteriores, a melhor forma é criar uma planilha eletrônica, conforme demonstrado nas 
Tabelas 4, 5 e 6.
134 Sistema de Amortização
Tabela 4 - Tabela Price para o exemplo 4
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$15.000,00
1 R$300,00 R$1.369,90 R$1.669,90 R$13.630,10
2 R$272,60 R$1.397,30 R$1.669,90 R$12.232,81
3 R$244,66 R$1.425,24 R$1.669,90 R$10.807,56
4 R$216,15 R$1.453,75 R$1.669,90 R$9.353,82
5 R$187,08 R$1.482,82 R$1.669,90 R$7.871,00
6 R$157,42 R$1.512,48 R$1.669,90 R$6.358,52
7 R$127,17 R$1.542,73 R$1.669,90 R$4.815,79
8 R$96,32 R$1.573,58 R$1.669,90 R$3.242,21
9 R$64,84 R$1.605,05 R$1.669,90 R$1.637,15
10 R$32,74 R$1.637,15 R$1.669,90 R$0,00
Totais R$1.698,98 R$15.000,00 R$16.698,98
Fonte: o autor.
Tabela 5 - Tabela SAC para o exemplo 4
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$15.000,00
1 R$300,00 R$1.500,00 R$1.800,00 R$13.500,00
2 R$270,00 R$1.500,00 R$1.770,00 R$12.000,00
3 R$240,00 R$1.500,00 R$1.740,00 R$10.500,00
4 R$210,00 R$1.500,00 R$1.710,00 R$9.000,00
5 R$180,00 R$1.500,00 R$1.680,00 R$7.500,00
6 R$150,00 R$1.500,00 R$1.650,00 R$6.000,00
7 R$120,00 R$1.500,00 R$1.620,00 R$4.500,00
8 R$90,00 R$1.500,00 R$1.590,00 R$3.000,00
9 R$60,00 R$1.500,00 R$1.560,00 R$1.500,00
10 R$30,00 R$1.500,00 R$1.530,00 R$0,00
Totais R$1.698,98 R$15.000,00 R$16.698,98
Fonte: o autor.
135UNIDADE VI
Tabela 6 - Tabela SAM para o exemplo 4
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$15.000,00
1 R$300,00 R$1.434,95 R$1.734,95 R$13.565,05
2 R$271,30 R$1.448,65 R$1.719,95 R$12.116,40
3 R$242,33 R$1.462,62 R$1.704,95 R$10.653,78
4 R$213,08 R$1.476,87 R$1.689,95 R$9.176,91
5 R$183,54 R$1.491,41 R$1.674,95 R$7.685,50
6 R$153,71 R$1.506,24 R$1.659,95 R$6.179,26
7 R$123,59 R$1.521,36 R$1.644,95 R$4.657,90
8 R$93,16 R$1.536,79 R$1.629,95 R$3.121,10
9 R$62,42 R$1.552,53 R$1.614,95 R$1.568,58
10 R$31,37R$1.568,58 R$1.599,95 R$0,00
Totais R$1.674,49 R$15.000,00 R$16.674,49
Fonte: o autor.
É interessante, ao analisarmos as três planilhas, salientar o fato de que, na tabela Price, em que temos 
as mesmas condições de empréstimo, é a que se paga maior valor monetário dos juros. No entanto, 
nem sempre é possível para a pessoa, ou empresa, que busca o empréstimo, escolher qual sistema será 
utilizado. Isso será definido pelo credor. É muito comum para compra de automóveis utilizarem a 
tabela Price, pois os valores são fixos. No caso de compra de imóveis, aplica-se a tabela SAC ou SAM.
136 Sistema de Amortização
Dentro dos sistemas utilizados, existe o sistema 
que, segundo Ferreira (2017), é utilizado nos Es-
tados Unidos da América para realização de em-
préstimos. No sistema americano, a amortização 
do Principal só acontecerá ao final do período 
acordado, sendo que o devedor paga os juros ao 
longo do período inteiro, ou poderá ser capitaliza-
do e pago ao final do período, dependendo, claro, 
do acordo feito no momento do empréstimo. O 
valor do juros é calculado e pago, a cada período, 
dentro do valor do saldo que foi feito o emprésti-
mo. Isso na modalidade de pagamento dos juros a 
cada período. Para ilustrar melhor, analisaremos 
a planilha do exemplo a seguir.
Sistema de Amortização 
Americano (SAA)
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
137UNIDADE VI
Exemplo 7 
Desenvolver a planilha para amortização de uma dívida, que foi realizada no sistema americano, 
de um valor de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros de 3% ao mês e com o período para pagamento 
de 6 meses.
Solução: i = 3% a.m; n = 6 meses; P =R$ 20.000,00
Cálculo da parcela de juros: i=0,03 x R$ 20.000,00 = R$ 600,00
Criar a planilha: 
Tabela 7 - Sistema SAA
Tempo Juros Amortização Parcela Saldo Devedor
0 - - - R$20.000,00
1 R$600,00 R$0,00 R$600,00 R$20.000,00
2 R$600,00 R$0,00 R$600,00 R$20.000,00
3 R$600,00 R$0,00 R$600,00 R$20.000,00
4 R$600,00 R$0,00 R$600,00 R$20.000,00
5 R$600,00 R$0,00 R$600,00 R$20.000,00
6 R$600,00 R$20.000,00 R$20.600,00 R$0,00
Totais R$3.600,00 R$20.000,00 R$23.600,00
Fonte: o autor.
É possível perceber, pela planilha, que, nesse caso, 
o valor do principal existe todo o tempo do pe-
ríodo, sendo que o saldo devedor só se encerrará 
ao final. Isso quer dizer que caso o devedor queira 
quitar sua dívida antes do período, deverá pagar 
todo o valor devido. Isso evitará que ele pague os 
juros do restante do período. A diferença básica 
dos demais sistemas é que, nos demais, o saldo 
devedor diminui com o passar dos períodos. Nes-
se caso, se a dívida for quitada antes do tempo, o 
saldo devedor é menor e também será evitado que 
se pague os juros do restante do período.
Nesta unidade, aprendemos como funcionam 
os sistemas de amortização de dívidas no mercado. 
É bom salientar que os sistemas mais utilizados 
são o Price e SAC, porém é sempre importante 
entendermos como funcionam todos, e mesmo 
que o credor vá utilizar algum que não conheça, 
é interessante que peça para explicar o seu fun-
cionamento. Ao montar a planilha, além de ficar 
claro e fácil de enxergar como serão as prestações, 
amortização e juros do período, permite fazer todo 
um planejamento em seu fluxo de caixa para que 
não existam surpresas ao longo do caminho.
138
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Um empréstimo de R$ 40.000,00 deve ser amortizado utilizando o sistema de 
amortização Price, em 24 parcelas mensais, com a taxa de juros de 2,05% ao 
mês. Calcular o valor da amortização do 6o mês e qual seria o saldo devedor do 
décimo sexto mês.
a) A= R$ 32. 101,48; Saldo=R$ 16.036,10.
b) A= R$ 1.433,98; Saldo= R$ R$ 1.790,84.
c) A= R$ 1.399,00; Saldo= R$ 32.101,48.
d) A= R$ 1.399,00; Saldo= R$ 1.790,84.
e) A= R$ 1.446,40; Saldo= R$ R$ 15.546,63.
2. Um terreno foi colocado à venda por um valor de R$ 60.000,00 de entrada e 
mais 20 prestações trimestrais, calculadas no sistema SAC. Sabendo que a taxa 
de juros é de 10% ao trimestre e que o valor da primeira prestação é de R$ 
24.750,00, calcular o valor do terreno à vista. Qual o valor dos juros pago?
a) VT= R$ 165.000,00 ; J= R$ 173.250,00.
b) VT= R$ 225.000,00 ; J= R$ 173.250,00.
c) VT= R$ 225.000,00 ; J= R$ 165.000,00.
d) VT = R$ 338,250,00 ; J= R$ 173.250,00.
e) VT= R$ 225.000,00; J= R$ 165.000,00.
3. A compra de um imóvel, no valor de R$ 500.000,00, será paga por meio de um 
financiamento, utilizando o sistema SAM, em um período de 10 anos. A taxa 
de juros do período é de 12% ao ano. Com os dados fornecidos, qual das res-
postas a seguir está correta para valor da Prestação do 14º mês? E o valor da 
amortização no 112º mês?
a) PMT= R$ 7.001,20; A= R$ 6.552,82.
b) PMT= R$ 8.402,08; A= R$ 4.166,67.
c) PMT= R$ 7.701,64; A= R$ 5.298,37.
d) PMT= R$ 7.701,64; A= R$ 5.297,32.
e) PMT=R$ 7.697,22; A= R$ 5.297,32.
139
Matemática Financeira com HP 12C e Excel
Autor: Cristiano Marchi Gimenes
Editora: Pearson
Sinopse: o livro ensina utilizar a calculadora cientifica HP12C para calcular os 
valores vistos nos sistemas de amortização, bem como de outras ferramentas 
que utilizaremos ao longo do curso.
LIVRO
140
FERREIRA, M. Engenharia Econômica Descomplicada. Curitiba: Intersaberes, 2017. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos de Engenharia Econômica. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2016.
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 7. ed. Belo Horizonte: Atlas, 2001.
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
141
1. E.
2. B.
3. D.
142
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Analisar, em primeiro lugar, o conceito de fluxo de caixa, 
que nos permitirá entender como é feito o controle de 
entradas e saídas de dinheiro na organização.
• Analisar o sistema de séries de pagamentos iguais com 
termos vencidos.
• Analisar o sistema de séries de pagamentos iguais com 
termos antecipados.
• Analisar série de pagamentos variáveis.
Noção de Fluxo de Caixa
Série de pagamentos iguais 
com termos vencidos
Série de pagamentos 
variáveis
Série de pagamentos iguais 
com termos antecipados
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Série de Pagamentos
Noção de Fluxo 
de Caixa
Olá aluno(a), nesta unidade, conheceremos como 
funciona o fluxo de caixa de uma organização, 
além de aprendermos como planejarmos possí-
veis pagamentos de dívida para não atrapalhar 
esse fluxo. É sempre muito bom lembrar que o 
que fará com que uma empresa tenha problemas 
financeiros é o seu fluxo de caixa. Ao contrário 
do que muitos pensam, dívidas, desde que sejam 
planejadas e amortizadas em um fluxo de caixa 
planejado, não farão com que a empresa feche. 
Porém, caso ela não tenha condições de honrar 
seus compromissos (água, luz, telefone, pessoal 
etc), que sempre chegarão independentemente 
de receitas, aí sim terá uma dificuldade real em 
sobreviver no mundo dos negócios. 
Portanto, antes de começarmos a entender 
como a matemática financeira nos ajudará com 
as séries de pagamentos, é importante conhecer e 
entender o funcionamento de um fluxo de caixa.
145UNIDADE VII
Até o momento, toda nossa aná-
lise de juros, descontos e amor-
tização, está baseada em parce-
las únicas de saídas de capital. 
Ao falarmos de fluxo de caixa, 
a análise passa a ser de todo ca-
pital que entra e sai do caixa da 
organização.
As informações obtidas em 
um fluxo de caixa permitirão 
aos gestores conhecer o resulta-
do operacional da organização, 
possibilitando, com isso, plane-
jar os gastos, visando evitar pos-
síveis problemas de gastos maio-
res que a receita. Isso levaria a 
empresa a uma dívida que, por 
ventura, poderia não ter condi-
ções de sanar, consequentemen-
te, levando a empresa à falência.
O fluxo de caixa, nos estu-
dos da matemática financeira 
de série de pagamentos (RYBA; 
LENZI, E.; LENZI, M., 2016), é 
representado por uma linha 
horizontal, dividida no núme-
ro de períodos da análise e setas 
direcionaisvoltadas para cima 
(representando as entradas de 
capital, receita) e direcionadas 
para baixo (representando as 
saídas de capital, despesas), con-
forme Figura 1.
Fluxo de Caixa é um Instrumento de gestão financeira que projeta 
para períodos futuros todas as entradas e as saídas de recursos 
financeiros da empresa, indicando como será o saldo de caixa 
para o período projetado. 
(Sebrae).
R$ 150,00
R$ 100,00 R$ 100,00
R$ 50,00
4 6
n
321
Figura 1 - Representação de um fluxo de caixa 
Fonte: o autor.
Para representar o fluxo em análises realizadas nas organizações, 
geralmente são utilizadas planilhas eletrônicas em que estarão, me-
lhor detalhadas, as entradas e saídas de capital, bem como origem 
da operação, seja ela de entrada ou saída. Isso permitirá saber, em 
detalhes, onde está sendo gasto o dinheiro da organização e de onde 
vieram suas receitas. A Figura 2 demonstra uma planilha que foi 
retirada do material do Sebrae (2011, on-line)1.
146 Série de Pagamentos
Figura 2 - Planilha de análise de Fluxo de caixa
Fonte: Sebrae (2011, on-line)1. 
NOV DEZ JAN FEV MAR ABR MAI JUN
FATURAMENTO % 40.000,00 40.000,00 40.000,00 32.000,00 20.000,00 20.000,00 20.000,00 40.000,00
COMPRAS 12.000,00 12.000,00 12.000,00 9.600,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 12.000,00
FLUXO DE CAIXA
NOV DEZ JAN FEV MAR ABR MAI JUN
à vista 0 - - - - - - - -
à prazo - 
30 dias
50% 20.000,00 20.000,00 20.000,00 16.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00
à prazo - 
60 dias
50% 20.000,00 20.000,00 20.000,00 16.000,00 10.000,00 10.000,00
0
 I - TOTAIS 
DAS 
ENTRADAS
40.000,00 40.000,00 36.000,00 26.000,00 20.000,00 20.000,00
Compras 
à vista
100% 12.000,00 12.000,00 9.600,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 12.000,00
Frete 3% 1.200,00 600,00 600,00 600,00 600,00 1.200,00
Impostos s/ 
Vendas
15,00% 6.000,00 6.000,00 4.800,00 3.000,00 3.000,00 3.000,00
Comissões 
s/ Vendas
10% 4.000,00 4.000,00 3.200,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00
Salários e 
Encargos
6.500,00 6.500,00 6.500,00 6.500,00 6.500,00 6.500,00
Despesas 
mensais
4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00 4.000,00
Retirada dos 
Sócios
2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00
 II - TOTAIS 
DAS SAÍDAS 36.200,00 33.560,00 27.600,00 24.600,00 24.600,00 31.200,00
 II - RESULTADO OPERACIONAL
Saldo inicial
IV - SALDO FINAL DE CAIXA
3.800,00 6.440,00 8.400,00 1.400,00 (4.600,00) (11.200,00)
2.500,00 6.300,00 12.740,00 21.140,00 22.540,00 17.940,00
6.300,00 12.740,00 21.140,00 22.540,00 17.940,00 6.740,00
Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo. Para acessar, use 
seu leitor de QR Code.
147UNIDADE VII
Na planilha, é possível analisarmos as entradas e saídas de capital de 
uma suposta empresa, em que os números negativos aparecem entre 
parênteses, e os positivos sem nenhuma marcação. Assim, percebe-se 
que o resultado operacional dos meses de janeiro a abril são positi-
vos; porém os meses de maio e junho possuem resultado negativo, 
ou seja, nesses dois meses a empresa gastou mais do que faturou.
Para se fazer uma análise eficaz, é importante sabermos utilizar 
planilhas eletrônicas. Assista nossa pílula de aprendizagem, em que 
iremos discutir o uso e as análise que devem ser realizadas!
Ao sabermos analisar os fluxos de caixas, já podemos conhecer 
como funcionam as séries de pagamentos que devem ser analisadas 
para estudo do negócio da organização.
Fluxo de caixa
148 Série de Pagamentos
Até o momento, nossos estudos estavam focados 
em taxa de juros, amortizações, capitalização etc. 
A partir de agora, será possível analisarmos os 
índices financeiros de outra forma. Segundo So-
brinho (2001), as séries de pagamentos são mui-
to comuns em operações comerciais, tais como 
financiamentos bancários, de imóveis, de carros, 
eletrodomésticos etc. Com elas, será possível cal-
cular o prazo de pagamento com um determinado 
valor de parcela, calcular a parcela com uma taxa 
de juros e período definido (como vimos feito 
em planilhas nos sistemas de amortização). Para 
início dos estudos, analisaremos as séries de paga-
mento iguais com termos vencidos e antecipados.
Série de Pagamentos Iguais 
com Termos Vencidos
149UNIDADE VII
As séries de pagamentos iguais e com termos ven-
cidos podem ser representadas conforme Figura 3.
VP
0 1
PMT PMT PMT PMT PMT
FV
2 3 4 ...
...
n
Figura 3 - Representação da série vencidas iguais
Fonte: Sobrinho (2001).
onde:
PMT= parcela paga ao longo do período
VP= Valor presente ou atual
VF= Valor Futuro ou Montante
i= Taxa de juros coerente com unidade de tempo
n= é o prazo em número de prestações
Segundo Sobrinho (2001), para calcular o valor 
futuro em uma série de pagamentos iguais com 
termos vencidos (ou postecipados), o funciona-
mento é segundo a fórmula: 
VF = PMTo x (1 + i)0 + PMT1x (1 + i)+...+PMTnx (1+i)
VF = PMT x [(1 + i)0 + (i + 1)1 + ...(1 + i)n]
VF = PMT [(1 + i)n ]-1
i
As rendas certas, ou séries periódicas uniformes, 
podem ser divididas em postecipadas, antecipa-
das e diferidas. Nas antecipadas, os pagamentos 
são feitos no início de cada período respectivo; 
nas postecipadas, o pagamento acontecerá no 
final do período respectivo; e nas diferidas exis-
te uma carência para pagamento da primeira 
parcela.
(Carlos Patricio Samanez)
Exemplo 1
Determinar o montante de uma série de aplica-
ções por um período de 5 meses, com parcelas 
iguais e consecutivas, no valor de R$ 500,00 cada 
uma, a uma taxa de juros de 2% ao mês.
Solução: em primeiro lugar, é interessante que 
seja desenhado o fluxo de caixa para ilustrar o 
período das aplicações.
R$ 500,00R$ 500,00
4 5
VF=?
3210
Figura 4 - Fluxo de caixa do exemplo 1
Fonte: o autor.
Podemos solucionar de duas formas: utilizando a 
150 Série de Pagamentos
fórmula de juros compostos para todos os 5 períodos ou utilizando a fórmula de pagamentos contínuo. 
Vejamos as duas formas:
Juros Compostos: VF = VP x (1+i)n como a primeira aplicação acontece ao final do primeiro 
período, e lembrando que o cálculo é feito contando o número de período do pagamento até o último, 
teremos:
VF1 = 500,00 x (1 + 0,02)4 = 541,22
VF2 =500 x (1 + 0,02)3 = 530,60
VF3 = 500,00 x (1 + 0,02)2 = 520,20 VF = Vf0+Vf1+Vf2+Vf3+Vf4 = R$ 2.602,02
VF4 = 500,00 x (1 + 0,02)1 = 510,00
VF5 = 500,00 x (1 + 0,02)0 = 500,00
Utilizando a fórmula de pagamentos iguais e contínuos:
VF = PMT x {[(1+ i)n - 1] / i} = 500 x {[(1+ 0,02)5 -1] / 0,02} = R$ 2.602,02
Para que possamos calcular todas as variáveis, dentro das séries de pagamentos iguais e com termos 
vencidos, Sobrinho (2001) apresenta um resumo das fórmulas (Quadro 1) que auxiliam no momento 
dos cálculos. Esses cálculos podem ser resumidos em:
a) Dado PMT achar VF – Fator de acumulação de capital, FAC (i,n).
b) Dado VF achar PMT – Fator de formação de capital, FFC (i,n).
c) Dado PMT achar VP – Fator de valor atual, FVA (i,n).
d) Dado VP achar PMT – Fator de recuperação de Capital, FRC (i,n).
Quadro 1 - Fórmulas para Série de pagamento iguais com termos vencidos
Fator Fórmula
Fator de Acumulação de Capital VF PMT x
i
i
n
=
+ −





