sel310-A2 lista completa exercicios Sel310 612

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SEL310 e SEL612 Ondas eletromagnéticas 
Lista de exercícios 
Amílcar Careli César e Heitor Cury Basso 
 
Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, Departamento de Engenharia Elétrica Página 1 
 
LISTA de exercícios das disciplinas SEL310 e SEL612 
Ondas eletromagnéticas. A lista não está completa e mais 
exercícios serão adicionados no decorrer do semestre. 
Consulte sempre os sites dos docentes para verificar quais 
foram os exercícios acrescentados. Confira pela data de 
inclusão. 
1. Fasor, integral de linha e integral de superfície 
1.1. Encontrar a notação fasorial dos vetores: (a) ����� = 3 cos���� �
 +
4 sen���� �
 + cos	��� + �/2��̂; (b) ����� = �3 cos���� + 4���������
 +
8�cos���� − ���������̂; (c) !̅ = 0,5cos	�&� − ����
. 
1.2. Obter a notação fasorial (se possível) das funções: (a) ���� = 6cos	��� + �/
4�; (b) (��� = −8�������; (c) !��� = 3������� − 2)*�����. 
1.3. Sejam os vetores dados por: !̅ = �
 + +�
 + �1 + +2��̂ e -� = −�
 − �1 − +2��
 +
+�̂. Determinar !̅ ∙ !̅∗ e 0�{!̅ × -�∗}. 
1.4. Considerar um caminho de integração parabólico que segue a curva � = 4�5 
desde a origem até o ponto �� = 6; � = 465�. Determinar a integral de linha 
do campo �� = !��
 + -�
 sobre este caminho. 
1.5. Considerar a superfície S como sendo o retângulo – 6 < � < 6, −: < � < :, 
no plano � = 0. Considerar também que a normal a S está na direção +z. 
Encontrar a integral de superfície sobre S do campo �� = !��
 + -�5�̂. 
1.6. Dado campo vetorial �� = 4��5 cos�2�� �
 + 2������2���
 + �5 sen�2�� �̂, 
para a região |�|, |�| e |�| menores que 2, determinar: (a) as superfícies nas 
quais �< = 0; (b) a região na qual �< = �=; (c)a região na qual �� = 0. 
(exercício 1.7, p. 23, cap. 1, livro Hayt e Buck, 7ª edição). 
2. Tensão, corrente e impedância 
2.1. Um resistor de 5 kΩ e um capacitor C estão em série e a admitância da 
associação é >?. Seja � = 10
@rad/s. Determinar C de tal forma que: (a) a parte 
condutiva de >? seja 100 µS; (b) a susceptância de >?	seja 50 µS; (c) o ângulo de 
>?seja 60
0 
(exercício do livro do Hayt, Análise de circuitos em engenharia, cap. 
9). 
2.2. Entre os terminais a e b de um circuito há um capacitor C em série com a 
associação em paralelo de um resistor de 2 kΩ com um indutor de 2 mH. 
Determinar C de tal forma que a susceptância da admitância de entrada seja 
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zero em 20 kHz (exercício do livro do Hayt, Análise de circuitos em engenharia, 
cap. 9). 
2.3. Três correntes que chegam a um nó de circuito são AB��� = 10cos	��� − 40
C�, 
A5��� = 8cos	��� − 100
C� e AD��� = 15cos	��� + 30
C� A. Determinar a 
corrente que deixa o nó por um quarto condutor (exercício do livro do Hayt, 
Análise de circuitos em engenharia, cap. 9). 
2.4. A tensão E��� = 20cos	�2000� + 60C� V está aplicada a um elemento de 
circuito e a corrente resultante é A��� = (Fcos	��� + G� A. (a) Determinar ω, 
G e L se o elemento for um indutor e (F = 0,1 A; (b) Determinar ω, G e C se o 
elemento for um capacitor e (F = 0,1 A (exercício do livro do Hayt, Análise de 
circuitos em engenharia, cap. 9). 
