sel310-A21 Reflexao P3 Sel310 612

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Polarização Paralela
Ângulo de Brewster
SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
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Ondas Eletromagnéticas, 
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2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL30/05/2012
Polarização da onda
plano de incidência
E E
plano de incidência
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
E
polarização normal
ou
perpendicular
polarização paralela
E
30/05/2012 3
Incidência, reflexão e transmissão
y
x
E
Et
kr Hi
Hr Ht
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
z
Er
Ei
ki
kt
Meio 1 Meio 2
interface
30/05/2012 4
Polarização paralela
θr θt
x
rk
tk
θr θt
x
rk
tkrH
rE
rk tk
tH
tE
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Interface entre os dois meiosnˆ
iE
θi
t
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
z
ik Interface entre os dois meiosnˆiE
θi
t
1meio
1,1 εµ
1meio 11meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
2meio 22meio
2,2 εµ
z
ik
iH
iE ik
30/05/2012 5
Campos elétrico e magnético-1
( )
0
ix iz
j k x k z
i
H yH e
− +
=
⌢
( ) ( )0 ix izj k x k z
H
E xk zk e
− +
= −
⌢ ⌢
Onda incidente
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( ) 0
1
ix iz
i iz ix
E xk zk e
ωε
= −
⌢ ⌢
iH
iE ikx
z
30/05/2012 6
Campos elétrico e magnético-2
( )
0
rx rz
j k x k z
r II
H yR H e
− −
=
⌢
( ) ( )0 rx rzj k x k z
H
E xk zk R e
− −
= − +
⌢ ⌢
Onda refletida
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( ) 0
1
rx rz
r rz rx II
E xk zk R e
ωε
= − +
⌢ ⌢
x
z
rH
rE
rk
30/05/2012 7
Campos elétrico e magnético-3
( )
0
tx tz
j k x k z
t II
H yT H e
− +
=
⌢
( ) ( )0 tx tzj k x k z
H
E xk zk T e
− +
= −
⌢ ⌢
Onda transmitida
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( ) 0
2
tx tz
t tz tx II
E xk zk T e
ωε
= −
⌢ ⌢
x
z
tk
tH
tE
30/05/2012 8
Coeficientes de transmissão e reflexão-1
Componentes tangenciais de e 
tri
E E
E H
E
+ =
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 9
meio 1 meio
2
 2
11
co cos ss co
ri ti ti
E EE
η
θ θ θ
η η
+ =
− =
���������� ��������� ����� ����
Coeficientes de transmissão e reflexão-2
1 1 2
Dividindo por 
cos cos cos
i r t
i i i
i i r i t t
i
E E E
E E E
E E E
E E E
E
η η η
θ θ θ
+ =
− =
30/05/2012 10SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1 1 2
1
cos cos cos
i i i
i i
II
II
I
I t
I
I
E
TR
R
E E
T
η η η
θ θ θ
− =
+ =
− =
Coeficientes de reflexão e transmissão-2
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 1
1
cos cos
cos cos
t i
II
t i
R
η θ η θ
η θ η θ
−
= −
+
30/05/2012 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 11
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2 1
1
2 cos
cos cos
i
II
i
t i
t
T
η θ
η θ
η θ η
θ
θ
η
=
+
Ângulo de Brewster-1
( ) ( )
1 2 0
2 1
0
transmissão total para o mei
Suposição: 
vamos procurar um ângulo tal que 
cos cos
o 2
0
t i
II
R
R
µ µ µ
η θ η θ
= =
−
= =
=
−
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 1
2 1
2 1
2 1
cos co
cos
s
cos cos
equivalent
0
cos 0
0
e a
t i
iz tz
t
I
i
t i
I
R
k k
η θ
η θ η θ
η θ η θ
η θ
ε ε
−
=
−
=
=
−
+
−
=
30/05/2012 12
Ângulo de Brewster-2
θr z
krx
k1
x
θt
z
k
ktx
k2
x
θi
z
kiz
kix
k1
x
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( )1 cosiz ik k θ=
krz
z z
ktz
( )2 costz tk k θ=
( )1ix ik k sen θ= ( )2tx tk k sen θ=
30/05/2012 13
Ângulo de Brewster-3
2 1
0
iz tz
k kε ε− =
2 1 1 2
cos( ) cos( ) 0
i t
k kε θ ε θ− =
( )1 cosiz ik k θ= ( )2 costz tk k θ=
( )1ix ik k sen θ= ( )2tx tk k sen θ=
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
ix tx
k k=
( ) ( )2
1
i t
tg tg
ε
θ θ
ε
=
2 1 1 2i t
condição de fase casada
( ) ( )1 2i tk sen k senθ θ=
2 1 1 2
1 2
cos( ) cos( )
( ) ( )
i t
i t
k k
k sen k sen
ε θ ε θ
θ θ
=
30/05/2012 14
Ângulo de Brewster-4
2 1 1 2
cos( ) cos( )
i t
k kε θ ε θ=
( ) ( )2 1 1 1 2 2cos( ) cos( )i tε ω µ ε θ ε ω µ ε θ=
1 1 2 2
2 2
cos( ) cos( )
i t
µ ε µ ε
θ θ
ε ε
      =         
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
2 1 0
µ µ µ= =
1
2 2
2
i t
ε ε
        
1
1 2
2
cos( ) cos( )
i t
µ µ
θ θ
ε ε
      =          
1
2
cos( ) cos( )
i t
ε
θ θ
ε
=
30/05/2012 15
Ângulo de Brewster-5
( ) ( )1 2i tk sen k senθ θ= ( ) ( )2
1
i t
sen sen
ε
θ θ
ε
=
1
2
cos( ) cos( )
i t
ε
θ θ
ε
=
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
( ) 2
1
B
tg
ε
θ
ε
=
2
t i
θ θ π+ =para
( ) ( )2 2
1 1
cos
2i i i
sen sen
ε επ
θ θ θ
ε ε
  = − =   
( )1 2 1B tgθ ε ε−= ângulo de Brewster
30/05/2012 16
Ângulo de Brewster-6
θr= θB θt
x
rk
tk
não há 
onda refletida
transmitida
Ondas Eletromagnéticas Amílcar C. César USP-EESC-SEL
Interface entre os dois 
meios
nˆ
θB
1meio
1,1 εµ
2meio
2,2 εµ
z
ik
incidente
iH
30/05/2012 17