( )1 1
Fator de Formação de Capital PMT VF i
i n
=
+( ) −







1 1
Fator de Valor Atual VP PMT x
i
i i
n
n=
+( ) −
+( )








1 1
1
Fator de Recuperação de Capital PMT VP x
i i
i
n
n=
+( )
+( ) −








1
1 1
Fonte: Sobrinho (2001).
151UNIDADE VII
Exemplo 2 
Imagine que você deseja comprar um automóvel cujo valor, à vista, 
é R$ 70.000,00. Para adquiri-lo, você resolve investir em um fundo 
de renda fixa, cuja taxa de juros é de 1,5% ao mês, durante 2 anos. 
Daí surge a dúvida: qual seria o valor da parcela para que, ao final 
do período, possa adquirir o automóvel à vista?
Solução: VF = R$ 70.000,00; n=24 meses; i =1,5% a.m.; PMT=? 
Conforme vimos anteriormente: PMT = VF { i / [(1+i)n – 1]}
Assim teremos: PMT = 70.000,00 x { 0,015 / [(1+0,015)24 -1]}
PMT= R$ 2.444.70
Exemplo 3 
Uma série de pagamentos no valor de R$ 3.500,00 cada, durante 
um período de24 prestações a uma taxa de juros de 5% ao mês, 
corresponde a qual valor, hoje?
Solução:
PMT = R$ 3.500,00; n =24 meses; i = 5% a.m.; VP =?
Conforme visto no Quadro 1:
Assim, teremos:
VP = 3.500,00 x [ (1+ 0,05)24 -1 / 0,05 x (1+0,05)24 ]
VP = 3.500,00 x 13,79864
VP = R$ 48. 295,24
Exemplo 4 
Uma empresa necessita de R$ 150.000,00 de empréstimo para rea-
lizar um investimento em um novo negócio. O banco com o qual 
trabalha oferece o empréstimo para que seja quitado em 12 meses 
e cobra uma taxa de juros de 2% ao mês na operação. Qual é o valor 
da prestação que a empresa deverá pagar para que seja quitada a 
dívida no período dessa operação financeira?
Solução: VP= R$ 150.000,00; n=12 meses; i= 2% a.m.; PMT=?
Conforme visto no Quadro 1:
Assim, teremos:
PMT = 150.000,00 x [ 0,02 x (1+0,02)12 / (1+0,02)12 – 1]
PMT = 150.000,00 x 0,09456
PMT = R$ 14.183,45
152 Série de Pagamentos
Parecido com a série de pagamentos vista no tó-
pico “Noções de fluxo de caixa”, a série de paga-
mentos com termos antecipados, segundo sobri-
nho (2001), diferencia-se, pois os pagamentos são 
realizados no início de cada intervalo de tempo. A 
representação gráfica pode ser vista na Figura 5.
VP
0 1
PMTPMT PMT PMT PMT PMT
FV
2 3 4 ...
...
n
Figura 5 - Série de pagamentos iguais com termos antecipados
Fonte: Sobrinho (2001).
Onde:
PMT – Valor monetário de cada parcela.
VF – Valor futuro (montante).
VP – Valor presente (Atual).
i – Taxa de juros aplicada no período.
n – Prazo.
Série de Pagamentos Iguais 
Com Termos Antecipados
153UNIDADE VII
Para melhor entender as fórmulas que representam essa série, basta perceber que teremos um período 
a mais, pois a primeira parcela será paga no momento zero da operação financeira, para tal, segundo 
Sobrinho (2001), acrescentam-se às fórmulas o valor de (1+i) que corresponderá a esse período. 
Quadro 2 - Fórmulas para Série de pagamento iguais com termos antecipados
Fator Fórmula
Fator de Acumulação de Capital VF PMT x i x
i
i
n
= +( ) +( ) −