3. Fasor e parâmetros de onda 
3.1. Estimar a potência da radiação eletromagnética do sol recebida na Terra na 
faixa de freqüência 54-60 MHz (canal 2 TV–VHF). Nesta faixa a densidade de 
potência é 0,6×10-22 W/m2Hz e o raio da Terra é 6.367 km. 
3.2. A estrela α-centauro dista da Terra aproximadamente 4,33 anos-luz. Um ano-
luz é uma unidade de comprimento que corresponde à distância coberta pela 
luz em um ano. Qual é a distância entre a Terra e a estrela α-centauro em km? 
3.3. Determinar as unidades (SI) das seguintes quantidades, relacionadas com uma 
onda eletromagnética: ω (freqüência angular), k (número de onda), f 
(freqüência), T (período) e λ (comprimento de onda). 
3.4. Um laser de hélio-neônio emite luz em um comprimento de onda 6,328 ×
10H@ m no ar. Calcular a freqüência, período e número de onda. 
3.5. Uma onda senoidal move-se na direção +� com velocidade 1,8 × 10BC	)I/� . 
Um observador localizado em � = 5 cm observa uma tensão máxima de 80 
mV em � = 0,15 ns, � = 0,35 ns, � = 0,55 ns, e assim por diante. Determinar o 
fasor representando esta onda (exercício 1.7 do livro do Schwarz). 
3.6. O fasor representando uma onda que se propaga na direção +� é dado por 
E��� = 3�2 − 3+�exp	�+0,6��, na qual � é dado em cm. A velocidade da onda é 
a da luz no vácuo. Determinar: (a) o comprimento de onda; (b) o menor tempo 
após � = 0 em que tensão é máxima em � = 0 (exercício 1.5 do livro do 
Schwarz). 
3.7. Uma onda propaga-se na direção +z em uma linha de transmissão sem perdas. 
A freqüência é 5 GHz e a velocidade de propagação é 0,7)C, na qual )C	é a 
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velocidade de propagação da luz no vácuo. Em � = 0 o fasor representando 
esta onda é �1	– 	2+� volts. Determinar a amplitude e o ângulo de fase da onda 
em �	 = 	−2	cm (exercício 1.6 do livro de Schwarz). 
4. Linha de transmissão 
4.1. Uma linha de transmissão de impedância característica MC = 50	Ω é terminada 
por uma impedância de carga MO = �50 − +75�Ω. Determinar o coeficiente de 
reflexão a uma distância 0,25λQ da carga. 
4.2. Uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica 
MC = 300	Ω	é ligada a uma carga 200 Ω. A freqüência é 300 MHz. Calcular a 
impedância de entrada da linha para comprimentos 12 cm; 20 cm; 30 cm e 50 
cm. 
4.3. Uma carga MO = �200 + +40�Ω é ligada a uma linha sem perdas de 
comprimento 1,25S e MC = 150	Ω. Determinar a admitância na entrada da 
linha. 
4.4. Determinar a impedância de carga de uma linha de transmissão sem perdas se 
a impedância característica é MC = 100	Ω, o comprimento da linha é 0,15S e a 
impedância vista na entrada é MO = �18 − +30�Ω. 
4.5. Uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica 
MC = 50	Ω é ligada a uma carga indutiva MC = 100 + +50	Ω. A freqüência do 
sinal é 300 MHz. Calcular a impedância em um ponto distante 12,5 cm de 
carga. Utilizar a carta de Smith para determinar a mesma impedância. 
4.6. Uma linha de transmissão cuja impedância característica é Z₀₁ está conectada 
em uma extremidade a um gerador de sinais que opera em freqüência f₀. Na 
extremidade oposta, a linha está conectada a uma impedância de carga 
composta por um indutor L. A uma distância x₁ da impedância de carga um 
trecho de linha de transmissão de impedância característica Z₀₂ está 
conectado em paralelo à linha de transmissão principal. Esta linha tem 
comprimento x₂ e está terminada em carga Z. A impedância equivalente (total) 
vista no plano A-A′ é ZUUV	. Determinar o(s) valor(es) de (a): Coeficiente de 
reflexão (módulo e ângulo, em graus) na carga Z em CC′; impedância, em 
ohms, vista na entrada da linha Z₀₂; L, em H (1nH corresponde a 10⁻⁹ H); 
relação de onda estacionária (ROE) no trecho AA′-BB′. Dados: Z₀₁ = 50	ohms; 
Z₀₂ = 75	ohms; f₀ = 1	GHz; ohms; Z = j20	ohms; ZUUV = j100	ohms. 