1
1 1
Fator de Formação de Capital PMT VF x i
x i
i n
=
+( )





 +( ) −








1
1 1 1
Fator de Valor Atual VP PMTx i x
i
i i
n
n= +( )
+( ) −
+( )








1
1 1
1
Fator de Recuperação de Capital PMT VPx i
x
i i
i
n
n= +( )






+( )
+( ) −








1
1
1
1 1
Fonte: Sobrinho (2001).
Exemplo 5 
Imagine que você deseja comprar um automóvel 
cujo valor à vista é R$ 70.000,00. Para adquiri-lo, 
você resolve investir em um fundo de renda fixa, 
cuja taxa de juros é de 1,5% ao mês, durante 2 
anos, e lhe foi exigido que os pagamentos sejam 
realizados em termos antecipados. Daí surge a dú-
vida: qual seria o valor da parcela para que, ao final 
do período, possa adquirir o automóvel à vista?
Solução: VF = R$ 70.000,00; n =24 meses; i 
=1,5% a.m.; PMT =?
Conforme vimos anteriormente: PMT = VF x [1/
(1+i)] x { i / [(1+i)n – 1]}
Assim, teremos: PMT= 70.000,00 x [1 / (1+0,015)] 
x { 0,015 / [(1+0,015)24 -1]}
PMT = 70.000 x 0,98522 x 0,03492
PMT = R$ 2.408,27
Exemplo 6 
Uma série de pagamentos, no valor de R$ 3.500,00 
cada, durante um período de 24 prestações a uma 
taxa de juros de 5% ao mês, corresponde a qual 
valor hoje?
Solução:
PMT = R$ 3.500,00; n=24 meses; i= 5% a.m.; VP=?
Conforme visto no Quadro 1:
Assim, teremos:
VP=3.500,00 x (1+0,05) x [ (1+ 0,05)24 -1 / 0,05 
x (1+0,05)24 ]
VP= 3.500,00 x 1,05 x 13,79864
VP= R$ 50.710,00
154 Série de Pagamentos
No caso de série de pagamentos variáveis, o próprio 
nome já está dizendo uma das diferenças das duas 
que foram vistas até o momento, os pagamentos 
variam ao longo do período estipulado. É impor-
tante salientar o que Sobrinho (2001) nos mostra: 
os valores poderão ser variáveis em seu valor de 
forma crescente ou decrescente. Dessa forma, é 
acrescido às fórmulas um gradiente (G), onde será 
acrescido o valor das parcelas diferentes. Dessa 
forma, as fórmulas ficam segundo o Quadro 3. 
Exemplo 7
Observando a figura a seguir, qual o valor atual 
da sequência em gradiente, se a taxa de juros será 
de 1% ao mês?
100
200
300
400
1200
1 20 3 4 12
Figura 6 - Fluxo de caixa do exemplo 7
Fonte: o autor.
Série de Pagamentos 
Variáveis
155UNIDADE VII
Para resolver o Exemplo 7, é preciso conhecer as fórmulas de série de pagamentos variáveis.
Quadro 3 - Fórmulas para Série de pagamento variável crescente
Fator Fórmula
Fator de Acumulação de Capital com termos 
antecipados.
VF G
i
x
i
i
n
n
=
+( ) −
−








1 1
Fator de Valor Atual com termos antecipados. VP
G
i i
x
i
i
nn
n
=
+( )
+( ) −
−







1
1 1
Fator de Acumulação de Capital com termos 
Vencidos.
VF G
i
x i x
i
i
n
n
= +( ) +( ) −








−








1
1 1
Fator de Valor Atual com termos Vencidos. VP
G
i
x i x
i
i i
n
i
n
n n= +( )
+( ) −
+








−
+








1
1 1
1 1( ) ( )
Fonte: Sobrinho (2001).
Solução: G =100; i = 1%a.m.; n =12; PV=?
Conforme podemos ver na figura, os pagamentos 
são todos ao final do período, isso significa que 
devemos utilizar a fórmula de termos vencidos.
Portanto: 
VP G
i
x i x i
i i
n
i
n
n n= +
+ −
+





 − +








( )
( )
( ) ( )
1
1 1
1 1
VP = 100/0,01 x {(1+0,01) x [(1+0,01)12 - 1/ 0,01 
(1+0,01)12]-12/(1+0,01)12}
VP = 10.000,00 x {1,01 x [0,12682 / 0,011268] - 
10,6494}
VP = R$ 7.180,30
Exemplo 8
Um financiamento deverá ser amortizado em sete 
prestações mensais e crescentes, de acordo com 
uma série variável. Sabendo-se que a primeira 
prestação no valor de R$ 1.000,00 é devida no se-
gundo mês do contrato, que G é igual ao valor da 
primeira prestação, e que a taxa de juros compos-
tos cobrada pela instituição financeira é de 4% ao 
mês, calcular o montante pago no financiamento 
(SOBRINHO, 2001).
Solução: G = 1.000,00; i = 4%; n = 8 meses; VF =?
Como no exemplo, a primeira prestação já é de-
vida, estamos tratando de série com termos an-
tecipados.
156 Série de Pagamentos
Portanto: VF
G
i
x i
i
n
n
=
+ −
−






( )1 1
VF = 1.000,00/0,04 {[(1+0,04)8 -1/0,04]-8}
VF = 25.000,00 x 1,2142
VF = R$ 30.355,66
Vimos, até agora, exemplos para gradiente crescente. Caso tenhamos 
gradiente decrescente, as fórmulas a serem utilizadas são as que 
podem ser vistas no Quadro 4.
Quadro 4 - Fórmulas para Série de pagamento variável decrescente
Fator Fórmula
Fator de 
Acumulação 
de Capital 
com termos 
Vencidos
VF G
i
x n i i
i
n
n
= + −
+ −













( ) ( )1 1 1
Fator de 
Valor Atual 
com termos 
Vencidos
VP G
i
x n i
i i
n
n= −
+ −
+














( )
( )
1 1
1
Fonte: Sobrinho (2001).
Exemplo 9 
Qual o montante de 9 aplicações mensais, feitas à taxa de 2,5% ao 
mês, realizadas no final de cada período, sabendo-se que a primeira 
é de R$ 9.000,00 e as demais de valores decrescentes, à razão de 
R$1.000,00?
Solução: n = 9 meses; i = 2,5% a.m; G = 1.000,00; VF =?
VF G
i
x n i i
i
n
n
= +( ) − + −













1
1 1( )
VF = 1000/0,025 x {9 (1,025)9 - [(1,025)9 - 1/0,025]}
VF =40.000 x {11,239 - 9,9545}
VF = R$ 51.400,00
157UNIDADE VII
Com essa série, encerramos as séries de pagamento. Poderíamos falar, ainda, das séries variáveis 
com pagamentos antecipados. O que seria interessante é dar uma lida no livro de Sobrinho 
(2001), mas por ser uma obra não muito comum em se ver no mercado, não foi tratado neste livro.
Foi possível perceber, neste capítulo, que as séries de pagamentos são muito utilizadas no 
mercado para cálculo de pagamentos de possíveis dívidas, planejamento e compra de bens ou, 
ainda, nos permite-nos saber o montante de um dinheiro aplicado a prazo. Isso nos permite 
planejar o fluxo de caixa da organização (e até mesmo pessoal) para que não tenhamos surpresas.
Na próxima unidade, poderemos utilizar tudo que vimos anteriormente para analisarmos 
viabilidade de investimentos. Te espero porlá.
158
1. Um veículo é anunciado na internet nas seguintes condições: Entrada de 
R$ 20.000,00; Saldo em 36 parcelas de R$ 590,00. Sendo a taxa de juros cobrada 
na venda de 1,45% ao mês. Qual é o valor do veículo a vista?
2. Qual o montante de 7 aplicações mensais, feitas à taxa de 1,5% ao mês, realizadas 
no início de cada período, sabendo-se que a parcela é de $8.000,00?
3. Qual o montante de 5 aplicações, mensais, a uma taxa efetiva de juros compostos 
de 6% ao mês, em que a primeira é de R$ 20.000,00 e as demais gradativamen-
te crescentes, formando uma série gradiente uniforme igual a R$ 20.000,00, 
R$ 40.000,00, R$ 60.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00?
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
159
O Sebrae disponibiliza um documento online que permite conhecer mais sobre 
a elaboração de planilhas de fluxo de caixa e traz um modelo que pode ser 
preenchido para treinar e conhecer as análises da planilha.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
160
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos de Engenharia Econômica. 2. ed. Curitiba: Intersaberes, 2016.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de Investimentos. 4. ed. São Paulo: Pearson, 2007. 
SOBRINHO, J. D. V. Matemática Financeira. 7. ed. Belo Horizonte: Atlas, 2001.
REFERÊNCIA ON-LINE
1 Em: <https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf>. Acesso em: 21 
maio 2018.
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
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https://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf
161
1. Como foi dado R$ 20.000,00 de entrada, é preciso conhecer, portanto, qual é o valor atual do saldo deve-
dor. Portanto:
VP = PMT x (1+i)n -1 / i x (1+i)n = 590,00 x (1,0145)36 - 1 / 0,0145 x (1,0145)36 
VP = 16.456,49
Como já foi pago R$ 20.000,00, o valor à vista = VP + valor pago = 16.486 + 20.000.
Solução: R$ 36.486,00.
2. Como no caso do exercício dado as prestações são todas no início de cada período, deve-se utilizar a fór-
mula de série de pagamentos iguais e antecipados, onde:
VF = PMT x (1+i) x [(1+i)n -1 / i]
VF = 8.000 x (1,015) x [(1,015)7 -1/ 0,015] = R$ 59.462,71
Solução: R$ 59.462,71.
3. Para solucionar é preciso utilizar a fórmula de série de pagamentos variável crescente: VF G
i
. i
i
n
n
=
+ −
−






( )1 1
VF = 20.000/0,06 x {[(1,06)5-1/0,06] - 5} = R$ 212.364,32
Solução: R$ 212.364,32.
162
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Conhecer os conceitos básicos de análise de investi-
mentos.
• Analisar os critérios básicos para análise de investimentos.
• Conhecer os métodos de análise de investimento.
• Analisar a possibilidade de substituição de equipamentos 
nas organizações.
Introdução à Análise de 
Investimentos
Critérios econômicos para 
análise de decisões (TMA, 
VPL, TIR, VFL, Payback)
Substituição de 
equipamentos
Métodos de análise 
de investimentos
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
Análise de Investimentos
Introdução à Análise 
de Investimentos
Nesta unidade, um dos principais assuntos é a 
análise financeira em uma organização. Todas as 
vezes que se pensar em fazer investimentos novos 
em uma organização, deve ser (ou pelo menos 
deveria) uma obrigação dos gestores e/ou toma-
dores de decisões analisar o contexto financeiro 
para conhecer qual é o impacto de sua tomada de 
decisão no negócio da organização.
Segundo Wakamatsu (2012), vantagem de se uti-
lizar as ferramentas de análise de investimentos é 
conseguirmos colocar, por exemplo, dois investimen-
tos diferentes em condições de igualdade. É preciso 
criar e utilizar um critério de comparação que os 
deixa em condições de igualdade. Somente assim 
será possível tomar uma decisão em relação aos dois. 
Segundo o autor, os métodos nos permite ver se um 
investimento será viável ou não, nos dando, assim, 
condições favoráveis para decidir com segurança.
É importante entender qual seria a função do 
investimento na organização. 
O autor salienta que é importante para um pro-
jeto de investimento que sejam analisados todos 
os detalhes financeiros e econômicos, bem como 
o imponderável. É importante analisar o fluxo de 
caixa (entradas e saídas de capital). Em relação ao 
tempo, é importante analisarmos sempre dentro 
165UNIDADE VIII
do mesmo período de tempo e, segundo Ryba, Lenzi E. e Lenzi M. 
(2016), é importante o presente o futuro, pois “passado é passado”.
Um investimento pode ser para um lançamento de um novo 
produto, a modernização de sistemas, adequação ao mercado, subs-
tituição de equipamentos, aluguel, compra ou leasing de ativos ou 
patrimônio, dentre outros. 
Um investimento é definido como um gasto focando a melhoria 
do processo de produção. 
(Andréa Ryba, Ervin Kaminski Lenzi e Marcelo Kaminski Lenz) 
Os critérios de análise, segundo Ryba, Lenzi E.e Lenzi M. (2016), são:
1. Econômicos: analisa a rentabilidade do investimento. As 
principais ferramentas são: Taxa Mínima de Atrativida-
de (TMA); Valor presente; Taxa Interna de Retorno (TIR); 
Tempo de Retorno (Payback).
2. Financeiro: analisa a disponibilidade de recursos.
3. Imponderável: existem alguns critério complicados de se 
calcular, tais como a imagem da empresa na cabeça do clien-
te, histórico de manutenção, ergonomia, poluição sonora etc. 
Todos esses critérios auxiliarão nas tomadas de decisão que poderão 
seguir os seguintes passos:
• Identificação do Problema.
• Criação de alternativas que resolvam o problema identificado.
• Avaliar as alternativas e escolher a que melhor se adeque às 
necessidades da empresa.
• Implementar a melhor alternativa.
Para se atender, agora, os critérios econômicos de avaliação, vamos 
analisar os principais.
Tenha sua dose extra de conhecimento 
assistindo ao vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
166 Análise de Investimentos
Neste tópico, serão mostradas ferramentas que 
nos permitirão conhecer variáveis que nos darão 
subsídio para uma tomada de decisão segura e 
baseada em cálculos matemáticos.
Taxa mínima de atratividade
Todas as vezes que vamos realizar uma tomada de 
decisão, uma das principais coisas que precisamos 
ter é um parâmetro, ou um critério, que nos levará 
à decisão. Para Ryba, Lenzi E. e Lenzi M. (2016), a 
TMA será a referência que teremos no momento 
da tomada de decisão, ou seja, qual será o retorno 
que queremos (em percentual de juros) em um 
determinado investimento.
Porém, ainda segundo os autores, não existe 
uma fórmula que nos permita calcularo TMA. 
Essa taxa é uma análise pessoal (varia com os 
profissionais e situações de suas empresas), mas 
é possível seguir alguns critérios, e Ryba, Lenzi E. 
e Lenzi M. (2016) cita os seguintes:
• Rentabilidade.
• Grau de risco da operação.
• Liquidez.
Critérios Econômicos 
para Análise de Decisões 
(TMA, VPL, TIR, VFL, Payback)
167UNIDADE VIII
• Política de expansão da empresa. 
• Cenário político e econômico do país.
• Inflação.
É importante comparar com outras operações 
financeiras de mercado, para entender, também, 
se a taxa de retorno trará o resultado desejado, 
ou até mesmo se aplicamos o dinheiro em outro 
local que poderia render mais com menores risco. 
Nesse caso, o investimento de menor risco seria, 
por exemplo, caderneta de poupança. 
Então, vamos estudar os outros critérios que 
nos auxiliarão nas tomadas de decisão.
Taxa Mínima de retorno: É a menor taxa de juros 
que você deseja ganhar ao fazer um investimento. 
(Andréa Ryba, Ervin Kaminski Lenzi e Marcelo 
Kaminski Lenz)
Valor Presente Líquido (VPL)
Segundo Wakamatsu (2012), o VPL é utilizado 
quando queremos comparar o fluxo de caixa de um 
empreendimento com o investimento inicial. Para 
tal, capitaliza-se o fluxo de caixa em cada período 
de interesse, faz-se a correção do custo de capital 
e se subtrai, disto, o valor do investimento inicial.
Wakamatsu (2012) salienta que, para cálculos 
agora de análise de investimentos, as fórmulas se 
tornarão mais complexas, em que haverá uma 
dificuldade de se calcular de cabeça e, até mes-
mo, com calculadoras comuns. Para isso, pode-se 
utilizar planilhas eletrônicas como Excel ou cal-
culadoras financeiras1.
1 Nos materiais complementares é sugerido um curso 
para utilização da calculadora 12c.
Tenha sua dose extra de 
conhecimento assistindo ao 
vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
A fórmula geral para cálculo do VPL é a seguinte:
VPL I + FCn
it
n
t=− +( )=
∑
1 1
Onde:
• VPL = Valor Presente líquido.
• I = Investimento inicial.
• i = Taxa mínima de atratividade (TMA).
• t = Período das parcelas.
• FCn = Fluxo de caixa.
Ao analisarmos um investimento, é importante 
notar que teremos o investimento inicial, a soma 
das parcelas ao longo do período analisado e um 
valor final que é chamado de valor residual. Esse 
valor corresponde ao valor de venda, por exem-
plo, do bem (equipamentos, terrenos, imóveis) da 
organização ao final do período. 
Para sabermos se o valor do investimento é 
interessante, teremos 3 possibilidades, a saber:
1. VPL > 0 - O projeto seria aprovado, pois o 
seu retorno é maior que o fluxo de capital.
2. VPL = 0 - Como a taxa colocada na fór-
mula é o TMA, essa igualdade quer dizer 
que o retorno é exatamente igual ao míni-
mo exigido para o investimento, portanto, 
ainda assim, pode ser aprovado.
3. VPL < 0 - O retorno está abaixo do espe-
rado. Portanto seria reprovado o projeto.
Para entender melhor como funciona o VPL, va-
mos analisar os exemplos a seguir.
168 Análise de Investimentos
Exemplo 1 
(Castanheira, 2012, p. 125) Uma empresa de ra-
diotáxi está analisado a possibilidade de adqui-
rir, para sua frota, veículos no valor unitário de 
R$ 40.000,00, sabendo que as receitas líquidas 
estimadas, em cinco anos, são de R$ 18.000,00, 
R$ 18.500,00, R$ 19.200,00, R$ 20.000,00, R$ 
21.200,00, respectivamente. Ao final dos cinco 
anos, o valor residual do veículo é de R$ 10.000,00. 
Com uma taxa de retorno de 18% ao ano, a em-
presa deveria, ou não, investir esse valor?
Solução: representado o fluxo de caixa, teremos:
40.000
18.000 18.500 19.200 20.000 31.200
Figura 1 - Fluxo de caixa do exemplo 1
Fonte: o autor.
Note que no último período é preciso somar o 
valor da receita líquida com o valor residual.
Ao jogarmos na fórmula, teremos:
VPL = -40.000 + [18.000/(1+0,18)1] + [18.500/
(1+0,18)2] + [19.200/(1+0,18)3] + [20.000/
(1+0,18)4] + [31.200/(1+018)5]
VPL= -40.000 + 14.254.24+13.286,41+11.685,71
+10.315,78+ 13.637,81
VPL = R$ 24.179,95
Como o VPL deu positivo, os cálculos mostram 
que o retorno do investimento está além da TMA, 
portanto deve ser realizado o investimento. Po-
rém, essa afirmação está baseado simplesmente no 
VPL, o que não leva em consideração em quanto 
tempo e qual a taxa de juros real de retorno. Para 
isso, precisamos utilizar outras ferramentas que 
veremos a seguir.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
A TIR é um parâmetro dos mais importantes na 
análise de investimento. 
TIR: é a taxa de juros compostos (taxa de descon-
to) que anula o seu valor presente (valor atual). 
(Nelson Pereira Castanheira)
Segundo Castanheira (2012), é preciso observar 
o valor algébrico dentro das parcelas e seguir dois 
critérios:
1. Os valores de recebimento (crédito) serão 
sempre positivos, pois são entradas de caixa.
2. Os valores de pagamentos serão sempre ne-
gativos, pois, por sua vez, são saídas de caixa.
Castanheira (2012), Wakamatsu (2012) e Ryba, 
Lenzi E. e Lenzi M. (2016) corroboram com a ideia 
e dizem que a TIR será a taxa que irá zerar o fluxo 
de caixa, ou seja, anula as parcelas com o VPL.
Portanto, para deduzirmos a fórmula de cálcu-
lo da TIR, usamos a fórmula de VPL, igualamos 
o VPL a zero (conforme visto na teoria anterior) 
e ficará da seguinte forma:
VPL I x FCn
it
n
t=− +( )=
∑� � �
1 1
;
169UNIDADE VIII
Como VPL = 0:
0
11
=−
+( )=
∑I + FCn
it
n
t
Chegando, portanto, na fórmula Final:
I FCn
it
n
t= +( )=
∑�
1 1
Onde:
• VPL = Valor Presente líquido.
• I= Investimento inicial.
• i = Taxa interna de retorno.
• t= Período das parcelas.
• FC = Fluxo de caixa.
Da mesma forma do VPL, podemos usar 3 crité-
rios de avaliação da TIR para aprovação (ou não) 
de um investimento:
1. TIR > TMA - O projeto seria aprovado, 
pois o seu retorno é maior que a taxa mí-
nima esperada.
2. TIR = TMA - Essa igualdade quer dizer 
que o retorno é exatamente igual ao míni-
mo exigido para o investimento, portanto 
ainda assim pode ser aprovado.
3. TIR < TMA - O retorno está abaixo do es-
perado, portanto seria reprovado o projeto.
Para entendermos melhor, vamos analisar o 
Exemplo 2.
Exemplo 2
Determinar a taxa interna de retorno correspon-
dente a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser li-
quidado em 3 pagamentos mensais de R$ 300,00, 
R$ 500,00 e R$ 400,00.
Solução: para entender, vamos, em primeiro lu-
gar, desenhar o fluxo de caixa:
1.000,00
300,00
500,00
400,00
Figura 2 - Fluxo do caixa do exemplo 2
Fonte: o autor.
Ao jogar na fórmula, teremos:
I FCn
it
n
t= +( )=
∑�
1 1
1.000,00 = [300/(1+i)1] + [500/(1+i)2] + [500 / (1+i)3]
OBS: o cálculo de i, caso queira fazer usando a 
matemática, deve ser feito por interpolação. Por-
tanto, é interessante que se utilize uma planilha 
eletrônica, como o Excel ou uma calculadora fi-
nanceira.
Usando a planilha de Excel, basta colocar os 
valores em coluna e utilizar a fórmula de TIR. 
Teremos a seguinte tela:
Fluxo
1000
-300
9,26%
-500
-400
TIR
Figura 3 - Cálculo de TIR
Fonte: o autor.
Portanto: TIR = 9,26% a.m.
Observe que, ao utilizar a fórmula, já temos o 
resultado na coluna da direita.
170 Análise de Investimentos
Payback
Os demais parâmetros analisados até aqui não se preocuparam em 
conhecer qual seria o tempo necessário, dentro de uma operação 
financeira, para que o valor dos pagamentos (parcelas) se iguale ao 
investimento inicial.
Payback é o tempo para o qual a somatória entre a relação do fluxo 
de caixa e o custo do capital (parcelas) seja igual, ou superior, ao 
investimento inicial. 
(André Wakamatsu)
O cálculo do payback é feito segundo a fórmula a seguir:
Payback
Período dia mês ano x Investimento Inicial
To
=
( )
ttal Recebido
É importante salientar que, no caso do payback, todo dinheiro ganho 
após o tempo para igualar o investimento inicial não será conside-
rado. O critério de aceitação estará ligado ao que foi definido pela 
empresa, mas é sempre bom lembrar que quanto menor, melhor. 
Para entender melhor, vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo 3 
Considerando a compra de umnovo equipamento para empresa no va-
lor de R$ 200.000,00 e que o retorno que ele trará para empresa será uma 
economia anual de R$ 75.000,00, calcular o payback do investimento.
Conforme visto na fórmula:
Payback
Período dia mês ano x Investimento Inicial
To
=
( )
ttal Recebido , assim teremos: se 
quisermos calcular em meses:
Payback = 36 (meses) x 200.000,00 / 225.000 = 32 meses
Foram considerados 3 anos por perceber que, antes disso, o valor 
de recebimentos é menor que o investimento inicial. 
Se quisermos calcular em dias:
Payback = 1095 (dias) x 200.000,00 / 225.000 = 973, 33 dias
Para calcularmos em anos:
Payback = 3 (anos) x 200.000,00 / 225.000 = 2,67 anos
171UNIDADE VIII
Os critérios estudados anteriormente ajudam 
muito nas análises para tomadas de decisão e são 
os mais utilizados. Podem ser utilizados de forma 
individual, porém, caso sejam usados de forma 
conjunto, dão uma noção melhor de retorno e 
tempo. Isso dará uma base melhor na análise.
Existem, também, outros critérios que podem 
ser utilizados e que citaremos aqui. O primeiro é o 
critério do Benefício-Custo (ou custo benefício). 
Segundo Samanez (2007), ele nos permite compa-
rar, a qualquer momento, os ingressos de capital e os 
custos para prestação de serviço. Muito usado, por 
exemplo, em obras que demandam análise de im-
pactos sociais, como obras públicas. Para se calcular 
o Benefício-Custo, utiliza-se a seguinte fórmula:
B
C
b
i
c
i
t o
n
t
t o
n