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Figura 1. Circuito com linha de transmissão referente ao exercício 4.6. 
4.7. Localizar na carta de Smith as impedâncias: (a) M = 50	Ω; (b) M = 125 +
+200	Ω; (c) M = 25 − +15	Ω; (d) M = 10 + +10	Ω; (e) M = −+20	Ω; (f) 
M = +10	Ω. 
4.8. Localizar na carta de Smith os coeficientes de reflexão: (a) Γ = 0,5∠− 100
0
; 
(b) Γ = 0,25∠60
0
; (c) Γ = 0,8∠15
0
. 
4.9. A tensão em uma linha de transmissão sem perdas terminadapor carga 
desconhecida é medida em várias posições. O maior valor da amplitude é 1,3 V 
e a menor é 0,9 V. Determinar o módulo do coeficiente de reflexão. 
5. Onda plana, polarização e reflexão 
5.1. Uma onda plana de freqüência ω propaga-se no vácuo na direção do vetor 
unitário !�
 + -�
, na qual A = 0,65 e B = 0,76. O campo elétrico está na 
direção z, a amplitude é ��C e o ângulo de fase na origem é zero. Determinar o 
fasor ��=. 
5.2. Determinar o fasor que representa o campo elétrico 
( ) ( )2 0 ˆ ˆ, , , cos 30 senE x y z t Ax t y Bz t xω ω   = + −      , na qual A e B são 
constantes. 
5.3. Um campo elétrico senoidal é descrito pelo fasor 
0 0
ˆˆjkx j jkxE A e x B e e yϕ −= + , na qual A0, B0, k e ω são constantes reais dadas. 
(a) Determinar o vetor �� em função do tempo; (b) Esboçar o vetor �� no plano 
A
A’
B
B’
Z01
Z02
x2 = 0,25λ
x1 = 1,00λZAA’
Z
L
C
C’
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x-y nos instantes t1, t2, t3, t4 e t5, de tal forma que 
1 2 3 4 5
3
0, , , , 2
2 2
t t t t t
π π
ω ω ω π ω ω π= = = = = . 
5.4. Determinar a polarização (linear, circular ou elíptica, à esquerda ou à direita) 
dos seguintes campos: (a) ( )exp(- )E j x y jkz= +
�
⌢ ⌢
; (b) 
(1 ) (1 ) exp( )E j y j z jkx= + + − −  
�
⌢ ⌢
 (exercício 3.13, p. 57, livro do Shen e Kong). 
5.5. Mostrar que uma onda linearmente polarizada pode ser decomposta em duas 
ondas circularmente polarizadas. 
5.6. Uma onda plana de freqüência 3 GHz incide normalmente a partir da direção 
z−
⌢
 sobre um plano condutor perfeito localizado em 0z = . A região 
1 0cm z− < < contém material dielétrico com 
0
3ε ε= . Determinar a 
localização do máximo do campo mais próximo de 0z = , mas fora do 
dielétrico (ex. 8.30, p. 287, livro do Schwarz). 
5.7. Uma onda plana de freqüência 5 GHz incide normalmente sobre uma lâmina 
dielétrica de espessura 0,6 cm e permissividade relativa 12,9. Determinar a 
fração de potência incidente que é refletida (ex. 8.29, p. 287, livro do Schwarz). 
5.8. A região 0z > é preenchida com dielétrico de permissividade relativa 2,0. A 
região 1 0cm z− < < contém material de permissividade relativa 5,0 e a 
região 1z cm<− contém ar. A onda, com freqüência 10 GHz e campo elétrico 
no plano de incidência, incide sobre os materiais a partir da direção z−
⌢
 com 
ângulo de incidência 30
0
. Determinar a fração de potência incidente que é 
refletida (ex. 8.46, p. 289, livro do Schwarz). 