t
=
+( )
+( )
=
=
∑
∑
1
1
Onde: 
b = Benefício do período.
c= Custo do período.
n= Horizonte do planejamento.
i=Custo do capital.
Como critério de análise, caso B/C >1, o projeto 
será viável.
Métodos de Análise 
de Investimentos
172 Análise de Investimentos
AE VPL
VP
= �
Exemplo 4 
Analisar a viabilidade econômica de um projeto com um custo 
de capital de 5% ao ano e com o custo benefício apresentado no 
quadro a seguir.
Ano 0 Ano 1 Ano 2
Custos (c) -R$ 300,00 -R$ 6.800,00 -R$ 15.000,00
Benefício (b) R$ 150,00 R$ 8.500,00 R$ 20.000,00
Fluxo de caixa Líquido -R$ 150,00 R$ 1.700,00 R$ 5.000,00
Solução: Podemos analisar de duas formas:
a) Calculando pelos benefícios/custos:
B
C
b
i
c
i
t o
n
t
t o
n
t
=
+( )
+( )
=
=
∑
∑
1
1
B/C = {(150 + [8500/(1,05)1]+ [20.000/(1,05)2]} / {300 + [6.800/
(1,05)1] + [15.000/(1,05)2}
B/C= 1,29 - Portanto projeto Viável.
b) Calculando pelo Fluxo de caixa líquido.
B/C = [1700/(1,05)1] + [5000/(1,05)2] / 150 = 41,03 - Projeto Viável
OBS: notem que, no caso do fluxo de caixa, a análise é feita medindo 
o resultado dos períodos em relação ao investimento no ano zero, 
que, geralmente, será negativo.
Como visto anteriormente, um outro método de avaliação muito 
utilizado é a análise do fluxo de caixa.
Segundo Wakamatsu (2012), existem ainda momentos em que 
teremos que comparar investimentos que se manifestam em di-
ferentes unidades no tempo. O autor dá como exemplo a compra 
de equipamentos em que um já tem retorno imediato de receitas, 
porém já possui reposição imediata; a outra tem um desempenho 
menor, porém constante. Daí, qual escolher?
Para essa análise, o autor lança mão do VPL, mas fazendo uma 
análise do impacto ao longo do tempo. Para tal, utiliza um método 
173UNIDADE VIII
AE VPL
VP
= �
denominado de anuidade equivalente. Para calcular a anuidade 
equivalente, utiliza-se a seguinte fórmula.
AE VPL
VP
= �
Onde:
VPL= Valor presente líquido do período.
VP = Valor presente (onde já vimos a fórmula na série de pa-
gamentos).
Somente para lembrar: 
VP
i
i xin
=
+( ) −
+( )
1 1
1
n
Exemplo 5
Uma empresa deverá escolher qual o melhor equipamento que deve 
ser adquirido com os seguintes dados:
• Investimento inicial de ambos equipamentos: R$ 300,00; 
custo de capital 10% ao ano.
• Equipamento 1: fluxo de caixa de R$ 700,00 logo no pri-
meiro ano, mas se torna inutilizável ao fim desse ano.
• Equipamento 2: tem um fluxo de caixa de R$ 300,00 ao ano 
e se torna inutilizável ao final do 3o ano.
VPL1= - 300 + [700/ (1,1)
1] = R$ 336,36
VPL2 = -300 + [300 / (1,1)
1] + [300 / (1,1)2] + [300 / (1,1)3] = R$ 
446,05
Analisando somente pela ótica do VPL, seria escolhida a opção 2, 
por ter um retorno maior do investimento. Analisaremos, agora, 
utilizando a fórmula de Anuidade equivalente.
AE1 = 336,36 / { [(1+0,1)
1 -1] / [(1+0,1)1 x 0,1]} = R$ 370,00
AE2 = 746,05 / {[(1+0,1)
3 -1] / [(1+0,1)3 x 0,1]} = R$ 300,00
Ao analisarmos considerando o tempo igual para ambos os investi-
mentos, foi possível perceber que a alternativa A se tornou a melhor 
entre as duas. O que nos mostra que sempre devemos pensar e co-
locar todas as alternativas dentro de um mesmo período de análise, 
evitando, assim, comparações entre tipos diferentes de investimento.
174 Análise de Investimentos
A Análise de substituição de equipamentos em 
uma organização é algo importante, pois toda or-
ganização precisa sempre analisar a atualização de 
seu parque tecnológico,ou algum ativo (máquinas 
industriais, equipamentos de uso técnico etc.). 
Para Ryba, Lenzi E. e Lenzi M. (2016), é impor-
tante seguir critérios que definirão quando se deve 
fazer, ou não, a troca dos equipamentos. São eles:
• Ampliação da capacidade de produção.
• Danos irreversíveis.
• Desgaste natural.
• Obsolescência.
• Falta de suporte ou manutenção do fa-
bricante.
• Perda de produtividade.
• Poluição sonora.
• Acidentes.
Segundo os autores, uma pergunta importante 
deve ser respondida: a economia trazida com a 
compra compensa o investimento?
Substituição de 
Equipamentos
Exemplo 6 
Dado fluxo de caixa abaixo da operação de uma máquina (em mi-
lhares de reais), com um TMA de 10% ao ano, analisar a viabilidade 
de troca (RYBA, LENZI, E.; LENZI, M. 2016, p.128).
Ano
Valor de
compra/venda
Custo Operacional Receita Gerada
0 500 0 0
1 450 100 500
2 400 150 400
3 300 200 250
4 150 250 200
5 100 300 100
Solução: para responder à pergunta, é importante analisar o VPL 
a cada período:
VPl1= - 500 + 850/(1,1)
1 = 272,70
VPl2= - 450 + 650/(1,1)
1 = 140,90
VPl3= - 400 + 350/(1,1)
1 = -81,80
Na análise anterior, pudemos notar que, a partir do terceiro ano, 
o VPL deu um valor negativo de R$ 81.800,00, o que nos mostra 
que a máquina deverá ser trocada a partir do final do segundo ano.
Com os exemplos mostrados na unidade, foi possível perceber 
a importância de serem realizados estudos utilizando os métodos 
e critérios apresentados. Somente com a utilização desses métodos 
e critérios é possível obter informações suficientes que servirão 
de base para os gestores em tomadas de decisões precisas e com 
menos erros. 
Para análise de investimentos, é sempre bom escolher a sua TMA, 
analisar em conjunto TIR, VPL, Payback, pois, assim, teremos sem-
pre resposta de retorno e tempo; e, caso seja preciso, utilizar, ainda, 
os métodos apresentados para que sejam igualadas operações di-
ferentes, criando, com isso, critérios precisos nas análises. 
Na próxima unidade, faremos análises com a intervenção de 
fatores externos. Te espero por lá.
176
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Uma lavanderia analisa duas alternativas para melhorar os seus serviços de 
entrega:
a) Comprar uma caminhonete:
custo de aquisição: $ 40.000,00
vida útil: 6 anos
valor de venda após 6 anos (valor residual): $ 4.000,00
custos anuais de manutenção: $ 8.000,00
b) Alugar uma caminhonete:
custos anuais com o aluguel e manutenção: $ 15.000,00
em ambos os casos utilizar uma taxa de juros ao ano de 10%.
2. A Empresa XYZ estuda a compra de dois equipamentos A e B com as seguintes 
características:
A B
Custo inicial $ 28.000,00 $ 23.000,00
Vida útil 5 anos 5 anos
Custos anuais $ 4.000,00 $ 5.000,00
Receitas anuais $ 12.000,00 $ 10.000,00
Valor residual $ 12.000,00 $ 10.000,00
Dadas as informações, analise VPL e a TIR para os equipamentos A e B, verifi-
cando por estes métodos se ambos os projetos são viáveis e, neste caso, qual 
deles é o mais atrativo. A TMA da empresa é de 18% ao ano.
177
3. Uma empresadeseja trocar uma máquina velha e levantou os seguintes dados 
da planilha a seguir:
Máquina Velha Máquina Nova
Investimento Inicial 0 R$ 25.000
Fluxo de caixa operacional R$ 12.000,00/ano R$ 8.000,00/ano
Vida útil 2 anos 4 anos
custo de capital 6% ao ano 6% ao ano
Com os dados anteriores, qual decisão você tomaria, trocar ou não o equipa-
mento?
178
Curso prático de Calculadora HP 12c
Para aqueles que trabalham, ou irão trabalhar, com a área de análises de in-
vestimentos, é de bom grado que adquira uma calculadora financeira. A mais 
utilizada pelos profissionais da área é a HP 12C, que permite fazer os cálculos 
vistos no capítulo com facilidade. Para conhecê-la e aprender a utilizá-la, esse 
curso na web ensina como funciona e será de grande valia para nossos estudos. 
O curso é de autoria do Economista e Palestrante CEO do Portal Aviso em Dois 
e do Projeto Arrisque, o Sr. Waldir Kiel.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
179
CASTANHEIRA, N. P. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2012. 
RYBA, A.; LENZI, E. K.; LENZI, M. K. Elementos da Engenharia Econômica. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: aplicações à análise de Investimentos. 4. ed. Pearson, São Paulo, 2007. 
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
180
1. B.
Solução: Para solucionar o exercício, é preciso calcular o VPL dos dois casos. Para tal, pode-se fazer de
duas formas:
Utilizar a fórmula de VPL: VPL I+
FC
i
n
t
t
n
= −
+=
∑ ( )11
Assim, temos que VPLa = -40000 - 8000/(1,1) - 8000/(1,1)2 - 8000(1,1)3 - 8000(1,1)4 - 8000(1,1)5 - 4000 (1,1)6 
= - R$ 72.584,18
VPLb = -15000/1,1 - 15000/(1,1)2 - 15000/(1,1)3 - 15000(1,1)4 - 15000/(1,1)5 - 15000/(1,1)6 = - R$ 65.328,91
Ou pode ser utilizada a fórmula de VPL no Excel conforme visto na videoaula. 
VPLA (15%) = - R$ 72.584,18; VPLB (15%) = - $ 65.328,91
A Melhor opção é, portanto, alugar caminhonete. 
2. A.
Para solucionar o exercício, é preciso calcular, aqui, o VPL, que compara ambas opções no valor atual,
e a TIR, que nos permite conhecer a taxa de retorno do investimento. É importante lembrar que, para
analisar a TIR, devemos compará-la com o TMA (taxa mínima de atratividade) definida pela organização.
Para calcular, pode-se utilizar as fórmulas de VPL e TIR vistas ao longo da unidade, utilizar Excel ou, ainda,
calculadora financeira.
VPLa = -28000 + 8000/(1,18) + 8000/(1,18)2 + 8000/(1,18)3 + 8000/(1,18)4 + 20000/(1,18)5 = R$ 2.262,68
VPLb = -23.000 +5000/1,18 + 5000/(1,18)2 + 5000/(1,18)3 + 5000/(1,18)4 + 15000/(1,1)5 = - R$ 2.993,05
Para calcular TIR, é aconselhado utilizar as fórmulas de Excel ou calculadora.
TIRa = 21%; TIRb= 13%.
Analisados, então, os dados calculados, teremos:
Solução: VPLA (18%) = R$ 2.262,68; TIRA= 21% - Viável
VPLB (18%) = - R$ 2.993,05; TIRB=13% - Como o VPL < 0 - O retorno está abaixo do esperado. 
Portanto seria reprovado o projeto. Além disso, a TIR é menor que a TMA,
Melhor Opção é A, pois o TIR está acima do TMA e o VPL positivo.
181
3. Solução: AEv= R$ 1.320,04; AEn= R$ 163,32 – Como, nesse caso, o valor de anuidade equivalente é maior 
na máquina velha, não é aconselhável trocar o equipamento.
Para solucionar essa questão, podemos utilizar o método de anuidade equivalente, que nos permitirá 
colocar ambas opções sob o mesmo critério. A fórmula para cálculo será:
AE VPL
VP
=
Onde VP= (1+i)n / (1+i)n x i
Assim teremos:
O cálculo do VPL pode ser feito conforme visto nos exercícios ao longo do capítulo
VPLv= 12000/(1,06) + 12000/(1,06)2 = R$22.000,71
VPLn= -25000 + 8000x(1,06) + 8000x(1,06)2 + 8000x(1,06)3 + 8000x(1,06)4 = R$ 2.720,84
AEv= 22.000,71 / [(1,06)2 / (1,06)2 x 0,06] = R$ 1.320,04
AEn=2.720,84 / [(1,06)4/(1,06)4 x 0,06] = R$ 163,32
182
183
184
PLANO DE ESTUDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Dr. Cláudio Roberto Magalhães Pessoa
• Realizar análises para realização de investimentos nas 
organizações. 
• Compreender os conceitos de inflação e deflação.
• Saber como proceder para realização de correção mone-
tária (inflação e deflação).
• Conhecer o impacto dos impostos no negócio da or-
ganização.
Investimento
Inflação Impostos
Correção Monetária
Análise de 
Externalidades
Investimento
Agora que já vimos várias técnicas e fórmulas que 
nos permitem avaliar vários tipos de investimen-
tos e projetos financeiros, só nos faltou conhecer 
como analisar possíveis investimentos, porém em 
conjunto o fluxo de caixa financeiro da empresa, 
ademais, é também importante conhecer a forma 
como fatores externos, tais quais inflação, câmbio, 
imposto de renda, podem influenciar nessas análi-
ses. Começaremos analisando investimentos, mas 
não de forma isolada, dentro de um planejamento 
que leva em consideração as condições financeiras 
da organização.
Para analisar um investimento desse porte, 
podemos fazer, nas organizações, uma análise de 
sensibilidade, que nada mais é do que criar cená-
rios possíveis, por meio de simulações, que nos 
darão uma visão melhor do que poderá acontecer 
mais à frente. Projetamos, portanto, várias situa-
ções e podemos, com isso, escolher qual seria a 
melhor opção para organização de acordo com 
os resultados obtidos.
187UNIDADE IX
Analisar investimentos dentro do que apren-
demos até o momento, por meio da TIR, VPL, 
Payback, de forma isolada, não leva em consi-
deração as incertezas e risco do mercado. Te-
mos que lembrar que existem inflação, variações 
cambiais e riscos econômicos que podem mudar 
o rumo do país e, consequentemente, dos resul-
tados operacionais da organização.
OK! Como começar, então, essa análise e de-
senhar possíveis cenários?
Para iniciarmos as nossas análises, faz-se ne-
cessário ser bem criterioso na construção de um 
fluxo de caixa que reflita bem o que acontece no 
dia a dia da organização. O fluxo de caixa real 
nos mostrará o que aconteceu com a empresa de 
forma “histórica”, ou seja, será anotado tudo que 
entrou e saiu de capital da organização dentro um 
período determinado. Vejamos, na Tabela 1, um 
exemplo de fluxo de caixa resumido (SEBRAE, 
2011, on-line)2.
Tabela 1 - Fluxo de caixa real
Contas Valores
1. Receitas Totais R$364.000,00
2. Custos Variáveis R$211.120,00
Compras R$109.200,00
Fretes R$10.920,00
Impostos R$54.600,00
Comissões R$36.400,00
3. Margem de Contribuição R$152.880,00
4. Custos Fixos R$132.000,00
Salários e Encargos R$78.000,00
Despesas Mensais R$24.000,00
Retirada dos Sócios R$30.000,00
5. Resultado Líquido R$20.880,00
Fonte: o autor.
Somente para esclarecimento da planilha mos-
trada na Tabela 1, a margem de contribuição, 
segundo a literatura sobre o tema, refere-se à di-
ferença existente entre as receitas da organização 
e seus custos variáveis, ou seja, quanto sobrará 
para que sejam pagas as despesas fixas (salários, 
encargos, luz, água, aluguel etc.) e saber se ainda 
deu lucro.
No caso apresentado, é possível perceber 
que, no mês em questão, houve um resultado 
operacional positivo de R$ 20.880,00. Não cha-
mei nesse momento de lucro, pois é importante 
entender qual o momento da organização. Ela 
poderia estar, ainda, no seus primeiros meses de 
vida e não ter pago o seu investimento inicial. Daí 
a importância em se pagar esse investimento. A 
forma de pagamento seria definida pelos sócios, 
mas só podemos entender como lucro caso já 
tenha sido pago esse investimento. 
Para analisarmos cenários visando melhores 
resultados operacionais, é importante entender 
que só podemos trabalhar com alguns parâme-
tros, como: as receitas, que poderão aumentar 
ou diminuir; e os custos que também poderão 
crescer ou diminuir. O custo variável dependerá 
diretamente das receitas. Já o custo fixo pode ser 
trabalhado buscando adequar a realidade da or-
ganização. O raciocínio é mesmo matemático, ou 
seja, para melhorar os resultados, é preciso existir 
três possibilidades: ganhar mais sem alterar os 
custos, ganhar mais reduzindo os custos, manter 
a receita e baixar os custos.
188Análise de Externalidades
Vamos analisar as tabelas a seguir (SEBRAE, 2011, on-line)2:
Tabela 2 - Cenário 1: aumento de receitas em 30% 
Contas Valores % Mais 30% de receita %
1. Receitas Totais R$364.000,00 100,00 R$473.200,00 100,00
2. Custos Variáveis R$211.120,00 58 R$274.456,00 58
Compras R$109.200,00 R$141.960,00 
Fretes R$10.920,00 R$14.196,00 
Impostos R$54.600,00 R$70.980,00 
Comissões R$36.400,00 R$47.320,00 
3. Margem de Contribuição R$152.880,00 42 R$198.744,00 42
4. Custos Fixos R$132.000,00 36 R$132.000,00 28
Salários e Encargos R$78.000,00 R$78.000,00 
Despesas Mensais R$24.000,00 R$24.000,00 
Retirada dos Sócios R$30.000,00 R$30.000,00 
5. Resultado Líquido R$20.880,00 6 R$66.744,00 14
Fonte: o autor.
Tabela 3 - Cenário 2: queda das receitas em 5%
Contas Valores % Menos 5% receita %
1. Receitas Totais R$364.000,00 100,00 R$345.800,00 
2. Custos Variáveis R$211.120,00 58 R$200.564,00 58
Compras R$109.200,00 R$103.740,00 
Fretes R$10.920,00 R$10.374,00 
Impostos R$54.600,00 R$51.870,00 
Comissões R$36.400,00 R$34.580,00 
3. Margem de Contribuição R$152.880,00 42 R$145.236,00 42
4. Custos Fixos R$132.000,00 36 R$132.000,00 38
Salários e Encargos R$78.000,00 R$78.000,00 
Despesas Mensais R$24.000,00 R$24.000,00 
Retirada dos Sócios R$30.000,00 R$30.000,00 
5. Resultado Líquido R$20.880,00 6 R$13.236,00 4
Fonte: o autor.
189UNIDADE IX
Tabela 4 - Cenário 3: queda de custos fixo em 8%
Contas Valores % Menos 8% despesa Fixa %
1. Receitas Totais R$364.000,00 100,00 R$364.000,00 
2. Custos Variáveis R$211.120,00 58 R$211.120,00 58
Compras R$109.200,00 R$109.200,00 
Fretes R$10.920,00 R$10.920,00 
Impostos R$54.600,00 R$54.600,00 
Comissões R$36.400,00 R$36.400,00 
3. Margem de Contribuição R$152.880,00 42 R$152.880,00 42
4. Custos Fixos R$132.000,00 36 R$121.440,00 33
Salários e Encargos R$78.000,00 R$71.760,00 
Despesas Mensais R$24.000,00 R$22.080,00 
Retirada dos Sócios R$30.000,00 R$27.600,00 
5. Resultado Líquido R$20.880,00 6 R$31.440,00 9
Fonte: o autor.
Tabela 5 - Resumo de cenários
Planilha 
Resumo
Contas Valores %
Mais 30% 
receita
%
Menos 5% 
receita
%
Menos 8% 
despesas Fixas
%
Receitas 
Totais
R$364.000,00 100 R$473.200,00 100 R$345.800,00 100 R$364.000,00 100
Custo 
Variável
R$211.120,00 58 R$274.456,00 58 R$200.564,00 58 R$211.120,00 58
Custo 
Fixos
R$132.000,00 36 R$132.000,00 28 R$132.000,00 38 R$121.440,00 33
Resultado 
Líquido R$20.880,00 6 R$66.744,00 14 R$13.236,00 4 R$31.440,00 9
Fonte: o autor.
Ao analisarmos a planilha resumo, é possível 
perceber as mudanças que aconteceriam no re-
sultado líquido da organização, de acordo com 
as mudanças efetuadas. É interessante notar que 
o fato de aumentar 30% de receita, não neces-
sariamente significa que o resultado aumentará 
na mesma proporção, pois isso altera, também, 
os custos variáveis. Assim, o crescimento, nesse 
caso, foi de 8%, pois sai de 6% do valor da receita 
bruta, para 14%, mas o mesmo acontece também 
quando abaixamos a receita. Ao abaixar em 5%, a 
receita caí apenas 2 pontos percentuais o resultado 
líquido do período, mas o mais interessante é ver 
que, ao abaixar os custos fixos em 8%, acontece 
190 Análise de Externalidades
um crescimento significativo de 3 pontos per-
centuais no resultado final. Isso nos mostra que 
o melhor seria aumentar receitas e abaixar custos. 
O que nem sempre será possível. A decisão final 
ficará a cargo do gestor da organização, que terá 
todos os índices a serem avaliados, bem como o 
objetivo da organização. Mas é mister salientar 
que a análise é de extrema importância, não só 
para conhecer o que acontecerá com o resultado 
devido aos cenários propostos, mas também para, 
ao longo do tempo, saber se os resultados da orga-
nização estão seguindo conforme planejado. Sem 
critérios de análise, torna-se impossível saber se a 
empresa está caminhando bem, ou não.
Outra oportunidade é pensar em buscar novos 
investimentos para organização. Para entender-
mos melhor, vamos analisar o fluxo atual da or-
ganização (Tabela 1) e ver se seria possível buscar 
um investimento de R$ 200.000,00 em uma ins-
tituição financeira. Essa instituição cobrará uma 
taxa de 2% ao mês e o empréstimo seria quitado 
em 24 meses, no regime Price.
Para essa análise, é necessário, em primeiro lu-
gar, saber como ficaria as parcelas na tabela price 
para amortização. 
PMT= VP {[(1+i)n x i]/[(1+i)n - 1]} = PMT 
= R$ 10.574,22
Calculado o valor da parcela, podemos olhar 
na planilha de resultados para perceber se o fluxo 
de caixa atual comportaria um empréstimo nesse 
valor. 
Como temos um resultado líquido atual de R$ 
20.880,00, seria possível receber mais uma des-
pesa fixa de R$ 15.861,33, o que ainda daria um 
resultado operacional positivo de R$ 5.018,67. 
Porém, caso a receita caia em 5%, conforme vimos 
na Tabela 3, o resultado líquido é de R$ 13.236,00. 
Assim, caso a empresa assuma mais um custo fixo 
de R$ 15.861,33 teria, nesse caso, um resultado lí-
quido (prejuízo) de R$ 2.625,33, comprometendo, 
assim, o resultado da organização. 
Com a análise realizada, ficou claro como a 
“construção” de possíveis cenários é importante 
na análise de investimentos realizados pela orga-
nização. Eles permitem ao gestor visualizar qual 
seriam os impactos de novos investimentos ou até 
mesmo de possíveis ações no sentido de corrigir 
possíveis problemas com os quais a organização 
esteja no momento.
No entanto, é bom lembrar também que es-
ses possíveis problemas podem ser causados por 
externalidades, como taxa de câmbio, inflação, 
impostos etc. Vamos analisá-las, então. 
191UNIDADE IX
Todos nós, ao assistirmos telejornais, lendo no-
tícias na internet, jornais, revistas especializadas 
etc., sempre ouvimos falar da inflação. Todos os 
especialistas da área dizem que o governo deve 
adotar políticas firmes que combatam a inflação, 
sob pena dela prejudicar, de forma sensível, a eco-
nomia do país. Mas então, o que seria a inflação e 
qual o seu impacto sobre as organizações?
Para Castanheira (2012), o período inflacioná-
rio corresponde ao momento em que os preços se 
encontram em elevação, ou seja, uma certa quan-
tidade de dinheiro não compra mais a mesma 
quantidade de um produto, o que compraria antes.
Inflação é a desvalorização da moeda. 
Ao contrário da inflação, deflação é a valorização 
da moeda.
Porém, ainda segundo Castanheira (2012), existem, 
também, os momentos de deflação, ou seja, aquele 
momento em que, em um determinado período, os 
preços caem e será possível comprar, com a mesma 
quantidade de dinheiro, mais produtos. 
Inflação
192 Análise de Externalidades
Assim, em ambos os casos, é importante ana-
lisar, no momento de análises financeiras, quais 
seriam os seus impactos em relação ao seu negó-
cio. Para Wakamatsu (2012), trabalhar com isso é 
ponderar qual será esse impacto no valor futuro 
de uma aplicação, por exemplo, pois, caso exista 
no mercado inflação, esse valor deverá ser corri-
gido a uma taxa proporcional à da inflação sob 
pena de a empresa perder dinheiro, pois esse será 
“consumido” pela taxa inflacionária.
Segundo o autor, existem duas maneiras de se 
tratar isso, na primeira, aplica-se o valor da infla-
ção diretamente no fluxo de caixa; na segunda, 
considera-se a taxa de juros em conjunto com a 
taxa nominal, criando uma taxa única.
Exemplo 1 
Pretende-se decidir sobre a viabilidade de uma 
aplicação, utilizando o método de VPL, onde o 
investimento inicial é de R$ 14.000,00; o resul-
tado operacional é positivo e de R$ 5.000,00 no 
primeiro mês e de R$ 10.000,00 no segundo; a 
taxa de juros do período é de 6% ao mês e a taxa 
de inflação de 3%. 
Solução: para resolver essa questão, utiliza-
remos a fórmula de VPL, porém considerando 
que existe uma taxa de inflação que atuará no 
resultado operacional da organização. Teremos, 
portanto:
VPL = - 14.000 + {(5000/1,03)/(1,06)1} + 
{(10.000/1,03)/(1,06)2} = - 779,67
Em um primeiromomento, ao notarmos que 
temos dois resultados maiores que o valor in-
vestido, nos levaria a crer que o investimento é 
viável. Porém, ao utilizarmos a fórmula de VPL, 
percebemos que o valor da inflação faz com que 
o dinheiro se desvalorize e o VPL dê negativo, 
inviabilizando, portanto, o negócio.
193UNIDADE IX
Como visto no item anterior, a inflação impactará 
muito nos valores de análise de investimentos. 
Assim, é necessário, ao realizar análises, levar em 
consideração esses índices, que são dados pelo 
governo. 
Correção monetária é a recuperação ou atualiza-
ção do poder aquisitivo da moeda, conforme os 
índices oficiais informados pelo governo. 
(Nelson Pereira Castanheira)
O autor chama atenção da importância de se ter o 
índice adotado formalizado em contrato e obriga-
toriamente se escolher outro que o substitua, caso 
o primeiro que foi escolhido seja extinto. 
A variação da correção monetária é dada pela 
seguinte fórmula (CASTANHEIRA, 2012):
CM índice do período indicado
índice do período anterior
= −1
Correção 
Monetária
194 Análise de Externalidades
Para calcular a média inflacionária de um perío-
do, pode-se, também, utilizar a fórmula (CASTA-
NHEIRA, 2012):
IM CM n= +( ) −1 1
1
Onde: 
IM = Inflação média.
CM = Correção monetária.
n = Período de cálculo. 
Para entendermos melhor, vamos analisar um 
exemplo dado por Castanheira (2012):
Exemplo 2
Calcule a correção monetária e a média mensal 
de inflação, de outubro/2004 a maio/2005, inclu-
sive, considerando os dados do INPC do IBGE, 
conforme a Tabela 6:
Tabela 6 - Valores da inflação mensal
Período Mensal (%) índice
Setembro (2004) - 100,0000
Outubro (2004) 0,17 100,1700
Novembro (2004) 0,44 100,6107
Dezembro (2004) 0,86 101,4760
Janeiro (2005) 0,57 102,0544
Fevereiro (2005) 0,44 102,5035
Março (2005) 0,73 103,2517
Abril (2005) 0,91 104,1913
Maio (2005) 0,70 104,9207
Fonte: o autor.
Solução: em primeiro lugar, é preciso calcular 
qual é a correção monetária do período. 
CM índice do período indicado
índice do
= −
odo anterior
1
í
CM = (104,9207/100,0000) - 1 = 0,049207 ou 
4,9207% no período.
Para calcular a média inflacionária, basta utilizar 
a fórmula dada:
IM CM n= +( ) −1 1
1
 Assim, teremos:
IM = (1+ 0,049207)⅛ -1 = 0,006022 ou 0,6022% 
ao mês.
195UNIDADE IX
Outro índice que não poderá ser ignorado pelas 
organizações são os impostos. Assunto também 
muito comum nos noticiários e combatido por 
muitos, os impostos podem levar a uma análise 
errada, principalmente no momento da compo-
sição do preço de venda de um produto. 
Segundo Vascocellos (2009), existem dois tipos 
de impostos que incidem sobre a venda de um 
produto: Impostos indiretos (ICMS, IPI), que in-
cidem sobre o preço das mercadorias; e impostos 
diretos que incidem diretamente sobre a renda das 
pessoas (Imposto de Renda).
É importante, para entender o impacto dos 
impostos, analisarmos como se compõe um preço 
de venda de produtos e/ou serviços. Segundo in-
formações obtidas no site do Sebrae, o preço final 
de um produto é composto por quatro fatores:
• Custo fixo: gastos que não variam em fun-
ção dos volumes de produção.
• Custos Variáveis: gastos que variam em 
função do volume de produção. Esses 
custos englobam impostos, comissões etc. 
Segundo informações do SEBRAE (2018, 
on-line)1, os custos variáveis são os mos-
trados na Tabela 7.
Impostos 
196 Análise de Externalidades
Tabela 7 - Custos variáveis de venda
Custos Variáveis de Venda (CVV)
ICMS (Imposto sobre circulação de mercadorias e serviços) – federal. 17,0%
PIS (Programas de Integração Social e de Formação do 
Patrimônio do Servidor Público) – Federal.
0,65%
COFINS (Contribuição para Financiamento da Seguridade Social) 
– Federal. 3,00%
Contribuição Social - Federal. 1,08%
IRPJ (Lucro presumido) - (Imposto de Renda Pessoa Jurídica). 1,20%
ISSQN - (Impostos Sobre Serviços de Qualquer Natureza) – 
municipal.
2 a 5% - Depende da prefeitura
Comissões. Depende da organização
Fonte: SEBRAE (2018, on-line)1.
No caso de ICMS e ISSQN, usa-se um ou outro. 
Depende do que for vendido. No caso de serviços, 
aplica-se ISSQN no caso de produtos ICMS. É 
bom salientar que ainda existem outros impostos 
que são ligados ao ramo da organização, tais como, 
o IPI, (imposto sobre produtos industrializados), 
FUST (Fundo de Universalização dos Serviços de 
Telecomunicações), entre outros. É preciso ficar 
atento para conhecer se na sua área existe algum 
que não constou no seu valor de venda. 
• Custos diretos: gastos que podem ser 
apropriados diretamente ao produto e/ou 
serviço.
• Custos Indiretos: despesas que para se-
rem incorporadas ao produto e/ou serviço 
utilizarão um critério de rateio, pois tam-
bém são utilizados por outros produtos e 
/ou serviços da organização.
Para saber qual será sua contribuição no preço de 
venda final, deve-se calcular a relação do custo 
fixo em relação ao faturamento da organização. 
A fórmula para cálculo é:
CF CFm
RBm
x% = 