6. Propagação em material dissipativo 
6.1. Uma onda eletromagnética com freqüências de 1, 10, 100, e 1000 kHz penetra 
na água do mar, caracterizada por (
0
80ε ε= ; 
0
µ µ= e /4 S mσ = ). A 
amplitude do campo elétrico na superfície é 1 V/m, e a uma profundidade x é 
1 µV/m. (a) Calcular a profundidade x na água do mar para as 4 freqüências 
consideradas; (b) Indicar qual entre as 4 freqüências consideradas é a mais 
indicada para ser utilizada na comunicação entre submarinos submersos. 
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6.2. Calcular a taxa de atenuação e a profundidade de penetração na terra (
0
4ε ε=
; 
0
µ µ= e 410 /S mσ −= ) de uma onda plana uniforme de 10 MHz (Exercício 
3.20, p. 58, livro do Shen e Kong). 
6.3. Uma onda eletromagnética com freqüências de 1, 10, 100, e 1000 kHz penetra 
na água do mar, caracterizada por (ε = 80ε0 ; µ = µ0 e σ = 4 S/m). A amplitude 
do campo elétrico na superfície é 1 V/m, e a uma profundidade x é 1 µV/m. (a) 
Calcular a profundidade x na água do mar para as 4 freqüências consideradas; 
e (b) Indicar qual entre as 4 freqüências consideradas é a mais indicada para 
ser utilizada na comunicação entre submarinos submersos. 
7. Guia de onda 
7.1. Quais são os modos guiados que possuem freqüência de corte menor que 3,75 
GHz para um guia metálico de seção quadrada 100 mm por 100 mm ? (Ex. 14-
4-3, p. 711, Kraus, ref .1, 4ª. Edição). 
7.2. Um guia de onda metálico preenchido com ar possui seção retangular de 
dimensões 50 mm por 100 mm. Determinar o ângulo de reflexão, θ , para o 
modo dominante nos comprimentos de onda: (a) 150 mm; (b) 75 mm; (c) 200 
mm. (Ex. 14-4-5, p. 711, Kraus, ref .1, 4ª. Edição). 
7.3. Um guia de onda metálico preenchido com ar possui seção retangular de 
dimensões 45 mm por 90 mm. Determinar: (a) A freqüência de corte do modo 
fundamental, c0λ ; (b) A relação entre a velocidade de fase no guia e no vácuo, 
v/c, na freqüência 1,6 vezes a freqüência de corte do modo fundamental; (c) O 
comprimento de onda de corte, c0λ , se o guia é preenchido com dielétrico 
7,1=rε ; (d) A relação entre a velocidade de fase no guia e no vácuo, v/c, na 
freqüência 1,6 vezes a freqüência de corte do modo fundamental, para o guia 
do item c. (Ex. 14-4-1, p. 711, Kraus, ref .1) 
7.4. Um guia de ondas de seção transversal retangular possui dimensões cma 3= 
e cmb 5,1= . A freqüência do sinal aplicado é 12 GHz. Para o modo principal, 
determinar: (a) O comprimento de onda de corte; (b) O comprimento de onda 
no guia; (c) As velocidades de fase e grupo. 
7.5. O índice de refração do núcleo de uma fibra óptica é 55,11 =n e da casca é 
52,12 =n . Para mµλ 1= , determinar o máximo ângulo no ar, maxθ , para que 
os raios que entram na fibra sofram reflexão total na interface núcleo-casca. 
(Ex. 14-15-1, p. 714, Kraus, ref .1, 4ª. Edição) 
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7.6. Uma fibra óptica com 53,11 =n e 52,12 =n opera em mµλ 2,1= . Determinar: 
(a) O diâmetro do núcleo para operação monomodo; (b) O ângulo máximo de 
entrada, maxθ . (Ex. 14-15-2, p. 714, Kraus, ref .1).