 100
Onde:
CF% = percentual do custo fixo.
CFm = Custo fixo médio da organização.
RBm = Receita Bruta média da organização.
É sempre importante lembrar no momento da 
composição de um custo de venda três fatores: 
quanto nos custa prestar o serviço (ou produzir 
um produto), quanto queremos ganhar de mar-
gem com esse produto e o quanto o mercado paga. 
Não adianta nada queremos uma margem muito 
grande se o mercado não estiver disposto a pagar 
pelo que queremos vender.
Outro fator importante é a margem de lucro, 
pois aqui é que está a fatia que realmente sobrará 
para organização ao final de todo estudo. Esse 
valor é chamado pelo Sebrae de Taxa de Marcação. 
197UNIDADE IX
Para calcular, utiliza-se a fórmula:
TM
CF CVV ML
=
− + +( )
100
100 %
Onde:
CF% = Custo fixo médio percentual em relação 
a receita bruta média.
CVV = Custo variável de venda.
ML = Margem de lucro.
Para um melhor entendimento, vamos analisar o 
exemplo a seguir:
Exemplo 3 
Imagine uma empresa que queira vender calças e 
camisas e fez compra das duas mercadorias com 
seu fornecedor. Foram adquiridas 200 calças, no 
valor unitário de R$ 30,00 e 300 camisas no valor 
unitário de R$ 15,00. Além desses valores, a em-
presa que vendeu acrescentou um valor de IPI na 
alíquota de 10%, ICMS de 17% e um valor de frete 
de R$ 900,00. Considerando que a empresa tem 
um custo fixo médio de R$ 2.000,00 e uma receita 
bruta média de R$ 20.500,00. Qual seria o preço 
de venda desses produtos se a empresa quiser ter 
uma margem de lucro de 20% e ainda paga uma 
comissão aos seus vendedores de 4% do valor de 
venda? (SEBRAE, 2011, on-line)2.
Solução: para montar o preço, é preciso saber, em primeiro lugar, qual foi o custo de aquisição da 
mercadoria:
CAM= Preço de compra + IPI + ICMS + frete 
Tabela 8 - Composição do Preço de venda
Produto P. Compra (R$) IPI (10%) Frete p/ peça (R$) SOMA (R$) ICMS (17%) CAM (R$)
Calça 30,00 3,00 1,80 34,80 5,92 40,72
Camisa 15,00 1,50 1,80 18,30 3,11 21,41
Fonte: o autor.
Note que o frete para composição de custo é aplicado no valor total do preço de compra mais IPI e 
que o valor do frete é calculado por peça. 
Agora que conhecemos o valor de aquisição, vamos calcular os valores adicionais para venda.
198 Análise de Externalidades
Tabela 9 - Custo Variável de venda
Custos Variáveis de Venda (CVV)
Imposto Alíquota
ICMS 17,0%
PIS 0,65%
COFINS 3,00%
Contribuição Social - Federal 1,08%
IRPJ 1,20%
Comissões 4%
Total 26,93%
Fonte: Sebrae (2018, on-line)1.
A Tabela 9 mostra que teremos um acréscimo de 26,93% ao preço 
para cobrir os custos variáveis.
Custo indireto Fixo: como visto na fórmula.
CF CFm
RBm
x x% , %= 




 =





 =100
2000
20500
100 9 76
A taxa de marcação (já constando da margem de lucro), que será 
acrescentada, é composta de:
TM
CF CVV ML
=
− + +( )
=
− + +( ) 
=
100
100
100
100 9 76 26 93 20
2 31
% , ,
,
Agora basta multiplicar a taxa de marcação pelos preços de aqui-
sição.
Tabela 10 -Cálculo do custo de venda
Produto CAM (R$) TM Preço de venda (R$)
Calça 40,72 2,31 94,06
Camisa 21,41 2,31 49,46
Fonte: o autor.
199UNIDADE IX
Pode-se notar que a taxa de marcação nos leva a um preço de venda 
mais que o dobro do custo de aquisição. O que demonstra o que 
comentamos no início do grande problema que teríamos se, ao 
montarmos nossos preços, deixarmos de lado os impostos e outros 
custos, como comissões. 
Tenha sua dose extra de conhecimento 
assistindo ao vídeo. Para acessar, use seu 
leitor de QR Code.
Bom, chegamos ao fim da nossa última unidade, em que pudemos 
ver a importância de analisarmos como é preciso as chamadas ex-
ternalidades (inflação, deflação, impostos etc.), pois elas poderão 
afetar, em muito, os resultados operacionais das organizações. Sendo, 
portanto, primordiais nas tomadas de decisão. 
200
Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução.
1. Segundo o que foi visto ao longo do texto, existem vários tipos de impostos que 
precisam ser levados em consideração no momento das análises financeiras, 
sob pena de não colocarmos todos os custos necessários no momento de mon-
tar um preço de venda. Para uma empresa que presta serviço, todos, a seguir, 
devem ser considerados, exceto:
a) ISSQN.
b) COFINS.
c) PIS.
d) ICMS. 
e) CSSL (Contribuição Social).
2. Leia as informações, a seguir, e Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F):
 )( Nos custos variáveis de uma organização, incluem-se salários e encargos, bem 
como pró-labore que dependem diretamente do número de funcionários da 
organização e de alíquotas do governo para sua composição.
 )( Nos custos fixos, devemos levar em consideração água, luz, telefone e todos 
os custos que a organização possui para prestação de serviços.
 )( A correção monetária, conforme visto nos textos, tem por objetivo corrigir o 
valor da moeda no tempo, visando uma análise mais precisa de investimentos 
ao longo do tempo. 
Assinale a alternativa correta:
a) V-V-V.
b) V-F-F.
c) F-F-F.
d) F-V-V.
e) V-F-V.
201
3. Observando a tabela a seguir, calcule qual é a correção monetária e a inflação 
média de setembro/2016 a agosto/2017.
Período Mensal (%) índice
Setembro (2016) - 100,0000
Outubro (2016) 0,26 100,26
Novembro (2016) 0,18 100,44
Dezembro (2016) 0,30 100,74
Janeiro (2017) 0,38 101,20
Fevereiro (2017) 0,33 101,45
Março (2017) 0,25 101,70
Abril (2017) 0,14 101,84
Maio (2017) 0,31 102,15
Junho (2017) -0,23 101,92
Julho (2017) 0,24 102,16
Agosto (2017) 0,19 102,35
Fonte: Trading Economic (2018, on-line)3. 
a) CM= 2,35%; IM= 0,21%.
b) CM=2,16% ; IM= 0,19%.
c) CM=2,35% ; IM= 0,23%.
d) CM=2,35% ; IM= 0,19%.
e) CM= 2,16% ; IM= 0,21%.
202
Fluxo de caixa: o que é e como implantar
Esse link nos dá uma noção maior de como é composto um fluxo de caixa e 
qual a sua importância no momento da análise financeira de um organização.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
WEB
203
CASTANHEIRA, N. P. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2012. 
WAKAMATSU, A. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
REFERÊNCIAS ON-LINE
1Em: <http://www.sebrae.com.br/sites/PortalSebrae/ufs/ap/artigos/custos-e-precodevendanocomercio,e-
195164ce51b9410VgnVCM1000003b74010aRCRD>. Acesso em: 25 maio 2018.
2Em: <http://www.sebrae.com.br/Sebrae/Portal%20Sebrae/Anexos/0_fluxo-de-caixa.pdf>. Acesso em: 25 maio 
2018.
3Em: <http://pt.tradingeconomics.com/brazil/inflation-rate-mom>. Acesso em: 24 jul. 2018.
204
1. D.
2. D.
3. Como Calcular?
CM índice do período indicado
índice do período anterior
= − =1 102 35,
1100
1 0 0235 2 35




 − = =, , %
IM CM n= +( ) − = +( ) − = =1 1 1 0 0235 1 0 0021 0 21
1 1
11, , , %
Solução:
CM = 2,35% no período; Inflação Média = 0,21% ao mês.
205
206
CONCLUSÃO
Enfim, chegamos ao final do nosso livro!
Foi possível, ao longo das nove unidades, percebermos que, mesmo a eco-
nomia não sendo um assunto de nossa preferência, é muito importante 
para analisarmos o contexto das organizações e planejarmos melhor como 
investir, melhorando os resultados operacionais.
Tentei, ao longo do livro, mostrar a você, estudante de engenharia, o que 
é importante para o dia a dia do trabalho de engenheiro. O livro não tem 
pretensão de ser referência para profissionais da área da economia, onde as 
análises deveriam ser mais profundas, mas dá aos engenheiros ferramentas 
e técnicas necessárias, que nos permitem tomar decisões importantes em 
nosso negócio.
Na sequência do livro, busco trazer uma linha de raciocínio mostrando os 
conteúdos importantes para, ao final, fazer uma análise de investimentos 
com segurança.
Na Unidade 1, foram conhecidos os conceitos de economia e os proble-
mas econômicos. Eles dão a base necessária para o bom entendimento de 
todos as outras unidades. Na Unidade 2, foram analisados os conceitos da 
engenharia econômica e como eles afetarão o dia a dia do engenheiro. Nas 
Unidades 3 e 4, analisamos o que é a microeconomia e a macroeconomia, 
qual é a diferença entre os conceitos e como isso afeta a organização. Na 
Unidade 5, foram analisados as fórmulas e conceitos da matemática finan-
ceira. Ela nos deu ferramentas para, nas unidades seguintes, analisarmos 
CONCLUSÃO
investimentos e tomarmos decisões. A Unidade 6 apresentou os sistemas de 
amortização, onde podemos analisar impactos de, por exemplo, emprésti-
mos na saúde financeira da organização. Na Unidade 7, foram analisadas as 
séries de pagamentos, ou seja, como serão pagamentos perante a possíveis 
empréstimos e dívidas. E, por fim, nas Unidades 8 e 9, foram analisados 
possíveis investimentos perante a tudo isso que foi visto, analisando, tam-
bém externalidades que afetam o dia a dia das organizações.
 Estou certo de que, ao ler o livro, analisando os exemplos e dicas que foram 
dadas, você estará apto a atuar de forma consciente e profissional.
Foi um imenso prazer contribuir, de alguma forma, na sua formação. Siga 
sempre nessa linha de estudos e honestidade, pois, dessa forma, o sucesso 
(pessoal e profissional) será inevitável.
Um grande abraço!
Prof. Cláudio Pessoa
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